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Cuadernillo de nivelación – UNdeC
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Curso de nivelación UNdeC
Fundamentación – Propuesta didáctica
La matemática es una ciencia viva, ello implica tener que encontrar todo
el tiempo los nuevos patrones que ayudan a comprenderla, los patrones
del mundo circundante y las diversas representaciones que se pueden
hacer de este.
Sabiendo que el lenguaje de la matemática está basado en una serie de
procedimientos, de reglas que debemos aprender, es fundamental vestir
de sentido a esos procedimientos, que los ingresantes puedan ser capaces
de expresar qué cosas suceden cuando resolvemos un problema para que
esas reglas, esos procedimientos, no estén vacíos de sentido. De modo
que la enseñanza se despliega en la resolución, análisis y validación de
los resultados de los problemas que se desarrollan en las clases. No se
trata de “enseñar” procedimientos o algoritmos vacíos de sentido y de los
cuales los ingresantes no comprenden para qué se utilizan, que problemas
resuelven y por qué se hace lo que se hace.
Esta transformación copernicana de la práctica está orientada en el
desarrollo de una serie de conceptos estelares, para nuestro curso
introductorio tomaremos dos de ellos la modelización de los campos
numéricos y la modelización funcional. Esta transformación de cómo
presentaremos los contenidos hará que nuestros ingresantes de la UNdeC
se involucren en la apropiación del saber matemático donde nuestro
trabajo estará centrado en:
a) Construir argumentaciones en la resolución y no memorizar
procedimientos
b) Explorar sobre los patrones que se presentan en los problemas y no
simplemente memorizar una fórmula o un algoritmo.
c) Formular conjeturas, tesis de resolución y no sólo hacer ejercicios.
Estos tres principios dan cuenta del enfoque de la enseñanza de la
matemática. Es por esta razón que debemos tenerlos presentes a lo largo
de todas las clases.
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Es en este sentido que nuestros ingresantes a la Universidad como todo
sujeto que quiera aprender esta disciplina, debe comprender que esto se
logra, explorando en una dinámica que evoluciona. Nuestra disciplina no
es una ciencia cerrada y acabada, rígida y absoluta de leyes a memorizar.
El valor de esta ciencia matemática y en particular la matemática
educativa está en poder encontrar esos patrones que permiten
modelizarla.
Podemos sostener entonces que la matemática que desarrollaremos en
este curso de ingreso es una matemática creativa y recreativa, que
resolverá problemas, que encontrará regularidades, y que con estas
conclusiones podremos abordar problemas nuevos, de nuevo tipo porque
los pasos serán firmes y seguros en la construcción del conocimiento y no
algo segmentado y fragmentado por una operatoria que no está anclada
en ningún lugar.
La actividad que nuestros ingresantes desarrollarán en las clases de
matemática deben estar relacionados con un sentido determinado, ese
sentido será el que cada estudiante le otorgue al trabajo matemático que
estará desarrollando y ahí está la clave de impregnar sentido a un
concepto aprendido. El sentido de ese concepto está en la tipología de
problemas que los estudiantes resuelvan, ya sean estos en un contexto
intra matemático o extra matemático.
Por esta razón la construcción del sentido es para nosotros central en la
clase y en el trabajo que se desarrolle en la misma. Estas clases deben
estar cargadas de trabajo individual, compartido de a dos y en pequeños
grupos. Este trabajo debe tener debates de puesta en común para
analizar estrategias de resolución y argumentación por nuestros
ingresantes.
Propósito del curso.
Teniendo en cuenta que habrá dos modalidades de cursada una presencial
y en horarios específicos, esta propuesta también estará a disposición de
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los ingresantes que no han cumplimentado la
trayectoria del curso de ingreso presencial.
Con lo cual los propósitos aquí descriptos serán los
que se pongan en consideración del trabajo inicial
con los ingresantes.
• Partir de la premisa que todos pueden
aprender matemática
• Realizar un trayecto formativo que construya
sentido sobre qué se hace en la clase de
matemática.
• Orientar el trabajo y los debates en el aula,
dando las herramientas argumentativas para
que nuestros ingresantes cobren seguridad y
puedan abordar la resolución de un problema
como así también comunicar sus propios
recorridos.
• Que los ingresantes se apropien en el trabajo
matemático de una práctica intelectual y
argumentativa característica y propia del
ámbito universitario.
Propuesta metodológica.
La propuesta estará centrada en tres dimensiones.
a) El trabajo en el aula de producción individual y colectiva con la
puesta en común guiadas y validadas por los docentes a cargo del
mismo.
b) El trabajo domiciliario de las propuestas donde podrán profundizar
y seguir fijando un conocimiento explorado en las clases.
c) La práctica evaluativa de los problemas planteados como forma de
argumentación, apropiación y comunicación del trabajo matemático
aprendido.
Dialectica del enseñar y el aprender
Espacio de trabajo -clima de la clase
Estrategias diversas de resolucion de problemas
Uso del tiempo
Seguimiento del trabajo en el aula y fuera de ella
Instancias de retroalimentacion
Espacios de tutorias
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Estos elementos pueden ser guía tanto para los ingresantes que cursan
normalmente el trayecto del curso inicial, como también los que realizarán
en forma autodidacta el desarrollo de este.
El siguiente esquema puede plantear la estructura del camino a
desarrollar en el curso de ingreso.
Teniendo en cuenta las características señaladas anteriormente, se define
el perfil del ingreso a la UNdeC, que incluye la adquisición de diversas
capacidades como, por ejemplo:
• Comunicar de manera adecuada en cualquier situación
problemática planteada.
• Desarrollar el pensamiento crítico, iniciativa y creatividad:
• Habilidad para abordar situaciones problemáticas, analizando
rigurosamente la información sobre la base de los conocimientos y
saberes disponibles.
• Desarrollar trabajo colaborativo en equipos dentro y fuera del aula.
Sobre este esquema el trabajo dentro del curso inicial debe contemplar y
abordar las siguientes características.
Ingreso UNdeC
Resolución de Problemas Comuncar en
matemática
Trabajo colaborativo
Estrategias creativasTutorías
Uso de la tecnología
Modelizaciones
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Sobre el uso de la tecnología debemos desarrollar ahí también algunas
capacidades que muchas veces damos por sabidas para los estudiantes
que ingresan y no siempre eso es así.
La alfabetización digital, en la construcción de simuladores, uso de la
calculadora, graficadores y programas como el geogebra son centrales en
la formación de cualquier profesional.
Con lo cual el desarrollo de capacidades que tienen que ver con el uso de
diversas aplicaciones y recursos TIC para escribir un texto, graficar, editar
videos, entre otras acciones, lo que permitirá el control de dispositivos
físicos y en movimiento a partir de la programación, así como el
modelado, la simulación y el manejo de datos.
Es en este sentido que desde el ingreso y durante el recorrido de la
formación del profesional que formamos en UNdeC debe transitar el
camino que apropie los saberes y usos que la tecnología ofrece.
Alfabeti-zación digital
Modelizar y simular
Uso de la TIC
Capacidades digitales
Conoci -miento
de Soft
Manejo de soft
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Contenidos
Módulo I
MODELIZACIÓN DE LOS CAMPOS NUMÉRICOS
CONTENIDO
Producción de fórmulas que cumplan una cierta regularidad o que surgen de
generalizar problemas de conteo.
Transformaciones que den cuenta de la equivalencia entre las diferentes
escrituras de las fórmulas producidas.
El uso del recurso algebraico para validarlas.
Análisis de la estructura de un cálculo para decidir cuestiones de divisibilidad
Cálculo de restos. Producción, formulación y validación de conjeturas referidas
a cuestiones de divisibilidad.
Las operaciones y sus sentidos en los diferentes campos numéricos. El recurso
algebraico para formular y validar conjeturas que involucren sus propiedades
y el orden en cada conjunto numérico.
Propiedades que se preservan y propiedades que se modifican en función de
cada campo numérico.
Análisis del funcionamiento de distintos tipos de calculadora
en la resolución de cálculos combinados.
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Módulo II
MODELIZACIÓN FUNCIONAL
CONTENIDO
Interpretación y producción de gráficos que representan relaciones entre
variables.
Inferencia de información a partir de la lectura de gráficos.
Funciones dadas en diferentes representaciones,
incluyendo recursos informáticos. Comparación de
las formas de representación.
Análisis de procesos que demanden el uso de modelos
funcionales (lineal, cuadrático, polinómico, exponencial, trigonométrico, etc.) y las ecuaciones
asociadas.
Problemas con infinitas soluciones y problemas sin solución.
Estudio del comportamiento de cada modelo funcional (raíces, vértices, crecimiento, decrecimiento, positividad, negatividad,
asíntotas, etc.).
Uso de recursos informáticos.
Modelización matemática de situaciones apelando a las funciones para anticipar resultados, estudiar
comportamientos.
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Tutorías y acompañamiento
La Universidad Nacional de Chilecito tiene un espacio y sistematizado acompañamiento de tutorías lo que facilitaría el desarrollo de este ingreso
en algunas dimensiones como por ejemplo complementar el trabajo del aula, o acompañar a quienes realizan este trayecto en forma individual
sin cursar el mismo.
Las tutorías son espacios de trabajo propuestos por la universidad en los cuales el tutor, que cuenta con el dominio de la asignatura, trabaja en
dos sentidos convergentes: uno para evitar el desgranamiento o
abandono de los ingresantes ante las dificultades que puedan presentarse, ante los desafíos y exigencias que representa la inclusión en
el espacio universitario y simultáneamente el otro, para colaborar con los procesos de estudio que implican, dudas e incertidumbres propios del
abordaje disciplinario.
Las prácticas tutoriales cuyo propósito es generar mejores condiciones
para la retención del estudiantado, la enseñanza y el aprendizaje mediante intervenciones en el plano de las dimensiones vincular y
académica de la vida Universitaria.
Si bien las prácticas tutoriales son complejas, heterogéneas y diversas,
todas comparten la intención de acompañar, sostener y apoyar las trayectorias académicas del estudiantado, tanto en el ingreso como
durante las carreras elegidas.
En este espacio desarrollamos estrategias y acciones de los distintos actores institucionales. Con lo cual la tutoría debe ser comprendida como,
Proyecto Institucional y tarea colaborativa; la revisión y redefinición de los alcances de las funciones de los tutores y La tutoría como espacio
curricular de trabajo con los ingresantes.
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Tutoría como proyecto Universitario
Tutoría como acompañamiento
del trabajo curricular
Tutroría como trabajo
colaborativo
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Modelos numéricos
¿Cómo enseñar mejor matemática?, esta pregunta es recurrente para
todos nosotros, los que nos dedicamos a la enseñanza de esta ciencia,
cuando observamos que las clases y nuestros estudiantes buscan
construir un sentido a lo aprendido.
Esta sección del curso de ingreso la dedicaremos a la modelización de los
campos numéricos como expresión de un procedimiento que refiere a
resolver problemas en contextos y en esa estructura del conocimiento
matemático.
Para ello haremos una breve intervención sobre la enseñanza de la
matemática primero y luego sobre la aritmética y el álgebra de los
números.
Todo este enfoque del trabajo matemático orientado a los conceptos
estelares de la modelización implica que podamos realizar un amplio
acuerdo didáctico sobre la enseñanza de la matemática, el rol del profesor
de la universidad y en particular del ingreso a la UNdeC. Tiene una doble
función en el aula, por un lado, introducción en el régimen académico a
los estudiantes y por el otro ofrecer un atractivo trabajo de razonamiento
y generalización del saber matemático.
Si bien los profesores de matemática para la mirada de estudiantes y la
sociedad en general parece bastante homogénea, hacia el interior de las
prácticas pedagógicas y los enfoques de esas prácticas no es así, por un
lado tenemos aquellos que enfrentan la clase con una práctica técnica,
calculista y de ejercicios que resolvían este saber en una época donde no
estaban masificadas las máquinas que hoy resuelven ese tipo de
situaciones, el cálculo era la centralidad de la enseñanza hoy no es así,
hoy por otra parte hay una gran cantidad de variables a la hora de pensar
la clase, entre ellas enumeraremos algunas.
• En qué medida las situaciones problemáticas son representativas y
los problemas a solucionar están en un contexto que de sentido a
la operatoria.
• Qué tipo de justificaciones estamos enseñando.
• Cuáles son las dificultades que los ingresantes tienen en la
transición de la aritmética al algebra.
• Bajo qué condiciones y circunstancias el uso de la tecnología
favorece los aprendizajes.
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• ¿Aprenden hoy los alumnos con una clase magistral?
• Cómo debo organizar el aula atendiendo a la diversidad.
• ¿Cómo gestionar los momentos de exploración en la clase?
• Como conseguir que los ingresantes asuman la responsabilidad del
estudio.
• Porqué los docentes suelen mostrar resistencias a las innovaciones
didácticas.
• Cómo puedo explicar las dificultades que suelen tener los
ingresantes frente al aprendizaje de un contenido.
• Que aspectos de los aprendizajes de deben mejora.
Los interrogantes esbozados forman parte de los debates actuales que se
plantea la investigación acerca de la enseñanza de la matemática. Pero
no solo son preocupaciones de los investigadores sino también de los
profesores porque remiten a la propia experiencia como estudiantes y
como docentes. Todas estas preguntas derivan en una preocupación
sobre el método de enseñanza de la matemática de modo de lograr
construir sentido y sistematicidad a la enseñanza.
¿Cómo se desarrolla una capacidad, o competencia para resolver un
problema o modelizar una enseñanza?
¿Cuáles son las capacidades que nosotros como docentes debemos
desarrollar en este nuevo desafío?
¿Gestionar en la diversidad?
¿Cómo integrar la tecnología en el aula?
Son parte de las preguntas de reflexión que nosotros mismo debemos ver
como obstáculos epistemológicos de la práctica docente y no hacer un
breve reduccionismo a este enorme problema.
Como síntesis a esta introducción que hace a nuestras prácticas y que
define en cierto modo el enfoque es que, ante el problema didáctico de la
enseñanza de la matemática hay dos tipos de preocupaciones y que por
lo general aparecen juntas, y nombramos solo dos para acotar la
reflexión. Por un lado, en qué medida nos interesa saber qué está pasando
en el aula, en el proceso de enseñar y aprender, y en ese sentido tenemos
que tener los elementos teóricos que puedan dar luz para iluminar
posibles respuestas, lo que hace que los marcos teóricos sean cada vez
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más complejos y los sistemas que se ponen en juego para desarrollarlos
y por otra parte nos importa y mucho más lo que sucede en el aula y
poder profundizar los conocimientos que impartimos. Les aseguramos que
conocer nos da tranquilidad, y esa tranquilidad implica que seguramente
más temprano que tarde resolveremos las urgencias que nos convocan al
trabajo en nuestra Universidad y que mejore los aprendizajes de nuestros
estudiantes.
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA.
Los números y las formas han sido sin lugar a dudas los pilares que
formaron la ciencia matemática. Esta afirmación se puede comprender
desde el punto de vista histórico en la construcción de los conceptos
matemáticos, como lo que cualquier ciudadano debe saber y desarrollar
intelectualmente, esto es contar y reconocer formas.
Cuando se institucionaliza la enseñanza a partir del siglo XIX, hasta hace
muy poco el objetivo principal de nuestra disciplina estaba basado en
apropiarnos de las cuatro operaciones básicas referidas a los campos
numéricos. Ese era el objetivo fundamental de formar un ciudadano o
ciudadana, el objetivo centrado en aprender las reglas para ser capaces
de calcular.
En el siglo XXI donde esas operaciones básicas las puede realizar una
máquina, creada por los humanos para agilizar ese procedimiento con
mayor rapidez y mejores resultados, el conocimiento de los números y
los campos numéricos debe ser otro, de ahí la necesidad de plantearnos
la modelización del mismo.
En este eje de modelización de los campos numéricos el trabajo
matemático está orientado a dos ejes fundamentales, interpretar y
transmitir la información matemática que se construye.
Analicemos el primer eje, por lo general recibimos información que está
dada en tablas, gráficos, datos, comparaciones numéricas, diagramas,
entre otros; y nosotros como ciudadanos debemos interpretar esa
información y realizar una acción reflexiva y decidir, no se puede ni ser
indiferentes antes este flujo de información y tomar al tanteo la primera
que se nos ocurre, por lo tanto hay que elegir si conviene o no sacar un
crédito, si la oferta compra tres paga dos es realmente una oferta, o
cuestiones más complejas, como la diferencia de temperatura en el
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calentamiento global, que sucede con la economía y las relaciones con
respecto a dónde invertir, donde y en qué momento es conveniente
producir determinado cultivo, que ocurre con la propagación en una curva
de una enfermedad determinada. Estos pueden ser algunos ejemplos de
cómo recibimos información referida a los números y cómo debemos
interpretar esos mensajes.
Con el mismo sentido veamos el segundo eje, que tiene que ver cómo
nosotros luego transmitimos esa información, en este punto ya el
trabajo matemático podemos decir es más exquisito, necesitamos de una
clara notación que nos permita construir síntesis y ser eficaces para
comunicar el mensaje que queremos dar, encontrar las propiedades que
intervienen, las regularidades que se presentan, la importancia de
generalizar y abstraer, hacerlo con un lenguaje pertinente, tanto para
definir los objetos matemáticos como para analizar las relaciones que se
dan dentro de ese sistema. Esa construcción modélica del campo
numérico nos permite desembocar en lo que conocemos como el álgebra.
Hoy el reto que la formación universitaria, pero podemos decir que la del
sistema obligatorio tiene, es poder modelizar en términos matemáticos
los objetos con los que esta ciencia trabaja. Formar a un ciudadano del
siglo XXI tiene que ver con poder expresar las relaciones en un lenguaje
universal que los campos numéricos presentan y esto es el álgebra.
El pasaje de las cuatro operaciones a la modelización de esta rama del
conocimiento matemático es el desafío que este curso de ingreso tiene
por delante.
La Aritmética
En la educación obligatoria, es muy importante contextualizar el
conocimiento con el que vamos a trabajar, este trabajo es muy complejo
y requiere transformar los recorridos con los que fuimos formados de
llenar de operaciones nuestras trayectorias formativas; salirnos de las
definiciones y procedimientos sólo conceptuales para, realizar este
camino complejo y de relaciones.
Qué sucede con nuestra práctica, el conocimiento matemático esta
interpelado por los libros de texto, por las definiciones antes que la
exploración, la realidad, como ese conocimiento es tensionado por otras
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ciencias u otros conocimientos, entre otros. Con lo cual no podemos
pensar hoy la apropiación de esta ciencia si no es en contexto, si no es
para resolver problemas, si no es explorando situaciones, probando y
errando como decía el pedagogo Simón Rodríguez.
El desarrollo de la aritmética, está ligado con el desarrollo de la
humanidad, con ella la noción de número es fundamental para coleccionar
objetos, ahora el número que aparece en un conjunto de una colección es
una propiedad de esa colección, el número como abstracción, recién
aparece de la comparación sucesiva y luego de mucho tiempo de muchas
colecciones, que tenían en común eso que las representaba “un número”,
es ahí donde el número siempre está ligado a las comparaciones y a las
operaciones, contar cantidades determinadas.
Se sabe y nosotros trabajamos con la construcción de esta idea de
abstracción que el proceso intermedio entre contar objetos y el número
como abstracción, son los que se conocen como números figurados de
Pitágoras. Los números figurados eran aquellos tipos de números que
podían ser representados como figuras geométricas y que hoy día
utilizamos ese lenguaje en muchas de nuestras clases, quizás sin saberlo.
El libro de texto
Definiciones y procedimientos
La realidad Propiedades
Conocimiento matemático.
EN CONTEXTO
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Una actividad para profundizar este recorrido puede ser que busques los
10 primeros números triangulares a partir de esta definición.
Base 1 base 2 base 3
Luego están los números que llamamos cuadrados, veamos que
interesante el cuadrado de base 2 es 4, 22 = 4 y estos números no son
otra cosa que sumar triangulares.
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Lo mismo ocurre con los números cúbicos.
Las relaciones entre los números siempre son relaciones concretas en
elementos de una colección, si el objetivo es operar con números sin
comprender esto solo hacemos cuentas y este hoy es trabajo de las
máquinas, nosotros debemos saber que ocurre detrás de estas cuentan,
que relaciones, que propiedades, que quiero comunicar con esta
situación, qué problema debo resolver.
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Aquí solo vimos un ejemplo de sumas sucesivas, pero la aritmética es la
relación entre operaciones, propiedades como se relaciona entre sí, como
se ponen en juego, este trabajo aritmético es de la educación primaria, y
continua hasta hoy día como el proceso formativo más fuerte.
En nuestra práctica introductoria trabajamos el sistema de numeración y
cómo funcionan las operaciones dentro de él, para desarrollar las
capacidades necesarias para que un estudiante universitario este
entrenado en las resoluciones de problemas, adquirir esta habilidad es
parte de un proceso que se conforma con el trabajo individual y colectivo
dentro del aula y la guía clara precisa y pertinente del docente a cargo.
Si esta terna que es el contenido a modelizar, el trabajo matemático
de los estudiantes y la labor clara y precisa del docente no completamos
el proceso de enseñanza y aprendizaje necesario para desarrollar estas
capacidades.
El Algebra
La construcción del conocimiento algébrico se realiza a partir de
representaciones y transformaciones de cantidades determinadas. Por lo
tanto, la centralidad del trabajo algebraico está dado por la búsqueda de
patrones, de relaciones, poder simbolizarlas, generalizarlas, modelizarlas
para que por fin se transformen en lenguajes.
Es importante destacar que el lenguaje es el punto de llegada en la
construcción del conocimiento algebraico y no el punto de salida como en
otros enfoques más vinculados al entrenamiento del cálculo.
Poder comprender Patrones, relaciones y funciones es proceso que va de
la exploración algebraica lo que permite descubrir regularidades en
secuencias de figuras, en secuencias numéricas, hasta en las propias
secuencias de palabras o códigos de colores entre otras representaciones.
Veamos un ejemplo, si tomamos el triángulo más pequeño y si lado vale
1, siendo este equilátero, escribir los números que representan el
perímetro de los triángulos desde el interior al más externo.
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A partir de este juego exploratorio pueden ampliarse las demandas de
patrones numéricos. Este caso y de buscar representaciones en figuras
geométricas o problemas situados, contextualizados, como aparecen en
el trabajo de este cuadernillo introductorio.
El conocimiento de las propiedades de las operaciones con números
siempre facilita la elaboración de patrones, conocer cómo funcionan los
algoritmos ayuda a tantear menos, sí que este método el del tanteo sea
despreciado, simplemente hay algunos más económicos en tiempos y
esfuerzos para encontrar la resolución de un problema.
La comprensión del concepto de variable es una construcción muy
compleja para los estudiantes en las escuelas, el paso de la aritmética al
algebra se acepta, solo porque el profesor o la profesora lo indica,
mientras que comprende qué sucede con una variable solo puede
apropiarse cuando vemos como esta actúa en relación con otros datos del
problema o con otras variables.
Por lo tanto, es fundamental distinguir entre el uso de una variable en
una ecuación o en una identidad o una fórmula, no siempre actúan del
mismo modo asumir estas diferencias será el resultado de una amplia y
prolongada experiencia de situaciones y problemas a resolver en forma
colectiva e individual por docentes y estudiantes.
Desarrollar estas habilidades para encontrar expresiones que sean
equivalentes, adquirir la capacidad de operar con símbolos, entendiendo
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como funcionan hacia el interior las estructuras de los algoritmos ese
trabajo debe ser a mano, mental o con la tecnología como compañera.
Es, muy importante tener una gran cantidad de problemas para modelizar
matemáticamente, ya que existen una variada y rica cantidad de
fenómenos para analizar, situaciones de nuestra vida cotidiana, y propias
de la disciplina matemática.
Es importante iniciar y nosotros así lo entendemos y hacemos con
procesos que utilicen objetos, dibujos y en algunos casos símbolos que
permitan modelizar estas situaciones relacionándolas con las operaciones
de números naturales, enteros, racionales y barrer así todos los campos
numéricos. Una vez creado estos modelos s e deben usar como
herramientas para resolver otros del mismo tipo, para luego dar saltos
cualitativos con expresiones de otro tipo. De este modo podremos
predecir, sacar conclusiones del contexto en que se producen esos
patrones o regularidades.
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¡Manos a la obra!!
Concepto estelar: Modelos numéricos Actividades para los ingresantes
S e m a n a 1
1. Ana quiere hacer una guarda con lentejuelas de colores marrones
y grises. El diseño para la guarda es como el que muestra la
figura, de manera que cada lentejuela marrón queda rodeada por
7 grises.
a) ¿Cuántas lentejuelas grises se necesitan si se colocan 2 marrones?
b) ¿Cuántas lentejuelas grises se necesitan si se colocan 10
marrones?
c) ¿Qué cuenta es necesario hacer para calcular cuántas lentejuelas
grises se necesitan si se colocan 25 marrones?
d) ¿Puede haber un diseño con 392 lentejuelas grises? ¿Y con 355
lentejuelas grises? ¿Cómo pueden explicarlo?
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2. Se realiza un dibujo con azulejos siguiendo el siguiente diseño:
a) ¿Cuántos azulejos grises se necesitan si se colocan 10 azulejos
blancos?
b) ¿Cuántos azulejos grises se necesitan si se colocan 50 azulejos
blancos?
c) Si se conoce la cantidad de azulejos blancos que se va a poner, ¿qué
cuenta hay que hacer para calcular la cantidad de azulejos grises
necesarios?
d) ¿Cuántos azulejos blancos se utilizaron si se colocaron 176 azulejos
grisess?
e) ¿Es posible que se hayan colocado 255 azulejos grises?
3.- Con papeles glasé se fue armando el siguiente patrón de figuras.
a. ¿Cuántos papeles usará la figura 5? ¿Y la 25?
b. Si se conoce el número de la figura, ¿qué cuenta hay que hacer para
conocer la cantidad de papeles que se necesitan?
c. ¿Existe una figura con 456 papeles glasé? ¿Y con 321? ¿Cómo te das
cuenta?
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d. ¿Existe una figura con 549 papeles glasé? ¿Cómo te das cuenta?
e. ¿Es posible saber solo mirando el número si esa cantidad de papeles
corresponde a una figura o no? ¿Por qué?
4. Con lentejuelas circulares y cuadradas se arma esta guarda.
a. ¿Cuántas lentejuelas circulares se necesitan si se usan 10 cuadradas?
¿Y si se usan 200?
b. Si se conoce la cantidad de lentejuelas cuadradas, ¿qué cuenta hay que
hacer para conocer la cantidad de circulares que se necesitan?
c. Pedro hace una figura con 763 lentejuelas circulares, ¿cuántas
lentejuelas cuadradas puso? ¿Cómo te das cuenta?
5. Con azulejos cuadrados se arma el siguiente esquema.
a. Si se conoce el número de figura, ¿qué cuenta hay que hacer para
calcular el número de azulejos que se necesitan?
b. Si se conoce la cantidad de azulejos que se usaron para realizar una
figura, ¿qué cuenta hay que hacer para calcular el número de figura?
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6. Con unos cubos los chicos arman esta secuencia.
a. ¿Cuántos cubos necesitan para la figura 6? ¿Y para la 7?
b. Completen esta tabla.
Número de figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Cantidad de cubos necesarios
c. ¿Qué relación hay entre la cantidad de cubos de una figura y la que le
sigue?
d. Si se conoce el número de la figura, ¿qué cuenta hay que hacer para
conocer cuántos cubos se necesitan? ¿Cómo te das cuenta?
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7. Con baldosas celestes y rojas se armó este diseño.
a. ¿Cuántas baldosas rojas se necesitan en la figura 5? ¿Y en la figura 10?
b. Si se conoce el número de figura, ¿qué cuenta hay que hacer para
calcular el número de baldosas rojas necesarias?
c. ¿Cuántas baldosas celestes se necesitan en la figura 5? ¿Y en la figura
10?
d. Si se conoce el número de figura, ¿qué cuenta hay que hacer para
calcular el número de baldosas celestes necesarias?
8. Con bolitas blancas y grises los chicos arman estos patrones.
a. ¿Cuántas bolitas grises tendrá la forma 5?
b. Si se conoce el número de la forma, ¿qué cuenta hay que hacer para
calcular la cantidad de bolitas blancas y grises que se necesitan? ¿Cómo
te das cuenta?
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9. Se disponen fósforos en los lados de los cuadrados que se muestran en
las figuras:
a. ¿Cuántos fósforos se necesitan para realizar el cuadrado grande de
la figura n?
b. ¿Es cierto que la
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S e m a n a 2
1. a. En esta actividad se encuentran 4 divisiones enteras. En cada
una completá los valores que faltan.
b. Escribí cuántas maneras de completar cada cuenta hay. Explicá cómo
te das cuenta.
2. Hoy es miércoles. ¿Qué día de la semana será dentro de 1000 días?
3. En una tabla de 6 columnas e “infinitas” filas, se van ubicando
consecutivamente el cero y “todos” los números naturales1:
0 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35
36 37 38 39 40 41
........................................................................................
Contestá todas las preguntas. Explicá cómo hacés para darte cuenta.
a) ¿En qué fila y en qué columna se encuentra el 126? ¿Y el 130?
b) Buscar otro número más grande que esté en la misma columna del
130.
c) ¿Qué número se encuentra en la novena fila, segunda columna?
d) ¿Qué número se encuentra en la fila 37, columna 3?
1 Situación planteada por el Lic. Alejandro Rossetti.
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e) ¿Dónde se encuentra el 27643?
f) Se va a hacer otra tabla con un criterio similar, pero con 7 columnas.
¿En qué fila y columna estará el 126? Para esta segunda tabla, ¿qué
número se ubica en la fila 8, columna 4?
g) Ahora se tiene otra tabla, de la cual se conocen los primeros
números de una columna:
7
19
31
43
.
.
¿Se puede saber de cuántas columnas es la tabla? ¿Cómo se podría
decidir si el 1.147 está en esa misma columna?
h) ¿Por qué en una tabla de 10 columnas, en cada columna todos los números terminan con la misma cifra?
4. Analizá si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificá sin hacer
las cuentas.
Afirmación V/F ¿Por qué?
El resultado de la
cuenta
34 × 43 × 15 × 17 es múltiplo de 3.
El resultado de 81 × 44 × 15 es múltiplo de
45.
El resto de dividir el resultado de 23 × 45
× 18 × 97 + 17 por 81 es 17.
El resto de dividir el resultado de 23 × 45
× 18 × 97 + 17 por 15 es 17.
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5. ¿Cuál es el menor número que hay que sumarle a la expresión 35 ×
18 + 7 para que el resultado sea múltiplo de 15? Explicá cómo te das
cuenta sin hacer la cuenta.
6. Calculá el resto de la división entre el resultado de 234.456 × 5 +
234.456 × 4 por 9, sin hacer las cuentas. Explicá cómo te das cuenta.
7. Completá estas expresiones para que el resultado sea múltiplo de 11
para cualquier valor natural de n. Explicá cómo hacés para decidir qué
poner.
a. n × ___________ + n × 3 b. n ×___________ + n × 5
c. ___________ × 7 + n × 4
8. a. Escribí una expresión algebraica que sea par tenga un resultado
par para cualquier valor natural de la variable. Explicá cómo estás
seguro qué esto pasa.
b. Escribí una expresión algebraica que sea par tenga un resultado
impar para cualquier valor natural de la variable. Explicá cómo estás
seguro qué esto pasa.
9. ¿Es cierto que, si a un número par le suman 2, obtienen otro número
par? ¿Por qué? ¿Y si le suman 4?
10. Decidí si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Escribí como te
das cuenta.
Afirmación V/F ¿Por qué?
La suma de dos números impares es
siempre impar.
Si se multiplican dos números pares, se obtiene otro número par.
Si se multiplica un numero par por uno impar, el resultado a veces es impar.
El triple de un numero par a veces es
un número impar
Si se multiplican dos números impares,
el resultado da siempre impar.
Si se suman tres números impares se obtiene siempre un resultado impar.
Si se suman 4 números que son múltiplos del 3, el resultado también es
múltiplo de 3.
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
29
11. Decidí si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. Explicá por
qué.
Afirmación V/F ¿Por qué?
La suma de 3 números naturales
consecutivos es siempre múltiplo de 3.
La suma de 5 números naturales
consecutivos es siempre múltiplo de 5.
La suma de tres números naturales múltiplos consecutivos de 3 es siempre
múltiplo de 9.
12. Escribí todos los valores naturales de n para los cuales la expresión
algebraica 6(n + 2) – (4n + 8) da par. Explicá cómo te das cuenta.
13. Escribí todos los valores naturales de n para los cuales la expresión
algebraica 7 – (2n + 1) + 9 − (2n – 1) da un resultado múltiplo de 7. Escribí cómo
te das cuenta.
14. Escribí todos los valores naturales de n para los cuales la expresión algebraica
8n + 10 + 2n da por resultado un múltiplo de 5. Explicá cómo te das
cuenta.
15. ¿Para qué valores naturales de n la expresión algebraica 6 + n + 5
(2 + n) – 8n da el mismo resultado que (8 – n) ∙ 2? ¿Por qué?
16. Escribí en cada caso, todos los valores naturales de n que verifican
lo pedido. Explicá cómo hacés para decidir. La expresión algebraica (n +
5) ∙ (n + 1) – n (n + 5) da:
a. El mismo resultado que n + 5.
b. Un resultado par.
c. 18
17. ¿Para qué valores enteros de n la expresión 18 (n – 6) + 9 (10 – n)
a. es igual a 90?
b. es múltiplo de 9?
c. es múltiplo de 6?
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
30
S e m a n a 3
1. Escriban, en cada caso, el número pedido. Si no es posible, explicá
por qué.
a. Un número natural que multiplicado por 13 dé por resultado 39.
b. Un número entero que multiplicado por -8 dé por resultado 72.
c. Un número entero que multiplicado por 9 dé por resultado 50.
d. Un número racional que multiplicado por 7 dé por resultado 1.
e. Un número racional que multiplicado por 13 dé por resultado
19.
2. Escriban 5 múltiplos de 1
2.
3. ¿Es cierto que, dados dos números racionales A y B distinto de 0,
siempre se puede encontrar un número C que multiplicado por A
da por resultado B? ¿Por qué?
4. ¿Por qué consideran que no se habla de múltiplos y divisores en el
conjunto de los números racionales?
5. Juan armó este número.
3,12345678910111213141516171819202122232425…
a. ¿Qué criterio pensó Juan para armarlo?
b. ¿Si se sigue el número con el mismo criterio, se obtiene un
número que tiene infinitas cifras no periódicas después de la
coma? ¿Por qué?
c. Armen un número irracional eligiendo algún criterio, como hizo
Juan.
6. ¿Qué número es √5? ¿Es racional o irracional? ¿Cómo se dan
cuenta?
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
31
7. a. Escriban un número racional y otro irracional que se encuentren
entre 78 y 80.
b. ¿Cuántos pueden encontrar? ¿Por qué?
c. ¿Cuántos números naturales hay entre 78 y 80? ¿Por qué?
d. ¿Cuántos números fraccionarios con denominador 47 hay entre
78 y 80? ¿Por qué?
8. a. ¿Es correcto lo que dice Julián? ¿Por qué?
Buscar cuántos números con dos cifras decimales hay entre 3,46 y 3,5 es lo mismo que buscar cuántas fracciones con
denominador 100 hay entre 346
100 y
350
100.
b. ¿Cuántos números con tres cifras decimales mayores que 8,65
y menores que 9 hay? ¿Cómo te das cuenta?
c. ¿Y si se permite cualquier cantidad de cifras decimales?
9. a. ¿Cuántos números racionales con cuatro cifras decimales hay
entre 4
7 y
5
7? ¿Por qué?
b. ¿Y si se permiten cualquier cantidad de cifras decimales?
10. Escribí, en cada caso, los números pedidos. Si son menos de
10, escribí todos. Si son más, escribí 10 y explicá por qué pensás
que hay otros.
a. Números naturales mayores que –7 y menores que 7.
b. Números enteros mayores que –7 y menores que 7.
c. Números racionales mayores que –7 y menores que 7.
d. Números irracionales mayores que –7 y menores que 7.
e. Números reales mayores que –7 y menores que 7.
11. Considerá todos los números reales menores o iguales que 91
17. Escribí, si existe, el número pedido. Si no existe, explicá por
qué.
a. El mayor número natural que pertenece a ese conjunto.
b. La mayor expresión fraccionaria que pertenece a ese
conjunto.
c. El mayor número irracional que pertenece a ese conjunto.
d. El mayor número real que pertenece a ese conjunto.
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
32
e. El menor número natural que pertenece a ese conjunto.
f. El menor número entero que pertenece a ese conjunto.
g. El menor número real que pertenece a ese conjunto.
12. Escribí el número pedido en cada caso. Anotá cuántos se
pueden encontrar y cómo te das cuenta.
a. Un número fraccionario con denominador 6 que se encuentre
entre 8
7 y
17
3.
b. Un número fraccionario con denominador 12 que se encuentre
entre 8
7 y
17
3.
c. Un número fraccionario con denominador 18 que se encuentre
entre 8
7 y
17
3.
d. ¿Cuántos números fraccionarios pueden encontrar entre 𝟖
𝟕 y
𝟏𝟕
𝟑?
¿Por qué?
13. Aquiles y la tortuga
Zenón de Elea, discípulo de Parménides, planteó la siguiente paradoja.
Supongamos que Aquiles, el más veloz de los guerreros, juega una
carrera con una tortuga. Pero como es tan veloz decide darle a la tortuga
cierta ventaja. La velocidad de Aquiles es 10 veces mayor que la de la
tortuga y comienza la carrera 10 m más atrás que ella. Cuando Aquiles
llega al lugar a donde comenzó la carrera la tortuga, ella no estará más
allí, sino que habrá avanzado la décima parte que Aquiles. Así
sucesivamente, hasta el infinito. ¿Alcanzará Aquiles a la tortuga?
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
33
Modelización
La modelización es una actividad matemática que ha adquirido en
términos de la enseñanza, un auge importante a la hora de pensar
representaciones de conceptos matemáticos.
Todo auge es epocal, y para nuestra época, modelizar y graficar en
matemática es parte de un conocimiento matemático que, con el uso de
la tecnología se puede ampliar la relación dialéctica entre este binomio
modelización- graficación, como una categoría fundamental en la
enseñanza de la matemática escolar y universitaria.
En otros momentos históricos, primaba la creencia que la modelización
era una aplicación de la matemática. Esto nos lleva a un diálogo que suele
ser actual, en el cual, se suele decir que: primero, hay que enseñar
matemática y después, buscar la aplicación de tal conocimiento.
Contrariamente a esta idea se puede decir que la modelización es, en sí
misma, una construcción del conocimiento matemático.
Afirmado en esta segunda concepción, desarrollaré tres dimensiones que
permitan explicar cómo se construyen en forma pertinente diversos
escenarios donde la modelización es objeto de un saber que quienes
enseñanza y aprenden puedan apropiarse a través del trabajo
matemático. La primera dimensión estará referida a qué quiere decir
modelizar en matemática; la segunda hará referencia a la relación
modelización- tecnología y la última dimensión estará dada por el
concepto estelar que nos permite redefinir el Curriculum de la enseñanza
de la matemática de la escuela secundaria y su vínculo con el ingreso a
la Universidad Nacional de Chilecito.
¿Qué quiere decir modelizar en matemática?
Esta pregunta retórica, nos permite poner en debate las perspectivas que
se ponen en juego cuando se habla del conocimiento matemático. En
principio analizaré dos, aunque sabemos que puede haber otras que
pongan en debate este concepto.
La primera, refiere a la idea de que el conocimiento es una representación
de la realidad, mientras que la segunda interpela al conocimiento como
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
34
una producción material que cambia y transforma la naturaleza y la
sociedad. Estos argumentos ponen en juego dos miradas de la filosofía
(matemática), en la cual la primera plantea que la realidad es
preexistente al conocimiento y la segunda que realidad y conocimiento se
construyen dialécticamente.
Una forma de definir la modelización es aquella que basada en la primera
idea propicia determinadas acciones que permite que cierta cosa sea
imitada. En este sentido la modelización es una “representación” y en
consecuencia esto la hace una aplicación de la matemática.
Otra forma de definir la modelización, proviene del concepto de modelo,
muchas veces considerado como la copia de aquello que debo reproducir.
En matemática suele definirse a la modelización como una teoría. Esta
teoría es la que se encarga de estudiar las características cualitativas de
una estructura matemática.
Estas dos definiciones lo que ponen en tensión es que para modelizar
necesitamos de un objeto, ya sea para copiarlo o reproducirlo o para hacer
diferenciado entre otros objetos por sus propiedades cualitativas.
La modelización es una herramienta didáctica que permite hacer
representaciones adecuadas de un objeto matemático. (Blum et al, 2002.)
Analicemos un ejemplo, sobre esta dimensión hasta aquí definida, la
parábola, según lo anteriormente señalado, es un objeto matemático. La
gestión de una clase de matemática tiene la responsabilidad de encontrar
la didáctica adecuada para que el estudiante construya el objeto. Con lo
cual, el análisis de la cuadrática desde su construcción analítica es punto
de llegada y no de partida para que los estudiantes puedan adquirir dicho
conocimiento matemático.
Elementos como la ecuación cuadrática, las fórmulas, las tablas y las
gráficas son en definitiva algunas representaciones de la parábola. Para
que un estudiante pueda construir el sentido del objeto de la parábola, el
mismo debe comprender las propiedades que se establecen en dicha
representación. Para ello, la modelización interviene como una
herramienta que facilita ese camino, ya que es totalizadora de la
representación de diversas situaciones problemáticas.
La modelización está vinculada con un tipo de aplicación matemática. Se
le encuentra un significado al objeto en función de su utilidad externa,
como, por ejemplo, analizar lugares geométricos o fenómenos físicos.
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
35
Recuperando esta idea totalizadora sobre el concepto de modelización, es
importante no quedarnos en la mera idea que modelizar es solo
representar una porción de la realidad. Para nosotros la modelización es
una práctica argumentativa de una situación en cuestión, por ejemplo:
una gráfica es la argumentación de determinadas situaciones de cálculo;
el propósito es que los ingresantes, puedan formular propiedades de las
funciones a partir del comportamiento de la gráfica.
Ya deja de ser un lenguaje interpretado por unos pocos que les permita
saber si x=a entonces y=f(a), y cobra sentido para muchos estudiantes
el análisis de una curva o una recta, no solo por la fórmula, sino por el
comportamiento de dicha curva o dicha recta. Con el mismo sentido, el
dominio de una función no está establecido por resolver una ecuación sino
por recorrer con el dedo o con un cursor en la calculadora o en la
computadora, hacia la izquierda o la derecha.
Esta manera de interpretar un conjunto de procedimientos, favorece a la
conceptualización de una función y la relación que guarda con la curva o
la recta y cómo esta se comporta. Este análisis que va de lo general a lo
particular es una metodología epistemológica de la construcción del
conocimiento matemático. Es comprender como funciona en su totalidad
este a saber, para luego ir a los elementos o partes que componen el
análisis de la gráfica.
Muchas veces, era desde los segmentos, desde los elementos, desde las
pequeñas partes que dan cuenta del análisis de una función como se
quería construir el saber de este concepto y en realidad ese saber
fragmentado solo garantizaba una operatoria, una técnica que no atendía
a la idea totalizadora de lo que allí estaba representado.
En síntesis, la modelización de una gráfica tiene múltiples análisis para
encontrar en ellos los razonamientos y argumentaciones del saber
matemático. Lo importante es entender que la modelización no es una
herramienta que ayuda o facilita a construir el concepto de función, sino
que es una actividad que resignifica y transforma el objeto en cuestión.
Relación modelización- tecnología
¿Cómo interviene la Tecnología en la construcción de saberes en nuestras
aulas?, esta pregunta que puede parecer un sinsentido teniendo en
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
36
cuenta que estamos atravesados por la tecnología todo el tiempo y en
todos los espacios, para eclipsarse al pensar la clase de matemática.
Debemos considerar la tecnología como un conjunto de teorías, de
técnicas que nos permiten un aprovechamiento práctico del conocimiento
científico, o como un lenguaje propio de una ciencia o de un arte.
Esto será por definición para nosotros, que la tecnología es un
componente del conocimiento y parte fundamental del desarrollo del
mismo. Lo que podemos observar es que hoy en día aún la tecnología
vive separada de la enseñanza de la matemática en particular, pero
podemos decir que esto se da en todos los planos de las gestiones del
Curriculum en el aula.
Parece que todo el tiempo necesitamos sentarnos y negociar si entra o no
al aula, como si fuera un ente externo para construir el conocimiento de
nuestra ciencia.
Nuestra demanda de incorporar calculadoras, computadoras, celulares en
el aula no es solamente una cuestión caprichosa o un distractor, es la
esencia misma de pensar la apropiación de conocimiento, se convierte la
clase de matemática en un escenario de disputa cultural, ya que por un
lado a la obsolescencia programada hace que la producción y demanda
tecnológica sea feroz e irracional, pero a la vez hay un plus valor en la
relación desarrollo de la industria cultural , tecnológica y educativa con lo
que finalmente aparece en el aula.
Esta tensión fantasmagórica de producción de dispositivos y
apropiaciones de saberes, deja afuera muchas veces nuevos modos de
aprender, nuevas prácticas culturales que hacen al conocimiento, pero a
la vez no ingresan en las aulas.
Lo importante es que hay una tecnología, más que probada y programas
que hacen a la producción del conocimiento y facilitan modelizar los
saberes, toda esta tecnología ayuda a construir conocimientos, a
desarrollar capacidades, y los diferentes niveles de apropiación de estos
saberes, generan en nuestros estudiantes de Chilecito, pero para
cualquiera del planeta distintos niveles de apropiación y desempeño de
un saber.
Cometeríamos un error si ignoramos la tecnología, los programas que
permiten graficar, no solo funciones sino cualquier tipo de construcción
geométrica, trigonométrica y/o algebraica.
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
37
Entonces cual es la relación entre modelización y tecnología, lo que
queremos destacar nosotros es que la gráfica juega un papel fundamental
en el análisis y desarrollo de la resolución de un problema, la gráfica es
parte de un dominio de conocimiento en sí y para sí, no es simplemente
una representación, con esto queremos destacar que modelamos o
simulamos a través de situaciones que pueden ser reales o virtuales.
Un ejemplo de esto que estamos diciendo es el trabajo que refiere la pieza pedagógica que hace referencia al análisis de problemas para determinar si son
funciones o no, independientemente que todos los enunciados puedan ser modelizados o representados por una gráfica.
Es ahí donde interviene lo que queremos destacar y es el abordaje de las situaciones problemas, no como la mera realización de cálculos rutinarios y
mecanicistas, sino como la interpretación de un enunciado o una gráfica que nos permita intervenirla a partir de categorías de análisis de qué es lo que nos está
indicando el modelo planteado. Una experiencia se planteó en dos escenarios, por un lado, la clase de una
escuela secundaria y por el otro con profesores de matemática, la experiencia consistió en la siguiente pregunta:
Considere la función P = anxn + an-1xn-1 + …. + a1x + a0. Halle la recta tangente
en el punto (0, P(0)) La mayoría de los participantes rresuelve perfectamente, usando métodos de
cálculo aprendidos previamente
a) Derivar el polinomio P: P’ = annxn-1 + an-1(n-1)xn-2 + …. + a2 b) Evaluar P’ en X = 0 para encontrar la pendiente en ese punto; P’(0)= a1 c) Sustituir la pendiente P’(0) en la fórmula analítica de la pendiente de una
recta
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
38
𝑃′ (0) = 𝑚 =𝑦 − 𝑦(0)
𝑥 − 0
d) Despejar la variable y para obtener la ecuación de la recta tangente.
Y = a1x + a0
Sin embargo, nadie puedo identificar que la recta tangente era precisamente la parte lineal del polinomio dado.
Tampoco hubo reflexión sobre el comportamiento del polinomio dado, según la pendiente en el punto (0, P(0))
A lo que sí se puede concluir con este relato de una experiencia matemática es que la rutina, implica que no aparezca la reflexión, la argumentación de cómo
abordar dicha situación. Se privilegia la algebratización de las resoluciones por sobre los análisis reflexivos, los debates colectivos en el aula de qué sucede con los comportamientos de determinadas gráficas.
En la pieza pedagógica que nosotros propusimos con respecto al análisis de los
problemas y determinar luego ¿si son funciones o no? Esto propicia una discusión, construir sentidos comunes que en la clase de matemática no todo se acepta porque se dice en la clase, se acepta porque hay argumentos sólidos
basados en propiedades y definiciones, en la forma en que graficadores y simuladores representan eso de los que estamos hablando. Veamos nuestros
ejemplos de la secuencia.
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
39
Lo que podemos observar con esta situación es la gran aproximación que este tipo de actividades tiene sobre el desarrollo del Curriculum escolar de la provincia de La Rioja, que lejos está de plantear una serie de ecuaciones para calcular
ceros, raíces, reducir el problema a ejercicio a la simple y compleja tarea de resolver con métodos analíticos situaciones que al no estar anclado en una
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
40
representación de la realidad se vuelven extrañas, ajenas a la apropiación de un argumento que consolide el pensamiento matemático de nuestros jóvenes.
Dicho esto, podemos observar la necesidad de conformar elementos argumentativos del análisis de la modelización de las funciones. Para poder
predecir el comportamiento de la misma.
Es muy importante en el trabajo sobre las funciones en la escuela secundaria basar el proceso de apropiación desde las mismas gráficas modelizantes, conocer los métodos del uso de las gráficas, comprender la gráfica desde el
funcionamiento y comportamiento. De ahí la importancia de considerar a la tecnología como elemento intrínseco a la modelización, el uso de la carpeta, del
cuaderno de clases permite avanzar en los niveles básicos de la enseñanza para poder establecer relaciones, orientaciones, simetrías, por eso es muy
recomendable el trabajo con la hoja cuadriculada, analizar cómo funcionan determinadas regularidades en los cuadrantes de un par de ejes cartesianos ortogonales.
En esta relación una vez más el gráfico es punto de partida para estudiar el
análisis de determinada relación. Y no dada una ecuación encontrar los elementos para culminar con una gráfica determinada. Primero las funciones luego cómo se comportan las ecuaciones que la representan.
Es en este marco que la tecnología, conjuntamente con la modelización es una
categoría de la enseñanza de la matemática un tanto ausente en las gestiones de clases y sobre las cuales estamos interviniendo. Generando de esta manera un nuevo vocabulario, una nueva jerga en el a clase de matemática que permite
establecer nuevos contratos de trabajo y análisis del pensamiento matemático.
De esta relación modelización y tecnología se desprenden entonces otros procesos de aprendizaje, los usos, los argumentos, la construcción de simuladores virtuales, que los ingresantes puedan discutir en sus bancos, en sus
mensas de trabajo qué es lo que está sucediendo con esta representación, con esta gráfica, por qué crece o decrece y quienes, qué variables intervienen para
que eso suceda.
El concepto estelar que nos permite redefinir el
Curriculum de la enseñanza de la matemática de la
escuela secundaria y su vínculo con el ingreso a la
Universidad Nacional de Chilecito.
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
41
Podemos ver que la modelización es para nosotros un eje fundamental de
lo que definimos como conceptos estelares y lo que ello implica. Pero a la
vez son la razón de cada una de nuestras piezas pedagógicas.
El propósito de este último tópico tiene que ver con un aspecto
metodológico que contribuye a realizar una transformación cultural no
solo en la práctica docente sino también en el Curriculum que la compone.
La dialéctica Curriculum y practica está interpretada por la modelización,
poniendo a esta en la superficie de la construcción del conocimiento
matemático.
El desafío de interpelar las tradiciones, los modos de hacer, las practicas
instaladas a través del tiempo, es lo que motiva a reinterpretar en
términos epistemológicos y metodológicos lo que en el diseño curricular
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
42
aparece en forma estática segmentada y en compartimentos que dificulta
observar el entramado que ocurre entre todos estos conceptos.
La idea de construir un rizoma modélico permite observar a la práctica
docente como un sistema complejo donde la idea de totalidad interpela a
las partes y no al revés.
Construir un modelo del conocimiento matemático es considerar a toda
nuestra actividad como una construcción que problematiza la enseñanza
pero que a la vez nos permite formular una epistemología, un método,
una forma de hacer en Chilecito a lo que nosotros llamamos “método
Chilecito”, que solo podrá construirse con la práctica sostenida e
interpelada por la construcción de sentido de lo que sucede adentro del
aula.
Este método solo puede ser exitoso en tanto nos apropiemos de los
conceptos estelares sobre los cuales se despliegas una serie de secuencias
que no son un listado de ejercicios, sino que comprenden una lógica
gradual, espiralada y sobre como intervenir en la aplicación de la misma
para que luego de un tiempo prolongado esta metodología pueda ser
evaluada.
El análisis que la producción de cada pieza pedagógica genera en el equipo
de trabajo conformado por especialistas, docentes universitarios y de la
escuela secundaria nos enseña la importancia de intervenir en el contexto
sociocultural que se desarrolla en la ciudad de Chilecito.
Los dos elementos el concepto estelar y la construcción de una
epistemología es lo que genera un orden lógico estructural que nos
permite identificar elementos de nuestra práctica docente como lo es: la
modelización de la realidad, la construcción de un plan que permite
abordar ese modelo, la acción, la formulación de una estrategia de
resolución y por último la validación de sus resultados.
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
43
Estos elementos suelen aparecer en la introducción de cada pieza
pedagógica donde se plantean como abordar y resolver los problemas,
con lo cual se puede complementar este gráfico conceptual con el análisis
del abordaje metodológico de nuestras secuencias.
la modelización de la realidad
Un PLAN
FORMULAR UNA ESTRATEGIA DE
RESOLUCIÓNLA ACCIÓN
Validar RESULTADOS
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
44
Concepto estelar: Modelización funcional
S e m a n a 4
1. Una moto hace un viaje desde la ciudad de La Rioja hasta Chilecito.
En el camino para en Patquía y en Nonogasta.
a. ¿A qué distancia de la ciudad de La Rioja se encontraba la camioneta
a las 6 horas de viaje? ¿Cómo se dan cuenta?
b. ¿Qué se representa en cada eje?
c. ¿A qué distancia de La Rioja están Patquía y Nonogasta? ¿Cómo se
dan cuenta en el gráfico?
d. ¿Cuál fue la velocidad de la moto en cada tramo del viaje?
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
45
2. Un corredor de carreras de motos está entrenando en una pista recta.
Para analizar su entrenamiento evalúan la velocidad que obtiene en
función de los metros que recorre.
a. ¿Qué información brinda el punto B?
b. ¿Qué velocidad alcanza el auto a los 600 metros del punto de partida?
c. ¿A qué distancia del punto de partida alcanza una velocidad de 140
km/h?
d. ¿A qué distancia del punto de partida alcanza la mayor velocidad?
e. ¿Puede ser que se haya detenido por algún desperfecto? ¿Cómo te das
cuenta?
3.- Un camionero hace un recorrido desde Nonogasta hasta Chilecito ida
y vuelta. A la vuelta demoró mucho más que a la ida. ¿Cuál de estos
gráficos indica la distancia del camionero a Nonogasta en todo su
recorrido? Explicá por qué elegís el gráfico.
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
46
4.- Un turista piensa recorrer La Rioja a pie. Sin embargo, decide
caminar siempre por las rutas.
Según este mapa bajado de Google Maps, qué recorrido planea hacer el
turista y a qué velocidad irá.
En este cuadro se observan las distancias entre distintas ciudades de la
provincia de La Rioja.
a. El viajero paro a descansar a las 12 del mediodía en un sitio situado a
25 km de la ciudad de La Rioja. Cuando emprendió nuevamente el camino, partió a una velocidad de 4 km por hora.
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
47
a.i. ¿A qué distancia de La Rioja se encontraba el viajero luego de 2 horas de viaje?
a.ii. Si el viajero paró nuevamente cuando llegó a Patquía. ¿A qué hora
paró?
a.iii. ¿Es cierto que, si el viajero realiza el doble de tiempo de viaje, realiza el doble de kilómetros? ¿Cómo te das cuenta?
a.iv. ¿Es cierto que, si el viajero realiza el doble de tiempo de viaje,
duplica la distancia a la que se encuentra de La Rioja? ¿Cómo te das cuenta?
b. El viajero pasa la noche en Patquía y a las 8 de la mañana parte rumbo
a Nonogasta. Va siempre a la misma velocidad. Para el en camino a 120 km de la ciudad de La Rioja a las 23 horas. ¿Cuál fue la velocidad del
viajero?
c. Al día siguiente el viajero llega a Nonogasta a las 12 del mediodía. Descansa allí todo el día y parte rumbo a Famatina en bicicleta a las 8 de
la mañana a velocidad constante y por la ruta recta. A las 11 de la mañana estaba a 200 km de La Rioja.
a. ¿A qué distancia de La Rioja estaba el viajero a las 16 horas? b. ¿A qué hora llegó a Famatina?
5.- Realicen el gráfico de la distancia de la moto de la actividad 1 a
Chilecito en todo momento del viaje. Para los ingresantes de informática
se puede pedir que lo hagan en Excell o en Geogebra.
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
48
S e m a n a 5
1. En una finca hay un sistema de riego artificial. Para almacenar el agua
tienen un tanque con capacidad para 1500 litros. Cuando el tanque está
vacío se prende un motor que comienza a llenarlo a razón de 5 litros por
minuto.
a. EL domingo a las 6 de la mañana el tanque está vacío. ¿Alguno de estos
gráficos representa la cantidad de agua que hay en el tanque desde las 6
de la mañana hasta que se llena? Explicá por qué.
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
49
b. El lunes a las 6 de la mañana el tanque está vació. ¿Alguno de estos
gráficos representa la cantidad de agua que hay en el tanque desde las 6
de la mañana hasta que se llena? ¿Cómo pueden estar seguros?
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
50
c. El martes a las 6 de la mañana el tanque tenía 300 litros cuando se
prende el motor y comienza a llenarse. ¿Cuál de estos gráficos representa
la cantidad de agua que hay en el taque desde que comienza a llenarse?
d. ¿Es cierto que todos los días cuando pasa el doble de tiempo hay el
doble de agua en el tanque? ¿Cómo se dan cuenta?
e. Las relaciones entre la cantidad de litros de agua que hay en el tanque
y el tiempo desde que se enciende la bomba, ¿son de proporcionalidad
directa? ¿Los dos días? ¿Cómo se dan cuenta?
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
51
f. Las relaciones entre la cantidad de litros de agua que entra en el tanque
y el tiempo desde que se enciende la bomba, ¿son de proporcionalidad
directa? ¿Los dos días? ¿Cómo se dan cuenta?
g. ¿Cómo podrían escribir una cuenta que permita calcular la cantidad de
agua que hay en el tanque conociendo el tiempo desde que se enciende
la bomba cada día?
2. Una finca tiene un tanque de agua que se llena por medio de una bomba
que se enciende todos los días a las 6 de la mañana y que tiene capacidad
para 2500 litros. El lunes a las 8 de la mañana el tanque ya tenía 1240
litros y a las 10 ya tenía 2080 litros.
a. ¿Cuántos litros entran al tanque por minuto?
b. ¿Cuántos litros tenía el tanque al prenderse la bomba?
c. ¿A qué hora queda lleno el tanque?
3. En dos fincas vecinas poseen dos tanques que iguales de 2.000 litros
cada uno. Cada tanque tiene una bomba para llenarlo que se prende todos
los días a las 6 de la mañana y se apaga cuando el tanque está lleno. El
tanque de la primera finca vierte 250 litros por hora. El de la segunda
finca vierte 300 litros por hora. Un domingo a las 6 de la mañana el tanque
de la primera finca tiene 450 litros y el de la segunda finca tiene 250
litros. En ese momento se encienden las dos bombas
a. ¿Cuánto agua habrá en cada tanque a las 2 horas de encenderse las
bombas?
b. ¿Cuánto tarda cada tanque en llenarse?
c. ¿Cuáles de estos gráficos pueden representar la cantidad de agua que
hay en cada tanque ese domingo desde las 6 de la mañana?
Expliquen cómo se dan cuenta que lo representan.
d. ¿Cuál hubiera sido el gráfico que representa la situación si uno de los
tanques hubiera estado vacío a las 6 de la mañana?
e. ¿Cuál hubiera sido el gráfico que representa la situación si los dos
tanques hubieran estado vacío a las 6 de la mañana?
f. ¿Habrá algún momento en que ambos tanques tengan la misma
cantidad de agua y no estén llenos? ¿Cómo pueden asegurarlo desde el
gráfico? ¿Cómo podrían calcularlo exactamente?
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
52
4. Una empresa de electricidad cobra $350 por el servicio y $2,15 por
cada kilowatt hora que se consume.
a. ¿Cuánto hay que pagar por un consumo de 456 kilowatts hora
mensuales?
b. Una familia paga en un mes $7875. ¿Cuántos kilowatts hora
consumieron? ¿Cómo te das cuenta?
c. Escriban una fórmula que permita calcular los kilowatt hora consumidos
si saben el total que
se paga. En este caso, ¿cual es la variable independiente?
5. Un negocio de ropa decide contratar un empleado. Estudia dos formas de pago.
OPCIÓN A
Un sueldo fijo de $5000
y un 30% del total de las ventas.
OPCIÓN B
Un sueldo fijo de $7500 y
un 20% del total de las ventas.
a. Si fueras en dueño de la tienda. ¿Qué opción considerás que elegirías? ¿Por qué?
b. Si fueras el empleado. ¿Qué opción considerás que elegirías? ¿Por qué? c. Cambiarían tus elecciones si en lugar de un negocio de ropa fuera un
negocio de electrodomésticos? ¿Por qué? d. Para los ingresantes de informática se podría proponer realizar un
estudio de esta actividad en Excell.
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
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S e m a n a 62
1.- Se retoma esta actividad del módulo anterior para analizar la fórmula que queda.
Con bolitas blancas y grises los chicos arman estos patrones.
a. ¿Cuántas bolitas grises tendrá la forma 5? b. ¿Habrá alguna forma que use 253 bolitas en total? ¿Cómo te das
cuenta? c. ¿Habrá alguna forma que use 509 bolitas grises? ¿Cómo te das cuenta?
d. Si se conoce el número de la forma, ¿qué cuenta hay que hacer para calcular la cantidad de bolitas blancas y grises que se necesitan? ¿Cómo
te das cuenta?
¿Qué tipo de fórmula queda en esta actividad? ¿Es cierto que cada vez que se aumenta una forma, la cantidad de bolitas
aumenta lo mismo? La relación entre el número de forma y la cantidad de bolitas, ¿es lineal?
¿Por qué?
2 Puede que esta última semana se incorporen algunos problemas, habrá un archivo
anexo en el transcurso del curso.
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
54
Actividad 2
1. Consideren la función f(x) = x2 + 3x + 2.
Completen estos puntos para que pertenezcan a la gráfica de la función. (-4 , ____) (1 , ____ )
La función cuadrática tiene pares de puntos simétricos, es decir
que tienen la misma y.
2. Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura que alcanza la pelota, medida desde el suelo en metros, en función del tiempo, medido
en segundos, se calcula a través de la siguiente fórmula: h(t) = 35t – 10t².
a. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué momento lo hace?
b. ¿Después de cuánto tiempo cae la pelota al suelo? c. ¿Cómo se contestan las preguntas anteriores si la pelota se lanza a
25m del suelo?
3. Dentro de un campo se quiere cercar una parcela rectangular y dividirla en tres partes, colocando 2 divisiones paralelas a uno de los lados del
rectángulo. Para realizar el cerco se utilizarán 800 m de alambre y se
colocará doble alambre en todos los lados y las divisiones. ¿Cuáles deben ser las medidas de la parcela para que la superficie a plantar sea máxima?
4. ¿Es posible que el gráfico de una función cuadrática tenga vértice
(0 ; 15) y pase por los puntos (250 ; 4), (−250 ; 4)? Justifiquen su respuesta.
5. ¿Es posible que el gráfico de una función cuadrática tenga vértice
(365 ; 8) y pase por los puntos (459, 15), (309 ; 15)? ¿Por qué?
Actividad 3
3. 1. En una empresa, se conoce la función precio unitario P(x) y la
función costo en la producción y venta de x miles de unidades de
determinado artículo, C(x). Estas funciones están dadas por las siguientes fórmulas: P(x) = 8 – 0,7x ;
C(x) = 6 + 1,3x. a. Se llama ingreso al producto de la cantidad de artículos vendidos por
el precio unitario de los mismos. Escriban la fórmula de la función ingreso I(x).
b. Se llama ganancia a la diferencia entre el ingreso y el costo de los productos. ¿Cuál es la fórmula correspondiente a la función ganancia
G(x) para este artículo?
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
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c. ¿Cuántos miles de artículos fabricarían para que se produzca
ganancia?
3. 2. Para almacenar
agua para los
animales se armarán bebederos en forma
de prisma rectangular sin tapa
como el que se observa en la figura.
El largo debe ser 4 veces el ancho y el alto debe ser 5 cm más que la mitad del ancho.
a. Si el ancho mide 25 cm, ¿cuál será el volumen del bebedero? b. Si el largo mide 1 m, ¿cuál será el volumen del bebedero?
c. Si quieren armar un bebedero que tenga 11250 cm3 de agua, ¿cuáles deben ser sus medidas?
3. 3. En un laboratorio deciden medir la temperatura, en grados, de
una sustancia durante cierto día, comenzando a las 6 de la mañana.
Aproximaron los datos con la fórmula f(t) = 0,01 t3 – 0.36 t2 + 2,88 t, donde t es el tiempo medido en horas desde el inicio de la medición.
a. ¿A qué hora la temperatura era sobre cero? b. ¿A qué hora la temperatura era bajo cero?
c. ¿En algún momento la temperatura fue de 6º?
Actividad 4
4. 1. Se definen las siguientes funciones polinómicas.
P(x) = 2x3 Q(x) = 3x3 R(x) = x2 S(x) = 5x
a) ¿Cuáles de estas expresiones algebraicas pueden corresponder a P(x)
∙ Q(x)? ¿Cómo te das cuenta?
5x3 6x9 6x6 5x6 6x3
b) ¿Cuáles de estas expresiones algebraicas pueden corresponder a P(x)
+ Q(x)? ¿Cómo te das cuenta?
5x6 5x9 5x3 x3
c) ¿Cuáles de estas expresiones algebraicas pueden corresponder a P(x) - Q(x)? ¿Cómo te das cuenta?
x 0 -x3 -1
d) ¿Cuáles de estas expresiones algebraicas pueden corresponder a P(x) ∙ R(x)? ¿Cómo te das cuenta?
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
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2x5 2x10 3x7 3x5
e) ¿Cuáles de estas expresiones pueden corresponder a P(x) + R(x)?
¿Cómo te das cuenta?
2x5 x5 x3 + x2 2x6
f) ¿Cuáles de estas expresiones pueden corresponder a P(x) - R(x)?
¿Cómo te das cuenta?
x 2x 2x3 – x2 2x5
g) ¿Cuáles de estas expresiones algebraicas pueden corresponder a P(x) + R(x) – S(x)? ¿Cómo te das cuenta?
-2x4 6x5 2x3 + x 2x3 + x2 – 5x -
3x³
4. 2. Dadas las funciones polinómicas P(x) = −3
4 x2 + 3 y Q(x) =
5
2 x2 +
1
3
x.
a) ¿Cuáles de estas expresiones algebraicas pueden corresponder a P(x)
+ Q(x)?
i) 7
4 x² +
1
3 x +3 ii)
25
12 𝑥3 + 3 iii) −
3
4 𝑥2 + 3 +
1
3𝑥 +
3
2 𝑥2
iv) 7
4 ∙ 2 𝑥2 +
1
3𝑥 + 3
iv) −2
6𝑥2 −
1
4 𝑥3 +
10
3𝑥 +
11
2𝑥2
vi) 𝑥2
4 ∙ 7 +
𝑥
3+ 3
b) ¿Cuáles de las siguientes expresiones pueden corresponder a P(x) ∙
Q(x)?
i) xx2
15x
4
1x
8
15 234 +++ ii) xx5,74
x)15(
8
x 234
++−
+−
iii) xx2
11x
12
5x
4
7 234 ++− iv) 3
x3x
2
15x
4
1x
8
15 234 ++−−
4. 3. En cada caso, escriban, si existen, dos polinomios que verifiquen
las condiciones pedidas y que sumados den el polinomio P(x) = 3x2 + x
– 5. Si no es posible, expliquen por qué.
a) Cada uno de los polinomios debe tener tres términos b) Uno de los polinomios debe ser un trinomio de grado 3 y el otro debe
ser un monomio.
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
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c) Uno de los polinomios debe ser de grado 5 y el otro debe ser un
binomio de grado 3.
4. 4. En cada caso, escriban, si existen, dos polinomios que verifiquen
las condiciones pedidas y que restados den el polinomio P(x) = -3x3 + x2
. Si no es posible, expliquen por qué.
a) Cada uno de los polinomios debe ser un trinomio
b) Uno de los polinomios debe tener grado 5. c) Cada polinomio debe ser un binomio de grado 5.
4. 5. En cada caso, encuentren, si existen, dos polinomios que
verifiquen las condiciones pedidas y que multiplicados den el polinomio
P(x) = -3x3 + 6x2 Si no es posible, expliquen por qué.
a) Ninguno de los dos polinomios tenga grado 0 b) Uno de los polinomios tenga grado 3 y el otro grado 1
c) Uno de los polinomios tenga grado 1
4. 6. Completen las siguientes expresiones algebraicas para que sean
equivalentes.
a) 2x (x3 – 2x + 2) = 2 ____ – 4x.____ + 4x
b) (x – 1) (2x + 3) = 2x2 +____ – 3 c) 3x (____________) = 6x4 – 5x2 +9x
d) (x + 2,5) (____x + ____) = 2x2 + 3x – 5 e) (x – 2) (x + 2) = x2 + ________
f) (x + 3) (x – ____) = x._____ – 9
g) (x – 3) (____ + ____x + 6) = x³ – 8x² + ____x+ ____
h) 2x³ + 3x² – (x³ + 2x) + 4
5x² + 4x + ____ = 5x³ + ____ x² +
____ x
i) ____ + 2
3x³ + 7x – (2x4 +
4
3+ ____) = 7x4 + ____ x³ +7x + 3
DIVISIÓN DE POLINOMIOS RUFFINI Y TEORMA DEL RESTO –
FACTORIZACION DE POLINOMIOS – GRAFICOS – POSITIVIDAD Y NEGATIVIDAD
Cuadernillo de nivelación – UNdeC
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Actividad 5
5. 1. ¿Es cierto que para todo n natural se verifica que:
a) n2 – n es divisible por 2?
b) n3 – n es divisible por 3? c) n 5 – n es divisible por 5?
5. 2. ¿Es cierto que para todo n natural se verifica que:
a) n3 – n es divisible por 2? b) n5 – n es divisible por 3 y por 2?
5. 3. Para que valores naturales n se cumple que:
a) n5 – n es divisible por 4? b) 5 divide a n3 -n2 - 6n
c) 3 divide a n4 - 8n
![NPE - 2-(4-nitrophenyl)ethanol DBU - 1,8-diazabicyclo[5.4.0]undec-7-ene](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/56815922550346895dc64981/npe-2-4-nitrophenylethanol-dbu-18-diazabicyclo540undec-7-ene.jpg)
