Embed Size (px)
Citation preview
Statica punctului material
Mecanica I 1
CURS 7
STATICA PUNCTULUI MATERIAL
CUPRINS
7. Statica punctului material ….……………………...………...………...…………………1
Cuprins……………………………………………………………………………………..1
Introducere modul………………………………………………………………………….1
Obiective modul...………………………………………………………………………….2
7.1. Generalităţi …..........................................................................................................2
7.2. Echilibrul punctului material liber ........................................................................3
Test de autoevaluare 1 ..................................................................................................4
7.3. Legături. Axioma legăturilor ..................................................................................4
7.4. Echilibrul punctului material cu legături ideale ..................................................7
Test de autoevaluare 2 ..................................................................................................8
7.5. Legile frecării de alunecare. Echilibrul punctului material cu legături cu
frecare .....................................................................................................................9
Test de autoevaluare 3 ................................................................................................11
Bibliografie modul……………………………………………………………………………11
Rezumat modul……………………………………………………………………………….11
Rezolvarea testelor de autoevaluare………………………………………………………..…12
7. Statica punctului material
Introducere
modul
Cu acest modul începe studiul primei părţi a Mecanicii teoretice,
Statica.
În acest modul se vor introduce noţiuni importante în Mecanică,
cum ar fi: grad de libertate, punct material liber, legătură, punct
material cu legături (ideale şi cu frecare).
Se vor enunţa axioma legăturilor şi legile frecării de alunecare.
Statica punctului material
Mecanica I 2
Obiective modul
După parcurgerea acestui modul cursantul va şti:
- să definească noţiunile: grad de libertate, punct material
liber, legătură, punct material cu legături;
- să exprime echilibrul punctului material liber;
- să exprime echilibrul punctului material cu legături ideale;
- să enunţe legile frecării de alunecare;
- să exprime echilibrul punctului material cu legături cu
frecare (legături reale).
Durata medie de
studiu individual
2 ore
Acest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în
acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare.
7.1. Generalităţi
Punctul material este unul dintre modelele utilizate de Mecanica teoretică pentru descrierea
corpurilor reale. Prin punct material se schematizează corpurile cu dimensiunile neglijabile în
raport cu dimensiunile problemei studiate sau corpurile pentru care nu interesează geometria
în problema studiată.
Un punct material ce poate ocupa orice poziţie în spaţiu se numeşte punct material liber. Dacă
punctul material nu poate ocupa orice poziţie în spaţiu datorită unor restricţii de natură
geometrică (punctul material este obligat să se deplaseze pe o anumită suprafaţă, pe o curbă
sau să rămână într-un anumit punct) atunci se va numi punct material cu legături.
Fie un punct material liber P. Poziţia lui în raport cu un sistem de referinţă Oxyz se poate
exprima cu ajutorul a trei coordonate scalare, numite parametri de poziţie. Dacă punctul
material este liber, cei trei parametri de poziţie variază independent unul în raport cu ceilalţi şi
se vor numi parametri de poziţie independenţi. Rezultă, că pentru a caracteriza mişcarea unui
punct material liber va fi nevoie de trei parametri de poziţie independenţi pentru problema în
spaţiu şi de doi parametri de poziţie independenţi pentru problema plană.
Pentru modificarea poziţiei punctului material liber din poziţia P în poziţia P1 (figura 7.1) se
pot efectua trei mişcări particulare independente (în spaţiu) şi două mişcări particulare
Statica punctului material
Mecanica I 3
independente (în plan). Posibilităţile independente de mişcare ale punctului material se
numesc grade de libertate. Rezultă că punctul material liber are trei grade libertate în spaţiu şi
două grade de libertate în plan.
Se observă că, pentru un punct material liber, numărul gradelor de libertate este egal cu
numărul parametrilor de poziţie independenţi:
7.2. Echilibrul punctului material liber
Fie punctul material liber P, aflat în repaus. Pentru ca punctul P să rămână în repaus după
acţiunea unui sistem de forţe concurente , trebuie ca sistemul de forţe să producă efect nul
(sistemul de forţe să fie în echilibru). Cum pentru un sistem de forţe concurente sistemul
echivalent cel mai simplu este rezultanta acelui sistem de forţe , condiţia de echilibru se va
exprima vectorial astfel:
Scalar, condiţiile de echilibru sunt:
Pentru uşurinţa exprimării se va spune că punctul material este în echilibru, deşi sistemul de
forţe care acţionează asupra punctului material este de fapt în echilibru.
Se diferenţiază trei tipuri de probleme:
problema directă – fiind dat un punct material liber acţionat de un sistem de forţe
concurente se cere determinarea poziţiei de echilibru a acestuia;
O
z
y
x
P (x,y,z)
P1
x
y
P (x,y)
O
P1
Fig. 7.1. Modificarea poziţiei punctului material liber
Statica punctului material
Mecanica I 4
problema inversă – se cunoaşte poziţia de echilibru a punctului material şi se cere
determinarea sistemului de forţe care determină punctul să ocupe acea poziţie;
problema mixtă – se cunosc o parte din parametrii de poziţie ce definesc poziţia de
echilibru şi o parte din forţele ce acţionează asupra punctului material şi se cere
determinarea celorlalte forţe şi a parametrilor de poziţie necunoscuţi pentru acea
poziţie de echilibru a punctului material considerat.
Test de
autoevaluare 1
1. Câte grade de libertate are un punct material în plan?
a) 3
b) 1
c) 2
2. Enunţul ,,Posibilităţile de mişcare ale unui punct material se
numesc grade de libertate” este:
a) adevărat;
b) fals.
3. Exprimaţi vectorial condiţia de echilibru a punctului material
liber.
Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la
finalul modulului.
7.3. Legături. Axioma legăturilor
Se numeşte legătură orice restricţie impusă punctului material în posibilitatea de a-şi modifica
poziţia.
Fie punctul material P legat de punctul fix O cu un fir ideal (fir fără masă, inextensibil ce nu
opune rezistenţă la comprimare) din
figura 7.2.a. Este evident faptul că
punctul P nu se poate deplasa decât în
interiorul sferei de rază l.
În figura 7.2.b firul s-a înlocuit cu o
bară rigidă ce se poate roti în jurul
punctului fix O. În acest caz se
O
P
l
fir ideal O
P
l
bară rigidă
a) b)
Fig. 7.2. Legătură simplă
Statica punctului material
Mecanica I 5
observă că punctul material P este obligat să se deplaseze pe sfera de rază l.
În ambele cazuri, punctului P i s-a suprimat posibilitatea de a se deplasa pe direcţia firului şi
anume: în primul caz într-un singur sens al acestei direcţii (in afara razei l) respectiv în
ambele sensuri ale direcţiei firului în cel de-al doilea caz. Rezultă că punctul P se poate
deplasa pe două direcţii independente (direcţii perpendiculare pe fir, respectiv pe bară), deci
va avea două grade de libertate. Cum un punct liber are trei grade de libertate în spaţiu, este
clar că această legătură a suprimat un grad de libertate punctului material. Se va spune că
această legătura este o legătură simplă
De asemenea, dacă o legătură suprimă deplasarea într-un singur sens al unei direcţii se va
numi legătură unilateră, iar dacă suprimă deplasarea punctului în ambele sensuri ale unei
direcţii se numeşte legătură bilateră.
Dacă se consideră un sistem de referinţă cartezian cu originea în punctul O, coordonatele
punctului trebuie să respecte condiţiile:
pentru legătura unilateră:
pentru legătura bilateră:
În general, o legătură unilateră va fi exprimată printr-o inegalitate de forma iar
o legătură bilateră printr-o egalitate de forma (egalitate ce reprezintă ecuaţia
unei suprafeţe). Deoarece o legătură simplă suprimă un grad de libertate punctului material şi
introduce o dependenţă între parametrii de poziţie, relaţia
este adevărată şi pentru cazul punctului material cu legături.
Din alt punct de vedere, există legături simple (suprimă punctului material un singur grad de
liberate) sau legături multiple (suprimă punctului material mai multe grade de libertate).
Un caz de legătură multiplă este prezentat în figura 7.3, unde s-a considerat un inel P de
dimensiuni foarte mici aflat pe un cadru circular în plan vertical. După cum se observă, inelul
P nu se poate deplasa decât pe direcţia tangentei la cadru (deplasările pe direcţia razei cadrului
Statica punctului material
Mecanica I 6
circular şi pe direcţia perpendiculară pe planul cadrului
sunt suprimate), adică păstrează un singur grad de libertate
(această legătură suprimă punctului material două grade de
libertate).
O legătură multiplă se exprimă prin mai multe relaţii între
parametrii de poziţie ai punctului material. Cum fiecare
relaţie reprezintă o legătură simplă, se poate spune că o
legătură multiplă poate fi considerată ca o combinaţie de legături simple, deci este suficient ca
în continuare să se abordeze doar legăturile simple.
Fie cadrul circular anterior şi inelul P având greutatea . Se observă că punctul P rămâne în
repaus dacă este aşezat în anumite poziţii de pe cadrul circular. Cum punctul P este acţionat
doar de forţa de greutate el ar trebui să se deplaseze pe verticală cu o acceleraţie
proporţională cu , ceea ce nu se întâmplă, punctul fiind în repaus. Rezultă că acţiunea
greutăţii este anulată de o forţă ce provine din răspunsul cadrului circular la acţiunea inelului
P, adică se poate înlocui cadrul circular cu o forţă (figura 7.4) astfel încât efectul să fie acelaşi
(inelul să rămână în repaus).
Se poate enunţa astfel axioma legăturilor (sau axioma eliberării):
Orice legătură poate fi înlocuită cu o forţă denumită forţă de legătură (sau reaţiune) care să nu
modifice starea mecanică a punctului material.
Dacă se descompune reacţiunea în două componente (figura 7.4): una pe direcţia normalei
la planul tangent în punctul de legătură ( ) şi una în planul tangent ( ) atunci se poate scrie:
P
Fig. 7.4. Axioma legăturilor
P
P
Fig. 7.3. Legătură multiplă
Statica punctului material
Mecanica I 7
unde se numeşte reacţiune normală şi se numeşte forţă de frecare.
În funcţie de existenţa componentei se evidenţiază două tipuri de legături:
legături ideale (legături fără frecare) pentru care ;
legături reale (legături cu frecare) pentru care .
7.4. Echilibrul punctului material cu legături ideale
Fie un punct material acţionat de un sistem de forţe concurente supus unor legături ideale. Se
vor determina condiţiile în care acest punct material aflat în repaus va rămâne în repaus sub
acţiunea forţelor ce-l acţionează. Pentru aceasta, în baza axiomei legăturilor, se înlocuiesc
legăturile cu reacţiunile corespunzătoare. O astfel de reacţiune va avea caracteristicile:
Mărimea este necunoscută şi trebuie determinată din condiţia ca starea mecanică a
corpului să rămână aceeaşi (condiţia de echilibru a punctului material);
Direcţia reacţiunii este normală la suprafaţa reprezentând legătura, în punctul de
legătură (această direcţie este cunoscută, deoarece este direcţia deplasării
suprimate de legătura simplă);
Sensul reacţiunii este invers sensului deplasării suprimate pentru legături unilatere.
Pentru legături bilatere sensul reacţiunii este nedeterminat, dar nu este o
necunoscută independentă, având doar două valenţe. Această necunoscută se
rezolvă alegând iniţial un sens arbitrar pentru reacţiunea corespunzătoare legăturii,
semnul rezultatului confirmând (semnul +) sau infirmând (semnul -) sensul ales;
Punctul de aplicaţie este punctul material.
Prin aplicarea axiomei legăturilor, punctul material devine un punct material liber acţionat
de două sisteme de forţe: sistemul de forţe date (forţe active, încărcări) şi sistemul forţelor de
legătură (forţe pasive, reacţiuni). Dacă se notează cu rezultanta sistemului forţelor date şi
cu rezultanta sistemului forţeor de legătură, atunci punctul material aflat în echilibru
trebuie să îndeplinească condiţia vectorială:
Statica punctului material
Mecanica I 8
Condiţiile scalare de echilibru sunt:
Dacă legăturile sunt cunoscute ca ecuaţii ale suprafeţelor pe care punctul material este obligat
să se deplaseze, atunci expresiile reacţiunilor normale pot fi redate cu ajutorul noţiunii de
gradient:
Condiţiile de echilibru ale punctului material cu legături ideale pot fi scrise sub forma:
Ca şi în cazul punctului material liber, se disting cele trei tipuri de probleme: problema
directă, problema inversă şi problema mixtă.
Test de
autoevaluare 2
1. Enunţaţi axioma legăturilor.
2. Enunţul ,,O legătură unilateră este exprimată printr-o inegalitate
de forma ” este:
a) adevărat;
b) fals.
3. Scrieţi condiţia vectorială de echilibru pentru un punct material
cu legături ideale. Explicitaţi termenii.
Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la
finalul modulului.
Statica punctului material
Mecanica I 9
7.5. Legile frecării de alunecare. Echilibrul punctului material cu legături cu frecare
Componenta forţă de frecare a reacţiunii se poate pune în evidenţă dacă se consideră un
punct P aflat în repaus, situat pe o suprafaţă aspră (figura 7.5.a) astfel: pe un plan orizontal
aspru se consideră un punct material cu greutatea . Punctul este legat cu un fir care trece
peste un scripete punctual, la capătul firului fiind aşezată o greutate . Forţele active care
acţionează punctul material sunt şi şi, datorită faptului că punctul este în repaus, aceste
forţe şi componentele reacţiunii planului (figura 7.5.b) şi trebuie să fie în echibru.
Experimental se observă că există o valoare limită a forţei pentru care punctul material se
pune în mişcare. Această valoare limită corespunde valorii maxime a modulului forţei de
frecare.
Cel care a enunţat legile frecării de alunecare a fost Coulomb (1736 – 1806). Acestea sunt:
1) Valoarea forţei de frecare maximă nu depinde de mărimea suprafeţei de contact
dintre cele două corpuri, iar dacă se produce mişcarea, nici de viteza relativă a
suprafeţelor în contact;
2) Valoarea forţei de frecare maximă depinde de natura suprafeţelor în contact şi de
gradul de prelucrare al acestora;
3) Valoarea forţei de frecare maximă este proporţională cu apăsarea normală pe
suprafaţa de contact, factorul de proporţionalitate fiind denumit coeficient de
frecare de alunecare, notat cu μ:
P
P
a) b)
Fig. 7.5
Statica punctului material
Mecanica I 10
Caracteristicile forţei de frecare sunt:
Mărimea este necunoscută, dar nu poate depăşi valoarea ;
Direcţia este în planul tangent la suprafaţă reprezentând legătura;
Sensul este opus sensului deplasării sau tendinţei de deplasare a punctului
material;
Punctul de aplicaţie este punctul material.
Pentru studiul echilibrului punctului material cu legături cu frecare se adaugă la relaţiile
obţinute din studiul echilibrului punctului material cu legături ideale condiţiile ca forţele de
frecare să nu depăşească valorile lor maxime. Astfel, pentru un punct material cu legături cu
frecare, condiţiile de echilibru sunt:
În inegalitatea exprimată mai sus, indicele k poate lua valoarea 1 sau 2 pentru un punct
material în spaţiu sau 1 pentru un punct material în plan. Se observă că dacă indicele k are
valoarea zero atunci nu există frecare iar dacă acest indice are valoarea 3 (respectiv 2 în plan)
punctul material este fixat (îi sun suprimate toate gradele de libertate), deci nu mai există nici
o tendinţă de mişcare, astfel încât legăturile se comportă ca nişte legături ideale (forţele de
frecare nefiind activate).
Fie situaţia limită de echilibru, când forţa de frecare are valoare maximă (figura 7.6). Se
notează cu unghiul format de direcţia reacţiunii legăturii
cu frecare ( ) şi direcţia componentei normale a acestei
reacţiuni ( ). Unghiul se numeşte unghi de frecare
maximă, iar tangenta acestui unghi este:
Din această relaţie rezultă:
P
Fig. 7.6. Unghiul de frecare
maximă
Statica punctului material
Mecanica I 11
Această relaţie permite determinarea experimentală a coeficientului de frecare la alunecare.
Test de
autoevaluare 3
1. Expresia ,, ” este:
a) adevărată;
b) falsă.
2. Indicaţi enunţul corect:
a) Direcţia forţei de frecare este în planul osculator al suprafeţei
reprezentând legătura;
b) Sensul forţei de frecare este opus sensului deplasării sau tendinţei
de deplasare a punctului material;
c) Mărimea forţei de frecare poate depăşi valoarea .
3. Scrieţi expresia unghiului de frecare maximă. Explicitaţi termenii.
Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la
finalul modulului.
Bibliografie modul
[1]. Hangan, S., Slătineanu, I., ,,Mecanică”, Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1983, pag. 24-25, 28-33;
[2]. Szolga, V., Szolga, A. M., ,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi
îndrumător de seminar. Partea I”, Editura Conspress, Bucureşti,
2003, pag. 85-98;
[3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R., ,,Mecanica Teoretică”,
Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag. 110-129.
Rezumat modul
În acest modul s-a tratat problema echilibrului punctului material. S-
au definit noţiunile de punct material liber, punct material cu
legături, grad de libertate şi punct material în echilibru.
S-a introdus noţiunea de legătură şi s-au clasificat aceste legături.
Pentru calculul efectiv şi pentru scrierea condiţiilor de echilibru s-a
enunţat axioma legăturilor.
S-au exprimat condiţiile de echilibru pentru punctul material liber şi
Statica punctului material
Mecanica I 12
pentru punctul material cu legături (ideale şi reale) şi s-au enunţat
legile frecării (legile lui Coulomb) pentru frecarea la alunecare.
Rezolvare
test de autoevaluare
1
1. c;
2. b;
3. Consultare aspecte teoretice pag. 3.
Rezolvare
test de autoevaluare
2
1. Consultare aspecte teoretice pag. 6;
2. a;
3. Consultare aspecte teoretice pag. 7.
Rezolvare
test de autoevaluare
3
1. b;
2. b;
3. Consultare aspecte teoretice pag. 10.
