Numele unitii de studiu

Mecanic i mecanica fluidelorMecanic i mecanica fluidelorDinamica

1.5.3 Dinamica solidului rigid Timp mediu de studiu: 2 ore Sarcini de nvare: Prin parcurgerea acestei uniti de studiu, studentul va fi capabil s defineasc mrimile dinamice: impuls, moment cinetic, energie cinetic pentru sistemele de puncte materiale i solidul rigid calculeze mrimile dinamice n cazul micrilor de translaie, rotaie, apln-paralele aplice teoremele fundamentale ale dinamicii solidului rigid pentru determinarea unor proprieti ale micrii acestuia. 1.5.3.1 Noiuni fundamentale ale dinamicii sistemelor de puncte i a solidului rigid

1.5.3.1.1 Calculul impulsului

Fiind dat un sistem de puncte materiale S=(Mi), de mase mi i viteze , se numete impulsul sistemului S suma impulsurilor punctelor sistemului, adic

EMBED Equation.3

Impulsul unui sistem de puncte materiale este egal cu impulsul unui punct material, avnd masa egal cu masa ntregului sistem, situat n centrul de mas al sistemului.

Fiind dat un sistem de puncte materiale S=(Mi), de mase mi i viteze , se numete momentul cinetic al sistemului S n raport cu un punct O suma momentelor cinetice ale punctelor materiale din sistem n raport cu punctul considerat

.

Fiind dat un sistem de puncte materiale S=(Mi), de mase mi i viteze , energia cinetic a sistemului de puncte este suma energiilor cinetice ale punctelor materiale care alctuiesc sistemul S

.

1.5.3.1.2 Calculul momentului cinetic i al energiei cinetice pentru sisteme de puncte materiale i pentru solidul rigid n cazul micrilor particulare

1.5.3.1.2.1 Calculul momentului cinetic1) Pentru micarea de translaie

,

unde , sunt respectiv vectorul de poziie i viteza centrului de mas al sistemului de puncte materiale. Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale sau al unui solid rigid aflat n micare de translaie, n raport cu un punct O, este acelai cu momentul cinetic al centrului su de mas, considerat ca un punct material a crui masa este egal cu masa ntregului sistem (solid).

2) Pentru micarea de rotaie (sistemul cu o ax fix)

.

3) Pentru sistemul (solidul rigid) cu un punct fix

1.5.3.1.2.2 Calculul energiei cinetice

1) Pentru micarea de translaie, vitezele tuturor punctelor materiale fiind aceleai, egale cu viteza centrului de mas. Se scrie

Energia cinetic a unui sistem de puncte materiale (solid rigid), aflat n micare de translaie, este aceeai cu energia cinetic a centrului su de mas, considerat ca un punct material a crui mas este egal cu masa ntregului sistem.

2) Pentru sistemul de puncte materiale n micare de rotaie

.

3) Pentru sistemul de puncte materiale cu un punct fix (soldiul cu un punct fix)

.

4) Pentru rigid n micare general

.

1.5.3.2 Teoremele generale ale dinamicii sistemelor de puncte materiale

1.5.3.2.1 Teorema impulsului

Derivata n raport cu timpul a impulsului unui sistem de puncte materiale este egal cu vectorul rezultant al forelor exterioare, adic

.

1.5.3.2.2 Teorema centrului de mas

Centrul maselor unui sistem de puncte materiale are aceeai micare ca a unui punct material care are masa egal cu masa ntregului sistem i asupra cruia acioneaz o for egal cu vectorul rezultant al forelor exterioare

.

1.5.3.2.3 Teoremele momentului cinetic

Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale n raport cu un punct fix O este egal cu suma dintre momentul cinetic al centrului de mas, considerat ca un punct material a crui mas este egal cu masa ntregului sistem i momentul cinetic n micarea relativ a sistemului n raport cu centrul de mas.

,

unde s-a notat

,

momentul cinetic al sistemului calculat n raport cu centrul de mas.

Pentru un sistem de puncte materiale (solid rigid), derivata n raport cu timpul a momentului cinetic, calculat n raport cu un punct fix O, este egal cu vectorul moment rezultant al forelor exterioare fa de acelai punct fix O, adic

.

Derivata n raport cu timpul a momentului cinetic al sistemului de puncte materiale n raport cu centrul de mas este egal cu vectorul moment rezultant al forelor exterioare, calculat n raport cu centrul de mas.

.

1.5.3.2.4 Teoremele energiei cinetice i a lucrului mecanic

Energia cinetic a unui sistem de puncte materiale, calculat n raport cu un sistem de referin fix, este egal cu suma dintre energia cinetic a centrului de mas, considerat ca un punct material a crui mas este egal cu masa ntregului sistem i energia cinetic n micarea relativ a sistemului n raport cu centrul de mas

,

unde s-a notat cu E, E energia cinetic a sistemului de puncte materiale n raport cu sistemul de referin fix respectiv energia cinetic a sistemului de puncte materiale n micarea relativ n raport cu centrul de mas, mai precis n raport cu un triedru avnd originea n centrul maselor i axele paralele cu axele triedrului fix.

n cazul unui sistem de puncte materiale (solid rigid), variaia energiei cinetice, calculat n raport cu un sistem de referin fix, este egal cu suma dintre lucrul mecanic al forelor exterioare i lucrul mecanic al forelor interioare

sau, sub forma finit,

,

unde s-au folosit notaiile

i .

1.5.3.2.5 Teoreme de conservare

1.5.3.2.5.1 Conservarea impulsului

Impulsul unui sistem de puncte materiale (solid rigid), solicitat de un sistem de fore exterioare de rezultant nul, rmne constant.

Dac vectorul rezultant al forelor exterioare care acioneaz asupra unui sistem de puncte materiale este nul, atunci centrul de mas al acestui sistem de puncte are o micare rectilinie i uniform sau, n particular, rmne n repaus.

Dac numai proiecia vectorului rezultant pe o ax este nul, atunci proiecia centrului de mas pe acea ax are o micare uniform.

1.5.3.2.5.2 Conservarea momentului cinetic

Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale (solid rigid), n raport cu un pol O, solicitat de un sistem de fore exterioare avnd, n raport cu acelai pol, momentul rezultant nul, se conserv.

1.5.3.2.5.3 Conservarea energiei mecanice

Se consider un sistem de puncte materiale (solid rigid), acionat de un sistem conservativ de fore, adic sistem pentru care forele interioare deriv dintr-o funcie de for U, care depinde de coordonatele celor n puncte ale sistemului de puncte materiale. Un astfel de sistem se numete sistem conservativ. Atunci

,

,

Dac lucrul mecanic elementar al forelor exterioare care acioneaz asupra unui sistem conservativ este nul ntr-un interval de timp, atunci energia mecanic a sistemului este constant n acel interval.

Exerciii1. Un vagon se deplaseaz pe un drum rectiliniu cu viteza (fig. 1). Cunoscnd masa M1 a caroseriei, masa M2 a unei roi, masa M3 a unei osii, R raza roii i r raza unei osii, se cere energia cinetic a vagonului.

Figura 12. La capetele unei grinzi drepte omogene, de lungime l i greutate , care se mic pe un plan orizontal, neted, acioneaz, de-a lungul axei sale, dou fore i , cu (fig. 2). S se determine acceleraia grinzii i fora de legtur.

Figura 23. Se consider sistemul de corpuri din fig. 3, format dintr-un scripete de centru O i raz r i corpurile de greuti P i Q, atrnate de un fir trecut peste discul de centru O. Se cere s se determine acceleraia cu care coboar pe vertical corpul de greutate P. Se neglijeaz frecrile i se presupune c P > Q, i c n O este o articulaie.

Figura 3Rspunsuri:1. Energia cinetic a sistemului se compune din energia cinetic a caroseriei, la care se adaug cea a roilor i a osiilor.

.

Energia unei roi se calculeaz cu formula energiei cinetice

,

unde s-a notat cu momentul de inerie al roii, n raport cu axa de rotaie, iar viteza unghiular a fost calculat din relaia Se procedeaz la fel pentru osii.

cu , momentul de inerie al osiei n raport cu axa instantanee de rotaie. Deci, energia cinetic a sistemului este

.2. Grinda este acionat de forele exterioare i de cele de legtur , unde s-a notat cu reaciunea normal a planului, a crei mrime nu este cunoscut. Se aplic teorema impulsuluii se scrie

.

Se proiecteaz aceast ecuaie pe cele dou axe de coordonate din figur. Se obine

.

De aici, rezult c

,

iar mrimea reaciunii planului este .3. Se consider c axa Oz este normal pe planul scripetelui, raportat la un sistem plan de axe de coordonate Oxy. Discul are o micare de rotaie, ceea ce face ca momentul su cinetic s fie egal cu . Masele celor dou corpuri, atrnate de firul trecut peste scripete, sunt

, .

Momentul cinetic al lui P fa de axa Oz este , de unde

,

cu v mrimea vitezei comune a corpurilor din sistem. Analog se calculeaz momentul cinetic al celui de-al doilea corp i se obine

.

Deci, componenta pe axa Oz a momentului cinetic este

.Se folosete teorema momentului cinetic n raport cu punctul O. Proiecia, pe axa Oz, a egalitii date de aceast teorem este

.

Momentul rezultant, ca sum a momentelor forelor P i Q,, se scrie

= P r Q r.Prelucrnd relaia de mai sus i folosind , se gsete

.

Se obine

.

EMBED Equation.3

27 October 2010Conf. univ. dr. Angela Muntean1 Academia Naval "Mircea cel Btrn" (ANMB). Orice form de copiere, stocare, modificarei/sau transmitere a acestui material fr acordul prealabil i scris al ANMB este strict interzis.27 October 2010Conf. Univ. Dr. Angela Muntean8 Academia Naval "Mircea cel Btrn" (ANMB). Orice form de copiere, stocare, modificarei/sau transmitere a acestui material fr acordul prealabil i scris al ANMB este strict interzis.

_1196402014.unknown

_1201164712.unknown

_1348556764.unknown

_1348556775.unknown

_1348556811.unknown

_1348556816.unknown

_1348556818.unknown

_1348556820.unknown

_1348556821.unknown

_1348556819.unknown

_1348556817.unknown

_1348556814.unknown

_1348556815.unknown

_1348556812.unknown

_1348556779.unknown

_1348556809.unknown

_1348556810.unknown

_1348556777.unknown

_1348556778.unknown

_1348556776.unknown

_1348556771.unknown

_1348556773.unknown

_1348556774.unknown

_1348556772.unknown

_1348556767.unknown

_1348556769.unknown

_1348556770.unknown

_1348556768.unknown

_1348556765.unknown

_1348556760.unknown

_1348556762.unknown

_1348556763.unknown

_1348556761.unknown

_1201164865.unknown

_1201167933.unknown

_1201164803.unknown

_1196435108.unknown

_1196435246.unknown

_1199194658.unknown

_1199195014.unknown

_1199193304.unknown

_1196658784.unknown

_1196435197.unknown

_1196435207.unknown

_1196435144.unknown

_1196430484.unknown

_1196431265.unknown

_1196431282.unknown

_1196431073.unknown

_1196402759.unknown

_1196402760.unknown

_1196402105.unknown

_1090672559.unknown

_1097865324.unknown

_1097866563.unknown

_1090685444.unknown

_1095570462.unknown

_1090672590.unknown

_1090673112.unknown

_1090670972.unknown

_1090672352.unknown

_1090672330.unknown

_1090083198.unknown