Marius Burtea Georgeta Burteavalentin Nicula, camelia Apostoae, Carmen Axon, Daniela Buzincu, Gheorghecihodariu, Elena cimpoieru, Marilena ciontescu, Mihaela chiriac, AdelaDimov, Ramona Dumitru, Lurza Encuna, Gabriela Hogag, viorica Lazdr, c)anaLeautd, Dan Maria, Daniela Mihalache, Silvia Mugdtoiu, vasile Dilimotr Nitr[,Ramona Preda, Lucia Ungureanu

CLASA alX-aCULEGERE DE

MATEMATICAFiliera teoreticd,,sp e c i ahzar e a mate mati c 5 - informati c 5

r funclia de gradul It funcfia de gradul IIr trigonometrier aplicafii ale trigonometriei in geom etria pland

CAMPION

I InperS CIp ericund

,(g'z- o)v e\lIpuoJ (qLJa ' 1- g+02- pc pl1nze6

"'1. (1z-)v erfrpuo3 (e

r (q ,Ly = (t,z_)v

\ ]/ 'Ii <- Ei : "/

eticunS etg

dearprrues o else nBS 1ru€rpru

mJUBTC'g*o'q+m=(x)l. t.r )F'51 <- 1 : 3 ericungap IB^JeluI un AI r 1 eIJ .

' gy eldeatp ep leluezerder

nd gnop uriqo eg 'rerfcurg e1e

,r rnl ernqr4s es 'eleuopJooc

.cund pnop Eurrurelep eS kD

nzarder es ' (g'0)g'(0 ' ;-)y 9

6i1"""""""' 'egerSorlqrggI I """""""' """"unsundspr rs r{ecryu1

60r """""""' ""v-K Y YSVTJ :rArJV'rnJrdYf,AU ANA-r8OUd rs rrlrCUSXA

tOI """""""' 0JBnl3A0 ep elsel€0 r """""""'

rnlnrq8unrrl eue n4ued olruuJoJ 'rnlnrq8unul srJcsuJ rnlncJec ezel 'sucsurnoJrJ rnlncJoc eze1g 'S

66""""""""' 'rolrrnrq8unul sore^loze1 ',96""""""""' oirleuoe8 ur relecs rnlnsnpo,rd a1e rdecrldy 'g

t6""""""""' """"""""rlnsnursoJ eureJooJ'JolrJnsnurs sruoJoeJ 'z

69"""""" "" """"""""'iroJceA rop e relecs Insnpord 'l68""""""""""'yNy-Id vrdJaNo:Ic NI ISIUJShTONODIUI E'IY IIIVII'IdV 'n1p1o1tde3

L9""""""""' orenlB^o op olsol89 """"""""' ouns uI lolesnpord e rS snpo.rd ur Joloruns eoJEruJoJSuBJJ '9

9L""""""""' ""':""""""""""""raiueregrp rS roums ole ocrrlououo8u epricung 'g

8L""""""""' tq8un rSurnleou ele ocrrleurouo8ul elrricurg e4u1 rdeleA 'y

0L""""""""' " uerpuc lnurrd el orecnper op e1nrurod 'e

99""""""""' 'lrZ'Ol Inlu^ralul acl alrugep ecrrlououo3tl rdcung '7

t9""""""""' """"'Jolecre rS roprnrq8un srnspry 'ecre rS rrnrq8uS '1

n9""""""""' 'EIXJENONOCTUJ EC EJNANETE 'lll ln'IOJIdVS

29""""""""' erEnle^o ep elsoI

89""""""""' ""eloqered pnop e eflrzo4 '9

99""""""""' "'gloqurad o ep pieg elderp reun erirzo4 'g

6V""."""""" rrfenceul 'rop lnper8 ep rericutg 1nuures 'V

9r""""""""' """"'Iop inper8 ep redcury eruolouol4l '€

Lt""""""""' et?l1 Inl eprfelag 'rop pper8 ep rerience eere^lozep 'Z

L2""""""""' """"""""""1op lnper8 ep rericung IncUBrDL2""""""""' ""' rerfcunj InJgErC 'rop lnper8 ep rsricurg edrugeq '1

12""""""""' """"""""IOC TnCVUD EC VritNnd rrrn'IOJIdY:)

92""""""""' orBnlB^o op 01s0J

02""""""""' """"""I1nper8 ep grfenceur ep ouelsrs 'g

91 """"""""' """"elncsounrou enop nc 1 lnper8 ep lriunce ep ouolsrs9I """"""""' elderp gnop e olr]€lor lIlIZod ',a1""""""""' "'rrienceul'1 ppe;8 ep rericung Inurues 't8"""""""""' l lnper8 ep rericury €ruolouol4tr 'Z

9"""""""""' pcger8 ee;eiuszerdsX '1 lnpe:3 ap rericury erirugeq '1

s"""""""""' "I]nGVuDECYI1SNnC I'In'IOrIdV:)

st{rudfi3

rlrices:e1ur purrurolop eS (t i

:o:d aluod es !r uqrnc euriqo I

rulauoe8 eereluezerdeg . I

{(e'o)s} = nsw Lil

E \ ,r lnl pp eS : ,tOv tr,,/ (q

rl . (0.__)ul=xgwtl q)

1-lJ e.\lozeJ ag :xgw lr2 (e

'.m1 rnlncger8 erfcesrelul .a <- 1, : J gurJe ertcung .: <- I : J guge erfcung .I.f ) l 'r' <* ul : _/ erfcung .

,,,fip.'#yr,P-#r g ars'

Y)rtrYtr9.].\.?J YII,INIIilO

.&.e

q,P:r:'

u V::t,

t2t6t62025

272727

314549555862

n# ffii

DEFINITIA FANCTIEI DE GRADAL I. REPREZENTAREAenartc,4

o Functia /: iR -+IR,"/'(x) = ax*b, a,b e1R.se numeqte func1ie afini.o Functia afind f :R -+]R.,./'(x)=ax+b, a*0,b eR se numegte func(ie degradull.o Functria aftnd f : iR -+ iR, /'(:r) = b ,b e 1(t se numegte funcfie constanti.r Interseclia graficului funcJiei de gradul I cu axele de coordonate:

a),{; nOx: Serezolvdecua{ia ax+b =0,a+}gi seobline * =-b. Rezulticda

6, aox={oc!, I

t o o)l'

b) &, nq: SedI lui xvaloareazero qi secalculeze f(0) =b.

4 aoy = tB(O.b)l

64

64

66

70t)16

. Reprezentarea geometricd Q a graficului func(iei de gradul I este o dreapti. Pentru a

ob{ine curba Q se poate proceda in doui moduri:

1) Se determinl intersecliile graficului funcliei cu axele de coordonate. Se oblin punctelehl(-: , 0), B(0, b) , se reprezintd punctele in plan, iar ,!, = 13 .

a

2) Se determini doud puncte ale curbei F4 , altele decdt punctele de intersec{ie cu axele de

coordonate. Se atribuie lui x doui valori la alegere gi se calculeazd valorile corespunzdtoare

alefunc{iei.Seoblindouipuncte A(x,f(xr))Si B(x,f(xr)),iargraficulfunc}ieiestereprezentat de dreapta AB .

r Fie 1 c iR un interval de numere reale, 1 + lRi .

Func{ia g:I -+ lR.,S(.r) =ax*b,a +0este o restric{ie afuncfiei de gradull /:iQ -+.R.

f (x)= ax+O,a *0. Graficul funcliei g este un segment de dreaptl dacd I este un interval

mdrginit sau este o semidreaptd dacd I este un interval nemdrginit.

Fie func{ia f :R -+ ilR,./'(r) =ax*5,a eLQ.. Sdse determine a gtiind cd:

,l(-Z,t) e ,..1, , b) A(a-2,5) e /7 .

a) Condilia A(-2,1)e/4esteechivalent[ctt f(-2)=l.Dar f(-2)=a(-2)+5=-2a+5Rezulti cd -2a+5 = I , ecua{ie din care se ob{ine a = 2 .

b) Condilia A(a-2,8)e,!, este echivalentd cu f(a-2)=S adicd a(a_2)+5=8. Se

Funclia de gradul l

-

u.\ pLANA..................... 89.. .. 89

83

87

93

9699

l.a)

#rrtyfa$ ##x*.*i*r: *411-il lrlf,lltfri .:

rffi?w{s{Y1w

I InperE ep erisund9::Ie_vs_vr_r_-_oJu!3lgyxcrJYl!_E{y4___reury elecgerS pc eler€ es pS (qrl IsJlsB rrl ourrurolop es ps (e

: t rdcuq ep BrtrrueJ elC 'II- . t?

= fi-'z)v lnlcund 1gcu1

' . <- U1 : 3'7 eltdcung olC '0I

s ( S'Z)S'(t-'t)V eVun' lCVlg e{cury eururo}op os pS '6

'(s-'s)s rs (1'r)z

-7 uricury eurrrrolep es pS '8

. tr9 . (g,t_)v

) l-'1- (- 11 : ,/ eticun; etg 'L

' 'c= (v-tu7-'1+w)fr i'', {-;l: / eticung etg '9

irnlncger8. i r 'r +-- 5:r/ e{cury erg 's

: ,7 erfcung eurruJolep os gS 't

I 0'a-)Z elelcund ul oleuopror

:,7 eifcurg euruJelop os pS 't. g,t

= (e,z)a

erlrunJ euluuolep es pS 'Z

ericurg euruuetop os pS 'I

G,'a:lJ I

t '8t.t

(9'o

.E=ro,l-=t,

ru1ued euriqo es rsldsrprrues uaurErr6 lupseJl o rodu rS ee ed ep elcund

gnop tupuruueleq 'pldeerprues o else / rerlcunJ IncgBJD

/ redcurg lncga8ezesB4 es qS ' Z + r- = (x)_f'U <- (oo+'E-] : ,/ eqcury proprsuoc oS 'S

uie;e.rdns ose @ rs eleuopJooc op olox€ ep glelrrurlep efegerdng (q

: gV e1deery gzeesel4 es rS ueld uI g IS y elelcrmd gluue;dar eg

-r€0-9+xZ-€0=(r)/

:'6v Lg:oleuoprooc

ep elex€ nc @ oqtnc eyrfcese4ul rupuruuepq (e li

tS eqtncrs aleuoproocop elaxe ep elelnuq eueld refe;e.ldns erJe ezolncl?c es gS (q

' @ eqtnc ezeser es pS (e

,- . v z _ z _,ron, '(aIJe eP IlEIIun) '- = :'x'''", SZ- J =,r* -'aut V :asefggvl

-seue rS cq8unlde;p else ggV 1nrq?unqj.'goy grepqErmul :

' g+xZ- = (r)_/''U <- U:"/ edcurg erg 'n

Q'Bri gy e1deary alse @ eqtnS t:

'G'DVeg=(i{ €l=r n4uod 'E

@ =S=(O)./'O =x :ngv@ 'A '{(s'o)a} =

now

(z)

]to'1r, I = *ou '? €! [s)- s

'. .t

'. .lI I_

:ere8eleBI rrol€^ pnop r Inl pugp rrolul ep leqel un ruglalduro3

'oleuopJooc op elexe nc eprfcesarlur

ep olrJeJrp erelsece o1e epund pnop pursoloJ y'g eqnc ezase$

es pS ' Z + r, : (r)./'U <- M : -/ erfcutg preprsuoc eS .€

(t 'SU) ' Sy = b eqrnc EzBesB4 es rS (e el eleumuelep BrS y elelctmd [6x uewayec 1rueder ul plurzerder eg (q i ' {G'O)s} =

now t;f; autlqo eS '9 = (O)./'O = x :'gw t@ ;

{(o's)r'} ='ow f9 $

pcplpzeg'€=r€ O=g+xz-e6=(r)7 :'gw@ 1e ii

'e{curg cgur8 elurzarder es pg (q

''O \S'O olex€ nc

1e{curg mlncger8 elu arfcosrelur ep elelcund euuuolap os gS (e

' 9 + rZ- = (r)./'U +- N : -/ '1 ppur8 ap erf cung Ereprsuoc eS .Z

ep{n1os IS 9I = V nc '0 = E-oZ- rr rop lnper8 ep arfence au{qo

(o'E)

ailfi*iaxg

' | "' f)'(z'l)' (z'o)'(['I-)

r 1ruadar ug rupluezerdeg

Z+ x- = (x)J

:Fole.\ 0p Inloqetr lurnlPclv

-,rml cuer8 elurzerder es pg '9

a: rrsa / re{cung IncUuJC

r :.'t-] 3 0 eeJ€ole^r rnl

niuo rS S = (g-)/ pl1nzeU

riirle a = -l , at =3 .

a lB: fl @2.3)rtala

Rezulti f (-3) = 5 qi originea semidreptei este l(-3,5) . Ddm

lui x valoarea 0 e [-3,co) . Rezulti ce f(0) = 2 $i se obline punctul B(0,2) .

Graficul func{iei I este semidreapta IAB redatd in figura 4.

6. Sd se reprezinte grafic func{ia: /:lR + lR,,f(*) = {-.* 2'x <0

| 2 .x>0Alcituim tabelul de valori:

Reprezentdm in reperul cartezian xOy punctele cu coordonatele

(-1,3),(0,2) ,(1,2),(3,2). Curba S, este trasati in figura 5.

1. Sd se determine tuncfia f :]R *+ n,,f(r) = ax+b qtiind cd: f(-t) = Z qi f (Z) = -+.2. Si se determine funclia f :iR. *+ n, /(r) - ax-tb gtiind cd punctele l(-5,-5) $i

a(z,e) e ,9, .

3. Sd se determine funcJia f : iR' -+ ii., ./'{r) = ax + b gtiind cd graficul sdu intersecte azd axele de

cordonate in punctele A(-2,0)9i f (O,Z) .

4. Sd se determine func{ia /: itt -+ n,,/ (r) ={'::u:- 1-1, $tiind ca /(o) = + qi f (:)= -r.l-bx + ct,x > I

5. Fie tuncJia f : il -+ Lt../'(.r) = -2x+ l. Care din punctele A(O,l),8(4,7),C(23) aparfin

graficului?

6. Fie func{ia f : iR -+ l*',./ (r) =3x-2. Si se determite m eR pentru care punctul

A(m+1,-2m-4)eG, .

7. Fiefunclia f :R-+n";'(*)=(ri*l)t_2tn+l,meR. Sisedetermine mastfelitcdt

,t(-r:) e ,{; .

8. Si se determine funclia f :D -+ -Ii,D g lR al cdrei grafic este segmentul [,af] , unde

A(-4,1) ei r(s,-a).9, Sd se determine func{ia D -+ IR"D c ilQ, al cdrui grafic este reuniunea segmentului [Zf] li[,nc], unde A(3,-t),8(2,s) ri C(2,:) .

10. Fiefunc{iile /,g:lR -+ x,/(x)=2ax-b qi g(r) =-x+3b. Sisedetermine a,beRastfel

incdt punctul A(2,-l) e /1, r-t /t, .

11. Fie familia de func{ii fi :,Q + ie,./,, ("t) ={*m+3}x+2m -1,m e lR.

a) Si se determine z astfel incdt func{ia {,, sd fie constanti;

b) Si se arate cd graficele funcJiilor f^trec printr-un punct fix.

te-info - CLASA alX-a Funclia de gradul l F

f(x)=-x+z 3 2 1,/,/,/,/,/,/,/,/,//f(x) = 2 ,/,/,/,/,/,/ (2 2 2

uprafelei

I InperS op ericunc

- . rt '9 * *'--.* = lx) J (e -InirunJ Bruolouotu rierpnlS 'Z

--{t-r)-,(t+"):(r); (a

: _(.r-r)- r(r-") =(x)J (c

17+xg= (r).1 (e

rrirun+ Bluolouout tieztcer4 'Io.tos,t?x1

runJ ruo,\e 'Z- = M ru]ued

tirun3 urs,r,e 'Z = tu 1Li4ted

) lS O =l- ,M pr qlnzer

il;-)+ ,r(v- -*)=(r)l.rapuodseroc ep ee8e1

u eruotouolu ozelpnls es ES

- : / erfcun; Eroplsuoc eS 'S

)liipuoJ etuud nc pugleJoJ

. = (r 'o)7 erirPuoc urq

futs Jtsc / oooJeoec

, , rd oJuolEcseJcsep ]olJjs olsa

r i : ' <- tr: J edcury etg 'tnr :rso L- xT= ir){ry :):! truts elso ericun; ElseecY

> r, i :: ed ereolecseJcsep

.r trrrls ericutg elss / (e

t €ruolouoru ezeztce.rd es pg (q

I Eruolouoru azeztcerd es 95 (r

'E I altticung Ereptsuoc eS 't.l -= ut €> Z>lrulo ?) zw- * ,Lu eJ urfrpuoc uound

]]sE -- l ,.,1 eultuJ3lop 0s PS

- - :./ edcung preplsuoc eS 'i

9rlpe '0 > 1- tu qcecl

t < r('rt I

' r,ir,:o ft'): r,, -::",:'r:.^]=(,), (p

1 rr'1*r-] zlx'9+xE-)

:[o'*-) > )c't+xT- = 1r); (O ly = r,1-rg =(r)J (e

: tricury roloreoleruJn elecger8 ezesa:4 es pS .ZI

e-xle vsvTl - oJur-o]?u ySIJyI IaJVhl

'yiedereolgcseJclcrrlselse / ericung'("o+'1))Mgxrpe,0<I*rugJEq.l-ta=D (J

'..i.\ od eruolqrsorc lcrrls alse / elicurg pc ptpze5 .O.l= o f,q

')ri ed ereolgcsercsep lruls otse / ericury Ec €]1nzo5 .0 > !l- = n (e

r*tu'z+r(r- ur):(r) t (r ,*l=g1l @:g+xgy-=(.)l L

:uud eyugep ti <- E: ./ royrricun3 eruolouoru ezezrcerd es gg

r Tnovag flo rflrl)Lrnd ul loJoNol[ m

1,lcoJ,red 1er19d erl es (")./ lgrul lcJ]se ";7/ r r eJsrxg ' E+ xv: 1,r)./ ,ur e u :

-/ ericung elc .6r(tqctJg D.ttUtpa-JnA o-X[ n DSDI) D)ttlmail)ut ap awalqo.td rl rtltc.taxg)

',t > -rA'l+(-r) / > -. > (t+r)./ recut le3]su'.U + Ei :r/ epdcuq euruualep es gS'8I' t < rA'I +@) t : (t+u) / rsr = (r)/ gc purrlS'Er e .N : J vrlcunl aurrurolop es qS .l,I

[O'e-l = .{ur1 }gcut loJ}se C ourruotep os ES' Z+ry = (r)/'U <- e : } etlcuryelC .9I

([S'r))"1 ourrurotop es ps (u Inlcund'lenlualo'pursoloJ (q

Ire{curg pcge"r8 culeruoe8 elurzerder os gg @' t+ xZ- = (")"/ 'U (* )I : _/ eyicury ol.{ .SI

' xo exe ozolresJelur nu PS nPS

pcge.r8 lgruJ leJtss r.il aunurolop os gs . ,Xi e ru,1--tu + x = (x)/'U +- [O,m_): / udcuq olJ .rI

'Pcge-r8 epoloul 13 pursoloS ' * = (r).1 urience o^lozor os gs ' 31 lnrircrexe ulp elrrfcung rutuod .€I

[z'o]=x'g+[r7]=(")y (! :11=r'(7+r-,1+r9)urru =(*)J (t

i ;r > r'(rg'1 +r-)xeur = (r) / (Ui 61 >x'ls-rl+lrl=(r)7 (B

(u

.I

: i51= r'11+rz-]= (")y tt

:(m+'1] > x'xE= (r)y ("

'.r, ed eJeolqJSeJJSep lJtJls else

'i od eluolecsolJ ]crJls also

. " (J'J, '{l ,: /1 {t j-.\?r . { I } /

/ uricury '0>D pxee (q

/ ericung 'g < o gceg (e

'iY <- tr : 11 etlcunJ erg

.??f j!.${rdry . i e} t,1 3 "d {$

DarDAlozar n"4uad otqagoag )!t: NI(INIS SCYWSI

]t,i j1irsg1i1s-1j.,\g/Ii

3

c t l'(.v) = 3x,x e [t,+*) ;

r'r I ("r) = l-2-u + 11,.x e ,R. ,

)..v e L;:l

: . folosind gi metoda graficd.

:;:r-rine li astfel incAt graficul

:, .:rcit Im/ =[-:,0].':- )-l1r),t.vttzl.1'{i)+l,V.rei..;'.r tt LY-a RMT-eclitura Brt.chi)

- r r ) sa fie pitrat perf'ect?

itr+I

3iii :tilct crescdtoare pe lR.

re-rntb - CLASA a IX-a

.i) fl*)=-!r*5. ze - l-r]:m-3.m+2-

cr f (r)- A**7.m e '. -(,2\:' m-z

runifia a" giadul t-

b) t'(*)=(*2 -+m+z)x+s;

2m -1d) f(*): ?*+4.me R-{l}:' 3-tn

Dacd m-l< 0, adicd m e (-cr,l), func{ia I este strict descrescdtoare pe lR.

2. Se considerifunc{ia /':,tR + [R,/(r)=i;a' -+)r+1. rur e !;.

Si se determile m e R. astfel itcdt I sd fie strict descrescdtoare pe rR.

Punem condilia ca m' -4 < 0. Inegalitatea se scrie sub fonnd echivalentd astfel:

m' < 4 el m 1< 2 c> m e (-2, z).

3. Seconsiderdfunciiile f'.g,h:s-+D.l..l'it)=3x-1, g("x):-2x+t, n(x)=-x+4.a) Si se precizeze monotonia func{iilor /', g, h.

b) Si se precizeze monotonia func{iilor f ,. v qi g " fi.

a) I estefuncJiestrictcrescitoarepe,.it (a:3>0).Functiile g$ih suntfunc{iistrict

descrescitoarepe -Ft (a<O). b) Avem /,,g:P,-+.R, (/'.,g)(r)=./(g(r))=-6x+2.

Aceasti func{ie este strict descrescdtoare pe ,t (o = -6 < 0). Funclia g,. /u : ,li' -+ lli.

(g l,i(,t) "='2.r -7 este funcfie strict crescitoare (a = 2 , 0).

1. Fie func{ia / : R. -+ fir, /{r) .= (nt_1)x+m' -9, m +l. Sdse determine rz el,P. qtiind ca I

este strict descrescitoare pe ir qi graficul func{iei conline punctul A(0,7').

Deoarece I este strict descrescitoare pe ri, rezultd cd m-l< 0, adicd me(-rr,l).

Dincondilia A(0,7)erro reziltdca /'(0):7, adicd m'-g=7. Seobline me{-+,+}.Coreldnd cu prima condilie se oblinc soluiia m - -4.

5. Se consideri funclia l': i<. -+ ri<,,/(r] =(*' -s)(*_l)' +(x+l)' +3nx, m eP".

Sd se studieze monotonia func{iei I qtiind c[ / este func{ie de gradul L

Legea de coresponden{d a func{iei I este

/ (r): (*' -+)*' +(-z*' +3m+12)x+m' -4. Deoarece I este func(ie de gradul 1

rezultdcd m2 -4=o si (-z*'+3m+12)*0. Se obline me{-z,z}.

Pentru m -2, avemfuncfia f : i --+ n,l (*) = 10x, functie strict crescltoare pe R'.

Pentru m: -2, avem funcJia f : l{t -+ ,R, f { ) = -2-i;, functie strict descrescltoare pe i1{..

Exersare1. Precizali monotonia funcliilor f :1R -+ lR definite prin:

a) /(r) = 3x+7; b) f(*)=6x-2;c) f (*):(,-1)' -(t -*)'; d) f (r) =2(x-3)2 +(z-x)(zx-t);

e) /(,)=(.t+r)3 -(,*l)'-6(r+t)(x-+); 0 f (,):{-rLr'-x-l2. Studia{i monotonia funcliilor f :l?. -+ r.< definite prin :

-) )+q s+r) + l= (_")/ (r:) zq zD)

)+q q+D )-;-;-r J=(r)"

(q

) n .l O\__t. +l_+Ll=(*)J (€

' zc zq ,o)ttlctmy euolouou delpnrg 'IZra lncger8 rS g ed eJeolpcseJo

= D oloJatunu IieurruJeloc '02

x = (61+rg)Bs+(y+x)1 (c

rs = (1-xe)a -(z+x)Ie (q

'. - xu = (t- xz)B -(e+ x) I (e

nU Eruolouotu lfeupueleq '61

.(re)/ 5 rg 5 (p+rg); (u

rllcurg tpolouou lleacs.r4 '91

(7 +x)/(1+r) *(, * z) l* (e

,urg Eruolouoru {€ultuJeloq 'lI.3 ,

r/ rerfcury

= (.r)/ ' NI <- Ej : 3'] etg ,91

-xtz-w\),l=(r\.{,} <_ }:J;r'w+xt)rol€^ oluol auruuolap es ps 'sIir Ie-Ilse 'Ul 3 rr 1ieuuueteq (Q

Q laJlse 'UI = zr rieutureleq (u

I t )/ 'U <- U : -/ edurg sgg .71

'X11 ed puolouoru orsa

uol€^ eleol eullur3lop 0s 9s 'tI'21 ed aruolpcsoJcsep

rur laJlse y = z rfeuruuolec'ZI

l lnpurE ep uricungn-XIn YF_YJQ_ oJ"t-?tn- yQlrvryarvr,t _ _ ffi'u ad

'M <* tf : / edcrng lgcul IeJls? 'U a p fleunrue1eq .y1

-_ )' (<a s"'-l =(xl t (p : 0(r't-xZ- l=frt, t,Z>x'l+xL-l 0>x'l+xV_l \,/

'::::-11.!=t"), (q :t!r'r*"'.| =(*t/ (uL>r C-]Lj l<x.t_xz)

'El e )l : / epricuqg ru1ued eruolouoru ep elele^telu1 lluunureleg .g1

. 8,,t1 ,t1,,31 ropricurg Bruolouou az ep ericurg u1 riulncsp 13 riezrcer4 (q' q'3'J ropricury uruolouotu z op erfcun; u1 delncsrp rS rfezrcer4 @

'{t't-}-tii =,eritzod 6*"(t- r*)= (*)u'v + xs-= (r)a \+ xv = $).{'ui <- w'. q'B' J alricury erg .6

'erBolecserc lsrJls slso J' t, J tcu1]7e'1 lnperE ep ericury o else / pcEp EJ liurlsuoueq .g

'g+xs-=("):,t+xv-=(.)l (p it-xt_=(r)a,t+xz=(.)l (c

iy+xg=(*)a ,E+x-=(*)l (q ie _xv = (")a 1+xE=(x)J (e

i elrmzecu1 J' "3 IS 3. _/ n3,.8'{,,./ ropricun; eruolouoru flerpn1g .U+-U:B,r/ apricurgnep os .L

'r3e4u1 uinlos plnupe ps MZ- = (.) I ulfence tgcul IoJtsB gi > aa rieururreleq (q

. / rericung rnpcge.rE purj:ede p, (ez- wv, z(Z* *))rplcund lgcul IeJlse p1 > ra rieunu;elep ,

Uj ed ereolpcserosep lcrr1s else / pceq (e

{z*}-ur = u, .,,,t**ffi=1x)/',}i +-u:-/ etd .9

( t-tu\z=lu * )"/ tgcur 1a3lsu I tl -z> z rieuru;e1eg (q

.r/ raricun3 rnpcger8 purfuede gs(1_*g,1_w)fInlcund lgcul IaJtsB y1 > ut rieunuelap .

U od eruolpcsero lcr4s elso / pceq (e

'Z+r(t-ru)=lx)1 .U<*U:-/ atC .S

' / rericung eruolouoru ferpnrs (e plcund el1,rzye r.n ru1ue4 (q'1 lnper8 ep ericury o eU ps / tgcul loJlse hi = tu rieu:ruuteleq (B

ut3 rll oxwg-.(e +")+ ,(z_ r)(t**s- z*)=@)l 'dt <- tJ : J eficuryEJeprsuoc es .n

'(,*)l >(*)t @ :(*-s)t,(*)t (c :(t)t <(s-)t (q :A)t >(r-)y (n

"elrtnzecu1 ' / rericury €ruolouoru {elpnts . *E+*(z-zrz)= (r)/ ,U <*

[zi- r, >tu't+***3-Y-=U)l UF- ,w

y: / edcury gJoprsuoc oS .€

:***(r- r*)=(")J (e

1<x'9+rloreolErserroUps l= x'Dl=?)l

1r*'1**gJ

{

---r-rn-1.m€R*121.iialti monotonia funcliei 7 , in

: dt f (*)< f (*')t -{,r- 3)2 -5mt, meNl.

, incat puncful

iel incdt punctul

striutii intregi.

,-._* g,/"g$i g"f in

= _ir .- ,1;

r=-5_r+6.

esre strict crescltoare.

.'1=(m2-l)x+9 poziqia

h

.-r..t<.1

.r = 1 sd fie cresc5toare

--<.,r>1

%

te-info -CLASAaIX-a

12. Determina[i a eii( astfel inc6t funclia f : nQ + R,

descrescdtoare pe lR.

13. SA se determine toate valorile lui z e J.R pentnr care f: lR -+ R , f (*\ - {zx -t' x <t

'\ / l-mx+m+l.x>l(Universitatea Politehnicl Timiqoara, 2004)

l-2x+3. x<-2

f l*) = la, x el-z,t)

l-x+3, *>3sd fie

este monotoni pe IR..

14. Fie tun{ia f :R -+lU^+2)x+5, xSl

llt -3m )x+9. x > I

a) Determinali m e IR, astfel inci.i" / si fie crescdtoare pe IR .

b) Determinali m elR, astfet incat f (l) s[ fie valoarea maximd a func]iei.

15. SA se determine toate valorile reale ale lfi m , pentru care funclia

l3x+m. x<lf:i-+*.1(x)=], -, sdfiecrescdtoarepelR.

l(m-2)x+m-5, x>l

,6. Fie rg:R_+R, f(x) ={::r;^:::o ris(x) ={_;;:.r:;:, precizarimonoronia

tuncliei f .-,g.

17. Determina{i monotonia func}iei f : R. -+ Ik care verificd relafia:

a) x7(z-x)+(x+t)/(r+2)=8r+3, VxeiLR ;b) tf (x)+Zf (1-r)= 4x+6, Vxe[R.

18. Precizafi monotonia funotiei f rllt -+ Ill, care verificl inegalit{ile:

a) fQx+a)33xs/(3r)+4, vxelRr b) /fr.+'l s4xs"f (x)+t,vxellR,\4/

19. Determinali monotonia functiilor f,g : IR -+ JR, gtiind cd pentru orice x e lR. au loc rela{iile:

a) f (x+ s)- g( 2x -t) = 4x *3, t(+). r$ -z)= 8x+ 7 ;

b) 3f (x+2)- g(s.r-t) = 2x-5, f (s- x)+2g(A-l.r) =7 x+6 ;

c) f (x+a)*g(2x+13) = x-8, U(;). rA+5)=L*6.

20. Determinali numerele a eV.,be IR., pentru care f: LiR -+ lR. , f (*) ={* * ":' ( -1, .rt.

lax+b. x > -lcrescdtoare pe R qi graficul ei trece prin punctul A(b,a+1).

21. Studiati monotonia functiilor f : IR + R:/ ) ')

"2 a b ")a) f (*\=l ).)+ . --- - : lx+abc, a,b,c eR* distincte doud cite doud.' [b' c' a' c a b)

b) r(*):(r-*-*-*)..1. a,b,c>o

/ 2 ,2 2 , \c) f(*)=lA .n 3-+ c

-a+D+c lx+2017, a,b,c>0distinctedoudcdtedoua.[a+b b+c c+a 2 )

Funclia de gradul I

-

l':