Curso de Prob y Est Unidad II

UNIDAD II

Fundamentos de la teoría de probabilidad

Profesor: Abraham Gómez Avalos

1

Probabilidad: Es la posibilidad de que ocurra algo.

Ejemplos: La probabilidad de que: el Obama acabe con las guerras en el Medio Oriente, Marcelo Ebrad llegue a las elecciones para presidente de México, los yacimientos en mar profundo sean explotados por PEMEX, etc…

¿Qué es la Probabilidad?

2

Algebra de eventos

Partamos de un fenómeno (físico, químico, biológico, etc.), actividad o proceso que nos interesa estudiar, a esto le llamaremos Experimento.

Del experimento vamos a obtener Resultados o Datos. (valores de una variable cuantitativa o cualitativa).

Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento le llamaremos Espacio Muestral y se denota por S. Puede ser que el espacio muestral sea finito o infinito.

Y llamaremos Evento a cualquier subconjunto del espacio muestral, un evento puede no tener resultados, un solo resultados, varios o puede estar conformado por varios eventos. Denotado por A, B, C, E1, E2, ….., primeras letras mayúsculas del alfabeto. 3

Algebra de eventosEjemplos

Para cada enunciado, identifique el experimento, los posibles resultados, el espacio muestral y algunos eventos.

1. Si tenemos un circuito eléctrico RLC en serie y nos interesa estudiar el voltaje que circula por él.

2. En un equipo de video se tienen 2 circuitos RLC en paralelo, si estamos interesados en la corriente que circula por cada circuito.

4

Para cada enunciado, identifique el experimento, los posibles resultados, el espacio muestral y algunos eventos.

1. En un centro de computo se tienen 5 impresoras que imprimen a diferentes velocidades y cualquier computadora en ese lugar envía su archivo a imprimir a la impresora disponible. Estudiemos las 3 impresoras de mayor demanda.

2. Una encuesta en despachos de ingeniería, revela que el sueldo de un empleado se encuentra entre $4,800 y $150,000 pesos mensuales. Si se eligen a dos empleados aleatoriamente.

Algebra de eventosEjercicios

5

Algebra de eventos

Un evento puede clasificarse en:

1.Evento Finito: con un conocido número de elementos.

2.Evento infinito: el número de elementos no es conocido.

3.Evento Vacío o no realizable: no tiene elementos o el elemento no se puede lleva a cabo.

6

Notación del álgebra de eventos

Los Elementos de un espacio muestral tendrán formas diferentes, según el experimento de que se trate, por ejemplo:

Si hablamos de las impresoras del centro de computo, un elemento puede ser (I1, I5, I4).

Si hablamos del voltaje del circuito RLC, un elemento es 3.12 volts.

Si observamos las encuestas a los despachos, un posible resultados es ($15,700 y $26,080)

En forma general, se utilizan las letras x, y, z, para identificar un elemento cualesquiera del espacio muestral.

7


Los Eventos se describen, según la forma de los elementos, esto es;

Un evento del experimento del sueldo en los empleados en un despacho, puede ser:

A = { (10,000 y 6,800), (18,950 y 41,000), (134,500 y 27,676) } Un evento del experimento de la medición del voltaje del

circuito RLC, puede ser:

B = {0.00, 1.29, 12.05, 4.58, 0.56 }

8


El espacio muestral o los eventos se pueden definir de dos formas:

Por comprensión. Se indica(n) la(s) característica(s) que describe(n) los elementos del evento o espacio, ejemplo:

S = { (x, y) | x, y son sueldos de empleados de un despacho de ingenieros, que ganan entre 4,800 y 150,000 pesos mensuales }

Por extensión. Se listan todos los elementos que contiene el evento o espacio, ejemplo:

S = { (4,800 y 4,801 ), (4,800 y 4,802 ), (4,800 y 4,803 ), …………, (149,999 y 150,000), (150,000 y 150,000)}

9


Sea S espacio muestral; A, B eventos de S; x, w elementos de S.

Contención: A es subconjunto de S:

Pertenencia: Sea x elemento de A:

No Contenido: A no es subconjunto de B:

No Pertenencia: Sea w elemento que no pertenece a B:

SA

Ax

Bw

BA

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Operaciones en el álgebra de eventos

Diagramas de Venn-Euler sirven para representar el espacio muestral y sus eventos.

Las operaciones de eventos se pueden realizar utilizando la definición por extensión de eventos o mediante los diagramas de Venn-Euler.

El resultado en el diagrama

son las áreas sombreadas.

11


Sea S espacio muestral; A, B, C, y D eventos de S.

Unión (A unión B): Es el evento formado por los elementos que pertenecen al evento A, al evento B o a ambos.

Intersección (A intersección B): Es el evento formado por los elementos que pertenecen ambos eventos.

BA

BA12


Diferencia entre eventos (A menos B): Es el evento formado por los elementos del evento A, que no pertenecen al evento B.

Complemento (A Complemento): Es el evento formado por los elementos del espacio muestral que no están en el evento A.

BA

cA13

Ejemplo: Elabore el diagrama de Venn – Euler de la siguiente situación y conteste las preguntas.

Analizando los registros de inspección de calidad en la salida del proceso de ensamble de mini componentes, se determinó que de 100 aparatos, 14 tienen el defecto A, 5 sólo tienen los defectos A y B, 6 sólo tienen el defecto C, 19 tienen el defecto B, 3 aparato tienen los tres defectos, un aparato tiene sólo los defectos B y C, 5 aparatos tienen al menos los defectos A y C.

a) ¿Cuántos aparatos tienen dos o más defectos?

b) ¿Cuántos aparatos no tienen defectos?

c) ¿Cuántos aparatos tienen el defecto A o el B?

a) 11,b) 69,c) 25.

4 10

62 13

5

69

A

C

B

S

14

Ejercicio

Elabore el diagrama de Venn-Euler de la siguiente situación y conteste las preguntas:

Una tienda de aparatos electrónicos tiene anuncios en una revista especializada y en la televisión, y se da cuenta que de 50 compradores de un producto 12 sólo vieron el anuncio en la revista, 14 en la televisión, 3 en ambos medios y los demás por ninguno de los dos medios de publicidad.

a) ¿Cuántos compradores vieron el anuncio en al menos uno de los medios?

b) ¿Cuántos compradores vieron el anuncio en la televisión, pero no en la revista?

c) ¿Cuántos compradores vieron el anuncio en la revista o en ninguno de los dos anuncios?

a) 26,b) 11,c) 39.

15

Leyes del álgebra de eventos

Leyes de Idempotencia:

Leyes Asociativas:

Leyes Conmutativas:

Ley Distributiva:

Leyes de Identidad:

AAAAAA

CBACBA

ABBAABBA

CABACBA

ASASSA

AAA

CABACBA

CBACBA

16

Leyes del álgebra de eventos

Leyes de Complemento:

Leyes de D’ Morgan:

Si sucede que , A y B eventos del mismo espacio muestral entonces se llaman Eventos Mutuamente Excluyentes.

SSAA

AASAACCCC

CC

,,

CCCCCC BABABABA )()(

BA

17

Ejemplos de aplicación de las leyes del álgebra de eventos

Se tiene un aparato electrónico compuesto de 5 sistemas (a, b, c, d, e), seleccionamos al azar dos de ellos, para su revisión. Determine el espacio muestral y considerando los siguientes eventos A: los elementos incluyen al sistema “b”, B: los elementos incluyen sólo a los sistemas “c”, “b” y “d”, y C: los elementos incluyen al sistema “d” y al elemento que tiene a los sistemas “a” y “b”. Realice las siguientes operaciones:

1) SC υ A

2) (B∩ A)C

3) A – (CυS)C

4) (AυC)∩(BυC)

5) (BυC)c∩Ac

Respuestas

1) A

2) {ab,ac,ad,ae,be,cd,ce,de}

3) A

4) {ad,bd,cd,bc,ad,ed,ab}

5) {ac,ae,ce}

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Aplicación de las leyes del álgebra de eventosEjercicios

En una oficina se les preguntó a 4 personas sobre la marca de televisor que prefieren, los resultados son los siguientes: Martha > Sony, LG y Panasonic. Antonio > Sony, Phillips, Electra y LG. Yoselin > Panasonic y LG. José > Samsung, Sanyo y Phillips.

Se definen los siguientes eventos: A = {x|x es una persona que prefiere un televisor LG}, B = {x|x es una persona que prefiere un televisor Panasonic o Phillips} y C = {x|x es una persona que prefiere un televisor Sony y uno LG}. Obtenga los siguientes eventos:

1) A ∩ C2) (B υ C) ∩ A3) A∩CC

4) (AC υ CC)C – B5) ¿A y B son eventos mutuamente excluyentes?

Respuestas1) {M,A}2) {M,A,Y}3) {Y}4) Ø5) {M,A} 19

Aplicación de las leyes del álgebra de eventosEjercicios

Por medio de diagramas de Venn-Euler y por las leyes del álgebra de eventos, comprobar que son ciertas las siguientes igualdades:

1) (BυA)C ∩C = (BC∩C)∩(AC∩C)

2) Aυ(AC∩B) = AυB

20

Particiones de eventos

Dado A un evento de un espacio muestral S y A1, A2,…, An sub eventos de A, los cuales forman una familia A ={ A1, A2,…, An } de eventos, se dice que A forma una partición de eventos de A, si los sub eventos dados cumplen con:

1) Para todo k є In se cumple que Ak ≠ Ø,

donde In ={1, 2, …,n}

2)

3) Para cualesquiera eventos Ai y Aj con i, j єIn, se cumple que Ai = Aj o Ai ∩ Aj = Ø

i

n

i

AA 1

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Ejemplo de particiones de eventos

Dado el experimento de lanzar tres monedas al aire, al mismo tiempo y observar la cara que cae hacia arriba. Determine el espacio muestral, construya una partición para el espacio muestral.

Ejercicio de particiones de eventos

Sea el experimento de elegir al azar dos resistencias de un grupo de tres y un capacitor de un grupo de cuatro. Determine el espacio muestral, construya una partición para el espacio muestral.

22

Conceptos de Probabilidad

Probabilístico o aleatorio

Experimento :

Determinístico

Experimento Probabilístico: Cualquier proceso que produce uno y sólo uno de todos los posibles resultados cada vez que se realiza, no permite anticipar cual resultado ocurrirá.

Ejemplos: La fabricación de cierto tipo de tabletas para computadoras, la revisión de bombillas eléctricas antes de colocarlas en los estantes de una tienda de autoservicio, la medición de la resistencia a la tensión de una barra de acero (experimentos aleatorios únicos) 23


Experimento Determinístico: Experimento que se ejecuta bajo condiciones iguales y donde se tiene conocimiento previo del resultado. Muchos de estos experimentos conducen a un modelo matemático.

Ejemplos: La fuerza generada por un objeto en movimiento se determina por la fórmula F = ma; en un circuito eléctrico con una resistencia y alimentado por un voltaje, se puede conocer la corriente que pasa por la resistencia Ley de Ohm.

24


Cardinalidad de un espacio muestral o de un evento: número de elementos que contiene, se denota por n(S) o n(A), según sea el caso; espacio muestral o evento.

Un espacio muestral es discreto; cuando la cardinalidad del espacio es finita o infinita numerable. Ejemplo: Se cuenta el número de llamadas que entran a un conmutador de una empresa entre las 10:00 hrs. y las 20:00hrs, en un cierto día. S = {0,1,2,3,4,5,6,7….} es infinito numerable el número de llamadas.

Un espacio muestral es continuo; cuando su cardinalidad es infinita. Ejemplo: Se evalúa el tiempo que trabaja un teléfono celular sin presentar falla. [0, t). Intervalo de tiempo continuo.

25

Enfoques de la Probabilidad

Para el estudio de la probabilidad existen tres enfoques conceptuales, cada uno representa planteamientos distintos en cuanto a la concepción y a la manera de obtener las probabilidades de un evento.

Clásico

Enfoques de

Frecuencial

Probabilidad

Subjetivo

26


Enfoque Clásico: La probabilidad de un evento esta determinada por el cociente entre la cardinalidad del evento y la cardinalidad del espacio muestral. P(A)=n(A)/n(S)

Ejemplo: Lanzamiento de un dado, nos interesa saber ¿cuál es la probabilidad de que caiga “1”?

Para lo cual tenemos que obtener el espacio muestral S={1,2,3,4,5,6} y su cardinalidad es n(S)=6, identificar los elementos para el evento A: caiga “1” n(A)=1, por lo tanto P(A)=P(“1”)= 1/6

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Enfoque Frecuencial: La probabilidad de que ocurra un evento A se calcula dividiendo el número de veces en que se ha presentado dicho evento entre el número total de observaciones realizadas.

Ejemplo: Un estudiante de ingeniería en comunicaciones y electrónica desea conocer cuales son las expectativas de obtener un trabajo relacionado con su carrera, para lo cual en la página de OCC consultó los últimos 50 empleos ofrecidos por esta empresa y observó que 15 plazas se ofrecían para ingenieros en C y E. Por lo tanto, la probabilidad es P(A) =15 / 50=3/10.

OCC: empresa en la web dedicada a la publicación de vacantes de empleos 28


Enfoque Subjetivo: Se asigna un valor de probabilidad con base en la experiencia, intuición o sentimiento del evaluador.

Ejemplo: Según un renombrado político tabasqueño asegura que en las próximas elecciones presidenciales Marcelo será el ganador con un alto porcentaje, pero otro renombrado político mexiquense cree que quedará en segundo lugar (por que él será el primer lugar)

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Propiedades de los valores de probabilidad

La probabilidad es una función que asocia a cada evento del espacio muestral S con un número en el intervalo [0, 1].

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

Axioma 1: La probabilidad de un evento A cualesquiera en un espacio muestral S satisface la condición 0 ≤ P(A) ≤ 1

Axioma 2: La probabilidad del espacio muestral S es

P(S) = 1

Axioma 3: Si A1 y A2 son mutuamente excluyentes

entonces P(A1υ A2) = P(A1) + P(A2)30

AXIOMAS DE PROBABILIDAD (continuación)

Axioma 4: Si se tiene una partición del espacio muestral S; A1, A2,A3,…, An conjunto finito de eventos entonces

P(A1υ A2 υ A3 υ …υ An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +…+ P(An)

Si la partición tiene un conjunto infinito de eventos entoncesP(A1υ A2 υ A3 υ …υ An υ …) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +…+ P(An)+…

31

EVENTOS INDEPENDIENTES

Definición: Dos eventos A y B se dice que son independientes si y sólo si:

P(A ∩ B) = P(A)·P(B)

Teorema: a) P(Ø) = 0

b) Si AC es complemento de A entonces

P(A) = 1- P(AC)

32

ESPACIO MUESTRAL EQUIPROBABLE

Definición: Es aquel en el que cada uno de sus resultados (elementos) tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Si un experimento tiene N resultados posibles y cada uno tiene la misma posibilidad de ocurrir entonces la probabilidad para cada evento simple (un solo elemento en cada evento) es 1/N.

Ejemplo: En un conmutador de una empresa, cualquier llamada que se reciba tiene la misma probabilidad de ser contestada.

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Espacio Muestral No Equiprobable

Definición: Es aquel donde no todos los resultados (elementos) tienen la misma posibilidad de ocurrir.

Ejemplo: En la inspección final de un automóvil se tienen que evaluar los siguientes sistemas:

a) Frenado

b) Tren motriz

c) Dirección

d) Iluminación

e) …

En este caso, hay sistemas que tienen mayor probabilidad de ser revisados que otros, por considerarse puntos críticos o de seguridad.

34

Ejemplo:

Si seleccionamos dos conectores y medimos su espesor para clasificarlos como:

a) Cumplen la especificación (C)

b) No cumplen con la especificación (N)

¿Cuál es el espacio muestral?

S = {CC, CN, NC, NN}

¿Cuál es la probabilidad de que al elegir dos conectores, ninguno cumplan con la especificación?

Definamos el evento

A: ambos conectores no cumplen con la especificación.

Entonces su probabilidad es P(A)=1/435

Ejemplo: continuación

¿Cuál es la probabilidad de que al elegir dos conectores, al menos uno cumplan con la especificación?

Definamos el evento

B: al menos uno de los conectores cumple con la especificación.

Entonces su probabilidad es P(B)=3/4.

36

Ejercicio:

Un fabricante de autos ofrece vehículos donde los clientes tienen que decidir sobre las siguientes opciones, considerar que es forzoso elegir una de cada opción: Aire Acondicionado o sin éste, transmisión manual o automática y estéreo con un CD o con charola para 3 CD’s

¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?

Considerando la notación CA con aire acondicionado y SA sin aire acondicionado, TM y TA para la transmisión manual y automática, y finalmente 1 o 2 para el estéreo respectivo. Así que el espacio muestra es:

S={(CA,TM,1), (CA,TM,2), (CA,TA,1), (CA,TA,2), (SA,TM,1), (SA,TM,2), (SA,TA,1), (SA,TA,2)}

Conteste las siguientes preguntas, definiendo primeramente el evento que aplique en cada caso.

37

Ejercicio: continuación

¿Cuál es la probabilidad de elegir un auto al azar con transmisión automática?

El evento es: A={(CA,TA,1), (CA,TA,2), (SA,TA,1), (SA,TA,2)}

Su probabilidad es: P(A)=4/8 = ½= 0.5

¿Cuál es la probabilidad de elegir un auto al azar con aire acondicionado o con el estereo 1?

El evento es B={(CA,TA,1), (CA,TA,2), (CA,TM,1), (CA,TM,2), (SA,TA,1), (SA,TM,1)}

Su probabilidad es: P(B)=6/8 = ¾= 0.75

¿Cuál es la probabilidad de elegir un auto al azar con transmisión manual, pero sin aire acondicionado?

El evento es: C={(SA,TM,1), (SA,TM,2)}

Su probabilidad es: P(C)=2/8 = ¼= 0.25

38

Teorema: Si A y B son dos eventos cualesquiera de un espacio muestral S, entonces

P(AυB) = P(A)+ P(B)-P(A∩B)

Ejemplo: Si P(M)=0.73, P(N)=0.35 y P(M∩N)=0.14, determine:

a) P(MυN)

b) P(MC ∩ N)

c) P(M ∩ NC)

d) P(MC υ NC)Respuestas

a) 0.94

b) 0.21

c) 0.59

d) 0.8639

Ejercicio: Si R y T son eventos mutuamente excluyentes de un espacio muestral, con P(R)=0.27 y P(T)=0.45, calcule:

a) P(RC)

b) P(RυT)

c) P(RC ∩ TC)

Respuestas:

a) 0.73

b) 0.72

c) 0.28

40

Ejercicio: Un experimento tiene cuatro eventos mutuamente excluyentes, L, M, N y R. Determine en cada caso si las asignaciones de probabilidad son validas y ¿por qué?:

a) P(L)=0.21, P(M)=0.14, P(N)=0.13, P(R)=0.52,

b) P(L)=5/18, P(M)=1/9, P(N)=1/2, P(R)=3/18,

c) P(L)=1.25, P(M)=0.10, P(N)=0.2, P(R)=0.01,

d) P(L)=0.50, P(N)=-0.25, P(M)=0.15, P(R)=0.60.

a) Si, son positivas, entre 0 y 1 y la suma dan 1,

b) No, porque la suma es mayor a 1,

c) No, Hay una probabilidad mayor a 1,

d) No. hay una probabilidad negativa,.

41

Corolario: Si A, B y C son tres eventos cualesquiera de un espacio muestral S, entonces

P(AυBυC) = P(A)+ P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C) -P(B∩C)+ P(A∩B∩C)

Teorema: Sean A y B dos eventos de un espacio muestral S, tales que entonces P(A) ≤ P(B)BA

42

Ejemplo: Se realiza una inspección general de DVD’s, después del ensamble, se identifican tres tipos de defectos: crítico (A), Mayor (B) y Menor (C), se analizan los datos con los siguientes resultados:

El 2% del total de los aparatos sólo presentan el defecto A,

El 5% del total de los aparatos sólo presentan el defecto B,

El 7% del total de los aparatos sólo presentan el defecto C,

El 3% del total de los aparatos sólo presentan los defectos A y B,

El 4% del total de los aparatos sólo presentan los defectos A y C,

El 3% del total de los aparatos sólo presentan los defectos C y B,

El 1% de los aparatos tiene los tres defectos.

a) Elabore el diagrama de Venn respectivo.

b) ¿Cuál es la probabilidad de elegir un aparato sin defectos?

c) ¿Qué porcentaje de aparatos con defectos críticos, menores o mayores deben retrabajarse?

d) ¿Qué porcentaje de aparatos con defecto crítico?

43

BA

C

0.020.03

0.030.04

0.01

0.07

0.05

0.75

S

Respuestas:

a)

b) P[ ( AυBυC )C] = 0.75

c) P( AυBυC ) = 0.25

d) P(A) = 0.1044

Ejercicio: En una tienda donde se venden computadoras, se recibe un pedido de cuatro computadoras del mismo tipo. Cada computadora funciona bien o no funciona en absoluto, por lo que el encargado debe verificar las condiciones de los equipos.

a) Determine el espacio muestral,

b) Defina los eventos: A: al menos dos computadoras no funcionan y B: cuando menos una computadora funciona bien.

c) Determine las probabilidades P(A), P(B) y P(A∩B)

Respuestas:

a) S={FFFF, FFFN, FFNF, FNFF, NFFF, FFNN, FNFN, NFFN, FNNF, NFNF, NNFF, FNNN, NFNN, NNFN, NNNF, NNNN},

b) A={FFNN, FNFN, NFFN, FNNF, NFNF, NNFF, FNNN, NFNN, NNFN, NNNF, NNNN}, B={FFFF, FFFN, FFNF, FNFF, NFFF, FFNN, FNFN, NFFN, FNNF, NFNF, NNFF, FNNN, NFNN, NNFN, NNNF},

c) P(A)=11/16, P(B)=15/16 y P(A∩B)=5/8.

45

Ejercicio: Dados los eventos A y B de un espacio muestral S, tal que P(A)=1/2, P(B)=3/8 y P(AυB)=5/8.

Calcular

a) P(AC),

b) P(BC),

c) P(A∩B),

d) P(AC∩B),

e) P(ACυB),

f) P(A∩BC),

g) P[(AυB)C],

h) P[(A∩B)C].

Respuestas

a) =1/2

b) =5/8

c) =1/4

d) =1/8

e) =3/4

f) =1/4

g) =3/8

h) =3/4 46

Ejercicio: Dados los eventos A y B de un espacio muestral S, tal que P(A)=0.3, P(B)=0.3 y P(AυB)=0.4.

Calcular

a) P(A∩B)

b) P(ACυBC)

Respuestas

a) = 0.2

b) = 0.8

47

2.- Dados los eventos A y B de un espacio muestral S, tal que P(A)=0.7, P(AυB)=0.9 y P(B)=0.6

Calcular P(AC∩BC)

3.- Dados los eventos A y B de un espacio muestral S, tal que P(A)=0.4, P(B)=0.2 y P(A∩B)=0.

Calcular P(ACυB)

1.- Dados los eventos A y B de un espacio muestral S, tal que P(A)=P(B)=0.5 y P(A∩B)=0.4.

Calcular

a) P(AC∩B)

b) P(AC- B)

TAREA

Respuestas

1.- a) = 0.1, b) 0.4

2.- 0.1

3.- 0.6

48

Principios de conteo

Principio de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa, y n formas de hacer otra, existirán m x n formas de hacer ambas.

Ejemplo

El Dr. Velasco tiene 10 camisas y 8 corbatas. ¿Cuántos juegos de camisa y corbata puede tener?

(10)(8) = 80

49

Principios de conteo Permutación: Es un arreglo o disposición de r

objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. El orden del arreglo es importante en las permutaciones.

)!(

!

rn

nP rn

EjemploHay 12 jugadores en el equipo de básquetbol de la ESIME- Z. El director técnico Tomás Pérez debe escoger 5 jugadores de los 12 del equipo para formar su línea de inicio. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacerlo? Considerando que no puede colocar a cualquier jugador en cualquier posición.

95040)!512(

!12512

P

50

Principios de conteo Combinación: Es un arreglo o disposición de r

objetos elegidos de un grupo de n objetos sin importar el orden:

)!(!

!

rnr

nCrn

Hay 12 jugadores en el equipo de básquetbol de la ESIME- Z. El director técnico Tomás Pérez debe escoger 5 jugadores de los 12 del equipo para formar su línea de inicio. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacerlo? Si no interesa como se coloquen en la cancha.

Ejemplo

792)!512(!5

!12512

C

51

Diagrama de árbol

El diagrama de árbol es una representación gráfica útil para determinar el número de elementos del espacio muestral a partir de que se tiene un cierto número de grupos que serán considerados para ir eligiendo uno elemento de cada uno de ellos . También sirve para cálculo de probabilidades.

EjemploEn una bolsa que contiene 7 chips rojos y 5 chips azules, seleccionemos dos chips uno después del otro sin reemplazarlo. Elabore un diagrama de árbol mostrando esta información.


52

Ejemplo (Continuación)

Rojo 1

Azul 2

Rojo 2

Azul 1

Rojo 3

Azul 4

Rojo 5

Azul 3

Rojo 4

Azul 5

Rojo 6

Rojo 7

Azul 2

Azul 1

Azul 4

Azul 3

Azul 5...

Azul 2

Azul 1

Azul 4

Azul 3

Azul 5

(Rojo 1, Azul 1)

(Rojo 1, Azul 2)

(Rojo 1, Azul 3)

(Rojo 1, Azul 4)

(Rojo 1, Azul 5)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

(Rojo 7, Azul 1)

(Rojo 7, Azul 2)

(Rojo 7, Azul 3)

(Rojo 7, Azul 4)

(Rojo 7, Azul 5)


53

1. Para instalar un café Internet se requiere de comprar las computadoras, las sillas y los escritorios, si en la tienda Office Point se disponen de cinco marcas diferentes de computadoras, 8 tipos diferentes de sillas y dos modelos de escritorios. ¿De cuántas formas diferentes se pueden elegir una marca de computadora, un tipo de silla y un modelo de escritorio?

R=80

2. Un sistema de cómputo tiene una contraseña que consiste de cinco letras, no repetidas ¿Cuántas contraseñas son posibles? Si ahora las letras van seguidas de dos dígitos. ¿Cuántas contraseñas son posibles?

R= a) 7,893,600. b) 710,424,000

3. ¿Cuántas placas de automóvil de uso particular en el Distrito Federal se pueden formar si cada placa consta de tres dígitos seguidos de tres letras y si el primer dígito deber ser diferente de cero? (considerar 26 letras, pudiéndose repetir éstas)

R= 15,818,400

Principios de conteo Ejercicios

54

4. Para viajar de la Ciudad de México a Veracruz existen 3 caminos y de Veracruz a Tabasco hay 4 caminos, Determine el número de formas en que puede viajar una persona de México a Tabasco, si tiene que pasar primero por Veracruz. Utilice un diagrama árbol.

R=12

5. Se pide tomar seis números a la vez de un total de 44, Calcular cuantas combinaciones son posibles hacer si el orden no es importante.

R=7,059,052

6. Se desea formar un comité de cinco personas de un grupo de 20.

a) ¿Cuántos comités se pueden formar?

b) Si en el grupo hay tres hermanos, ¿de cuántas maneras se puede formar el comité, si deben estar dos de los hermanos?

R= a) 15,504. b) 2,040

Principios de conteo Ejercicios (Continuación)

55

Ejercicios (Continuación)

7. En una fundidora se identifica un lote de 20 bloques de motor, de los cuales cinco contienen defectos internos. El comprador selecciona una muestra de tres bloques al azar para revisarlos.

a) ¿Cuántas muestras se pueden obtener? Independientemente de si hay o no defectuosos.

b) ¿Cuántas muestras con un bloque defectuoso se pueden obtener?

R= a) 1,140. b) 525

8. Si se tienen 5 líneas de transmisión identificadas como A, B, C, D y E, ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar en serie?

R= 120

9. Un examen de probabilidad y estadística está formado por tres temas, el tema A contiene seis preguntas, el tema B cuatro y el tema C ocho preguntas, y se tiene que contestar tres preguntas de cada tema, calcular de cuántas maneras diferentes se puede presentar el examen para un estudiante.

R= 4,480


56

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Definición: Si A y B son dos eventos cualesquiera de un espacio muestral S, tales que P(B)≠0, la probabilidad condicional del evento A dado que ya ocurrió el evento B esta dada por:

Observación: La probabilidad P(A|B) es una actualización de P(A) basado en el conocimiento de que ya ocurrió el evento B. Bajo esta condición en un espacio muestral discreto S, cuando se da la probabilidad condicional se observa que el espacio muestral se “reduce” a sólo los resultados de B con los de A.

)(

)()(

BP

BAPBAP

57

Ejemplo: El departamento de producción de Philips informó que de sus 250 empleados, 130 fuman, 150 son hombres y de ellos 85 son fumadores.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sí se elige un empleado y es fumador, este sea hombre?

P(H|F) = 85/130 = 0.6538

b) Elaborar la tabla de contingencia para calcular la probabilidad de que sí seleccionamos un empleado al azar este sea mujer.

P(M) = 100/250 = 0.4

F NF Total

H

M

Total

85 65 150

45 55 100

130 120 250


58

Ejemplo: (continuación)

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sí seleccionamos un empleado al azar, éste sea mujer dado que no es fumador?

P(M|NF) = 55/120 = 0.4583

d) ¿Cuál es la probabilidad de que sí seleccionamos un empleado al azar, éste sea fumador dado que es mujer?

P(F|M) = 45/100 = 0.45


59

Ejercicio de Probabilidad Condicional

En la empresa Euzkadi se trabajan tres turnos: el diurno, el mixto y el nocturno. El turno diurno produce 40% de la producción total de la empresa, en tanto que el mixto produce el 35% y el nocturno el 25%. Históricamente los porcentajes de rechazo que producen estos turnos son de 5%, 10% y 20% respectivamente. Si se producen 10,000 llantas por día, determine lo siguiente:

a) ¿Qué probabilidad hay de que al elegir una llanta en un día determinado, ésta se encuentre defectuosa?

b) ¿Qué probabilidad hay de encontrar una llanta no defectuosa?

c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una llanta defectuosa, si se sabe que es del turno nocturno?

d) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una llanta del turno mixto, dado que es defectuosa?

60

Di M N Total

D 200 350 500 1050

ND 3800 3150 2000 8950

Total 4000 3500 2500 10000

Tabla de contingencia

Ejercicio de Probabilidad Condicional (continuación)

Respuestas

a) P(D)= 0.105

b) P(ND)= 0.895

c) P(D|N)= 0.2

d) P(M|D)= 0.33361

Tarea

En una bodega se encuentra un contenedor con pantallas LCD de tres marcas Panasonic, Sony y LG en dos tamaños 32” y 40”. El contenedor tiene 65 pantallas Panasonic, de las que el 60% son de 32”, 40 pantallas Sony de las que el 45% son de 32” y 25 pantallas LG de las que el 80% son de 40”. Con base en la información anterior, determine:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sí tomamos una pantalla al azar ésta sea de 32”?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sí tomamos al azar una pantalla de 40” ésta sea de la marca Sony?

c) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una pantalla de la marca Panasonic o LG, dado que es de 32”?

Respuestas a) 0.4769, b) 0.3235, c) 0.7097

62

Regla de multiplicación

Teorema: Si A y B son dos eventos en un espacio muestral S, entonces

Ejemplo: En una caja se tienen diez rollos de película fotográfica, tres de los cuales están defectuosos. Se seleccionan dos rollos, uno después del otro. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un rollo con defecto seguido de otro también defectuoso?

Sea A: el evento de elegir el primer rollo defectuoso; P(A)=3/10

Sea B: el evento de elegir el segundo rollo defectuoso; P(B|A) =2/9

P(A∩B) = 3/10*2/9=0.07

0)()()(

0)()()()(

BPsiBAPBP

APsiABPAPBAP

63

Ejercicio de la regla de multiplicación

En la Aerolínea United se sabe que la probabilidad de que un vuelo programado, normalmente salga a tiempo es de 0.93; la probabilidad de que llegue a tiempo es de 0.90 y la probabilidad de que haya salido a tiempo dado que llegó a tiempo es de 0.944.Encuentre la probabilidad de que un vuelo de esa compañía:a) Salga a tiempo y llegue a tiempo,b) No salga a tiempo y no llegue a tiempo,

Respuestasa) P(ST ∩ LT)= 0.8496b) P(STc ∩ LTc)= 0.0196

64

Eventos Independientes

Definición: Dos eventos A y B son eventos independientes si y sólo si

Teorema: A y B son eventos independientes si y sólo si

P(A∩B) = P(A)·P(B)

)()(

)()(

BPABP

APBAP

Ejemplo:

Durante un lanzamiento espacial, el sistema de cómputo primario está respaldado por un sistema secundario. Estos sistemas funcionan uno con independencia del otro y cada uno tiene una confiabilidad del 90%. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sistemas sean funcionales en el momento del lanzamiento?

Respuesta: P(Sp∩Ss) =0.81

65

En un proceso de fabricación de plasmas, se presenta un defecto de tipo D1 con una probabilidad de 0.03 y un defecto de tipo D2 con probabilidad de 0.02. Si existe independencia entre los dos tipos de defectos. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) Un artículo sea defectuoso?b) Un artículo no tenga ambas clases de defectos?c) Tenga el defecto D1 y no el defecto D2?

Ejercicio de eventos independientes

Respuestas:a) P(D1υD2) =0.0494,b) P[(D1∩D2)c] =0.9994,c) P(D1∩D2

c) =0.029466

Teorema de Bayes

Si B1, B2, , … ,Bk son k eventos de un espacio muestral S tal que es una partición de S, entonces para cualquier evento A de S, con P(A)≠0 se cumple:

A partir de una probabilidad previa P(Br) del evento Br que es incondicional; la probabilidad posterior P(Br|A) es condicional, dado el resultado empírico del evento A.

k

iii

rrr

BAPBP

BAPBPABP

1

)()(

)()()(

Para dos eventos A y B, el teorema de Bayes es:

)()()()(

)()()( CC BPBAPBPBAP

BPBAPABP

67

Teorema de Bayes

Ejemplo: La probabilidad de que un automóvil pase la verificación, dado que está en buenas condiciones mecánicas es de 0.9 y la probabilidad de que un automóvil esté en buenas condiciones mecánicas es de 0.7. Si la probabilidad de que un automóvil pase la verificación no estando en buenas condiciones mecánicas es de 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil:

a) que ha pasado la verificación, esté en buenas condiciones mecánicas?

b) que no ha pasado la verificación, esté en buenas condiciones mecánicas?

68

Ejemplo Teorema de Bayes

Ejemplo (continuación):

Definamos los eventos A: el auto pasa la verificación, B: el auto está en buenas condiciones mecánicas,

Datos:

P(A|B)=0.9

P(B)=0.7 => P(Bc)=0.3

P(A|Bc)=0.8

Aplicando el teorema de Bayes

B BC

A

P(B)=0.7 P(Bc)=0.3

7241.087.0

63.0

8.03.09.07.0

9.07.0)(

ABP

69

Ejemplo Teorema de Bayes

Ejemplo (continuación):b) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que no ha pasado la verificación, esté en buenas condiciones mecánicas?Obtengamos la tabla de contingenciaPara lo cual, calculemos P(A∩B) y P(A∩Bc)

P(A∩B)=P(A|B)·P(B) =0.9·0.7=0.63P(A∩Bc)=P(A|Bc)·P(Bc) =0.8·0.3=0.24

Ahora completando la tabla, tenemos

Por lo tanto P(B|Ac) = 0.07/0.13 = 0.5385

A Ac Total

B 0.63 0.07 0.7

Bc 0.24 0.06 0.3

Total 0.87 0.13 1.00

A Ac Total

B 0.7

Bc 0.3

Total 1.00

70

Ejercicio de Teorema de Bayes

Suponga que el total de los artículos producidos en una fábrica se elaboran en cuatro máquinas A1, A2, A3 y A4. La máquina A1 produce el 30% del total de los artículos, la máquina A2 produce el 20%, la máquina A3 el 35% y la máquina A4 el 15%. Además, se sabe que el 2%, 1%, 4% y 2% de los artículos producidos por las máquinas A1, A2, A3 y A4 respectivamente son defectuosos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo seleccionado al azar de la producción total sea defectuoso?

b) Si un artículo seleccionado es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya producido la máquina A2?

c) Si un artículo es de la máquina A1, ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso?

Respuestas a) P(D) =0.025, b) P(A2|D)=0.08, c) P(DC|A1)=0.9871

Ejercicio de Teorema de Bayes

Una cuarta parte de los residentes del fraccionamiento Los Laureles Verdes dejan abiertas las puertas de su cochera cuando salen de su casa. El jefe de policía local calcula que en 5% de las cocheras cuyas puertas se dejan abiertas se roban algún objeto, pero solamente en 1% de las cocheras cuyas puertas se quedan cerradas se han robado algo.

a) Si los delincuentes roban una cochera, ¿cuál es la probabilidad de que sus puertas se hayan dejado abiertas?

b) Si los delincuentes no roban una cochera, ¿cuál es la probabilidad de que sus puertas se hayan dejado cerradas?

P(CA|R) =0.625

P(CC|Rc)=0.7577

72

Confiabilidad de sistemasLa tarea de diseñar y supervisar la manufactura de un

producto, así como la prestación de un servicio se pueden considerar como sistemas complejos; integrados por subsistemas que pueden estar en paralelo, en serie o mixtos. La confiabilidad de un sistema es la probabilidad de que funcione dentro de los límites dados, al menos durante un periodo determinado, en condiciones ambientales específicas.

C1

C2

C3

C4

C6

C7C5 C8

73

Confiabilidad de sistemasUn sistema en serie esta caracterizado por el hecho de que

todos sus componentes están relacionados de tal manera que el sistema completo deja de funcionar si alguno de sus componentes falla; un sistema en paralelo sólo deja de funcionar si todos sus componentes fallan.

Para el caso de un sistema de “n” componentes independientes conectados en serie.

Definimos como Ri: la confiabilidad del i-ésimo componente Ci. y Rs: la confiabilidad del sistema en serie.

Entonces

Rs = P( funcione C1 y funcione C2 y … y funcione Cn ) =

P( funcione C1) P( funcione C2) … P( funcione Cn) =

Rs = ( R1 ) (R2 ) … (Rn )

. . . C1 C2 C4C3 Cn

74

Confiabilidad de sistemasProducto de confiabilidades

Teorema. La confiabilidad Rs de un sistema en serie con “n” componentes independientes, cado uno con confiabilidad R i está dado por

n

iis RR

1

Ejemplo: Consideremos un sistema en serie que consta de 4 componentes independientes, cada uno de los cuales tiene una confiabilidad de 0.97 ¿Cuál es la confiabilidad del sistema?

Rs= (0.97)4= 0.8853

Se puede observar que la confiabilidad del sistema en serie disminuye a 0.8853, no obstante que la confiabilidad de cada componente es de 0.97, por lo que si el número de componentes en el sistema aumenta la confiabilidad disminuye.

75

Confiabilidad de sistemasUna forma de incrementar la confiabilidad de un sistema consiste

en reemplazar ciertos componentes por otros conectados en paralelo.

Definimos Rp: confiabilidad del sistema en paralelo,

1- Rp la probabilidad de que el sistema en paralelo falle,

1- Ri la probabilidad de que el componente Ci falle,así que:1- Rp = P( no funcione C1 y no funcione C2 y … y no funcione Cn ) =

= P( no funcione C1 ) P( no funcione C2 ) … P( no funcione Cn) =

1- Rp = (1 - R1 ) (1 - R2 ) … (1 - Rn).

Producto de inestabilidades

Teorema. La confiabilidad Rp de un sistema en paralelo con “n” componentes independientes, cada uno con confiabilidad Ri, está dada por:

n

iip RR

1

)1(176

Ejemplo Confiabilidad de sistemasEjemplo: Un fabricante de ipod’s compra los componentes

electrónicos principales como módulos (A, B y C). Las confiabilidades de los módulos son 0.98, 0.90 y 0.99 respectivamente, la configuración de éstos está representada en el siguiente diagrama.

¿Cuál es la confiabilidad del sistema?

Respuesta: RT=0.97902

A

B

C

77

Ejercicio Confiabilidad de sistemasEl siguiente diagrama representa un sistema digital de video con

ocho componentes e indicando su confiabilidad . Encuentre la confiabilidad del sistema.

Respuesta: RT=0.7721

0.95 0.99

0.75

0.70

0.70

0.75

0.70 0.90

78

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Curso de Prob y Est Unidad II