Curso de Teoria Assintótica€¦ · Charlier Expansão de Edgeworth Exemplos Espansões de Cornish-Fisher Referências Tabela 2: Aproximações para a função de distribuição

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Gauss Cordeiro

UFRPE e UFPE

28 de dezembro de 2007

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1 Introdução

2 Expansões de Gram-Charlier

3 Expansão de Edgeworth

4 Exemplos

5 Espansões de Cornish-Fisher

6 Referências

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Seja f (y) uma função densidade conhecida, cujos cumulantessão dados por κ1, κ2, . . . . O interesse reside em usar f (y) paraaproximar uma função densidade g(y) (em geral desconhecida)a partir da aplicação de um operador T (D) a f (y). O operadoré formulado como

T (D) = exp

∞∑

j=1

ǫj(−D)j/j!

e a aproximação para g(y) é definida por

g(y) = T (D) f (y),

em que D é o operador diferencial, ou seja,

D j f (y) = d j f (y)/dy j .

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Os cumulantes de g(y) são determinados como os coeficientesde tr/r ! na expansão de

log

{∫ +∞

−∞

etyg(y)dy

}

.

Expandindo o operador T (D) em série de Taylor vem

T (D) =∞

∑

i=0

1i !

∞∑

j=1

ǫj(−D)j

j!

de onde se conclui que os cumulantes de g(y) são dadas porκ1 + ǫ1, κ2 + ǫ2, . . . . A função g(y) pode não satisfazer acondição g(y) ≥ 0 para todo y , mas seus cumulantes κr + ǫrsão definidos mesmo que esta condição não seja satisfeita.

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De g(y) = T (D) f (y) obtém-se, pela expansão de T (D),

g(y) = f (y) − ǫ1Df (y) + 1

2(ǫ2

1+ ǫ2)D

2f (y)

−1

6(ǫ3

1+ 3ǫ1ǫ2 + ǫ3)D

3f (y)

+ 1

24(ǫ4

1+ 6ǫ2

1ǫ2 + 4ǫ1ǫ3 + ǫ4)D

4f (y) + · · ·

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Em muitos casos,

D j f (y) = Pj(y)f (y),

em que onde Pj(y) é um polinômio de grau j em y .Esses polinômios são geralmente ortogonais com relação àdistribuição associada a f (y), ou seja,

∫

Pj(y)Pk(y)f (y) = 0,

para j 6= k .

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No caso em que f (y) é a função densidade φ(y) da distribuiçãonormal reduzida, (−1)jPj(y) é o polinômio de Hermite Hj(y)de grau j definido pela identidade

(−D)r φ(y) = Hr (y)φ(y).

Os primeiros polinômios de Hermite são

H0(y) = 1, H1(y) = y , H2(y) = y2 − 1, H3(y) = y3 − 3y ,

H4(y) = y4 − 6y2 + 3, H5(y) = y5 − 10y3 + 15y ,

H6(y) = y6 − 15y4 + 45y2 − 15.

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Esses polinômios têm propriedades interessantes decorrentes daidentidade

exp(ty − t2/2) =∞

∑

j=0

t j

j!Hj(y),

tais como:d

dyHr (y) = r Hr−1(y),

D j Hr (y) = r (j) Hr−j(y)

para r ≥ j , em que r (j) = r(r − 1) · · · (r − j + 1).

Satisfazem ainda a relação de recorrência

Hr (y) = y Hr−1(y) − (r − 1) Hr−2(y) (r ≥ 2).

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Caso especial de maior aplicabilidade: f (y) é a funçãodensidade φ(y) da distribuição N(0, 1). Neste caso, κr = 0 parar > 2 e ǫ3, ǫ4, . . . são iguais aos cumulantes de g(y). Assim,

g(y) = φ(y) [1 + ǫ33!H3(y) + ǫ4

4!H4(y)

+ ǫ55!H5(y) +

(ǫ6+10ǫ23)6! H6(y) + · · · ].

Esta expansão é denominada expansão de Gram-Charlier para a

densidade.

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Integrando e usando a relação∫

Hr (y)φ(y)dy = −Hr−1(y)φ(y)(r ≥ 1)

vem

G (y) = Φ(y) − φ(y) [ ǫ33!H2(y) + ǫ4

4!H3(y) + ǫ55!H4(y)

+(ǫ6+10ǫ23)

6! H5(y) + · · · ],

em que Φ(y) é a função de distribuição da normal reduzida.

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Seja Y uma variável aleatória com funções densidade f (y) egeratriz de cumulantes K (t). Os cumulantes padronizados de

Y são ρr = κr/κr/2

2para r ≥ 2. Tem-se κ1 = E (y) = µ e

κ2 = Var(Y ) = σ2. Suponha que Y1, . . . ,Yn são realizações iid

de Y e sejam as somas Sn =∑n

i=1Yi , e

S∗

n = (Sn − nµ)/(σ√

n).

Como as variáveis aleatórias são iid, as funções geratrizes decumulantes de Sn e S∗

n são dadas por KSn(t) = nK (t) e

KS∗n

(t) = −√

nµt

σ+ nK

(

t

σ√

n

)

, (1)

respectivamente.

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A expansão de K (t) em série de Taylor equivale a uma soma defunções dos cumulantes padronizados de Y

K (t) = µt + σ2t2/2 + ρ3σ3t3/6 + ρ4σ

4t4/24 + · · ·

que substituída em (1) implica

KS∗n

(t) = t2/2 + ρ3t3/(6

√n) + ρ4t

4/(24n) + O(n−3/2). (2)

A função geratriz de momentos MS∗n

(t) de S∗

n é obtida de (2)

tomando exponenciais. Logo,

MS∗n

(t) = exp(t2/2){1 + ρ3t3/(6

√n) + ρ4t

2/(24n)

+ρ2

3t6/(72n) + O(n−3/2)}.

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Para obter a função densidade de S∗

n , a equação anterior deveser invertida termo a termo usando a identidade

∫

etyφ(y)Hr (y)dy = tr exp(t2/2).

Então, a função densidade de S∗

n é dada por

fS∗n

(y) = φ(y){1 +ρ3

6√

nH3(y) +

ρ4

24nH4(y)

+ρ23

72nH6(y)} + O(n−3/2). (3)

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A integral de (3) produz a expansão da função de distribuiçãode S∗

n como

FS∗n

(y) = Φ(y) − φ(y)[ρ3

6√

nH2(y) +

ρ4

24nH3(y)

+ρ23

72nH5(y)] + O(n−3/2). (4)

As fórmulas (3) e (4) são as expansões de Edgeworth para asfunções densidade e de distribuição de uma soma padronizadaS∗

n , respectivamente.

É importante salientar que a expansões acima seguemdiretamente das expansões de Gram-Charlier, pois oscumulantes de S∗

n são, simplesmente, ǫr = O(n1−r/2) parar ≥ 3 com ǫ3 = ρ3/

√n e ǫ4 = ρ4/n.

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Sejam Y1, . . . ,Yn variáveis aleatórias iid com distribuiçãoexponencial de média um. A função densidade exata de S∗

n édada por

πS∗n

(y) =√

n(n + y√

n)n−1 exp(−n − y√

n)/(n − 1)!.

Para obter a expansão de Edgeworth tem-se

E (Sn) = n, Var(Sn) = n, ρ3 = 2 e ρ4 = 6. Logo,

fS∗n

(y) = φ(y)

{

1 +H3(y)

3√

n+

H4(y)

4n+

H6(y)

18n

}

+ O(n−3/2).

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Na Tabela 1 compara-se para n = 5 o valor exato πS∗n

(y) com aaproximação normal φ(y) (termo principal) e com aquelasexpansões fS∗

n

(y) obtidas da equação anterior considerandoapenas o termo O(n−1/2) e com aqueles dois termos de ordemO(n−1).

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Tabela 1: Aproximações de Edgeworth para a função densidadeda soma padronizada de 5 variáveis exponenciais iid

Expansões de Edgeworthy Exato Normal até O(n−1/2) até O(n−1)

-2 0,0043 0,0540 0,0379 0,0178

-1,5 0,1319 0,1295 0,1512 0,1480

-1,0 0,3428 0,2420 0,3141 0,3329

-0,5 0,4361 0,3521 0,4242 0,4335

0 0,3924 0,3989 0,3989 0,3922

1 0,1840 0,2420 0,1698 0,1887

2 0,0577 0,0540 0,0701 0,0500

3 0,0144 0,0044 0,0163 0,0181

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Este exemplo ilustra o desempenho da expansão de Edgeworthno contexto discreto. Seja Sn a soma de n variáveis aleatóriasiid com distribuição de Poisson de média 1. Assim, Sn temdistribuição de Poisson de média n. Todos os cumulantes dadistribuição de Poisson são iguais e, então, ρ3 = ρ4 = 1.

A soma padronizada S∗

n = (Sn − n)/√

n tem função dedistribuição aproximada, decorrente de (4), dada por

FS∗n

(y) = Φ(y)−φ(y)

{

H2(y)

6√

n+

H3(y)

24n+

H5(y)

72n

}

+O(n−3/2).

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No uso desta expansão para aproximar P(Sn ≤ r), pode-seadotar uma correção de continuidade comoy = (r − n + 0, 5)/

√n de modo que P(Sn ≤ r) = FS∗

n

(y).

A Tabela 2 compara a aproximação Φ(y) e as expansões deFS∗

n

(y) até ordens O(n−1/2) e O(n−1) com o valor exato deP(Sn ≤ r) quando n = 8. Ambas as expansões de Edgeworthaproximam melhor P(Sn ≤ r) do que a função de distribuiçãonormal Φ(y).

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Tabela 2: Aproximações para a função de distribuição dePoisson de média n = 8.

Expansões de Edgeworthr Exato Normal até O(n−1/2) até O(n−1)

2 0,0138 0,0259 0,0160 0,0148

4 0,0996 0,1079 0,1021 0,1011

6 0,3134 0,2981 0,3128 0,3141

8 0,5926 0,5702 0,5926 0,5919

10 0,8159 0,8116 0,8151 0,8146

12 0,9362 0,9442 0,9340 0,9374

14 0,9827 0,9892 0,9820 0,9824

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Suponha que uma variável aleatória contínua padronizada Y

tem média zero, variância um e cumulantes ρj de ordensO(n1−j/2) para j ≥ 3. Neste caso, a expansão de Edgeworthpara P(Y ≤ y) segue diretamente de (4). Suponha agora queyα e uα são definidos por

P(Y ≤ yα) = Φ(uα) = 1 − α

.

As expansões de Cornish-Fisher são duas expansões assintóticasrelacionando os quantis yα e uα: uma expansão normalizadoraque expressa uα como função de yα e sua expansão inversadando yα em termos de uα.

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Expandindo Φ(uα) em série de Taylor vem

Φ(uα) = Φ{yα +(uα − yα)} = Φ(yα)+

∞∑

r=1

(uα − yα)r

r !DrΦ(yα)

(5)e, então,

Φ(uα) = Φ(yα) +∞

∑

r=1

(uα − yα)r

r !(−1)r−1Hr−1(yα)φ(yα). (6)

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Igualando P(Y ≤ yα) proveniente de (5) à equação (6),pode-se expressar uα em função de yα até ordem O(n−1) comoum polinômio do terceiro grau

uα = p(yα) = yα − ρ3

6√

n(y2

α − 1) +ρ23

36n(4y2

α − 7yα)

− ρ4

24n(y3

α − 3yα). (7)

O polinômio p(Y ) de Cornish-Fisher representa a transformação

normalizadora da variável Y até ordem O(n−1), isto é,p(Y ) ∼ N(0, 1) + Op(n

−3/2).

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O objetivo da expansão inversa de Cornish-Fisher é expressar osquantis yα de Y como função dos correspondentes quantis uα

da distribuição normal reduzida. A inversão da expansão (7)para calcular yα em termos do quantil uα da normal reduzida éobtida expandido yα = uα + g(yα) em termos de uα como

yα − uα = g(uα) +Dg2(uα)

2!+

D2g3(uα)

3!+ · · · (8)

Identificando g(yα) = yα − p(yα) em (7), substituindo em (8) ecalculando as potências de g(uα) e suas derivadas, obtém-se yα

em função de uα até ordem O(n−1) como

yα = uα +ρ3

6√

n(u2

α − 1) − ρ23

36n(2u3

α − 5uα)

+ρ4

24n(u3

α − 3uα). (9)

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Suponha que Z ∼ χ2n e seja Y = (Z − n)/

√2n a variável

aleatória qui-quadrado padronizada, cujos terceiro e quartocumulantes são ρ3 = 2

√2 e ρ4 = 12. Logo,

P(Z ≤ zα) = P(Y ≤ (zα − n)/√

2n)

e, portanto, juntando os dois termos de ordem n−1 em (9) vem

zα = n +√

2n

{

uα +

√2

3√

n(u2

α − 1) +1

18n(u3

α − 7uα)

}

.

A Tabela 3 mostra a adequação das aproximações para zα

provenientes da equação acima usando apenas o termo deordem O(1) (uα) e aquelas incluindo os termos O(n−1/2) eO(n−1). Observa-se desta tabela que a correção O(n−1/2) jámelhora substancialmente a aproximação normal, sendo queesta aproximação é ruim mesmo para n = 100, ao nível designificância de 1%.

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Tabela 3: Comparação das expansões de Cornish-Fisher para osquantis da χ2

n

Expansões atéα n Exato O(1) O(n−1/2) O(n−1)

5 15,09 12,36 15,20 15,07

10 23,21 20,40 23,34 23,25

0,01 50 76,15 73,26 76,20 76,16

100 135,81 132,90 135,84 135,81

5 9,24 9,65 9,48 9,24

10 15,99 15,73 16,16 15,99

0,10 50 63,17 62,82 63,24 63,16

100 118,50 118,12 118,55 118,50

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Referências

Daniels, H. E. (1954). Saddlepoint Approximations in Statistics. TheAnn. Math. Statistics, 25, 631–650.

Daniels, H. E. (1987). Tail Probability Approximations. InternationalStatistical Review, 55, 1, 37–48.

Cordeiro, G.M. (1999). Introdução à teoria assintótica. 22o ColóquioBrasileiro de Matemática, IMPA, 70–77.

Cordeiro, G.M. (1992). Introdução à teoria da verossimilhança. Capítulo3, Seção 3.8, 90–95.

Goutis, C. e Casella, G. (1999) Explaining the Saddlepoint

Approximation. The American Satistician, 53, n. 3,216–224.

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Referências

Referências

Hinkley, D. V., Reid, N. e Snell, E. J. (1990). Statistical Theory and

Modelling. In honour of Sir David Cox, FRS. Chapmanand Hall.

Jensen, J. L. (1988). Uniform Saddlepoint Approximations. Adv. Appl.Prob., 20, 622–634.

Kolassa, J. E. (1997). Series Approximation Methods in Statistics.Lecture Notes in Statistics, 88, second edition, Springer,58–81.

Lugannani, R. e Rice, S. (1980). Saddle Point Approximation for The

Distribution of The Sum of Independent Random

Variables. Adv. Appl. Prob., 12, 475–490.

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