Curs-RM2

CUPRINS

REZISTENA MATERIALELOR partea a II

6 SOLICITAREA LA NCOVOIERE 6.1 Tensiuni normale la ncovoierea pur a barelor drepte........................... 4 6.2 Tensiuni tangeniale la ncovoierea simpl a barelor drepte................. 11 6.3 Lunecarea longitudinal i mpiedicarea ei. Elemente de calculul

mbinrilor ............................................................................................... 17 6.4 Tensiuni principale la ncovoierea simpl a barelor drepte ................. 20 6.5 Deformaii ale barelor drepte solicitate la ncovoiere............................ 21 6.5.1 Ecuaia diferenial a fibrei medii deformate....................................... 21 6.5.2 Integrarea ecuaiei difereniale a ncovoierii barelor drepte ................ 24 6.6 Aplicaii........................................................................................................ 27

Teste .......................................................................................................... 31

7 TORSIUNEA LIBER A BARELOR DREPTE 7.1 Generaliti. Diagramele momentelor de torsiune. Aplicaii ................ 34

7.2 Rsucirea barei de seciune inelar subire. Comportarea materialelor la torsiune...................................................................................................... 38

7.3 Rsucirea barei de seciune circular plin i inelar ........................... 41

Teste........................................................................................................... 47 8 FLAMBAJUL BARELOR DREPTE COMPRIMATE 8.1 Introducere ................................................................................................ 49

8.2 Flambajul n domeniul elastic.................................................................. 51 8.2.1 Stabilirea ecuaiei difereniale i integrarea ei ..................................... 51 8.2.2 Condiii la limit. Formula lui Euler.................................................... 52 8.2.3 Cazurile fundamentale de flambaj ....................................................... 55

8.3 Domeniul de aplicabilitate a formulei lui Euler. Flambajul barei n domeniul plastic........................................................................................ 58

8.4 Calculul la flambaj ................................................................................... 60

Teste........................................................................................................... 62

Cuprins

3

9 SOLICITRI COMPUSE 9.1 Introducere ............................................................................................... 65

9.2 Tipuri de solicitri compuse..................................................................... 66

9.3 Calculul tensiunilor normale......................................................................... 67 9.3.1 Solicitri compuse de ncovoiere cu for axial ................................. 67 9.3.2 Solicitri compuse de ncovoiere dup dou direcii ........................... 68 9.3.3 Solicitri axial excentrice .................................................................... 71

9.4 Calculul tensiunilor tangeniale .................................................................... 72

9.5 Solicitri compuse care conduc la apariia tensiunilor normale i a tensiunilor tangeniale .................................................................................... 72 9.5.1 Teorii de rezisten............................................................................... 72 9.5.2 Calculul arborilor solicitai la ncovoiere i rsucire ........................... 75

Teste .......................................................................................................... 77

10 STUDIUL DEPLASRILOR PRIN METODE ENERGETICE 10.1 Introducere .............................................................................................. 78

10.2 Teorema Castigliano .............................................................................. 81

10.3 Formula Mohr Maxwell. Procedeul Veresceaghin .............................. 82

10.4 Aplicatii ................................................................................................... 85

Teste .......................................................................................................... 88

11 STUDIUL SISTEMELOR STATIC NEDETERMINATE 11.1 Grad de nedeterminare........................................................................... 90

11.2 Sisteme de baz. Sistem de ecuaii de condiie ..................................... 93

11.3 Metoda eforturilor ................................................................................. 94

11.4 Metoda deplasrilor ............................................................................... 96

11.5 Rezolvarea sistemelor static nedeterminate. Ridicarea nedeterminrii 96

11.6 Deplasri n sisteme static nedeterminate ............................................ 98

11.7 Grinzi continue. Ecuaia celor trei momente ....................................... 99

Teste .......................................................................................................... 102

BIBLIOGRAFIE ................................................................................................... 103

6. SOLICITAREA LA NCOVOIERE

6.1 TENSIUNI NORMALE LA NCOVOIEREA PUR A BARELOR DREPTE

ncovoierea pur ntr-un singur plan (zx) este solicitarea barelor cauzat de prezena n seciunile lor transversale a unui singur moment perpendicular pe axa barei (My). Acesta este cazul zonei centrale a barei din figura 6.1, a n seciunile creia, neglijnd greutatea proprie,

N = Ty = Tz = 0 , Mx = Mz = 0 , My 0 . (6.1) Relaia de echivalen (3.1)2 arat c n seciunile transversale ale barei apar tensiuni normale dar nu permite determinarea acestora, ntruct nu se cunoate legea de distribuie a lor, pentru a se putea efectua integrala. Pentru rezolvarea problemei se apeleaz la considerente de deformaie, obinute n urma studiului experimental.

Bara cu seciune simetric fa de axa z. Se consider c bara din figura 6.1, a este prismatic i simetric fa de planul (zx). Pe aceast bar se consider dou seciuni transversale 1-2 i 3-4, materializate pe suprafaa lateral a acesteia prin dou linii directoare. Se consider de asemenea dou fibre longitudinale a-b i c-d, evident perpendiculare pe seciunile transversale 1-2 i 3-4. Experimental se constat c, dup aplicarea momentelor ncovoietoare My , seciunile transversale 1-2 i 3-4 rmn plane i normale pe fibrele longitudinale (ipoteza lui Bernoulli), adic xy = 0. Se mai observ de asemenea c lungimile fibrelor longitudinale se modific i anume fibrele situate n partea inferioar a barei se lungesc iar fibrele situate n partea superioar se scurteaz. Datorit continuitii materialului este evident c exist fibre, numite neutre, care nu-i modific lungimea. Totalitatea acestor fibre determin suprafaa neutr a barei. Intersecia suprafeei neutre cu planul de simetrie (zx) determin axa sau fibra neutr a barei iar intersecia suprafeei neutre cu planul seciunii transversale determin axa neutr a seciunii, notat n figura 6.1, c cu yo. Intersecia planelor 1'-2' i 3'-4' determin o dreapt, a crei intersecie cu planul de simetrie al barei reprezint centrul de curbur al axei neutre a barei. Se noteaz cu p' ' dr s s= lungimea fibrei neutre corespunztoare elementului dx considerat i cu raza de curbur a acestei fibre. Se mai noteaz cu zo distana de la fibra r's' pn la o fibr oarecare a'b'. Sunt evidente relaiile:

p' ' d d dr s s x= = = ; (a) ; d dab x= = p' ' o( )da b z= + . (b)

Solicitarea la ncovoiere

5

z

a

My = aF = const.

x

T

F

F a

z

T =

Myj Oj

d

zz

x

z

dA

z

y

M M

ma

mi

d

dx

M

F

a bc d1 3

2 4

x

a'c'

1'

2'r'J

b

c d

rJ sJ

a

b'd '

3'

4's'j

Cj yj

yj yoj

F

Fig. 6.1

Alungirea specific a fibrei ab,

' '

oo

dd

za b ab zab x = = = . (c)

n relaia (c),

d 1 dd dx s = = (6.2)

reprezint rotirea specific, adic unghiul format dup deformaie ntre dou seciuni transversale, care nainte de deformaie se gseau una fa de cealalt la distan egal cu unitatea. n cazul n care este necesar (la ncovoierea n dou plane), unghiul se va prevedea cu indicele axei n jurul creia are loc rotirea seciunii; n cazul de fa, se va scrie y. Datorit ipotezei lui Bernoulli i simetriei grinzii, rezult zx = xy = yz = 0, deci zx = xy = yz = 0, conform legii lui Hooke generalizate (4.103). Dac se admite c fibrele longitudinale nu se preseaz reciproc, adic y = z = 0, rezult c starea de tensiune ntr-un punct din interiorul unei bare solicitat la ncovoiere pur este o stare monoaxial, determinat de tensiunile

REZISTENA MATERIALELOR 6

oxzE E = = = . (d)

Introducnd (d) n prima relaie de echivalen (3.1) se obine

odA

z A 0= , (6.3) ceea ce nseamn c axa yo este central, adic trece prin centrul de greutate C al seciunii. Rezult c fibra medie deformat coincide cu axa barei iar axa neutr a seciunii trece prin centrul de greutate al acesteia (zo z), adic relaiile (c) i (d) pot fi scrise sub forma:

dd

z zx = = ;

zE = . (6.4)

nlocuind (6.4) n a treia relaie de echivalen (3.1) se obine

dA

yz A 0= , (6.5) de unde rezult c axele y i z sunt axe centrale principale de inerie. Din a doua ecuaie de echivalen (3.1), n care se face nlocuirea (6.4), rezult

dy yA

z EM E z A I= = , sau

1 yy

MEI

= . (6.6)

Relaia (6.6) exprim curbura fibrei medii deformate a barei n funcie de momentul ncovoietor My i de rigiditatea la ncovoiere a barei, EIy . Din (6.4) i (6.6) rezult relaia

yy

Mz

I = , (6.7)

numit formula lui Navier. Conform acestei formule, ntr-o seciune solicitat de momentul ncovoietor My , tensiunile normale variaz liniar cu z. Din relaia (6.7) i din reprezentarea ei grafic (fig. 6.1, d) se observ c

max maxy

y

Mz

I = ; min miny

y

Mz

I = . (6.8)

Dac My > 0, tensiunile extreme trebuie s satisfac relaiile ; max at min ac . (6.9) Pentru materiale cu comportri identice la traciune i compresiune ( ), din at ac a = = (6.8) i (6.9) rezult y a

y

MW

, (6.10)

unde mrimea geometric Wy este modulul de rezisten al seciunii fa de axa y,


7

max

yy

IW

z= . (6.11)

Cu ajutorul relaiei de definiie (6.11) i expresiilor obinute pentru momentele de inerie ale unor suprafee simple, se pot determina cu uurin modulele de rezisten ale acestora. Astfel, pentru un dreptunghi avnd laturile b i h (v. figura 2.2, a),

3 2/12/ 2 6y

bh bhWh

= = . (6.12) Pentru seciunea circular de diametru d,

4 3/ 64/ 2 32y

d dWd

= = . (6.13) Pentru seciunea inelar de diametre D i d = D , ( < 1),

4 4 3

42 (1 )64 64 32yD d DW

D = =

. (6.14)

Pentru seciunile transversale ale profilelor laminate standardizate, modulele de rezisten sunt date n tabele. Se atrage atenia asupra faptului c, spre deosebire de momentele de inerie, modulele de rezisten ale suprafeelor compuse nu pot fi calculate prin nsumarea modulelor de rezisten ale figurilor componente. Astfel, pentru seciunea inelar, modulul de rezisten este dat de formula (6.14) obinut pe baza relaiei de definiie (6.11) i nu trebuie calculat prin scderea a dou module de rezisten date de (6.13), adic

3 4 3

4132 32 32yD d D dW

D =

3 . (6.15)

n cazuri particulare, cum este cel prezentat n figura 6.2, a, se poate lua

( )y y ii

W W= . (6.16) Acest lucru este posibil doar cnd centrele de greutate ale tuturor figurilor componente se afl pe axa central principal de inerie a seciunii, iar zmax pentru fiecare figur component este acelai cu zmax al ntregii seciuni. Datorit distribuiei liniare a tensiunilor, (figura 6.1, d) fibrele longitudinale ale barelor ncovoiate sunt solicitate neuniform i anume, n fibrele extreme tensiunile au valori extreme iar n celelalte fibre tensiunile descresc liniar n modul, pn la zero (n fibrele neutre). O proiectare raional impune ca cea mai mare parte a materialului s fie situat la extremitile seciunii, ceea ce determin creterea modulului de rezisten Wy. Acest lucru se observ din relaia (6.11) n care la numrtor figureaz momentul de inerie al seciunii. Astfel, seciunea inelar din figura 6.3, b este mult mai raional din punct de vedere al rezistenei la ncovoiere dect seciunea circular plin din figura 6.3, a.


Fig. 6.2

z z

y1

y2

z z

y1

y2 Cy1

y2y3

z z

z

( )( )

1

1

2

2y y

z z

W W

W W

=

a b c

( )( )

1

1

2

2y y

z z

W W

W W

=

( )( )

3

1

3

1

y y ii

z z ii

W W

W W

=

=

zz

y

z

yC

C

Cy

C

De asemenea, seciunile n form de I (figura 6.3, d) sunt mult mai raionale n raport cu cele dreptunghiulare pline (figura 6.3, c). Rezult c seciunile profilelor laminate izolate sunt mai eficiente din punct de vedere al rezistenei la ncovoiere dect seciunile pline cum sunt cele circulare, ptrate, etc. Din relaia (6.11) se mai observ c modulul de rezisten scade cu creterea lui zmax. Aceasta nseamn c ndeprtarea materialului de axa neutr trebuie realizat cu grij astfel nct creterea modulului de rezisten pe seama sporirii momentului de inerie al seciunii s nu fie anulat sau chiar s devin negativ din cauza creterii exagerate a lui zmax, aa cum se ntmpl la seciunea din figura 6.3, e, care are Wy mai mic dect cel din figura 6.3, d. La o astfel de seciune proeminenele dublu haurate nrutesc rezistena barei, ele trebuind deci evitate. Acelai lucru se poate spune i despre seciunile reprezentate n figura 6.3, f i g. Eficiena unei seciuni din punct de vedere al rezistenei poate fi apreciat dup mrimea

2

3y

y

WW

A= (6.17)

care poate fi numit modulul de rezisten specific. Astfel, dac se compar seciunea din figura 6.3, a cu cea din figura 6.3, b, se constat c ( ) ( )y yb aW W> . Aceasta nseamn c la aceeai arie a celor dou seciuni, n cazul b se realizeaz un modul de rezisten mai mare dect n cazul a, sau la acelai modul de rezisten a celor dou seciuni, cea inelar are o arie mai mic dect cea circular.

n tabelul 6.1 se dau valorile modulului de rezisten specific pentru cteva tipuri de seciuni. Aprecierea eficienei seciunilor din punct de vedere al rezistenei se mai obinuiete s se fac cu ajutorul coeficientului CW = Wy / (Ah) , (6.18) calculat de asemenea n tabelul 6.1.


9

Tabelul 6.1

Dreptunghiular Inelar Profil U Profil I Circular Ptrat

= 1,5 = 2 = 0,8 = 0,9 U5 U30 I8 I40

Wy 1316

1336

336

hb

( )21316+

0,271 0,303 0,347 0,381 0,376 0,402

0,678 1,121 0,955 1,091

CW 0,125 0,167 0,205 0,226 0,298 0,303 0,322 0,309

a

a b c d e f g h

aa/9

e2

e1

0,1d

a

Fig. 6.3

Pentru materiale cu comportare diferit la traciune i compresiune, seciunile simetrice nu mai sunt economice deoarece atunci cnd n una din fibrele extreme se atinge rezistena admisibil, n fibrele extreme opuse tensiunea poate depi sau poate fi mai mic dect rezistena admisibil. n astfel de cazuri se folosesc seciuni nesimetrice fa de axa neutr, cum este seciunea n form de T sau I cu tlpi neegale. De exemplu, n cazul fontei, la care ac (34)at , o seciune n form de T va trebui s fie astfel realizat nct

21

ac

at

ee

= = (34) , (6.19) avnd grij ca grinda s fie dispus n aa fel nct n talp s apar tensiuni de ntindere (figura 6.3, h). Ca i la solicitarea axial, problemele care apar n practic pot fi de dimensionare, verificare sau calcul al ncrcrilor capabile. Pentru materiale cu comportare identic la ntindere i compresiune, rezolvarea acestor probleme se face cu relaia (6.10). a) Problema de dimensionare. n acest caz, pentru o seciune de form dat, se determin

dim

dim

max

yy

IW

z= (6.20)

n funcie de un parametru geometric al seciunii, valoarea acestui parametru rezultnd din condiia

dim maxynecy ya

MW W= . (6.21, a)


b) Problema de verificare. Se verific dac este satisfcut, ct mai raional, relaia

maxmaxyef

aefy

M

W = . (6.(6.21, b)

c) Momentului ncovoietor capabil al seciunii se obine din

efy acap yM W= , (6.(6.21, c) dup care se determin ncrcrile capabile din relaia

maxy y capM M= ,

unde |My|max se stabilete n funcie de ncrcri, din diagrama de momente.

Bara cu seciune nesimetric. n cazul barelor drepte, prismatice, cu seciuni nesimetrice, este necesar s se determine mai nti axele centrale principale ale seciunii. Fie y i z aceste axe i My momentul ncovoietor care acioneaz dup axa Cy (figura 6.4, a).

z

a) b)

z

y

yo zo

My

Oj

zo

C Cj

ay

Fig. 6.4

Seciunea neavnd ax de simetrie se presupune c axa neutr a fiecrei seciuni, yo , este decalat cu a i face un unghi cu axa principal y. Pe baza ipotezei seciunilor plane i a legii lui Hooke, distribuia tensiunilor se determin cu relaia (d), n care

. (e) o ( ) cos sinz z a y= nlocuind (e) n (d) i apoi n (3.1)1,3,2 , rezult

[ ][ ][ ]

( ) cos sin d 0

( ) cos sin d 0

( ) cos sin d

A

A

yA

E z a y A

E z a y y A

E z a y z A M

= = =

. (f)

Din prima relaie (f) rezult a = 0, adic axa neutr yo trece prin centrul de


11

greutate al seciunii. ntruct axele y i z sunt principale, Iyz = 0 i din a doua relaie de echivalen (f) se obine sin = 0, adic axa neutr coincide cu direcia vectorului moment, care este direcie principal de inerie. Din ultima relaie (f) se obine formula (6.7), prin urmare orice form ar avea seciunea transversal a unei bare drepte prismatice, formula lui Navier este aplicabil, cu condiia ca direcia vectorului moment ncovoietor s coincid cu una din axele centrale principale de inerie ale seciunii.

6.2 TENSIUNI TANGENIALE LA NCOVOIEREA SIMPL A BARELOR DREPTE

Se numete ncovoiere simpl solicitarea cauzat de existena n seciunile transversale ale barei a unui moment ncovoietor dirijat dup una din axele principale de inerie i a unei fore tietoare dirijat perpendicular pe direcia pe care acioneaz momentul ncovoietor. Rezult c ncovoierea simpl este solicitarea cauzat de fore exterioare perpendiculare pe axa barei i situate ntr-un plan care conine una din axele principale de inerie ale seciunii transversale. Prezena n seciune a forei tietoare indic existena tensiunilor tangeniale, astfel nct n afar de ecuaiile de echivalen utilizate la punctul precedent este necesar a se avea n vedere i celelalte trei ecuaii de echivalen din (3.1):

; dyxA

A = 0 dzx zA

A T = ; ( )dzx yxA

y z A 0 = . (6.22) Bare cu seciune plin. Aplicaii

Se consider o bar prismatic cu seciune plin, simetric fa de un plan longitudinal (figura 6.5). n seciunile x i x + dx ale barei acioneaz forele tietoare Tz i momentele ncovoietoare My i My + dMy . Prima i a treia relaie din (6.22) pot fi satisfcute numai dac yx i zx sunt fie nule, fie simetric dispuse fa de axa de simetrie Cz. ntruct Tz 0, din relaia a doua din (6.22) rezult zx 0. Aceast concluzie este n contradicie cu ipoteza seciunilor plane (ipoteza lui Bernoulli) utilizat la ncovoierea pur a barelor conform creia zx = 0 zx = 0. n cele ce urmeaz se va considera aplicabil formula lui Navier (bazat pe ipoteza lui Bernoulli) pentru calculul tensiunilor normale, urmnd ca ulterior s se stabileasc limitele de valabilitate ale acesteia. Pentru determinarea tensiunilor zx se introduc noi ipoteze i se utilizeaz unele rezultate din Teoria elasticitii. Tensiunea tangenial care acioneaz pe un element de arie a seciunii transversale situat n vecintatea conturului se descompune ntr-o component tangent la contur sx i alta normal la contur nx. ntruct pox = 0 (nu exist ncrcri pe suprafaa lateral a barei), conform dualitii tensiunilor tangeniale, rezult nx = 0 (fig. 6.5, c), adic tensiunile tangeniale au direcia tangent la contur n punctele din seciune situate n vecintatea acestuia. Pentru ca tensiunile tangeniale s poat fi determinate din ecuaiile de echivalen este necesar s se cunoasc legea de distribuie a acestora n seciune. n acest sens, Jurawski a fcut ipoteza c direciile tensiunilor tangeniale din punctele seciunii situate pe o paralel la axa y sunt concurente ntr-un punct J situat


pe axa z iar componentele pe z ale acestor tensiuni sunt egale, (zx) z = const. = const.

a

MC

y

z

x

b c

TxdyxdA

zxd

A

x

pox1 nx1

z x x + dx

My My + dMy

T

T

d

C

z

y

zx

J

B2

sx

yxB1

As

N

x

y

N

dx

z

z

x

z N2Ai =

f

e

n1

.zxz

N1

xz1

b(z

xz1 y1

C

C

.zx

sx1

B1B2

D2D1

Fig. 6.5

Poziia punctului J se determin cu uurin ducnd tangente la contur n BB1 i B2B (figura 6.5, d). Din aceast ipotez rezult c ntr-adevr tensiunile yx i zx sunt repartizate n seciune simetric fa de axa z, astfel nct relaiile de echivalen (6.22)1, 3 sunt identic satisfcute. Tensiunile zx se determin din ecuaia de echilibru a oricruia din elementele izolate ca n figurile 6.5, e sau 6.5, f. n aceste reprezentri s-au notat cu N1 , N1' rezultantele tensiunilor normale care acioneaz pe suprafeele As respectiv Ai n seciunea x i cu N2 , N2' rezultantele tensiunilor normale de pe suprafeele As respectiv Ai din seciunea x + dx,

min

'1 1

( ) ( )d d ,

s

zy y s

x yy yA z

y iy

y

M S A S AN A z A M N M

I I I= = = = ;

'2 2( ) ( )

( + d )d ( d ) , ( d )s

y s y ix x y y y y

y yA

S A S AN A M M N M M

I I= = + = + .

innd seama c dMy = Tz dx, rezultanta forelor N1 , N2 are expresia


13

2 1( )

d z y sly

T S AN N N

I= = dx

=

(6.23)

i se numete for elementar de lunecare. Din ecuaia de echilibru a elementului din figura 6.5, f,

, ( )d d 0xz lb z x N +rezult

( )

( )z y s

xzy

T S Ab z I

= . (a)

ntruct Sy(As) + Sy(Ai) = Sy = 0 iar Sy(Ai) > 0, rezult c Sy(As) < 0, astfel nct tensiunile tangeniale xz sunt pozitive pe faa pozitiv a seciunii BB1B2B D1D2 , evident pentru Tz > 0 (figura 6.5, f). Dac s-ar fi scris ecuaia de echilibru a elementului din figura 6.5, e ar fi rezultat

( )

( )z y i

xzy

T S Ab z I

= . (b) Notnd Sy(z) = Sy(Ai) = Sy(As) i avnd n vedere principiul dualitii tensiunilor tangeniale, relaiile (a) i (b) se pot scrie sub forma

( )

( )z y

xz zxy

T S zb z I

= = , (6.24) care reprezint formula lui Jurawski. Sensurile pozitive ale tensiunilor tangeniale xz i zx sunt aceleai cu cele convenite n Teoria elasticitii. n relaia (6.24), Tz reprezint fora tietoare din seciunea transversal n care se calculeaz tensiunile zx , Iy este momentul de inerie al ariei seciunii transversale n raport cu axa neutr a acesteia, b(z) este limea seciunii, msurat pe paralela la axa y dus n punctul n care se calculeaz tensiunea zx , iar Sy(z) este modulul momentului static n raport cu axa neutr al oricreia din poriunile seciunii transversale, separate de dreapta z = const. Tensiunile tangeniale zx determinate cu relaia (6.24) satisfac i ecuaia a doua de echivalen din (6.22). ntr-adevr, nlocuind (6.24) n membrul stng al celei de a doua relaii din (6.22) i efectund integrala prin pri se obine

( )

( )d( )

z yz

yA

T S zb z z T

b z I= . (6.25)

Dei s-a stabilit pentru bare prismatice, formula lui Jurawski este valabil i pentru bare cu variaii lente ale seciunii. Dup determinarea lui zx , tensiunea tangenial total n orice punct se poate calcula cu relaia x = zx / cos , unde este unghiul format de axa z cu dreapta dus prin punctul respectiv i punctul lui Jurawski notat cu J (figura 6.5, d). Din relaia (6.24) se observ c tensiunile tangeniale zx (= xz) sunt dependente de x prin Tz i de z prin raportul Sy(z) / b(z).


n cele ce urmeaz se vor determina i reprezenta grafic tensiunile zx pentru cteva tipuri de seciuni pline. a) Seciune dreptunghiular. Se calculeaz Sy(z) (figura 6.6, a),

2 2

2

1 4( ) 12 2 2 8yh h bhS z b z z

h = + =

z . (6.26)

innd seama i de expresia (2.15) pentru Iy , rezult

2 2

max3 2

12 4 41 18

zzx

T bh z zb bh h h

= = 2

2 , (6.27)

unde

max 1,5 zTA

= . (6.28)

z

T

y

zma

max 1,5 zTA

=

zz

z

b

y

h/2

zh/2

a b c

Fig. 6.6

b) Seciune circular. Avnd n vedere expresiile (2.25) i (2.30) obinute la capitolul 2 pentru Iy i Sy(z), rezult

3 3 2

2max4 2

64 sin 4 4sin 1sin 12 3

z zzx

T D TD D A D

= = = z , (6.29)

unde

max43

zTA

= . (6.30)


15

z

T

y

z

max43

zTA

=

z

2.z

Fig. 6.7

c) Seciune triunghiular. Se determin mai nti elementele geometrice care intervin n relaia (6.24).

z

h/6

b / 2

y

z

h/3max 3

2z

zxTA

=

z

b / 2

z.yx

Fig. 6.8

Se calculeaz Sy(z) (figura 6.8),

1 2 1 2( ) ( )2 3 3 3y

S z b z h z z h z = + .

Avnd n vedere i (2.16), , se obine 3 / 36yI bh=

2 1123 3

zzx

T zbh h h

= + z ;

( )max6

1,5 zhzx zx zTA=

= = , max max2yx zxbh

= , (6.31)

( ) ( ) 22 2max maxmax 21,5 1 4zzx yx T bA h = + = + . (6.32) Din exemplele prezentate mai sus se poate trage concluzia c tensiunile tangeniale zx sunt nule pentru |z| = max., adic acolo unde || = max. i sunt maxime n zona situat n apropierea axei neutre. Tensiunile max trebuie s ndeplineasc evident condiia


max z aA

TC A

= , (6.33)

unde a reprezint tensiunea tangenial admisibil, a (0,5...0,6)a iar CA un coeficient adimensional, subunitar, care ine seama de neuniformitatea distribuiei tensiunilor tangeniale pe seciune. Datorit variaiei pe nlime a tensiunilor tangeniale zx n seciunile transversale ale barei, rezult c aceste seciuni se vor deplana, aa cum rezult din figura 6.9, a. n figura 6.9, b sunt reprezentate dou seciuni infinit apropiate, deformate conform ipotezei lui Bernoulli iar cu linii punctate deformatele reale, innd seama de deplanrile produse de existena tensiunilor tangeniale. Avnd n vedere modul n care a fost obinut, rezult c formula lui Navier este afectat de abaterea de la ipoteza lui Bernoulli numai n msura n care dou seciuni vecine au deplanri diferite. Prin urmare, n cazul Tz = const., formula lui Navier este exact. Pentru Tz variabil, abaterile lui fa de valorile obinute cu formula lui Navier sunt cu att mai mici cu ct l / h este mai mare (l = lungimea, h = nlimea grinzii). ntr-adevr, fie o grind dreapt solicitat de un sistem oarecare de sarcini situate n planul xz. Se noteaz momentul ncovoietor maxim i fora tietoare maxim cu Mymax = M ql2 respectiv Tzmax = T ql , unde l este lungimea grinzii, q este o sarcin de referin iar M , T coeficieni numerici ce depind de modul de distribuie al ncrcrilor. Dac se calculeaz raportul dintre max i max , innd seama i de relaiile (6.18), (6.33), se obine

max

maxmax

max

y Wz T

A Ay

W CTC A C lM

= = Mh . (6.34)

z

zx=

maxzx

maxzx

maxzx

maxxz

a

+ d

max + d

+ dx

d

b

zx=

Fig. 6.9

Rezult c raportul dintre max i max este de acelai ordin de mrime cu raportul h / l. De exemplu, la grinda din figura 6.10, pentru care T = 1 i M = 0,625, avnd seciunea dreptunghiular cu CA = 1/1,5 i CW = 0,625 (v. tabelul 6.1), se obine

maxmax

0,167 1 0,40,67 0,625

h hl l

= = . (6.35)

Pentru grinzi pline, cu raportul h / l < (1/31/4), se poate considera c este


17

totdeauna satisfcut condiia (6.33). Pentru evaluarea ordinului de mrime al erorii maxime care apare la utilizarea formulei lui Navier n cazul ncovoierii simple a barelor drepte, se calculeaz raportul dmax / d . innd seama de (4.103), (6.2), (6.6), (6.33) i (4.104) i notnd Iy = CI Ah2, se obine relaia

2 2

max2 2

d d 2(1 ) 2,6d d

z I I

A M A

T EC Ah CC A E ql x C l

+ = = Mh

, (6.36)

din care rezult c pentru valori ale raportului l / h mai mici dect 3 apar abateri sensibile de la ipoteza lui Bernoulli, deci utilizarea formulei lui Navier ofer doar o estimare aproximativ.

q ql / 2

l / 2 l / 2

Fig. 6.10

La p. 4.5.1.1 s-a definit forfecarea pur, ca fiind solicitarea cauzat numai de tensiuni tangeniale. Solicitarea cauzat de tensiuni tangeniale, care acioneaz concomitent cu tensiuni normale, se numete forfecare. Aceast stare de solicitare apare n elementele mbinrilor demontabile sau nedemontabile. De obicei n calculul acestor elemente tensiunile tangeniale se consider distribuite uniform pe seciune.

6.3 LUNECAREA LONGITUDINAL I MPIEDICAREA EI. ELEMENTE DE CALCULUL MBINRILOR

n cazul n care Tz 0, deci My variaz cu x, tensiunile x care apar n dou seciuni vecine sunt evident diferite. Dac se calculeaz rezultanta tensiunilor care acioneaz la extremitile unui element izolat din bar, avnd lungimea dx i aria seciunii A(z), se obine fora de lunecare elementar (v. figura 6.5, e i relaia (6.23))

( )

d dz yly

T S zN x

I= , (6.37)

creia i se opun tensiunile tangeniale xz ce acioneaz pe suprafaa b(z)dx (figura 6.5, e). Aceste tensiuni evideniaz interaciunea celor dou elemente, separate de planul z = const., elemente care au tendina de a luneca unul peste cellalt. Fora de lunecare ce apare pe o lungime 2l x x1= este dat de relaia

2

1

2

( ) ( )d ( )d [ ( )

xy y

l l z y yy yl x

S z S zN N T x x M x M x

I I= = = 1( )] . (6.38)

Dac pe intervalul l, Tz(x) are o variaie nensemnat, fora de lunecare se poate calcula cu relaia


( )y

l zy

S z lN T

I= . (6.39)

Evident forele de lunecare maxime apar n acele plane xy n care momentele statice ce intervin n relaiile (6.39) au valori maxime. n cazul n care legtura dintre dou elemente longitudinale ale unei grinzi compuse nu este suficient de rezistent (cum se poate ntmpla la mbinri slabe), aceste fore de lunecare nu mai pot fi preluate de tensiunile tangeniale paralele cu axa x i legtura dintre fibrele longitudinale n contact ale elementelor mbinate dispare. Ca urmare, caracterul ncovoierii se schimb, fiecare element deformndu-se independent.

F

a

A

( )maxa

b

hh

hh

F( )maxb

b

l

d

Nlx +

l/

Fig. 6.11

Pentru a ilustra cele prezentate mai sus se consider o bar alctuit dintr-un pachet de n platbande, fiecare platband avnd dimensiunile seciunii transversale bh. a) Dac platbandele nu sunt mbinate, ele se deformeaz in-dependent, dou suprafee n contact ale platbandelor alunecnd una peste cealalt, ca n figura 6.11, a. Tensiunile maxime care apar n platbande se calculeaz cu relaia

( )max 2 26 6a Fl Fl

n bh nbh = = . (6.40)

b) Dac platbandele sunt solidarizate ntre ele (de exemplu prin m buloane dispuse la distana l / m unul de cellalt), ansamblul se comport la ncovoiere ca o singur grind (figura 6.11, b), tensiunile maxime calculndu-se cu relaia

( )max 26( )

b Flb nh

= . (6.41)


19

Rezult c tensiunile n varianta b) sunt de n ori mai mici dect n varianta a). Dac se calculeaz fora maxim care poate fi aplicat barei se observ c

, adic prin solidarizarea grinzilor suprapuse i mpiedicarea lunecrilor longitudinale se obin grinzi mai rezistente.

( ) ( )max max

bF nF= a

mpiedicarea lunecrilor longitudinale se realizeaz n practic prin diverse procedee i anume: prin lipire sau sudare, prin buloane, nituri, pene, etc. Elementele de solidarizare sunt solicitate la forfecare de fora de lunecare determinat cu relaiile (6.37), (6.39). Astfel pentru cazul considerat mai sus, tensiunile maxime care apar n seciunile transversale ale buloanelor se calculeaz cu relaia

43

lf

b

NA

= , (6.42) unde Nl este fora de lunecare longitudinal preluat de un bulon iar Ab este aria seciunii transversale a acestuia. nlocuind Nl cu ajutorul expresiei (6.39) rezult

2

3 2 2

( )4 4 2 48

( )312

f

b nh lF F lmb nh d m d n

= = h . (6.43)

Relaia obinut permite determinarea diametrului d al buloanelor.

C

Ap

ls

y

e

z

a

ls

a

Ap

As

Fig. 6.12

Grinzile compuse sudate sunt formate de regul dintr-una sau mai multe inimi, sudate de una sau dou platbande (figura 6.12). Sudura poate fi ntrerupt, ca n figura 6.12, sau continu. Fora de lunecare ce apare pe suprafaa de contact a platbandei cu inima are, pe lungimea e, valoarea

( )p

yl z

y

S eN T

I= . (6.44)

Seciunea minim a cordoanelor de sudur care preiau fora de lunecare Nl este 2ae n cazul sudurii continue i 2als n cazul sudurii ntrerupte. Egalnd fora de


lunecare longitudinal cu fora capabil a fi preluat prin forfecare de cordoanele de sudur rezult:

sudur continu: ( )

2p

yz a

y

S eT a

I= s e ; (6.45)

sudur ntrerupt: ( )

2p

yz as

y

S eT a

I= sl . (6.46)

Relaia (6.45) servete la determinarea grosimii sudurii,

( )

2

pz y

as y

T Sa

I= . (6.47)

Atunci cnd rezult pentru a valori prea mici n comparaie cu grosimea tablelor de mbinat, se recurge la sudur intermitent. n acest caz a se alege din considerente tehnologice iar din (6.46) rezult

( )

2

pz ys

as y

T Sle a I= . (6.48)

Dac se impune ls rezult e i invers.

6.4 TENSIUNI PRINCIPALE LA NCOVOIEREA SIMPL A BARELOR DREPTE

n barele drepte supuse la ncovoiere simpl apar simultan tensiuni normale i tangeniale care se calculeaz cu formulele (6.7), (6.24). Valorile maxime ale acestor tensiuni trebuie s verifice condiiile (6.9), (6.33). Starea de tensiune a unui element cum este 2 n figura 6.13, b este deci o stare plan, pentru care se pot determina direciile i tensiunile normale principale, folosind relaiile (4.122) i (4.123) :

2tan 2 xzx

= ; 2 2

1,31( , ) 4

2 2x

x xzx z = + . (6.49)

La seciuni pline este suficient satisfacerea condiiilor (6.9) i (6.33), deoarece valorile extreme ale tensiunilor normale apar n fibrele extreme ale seciunii iar tensiunile tangeniale sunt maxime n fibra medie, adic acolo unde tensiunile normale sunt nule. La unele tipuri de seciuni exist ns fibre n care apar simultan tensiuni normale i tangeniale avnd valori foarte apropiate de cele extreme. Acesta este, de exemplu, cazul fibrelor extreme ale inimilor grinzilor cu seciunea n form de I (figura 6.13, b, elementul 2). Asigurarea rezistenei grinzii n aceste fibre impune considerarea strii plane de solicitare i folosirea unor relaii de calcul mai complexe dect (6.9) i (6.33); una dintre aceste relaii este 1 a . La profilele I laminate, dimensiunile i forma tlpilor precum i racordarea acestora cu inima sunt astfel alese nct dac sunt ndeplinite condiiile (6.9) i (6.33) s nu mai fie necesare alte verificri. Cunoaterea direciilor principale prezint deosebit importan la grinzile


21

confecionate din materiale care se comport diferit la ntindere i compresiune, cum este betonul. ntruct rezistena la ntindere a betonului este mult mai mic dect cea la compresiune, pentru preluarea eforturilor de ntindere se introduc armturi metalice (bare de oel numite i fier beton) care se dispun aproximativ pe direciile tensiunilor principale de ntindere (figura 6.13, f). Direciile principale n fiecare punct sunt tangente la dou curbe care fac parte din dou familii de curbe numite izostatice.

x = 0Cy

maxzx

xz x maxxxz = 0

1

2 3z

x

xzmaxx

x

maxzx

F

(1(3

P

a b c

e

d

f

/

/

/

Fig. 6.13

Traiectoriile tensiunilor principale (izostaticele) se construiesc n felul urmtor. Se determin direciile principale 1 i 2 ntr-un punct P; pe direcia 1 se alege un punct PP', vecin cu P; n punctul P'P se determin de asemenea direciile principale care, evident, vor fi altele dect cele din punctul P; pe direcia 1' din PP' se alege un punct P''P vecin pentru care se determin direciile principale 1'', 2'' .a.m.d. Curba tangent la poligonul PP'PP'' este traiectoria tensiunilor . Direcia tensiunii pentru orice punct situat pe aceast curb este dat de tangenta la curb n punctul respectiv. n mod similar se obin i alte curbe din familia izostaticelor precum i familia izostaticelor . Cele dou familii de curbe sunt ortogonale ntre ele i intersecteaz axa barei sub unghiuri de 45 iar fibrele superioare i inferioare sub unghiuri de 0 sau 90 (figura , e).

1 1

1

2

6.13

6.5 DEFORMAII ALE BARELOR DREPTE SOLICITATE LA NCOVOIERE

Cunoaterea deformaiilor barelor drepte solicitate la ncovoiere este necesar att pentru rezolvarea problemelor n care se impun condiii de rigiditate ct i pentru rezolvarea problemelor static nedeterminate.


6.5.1 Ecuaia diferenial a fibrei medii deformate

Aa cum s-a artat la p. 6.1, prin ncovoierea unei bare drepte, axa acesteia devine o curb numit fibr medie deformat. Ea este dat de funcia wo = wo(x), unde s-a notat cu wo(x) proiecia pe axa z a deplasrii centrului de greutate al seciunii transversale de la abscisa x. Cunoaterea funciei wo(x) permite determinarea n orice seciune a unghiului tangentei dus la fibra medie deformat, notat (x) i numit rotirea fibrei medii deformate la abscisa x, 'o o

d ( )tan ( ) ( )d

w xx w xx

= = ; od ( )( ) arctand

w xxx

= . (6.50) Deplasrile wo sunt pozitive n sensul axei z iar rotirile n sens orar, aa cum rezult din relaia (6.50). Acest sens este invers sensului de rotire prin care se obine sensul pozitiv al axei y. Datorit ipotezei lui Bernoulli, unghiul (x) este egal n mrime absolut cu unghiul de rotire a seciunii (x), deoarece sunt unghiuri cu laturile reciproc perpendiculare. Ele au ns semne contrare, deoarece rotirea seciunii respect convenia de semne a deplasrilor, care sunt pozitive cnd se produc n sensul axelor de coordonate, deci deplasarea (x) este pozitiv dac are sensul de rotaie pozitiv n jurul axei y, pe cnd rotirea fibrei medii (x) este definit pozitiv n sensul indicat n figura 6.14, a. Pe scurt,

(x) = (x) , (6.51) iar deplasrile (de translaie) pe direciile x i z ale unui punct oarecare al seciunii (figura 6.14, b) se pot calcula astfel:

( , ) sinu x z z= ; o( , ) ( ) cosw x z w x z z= + . (6.52)

a

w

d

b

x F

z

x

O

(x) =

u

c +

d

d

dx dw

O

M

M

w

z

(x)


23

Fig. 6.14

Aa cum s-a vzut n demonstrarea relaiei (6.2), inversul razei de curbur, adic 1/ este egal cu derivata rotirii seciunii i se spune c reprezint curbura barei,

. Pe de alt parte, relaia dintre curbur i momentul ncovoietor este 1/ d / ds = 1/ /y yM EI = (v. (6.6)). Rezult d

dy

y

Ms EI = , (6.53, a)

sau, conform relaiei (6.51),

dd

y

y

Ms EI = . (6.53, b)

Relaia (6.53, b) poate fi scris i n funcie de sgeata wo, dac se face nlocuirea (6.50). Rezult

o

o22 2 2

oo o

dd( )d d dd d darctan

d d dd d d1 d 1d d

y

y

w

( )M xw x xx x

x x Ewx w wxx x

= = + + + I x

,

sau

2o

2

2o

d( )d( )d1

d

y

y

wM xxEI xw

x

= +

. (6.53, c)

Relaiile (6.53) reprezint forme ale ecuaiei difereniale exacte a ncovoierii barei. n majoritatea cazurilor practice, deplasrile sunt mici n raport cu dimensiunile grinzilor, deci se pot face urmtoarele aproximaii:

cos 1 ; sin tg = , (6.54) 'o ( )w xastfel nct relaiile (6.52) devin

, 'o( , ) ( )u x z zw x= o( , ) ( )w x z w x= , (6.55) iar sgeile w(x) se determin din ecuaia diferenial de ordinul doi,

''( )

( )( )

y

y

M xw x

EI x= , (6.56)

numit ndeobte ecuaia diferenial a fibrei medii deformate a grinzii. Deplasarea w (x) se obinuiete s se numeasc sgeata grinzii n seciunea x. Derivnd relaia (6.56) de dou ori n raport cu x i innd seama de (3.4) se obine , (6.57)

'''( ) ( ) ( )y zEI x w x T x =


. (6.58) ''''( ) ( ) ( )yEI x w x q x =

Relaiile (6.56) i (6.58) reprezint ecuaiile difereniale ale ncovoierii barelor drepte, neprismatice, cu deformaii mici. Pentru bare prismatice,

, (6.59) '' ( ) ( )y yEI w x M x= ''' ( ) ( )y zEI w x T x= , (6.60) . (6.61) ( ) ( ) ( )ivyEI x w x q x= Ecuaiile difereniale (6.56), (6.58) i (6.59), (6.61) sunt liniare n raport cu funcia w(x) i cu derivatele sale.

6.5.2 Integrarea ecuaiei difereniale a ncovoierii barelor drepte

Pentru integrarea ecuaiei difereniale a fibrei medii deformate s-au elaborat metode analitice, grafice sau grafo-analitice. n cele ce urmeaz se va prezenta metoda parametrilor n origine precum i unele aplicaii. Se consider o grind dreapt oarecare, solicitat de fore exterioare distribuite i concentrate ca n figura 6.15. ncrcarea distribuit a grinzii se scrie sub forma

(6.62) oo o 1 1( ) ( )q x q x a q x a q x x a= + + ounde qo intensitatea sarcinii uniform distribuit pe zona x ao ; q1 coeficientul unghiular al dreptei q1(x a1) care reprezint sarcina liniar distribuit pe zona x a1 ;

ncrcarea distribuit dup o lege oarecare pe zona x a( )q x . ( )q x

z

x

Fq1qo

T

M

x

M ao a1 a aF aM l

q(x)

1

q1(x a1)

Fig. 6.15

n expresia din membrul drept al relaiei (6.62) s-a folosit aa-numita funcie singularitate,


25

0 dac ,( ) dac .

x ax a

x a x


Mrimile To, Mo, w'o, wo se numesc parametri n origine i se determin din condiiile la limit. Aceste condiii pot fi scrise pentru deplasri (sgei, rotiri) sau/i pentru eforturi (Tz , My). Mai jos sunt prezentate cteva cazuri de scriere a condiiilor la limit pentru grinzi cu o singur deschidere, avnd legturi rigide.

a

Mlx = 0

x = l

b

MlFl

c d

x = 0

x = l

x = l x = lx = 0

x = 0

Fig. 6.16

(a) ; o o(0) 0 , (0) 0 , ( ) 0 , ( )y yw w M M w l M l= = = = = = Mll

o

1

(b) ; ' 'o o o(0) 0 , (0) 0 , ( ) , ( )z l yw w w w T l F M l= = = = = = M (c) ; 'o o(0) 0 , (0) 0 , ( ) 0 , ( ) 0yw w M M w l w l= = = = = = (d) . ' ' 'o o o o(0) 0 , (0) 0 , ( ) 0 , ( ) 0w w w w w l w l= = = = = = n cazurile (a) i (b), care reprezint grinzi static determinate, ultimele dou condiii nu sunt altceva dect ecuaiile de echilibru din care se determin reaciunile grinzii. Se observ c studiul deformaiilor permite rezolvarea grinzilor static nedeterminate, cum sunt cazurile (c) i (d). Pentru grinzi prismatice, ncrcate cu fore concentrate, momente concentrate, sarcini distribuite uniform i liniar, relaiile (6.62)(6.69) devin

, oo o 1( )q x q x a q x a= +

2o1

o o o 1( ) 2!z Fx aT x T q x a q F x a = ,

2 3

oo 1o o o 1( ) 2! 3!y F M

x a x aM x M T x q q F x a x a = + M ,

32

' ' oo o o o( ) 2! 3!y y

x axEI w x EI w M x T q = + +

4 2

11 4! 2!

FM

x a x aq F x + + + M a , (6.70)

42 3

' oo o o o o( ) 2! 3! 4!y y y

x ax xEI w x EI w EI w x M T q = + + +

5 3

11 5! 3! 2!

F Mx a x a x aq F2 + + +M . (6.71)

Expresiile (6.69) i (6.71) reprezint integralele generale ale ecuaiilor difereniale (6.58) respectiv (6.61) ntruct conin patru constante de integrare, iar funciile w(x) precum i derivatele lor satisfac ecuaiile difereniale (6.56)(6.58) respectiv (6.59)(6.61). Ecuaia w = w(x) se mai numete ecuaia liniei elastice a grinzii.


27

Din reprezentarea grafic a funciei w = w(x) se determin sgeata maxim wmax = w(xo) , unde xo este rdcina ecuaiei w'(xo) = 0. Sgeata i rotirea maxime pot fi scrise ntotdeauna sub forma

3

maxy

QlwEI

= , 2

'max

y

QlwEI

= , (6.72) unde Q: ncrcarea total a grinzii; l : lungimea grinzii; i : coeficieni adimensionali care depind de modul de rezemare a grinzii i de tipul ncrcrii.

n cazurile n care se impun condiii de rigiditate a grinzii, de tipul

wmax wa , w'max w'a , (6.73) nlocuind (6.72) n (6.73) se obin relaii care permit efectuarea calculelor de dimensionare (obinerea lui Iynec), de verificare sau de determinare a ncrcrilor capabile. Evident, n afara acestor condiii trebuie satisfcute i condiiile de rezisten (6.9), (6.33).

6.5.3 Aplicaii

1. Grinda n consol ncrcat cu sarcin uniform i cu o for i un moment pe captul liber.

M

Fq

ww'

x = 0 x = l

Fig. 6.17 ntruct To = F i Mo = M , din relaia (6.71) se obine

2 3

'o o( ) 2 6 2y y y

4

4x x xEI w x EI w EI w x F q= + + + +M ,

unde w'o , wo se determin din condiiile la limit:

w(l) = 0 : 2 3 4

'o o 02 6 24y y

l l lEI w EI w l F q+ + + +M = ,

w'(l) = 0 : 2 3

'o 02 6y

l lEI w l F q+ + + =M . Rezolvnd sistemul obinut rezult:

2 3

'o

12 6y

l lw l FEI

= M q , (6.74)


2 3 4

o max1

2 3 8y

l l lw w F qEI

= = + + M

, (6.75)

astfel nct expresia sgeii devine 2 2 3 3 4

2 3

1 3 1( ) 1 2 1 1

2 3 2 2 8 3y

l x x l x x l x xw x F q

EI l l ll l= + + + + +

M4

4

4 13 l

.

2. Grinda simplu rezemat pe reazeme rigide la capete ncrcat cu sarcin uniform.

qwo=

w'Mo=

To=

wma

Fig. 6.18

Cu valorile parametrilor n origine din figura 6.18, ecuaia liniei elastice are expresia

3 4

'o( ) 2 6 24y y

ql x xEI w x EI w x q= + . Din condiia w(l) = 0 rezult

3

'o 24 y

qlwEI

= , (6.76)

astfel nct ecuaiile liniei elastice i a rotirii devin:

4 3

3 4( ) 224 y

ql x x xw xEI l l l

= + 4

, (6.77)

3 2

'2 3( ) 1 6 424 y

ql x xw xEI l l

= + 3

. (6.78)

Sgeata maxim este la abscisa care anuleaz derivata liniei elastice, adic la x = l / 2, deci

4

max5

384 y

qlwEI

= . (6.79)

Din expresia rotirii rezult

3

' 'o( ) 24 y

qlw l wEI

= = . (6.80)

3. Grinda simplu rezemat pe reazeme rigide la capete ncrcat cu o for concentrat.


29

w(0,5lwo= w'(lMo=

To=

wma

F

a l = a + xo0,5l

w'w(a

Fig. 6.19

Punnd condiia w(l) = 0 n ecuaia liniei elastice

3 3

'o( ) 6 6y y

Fb x x aEI w x EI w x Fl

= + , rezult

'o1 ( )

6y

Fabw lEI l

= + b . (6.81)

Prin nlocuire, se obine:

3 31( ) ( )

6 6y

Fab Fb x x aw x l b x FEI l l

6

= + + , (6.82)

2 2

' 1( ) ( )6 2y

Fab Fb x x aw x l b FEI l l

2

= + + . (6.83)

Sgeata maxim se obine pentru valoarea xo care satisface relaia w'(xo) = 0 . Dac a > b este evident c xo < a i rezult

2 2

o( )

3 3a l b l bx + = = . (6.84)

nlocuind valoarea gsit pentru xo n (6.82) se obine

2 2

max 9 3y

Fb l bwlEI

= . (6.85)

Sgeata la mijlocul grinzii este

2 2(0,5 ) (3 4 )48 y

Fbw l l bEI

= . (6.86)

Diferena dintre sgeata maxim i sgeata la mijlocul grinzii depinde evident de raportul b / l . Pentru b / l = 0,5 se obine

3

* *max (0,5 ) 48 y

Flw w lEI

= = . (6.87)

Pentru alte valori ale raportului b / l , n tabelul de mai jos sunt date valorile w(0,5l) / wmax . Se observ c sgeata la mijlocul grinzii difer foarte puin de wmax , chiar i n cazul n care fora F este aplicat foarte aproape de unul din reazeme. De altfel din (6.84) se observ c abaterea maxim a valorii xo fa de 0,5l , obinut


pentru cazul n care b 0, este 0,077l . Tabelul 6.2

b / l

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

max

(0,5 )w lw

0,975 0,981 0,988 0,995 1,000

Din relaia (6.83) rezult

' ( ) ( )6 y

Fabw l l alEI

= + , (6.88)

iar sgeata sub sarcin rezult din (6.82),

2 2

( )3 y

Fa bw alEI

= . (6.89)

Pentru cazul particular n care a = b = 0,5l , sgeata maxim este dat de expresia (6.87) iar rotirile au expresia

2

' 'o ( ) 16 y

Flw w lEI

= = . (6.90)

4. Grind static determinat cu seciune variabil n trepte.

F

wo=

Mo=

lTo = F(1

Io Iy = Io

M

Fl(1

Fl(1

Fig. 6.20

Se utilizeaz relaia (6.69), n care wo = 0 i Mo = 0,

'o0 0

d d( ) (1 ) d d( ) ( )

x x x x

y yl l

x x x l xw x w x F x F xEI x EI x

= +

. (6.91)

Din condiia w(l) = 0 rezult


31

( )'oo o o0 0

dd d(1 ) d d d 0l x l x l x

l l l l

x l xx x x xw l F x x F xEI EI EI

+ + = , din care se obine

2

' 2o

o

8 (3 2 )(1 ) 2(1 )16 3

FlwEI

= + . (6.92)

nlocuind n expresia sgeii i fcnd apoi x = l rezult

32 2

o

2( ) 8 (1 ) 2(1 )48

Flw lEI

= + . (6.93)

Pentru = 1 se obin rezultatele din aplicaia 3. O alt metod de rezolvare const n nlocuirea grinzii date cu o grind echivalent avnd moment de inerie constant ([28], [30]).

Teste T1. Tensiunile normale din seciunea transversal a unei bare solicitat la ncovoiere se calculeaz cu formula: 1. Bernoulli, 2. Hooke, 3. Saint Venant, 4. Navier, 5. Juravski. T2. Tensiunile normale n seciunea transversal a unei bare solicitat la ncovoiere variaz : 1. proporional cu fora tietoare din seciune, 2. proporional cu momentul de inerie axial al seciunii, 3. proporionale cu momentul ncovoietor din seciune, 4. invers proporional cu modulul de rezisten al seciunii transversale, 5. proporionale cu sarcina uniform distribuit. T3. Pentru o bar solicitat la ncovoiere n planul xoz, ntr-o seciune dat, tensiunile normale maxime apar n : 1. n punctele cele mai ndeprtate de axa central principal y, 2. punctele de pe conturul seciunii, 3. n centrul de greutate al seciunii. 4. punctele din axa neutr, 5. n punctele cele mai deprtate de axa central principal z. T4. Axa neutr la ncovoiere este 1. axa n care tensiunile normale au valori maxime, 2. locul geometric al punctelor n care tensiunile normale sunt nule, 3. axa dup care este orientat momentul ncovoietor, 4. axa fa de care se calculeaz momentul de inerie axial al seciunii, 5. axa dup care este dirijat fora axial din seciune T5. Unitatea de msur pentru modulul de rezisten este : 1. Pa, 2. Nm, 3. m3, 4. m4, 5. kN. T6. Tensiunile tangeniale din seciunea transversal a unei bare solicitat la ncovoiere simpl se calculeaz cu formula: 1. Bernoulli, 2. Hooke, 3. Saint Venant, 4. Navier, 5. Juravski. T7. Tensiunile tangeniale n seciunea transversal a unei bare solicitat la ncovoiere simpl sunt : 1. maxime n axa neutr, 2. maxime n apropierea axei neutre, 3. maxime n punctele cele mai ndeprtate de axa neutr, 4. nule n punctele cele mai ndeprtate de axa neutr, 5. nule n axa neutr.


Pentru bara solicitat ca n figura 6.20 a), avnd forma seciunii conform cu 6.20 b), confecionat dintr-un material pentru care se cunoate a= 228 MPa, precizai :

Fig.6.20

1

V1

3

2 m 4 m

4kN/m

V3

2

4kN/m x

6t y

yo6t

z

d12t C

zo

2t

a b

T8. valoarea reaciunilor V1 , V3 este : 1) 4 i -4 ; 2) 8 i -8 ; 3) 16 i - 16 ; 4) -8 i 8 ; 5) - 4 i 4 ; T9. expresia forei tietoare pe zona 1-2 este : 1) ( ) 4T x = ; 2) ; ( ) 4 4T x x= 3) ; 4) ; 5) ( ) 8 4T x x= ( ) 8 4T x x= + ( ) 8 4T x x= + ; T10. expresia momentului ncovoietor pe zona 2-3 este : 1) ( ) (8 4 2M x x x= ) ; 2) ( ) ( )8 4 2M x x x= + ; 3) ( ) 8 4M x x= ; 4) ; 5) ( ) ( )28 4 2 2M x x x= +

( ) ( )22

8 42

xM x x

= ; T11. seciunea periculoas este : 1) seciunea 1i 3; 2) seciunea 2; 3) seciunea 3; 4) seciunea aflat la x =1; 5) seciunea aflat la x =1 i x =3 ; T12. Momentul ncovoietor maxim ( n valoare absolut ) este : 1) 1,5 kNm; 2) 2 kNm; 3) 4 kNm; 4) 2,5 kNm; 5) 3,5 kNm; T13. poziia centrului de greutate al seciunii transversale este : 1) d1 =3t; 2) d1 =t; 3) d1 =5t; 4) d1 =2t; 5) d1 =2.5t; T14. valoarea momentului de inerie axial n raport cu axa central principal y este: 1) ; 2) ; 3) ;4) ;5) ; 4140t 4122t 4138t 4135t 4136tT15. valoarea modulului de rezisten 1) 30 ; 2) ; 3) 34 ; 4) ; 5)

;

3,5t t327,5t 3 336t332,5t

T16. valoarea parametrului t este: 1) 0,8 cm, 2) 2 cm, 3) 0,9 cm, 4) 3,5 cm, 5) 1 cm, T17. valoarea tensiunii normale maxime din seciunea periculoas este: 1) 99,8 MPa; 2) 98,7 MPa; 3) 100,8 MPa; 4) 101,7 MPa; 5) 89,8 MPa; T18. valoarea forei tietoare din seciunea x = 0 este: 1) 0 kN; 2) 4 kN; 3) 8 kN; 4) 16 kN; 1) 2 kN;

T19. valoarea tensiunii tangeniale maxime din seciunea x = 0 este: 1) 10 MPa;


33

2) 5 MPa; 3) 6 MPa; 4) 6,5 MPa; 5) 4,5 MPa; T20. expresia ecuaiei difereniale a fibrei medii deformate este: 1) ( ) ( )22

12 232 4 4 2yEI w x x x x= + ; 2) ( ) ( )22 12 234 8 4 2yEI w x x x x= + ;

3) ( ) ( )2212 23

4 4 4 2yEI w x x x x= + ; 4) ( ) ( )22 12 234 4 8 2yEI w x x x x= + ; 5) ( ) ( )22

12 234 4 2yEI w x x x= ;

T21. Pentru integrarea ecuaiei difereniale se pun urmtoarele condiii la limit: 1) ; 2) ( ) ( )' '0 0; 1w w= = 0 ( ) ( )' 0 0; 1w w 0= = ; 3) ( ) ( )0 0; 2w w 0= = ; 4) ; 5) ( ) ( )0 0; 4w w= = 0 ( ) ( )' '0 0; 4w w 0= = ; T22. sgeata la x=1 m este: 1) 0,0012 m; 2) 0,24 m; 3) 0,0047 m; 4) 0,075 m; 5) 0,0008 m; T23. rotirea seciunii aflat la x = 0 este: 1) 0,0075 ; 2) 0,0012 ; 3) 0,0084 ; 4) 0,0055 ; 5) 0,012 ;

7. TORSIUNEA LIBER A BARELOR DREPTE

7.1 GENERALITI. DIAGRAMELE MOMENTELOR DE TORSIUNE. APLICAII

Torsiunea sau rsucirea liber este solicitarea barelor n seciunile crora acioneaz numai tensiuni tangeniale al cror torsor se reduce la momentul de torsiune Mt avnd direcia axei barei (v. relaia de echivalen (3.1)6),

( )t zx yxA dM y z= A . (7.1) Torsiunea este solicitarea predominant a arborilor, arcurilor elicoidale i altor organe de maini sau elemente de construcii. Pentru a obine legea de variaie a tensiunilor zx i zx este necesar s se obin mai nti momentele de torsiune Mt n seciunile barei. Momentele de torsiune apar datorit momentelor exterioare dispuse pe axa barei, cum sunt, de exemplu, momentele M, M1 i M2 din figura 7.1, a. Astfel de momente rezult prin reducerea fa de puncte de pe axa barei a forelor exterioare care nu o intersecteaz i nici nu sunt paralele cu aceasta. Forele exterioare care nu satisfac aceste condiii, au momentul nul fa de axa barei.

Mt1

M1

Ma

M M2M1

M M1 M2 =

23 1

M1

Mt13 = M1 = M

M2

Mt32 = M1 M = M2j

M2

Mt3

Mt3

M

Mt1 2 1

2 1

3

3 2 1

2 1

Mt

Mt

sau

M2

M2

M1

M1

d

c

23 1M1 M M2b

Fig. 7.1 Momentul de torsiune ntr-o seciune a unei bare este egal cu suma momentelor exterioare dispuse pe axa barei n stnga sau n dreapta seciunii, avnd semnul plus atunci cnd ies din seciune. Momentele exterioare pot fi reprezentate i cu ajutorul arcelor orientate, ca n fig. 7.1, b. De regul, momentele de torsiune se vor

Torsiunea liber a barelor drepte

35

reprezenta prin vectori (cu dou sgei); n felul acesta, expresiile momentelor de torsiune i diagramele lor rezult similare cu cele de la solicitarea axial, aa cum se vede n fig. 7.1, c, d1. n fig. (7.1, d) 2 este prezentat un alt mod de haurare a diagramei momentelor de torsiune, ntlnit uneori n literatur (de ex. n [13], [14]). Momente exterioare dispuse pe axa barei apar la sisteme plane de bare ncrcate normal pe planul lor (fig. 7.2, a) i la sisteme spaiale de bare (fig. 7.3). n figura 7.2, b este prezentat un exemplu n care apar momente exterioare distribuite dispuse pe ax. Se observ c n acest caz momentul de torsiune are variaie liniar pe zonele 1-2 i 3-4.

2 1

3

a

b

c

F a

c

Fb

c4

2

34

3

4

a

F

F

F

Fa Fa

Fb

Fa

q

h

q q mx= qh m

a b a ba b a

1 2 3 4 1 2 3 4

q

mxMt

b

Fig. 7.2

a

2 1 32a1F1 2a2F2

a2

a2

x2 1 3

y z

a1

a1

F1

F1 F2

F2

a2

a2

21 3

y z

a1

a1

F1

F1 F2

F2

M1

4

4 321 2a1F1 2a2F2 M1 M2

M1 = 2a2F2 2a2F2 M1 + M1 = 2a2F2 2a2F2

b

x

Fig. 7.3

n figura 7.4 este reprezentat un arbore care primete un moment la o turaie n


[rot/min] direct de la un motor, moment pe care arborele l transmite prin torsiune la o roat pe care este montat o curea, ce antreneaz un consumator. Puterea PP

[W] transmis de la motor prin arbore este preluat de roata care antreneaz cureaua, n ramurile creia apar eforturile S ', S ' ', ntre care exist relaia lui Euler S '= S ' 'e, unde este coeficientul de frecare ntre roat i curea iar este unghiul de nfurare. Reducnd forele S ', S ' ' fa de punctul B de pe axa arborelui se obin forele F i F aplicate n B i momentul M = (SV H 1 ' S ' ') R dirijat pe axa arborelui. Pe de alt parte, din relaia P = M , unde = 2n/60 este viteza unghiular n rad/sec, se obine

[ ][ ] 9,55[ / min

P WNmn rot

M =] . (7.2)

Relaia (7.2) stabilete legtura ntre putere i momentul M aplicat arborelui la

Fig. 7.4

Dac se ine seama de pierderile re n lagre, momentul consumat la

S (e 1) R =

turaia n. Momentul M nu este moment de rsucire, dei uneori este chiar numeric egal cu acesta. El este un moment exterior aplicat arborelui n timp ce momentul de torsiune Mt este un efort care apare n seciuni fcute n arbore.

de puteroata de curea este ceva mai mic dect momentul motor M. Neglijnd aceste pierderi, dac micarea se face cu vitez unghiular constant, suma momentelor exterioare fa de axa de rotaie x este nul. Din relaia

' ' [ ]P W9,55[ / ]n rot min

, (7.3)

se determin S ' ' i apoi S '= S ' 'e, iar pe baza acestora se obin componentele pe

rior M care are sensul i

axe FH i FV care se aplic arborelui n B (v. figura 7.4, b i c). Un caz similar este prezentat n fig. 7.5, a. Momentul extem crii de rotaie este motor iar M1 este rezistent. Roile corespunztoare se numesc motoare respectiv rezistent. Arborele va avea vitez unghiular constant, dac M = M1, adic

S 'f

F S '

FH

S '

S 'f

FVM1 = (S ' S ' ' )

xy z

(n ,

O

a)

c)

b)

ar-

B

FH

M

cureaFV

M1

MM


37

' '' ' ''1 1( ) ( )F F R F F R = 1 . (7.4)

l n care transmiterea puterii se face prin roi din e lan sau de c

n cazu ate, dfri iune, momentele aplicate de roi arborelui se obin cu relaia M = FR, unde F este fora tangenial care acioneaz la periferia roii de raz R. Pentru cazul din figura 7.5, b, arborele are viteza unghiular constant, dac 1 1F R F R= . Dac pe un arbore sunt montate mai multe roi de transmisie, ca n fig intre care una este motoare iar celelalte consumatoare, din bilanul puterilor, iP P= , rezult

i=M M . n ce privete modul de dispunere pe arbore, este indicat ca roata fie intercalat ntre roile rezistente, ca n figura

ura 7.6, d

motoare s 7.6, b, pentru c astfel momentul de torsiune maxim este mai mic dect M. n situaia din figura 7.6, a, momentul de torsiune maxim este egal cu momentul motor M.

Fig. 7.5

Fig. 7.6

Din exemplele prezentate se ob , n general, n afara momentelor serv cexterioare dispuse pe ax, apar i fore normale pe ax. Dei acestea din urm produc ncovoierea barei, se poate studia separat torsiunea, independent de ncovoiere.

M

a)

M M M M

M

M

M 4 + M 3 + M 2M 4 + M

MM M M M

M M 4 + M

M 1 + M M

b)

(P) (P1) (P2) (P3) (P4) (P)(P1) (P2) (P3) (P4)

M = F R

FR R1

F1

F1

b)

'F

' 'F '1F

' '1F

R1R

' ''1 1F F+

' ''( )F F R= M' ''F F+

' ''1 1 1 1( )F F R= M

F

M1 = F1 R1

a)


7.2 RSUCIREA BAREI DE SECIUNE INELAR SUBIRE. COMPORTAREA MATERIALELOR LA TORSIUNE

Se consider o bar prismatic de seciune inelar (v. fig. 7.7, a), avnd raza medie R i grosimea t


39

Comparnd (7.5) cu (7.8), rezult relaia cunoscut (v. 4.104) dintre constantele elastice E, i G,

2(1 )EG = + . (7.9)

Comportarea la torsiune a diferitelor materiale se studiaz experimental, n laborator, la fel ca i comportarea la solicitri axiale. n funcie de scopul urmrit, se pot folosi diverse tipuri de epruvete. Dac epruveta este tubular ca n figura 7.7, d, se poate considera c se realizeaz o stare omogen de tensiune de forfecare pur, deoarece variaiile nensemnate ale tensiunilor pe grosimea pereilor epruvetei pot fi neglijate. ncercrile se efectueaz la maini speciale, prevzute cu sisteme de msurare a momentului de rsucire Mt = M i a deformaiei unghiulare a epruvetei, adic a unghiului de rotire relativ a dou seciuni situate la distana l. Diagrama = (Mt) se numete caracteristica la rsucire a epruvetei. Pentru a determinarea caracteristica la rsucire a materialului, se determin i n funcie de Mt respectiv . Din ecuaia de echivalen

2dt RM R t s= v (v. fig. 7.7, a, b i (3.1)), se obine

expresia tensiunii tangeniale

22t t

t

M MR t W

= = , (7.10)

iar din egalitatea nn' = l = R (v. fig. 7.7, a), rezult lunecarea specific R R

l = = , (7.11)

unde reprezint unghiul de rsucire specific, adic unghiul cu care se rotesc una fa de alta dou seciuni transversale distanate cu o unitate de lungime. Din relaiile (7.10) i (7.11), innd seama i de legea lui Hooke, se mai obine relaia

32t t

t

M MR tG GI

= = . (7.12)

n domeniul elastic, deformaia specific unghiular se determin din relaia (7.8), msurnd deformaia 1 cu ajutorul unor traductoare electro-rezistive de exemplu. Rezult c i la rsucire (ca i la traciune) se poate trasa o diagram caracteristic pentru epruvet (n coordonatele -Mt) i o diagram caracteristic pentru material (n coordonatele -). Diagrama caracteristic la rsucire a oelului este asemntoare cu cea obinut la traciune. i la rsucire se constat existena unei zone de proporionalitate ntre tensiunile tangeniale i lunecrile specifice , zon pe care este valabil legea lui Hooke (7.5). De asemenea, la oeluri obinuite apare un palier de curgere urmat de o zon de ntrire. Ca i la traciune, pe diagrama caracteristic la rsucire se pot defini: limita de proporionalitate p, limita de elasticitate e, limita de curgere c (pentru materiale fr palier de curgere, limita tehnic de curgere 0,3), rezistena la rupere r. La rsucire fenomenul de striciune nu are sens. La epruvete tubulare confecionate din materiale


tenace apare totui o zon descendent n diagram, cauzat de un fenomen complex de pierdere a stabilitii formei cilindrice a epruvetelor n domeniul plastic, ns ele nu pot fi ncercate pn la rupere. Pentru astfel de materiale se utilizeaz epruvete cilindrice (masive). Dac ruperea se produce ntr-un plan normal pe axa epruvetei, ea este cauzat de tensiunile tangeniale transversale care acioneaz n acest plan. Epruvetele i barele confecionate din materiale fragile (cum este de exemplu fonta) se rup la rsucire dup suprafee care formeaz cu axa barei unghiuri de aproximativ 45o, deci ruperea are loc datorit atingerii limitei de rupere pentru tensiunile normale principale 1 (care sunt de ntindere). n sfrit, este posibil i ruperea datorit tensiunilor tangeniale care apar n seciunile longitudinale ca efect al dualitii tensiunilor tangeniale, aa cum se vede n figura 7.7, e. Acest aspect trebuie avut n vedere la calculul mbinrilor longitudinale ale barelor tubulare solicitate la rsucire, ca cea din figura 7.7, f, n care s-a reprezentat cu linii ntrerupte modul de deformare dup cedarea unei mbinri realizat incorect.

M sx

l

R

M m b a c

n d

dx

n'

x

s

Mt Mt

t

dx

a)

d)

a

cb'l

d l

d

a'l

c'

b

dx

xt

t

ds

1 =

/4 3/4

2 =

M M

ab

c d

ac

b) d)

c)

direcia 1 direcia 2 Traductoare

l

R, t


41

7.3 RSUCIREA BAREI DE SECIUNE CIRCULAR PLIN I INELAR

Un experiment similar celui prezentat la bara de seciune inelar subire conduce la concluzia c i la rsucirea barei prismatice de seciune circular plin sau inelar cu grosime mare a peretelui rmne valabil ipoteza de deformare a lui Bernoulli, conform creia seciunile se rotesc fa de ax ca un rigid, fr s se deplaseze n lungul axei, adic

y = z = yz = 0 , u = 0 x = 0 . (7.13) Fie o bar prismatic de seciune circular cu raza R. Se separ din bar un element infinitezimal de lungime dx iar n interiorul acestuia se consider un alt element cilindric de aceeai lungime dar de raz r (v. fig. 7.8, a).

b'j

= y

M d

Rj j

maxj

Mtj

nj

rj Mtj

dxj xj

mj

n'j

xnj nxj

nj sj

xj Cj aj bj

rj

ma

dA Cj

Mt

d)j

z rjyx

y

zj

C

b)j a)j

z

y

v

w

C

z

c)j

y

z Mt

Rj

Fig. 7.8

n funcie de momentele exterioare aplicate barei, momentele de torsiune pot fi constante sau variabile pe lungimea barei. Dup aplicarea acestor momente, seciunea x se rotete cu iar seciunea x + dx se rotete fa de seciunea x cu unghiul d, egal cu unghiul de rotire al razei Cn din seciunea x + dx fa de cel al razei corespondente din seciunea x. Din relaia nn' = max dx = R d se obine lunecarea specific la raza R iar din relaia bb' = dx = r d rezult lunecarea specific la o raz r oarecare,

, (7.14) max,r R = = unde

d ( d dd

)xx = = (7.15)


reprezint unghiul de rsucire specific, adic unghiul cu care se rotesc una fa de alta dou seciuni transversale distanate cu o unitate de lungime. Dac se cunoate , unghiul se obine din (7.15) prin integrare. Considernd c n seciunea x = 0 unghiul este nul, se poate scrie dx = , (7.16) iar dac = const., x = . (7.17) Ipoteza Bernoulli se poate formula i cu ajutorul deplasrilor u i v (v. fig. 7.8) Observnd c o raz r din seciunea x se rotete cu unghiul rmnnd dreapt i de aceeai lungime, pe baza figurii 7.8, c se pot scrie relaiile

v = sin = r sin , w = cos = r cos , (7.18) care, innd seama c r = z / sin = y / cos , devin v = z , w = y . (7.19) n cazul = const., se poate nlocui cu x (v. (7.17)). Adugnd i condiia u = 0, se obin urmtoarele componente ale deplasrii unui punct la rsucirea barei de seciune circular,

u = 0 , v = z x , w = y x . (7.20) Dac se introduc aceste expresii n relaiile lui Cauchy (4.67), rezult

0 , 0 , 0 , 0x y z yzu v w vx y z z = = = = = = = + =

wy

,

,zx xyw u u vy zx z y x

= + = = + = . (7.21)

Primele patru relaii reprezint restriciile (7.13) impuse de ipoteza lui Bernoulli. Folosind legea lui Hooke (4.105), din aceste relaii mai rezult x = y = z = yz = 0. Din ultimele dou relaii (7.21), pe baza legii lui Hooke, se obin componentele pe axele y i z ale tensiunii tangeniale,

yx = Gz , zx = Gy . (7.22) n figura 7.8, d sunt artate aceste componente. Se observ c tensiunea tangenial total este orientat pe tangenta la circumferina de raz r i are valoarea 2 2 2 2 2 2 2zx yx G y G z = + = + 2

, adic

. (7.23) G r = Relaia (7.23) se putea obine direct din (7.14) pe baza legii lui Hooke (7.5). Distribuia pe raz a tensiunilor tangeniale totale este reprezentat n figura 7.8, b. Se observ c tensiunile variaz liniar cu raza r, fiind nule n centrul seciunii i maxime lng contur, . max G R = Tensiunile max sunt orientate pe direcia s a tangentei la contur, adic normal pe raza Cn, satisfcnd astfel condiia la limit n ncrcri pe contur. ntr-adevr, dac max ar avea o alt orientare, prin descompunerea pe direciile s i n, tensiunile max


43

ar avea o component nx i conform dualitii tensiunilor tangeniale ar trebui ca pe suprafaa lateral a barei s existe ncrcri px, care ns lipsesc. Cunoscnd legea de distribuie a tensiunilor se poate obine valoarea lor n funcie de momentul de torsiune folosind relaia de echivalen ntre momentul de torsiune i tensiunile tangeniale care acioneaz n seciune. Pe baza figurii 7.8, b se poate scrie

dt AM r A= . (7.24) nlocuind cu (7.23), rezult .2 d tAG r A M = Aceeai relaie se obine din (7.1), introducnd componentele (7.22),

2 2 2( )d ( )dt zx yxA A dAM y z A G y G z A G r= = + = A . Cu notaia 2 d pA r A I= , (7.25) unde Ip este momentul de inerie polar al seciunii (v. i (2.9)) rezult relaia

tp tp

MGI MGI

= = , (7.26)

apoi, folosind nc o dat (7.23), se obine expresia tensiunii tangeniale,

tp

M rI

= . (7.27)

Din relaia (7.26) rezult c este constant, atunci cnd Mt este constant. Dac Mt este variabil cu x, relaiile (7.26) i (7.27) se scriu sub forma

( ) ( )( ) , ( , )tp p

tM xx x rGI I

= = M x r . (7.28)

Pentru o bar de lungime l solicitat de momentele de torsiune Mt(x), innd seama de (7.28)1 i de (7.16), rezult urmtoarea relaie de calcul a unghiului de rsucire relativ ntre extremitile barei,

1( ) ( )tpl l

x dx M x dxGI

= = . (7.29) Dac momentul de torsiune este constant pe lungimea l, unghiul de rsucire relativ ntre extremitile barei este

t tp t

M l MlGI k

= = = , (7.30)

unde s-a notat cu kt rigiditatea la torsiune a barei. Ea reprezint momentul de torsiune care produce barei de lungime l un unghi de rsucire relativ ntre extremiti egal cu unitatea,

1

pt t

GIk M

l== = . (7.31)


Produsul GIp, numit rigiditate specific la torsiune, reprezint momentul de torsiune care produce unitii de lungime un unghi de rsucire specific egal cu unitatea (v. (7.26)),

1p t

GI M == . (7.32) Pentru o bar format din mai multe tronsoane de rigiditi kti pe care momentele de torsiune Mti sunt constante, unghiul total de rsucire se obine cu relaia

ti ti ii iti pi

M M lk G

= = I . (7.33) Valoarea maxim a tensiunilor tangeniale, obinut pentru r = R, este

max tp

MW

= , (7.34) unde

max

pp

pI IWr R

= = , (7.35)

se numete modul de rezisten polar. Relaiile obinute sunt valabile i pentru bare de seciune tubular cu grosime mic sau mare a peretelui. Momentul de inerie axial pentru seciunea circular a fost dedus la p. 2.4 (v. (2.19), a). innd seama de (7.35) i de relaia Ip = 2Iy (v. (2.19), b), se obin expresiile: pentru seciunea circular de diametru D,

4 3

,32 16p pD DI W = = ; (7.36)

pentru seciunea inelar de diametre D i d = D , ( < 1),

4 4 44(1 )

32 32 32pD d DI = = ; (7.37)

44

34

(1 )32 (1 )

/ 2 16p

DDW

D

= = . (7.38) pentru seciunea inelar subire, cu raza medie R i grosimea t, innd seama c D d = 2t, D + d 4R, D2 + d2 8R2, pentru momentul de inerie polar i modulul de rezisten polar se obin expresiile care rezult din relaiile (7.12), (7.10),

4 4 2 2 3( ) ( )( )( ) 232 32p

I D d D d D d D d R t = = + + , (7.39)

22ppI

W RR

= t . (7.40) Observaii


45

Riguros vorbind, relaiile (7.26), (7.27) sau (7.28) sunt valabile numai dac momentele exterioare sunt aplicate la extremitile barei cu distribuia din figura 7.8, b pentru tensiuni tangeniale. ns pe baza principiul lui Saint-Venant diverse modaliti de aplicare a momentelor exterioare influeneaz numai local starea de tensiuni i deformaii. Dei s-a presupus bara prismatic, relaiile obinute se pot utiliza i pentru arbori cu variaii line ale momentelor de inerie.

Relaii pentru calculul la rsucire

Barele de seciune circular solicitate la rsucire trebuie s satisfac cerinele de rezisten i de rigiditate. Asigurarea condiiei de rezisten const n satisfacerea relaiei

max t ap

MW

= , (7.41)

unde a este rezistena admisibil la torsiune, care se determin cu relaia ca

cc

= , pentru materiale tenace , (7.42)

rarc

= , pentru materiale fragile , (7.43)

cc i cr fiind coeficieni de siguran fa de limita de curgere la rsucire respectiv fa de rezistena de rupere la rsucire. Asigurarea condiiei de rigiditate const n satisfacerea relaiei

saut tap p

M MGI GI a

l = = , (7.44)

unde a, a reprezint valori admise pentru rsucirea specific respectiv pentru unghiul de rsucire pe o lungime dat. Ele sunt date de obicei n o/m respectiv o, de aceea este necesar a fi transformate n rad/m respectiv rad. Pentru rezolvarea problemelor se calculeaz i se traseaz diagramele momentelor de torsiune, dup care, n funcie de natura problemei, se aplic relaiile din tabelul 7.1, care a fost ntocmit pe baza relaiilor (7.41), (7.44). n probleme de dimensionare se adopt cel mai mare dintre diametrele obinute pe baza celor dou criterii. n problemele de verificare, trebuie satisfcute cerinele ambelor criterii. n probleme de tip c) intereseaz valoarea minim a momentului capabil, dup care se determin valorile momentelor exterioare care pot fi aplicate barei. n probleme static nedeterminate, la care momentele exterioare care produc solicitarea de torsiune nu pot fi obinute numai cu ecuaiile de echilibru (v. de exemplu figura 7.3, b), se pot scrie ntotdeauna condiii suplimentare de deformaie. Astfel, pentru exemplul din figura 7.3, b, condiia suplimentar este 14 = 12 + 23 + 34 = 0, n care se folosete relaia (7.33).


Criteriul de rezisten Criteriul de rigiditate Criteriul Tipul problemei a Se d a Se d a a) Dimensionare maxtpnec

a

MW maxt

pneca

MIG

maxt

pneca

M lIG

b) Verificare maxtef apef

MW

= maxtef apef

MGI

= maxtef apef

M lGI

=

c) Moment capabil tcap pef aM W= tcap pef aM I G= atcap pefM I G l=


47

Teste

T 23. Relaia dintre putere P i momentul M aplicat arborelui la turaia n este :

1. [ ] [ ][ ]9,55 / minP kW

M kNmn rot

= , 2. [ ] [ ] [ ]7,55 / minM kNm P kW n rot= , 3. [ ] [ ] [ ]955 / minM kNm P kW n rot= , 4. [ ] [ ][ ]7,55 / min

P kWM kNm

n rot= ,

5. [ ] [ ][ ]/ min

9,55n rot

M kNmP kW

= ,

Tabel 7.1 T 24. Pentru un material, relaia dintre constantele elastice E, G, este : 1. ( )2 1

EG = , 2. ( )2 1EG = , 3. ( )

21

EG = , 4. ( )2 1EG = + ,

5. ( )1 2EG = +

T 25. Unghiul de rsucire specific pentru o bar de seciune circular solicitat la

torsiune este : 1. t pM GI = , 2. tp

MGI

= , 3. pt

GIM

= , 4. tp

M lGI

= , 5. t pM GI = T 26. Tensiunea tangenial maxim n seciunea transversal a unei bare, de seciune circular, solicitat la torsiune este : 1. funcie de modulul de elasticitate longitudinal al materialului din care este confecionat bara ; 2. funcie de momentul de inerie axial ; 3. funcie de modulul de rezisten polar ; 4. funcie de modulul de rezisten ; 5. funcie de momentul de torsiune T 27. Modulul de rezisten polar pentru o seciune inelar este :

1. 4

4(1 )64yDI = ; 2.

44(1 )

32pDI = ; 3.

3

16pDW = ; 4.

33(1 )

16pDW = ;

5. 3

4(1 )16pDW =

T 28. Se consider un arbore n trepte acionat de cuplurile M1 i M2 . Dac tensiunile tangeniale maxime pe cele dou tronsoane sunt egale, atunci relaia dintre M1 i M2 este : 1. 2 115M M= ; 2. 2 3 1M M= ; 3. 2 5 1M M= ; 4. 2 17M M= ; 5. 2 19M M=

dM2

M10,5d


T 29. Un arbore cu diametrul de 4 cm este fixat la capete i solicitat de dou momente 61,884 10M x Nm= m ca n figur. Tensiunea maxim n arbore are valoarea de : 1. 25MPa ; 2. 50MPa ; 3. 75MPa ; 4. 100MPa ; 5. 125MPa .

d

2l

M

l M

l

.

8. FLAMBAJUL BARELOR DREPTE COMPRIMATE

8.1 INTRODUCERE

n componena diverselor construcii inginereti exist elemente care la anumite valori ale ncrcrilor numite critice i pot schimba configuraia geometric stabil trecnd ntr-o nou configuraie geometric, instabil. Fenomenul poart numele de pierdere a stabilitii i este specific mai ales structurilor zvelte. n general, elementele care i-au pierdut stabilitatea nu-i mai pot ndeplini funciile pentru care au fost proiectate, fiind surse de avarii grave, uneori dezastruoase. Exist i elemente la care este acceptat posibilitatea pierderii stabilitii, ns odat cu aceasta se nrutete capacitatea portant a ansamblului din care elementele respective fac parte. n ambele cazuri asigurarea stabilitii este condiia hotrtoare n stabilirea dimensiunilor. De aceea, este foarte important s se cunoasc valorile ncrcrilor critice, condiiile n care se poate produce pierderea stabilitii i consecinele acesteia. ncrcrile i modurile de pierdere a stabilitii sunt de o foarte mare diversitate pentru diferite elemente ale construciilor inginereti. n ce privete barele, un caz cu importan practic deosebit este cel al barelor comprimate. Se face meniunea c n anumite condiii barele zvelte (confecionate din profile subiri) i pot pierde stabilitatea i datorit ncrcrilor ce produc ncovoierea sau torsiunea acestora. Fenomenul de pierdere a stabilitii formei rectilinii de echilibru a unei bare comprimate la o anumit valoare a forei de compresiune, numit for critic, se mai numete flambaj. n cele ce urmeaz se vor prezenta cteva aspecte privind pierderea stabilitii prin compresiune a barelor n domeniul elastic. Bazele teoriei stabilitii echilibrului elastic al barelor comprimate au fost puse de L. Euler cu mai mult de dou secole n urm. Concepia lui Euler se bazeaz pe procedeul folosit n Mecanic pentru stabilirea naturii echilibrului unui solid rigid ntr-o poziie dat (iniial). Conform acestui procedeu, se analizeaz tendina de micare a solidului dup deplasarea infinit mic a acestuia din poziia iniial ntr-o poziie vecin: dac solidul revine la poziia iniial echilibrul este stabil, dac se ndeprteaz i mai mult de poziia iniial echilibrul este instabil, iar dac nu mai revine n poziia iniial rmnnd n poziia deplasat, echilibrul este instabil la limit (indiferent). Cele trei tipuri de echilibru, stabil, instabil i instabil la limit (indiferent) pot fi ilustrate pe modelul mecanic foarte simplu din figura 8.1, n care solidul este o bil perfect sferic aezat n punctul inferior al unei suprafee netede concave (cazul a), n punctul superior al unei suprafee netede convexe (cazul b) respectiv pe o suprafa neted plan (cazul c). Energetic, pentru stabilirea naturii echilibrului n Mecanic se folosete teorema lui Lejeune-Dirichlet conform creia echilibrul este stabil cnd energia potenial este minim n comparaie cu energia potenial din orice poziie infinit vecin, este instabil cnd energia potenial este maxim fa de energia potenial din orice poziie infinit vecin i este instabil la limit dac n poziii infinit


vecine energia potenial are aceeai valoare.

M

(L (L ' )

jEchilibru instabil la li i j(N (N ' )

jEchilibru i bilj

(S '' )

jEchilibru bilj

(S) (S ' )

e)

F > Fcr

d)

F < Fcr

f)

EIy

x l

C

C '

F = Fcr

w(x

Q Q Q

z

b)a) c)

Vo

Fig. 8.1

Conform concepiei Euler, criteriul de instabilitate a formei rectilinii de echilibru pentru bara comprimat cu fora F este existena la o valoare critic a forei de compresiune a unei forme curbilinii de echilibru, vecin cu cea rectilinie, n care bara poate trece datorit unei mici fore transversale Q. Dup nlturarea forei Q, bara nu mai revine la forma rectilinie iniial de echilibru, rmnnd n poziia curbilinie de echilibru (figura 8.1, f). Acest mod de pierdere a stabilitii se numete flambaj iar fora critic se va nota n continuare cu Fcr i se va numi for critic, for Euler sau for de flambaj. Pierderea stabilitii conform concepiei Euler are loc prin bifurcarea poziiei de echilibru la valoarea Fcr ; pn la atingerea forei Euler bara se deformeaz numai prin compresiune, iar la valoarea Fcr , w poate avea orice valoare. Fora F nu poate fi mai mare dect Fcr iar sgeile w rmn nedeterminate ca mrime, putndu-se obine numai forma deformatei barei. Relaia dintre F i w este reprezentat grafic n figura 8.2 prin linia frnt (a). Aa cum se va vedea, valoarea Fcr se determin din ecuaia diferenial liniar a ncovoierii (6.56) n care momentul ncovoietor se scrie pe forma curbilinie cu mici deplasri w (calcul de ordinul I). Dac se renun la ipoteza micilor deplasri i se consider ecuaia diferenial exact (6.53), devine posibil i studiul comportrii post-critice a barei n domeniul elastic i deci stabilirea unei relaii ntre fora F > Fcr i deplasrile w. O astfel de relaie (v. de exemplu [24], [28], [30]) arat c la creteri foarte mici ale forei F deplasrile w au creteri foarte mari (curba (b) n figura 8.2). Concepia Euler are la baz modelul ideal al barei perfect drepte, confecionat dintr-un material perfect omogen i comprimat perfect centric n absena ncrcrilor transversale. n realitate, barele comprimate au abateri inevitabile de la aceste condiii ideale, putnd fi ncrcate i cu fore transversale.

Flambajul barelor drepte comprimate

51

w

FFcr

winiia

w

F

c

bF a

Fig. 8.2

n consecin, barele comprimate se deformeaz i prin ncovoiere nc de la nceputul aplicrii forei F. Studiul se face printr-un calcul de ordinul doi tot cu ecuaia diferenial liniar (6.56), inndu-se seama de toi factorii care influeneaz deformata barei, relaia dintre fora F i deplasrile w rezultnd neliniar. Se constat c n apropierea unei valori critice deformaiile de ncovoiere cresc extrem de rapid. Valoarea critic astfel determinat coincide cu valoarea Fcr obinut pe baza concepiei Euler. Acest mod de pierdere a stabilitii se numete prin deformare continu i este reprezentat grafic prin curba (c) din figura 8.2. Dei pierderea stabilitii prin bifurcare nu are echivalent la construcii reale, concepia Euler a fost folosit cu foarte bune rezultate pentru gsirea forei critice n domeniul elastic la bare i plci. Studiul stabilitii sistemelor elastice se poate face prin integrarea direct a ecuaiilor difereniale, prin metode energetice sau prin metode numerice. n cele ce urmeaz, studiul stabilitii elastice a barelor comprimate se va face prin integrarea ecuaiilor difereniale.

8.2 FLAMBAJUL N DOMENIUL ELASTIC

8.2.1 Stabilirea ecuaiei difereniale i integrarea ei

Se consider bara dreapt ideal din figura 8.1, avnd legturi oarecare la extremiti, care permit ns apropierea reciproc a lor. Sub aciunea unei fore perfect centrice de compresiune bara se comprim rmnnd rectilinie. Dac se aplic barei o for mic exterioar transversal Q bara se ncovoaie. Conform concepiei Euler, dac fora de compresiune are valori inferioare forei critice, dup ndeprtarea forei Q bara revine la forma iniial rectilinie de echilibru (figura 8.1, c). Dac fora de compresiune atinge valoarea forei critice Fcr (figura 8.1, a), bara nu mai revine la forma iniial rectilinie de echilibru; ea rmne n poziia de echilibru caracterizat de sgeile w(x). Cazul F > Fcr (figura 8.1, b) nu intereseaz. Fora critic reprezint deci acea for de compresiune pentru care este posibil forma curbilinie de echilibru reprezentat cu linie continu n figura 8.1, a, adic trebuie gsit fora minim, Fcr , pentru care w(x) 0 . (8.1) n presupunerea admis c flambajul are loc n planul zx, deformata barei este descris de ecuaia diferenial a fibrei medii deformate

, (8.2) '' ( ) ( )y yEI w x M x=


unde Iy est

Documents

Curs-RM2