Departamentul de Mecanică Master: Controlul Zgomotului şi VibraŃiilor DISCIPLINA: VIBRAłII NELINIARE ŞI ALEATOARE AplicaŃia 1 Se consideră sistemul:

( )( )

+−−=

+−=

22

22

yxyxdt

dx

yxxydt

dx

. (43)

Se cere să se studieze stabilitatea soluŃiei banale 0y ,0 ==x . Rezolvare: Sistemul primei aproximaŃii (aproximaŃia liniară) se obŃine prin neglijarea termenilor de putere mai mare sau egală cu doi, adică:

−=

=

xdt

dx

ydt

dx

, (44)

care are ecuaŃia caracteristică:

001

10=

−−

−

λλ

, respectiv 012 =+λ , (45)

având soluŃiile imaginare conjugate i±=λ . Rezultă că sistemul liniar este simplu stabil, fără a ne putea pronunŃa însă în privinŃa stabilităŃii sistemului neliniar (43). În acest sens, se consideră funcŃia pozitiv definită:

( ) 22, yxyxV += (46) şi se determină:

( ) ( )[ ] ( )[ ]2222 22, yxyxyyxxyxYy

VX

x

VyxW +−−++−=

∂∂

+∂∂

= ,

deoarece ( ) ( )2222 ; yxyxYyxxyX +−−=+−= , ceea ce conduce, după efectuarea calculelor, la expresia:

( ) ( ) 02,222 <+−= yxyxW în 2R . (47)

În conformitate cu prima teoremă a lui Liapunov rezultă că soluŃia 0y ,0 ==x este poziŃie de

echilibru asimptotic stabilă, deoarece ( )yxW , este negativ definită. AplicaŃia 2 Se consideră sistemul:

( )( )

+−−=

+−=

22

22

yxyxdt

dx

yxxydt

dx

λ

λ, (48)

care diferă de sistemul (43) numai prin coeficientul λ aplicat termenilor neliniari. Se cere să se studieze stabilitatea soluŃiei banale 0y ,0 ==x .

Rezolvare: Cu aceeaşi funcŃie pozitiv definită ( ) 22, yxyxV += (46), rezultă în această situaŃie:

( ) ( )[ ] ( )[ ]2222 22, yxyxyyxxyxYy

VX

x

VyxW +−−++−=

∂∂

+∂∂

= λλ ,

sau după efectuarea calculelor:

( ) ( ) 2,222 yxyxW +−= λ , (49)

care implică următoarea discuŃie: - pentru 0>λ se obŃine ( ) 0, <yxW (negativ definită) şi rezultă că soluŃia

0y ,0 ==x este poziŃie de asimptotic stabilă.

- pentru 0<λ se obŃine ( ) 0, >yxW (pozitiv definită) şi rezultă că soluŃia 0y ,0 ==x este nestabilă, conform teoremei de nestabilitate a lui Liapunov.

ObservaŃia 1 Teoremele lui Liapunov reprezintă condiŃii suficiente de stabilitate, respectiv de nestabilitate. Ele nu sunt însă şi condiŃii necesare, în sensul în care, dacă nu se găseşte o funcŃie ( )xV care să corespundă cu cele afirmate, nu este posibilă nicio concluzie asupra stabilităŃii (sau nestabilităŃii) pentru poziŃia de echilibru respectivă. FuncŃiile ( )xV cere corespund teoremelor enunŃate se numesc funcŃii Liapunov şi în general, nu există indicaŃii asupra modului în care se pot constitui aceste funcŃii. Pentru problemele de mecanică sau pentru ecuaŃii diferenŃiale care descriu comportarea sistemelor fizice, se pot deduce funcŃii Liapunov pornind de la mărimile fizice generale (de exemplu energia cinetică, funcŃia lui Hamilton etc.). De asemenea, este de menŃionat şi faptul că funcŃiile Liapunov se pot defini şi aplica şi în cazul sistemelor neautonome, în care timpul t apare direct în ecuaŃiile de mişcare. B. Stabilitatea sistemelor neautonome

EcuaŃiile diferenŃiale sunt de forma:

( ),,,,........., 21 txxxXdt

dxhk

k = hk ,.....,2,1= , (50)

iar funcŃia Liapunov se scrie şi în raport cu timpul t , adică: ( )txxxV h ,,,........., 21 , (51)

ceea ce determină ca definirea funcŃiilor de semn constant sau semidefinite să se facă Ńinând seama de acest fapt. Acest caz nu va fi dezvoltat în cadrul acestui studiu. ObservaŃia 2

NoŃiunea de stabilitate are un caracter local, ceea ce poate fi arătat printr-un exemplu. Astfel, pentru ecuaŃia diferenŃială:

( )22 α−= xxdt

dx, (52)

există trei poziŃii de echilibru: αα −=== 321 ;;0 xxx ,

pentru care se poate verifica uşor că: 01 =x este poziŃie de echilibru stabil;

α=2x şi α−=3x sunt poziŃii de echilibru nestabile,

de unde rezultă că poziŃia de echilibru stabilă 01 =x se află în vecinătatea poziŃiilor de

echilibru nestabile α=2x şi α−=3x .

EcuaŃia (52) se poate integra direct, având soluŃia:

( ) texx

xx

2220

220

0

αα

α

⋅−+

⋅= , (53)

pentru condiŃiile iniŃiale 00 xxt =→= .

Se regăsesc astfel, cu uşurinŃă, poziŃiile de echilibru:

1. pentru 00 =x , rezultă ( ) 01 =tx ;

2. pentru α=0x , rezultă ( ) α=tx2 ;

3. pentru α−=0x , rezultă ( ) α−=tx3 .

Din relaŃia (53) rezultă că, pentru ( )αα +−∈ ,0x :

( ) 0lim =∞→

txt

,

adică ( ) 01 =tx este o poziŃie de echilibru asimptotic stabilă.

Pentru α>0x sau α−<0x se observă că numitorul se anulează pentru timpul:

220

20

21 ln2

1

αα −=

x

xt ,

ceea ce implică: ( ) ±∞=

→tx

tt 1lim .

PoziŃia de echilibru ( ) 01 =tx poartă numele de atractor, iar domeniul ( )αα +−∈ ,x se numeşte bazin de atracŃie al atractorului 0=x .

* * *

Alte aspecte privind stabilitatea sistemelor autonome şi neautonome, cazul coeficienŃilor

periodici, metoda în planul fazelor etc., vor fi tratate ulterior, împreună cu aplicaŃiile

corespunzătoare.

* * *

AplicaŃia 3 Se consideră sistemul:

( )( )( )( )

−−+−=

−−−−=

22

2121

2

22

2121

1

421

4213

xxxxdt

dx

xxxxdt

dx

. (54)

Se cere să se studieze stabilitatea punctului singular 0 ,0 21 == xx . Rezolvare:

a. cu metoda liniarizării

Sistemul liniar corespunzător este:

−−=

+−=

212

211 3

xxdt

dx

xxdt

dx

, (55)

având soluŃia

⋅=

⋅=⋅

⋅

t

t

eBx

eAx

λ

λ

2

1 , (56)

care conduce, după înlocuirea lui (56) în (55) , la sistemul algebric omogen cu necunoscutele A şi B :

( )

( )

=+−−

=++−

01

031

BA

BA

λλ

. (57)

Pentru ca sistemul (57) să admită şi alte soluŃii decât soluŃia banală ( )0,0 == BA , trebuie ca determinatul sistemului:

( )

( )λλ

+−−

+−=∆

11

31, (58)

să se anuleze, ceea ce conduce la ecuaŃia caracteristică:

0422 =++ λλ , (59) care are soluŃiile:

31 ;31 21 ii −−=+−= λλ . (60)

Deoarece ( ) 01Re 1 <−=λ şi ( ) 01Re 2 <−=λ , poziŃia de echilibru 0 ,0 21 == xx este asimptotic stabilă, atât pentru sistemul liniar (55), cât şi pentru sistemul neliniar (54). b. cu metoda directă Liapunov (a doua metodă Liapunov)

Se încearcă funcŃia pozitiv definită (funcŃie Liapunov):

( ) 22

2121 3, xxxxV += , (61)

a cărei derivată în raport cu timpul conduce la expresia:

dt

dxx

dt

dxx

dt

dV 22

11 62 += , (62)

din care se obŃine, prin înlocuirea dt

dx1 şi dt

dx2 cu relaŃiile (54), derivata lui V , în virtutea

sistemului (54):

( )( ) ( )( )22

21212

22

21211 421642132 xxxxxxxxxxW −−+−−−−−= ,

sau după efectuarea calculelor:

( )( )22

21

22

21 42132 xxxxW −−+−= . (63)

1x

PoziŃie de echilibru nestabil 2

1

2x

0P

0P

2

2

1x

2

2−

PoziŃie de echilibru stabil

2

1−

2x

Figura 5

Pentru 0421 22

21 >−− xx , respectiv 1

2

1

2

12

22

2

21 <

+

xx, deci elipsă de semiaxe

2

1 şi

2

1, rezultă:

0<W (negativ definită), (64) adică poziŃia de echilibru 0 ,0 21 == xx este asimptotic stabilă,

Interiorul elipsei 1

2

1

2

12

22

2

21 =

+

xxreprezintă bazinul de atracŃie pentru atractorul

0 ,0 21 == xx (figura 5)

Pentru 0421 22

21 <−− xx , respectiv 1

2

1

2

12

22

2

21 >

+

xx, deci elipsă de semiaxe

2

1 şi

2

1, rezultă:

0>W (pozitiv definită), (65) adică, pentru condiŃiile iniŃiale considerate, curbele soluŃie nu mai intră în domeniul de atracŃie (figura 5).

Pentru 0421 22

21 =−− xx , respectiv 1

2

1

2

12

22

2

21 =

+

xx, rezultă:1

0=W , (66)

adică punctele de pe elipsă 2211 , CxCx == , cu condiŃia 142 22

21 =+ CC , reprezintă

poziŃii de echilibru nestabil (figura 5).

Curba 142 22

21 =+ xx este un ciclu limită ( în acest caz, ciclu limită nestabil).

Studiul stabilităŃii în planul fazelor (spaŃiul fazelor)

Studiul stabilităŃii ne conduce, în general, la rezolvarea unui sistem de ecuaŃii diferenŃiale

ale mişcării (sistem dinamic) şi studiul stabilităŃii soluŃiilor obŃinute. Aşa cum s-a arătat, aceasta conduce la studiul ecuaŃiilor diferenŃiale în perturbaŃii (sistemul Liapunov).

O rezolvare a problemei se poate obŃine prin reprezentarea în spaŃiul fazelor, format din coordonatele generalizate şi impulsurile generalizate.

Spre exemplu, în cazul sistemelor cu un grad de libertate, ecuaŃia diferenŃială a mişcării se scrie:

( ) 0,, =+ txxfx &&& , (67) care se poate transforma într-un sistem de ecuaŃii diferenŃiale de ordinul întâi, folosind notaŃia:

yx =& . (68) Rezultă în acest mod:

( )

−=

=

txyfy

yx

,,&

&, (69)

din care, cu ajutorul notaŃiilor:

( )

( ) ( )

=−

=

=

=

txxftxyf

txxfy

xy

xx

,,,,

,, ;

212

211

2

1 , (69a)

se obŃine:

( )

( )

=

=

txxfdt

dx

txxfdt

dx

,,

,,

2122

2111

, (70)

care este, în general, neautonom deoarece 1f şi 2f depind direct de variabila independentă t .

Pentru continuarea studiului, se consideră cazul sistemelor autonome ( 1f şi 2f nu depind direct de variabila independentă t ), ceea ce implică pentru sistemul (70) forma:

( )

( )

=

=

2122

2111

,

,

xxfdt

dx

xxfdt

dx

, (71)

care se poate generaliza, pentru cazul a n variabile nxxx ,,........., 21 ale spaŃiului fazelor,

obŃinându-se:

( ) n.1,2,....,icu ,,,........., 21 == nii xxxf

dt

dx, (71a)

sau, sub formă matriceală: { } ( ){ }xfx =& , (71b)

în care { } nRx ∈ este vector de stare al sistemului, { } [ ]Tnxxxx ,,........., 21= , iar ( ){ }txf , este

vector de câmp, având componentele { } [ ]Tnffff ,,........., 21= .

Conform teoremei de existenŃă şi unicitate a soluŃiei, care stabileşte că dacă vectorul de

câmp { }f este de clasă rC cu 1≥r (adică o funcŃie continuă împreună cu primele r derivate

continue), atunci sistemul (71b) admite o soluŃie ( )tx , continuă şi de clasă rC . Dacă se

consideră şi condiŃia iniŃială la 0tt = (de obicei zero) { } { }0xx = , soluŃia este unică ( adică

există o singură soluŃie care trece prin punctul { }0x la momentul 0t .

Revenind la sistemul (71) şi considerănd că 0;0 21 == xx este poziŃie de echilibru,

astfel încât ( ) ( ) 00,0 ,00,0 21 == ff , rezultă prin dezvoltarea în serie de puteri a funcŃiilor

( ) ( ) 0, ,, 212211 =xxfxxf în jurul valorilor 0;0 21 == xx :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+++=

+++=

22

2122221212212

22

2112121111211

,0,0,

,0,0,

xxxaxafxxf

xxxaxafxxf

ϕ

ϕ, (72)

sau, Ńinând seama că ( ) ( ) 00,0 ,00,0 21 == ff :

( ) ( )( ) ( )

++=

++=

22

212222121212

22

211212111211

,,

,,

xxxaxaxxf

xxxaxaxxf

ϕ

ϕ, (72a)

unde funcŃiile 1ϕ şi 2ϕ conŃin numai termeni începând cu gradul doi în 21 si xx .

Dacă ne limităm la sistemul liniar (termenii liniari din (72a)), sistemul (71) devine:

+=

+=

2221212

2121111

xaxadt

dx

xaxadt

dx

, (73)

pentru care 0;0 21 == xx este soluŃie. Sistemul (73) admite soluŃii de forma:

tt eCxeCx ⋅⋅ == λλ2211 ; , (74)

care înlocuite în sistemul (73), conduce la sistemul algebric omogen cu necunoscutele 1C şi

2C :

( )

( )

=−+

=+−

0

0

222121

212111

CaCa

CaCa

λ

λ, (75)

care admite şi altă soluŃie decât cea banală ( 0;0 21 == CC ) dacă este îndeplinită condiŃia:

02221

1211 =−

−=∆

λλ

aa

aa. (76)

EcuaŃia caracteristică rezultată din dezvoltarea determinantului:

( ) 02112221122112 =−++− aaaaaa λλ , (76a)

are rădăcinile 1λ şi 2λ , care reprezintă valorile proprii ale matricei:

[ ]

=

2221

1211

aa

aaA . (77)

Prin împărŃirea ecuaŃiilor sistemului (73), se elimină timpul t , obŃinându-se:

222121

212111

2

1

xaxa

xaxa

dx

dx

+

+= . (78)

SoluŃiile (74) reprezintă traiectoria de fază în planul 121; xxx &= , numit planul fazelor, iar

punctul 0;0 21 == xx se numeşte punct critic sau poziŃie de echilibru, al cărui tip depinde de

tipul rădăcinilor 1λ şi 2λ ale ecuaŃiei caracteristice. Se pot deosebi următoarele cazuri:

a. Rădăcinile 1λ şi 2λ sunt reale, pozitive şi distincte

SoluŃiile particulare sunt:

tteCeC

⋅⋅ == 20,22

10,11 ; λλ ξξ , (79)

iar soluŃia generală se scrie:

+=

+=

⋅⋅

⋅⋅

tt

tt

eCeCx

eCeCx

22,2

11,22

22,1

11,11

λλ

λλ

. (80)

O reprezentare în planul fazelor ( )21,ξξ este dată în figurile 6a şi 6b şi anume: în figura

6a, 21 λλ < , iar în figura 6b, 21 λλ > . Traiectoriile de fază au proprietăŃile:

.lim ;lim

;0lim ;0lim

21

21

±∞=±∞=

==

+∞→+∞→

−∞→−∞→

ξξ

ξξ

tt

tt

Punctul critic 0;0 21 == xx se numeşte în acest caz nod nestabil.

b. Rădăcinile 1λ şi 2λ sunt reale, negative şi distincte

Formele proprii (soluŃiile particulare) sunt:

tttteCeCeCeC

⋅−⋅⋅−⋅ ==== 2211222111 ; λλλλ ξξ , (81)

care îndeplinesc condiŃiile: ;0lim ;0lim 21 ==

+∞→+∞→ξξ

tt. (82)

Traiectoriile de fază sunt prezentate în figurile 7a şi 7b şi anume: în figura 7a, 21 λλ < ,

iar în figura 7b, 21 λλ > . Curbele sunt asemănătoare celor din figura 6, dar sunt parcurse în

sens invers. Punctul critic 0;0 21 == xx se numeşte în acest caz nod asimptotic stabil.

c. Rădăcinile 1λ şi 2λ sunt reale,de semne opuse

Formele proprii (soluŃiile particulare), pentru 0 si 0 21 <> λλ , sunt:

ttteCeCeC

⋅−⋅⋅ === 22122211 ; λλλ ξξ , (83)

care îndeplinesc condiŃiile: 0lim ;lim 21 =±∞=

+∞→+∞→ξξ

tt. (84)

Traiectoriile de fază sunt prezentate în figurile 8a. În figura 8b este prezentat cazul 0 si 0 21 >< λλ , pentru care soluŃiile particulare îndeplinesc condiŃiile:

±∞==+∞→+∞→ 21 lim ;0lim ξξ

tt. (85)

Punctul critic 0;0 21 == xx este în acest caz nestabil şi se numeşte punct şa.

Figura 7b

( )0,0O

2ξ

1ξ

( )0,0O

1ξ

2ξ

Figura 7a Nod asimptotic

stabil

( )0,0O

2ξ

1ξ

( )0,0O

1ξ

2ξ

Figura 6a Figura 6b

Nod nestabil

d. Rădăcinile 1λ şi 2λ sunt complexe (conjugate): ( )0 2,1 ≠±= αβαλ i

În locul soluŃiilor de forma:

( ) tie ⋅+ βα şi ( ) tie ⋅− βα , pot fi considerate combinaŃiile lor liniare:

teCteC tt ⋅=⋅= ⋅⋅ βξβξ αα sin ;cos 2211 . (86) Curbele din planul fazelor sunt de tip spirală. Se deosebesc două cazuri: d1. 0>α - ±∞=±∞=

+∞→+∞→21 lim ;lim ξξ

tt- curbele se îndepărtează de poziŃia de echilibru

( )0,0O . Punctul critic se numeşte în acest caz focar nestabil (figura 9a).

d2. 0<α - 0lim ;0lim 21 ==+∞→+∞→ξξ

tt- curbele se apropie de poziŃia de echilibru ( )0,0O .

Punctul critic se numeşte în acest caz focar stabil (figura 9b).

e. Rădăcinile 1λ şi 2λ sunt pur imaginare: ( )0 2,1 ≠±= ββλ i

În locul soluŃiilor de forma:

tie ⋅β şi tie ⋅− β , pot fi considerate combinaŃiile lor liniare:

tCtC ⋅=⋅= βξβξ sin ;cos 2211 . (87)

( )0,0O

Focar stabil (asymptotic)

0<α

Figura 9b

2ξ

( )0,0O

Focar nestabil 0>α

Figura 9a

1ξ

2ξ

0 ;0 21 <> λλ

( )0,0O

2ξ

1ξ

( )0,0O

1ξ

2ξ

Figura 8a Figura 8b

Punct şa (nestabil)

0 ;0 21 >< λλ

Traiectoriile în planul fazelor sunt elipsele:

122

22

21

21 =+

CC

ξξ, (88)

iar punctul singular ( )0,0O se numeşte centru şi este simplu stabil (figura 10).

f. Rădăcinile 1λ şi 2λ sunt reale şi

egale: λλλ == 21 . Se deosebesc două cazuri: f.1. ecuaŃiile (73) nu se decuplează, când soluŃiile sunt de forma:

tt etCeC ⋅⋅ ⋅== λλ ξξ 2211 ; (89) şi reprezintă un caz particular al cazurilor a şi b , adică nod, în cele două variante indicate: 0<λ - nod stabil; 0>λ - nod nestabil. f.2. ecuaŃiile (73) se decuplează, când soluŃiile sunt de forma:

tt eCeC ⋅⋅ == λλ ξξ 2211 ; , (90) iar traiectoriile sunt semidrepte. Punctul critic se numeşte stea şi se deosebesc următoarele două situaŃii: 0<λ - stea stabilă (figura 11a); 0>λ - stea nestabilă(figura 11b).

. g. O rădăcină nulă 02 =λ şi cealaltă nenulă 01 ≠= λλ

În acest caz soluŃiile sunt:

teCC ⋅== λξξ 1122 ; , (91)

iar traiectoriile în planul fazelor sunt linii drepte (de fapt semidrepte), paralele cu axa 1ξO .

Este de remarcat faptul că, în afară de ( )0,0O , poziŃii de echilibru sunt şi punctele de pe axa

2ξO ( )arbitrar ,0 21 −= ξξ . Se deosebesc următoarele două situaŃii:

0>α - ±∞=+∞→

1lim ξt

(figura 12a); 0<α - 0lim 1 =+∞→ξ

t (figura 12b)

( )0,0O

2ξ

1ξ

Figura 11b- stea nestabilă ( )0>λ

( )0,0O

2ξ

1ξ

Figura 11a- stea stabilă ( )0<λ

y

1θ

2ξ

1ξ

( )0,0O

Figura 10- Centru

h. Ambele rădăcini sunt nule 021 == λλ .

Se deosebesc două cazuri: h.1. ecuaŃiile (73) nu se decuplează, când soluŃiile sunt de forma:

22211 ; CtCC =⋅+= ξξ , (92)

ceea ce permite constatatea că, pentru 02 =C ,

există puncte de echilibru pe dreapta 1ξO

( )02 =ξ . Pe traiectoriile de fază viteza este

constantă, fiind egală cu 2C (figura 13). h.2. ecuaŃiile (73) se decuplează, sistemul fiind de forma: 0 ;0 21 == ξξ && , (93) iar soluŃiile se scriu: 2211 ; CC == ξξ , (94) ceea ce permite constatatea că toate punctele din planul fazelor reprezintă poziŃii de echilibru (puncte critice). Pentru clasificarea punctelor critice s-au utilizat coordonatele normale 1ξ şi 2ξ , menŃionând că, caracterul punctului critic nu se modifică prin revenirea la coordonatele iniŃial utilizate 1x şi

2x , care sunt legate de coordonatele normale prin relaŃiile liniare de tipul:

22,211,2222,111,11 x; ξξξξ CCCCx +=+= . (95)

AplicaŃia 4 Se consideră sistemul:

−=

+=

212

211

24 xxdt

dx

xxdt

dx

, (96)

care se poate scrie matriceal:

( )0,0O

2ξ

1ξ

Figura 12a ( )0>λ

( )0,0O

2ξ

1ξ

Figura 12b ( )0<λ

( )0,0O

2ξ

1ξ

Figura 13

−=

2

1

2

1

24

11

x

x

x

x

&

&, sau { } [ ]{ }xAx =& , (96a)

unde

−=

24

11A .

Valorile proprii sunt date de ecuaŃia:

024

11det =

−−

−

λλ

, sau 062 =−+ λλ ,

ale cărei soluŃii sunt: 2 ;3 21 =−= λλ . Cazul corespunde celui studiat la punctul c (rădăcini reale de semne opuse), cu deosebirea că aici s-a notat 02 ;03 21 >=<−= λλ . Punctul critic este de tip şa, care este nestabil.

Vectorii proprii corespunzători valorilor proprii 2 ;3 21 =−= λλ , sunt: ( )1,1 ;2,2

121 uu

− .

În coordonate normale sistemul (96a) devine:

=

−=

22

11

2

3

ξξ

ξξ

dt

d

dt

d

, sau

−=

2

1

2

1

20

03

ξξ

ξξ&

&

, respectiv { } [ ]{ }ξξ 1A=& .

Matricea de transformare a coordonatelor este:

[ ]

−=

12

12

1M ,

iar transformarea: { } [ ]{ }ξMx = . Notând cu A şi B constantele de integrare, rezultă:

tt BeAe ⋅⋅− == 22

31 ; ξξ ,

de unde:

−=

⋅

⋅−

t

t

Be

Ae

x

x

2

3

2

1

12

12

1 ,

sau:

( )

( )

+−=

+=

⋅⋅−

⋅⋅−

tt

tt

BeAetx

BeeA

tx

232

231

2

2 ,

ceea ce permite reprezentarea traiectoriilor de fază (figura 14). Dreptele punctate xy 2= şi

xy −= reprezintă punctele în care traiectoriile din planul

fazelor au tangente paralele cu axa 1Ox , respectiv paralele cu axa 1Oy .

Se regăsesc proprietăŃile punctului şa pentru ( )0,0O , pentru care poziŃia de echilibru este nestabilă.

( )0,0O

0

;0

>

<

B

A

0;0 =< BA 2x

j 2u

0;0 >= BA

0;0 >> BA

1x

i

1u

0

;0

<

>

B

A

0;0 << BA

0;0 <= BA 0;0 => BA

Figura 14

AplicaŃia 5 Se consideră sistemul:

+=

+=

212

211

23

2

1

2

3

xxdt

dx

xxdt

dx

, (97)

unde

=

232

1

2

3A , iar valorile proprii şi respectiv vectorii proprii sunt 3 ;

2

121 == λλ şi

( ) ( )3,1 ;2,1 21 uu − . Sistemul corespunde cazului a , rădăcini reale, pozitive şi distincte. În coordonate normale soluŃiile sunt:

t

t

BeAe ⋅== 32

21 ; ξξ ,

iar în coordonatele 21 x,x :

−=

⋅t

t

Be

Aex

x

3

2

2

1

32

11,

respectiv:

( )

( )

+−=

+=

⋅

⋅

t

t

t

t

BeAetx

BeAetx

322

321

32

.

Traiectoriile de fază sunt reprezentate în figura 15. Liniile punctate reprezintă punctele în care traiectoriile de fază au tangente paralele cu axele

1Ox , respectiv 2Ox . Punctul

( )0,0O este un nod divergent ( nestabil). AplicaŃia 6 Se consideră sistemul:

−=

−=

212

211

3

33

xxdt

dx

xxdt

dx

, (98)

unde

−

−=

13

33A , iar valorile

proprii şi respectiv vectorii

proprii sunt ;511 i+=λ

512 i−=λ şi ( );3,21u

( )0,5 2 −u . În coordonate normale soluŃiile sunt:

( ) ( )BtAeBtAe tt +⋅=+⋅= 5cos ;5cos 21 ξξ ,

iar în coordonatele 21 x,x :

0;0 =< BA

0

;0

>

<

B

A

2x

0;0 >> BA

1x

1u

0;0 => BA

0

;0

<

>

B

A

( )0,0O

0;0 << BA

0;0 >= BA

2u

0;0 <= BA

Figura 15

( ) ( )[ ]( )

+⋅=

+⋅−+⋅=

BtAe

BtBtAex

t

t

5cos3 x

5sin55cos2

2

1 .

Sistemul corespunde cazului d , rădăcini complexe conjugate cu 01 >=α . Traiectoriile de fază sunt reprezentate în figura 16. Liniile punctate corespund punctelor în care traiectoriile de fază au tangentele paralele cu axele 1Ox , respectiv 2Ox .

Punctul singular ( )0,0O este un focar

nestabil (divergent). ObservaŃie: Din aplicaŃiile prezentate rezultă că reprezentarea în planul fazelor ( )21, xx faŃă de reprezentarea în planul coordonatelor normale ( )21,ξξ nu schimbă nici natura

punctului singular şi nici genul curbelor

soluŃie („traiectoriile” de fază). Se constată numai că, curbele soluŃie, suferă o „deformare” în planul ( )21, xx , faŃă de

( )21,ξξ .

j

2u

i

1u

( )0,0O

Figura 16

1x

2x