Curso Lic Sem 1 Educ Mat

7/21/2019 Curso Lic Sem 1 Educ Mat

http://slidepdf.com/reader/full/curso-lic-sem-1-educ-mat 1/75

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA

FACULTAD DE CS. EXACTAS Y NATURALES

CARRERA: LIC. EN ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA

CÁTEDRA: SEMINARIO DE ACTUALIZACIÓN DISCIPLINAR I

MÓDULO: GEOMETRÍA

DOCENTE: ALEJANDRA DEL C. ACEVEDO



PROGRAMA ANALITICOSEMINARIO DE ACTUALIZACIÓN DISCIPLINAR I

Programa de Contenidos teóricos

UNIDAD N!" PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO1.1 Me!"#$!%e&' %!$%()%*$%(+,. A+#($"&. B!&e%#$!%e&' !)%e)#$,. Me!")"&. Te,$e-"&.1. L" $e%#" e E(+e$' e+ ,$#,%e)#$, / e+ %*$%(+, e +,& )(e0e ()#,&. Te,$e-"&.1.2 E+ !)%*$%(+,. C*$%(+,& e3%$!#,& , e3%*$%(+,&.1.4 Re%#"& e S!-&,). Te,$e-"&.UNIDAD N#" TRANSFORMACIONES GEOM5TRICAS..1 T$"&+"%!6). R,#"%!6). S!-e#$*" %e)#$"+' "3!"+ / e&+!7"". P()#,& / $e%#"& 8!9"&. C,-,&!%!6) e &!-e#$*"&. D!&#!)#,& %"&,& e %,-,&!%!,)e&..2 I&,-e#$*"& !$e%#"& / ,(e&#"&. Te,$e-"& e)e$"+e&..4 ;,-,#e%!". R,#"%!6) !+"#""' &!-e#$*" !+"#""..< Se-e9")7". P()#, !)0"$!")#e. Te,$e-"& e)e$"+e&.

UNIDAD N$" GRUPOS' SUBGRUPOS' GRUPOS CÍCLICOS. ;OMOMORFISMO DEGRUPOS.

2.1 G$(,&. De8!)!%!6). P$,!e"e& =>&!%"&. G$(,& 8!)!#,& / #"=+"& e $(,&.2. O$e) e () $(, 8!)!#,. G$(,& e %,)$(e)%!".2.2 G$(,& e =!/e%%!,)e& e () %,)9()#, / G$(,& &!-?#$!%,& S).2.4 G$(,& !e$!%,& D) / G$(, e @+e!).2.< S(=$(,&. De8!)!%!6).2. G$(,& %*%+!%,&. De8!)!%!6). C+"&e& " +" !7(!e$" e G &e) H . Te,$e-": x H H =

.

2. Te,$e-" e L"$")e:

H G

. S(=$(,& e $(,& %*%+!%,& e $(,& 8!)!#,&.2. S(=$(,& ),$-"+e& , !)0"$!")#e&. G$(, %,%!e)#e. Te,$e-".2. ;,-,-,$8!&-,&. I&,-,$8!&-,& e $(,&.UNIDAD N%" ANILLOS' SUBANILLOS E IDEALES. ;OMOMORFISMO DE ANILLOS4.1 A)!++,&. De8!)!%!6) / $,!e"e& =>&!%"&.4. D,-!)!, e !)#e$!".4.2 S(=")!++,&. De8!)!%!6).4.4 ;,-,-,$8!&-,&.4.< Ie"+e&' ")!++, %,%!e)#e. Ie"+e& $!-,& / -"3!-"+e&. Ie"+ e)e$", ,$ ()&(=%,)9()#, e () ")!++,.

4. C(e$,& / %"-,&. De8!)!%!6).

Programa de Contenidos Pr&cticosTra'a(o Pr&ctico N!"Primera )arte" P()#,& / $e%#"& ),#"=+e& e) e+ #$!>)(+,.C*$%(+,& / $e%#"&.Seg*nda )arte" T$")&8,$-"%!,)e& e,-?#$!%"&.Tra'a(o Pr&ctico N#"Primera )arte" G$(,&' &(=$(,&' $(,& %*%+!%,&. ;,-,-,$8!&-, e $(,&.Seg*nda )arte" A)!++,&' &(=")!++,& e !e"+e&' ")!++, %,%!e)#e. ;,-,-,$8!&-, e ")!++,&



+UNDAMENTOS DE LA GEOMETR,A

P*ntos - Rectas Nota'.es en e. Tri&ng*.o/

C0rc*.os - Rectas/

Trans1ormaciones Geom2tricas/

E. gr*)o de .as isometr0as en e. ).ano/

A3 A.g*nas re1.e4iones so're Geometr0a - Ed*cación

HU5 ES LA GEOMETRÍAHPOR U5 GEOMETRÍA

KGEOMETRÍA ERES T"$"8$"&e"), " G(&#"0, A,+8, B?%(e$

P"$" CONOCER ()" e +"& $"-"& -"#e->#!%" ->& !)&#$(%#!0"P"$" CULTIVAR +" !)#e+!e)%!" (-")".P"$" DESARROLLAR e&#$"#e!"& e e)&"-!e)#,.P"$" DESCUBRIR +"& $,!"& ,&!=!+!"e& %$e"#!0"&.P"$" APRENDER ()" -"#e$!" !)#e$e&")#e / #!+.P"$" FOMENTAR ()" &e)&!=!+!" "%!" +, =e++,.P"$" TRABAJAR -"#e->#!%"& e3e$!-e)#"+-e)#e.

P"$" AGUDIZAR +" 0!&!6) e+ -(), (e ),& $,e".P"$" GOZAR e &(& "+!%"%!,)e& $>%#!%"&.P"$" DISFRUTAR "$e)!e), / e)&eQ"),../ ,$ (e +" GEOMETRIA e&e" e&#"$ e) &( %+"&e.

C+"(! A+&!)" C"#"+>' J,&e F,$#()/ A/-e-*' R"8"e+ P?$e7 G6-e7

A.g*nas consideraciones 5istóricas

Eta)a +orma.i6adora E+ "$#e e+ &. XVI 8(e e+

-,#,$ "$" e+ ,$!e) e +"e,-e#$*" P$,/e%#!0" /De&%$!#!0".

A$!#-e#!7"%!6) e +"e,-e#$*" e)%(e)#$" &(,$!e) e) +" Ge,-e#$*"A)"+*#!%" e De&%"$#e&.

M>& $,=+e-"&' ->&e,-e#$*"&: Ge,-e#$*"

"+e=$"!%"' $,="=!+*&#!%" ,!)#e$"+' +"& ), e(%+!e"&'%,-=!)"#,$!"' e#%.

Eta)a Ingen*a o Int*iti7a L" )e%e&!" e -e!$ L" )e%e&!" e (&"$

%!e$#"& 8!($"& e) $,%e&,&%,)&#$(%#!0,& / "%e$ $e$e&e)#"%!,)e&

S( e)&eQ")7" 8(e$e&#$!)!" " ()" -!),$*"e +" 9e$"$(!7""&,%!e" e!%!".

Eta)a A4iom&tica Ge,-e#$*" %!e)#*8!%" &.

VI / III ".C. T"+e& "=!e), e&#", e)

E!#, !)#$,(9, +"e,-e#$*" " G$e%!".

E&%(e+"& P!#>,$"&';e$"%+!#, e E8e&,';!6%$"#e& e (*,'E(,3,' E(%+!e&'A$(!-ee&' A,+,)!,'

e#%. L,& E+e-e)#,& e



Una Geometr0a )ara .oros

La 5erencia de Don 8*.io Re- Pastor 9s/ ::3 (*nto a s*s disc0)*.os" Pedro P*ig Adam;Pedro Pi Ca..e(a; L*is Antonio Santa.ó - otros/

E. <A'a(o E*c.ides= De 8ean Die*donn2 en e. Seminario Internaciona. de Matem&tica9!>?>3 - e. nacimiento de .a Matem&tica Moderna @*e e4a.tó e. c*.ti7o de. rigor; .aconstr*cción 1orma. de .os conce)tos matem&ticos; - considerar como '&sico )ara .aensean6a de .a matem&tica .os )ro'.emas de 1*ndamentación de .a disci).ina/Consec*encia negati7a )ara .a ed*cación )rimaria - sec*ndaria/

La Geometr0a )endiente" Retorno de .a Geometr0a

Re1ormas c*rric*.ares e im)actos tecno.ógicos/

Ba- @*e demostrar.o todo

BTiene sentido *na matem&tica sin demostración BLa demostración de)ende de. ni7e. o .a edad

BCon7encer es demostrar

BConstit*-e .a Geometr0a e. me(or a)artado )ara e(em).i1icar .as demostracionesmatem&ticas en c.ase

BP*ede 'asarse .a metodo.og0a )ara desarro..ar *n c*rr0c*.o de matem&ticaesco.ar en genera.; o de geometr0a en )artic*.ar; en .a reso.*ción de )ro'.emas

BP*eden ser 7a.orados .os distintos ra6onamientos Geom2tricosBCómo

B*2 )rocedimientos de 7a.oración - e7a.*ación de'er&n em).earse BEs )osi'.edisting*ir en e. a*.a .os a.*mnos @*e ra6onan mediante .a com)rensión dea@*e..os @*e a)renden a.go mec&nicamente BCómo

BC*&.es son .as ca*sas de. 1racaso de .os est*diantes en .a creación de )r*e'as1orma.es en geometr0a

E. gran reto es @*e .a Geometr0a )*eda 7o.7er a TODAS .as a*.as

La demostración en c.ase de Geometr0a La reso.*ción de )ro'.emas en c.ase de Geometr0a Fa.oración - e7a.*ación de. ra6onamiento en Geometr0a



P.ani..a )ara 7a.oración genera. de )rocesos en .as acti7idades geom2tricas/

Ni7e."C.ase"

Criterios

A.*mno"Notas o esca.a 9! a !3

Inter)retaciónO'ser7ación

Identi1icaciónReconocimientoRe1.e4iónCr0tica

Organi6ación

Estr*ct*raciónContro. de 7aria'.esE1icienciaMani)*.ación - generación dedatosTratamiento de .a in1ormación

Proceso deSim'o.i6ación

An&.isis

Re)resentaciones -con7enciona.ismoUso correcto de instr*mentos

+orm*.ación dei)ótesis

Mode.i6aciónEsta'.ecimiento de re.acionesDemostración8*sti1icación - An&.isis

Ca)acidadCom*nicati7a

Re)resentación+orm*.ación de so.*cionesInter7ención escritaInter7ención ora.Inter7ención gr*)a.

T/P/N ! 9!era/ Parte3" PUNTOS H RECTAS NOTALES DEL TRIANGULO

ACTIFIDADES CONTENIDOS



A-+!"$ &(&

!->e)e&

%,)%e#("+e& "%e$%"e ,=9e#,& / $,%e&,&

-"#e->#!%,&

"$,0e%"),

%,)%e#,& =>&!%,&

%,),%!,&.

L" -e!"#$!7 =!&e%#$!7 %,-, +("$ e,-?#$!%, e +,& ()#,& (e e(!!&#") e,& ()#,& 8!9,& +",& e+ >)(+,.

L" %,)%($$e)%!" e +"& -e!"#$!%e&' "+#($"&' =!&e%#$!%e& / -e!")"& e ()#$!>)(+,.

E+ I)%e)#$, e& e+ %e)#$, e+ #$!>)(+, !)&%$!#, e) ()" %!$%()8e$e)%!".

E+ C!$%()%e)#$, e& e+ Ce)#$, e+ C!$%()%*$%(+, C*$%(+, (e "&" ,$ +,&0?$#!%e& e+ #$!>)(+, L" Re%#" e E(+e$' e& +" $e%#" (e %,)#!e)e e+ O$#,%e)#$,' e+ C!$%()%e)#$, / e+

B"$!%e)#$,. E+ C*$%(+, e +,& )(e0e ()#,& e& e+ %*$%(+, (e "&" ,$ +,& ()#,& -e!,& e

%"" +",' ,$ +,& !e& e +"& "+#($"& / +,& ()#,& e E(+e$. L" Re%#" e S!-&,) e& +" $e%#" e#e$-!)"" ,$ +,& !e& e +"& e$e)!%(+"$e&

="9"" e&e %("+(!e$ ()#, e+ %!$%()%*$%(+, ++"-", ,+, " +,& +",& e+#$!")(+, , " &(& $,+,)"%!,)e&.

C,)e%#"$ !e"&-"#e->#!%"&

A+#($"O$#,%e)#$,. Me!"#$!7C!$%()%e)#$,. B!&e%#$!7I)%e)#$,. Me!")"B"$!%e)#$,.

Re%#" e E(+e$O$#,%e)#$,' C!$%()%e)#$, / B"$!%e)#$,.

T$!>)(+, 6$#!%,A+#($"Pe$e)!%(+"$!". C!$%()$"!,C!$%()%*$%(+,C!$%(+, %!$%()&%$!#,. I)$"!,I)%*$%(+,C*$%(+, !)&%$!#,. Exradio-Excentro-Círculo exinscripta P()#,& "+!)e",&C,+!)e"+!"L*)e" $e%#" C!$%()%!$%(+, Re%#" S!-&,) O$#,%e)#$, C!$%(+, e +,& )(e0e ()#,&

C,-()!%"$ /

"$(-e)#"$ &,=$e $,!e"e&

-"#e->#!%"&

L"& >$e"& e +,& #$!>)(+,& (e &e 8,$-") e+ B"$!%e)#$, " +,& 0?$#!%e& e+#$!>)(+, &,) !("+e&.

E+ #$!>)(+, e +,& ()#,& -e!,& -e!"+ e& &e-e9")#e "+ #$!")(+, ,$!!)"+ /

%,)$(e)#e %,) +,& $e&#")#e&. E+ #$!>)(+, -e!"+ / ,$!!)"+ #!e)e) e+ -!&-, ="$!%e)#$,. E+ ,$#,%e)#$, e+#$!>)(+, -e!"+ %,!)%!e %,) e+ %!$%()%e)#$, e+ ,$!!)"+

E+ #$!>)(+, 8,$-",& ,$ +,& !e& e +"& "+#($"& 6$#!%, e& e+ #$!>)(+, e e$*-e#$, -*)!-, !)&%$!#, e) e+ #$!>)(+, ,$!!)"+

L"& "+#($"& e+ #$!>)(+, ,$!!)"+ &,) =!&e%#$!%e& e+ #$!>)(+, 6$#!%,. E+ !)%e)#$, e+ #$!>)(+, 6$#!%, %,!)%!e %,) e+ ,$#,%e)#$, e+ #$!>)(+, ,$!!)"+ E+ %e)#$, e+ %*$%(+, e +,& )(e0e ()#,& e(!!&#" e+ O$#,%e)#$, / e+

C!$%()%e)#$,. E+ %!$%()$"!, e& e+ ,=+e e+ $"!, e+ %*$%(+, e +,& )(e0e ()#,&. E+ ()#, -e!, e#e$-!)", ,$ e+ ,$#,%e)#$, / e+ ,+, e&#" e) +" $e%#" e

S!-&,). E+ >)(+, (e 8,$-") ,& $e%#"& e &!-&,) e () -!&-, #$!")(+, e& !("+ e)

$",& " +" -!#" e+ "$%, -e),$ (e 8,$-") &(& ,+,&. D,& $e%#"& e &!-&,)&,) e$e)!%(+"$e& &! &(& ,+,& &,) !"-e#$"+-e)#e ,(e&#,&.

D,& $e%#"& e S!-&,) e () -!&-, #$!")(+, / ,+,& !&#!)#,& &e %,$#") e) e+%!$%(+, e +,& )(e0e ()#,&.

L,& %!$%()%*$%(+,& e +,& 4 #$!>)(+,& e#e$-!)",& ,$ 4 $e%#"& %("+e&(!e$" e) ,&!%!6) e)e$"+ "&") ,$ () ()#, %,-)

T/P/N ! 9#da/ Parte3" TRANS+ORMACIONES GEOMETRICASACTIFIDADES CONTENIDOS



A-+!"$ &(& !->e)e& %,)%e#("+e&"%e$%" e ,=9e#,& / $,%e&,&

-"#e->#!%,& "$,0e%"), %,)%e#,& =>&!%,& %,),%!,&.

T$")&8,$-"%!,)e& $*!"&: #$"&+"%!6)' $,#"%!6)'&!-e#$*"& / ,-,#e%!"&.

P$,!e"e& e $(,' ()#,& / $e%#"& 8!9"&

C,-,&!%!6) e -,0!-!e)#,& $*!,&

I&,-e#$*"&

Se-e9")7"&.

C,)e%#"$ !e"& -"#e->#!%"&

Ve%#,$ #$"&+"%!6) >)(+, ,$!e)#", ()#, $,#"%!6) ()#,&!-e#$*" %e)#$"+ $e%#"&!-e#$*" "3!"+ $e%#"0e%#,$ &!-e#$*" e&+!7"".

I&,-e#$*"& !$e%#"& #$"&+"%!6) $,#"%!6) &!-e#$*"%e)#$"+

I&,-e#$*"& ,(e&#"&&!-e#$*" "3!"+ &!-e#$*" e&+!7"" Se-e9")7"& !&,-?#$!%"& $"76) ()!" Se-e9")7"& ), !&,-?#$!%"& $,#"%!6) !+"#""

,-,#e%!" &!-e#$*" !+"#""

C,-()!%"$ / "$(-e)#"$ &,=$e

$,!e"e& -"#e->#!%"&

L" %,-,&!%!6) e ,& #$"&+"%!,)e& e& ,#$" #$"&+"%!6).De ,& $,#"%!,)e& %,)%?)#$!%"& e& ,#$" $,#"%!6).

L" %,-,&!%!6) e ,& &!-e#$*"& %e)#$"+e& e) ()"#$"&+"%!6).

L" %,-,&!%!6) e ,& &!-e#$*"& "3!"+e& e& ()"#$"&+"%!6) &! +,& e9e& &,) "$"+e+,&' ()" $,#"%!6) &! +,&e9e& &,) ,=+!%(,&.

L" %,-,&!%!6) e ()" &!-e#$*" "3!"+ / %e)#$"+ e&: ()"&!-e#$*" "3!"+ &! e+ %e)#$, e$#e)e%e "+ e9e ()" &!-e#$*"e&+!7"" &! e+ %e)#$, ), e$#e)e%e "+ e9e.

T," !&,-e#$*" !$e%#" (e ), #!e)e ()#, 8!9, e& ()"#$"&+"%!6)' &! #!e)e () ()#, 8!9, e& ()" $,#"%!6) , ()"&!-e#$*" %e)#$"+.

T," !&,-e#$*" ,(e&#" (e #!e)e () ()#, 8!9, e& ()"&!-e#$*" "3!"+' / &! ), #!e)e ()#, 8!9, e& ()" &!-e#$*"e&+!7"".

S! ()" &e-e9")7" "+!%" %"" $e%#"' e) ()" $e%#" "$"+e+"' e)#,)%e& e& ()" #$"&+"%!6) ( ,-,#e%!".

T," &e-e9")7" (e ), &e" !&,-?#$!%" #!e)e () ()#,8!9, / &,+, (),' ++"-", %e)#$, e +" &e-e9")7".

T," &e-e9")7" !$e%#" (e ), &e" !&,-?#$!%" e& ()"

$,#"%!6) !+"#"" e) "$#!%(+"$ ()" ,-,#e%!".

T," &e-e9")7" ,(e&#" (e ), &e" !&,-?#$!%" e& ()"&!-e#$*" !+"#"".

TRAA8O PRACTICO N ! 9PRIMERA PARTE3



PUNTOS H RECTAS NOTALES EN EL TRIANGULO

!3 Conc*rrencia de Mediatrices; A.t*ras - isectrices"

De-,&#$"$ (e +"& -e!"#$!%e&' "+#($"&' =!&e%#$!%e& e () #$!>)(+, &,) %,)%($$e)#e& (ee&%,)&(+#"$ e) #e3#,&

#3 Medianas

" C,)&#$(!$ () ∆ ABC

.

= C,)&#$(!$ +,& ()#,& -e!,& e +,& +",& e+

' ' BC CA AC

. ' A B′ ′

/C ′

$e&e%#!0"-e)#e.

% T$"7"$ +,& &e-e)#,&' AA BB′ ′

/CC ′

. HE) %(>)#,& ()#,& &e %,$#") HTe ")!-"$*"& " e%!$ ,$ (?

A +" !)#e$&e%%!6) ++"-"$+"G

' / %,)&#$(!$ +,& &e-e)#,&' ' ' ' A G GA B G GB C G′ ′ ′

/GC

.e Me!$+,&' H(? $e+"%!6) #!e)e) H,$*"& e-,&#$"$+, H%6-,

8 HP,$*"& e-,&#$"$ (e +"& >$e"& e +,& &e!& #$!")(+!#,& e) (e (e" !0!!, ABC

&,)!("+e& H%6-,

$3 Tri&ng*.o de .os )*ntos Medios

" C$e"$ () ∆

ABC

/ +,& ()#,& -e!,& e &(& +",&'

' A B′ ′

/

C ′

.

= T$"7"$ e+ #$!>)(+, e +,& ()#,& -e!,&.

% Me!$ &(& +",& / +,& e+ #$!>)(+, ,$!!)"+. H(? $e+"%!6) e)%(e)#$"&

E+ ∆ ABC

(e" !0!!, e) %("#$, #$!>)(+,& e(eQ,& / !&9()#,&. HC6-, &,) e&#,&#$!>)(+,& $e&e%#, e +"& $e+"%!,)e& e &e-e9")7" / %,)$(e)%!" %,-"$",& e)#$e &* / %,) e+#$!>)(+, $")e

e C,)&#$(!$ +,& ="$!%e)#$,& e ABC

/ e A B C ′ ′ ′ . HC6-, &,)

8 C,)&#$(!$ e+ ,$#,%e)#$, e ∆ A B C ′ ′ ′

/ e+ %!$%()%e)#$, e ∆ ABC

. HC6-, &,)

T$"#"$ e e-,&#$"$ +"& $,!e"e& (e (!&#e e&%(=$!$ e) e&#" "%#!0!".

%3 Tri&ng*.o Órtico

" E) () ∆ ABC

"%(#>)(+,' %,)&#$(!$ +"& "+#($"&.



= L+"-"$' A B′ ′

/C ′

" +,& !e& e +"& "+#($"& %,$$e&,)!e)#e& "' A B

/C

$e&e%#!0"-e)#e.

% U)!$ +,& !e& e +"& "+#($"&. E&e #$!>)(+, &e ++"-" T$!>)(+, Ó$#!%,.

L"& "+#($"& !0!e) e) ,& >)(+,& +,& >)(+,& e+ #$!>)(+, 6$#!%,. HC6-, &,) e&,& >)(+,&e)#$e &*

e C,)&#$(!$ e+ !)%e)#$, e ∆ A B C ′ ′ ′

/ e+ ,$#,%e)#$, e+ ∆ ABC

. HC6-, &,) Tratar de demostrar

usando que

' ' A B C ′ ′ y

H están en una circunferencia (análogamente para cada vértice) y

las propiedades de los ángulos inscriptos para ver que los ángulos en que queda dividido B′

son

FU B° − los de

A′ son

FU A° − y los de

C ′ son

FU C ° −!

8 H(? "&" &! e+ #$!>)(+, e& ,=#(&>)(+,

?3 Tri&ng*.o inscri)to de )er0metro m0nimo

" C$e"$ e+ ∆ ABC

.

= T$"7"$ X' Y / "

()#,& e)' T BC AC AB

$e&e%#!0"-e)#e.

% T$"7"$ e+ ∆ #$" / -e!$ &(& +",&. HC"), e& -*)!-, e+ e$*-e#$, e !%, #$!>)(+, HP,$*"& e-,&#$"$+, HC6-,J3 Recta de E*.er

" C$e"$ () #$!>)(+,' / %,)&#$(!$ &( ,$#,%e)#$, H

' ="$!%e)#$,G

/ %!$%()%e)#$,%

. = M,0e$ e+ #$!>)(+, / ,=&e$0"$ e) (? ,&!%!6) &e e)%(e)#$") e&#,& #$e& ()#,&.

% Me!$ +,& &e-e)#,& HG

/G%

. H(? $e+"%!6) "/ P"$" e-,&#$"$+,' %,)&#$(* e) +" 8!($" e+

#$!>)(+, e +,& ()#,& -e!,& A B C ′ ′ ′

/ $e%,$"), (e%

e& &( ,$#,%e)#$, /G

&( ="$!%e)#$,'

#$"#> e e)%,)#$"$ $e+"%!,)e& e)#$e AH

/ A %′

/ e)#$e AG

/GA′

.

C,)&#$(!$ e+ ()#, -e!, e H%

/ ++"-"$ &

.e C,)&#$(!$ e+ #$!>)(+, e +,& ()#,& -e!,& / &( %!$%()%e)#$,. H(? "&"K3 La circ*n1erencia de .os n*e7e )*ntos

" C$e"$ () ∆ ABC

"%(#>)(+, / -"$%"$ &( %!$%()%e)#$,.

= T$"7"$ +,& ()#,& -e!,& e &(& +",&'' A B′ ′

/C ′

.

% C,)&#$(!$ +"& "+#($"& e+ #$!>)(+, / -"$%"$ e+ ,$#,%e)#$, H

.





TRAA8O PRACTICO N ! 9SEGUNDA PARTE3TRANS+ORMACIONES GEOMETRICAS EN EL PLANO

!/ " A,/"$ e+ 0?$#!%e e+ +!=$, e e&e9, e) e+ %e)#$, e ,+*,),& $e(+"$e& !=(9",& e) "e+ / "=$!$+, e #"+ 8,$-" (e &e ",/e e) +,& e3#$e-,& e () +",. H(? ,=&e$0"& e)

%"" (), e +,& %"&,&. = S! ",/"& e+ +!=$, e e&e9,& e +" 8,$-" ")#e$!,$ e) %"" (), e +,& !8e$e)#e& +",&' e+$e&(+#", e& e+ -!&-,. HP,e-,& "%e$ () !=(9, "$" $e$e&e)#"$ %,-, &e ",/" e+ +!=$,e e&e9,& e) %"" (), e +,& +",&

% HC(>)#, -!e e+ >)(+, %,) e+ (e #!e)e& (e "=$!$ e+ +!=$, e e&e9,& "$" ,=#e)e$ ()#$!>)(+, e(!+>#e$,' H/ "$" () %("$",' H/ "$" () e)#>,), $e(+"$' H/ "$" ()e3>,), $e(+"$

D!=(9"$ () &e-e)#, / ",/"$ e+ +!=$, e e&e9,&' e$e)!%(+"$-e)#e &,=$e ?+'H%(>)#,& ,+*,),& $e(+"$e& %,)0e3,& (ee& %,)&#$(!$. E)()%!"$ () #e,$e-" "%e$%" e+)-e$, e ,+*,),& $e(+"$e& %,)0e3,& (e (ee) e3!&#!$.

e C,+,%"$ () ,=9e#, e)#$e +"& ,9"& e+ +!=$, e e&e9,& e -")e$" (e ""$e7%") #$e& e9e&e &!-e#$*" / &e!& 8!($"& e)#$e +" 8!($" ,$!!)"+ / &(& !->e)e&. H(? >)(+,& 8,$-")+,& e&e9,& O=#e)e$ 8!($"& &!-?#$!%"& ,#""& e #$e& e9e& e &!-e#$*".

8 C,+,%"$ +,& e&e9,& e -")e$" (e ""$e7%") %("#$,' %!)%,' &e!& e9e& e &!-e#$*". H(?>)(+,& 8,$-") +,& e&e9,& O=#e)e$ 8!($"& &!-?#$!%"& ,#""& e () )-e$, %$e%!e)#e ee9e& e &!-e#$*".

U#!+!7"$ +,& "#,& ")#e$!,$e& "$" %,-+e#"$ +" &!(!e)#e #"=+"' !e)#!8!%"$ e) +" -!&-" () ,+*,), %(/, >)(+, %e)#$"+ -!" +" -!#" (e e+ ,#$, H%(>)#,& "/ HC6-, ,=#!e)e& +,&0?$#!%e& " "$#!$ e +,& ,+*,),& (e #!e)e +" -!#"

N e e9e&

)

Á)(+, e) e+ %e)#$,

α

°

N e 8!($"&' ,=9e#,& , !->e)e&

-

P,+*,),

Re(+"$

U#!+!7"), &6+, ()" $e+" &!) $"("$ / e+ %,->&' !=(9"$ ()" %!$%()8e$e)%!" %("+(!e$"/ #$"7"$ () "$ e !>-e#$,& e$e)!%(+"$e&. HE) %(>)#"& "$#e& (e" !0!!" +"%!$%()8e$e)%!" H(? ,+*,), (e" !)&%$!#, e e&#" 8,$-" H(? ,#$,& ,+*,),&$e(+"$e& %,)0e3,& (ee& 8,$-"$

! S"=e& (e e) e+ e3>,), $e(+"$' &( >)(+, %e)#$"+ -!e ' E) e)e$"+' e+ #$!>)(+,(e e#e$-!)"=") &,=$e e+ "e+ +,& +",& e+ +!=$, e e&e9,& %,) e+ +", e %"" ,+*,), e& !&6&%e+e&. HC6-, e& e& #$!>)(+, e) e+ %"&, e+ e3>,), $e(+"$ %,)0e3,.

A "$#!$ e +" $e&(e&#"' !0!e +" %!$%()8e$e)%!" e) "$#e& !("+e&. H(? ,+*,),&$e(+"$e& %,)0e3,& (ee& 8,$-"$ " "$#!$ e "(*

#/ " C,)&#$(!$ &,=$e "e+' ,=+>),+, / $e%,$#>),+, %,)0e)!e)#e-e)#e 8!($"& &!-?#$!%"&.

= Me!")#e e+ $,%e!-!e)#, e+ e9e$%!%!, ")#e$!,$' ,=#e)e$ () $,-=,' "), e+ -e),$ )-e$, ,&!=+e e %,$#e&. O=#e)e$ ")>+,"-e)#e' () #$!>)(+, !&6&%e+e&' () %("$",' ()#$!>)(+, e(!+>#e$,.

% Ve$!8!%"$ (e e&#"& %,)&#$(%%!,)e& &e +"& (ee $e"+!7"$ %,) () &,+, %,$#e. Te)" e)%(e)#" +"& $,!e"e& e,-?#$!%"& e +,& ,+*,),&

C,)&#$(!$ ,+*,),& e -"/,$ %")#!" e +",& %,) e+ -*)!-, ,&!=+e e %,$#e&. H(?!8e$e)%!" "/ e)#$e +,& e )-e$, e +", "$ / +,& e )-e$, e +",& !-"$



$/ " C,)&#$(!$ e) "e+' ,=+>),+, / $e%,$#>),+, %,)0e)!e)#e-e)#e 8!($"& &!-?#$!%"&,#""& e ,& e9e& e &!-e#$*".

= Me!")#e e+ $,%e!-!e)#, e+ e9e$%!%!, ")#e$!,$' %,)&#$(!$ ,+*,),& ,#",& e ,&e9e& e &!-e#$*".

%/ HC6-, %,)&#$(!$ () e)#>,), / e3>,), %,) +" "/(" e +"& #$")&8,$-"%!,)e& $*!"&;"%e$ e) "e+ / 9(&#!8!%"$ &( %,)&#$(%%!6).

?/ " De#e$-!)"$ +"& !&,-e#$*"& e+ $,-=,' e+ %("$", / e +,& %("$!+>#e$,& (e ), &,) "$"+e+,$"-,&.

= C,)&#$(!$ ()" #"=+" (e %+"&!8!(e " +,& %("$!+>#e$,& &e) e+ )-e$, e !&,-e#$*"&

1 !&,-e#$*" !&,-e#$*"& 4 !&,-e#$*"& !&,-e#$*"&

% E3#$"e$ %,)%+(&!,)e&.

HS! e+ ,+*,), 8(e$" $e(+"$' e$, e ->& +",&' "(-e)#"$*" e+ )-e$, e !&,-e#$*"&

P$,="$ %,) e+ e)#>,), / e+ e3>,),.

J/ " P$,="$ (e +" %,-,&!%!6) e ,& &!-e#$*"& %e)#$"+e& e& ()" #$"&+"%!6). = E)()%!"$ / $,="$ e+ $e%*$,%,.

% E&#(!"$ +" %,-,&!%!6) e ()" #$"&+"%!6) %,) ()" &!-e#$*" %e)#$"+.

M,&#$"$ (e e+ %,)9()#, e +"& #$"&+"%!,)e& / &!-e#$*"& %e)#$"+e& e+ +"), 8,$-" ()$(, ), "=e+!"),.

K." E&#(!"$ +" %,-,&!%!6) e ,& &!-e#$*"& "3!"+e& e e9e& "$"+e+,& / %,)%($$e)#e&.

= E)()%!"$ / $,="$ e+ $e%*$,%,.

. E&#(!"$ +" %,-,&!%!6) e ()" &!-e#$*" %e)#$"+ / "3!"+' &e) (e e+ %e)#$, e$#e)e7%" , ),"+ e9e.

>." C,-+e#" +,& &!(!e)#e& %("$,:

T$")&8,$-"%!,)e& P()#,& F!9,& Re%#"& F!9"&T$"&+"%!6)R,#"%!6)S!-e#$*" %e)#$"+S!-e#$*" A3!"+S!-e#$*" De&+!7"";,-,#e%!"R,#"%!6) D!+"#""S!-e#$*" D!+"#""

T$"&8,$-"%!,)e&

Se-e9")7"

I&,-?#$!%"D!$e%#"

O(e&#"

N,I&,-?#$!%"

D!$e%#"O(e&#"



ILIOGRA+,A

BPOR U GEOMETR,A PROPUESTAS DIDACTICAS PARA LA ESO; C.a*diA.sina Cata.&; 8ose) M/ +ort*n- A-mem0; Ra1ae. P2re6 Góme6; Editoria. S0ntesis/Madrid !>>K

APUNTES DE CLASE/ Ace7edo; A.e(andra

CURSO DE GEOMETR,A MTRICA/ TOMO !/ +UNDAMENTOS; P*ig Adam;Editoria. i'.ioteca Matem&tica; Madrid !>J>/

E:PLORANDO LA GEOMETR,A EN LOS CLUES CAR,; +.a7ia onomo;Car.os DAndrea; Santiago La).agne; Mart0n S6e/ Editoria. Red O.0m)ica/ Argentina!>>J

+UNDAMENTOS DE LA GEOMETR,A/ Co4eter /S/M/ Edit/ Lim*sa/ M24ico/ !>K!

GEOMETR,A UNIFERSITARIA; I/ Martin Isaacs ; Editoria. T5omson Learning/M24ico ##

RETORNO A LA GEOMETR,A; Co4eter; /S/M/ Greit6er; S/L/ Edit E*.er/ Co./ LaTort*ga de A@*i.es/ Madrid !>>%/

TRATADO DE GEOMETR,A; Ga'rie. Fe.a6co Sotoma-or; Editoria. Lim*sa; M24ico!>$/

TRATADO DE GEOMETR,A; Ga'rie. Fe.a6co Sotoma-or/ Edit/ Lim*sa; M24ico!>$/



ANE:O I

PUNTOS H RECTAS NOTALES DEL TRINGULO•

•

#/ !/ MEDIATRICES/

•• De1inición" • E) () +"), ",' +" -e!"#$!7 e () &e-e)#,' e& +" $e%#" e$e)!%(+"$

"+ &e-e)#, e) &( ()#, -e!,.•

Teorema e +"& -e!"#$!%e&:• L" -e!"#$!7 e () &e-e)#, e) () +"),' e& e+ %,)9()#, e #,,& +,& ()#,& e+ +"),

(e e(!!&#" e +,& e3#$e-,& e+ &e-e)#,.

• P∈

l mediatriz⇔

PA W PB

• Demostración

• Se" C ()#, -e!, e AB

/ &e" P () ()#, %("+(!e$" e l.

•• S! P W C' e)#,)%e& e& e0!e)#e (e PA W PB.•

• S(,)"-,& (e P≠

C #"+ (e AB ' ∉

e)#,)%e& PC W PC ,$ !e)#!"

• / BC ' AC ' XX ≅

,$ &e$ "-=,& >)(+,& $e%#,&.

• CA W CB ,$ &e$ C ()#, -e!, e AB

• P,$ ,&#(+", e %,)$(e)%!" LAL: 'B 'A BC ' AC ' =⇒≅

∆∆

•• Re%*$,%"-e)#e: Se" P () ()#, e+ +"), ' #"+ (e PA W PB.

• S! AB ' ∈

' e)#,)%e& P W C ,$(e AB

#!e)e () )!%, ()#, -e!,.

• S! AB ' ∉

' &e" l +" $e%#" 'C

' e)#,)%e& PC W PC ,$ !e)#!"• CA W CB ,$ &e$ C ()#, -e!, / PA W PB ,$ !6#e&!&

• E)#,)%e& ,$ #e,$e-" e %,)$(e)%!" LLL: BC ' AC '

∆∆

≅

• E) %,)&e%(e)%!" BC ' ' C A XX ≅

W 1 Re%#,' E)#,)%e& l⊥ AB

e) C' e$,

• +"& e$e)!%(+"$e& &,) )!%"&' l≡

l∈⇒ '

l %...

14



•

Teorema e %,)%($$e)%!" e +"& -e!"#$!%e&:• L"& -e!"#$!%e& e +,& +",& e () #$!>)(+, &,) %,)%($$e)#e&. S( ()#, e %,)%($$e)%!"

++"-", %!$%()%e)#$, e+ #$!>)(+, e(!!&#" e +,& 0?$#!%e& e+ #$!>)(+,. Demostración

• Se"C B A

∆

/ l1,l,l2 +"& -e!"#$!%e& e BC AC AB ''

$e&e%#!0"-e)#e.

• S! l1//l ' e)#,)%e& AB

/ AC

&,) "$"+e+"&.

• Pe$, AB

!)#e$&e%" " AC

e) A. P,$ +, #")#,' l1 %,$#" " l e) O.

• Te)e-,& (e O∈

l1

⇒ OA W OB

• Te)e-,& (e O∈

l

⇒ OA W OC

• E) %,)&e%(e)%!" OB W OC' e&#, &!)!8!%" (e O ∈ l2

•• L(e,' +"& -e!"#$!%e& &,) %,)%($$e)#e& / &( ()#, e !)#e$&e%%!6) e(!!&#" e +,&

0?$#!%e&.

• Coro.ario" L,& 0?$#!%e& e+C B A

∆

e&#>) &,=$e () %!$%(+, %!$%()&%$!#, "+C B A

∆

%,)%e)#$, e) O' #"-=!?) ++"-", %!$%()%*$%(+,' %,) %e)#$, / $"!, ++"-",& %!$%()%e)#$, /%!$%()$"!, R $e&e%#!0"-e)#e.

• O'ser7ación

•C B A

∆

"%(#>)(+,⇒

O e& !)#e$!,$ "C B A

∆

A [ \⇒

O e& e3#e$!,$ "C B A

∆

A W \⇒

O∈

!,#e)(&"

• BC

/

$"!, R W

BC

1

••

••• Teorema E3#e)&!6) Le/ e +,& &e),&

• D", ()C B A

∆

%,) %!$%()$"!, R "' =' / % +"& +,)!#(e& e +,& +",& %,) 0?$#!%e&,(e&#,& A' B / C' $e&e%#!0"-e)#e. E)#,)%e&:

1<



•µ µ µ

a * c

+ senC sen A senB

= = = ×

!>-e#$, e+ %!$%()%*$%(+,• Demostración

• De-,&#$"$e-,&

µ ]

a

+ sen A = +"& ,#$"& !("+"e& &e e-(e&#$") e -")e$" &e-e9")#e.

• • S! A ^ \

•C'

!>-e#$,'C B '

∆

#$!>)(+, $e%#>)(+, e !,#e)(&"

]C' += /

' A XX ≅ ,$ e&#"$ !)&%$!#,& e) () -!&-, "$%,.

•

µ µ

] ]

BC a a sen' sen A

C' + +

⇒ = = ⇒ =

µ]

a +

sen A

⇒ =

•

•• S! A W \

• BC W " W ]R W !>-e#$,' e)#,)%e&

µ FU\ 1 sen A sen= =

µ]

a +

sen A⇒ =

••• S! A [ \

• ' C B

∆

T$!>)(+,' ABPC e& %("$!+>#e$, %*%+!%,' ' A XX ∧

>)(+,& ,(e&#,& ' A X\1EUX −=⇒

+

a ' sen A sen

]XX ==⇒

• Coro.ario" Se") R' @ %!$%()$"!, / e+ >$e" eC B A

∆

' $e&e%#!0"-e)#e' a * c +,)!#(e&

e +,& +",&. E)#,)%e& 4]@]RW a,*,c • Demostración

• Te)e-,& (e

-a . ⋅=

1

/

C sen*a . C sen*- X

1X ⋅⋅=⇒⋅=

.

1



• A)>+,"-e)#e

B senca . X

1⋅⋅=

/

A senc* . X

1⋅⋅=

.• I("+"), +,& ,&. -!e-=$,& &e ,=#!e)e +" Le/ e +,& Se),&

•C sen

c

B sen

*

A sen

a

XXX == W ]R

•C sen*a . X ⋅⋅=⋅

/C sen

c +

X =⋅

-(+#!+!%"), -!e-=$, " -!e-=$,c*a + . ⋅⋅=⋅⋅⇒ 4

••

#/ # ALTURAS

•

De1inición"• E+ #?$-!), "+#($" (ee &!)!8!%"$:• 1 U) &e-e)#, e$e)!%(+"$ e&e () 0?$#!%e e+ #$!>)(+, "+ +", ,(e&#,.• L" +,)!#( e e&e &e-e)#, e$e)!%(+"$.• 2 U)" $e%#" (e "&" ,$ e+ 0?$#!%e e+ #$!>)(+,' e$e)!%(+"$ "+ +", ,(e&#,.•• E+ &!(!e)#e #e,$e-" &e (#!+!7"$> e) e&#e +#!-, &e)#!,

Teorema %,)%($$e)%!" e +"& "+#($"&:• L"& #$e& "+#($"& e () #$!>)(+, &,) &!e-$e %,)%($$e)#e&. E+ ()#, e %,)%($$e)%!" e

+"& "+#($"& e () #$!>)(+, &e ++"-" ,$#,%e)#$,.• Demostración

• Se" e+C B A

∆

,$ %"" (), e +,& 0?$#!%e&' #$"7"-,& ()" $e%#" "$"+e+" "+ +", ,(e&#,.

• E) %,)&e%(e)%!" e#e$-!)"-,& e+ / 0 1

∆

• S"=e-,& (e +,& +",& ,(e&#,& e () "$"+e+,$"-,• &,) %,)$(e)#e&' "+!%"), ,& 0e%e&' #e)e-,&:• • AD W BC W AE

• P,$ %,)&!(!e)#e' +" "+#($" e&e A " BC

• e& +" -e!"#$!7 e 10

• P,$ +"& -!&-"& $"7,)e&' +"& ,#$"& ,& "+#($"& eC B A

∆

1



• &,) -e!"#$!%e& e +,& ,#$,& ,& +",& e / 0 1

∆

,$ #e,$e-" e %,)%($$e)%!" e +"&-e!"#$!%e&' e&#"& $e%#"& &,) %,)%($$e)#e&.

•• Teorema" E) #,, #$!>)(+,' e+ $,(%#, e +,& ,& &e-e)#,& e) (e e& !0!!, +"

"+#($" ,$ e+ ,$#,%e)#$, e& e+ -!&-, "$" +"& #$e& "+#($"&:. . . AH H1 BH H0 CH H/ = =

•C

A

BD

F

E

H

O'ser7aciones:

• QS!C B A

∆

e& $e%#>)(+,' e)#,)%e& ; %,!)%!e %,) e+ >)(+, $e%#,.

• S!C B A

∆

), e& $e%#>)(+, e)#,)%e& A' B' C / ; &,) 4 ()#,& !&#!)#,& / +" $e%#" e8!)!" ,$ ()#,& %("+e&(!e$" e& e$e)!%(+"$ " +" ,#$" $e%#" 8,$-"" ,$ +,& ,#$,& ()#,&.

• De e&#,& ()#,&: A' B' C / ;. %("+(!e$" e e++,& e& e+ ,$#,%e)#$, e+ #$!>)(+, 8,$-", ,$ +,& ,#$,& #$e&.

• Se !%e (e e+ %,)9()#,

{ } H C B A '''

e& () %("$#e#, 6$#!%,.

• D",C B A

∆

&e") D' E / F +,& ()#,& e) (e +"& "+#($"& %,$#") " +,& +",& $e&e%#!0,&

e&#,& ()#,& &e e),-!)") !e& e +"& "+#($"& ), &!e-$e e&#>) &,=$e +,& &e-e)#,& BC

' AC

/ AB

e+ / 0 1

∆

&e e),-!)" #$!>)(+, 6$#!%, eC B A

∆

••• • •

• •• •

1



• Teorema• L,& #$!>)(+,& 6$#!%,& e %"" (), e %("#$, #$!>)(+,& e#e$-!)",& ,$ () %("$#e#,

6$#!%, &,) #,,& !("+e&.

Demostración• V!-,& (e ,& ()#,& e +,& %("#$,&: A' B' C / ; e#e$-!)") $e%#"& e$e)!%(+"$e& "

+" $e%#" e#e$-!)"" ,$ +,& ,#$,& ,& ()#,&.

• C,-, #e)e-,& #$e& 8,$-"& e "&,%!"$ +,& ,& $(,& e ,& ()#,& %"" (),CH AB ⊥

BH AC ⊥

BC AH ⊥' &e ,=#!e)e) #$e& ()#,& e !)#e$&e%%!6) e +"& e$e)!%(+"$e&.

• O=0!"-e)#e e&#,& #$e& ()#,& e=e) &e$ +,& 0?$#!%e& e+ #$!>)(+, 6$#!%, e %"" (), e+,& %("#$,& #$!>)(+,&

••

••

#/ $ ISECTRICES

•• De1inición:

• S! D e&#" e) e+ !)#e$!,$ eC A B X

/C A 1 1 A B XX ≅

e)#,)%e&

• A1

=!&e%" "+C A B X

/ A1

&e ++"-" =!&e%#$!7 e+C A B X

.•

• Teorema" e +" =!&e%#$!7 !)#e$!,$• L" =!&e%#$!7 e () >)(+,' e3%e#(", &( e3#$e-, e& e+ %,)9()#, e #,,& +,& ()#,& e+

!)#e$!,$ e+ >)(+, (e e(!!&#" e +,& +",& e+ >)(+,.• Demostración

• P e&#> e) e+ !)#e$!,$ e+C A B X

' P e(!!&#" e: PNWPM AB AC ' ∧ ⇔

e&#> e) +"

=!&e%#$!7 / A ' ≠

•

1



•

• Re%*$,%"-e)#e:• AFIRMACIONES • RAZONES

• 1 P e&#> e) +" =!&e%#$!7 • D"#,

• P e& !)#e$!,$ "C A B X • De 1 e8. e =!&e%#$!7

• 2

2 A ' & A ' XX ≅

• De8. e =!&e%#$!7

• 4 2 & XX ≅ • Á)(+,& $e%#,& %,)$(e)#e&

• < PA W PA • Ie)#!"

• ' 2 A ' & A

∆∆

≅ • Te,$e-" e %,)$(e)%!" LAA

• MP W NP • P"$#e& %,$$e&,)!e)#e&.••

Teorema %,)%($$e)%!" e +"& =!&e%#$!%e&:• L"& =!&e%#$!%e& e +,& >)(+,& !)#e$!,$e& e () #$!>)(+, &,) %,)%($$e)#e& e) () ()#,(e e(!!&#" e +,& #$e& +",& e+ #$!>)(+,' ++"-", !)%e)#$,.

Demostración

• E) e+C B A

∆

' I e& +" !)#e$&e%%!6) e +"& =!&e%#$!%e& e B A XX ∧

• AFIRMACIONES • RAZONES

• 1 P e& !)#e$!,$ "+C A B X • D"#,

• AB '& ⊥

/ AC '2 ⊥ • De8. e !&#")%!"

• 2 2 & XX ∧

&,) $e%#,&• D"#,

• 4 2 & XX ≅ • L,& >). $e%#,& &,) %,)$(e)#e&

• < PM W PN • D"#,

• A & ' A 2 '

∆ ∆

≅ • Te,$. C,)$. !,#e)(&"%"#e#,

• 2 A ' & A ' XX ≅ • P"$#e& %,$$e&,)!e)#e&

• A'

e& =!&e%#$!7 eC A B X • P"&, 1 / e8!)!%!6) e =!&e%#$!7



• E)#,)%e& I e&#> e) e+ !)#e$!,$ e+ AX

/ BX

' / ,$ #")#, e) e+

• !)#e$!,$ e+C X

.

• E) %,)&e%(e)%!": I e(!!&#" e

AB AC ∧

• I e(!!&#" e BC AB ∧

• L(e, I e(!!&#" e BC AC ∧

' e)#,)%e& I e&#" e) +" =!&e%#$!7 e+C X

.•

Coro.ario" E+ !)%e)#$, e& e+ %e)#$, e+ %*$%(+, !)&%$!#, "+ #$!>)(+,' #"-=!?)e),-!)", !)%*$%(+,' / e $"!, $ !)$"!,

•• Notas" &e 0e$>) e) e+ $>%#!%,

L"& "+#($"& e+ #$!>)(+, ,$!!)"+ &,) =!&e%#$!%e& e+ #$!>)(+, 6$#!%,.

E+ !)%e)#$, e+ #$!>)(+, 6$#!%, %,!)%!e %,) e+ ,$#,%e)#$, e+ #$!>)(+, ,$!!)"+

•• Lema

• ;"/ e3"%#"-e)#e ()" 8,$-" e e+e!$ +,& ()#,& U' V / _ e) +, +",& BC

' AC

/ AB

'

$e&e%#!0"-e)#e' eC B A

∆

e -,, (e AV W A_' BU W B_ / CU W CV. L,& )!%,& ()#,& (e &"#!&8"%e) e&#"& e%("%!,)e& &,) +,& ()#,& e) (e +,& +",& e+ #$!>)(+, &,)

#")e)#e& "+ %*$%(+,. Ae->&' +"& !&#")%!"& AV' B_ / CU &,) !("+e& " & "' & = / & %' $e&e%#!0"-e)#e & e& e+ &e-!e$*-e#$,.

•••

Demostración

• U' V' _ ()#,& e T")e)%!" e) +,& +",& BC

' AC

/

AB.C,-, AV W A_ (e&

3 4 A 3 5 A∆∆

≅

• ;"%e-,& 3 W AV W A_• A)>+,"-e)#e / W BU W B_ / 7 W CU W CV•

• E)#,)%e&: / ` 7 W BC W a⇒

7 W a /

• 3 ` 7 W *⇒

3 ` a / W *

1



• 3 ` / W c •

•⇒

3 / W * 6 a

• 3 ` / W c

• • 3 W & a

• E)#,)%e& / W & *

• 7 W & c

•• O'ser7ación" L(e, e+ >$e" e+ #$!>)(+, e) 8()%!6) e+ !)$"!, / &e-!e$*-e#$, $e&(+#"

1 1 1 1 1. . . N . .

3BC A3B A3C 7 7 7 7 a r * r c r r a * c r s r s= + + = + + = + + = =

•

•• Lema • S! &e e3#!e)e +" =!&e%#$!7 e (), e +,& >)(+,& e () #$!>)(+, "$" e)%,)#$"$ e+

%!$%()%*$%(+, e) e+ ()#, P' e)#,)%e& +" !&#")%!" P "&#" %"" (), e +,& ,#$,& ,&

0?$#!%e& e+ #$!>)(+, e& !("+ " +" !&#")%!" 3'

' ,)e 3 e& e+ !)%e)#$, e+ #$!>)(+, ",

'B 'C 3' ==

• Demostración

• P$,="$e-,& (e 3' 8 'C ⇒

="&#" $,="$ (e ' 3 C ' C 3 XX ≅

• Ve"-,&'

A ' A B ' C B X

1XX ≅≅

e

( )C A ' C 3 C BC 3 XX

1XX

1X +=⇒=

•C A B ' ' 3 C ' C 3 B ' XXX\1EUX\1EUXXXX +=−=−=+⇒≅

•

( )C A ' 3 C XX

1X +=⇒

' 3 C ' C 3 XX ≅⇒

⇒ IP W PC• A)>+,"-e)#e IP W PB••• Lema

( ) ( )a s

a sac*aa*c x −=

−=

⋅−++=

−+=⇒

.

.

.

.

.



• Se" A#

=!&e%#$!7 e AX

e)C B A

∆

,)e X e&#> e) e+ +",⇒ BC

e+ !)%e)#$, eC B A

∆

e& e+ )!%, ()#, P e+ &e-e)#, A#

#"+ (e

C A BC ' B∧

+=

1\FUX

•

Demostración

• S(,)"-,& (e P e& e+ !)%e)#$,⇒

P e$#e)e%e " +"& #$e& =!&e%#$!%e&

• E)C ' B

∆

:C ' B X

W 1\ C B ' X

BC ' X

• W 1\

C B X

1X

1−−

• WN

1

\1EU

∧∧

+− C B

• W 1\

( ) AX\1EU

1−−

• W \ `

AX

1

• P"$" +" ()!%!"' 0e"-,& (e ,%($$e %,)C ' B X

" -e!" (e e+ ()#, P &e -(e0e " +,

+"$, e+ &e-e)#, A#

' "+%")7" () -*)!-, !("+ " AX

' %("), P ≡ A ' / () ->3!-, e

1\' %("),⇒≡ # '

&e %,)%+(/e (e∃

P %,) e&#" %,)!%!6).•• Teorema Le/ e +,& C,&e),&

•C B A

∆

' %,) a * c +,)!#(e& e +,& +",&' e)#,)%e&:C *a*ac X%,&

⋅⋅⋅−+=

•

Teorema F6$-(+" e ;e$,)

• @ >$e" eC B A ∆

e)#,)%e&:( ) ( ) ( )c s* sa s s . −⋅−⋅−⋅=

a * c +,)!#(e& e +,&+",& / & &e-!e$*-e#$,.

• Demostración

• S"=e-,& (e

( )C *aC sen*a . C sen*a . X%,&1X4X

1 −⋅⋅=⋅⋅=⋅⇒⋅⋅⋅=

2



• P,$ Le/ e C,&e),& :

( )

X%,& 4 1

4

c a *c a *C . a *

a * a *

− −− − ÷= ⇒ × = × × − ÷− × × × ×

• ( )4

4

*ac

*a . −−−⋅=⋅

•

1A 4 N 7 a * c a *= − − −

•( )[ ] ( )[ ] 1A *ac*a*ac*a . −−−⋅⋅⋅−−+⋅⋅=⋅

•

( ) ( ) 1A7 c a * a * c = − − + −

• C"+%(+, A(3!+!"$ ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]c*ac*a*ac*ac . −+⋅++⋅−−⋅−+=⋅ 1A

• ( ) *c*a*ac ⋅−++=−+

( ) ( ) ( )c s sa s* s . −⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅=⋅ 1A

• W s 6 *) ( ) ( ) ( )1A 1A . . s a s * s c s× = × − × − × −

• c 9 * 6 a 8 & 6 a) ( ) ( ) ( )c s* sa s s . −⋅−⋅−⋅=

• a 9 * 6 c 8 : (s 6 c)

•• Teorema e S#ea"$#• E) +" &!#("%!6) e +" 8!($" #e)e-,&:

•

* ya xc y xt c ⋅+⋅=⋅⋅+⋅

Demostración•

• Le/ e +,& C,&e),& e)

B ' C ∆

&e #!e)e

X %,&t a y a y B= + − × × ×

I

• Le/ e +, C,&e),& e)C B A

∆

&e #!e)e Bcaca* X%,&

⋅⋅⋅−+= II

•• M(+#!+!%"-,& I ,$ bc; / -(+#!+!%"-,& II ,$ b y; / +(e, $e&#"-,& I / II•

4



•( ) yc yca yc* yt c ⋅−⋅+⋅−=⋅−⋅

• yc yca x* yt c ⋅−⋅+⋅=⋅−⋅

•

Oc t y * x a c y c y× − × = × − × ×

•c y xa x* yt c ⋅⋅−⋅=⋅−⋅

•

* ya xc y xt c ⋅+⋅=⋅⋅+⋅ %...

••••

• TeoremaF6$-(+" e E(+e$

• Se"%3 d =

' !&#")%!" e+ %!$%()%e)#$, "+ !)%e)#$, e () #$!>)(+, "$=!#$"$!,' e)#,)%e&

( )r + +d −=' R %!$%()$"!,' $ !)$"!, e+ #$!>)(+, ",.

• Demostración • •

• Se e3#!e)e 3% "&#" () !>-e#$, XY e+

%!$%()%*$%(+,' %3 8 dd + #3 −=⇒

ed +$3 +=

e)#,)%e&:

d +$3 #3 −=⋅

• E)#,)%e&: 3' A3 $3 #3 d + ⋅=⋅=−

• • P,#e)%!" e () ()#,• S"=e-,& (e 3' 8 'C / ,$ +e/ e3#e)&!6) e +,&

&e),& e)C ' A

∆

:( )

+ A sen

'C AC A ' ⋅=⇒=

cX

1X

•( )c A sen + A3 'C A3 3' A3 d + ⋅⋅=⋅=⋅=−⇒

• E) / 3 A

∆

#$!>)(+, $e%#>)(+,r 3/ =

' F ()#, e #")e)%!" e+ !)%*$%(+, %,) +", AC

( ) ( )c c r

sen A A3 sen A r A3

= ⇒ × =

<

O

B

A

CI

F

r

P

X

Y

R=XO=OY d= IO



• +r d + ⋅⋅=−⇒

F6$-(+" e E(+e$.••

• Coro.ario: P"$" %("+(!e$ #$!>)(+,

r + ⋅≥

/ +" !("+" &e %(-+e

⇔

e+ #$!>)(+, e&e(!+>#e$,

Demostración

• C,-,( )r + +d ⋅−=

• Ve-,& (e( ) ⇔≡⇔⋅=⇒≥⋅− % 3 r +r + U

e+ #$!>)(+, e& e(!+>#e$,.•• Teorema e M,$+e/:• Se #$"7") +"& &e!& #$!&e%#$!%e& e () #$!>)(+, "$=!#$"$!, / "$" %"" +", e+ #$!>)(+, &e

-"$%" e+ ()#, e !)#e$&e%%!6) e +"& ,& #$!&e%#$!%e& ->& $63!-"& " e&e +",. E)#,)%e&e+ #$!>)(+, 8,$-", ,$ +,& #$e& ()#,& -"$%",& e& e(!+>#e$,.• Sin Demostración••••••

• Teorema e +" =!&e%#$!7 e3#e$!,$• L" =!&e%#$!7 e () >)(+, !)#e$!,$ / +"& =!&e%#$!%e& e +,& >)(+,& e3#e$!,$e& (e

%,$$e&,)e) " +,& ,#$,& ,& 0?$#!%e& %,)%($$e) e) () ()#, (e &e ++"-" e3%e)#$, / (ee(!!&#" e +,& #$e& +",& , e &(& $,+,)"%!,)e&.

• Demostración:

• Se") A*

/ B*Z

+"& =!&e%#$!%e& e+ >)(+, !)#e$!,$ A

• / e+ >)(+, e3#e$!,$ B' $e&e%#!0"-e)#e (e &e %,$#") e) A 3 Z

•

• A 3 Z ∈

A* ⇒

A 3 ZP W

A 3 Z

• A 3 Z

∈

B*Z ⇒

A 3 Z

P W A 3 Z

R •

• L(e, A 3 Z

W A 3 Z

R⇒

A 3 Z ∈

C *



•

• P,$ +, #")#, A 3 Z

e& e+ %e)#$, e +" %!$%()8e$e)%!" e $"!, A 3 Z

P e),-!)", e3%*$%(+, e+$"!, &e ++"-" e3$"!,.

• O'ser7ación• N"#($"+-e)#e #,, #$!>)(+, #!e)e 2 e3%*$%(+,& e$, () &,+, !)%*$%(+, / () %!$%()%*$%(+,.• Lema"• L" +,)!#( e +" #")e)#e #$"7"" e&e () 0?$#!%e e () #$!>)(+, "&#" e+ %*$%(+,

e3%$!#, %,$$e&,)!e)#e e& !("+ "+ &e-!e$*-e#$,Demostración

•• C,-, BP W B e=e-,& $,="$ (e e& !("+ " &

• C,-, AP W AY

⇒

BP W BA ` AP

⇒

BP W BA ` AY• A)>+,"-e)#e B W BC ` CY• L(e, BP ` B W BA ` AY ` BC ` CY W ]&

• Pe$, BP W B⇒

BP W B W & %...•

•• Teorema"

• D",

C B A∆

"$=!#$"$!,' #e)e-,&:

c*a r r r r

1111++=

•• E& e%!$' e) #,, #$!>)(+, e+ $e%*$,%, e+ !)$"!,• e& !("+ " +" &(-" e +,& $e%*$,%,& e +,& e3$"!,&•

Demostración

•

Z

* 3 ∈

=!&e%#$!7 e BX

Z

* B ' 3 ∆

#$!>)(+, $e%#>)(+, e %"#e#, BP W &

• C,-,

( )Z c ** *

r 3 ' r tg B

s

= ⇒ = ⇒

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

* s

c sa s s

* s s

c sa s s Btg sr *

−

−⋅−⋅=

−⋅

−⋅−⋅=⋅= .c

+e/ #")e)#e•

•⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* sa s s

c s

c sa s s

* s

c s* s s

a s

r r r c*a −⋅−⋅−

+−⋅−⋅

−+

−⋅−⋅−

=++111



•

•

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

s a s * s c s

s s a s * s c s s a s * s c

− + − + −= =

× − × − × − × − × − ×

•

• .

s=

•

• r

1=

(e& $.& W d••• Coro.ario" E) #,, #$!>)(+, +" &(-" e +,& $e%*$,%,& e +"& "+#($"& e& !("+ " +" &(-"

e +,& $e%*$,%,& e +,& e3$"!,&

•

1 1 1 1 1 1

a * c a * c- - - r r r + + = + +

••

#/ %/ MEDIANAS

•• De1inición:• L" -e!")" e () #$!>)(+, e& e+ &e-e)#, (e ()e () 0?$#!%e / e+ ()#, -e!, e+ +",

,(e&#,. E+ ()#, e %,)%($$e)%!" e +"& -e!")"& e+ #$!>)(+, &e ++"-" %e)#$,!e' ="$!%e)#$, , $"0!%e)#$,.

•• Teorema %,)%($$e)%!" e +"& -e!")"&:• L"& -e!")"& e #,, #$!>)(+, &,) %,)%($$e)#e& / &( ()#, e %,)%($$e)%!" e&#> e)

%"" -e!")" " ,& #e$%!,& e+ %"-!), e+ 0?$#!%e.• Demostración

• Se"C B A

∆

/ #$"%e-,& ,& -e!")"& %("+e&(!e$" A#

/ B$

• %(/, ()#, e !)#e$&e%%!6) e& G.

• Se") M / N +,& ()#,& -e!,& e AG

/ BG

' $e&e%#!0"-e)#e.

• A+!%"), +" $,!e" e +" ="&e -e!" e () #$!>)(+, " +,&G B A

∆

/C B A

∆

• e)#,)%e& &2 AB #$ cccc

/ XY W MN W

AB

1

.



• P,$ +, #")#, YNMX e& () "$"+e+,$"-,' e)#,)%e& XG W GM / NG W GY

• e&#, !-+!%" (e AG W

A# 2

/ BG W

B$ 2

.• De -")e$" &e-e9")#e CZ %,$#" " AX e) () ()#, (e e&#" " ,& #e$%!,& e +" !&#")%!"

e A " X. S!) e-="$, e& e0!e)#e (e G e& e+ )!%, ()#, e) AX (e #!e)e e&#" $,!e"' / "&* CZ "&" ,$ G.

•

O'ser7ación• E+ #$!>)(+, 8,$-", ,$ +,& ()#,& -e!,& e +,& +",& e+ #$!>)(+, ,$!!)"+ &e ++"-"

-e!"+' "+()"& $,!e"e& (e 0e$e-,& e) e+ $>%#!%, L"& >$e"& e +,& #$!>)(+,& (e &e 8,$-") e+ ="$!%e)#$, " +,& 0?$#!%e& e+ #$!>)(+, &,)

!("+e&.

E+ #$!>)(+, e +,& ()#,& -e!,& -e!"+ e& &e-e9")#e "+ #$!")(+, ,$!!)"+ /%,)$(e)#e %,) +,& $e&#")#e&.

E+ #$!>)(+, -e!"+ / ,$!!)"+ #!e)e) e+ -!&-, ="$!%e)#$,. E+ ,$#,%e)#$, e+ #$!>)(+,-e!"+ %,!)%!e %,) e+ %!$%()%e)#$, e+ ,$!!)"+.

• S! P () ()#, !)#e$!,$ %("+(!e$" e () #$!>)(+, ABC' / &e") PD' PE / PF' &(& e$e)!%(+"$e& $e&e%#!0"& " +,& +",& AB' CA / AB' %,-, e) +" 8!($" &!(!e)#e. L,& !e& e e&#"& e$e)!%(+"$e& &,) +,& 0?$#!%e& e () #$!>)(+, DEF' (e ++"-" e+ #$!>)(+, e"+ "$" e+ ()#, e"+ P' +" $e&#$!%%!6) e (e P &e" !)#e$!,$ (ee e+!-!)"$&e &!%,)0e)!-,& (e ), (ee e&#" &!#(", e) +" %!$%()8e$e)%!" %!$%()&%$!#" e+ #$!>)(+,ABC +" $"76) e e&#, +, 0e$e-,& e) +" ()!" III' e)#,)%e& #e)e-,& (e e+ #$!>)(+,6$#!%, / e+ #$!>)(+, -e!"+ &e $e&e)#") %("), P e& e+ ,$#,%e)#$, , e+ %e)#$, e +"!$%()8e$e)%!" %!$%()&%$!#" $e&e%#!0"-e)#e.

•B

A

C

P

F

E

D

•

#/ ? LA RECTA DE EULER H EL C,RCULO DE LOS NUEFE PUNTOS•• Lema" • S! e+ %!$%()%e)#$, / e+ %e)#$,!e e () #$!>)(+, %,!)%!e)' e)#,)%e& e+ #$!>)(+, e=e &e$

e(!+>#e$,.

Demostración"



• S(,)"-,& (e e+ %e)#$,!e eC B A

∆

#"-=!?) e& %!$%()%e)#$,.

•

B C

A

X

O=G

• C,-, A e&#> e)G#

' $,="-,& (e A e&#> e) +" -e!"#$!7 e BC

/ "&* A e& e(!!&#")#e

e B / C. L(e, AB W AC.• U) $"7,)"-!e)#, ")>+,, e-(e&#$" (e BA W BC.

• C,)%+(!-,& (e +,& #$e& +",& eC B A

∆

&,) %,)$(e)#e& e)#$e &*' e -,, (e e+#$!>)(+, e& e(!+>#e$,.

•• O'ser7ación"

• E) %("+(!e$C B A

∆

), e(!+>#e$,' ",$" &"=e-,& (e e+ %!$%()%e)#$, O / e+ %e)#$,!e G'

&,) ,& ()#,& !&#!)#,&. E&#,& ,& ()#,& e#e$-!)") ()" $e%#" )!%" e),-!)"" $e%#"e E(+e$ e+ #$!>)(+,. C,)&!e$"-,& (e "$" +,& #$!>)(+,& e(!+>#e$,& ), (e"e8!)!" +" $e%#" e E(+e$.

• T"-=!?) #e)e-,& (e +"& #$e& "+#($"& e () #$!>)(+, &!e-$e %,)%($$e) e) () ()#,e),-!)", ,$#,%e)#$, e+ #$!>)(+,. De 8,$-" ),#"=+e' +" $e%#" e E(+e$ #"-=!?) "&" ,$ e+ ,$#,%e)#$,. E) e&#e &e)#!,' $e&(+#" ",$" (e %("#$, $e%#"& $e0!"-e)#ee#e$-!)""& &,) %,)%($$e)#e&.

•• Teorema Re%#" e E(+e$:

• S(,)"-,& (e

C B A∆

), e& e(!+>#e$, / &e") G / O &( %e)#$,!e / %!$%()%e)#$,'

$e&e%#!0"-e)#e. Se" ; e+ ()#, e) +" $e%#" e E(+e$G%

(e e&#> e) e+ +", ,(e&#, e

O e&e G / #"+ (e ;G W GO. E)#,)%e& +"& #$e& "+#($"& e+C B A

∆

"&") ,$ ;.Demostración

•

2

Se" G e+ %e)#$,!e / X e+ ()#, -e!, e BC

. E)#,)%e& X'

G / A &,) ()#,& !&#!)#,& e) +" -e!")" e&e A' / %,-,e&#,& ()#,& &,) %,+!)e"+e&' 0e-,& (e A e&#> e) +" $e%#"

G# .

Pe$, G #"-=!?) e& %!$%()%e)#$,' / "&* e&#> e) +" -e!"#$!7

e+ +", BC

. P,$ &((e&#,' e+ ()#, -e!, X e+ +", BC



• De-,&#$"$e-,& (e +" "+#($" e&e A "&" ,$ ; +"& e-,&#$"%!,)e&• "$" +"& ,#$"& ,& "+#($"& &,) &e-e9")#e&.•• S! ; ≡ A' ), "/ )"" (e e-,&#$"$ e&#, &(%ee %("), A W \•

• S(,)"-,& ; ≠ A' ="&#" e-,&#$"$ (e +" $e%#" AH

e& e$e)!%(+"$ " BC

.

• Se" M ()#, -e!, e BC

/ ,=&e$0" (e O / M &,) ()#,& !&#!)#,&'• e) %"&, %,)#$"$!, +" -e!")" GM &e$!" +" $e%#" e E(+e$' / %,-,• &"=e-,& AG W GM &e %,)%+(!$> (e A e& ;' (e ), e&#"-,& &(,)!e),.

• De=!, " (e #")#, O %,-, M e&#>) e) +" -e!"#$!7 e BC

' +" $e%#"

• BC %& ⊥

/ #e)$e-,& (e $,="$ ",$" (e%& AH cc

+, %("+ !-+!%"

• (e +,& >)(+,& "+#e$),& !)#e$),&% H XX ∧

&,) %,)$(e)#e&.•

• P(e&

= &G

AG

/ ,$ !6#e&!&

=G%

HG

G%

HG

&G

AG=⇒

/ & G% H G A XX ≅

,$ &e$

,(e&#, ,$ e+ 0?$#!%e' e)#,)%e& ,$ #e,$. e &e-e9")7" LAL H G A

∆

%G &

∆

+, (e

!-+!%" (e

% H XX ≅

%...••• O'ser7aciones"

• E+ %!$%()%*$%(+, e+ #$!>)(+, 6$#!%, e+C B A

∆

' "e->& e "&"$ ,$ +,& !e& e +"& #$e&"+#($"&' e&#e %*$%(+, %,)#!e)e #"-=!?) +,& ()#,& -e!,& e +,& #$e& +",&' e)#,)%e& e& e+

%!$%()%*$%(+, e+ #$!>)(+, -e!"+ eC B A

∆

. Ae->&' %,$#" " +" -!#" e %"" (), e +,&

&e-e)#,& e $e%#" A;' B; / C;' ,)e ; e& e+ ,$#,%e)#$, e C B A

∆

.

• E+ ()#, -e!, X e+ &e-e)#, AH

&e e),-!)" ()#, e E(+e$ eC B A

∆

,(e&#, "+

+", BC

/ e -")e$" &e-e9")#e +,& ()#,& Y' Z e BH

/ AB

$e&e%#!0"-e)#e. E&e%!$' e+ %!$%()%*$%(+, %,-) e +,& #$!>)(+,& 6$#!%, / -e!"+ %,)#!e)e +,& #$e& ()#,&e E(+e$ / ,e-,& e)()%!"$ e+ &!(!e)#e #e,$e-".

21



••• Teorema C*$%(+, e +,& ()#,&' %!$%()8e$e)%!" e Fe(e$="% , e E(+e$• D", %("+(!e$ #$!>)(+,' +,& &!(!e)#e& ()#,& e&#>) e) () %*$%(+, %,-): +,& 2 !e& e

+"& "+#($"&' +,& 2 ()#,& -e!,& e +,& +",& / +,& 2 ()#,& e E(+e$. Ae->& %"" (), e

+,& &e-e)#,& e $e%#" (e ()e () ()#, e E(+e$ %,) e+ ()#, -e!, e+ +", ,(e&#, e&() !>-e#$, e e&#e %*$%(+,' e),-!)", %*$%(+, e +,& ()#,&.

• Demostración

• E) +" 8!($": D' E' F !e& e +"& "+#($"& e+C B A

∆

• P' ' R ()#,& -e!,& e +,& +",& e+C B A

∆

• X' Y' Z ()#,& e E(+e$.•

•• De-,&#$"$e-,& (e e&#,& ()#,& e&#>) e) () -!&-, %*$%(+,

• / #'

'$<

/ "+

&,) !>-e#$,& e+ -!&-,.•

• T$"7"-,&$<

/ %,)&!e$"-,& e+ %*$%(+, (e %,)#!e)e "$<

%,-, !>-e#$,.• P$!-e$,: $,="$e-,& (e P' R e$#e)e%e) "+ %*$%(+,.

• S! P∈

"+ %*$%(+,⇒

e=e-,& $,="$ (e\FUX =< ' $

•

• ⇒

e=e-,& $,="$C/ $' cc

' (e&$'

="&e -e!" eC H B

∆

• AB '< cc

' (e& '<

="&e -e!" eC B A

∆

• C,-, ABC/ ⊥

'<$' ⊥⇒

\FUX =⇒ < ' $

• L(e, P∈

"+ %*$%(+, e !>-e#$,$<

• A)>+,"-e)#e' R∈

"+ %*$%(+,⇒

e=e-,& $,="$:\FUX =< +$

• ⇒

e=e-,& $,="$ A1$+ cc

' (e&$+

="&e -e!" e

H B A∆

2



• BC +< cc

' (e& +<

="&e -e!" e

C B A∆

•

• C,-, BC A1 ⊥ +<$+ ⊥⇒

\FUX =⇒ < +$

• L(e, R∈

"+ %*$%(+, e !>-e#$,$<

• ;"&#" ",$" $,="-,& (e P' ' R e Y &,) ()#,& e+ -!&-, %*$%(+, e $"!,$<

%,-,

%,)#!e)e " P' / R e&#e %*$%(+, e& e+ %!$%()%*$%(+, e+ #$!>)(+, -e!"+ eC B A

∆

e

!>-e#$,

$<

' ,)e e& e+ ()#, -e!, e

AC

e Y e+ ()#, e E(+e$ ,(e&#,.

• A)>+,"-e)#e' &! %,)&!e$"-,& +,& ,#$,& ,& !>-e#$,& #'

"+

#"-=!?) &,) !>-e#$,&

e+ %!$%()%*$%(+, e+ #$!>)(+, -e!"+ eC B A

∆

.• ;e-,& $,=", (e +,& ()#,& P' ' R' X' Y' / Z e&#>) e) e+ %!$%()%*$%(+, -e!"+ /

%"" (), e +,& &e-e)#,& "+$< #' ''

&,) !>-e#$,& e+ -!&-,.

• Se()," P$,="$e-,& (e E∈

"+ %*$%(+, e !>-e#$,$<

.

• C,-, E e& !e e +" e$e)!%(+"$⇒

\FUX =< 0 $

⇒

E∈

"+ %!$%()%*$%(+, -e!"+.

A)>+,"-e)#e D' F e$#e)e%e) "+ %!$%()%*$%(+, -e!"+ eC B A

∆

%...••• Teorema

• Se" R %!$%()$"!, eC B A

∆

' e)#,)%e& +" !&#")%!" e&e %"" ()#, e E(+e$ eC B A

∆

"+ ()#, -e!, e+ +", ,(e&#, e& R' / e+ $"!, e+ %*$%(+, e +,& ()#,& eC B A

∆

e&

+

• De-,&#$"%!6):•

22



• C*$%(+, e D' E' F !e& e +"& "+#($"&• L,& ()#,&: P' ' R ()#,& -e!,& e %"" +",.• X' Y' Z ()#,& e E(+e$.•

• C!$%()%*$%(+, e+ #$!>)(+, -e!"+ +< '

∆

• S"=e-,& P cc AR' RP cc A⇒

APR "$"+e+,$"-,' e)#,)%e& +"& !",)"+e& AP /R &e %,$#") e) &( ()#, -e!,. E) ,#$"& "+"=$"& +" -e!")" AP %,$#" e) +" -!#" "+

+", R e #$!>)(+, -e!"+ +< '

∆

e& e%!$' %,)#!e)e " +" -e!")" e&e P e+ #$!>)(+,

-e!"+' e -")e$" &e-e9")#e +"& ,#$"& -e!")"& e+ #$!>)(+,C B A

∆

%,)#!e)e " +"&

-e!")"& e +< '

∆

' e)#,)%e& e+ %e)#$,!e eC B A

∆

#"-=!?) e& %e)#$,!e e +< '

∆

.•• C,)&!e$e-,& +" #$")&8,$-"%!6):

•

(

1'−= G H T

W %,)#$"e e+ +"), %,) 8"%#,$ e e&%"+"c1=λ

/ $,#" 1\

• T A W P' (e& AG W GP\1EUX =∧ ' G A

• T B W' (e& BG W G\1EUX =∧ <G B

• TC W R' (e& CG W GR\1EUX =∧ +GC

•

•

( )( ) ( )

T' +%T C +%C T =

+< ' C B AT

∆∆

→:

T: %!$%()%*$%(+, eC B A

∆→

%!$%()%*$%(+, e +< '

∆

•• C*$%()%*$%(+, C!$%(+, e +,& ()#,&' %,) %e)#$, NWTO

•• P,$ #e,$e-" %*$%(+, e +,& ()#,&' +"& +,)!#(e& e +,& !>-e#$,& &,) XP' Y' ZR e

+,)!#( R %!$%()$"!,.•

• E& e%!$ : T O W N

( ( ) 2 %G H =−

1'

⇒

1

G2 G%= −uuur uuur

•

24



•••• ;N W ;G NG W GO f GO W 2c GO•

• NO W NG ` OG W 1c OG ` OG W 2c GO•

• 2% H2 =⇒

• L(e, N e& e+ ()#, -e!, e ;O' e& e%!$ e+ %e)#$, e+ %*$%(+, e +,& )(e0e ()#,&e(!!&#" e+ ,$#,%e)#$, / e+ %!$%()%e)#$, e+ #$!>)(+, ,$!!)"+.

•

• Coro.ario" Se"C B A

∆

#$!>)(+, ), $e%#>)(+,' ; e& e+ ,$#,%e)#$,

H B AC H AC B H C B A

∆∆∆∆

∧⇒ '' #!e)e) %!$%()$"!,& !("+e&.

• Demostración• De+ #e,$e-" 0!&#,' e) e+ %("$#e#, 6$#!%, gA' B' C' ;h +,& %("#$, #$!>)(+,& #!e)e) e+

-!&-, #$!>)(+, ,$#!%,.• C,-, e+ %*$%(+, e +,& ()#,& e& e+ %!$%()%*$%(+, e &( #$!>)(+, ,$#!%,.

•⇒

E&#,& %("#$, #$!>)(+,& %,-"$#e) () %*$%(+, e ()#,& %,-).

•⇒

E+ %!$%()$"!, e& !("+ " 0e%e& e+ $"!, e+ %*$%(+, e +,& ()#,&.

•

⇒

C("#$, #$!>)(+,& #!e)e) %!$%()$"!,& !("+e&.•

• Coro.ario" Se"C B A

∆

), $e%#>)(+,' ; ,$#,%e)#$,' e)#,)%e& +"& $e%#"& e E(+e$ e

C B A∆

'C B H

∆

C H A

∆

/ H B A

∆

&,) %,)%($$e)#e&. S! %("+(!e$" e e&#,& #$!>)(+,& e&e(!+>#e$,' e)#,)%e& +" $e%#" e E(+e$ e +,& #$!>)(+,& $e&#")#e& e& %,)%($$e)#e e) N

• Demostración• P,$ %,$,+"$!, ")#e$!,$ %,-"$#e e+ -!&-, %*$%(+, e +,& ()#,& %!$%()%*$%(+, e+

#$!>)(+, -e!"+ / ,$#!%, e+ %e)#$, N e e&#e %*$%(+, e&#> e) #," +"& $e%#"& e E(+e$' ,$

+, #")#, &,) %,)%($$e)#e&.•• ••

#/ J/ OPTIMIZACIÓN DE TRINGULOS

•

2<



• E) e&#" &e%%!6) e+ ,=9e#!0, e& $e&,+0e$ %!e$#,& $,=+e-"& e ,#!-!7"%!6) e,-?#$!%"' , $,=+e-"& e ->3!-,& , -*)!-,&' ="9, %!e$#"& %,)!%!,)e& ""&' e&e () ()#, e0!&#" e,-?#$!%,' &!) "%e$ (&, e +" ),%!6) e e$!0""' ,$ e9e-+,:

• D",∆

ABC' e)%,)#$"$ X' Y / Z e) +,& +",& BC' AC / AB' $e&e%#!0"-e)#e' #"+e&

(e &e -!)!-!%e e+ e$*-e#$, e ∆ XYZ

• E)%,)#$"$ e+ ()#, F e) e+ !)#e$!,$∆

ABC (e -!)!-!%e FA ` FB ` FC• HC(>+ e& +" -"/,$ >$e" (e (ee #e)e$ () #$!>)(+, !)&%$!#, e) () $e%#>)(+, e >$e"

S

• D"" ()" %!$%()8e$e)%!"C

e %e)#$, O / ()" %(e$" AB' e#e$-!)"$∆

ABC e

-"/,$ >$e" %,) C∈C

• D",∆

ABC e >$e" !("+ " 1 / A' B' C ()#,& e +,& +",& AB' BC / CA

$e&e%#!0"-e)#e #"+e& (e

Z Z ZZ Z Z

AA BB CC r A B B C C A

= = =

' e#e$-!)"$ $ "$" (e∆

ABC &e"e >$e" -*)!-".

• Se"∆

ABC ), e(!+>#e$, e e$*-e#$, . E3!&#e∆

ABC !&6&%e+e& e e$*-e#$, '

%(/" >$e" e& -"/,$ (e +" e∆

ABC.• E)#$e #,,& +,& #$!>)(+,& e e$*-e#$, ' e+ e(!+>#e$, e& e+ e >$e" ->3!-".• E)#$e #,,& +,& #$!>)(+,& !)&%$!#,& , %!$%()&%$!#, e) () %*$%(+, H%(>+ e& e+ e -"/,$

>$e"

• E)#$e #,,& +,& #$!>)(+,& $e%#>)(+,& %(/" &(-" e %"#e#,& e& %,)&#")#e' e+ e >$e"->3!-" e& !&6&%e+e&.

• E)#$e #,,& +,& #$!>)(+,& $e%#>)(+,& e e$*-e#$, %,)&#")#e e+ e !,#e)(&" -*)!-"e& e+ !&6&%e+e&.

• E)#$e #,,& +,& #$!>)(+,& $e%#>)(+,& e e$*-e#$, %,)&#")#e e+ e >$e" ->3!-" e& e+!&6&%e+e&.

• De #,,& +,& #$!>)(+,& $e%#>)(+,& e !,#e)(&" %,)&#")#e %(>+ e& e+ e -"/,$ >$e".•• Lema

• D",C B A

∆

%,) >)(+,& BX

/C X

/θ = AX

' &e 8!9" () ()#, P e) e+ +", BC &e") ' R $e8+e3!,)e& e P e) +,& +",& AB / AC' $e&e%#!0"-e)#e. Se") U / V ()#,& 0"$!"=+e& e)

+,& +",& AB / AC / %,)&!?$e&e e+ e$*-e#$, p e

∆

'5 = .

2



" S!θ

^ \ e+ e$*-e#$, -*)!-, ,%($$e &! / &,+, &!$ 5 " = ≡∧≡

,)e +" $e%#"

<+

%,$#" " +,& +",& AB / AC. Ae->&θ sen A' <+ p ⋅⋅== -!)

.

'3 S!

θ

[ \ e)#,)%e& e+ e$*-e#$, e& -*)!-, &! / &,+, &!

A5 = ≡≡

Demostración•

• "θ

^ \

• ' A B B A< XX ≅

C,)$. e T$!>)(+,&Re%#>)(+,&

• ' AC + AC XX ≅

%"#%"#

•

• + AC C A ' ' A B B A< + A< XXXXX +++=⇒

• C A ' ' A B XX +⋅=

• θ ⋅=

• + A< X

^ 1\<+⇒

%,$#" " AC AB ∧

•

• S!θ

[ \⇒

<+

"&" ,$ "$$!=" e+ ()#, A !

• S!θ

W \⇒

<+

"&" ,$ A !!

• AB

-e!"#$!7 e+ AC '< ∧

-e!"#$!7 e '+

⇒

UP W U / VP W VR

•⇒

p8 '= 9 =5 9 '5 8 <= 9 =5 9 5+ !&#")%!" ,+!,)"+ e " R

• S!= " 5 $ ≡ ∧ ≡

' e)#,)%e& +" !&#")%!" e& e) +*)e" $e%#" e " R' +(e, p &e -!)!-!7"

%("),$ 5 " = ≡∧≡

/ %("+(!e$ e+e%%!6) ,&!=+e $,(%e p [ R.

• P"$" %"+%(+"$ +" +,)!#( e R:

2



• E) +< A

∆

%,-, A W AP W AR⇒

e+ #$!>)(+, +< A

∆

e& !&6&%e+e&' M e& ()#, -e!, e

R⇒

<+ A& ⊥

∧

AM =!&e%" " + A< X

⇒

X . .<& <A& sen <+ <& A< sen A' sen A<

θ θ θ θ = ∧ = ⇒ = × = × × =

• =\FUX ≥= θ C A B

⇒

+" $e%#" R "&" ,$ "$$!=" 6 ,$ e+ ()#, A⇒

e+ %"-!), ->&%,$#, e " U " V " R %,) U e) AB / V e) AC ,%($$e %("), U / V e&#>) "-=,& e) A.

•••• Teorema

• E+ #$!>)(+, 6$#!%, e () #$!>)(+, "%(#>)(+, ", #!e)e () e$*-e#$, -e),$ (e%("+(!e$ ,#$, #$!>)(+, %(/,& 0?$#!%e& e&#>) e) +,& #$e& +",& e+ #$!>)(+, ",.

Demostración•

• P,$ +e-" ")#e$!,$ "$" %("+(!e$ e+e%%!6) e X e) BC ,e-,& e+e!$ Y e) AC / Z e) AB e -,, (e e+ e$*-e#$, p &e" -*)!-,.

•

•

X. p A# senA= ×

⇒ De=e-,& -!)!-!7"$ AX.

•

• E&#, ,%($$e &! BC A# ⊥ ⇒

X e& e+ ()#, e +" "+#($" #$"7"" e&e A⇒

" $ #

∆

#!e)e () e$*-e#$, -*)!-,.

• U) $"7,)"-!e)#, &e-e9")#e -(e&#$" (e' "$" (e " $ #

∆

#e)" e+ e$*-e#$, -*)!-,' Y

/ Z e=e) &e$ +,& ()#,& #$"7",& e&e B / C⇒

" $ #

∆

e& e+ #$!>)(+, 6$#!%, / #!e)e e$*-e#$, -*)!-,

•• Coro.ario" E) () #$!>)(+,' +" $e8+e3!6) e+ !e e ()" "+#($" e) %("+(!e$" e +,& +",&(e ), +, %,)#!e)e e& %,+!)e"+ %,) +,& ,#$,& ,& !e& e +"& "+#($"&.

• Demostración

• L,& ()#,& Y' Z &e #,-") &,=$e +" $e%#"<+

' ,)e / R &,) $e8+e3!,)e& e+ ()#, X e) +,& +",& AB / AC.

2



•⇒

P,$ #e,$e-" ")#e$!,$ &! #,-"-,& Y / Z %,-, +,&

!e& e +"& "+#($"&⇒

-!)!-!7"-,& e+ e$*-e#$, e

" $ # ∆

.••

••• Coro.ario" L"& "+#($"& e () #$!>)(+, "%(#>)(+, &,) +"& =!&e%#$!%e& e &( #$!>)(+,

6$#!%,.• Demostración

• Se 8!9") +,& !e& e +"& "+#($"&' Y / Z e) +,& +",&

AB AC ∧

e+

C B A∆

"%(#>)(+,.

• Se" e+ ()#, BC # ∈

c ZX ` XY &e" -*)!-,.

• P,$ e+ $,=+e-" 1< e+ T.P. &"=e-,& (e∃

!%, ()#, X (e e=e e&#"$ e)#$e B / C %,-, Y / Z &,) 8!9,&'"+ -!)!-!7"$ ZX ` XY e(!0"+e " -!)!-!7"$ e+ e$*-e#$,

e+ " $ #

∆

e)#,)%e&' X e& e+ #e$%e$ 0?$#!%e e+ #$!>)(+,6$#!%,.

• T"-=!?) #e)e-,& (e +" =!&e%#$!7 e " $ #

∆

e&

e$e)!%(+"$ " AC' "e->& AX e& "+#($" e+C B A

∆

/ e& e$e)!%(+"$ " BC e) X⇒

AX

=!&e%" " " # $ X

.• A)>+,"-e)#e "$" Y / Z.••• Lema"

• E) e+ +", AB

e+C B A ∆

' &e #$"7" () + B A ∆

e(!+>#e$, (e &eQ"+e "%!" 8(e$".

" P"$" #,, ()#, X e) e+ +"),' #e)e-,& +C #C #B #A ≥++

. L" !("+" (ee

,%($$!$ &6+, %("), X e&#> e) e+ &e-e)#, e $e%#" +C

.

2



= S! +,& #$e& >)(+,& e+C B A

∆

-!e) -e),& e 1\ &e" F e+ ()#, !&#!)#, e R'

,)e +" $e%#" +C

%,$#" "+ %!$%()%*$%(+, e + B A

∆

. E)#,)%e& F e&#> e)#$, e+

C B A

∆

/ FA ` FB ` FC W RC

Demostración

" C,)&#$(!-,&T B #

∆

e(!+>#e$,.

• BT + B # A

∆∆

≅ ,$ #e,$. C,)$.LAL

B+ AB ≅'

T B + # B A XX ≅'

BT B# ≅.

• ⇒ XA W RT / XB W XT

• ⇒ XA ` XB ` XC W RT ` XT ` XC'• e& +" +,)!#( e +" #$"/e%#,$!" e&e R " C ), (ee &e$ -e),$ (e +" +,)!#( e +"

+*)e" $e%#" +C

%...•

• = S! AX

^ 1\ /X 1U\ B <

⇒

+" $e%#" +C

%,$#e "+ +", AB

e)#$e +,& ()#,& A / C.

• S!\1UX = A

e)#,)%e& R e&#> e) ()" e3#e)&!6) e+ +", +C AC ∧

,$*" %,$#"$ " AB

e) A' ")>+,"-e)#e &! BX

W 1\ ⇒ +C

,$*" %,$#"$ " AB e) B.• C,)#!)("-,& %,) +" &(,&!%!6) e (e "-=,& >)(+,& &,) -e),$e& (e 1\' #$"7"-,& e+

%!$%()%*$%(+, e+ #$!>)(+, ARB

• Se" F () ()#, e +C

,)e %,$#" e+ %!$%()%*$%(+, e A B +

∆

• S!C X

^ 1\ e)#,)%e& F e&#> e) e+ !)#e$!,$ e+C B A

∆

' (e&

¼ ( )1 1X 4U\ 1U\

A/B A+B= = =

• C,-, B / AC XX <

e)#,)%e& C e&#> 8(e$" e+

%*$%(+, / F e&#> e)#$, e+C B A

∆

#,-"), / # ≡

' &e) ""$#", "

4



• T,-"), e+ ()#, T &,=$e e+ &e-e)#, +/

' %,-,

\AU

1X == ∩

+B B / +

e)#,)%e& T e&#>

e) "+()" "$#e &,=$e +" $e%#" +C

' " +" !7(!e$" e F. P"$" 0e$ (e T e&#> e)#$e F / R'

="&#" $,="$ (e / B + / BT XX <

' (e&\AUX = / BT

/\AUXX => A B + / B +

. P,$ +" "$#e "

&"=e-,& (e FA ` FB ` FC W RT ̀ TF ` FC. S! +,& #$e& >)(+,& e+C B A

∆

-!e) -e),&

e 1\ e)#,)%e& +" ,+!,)"+ RTFC e& ()" $e%#"⇒

FA ` FB ` FC W RC.•• Teorema • D", () #$!>)(+, %(/,& #$e& >)(+,& &,) -e),$e& " 1\' &e %,)&#$(/e) #$!>)(+,&

e(!+>#e$,& %,) +,& +",& "%!" 8(e$" e) %"" (), e +,& +",&. E)#,)%e& +,& &e-e)#,&

e $e%#" (e ()e) +, 0?$#!%e& e+ #$!>)(+, ", %,) +,& 0?$#!%e& +e9"),& e +,& #$!>)(+,e(!+>#e$,& &,=$e +,& +",& ,(e&#,& #!e)e) +" -!&-" +,)!#( / &,) %,)%($$e)#e& e) () ()#, F e)#$, e+ #$!>)(+, ,$!!)"+. T"-=!?) +" %")#!" FA ` FB FC e& !("+ " +"+,)!#( %,-) e +,& #$e& &e-e)#,& / e& -e),$ (e XA ̀ XB ` XC P"$" #,, X e) e+ +"),. Ae->& F e&#> e) +,& %!$%()%*$%(+,& e #,,& +,& #$!>)(+,& e(!+>#e$,&.

•• Demostración

• Ie)#!8!%"-,& +,& &e-e)#,& %,)%($$e)#e&%,-,: PA' B / RC / e +" -!&-" +,)!#(.• Se e8!)e F "$#e = e+ Le-" %,-, e+ ()#,

e) (e RC %,$#" "+ %!$%()%*$%(+, e+ + B A

∆

e) e+

!)#e$!,$ e+C B A

∆

' e)#,)%e&• FA ` FB ` FC W RC ^ XA ` XB ` XC "-e!" (e X 0"$*e e) e+ +"),.• De -")e$" &e-e9")#e &e %,)%+(/e (e B e& e+-*)!-, 0"+,$ ,&!=+e e XA ` XB ` XC / %,-,∃

M*)!-, e)#,)%e& B W RC• A)>+,"-e)#e AP W RC / "&* +,& #$e&

&e-e)#,& #!e)e) !("+ +,)!#(.•

••• Coro.ario" L,& &e!& >)(+,& 8,$-",& ,$ +,& #$e& &e-e)#,& e $e%#"& %,)%($$e)#e& PA'

B / RC&e) #e,$e-" ")#e$!,$ &,) !("+e& " \.•

41



• Demostración

•

\AU

1X == ∩

A+ + / A

' F ()#, e %,)%($$e)%!".• A)>+,"-e)#e " +,& < >)(+,& $e&#")#e&.

••

•• O'ser7aciones:

• F ()#, e e(!+!=$!,.• L,& #$e& %e)#$,& e +,& %!$%()%*$%(+,& e#e$-!)") () #$!>)(+, e(!+>#e$, Te,$.

N",+e6)

• S!C B A

∆

e& "$=!#$"$!, / %,)&#$(!-,& #$!>)(+,& !&6&%e+e& e) 0e& e e(!+>#e$,& e ="&e& AB' BC / AC +"& $e%#"& AP' B / CR &!(e) &!e), %,)%($$e)#e&.

•• ••

4



ANE:O II

• TRANS+ORMACIONES GEOMTRICAS• Introducción•• Una transformación en el lano es !na f!nción "!e asocia a cada !nto del lano !n

!nto de #ste$

• %eamos& or e'emlo al(!nas de las transformaciones "!e odemos reali)ar con !na

fi(!ra*

• + odemos mo,erlo - cam.iar s! osición/

• + odemos amliarlo o red!cirlo/

• + odemos ro-ectarlos en ersecti,as so.re el ael/

• + odemos di.!'arlo en !na l0mina el0stica - estirarlo 1asta deformarlo

ar.itrariamente$

• 2os interesa est!diar*

• +En c!0les de estas transformaciones se mantiene las lon(it!des 3distancias4

• +En c!0les se mantiene los 0n(!los

• +En c!0les se mantiene los !ntos alineados

• +En c!0les se mantiene el ordenamiento de los !ntos

• +En c!0les se mantiene las aralelas& 0reas& etc$

•

• 2osotros tra.a'aremos en el lano e!clidianoπ

$

•

• Definición* Una transformación (eom#trica es !na f!nción o alicación: / π π →

"!e adem0s conser,a roiedades li(adas a la (eometr5a del lano$•• Es decir consideraremos los mo,imientos como !na corresondencia de !ntos& la

desi(naremos con la letra ma-6sc!la /

& sea '

!n !nto del lanoπ

& el !nto "!e la

transformación /

asocia a '

se denota or

( ) / '

- se llama ima(en o transformado

de '

or la transformación /

•

( ) Z / ' ' =

• Propiedades:•7$ Comosición o rod!cto de transformaciones* es la oeración de alicar

s!cesi,amente dos 3o m0s4 transformaciones en el mismo lano$ Es decir& dadas dos

transformaciones&

1 / / /

& la transformación "!e se asi(na a cada !nto '

del lano

42



π

el !nto

( )( ) 1 / / '

se llama comosición o rod!cto de las transformaciones

1 / / /

& se nota or 1

/ / o

$ Es decir

( ) ( )( ) 1 1 / / ' / / ' =o

•8$ El rod!cto o comosición de transformaciones (o)a de la roiedad asociati,a*

( ) ( )2 1 2 1 2 1 / / / / / / / / / = =o o o o o o

• 9$ 2o necesariamente es conm!tati,a la comosición de transformaciones

•:$ ;e llama transformación identidad a la transformación del lano or la c!al cada

!nto del lano se corresonde consi(o mismo& la denotamos con 3

& se ,erifica* 3 / / 3 / = =o o

& con

/

transformada c!al"!iera$

<$ ;i la transformación es .i-ecti,a& tenemos*

• /

es !na f!nción .i-ecti,a ⇒

1 / −∃ transformación inversa 3 es a"!ella "!e a

cada !nto del lano le asi(na s! 6nica reima(en or /

4 tal "!e

•

1 1 / / / / 3 − −= =o o

donde 3

* transformación identidad

•$ C!ando se formen rod!ctos de !na transformación or si misma& tales como

, / / / / / o o o

& !tili)aremos la notación

2 , / / & resecti,amente

• Involución o transformación in,ol!ti,a*

• /

es in,ol!ti,a ⇔

/ 3 = o sea

1 / / − =

•

>$ Punto fijo o invariante 3do.le o !nido4* ' π ∈

& transformación de /

& se dice "!e

' es fi'o si

( ) / ' ' =

3al alicarle la transformación se o.tiene el mismo !nto4$

•

?$ Recta fijo o invariante: ;e dice "!er

es recta fi'a si *

( ) / r r =

• @o c!al no "!iere decir "!e si ' r ∈

-r

es fi'a ⇒

( ) / ' ' =

•• Transformaciones Rígidas•

44



P

Q

A

B

• ;i se considera en el lano !na fi(!ra r5(ida& es decir "!e no !eda cam.iar de

tamao ni de forma& lo 6nico "!e !ede ,ariar en ella es s! osición en el lano$@lamamos a estas transformaciones mo,imientos r5(idos& !es es !n mo,imientodonde la 6nica transformación "!e se o.ser,a es el cam.io de osición& es decir& "!ela fi(!ra no se deforma$

• + E'emlos* con(r!encia traslaciones + rotaciones simetr5as$• + Contrae'emlo* seme'an)a + 1omotecia

• enemos las si(!ientes roiedades en las transformaciones r5(idas*

+ @as transformaciones r5(idas del lano son transformaciones .i-ecti,as tales "!edada c!al"!ier recta s! ima(en es !na recta -& an0lo(amente& dada c!al"!ier semirrecta s! ima(en es !na semirrecta$

+ @a transformación "!e se o.tiene de comoner dos transformaciones r5(idas esr5(ida$

+ @a in,ersa de !na transformación r5(ida es r5(ida$+ ;i !n se(mento se transforma en otro se(mento or !na transformación r5(ida& - !no

c!al"!iera de ellos est0 incl!ido en el otro& entonces dic1os se(mentos son i(!ales$ An0lo(amente ara 0n(!los$

+ Dadas dos semirrectas c!ales"!iera& eiste !na transformación r5(ida - sólo !na "!etransforma !na semirrecta en la otra& - !n determinado semilano limitado or larimera en !n determinado semilano limitado or la se(!nda$

•••••

• TRANSFR!A"IN#S $#!%TRI"AS #N #& P&AN•

• I' TRAS&A"I(N

•

• Definición: ;e tiene !n se(mento orientado AB

& la traslación definida or ese

se(mento AB

es 3P4=

'<

es e"!iolente al AB

••

••

•••

4<

E"!iolente*i(!al mod!lo&

dirección -sentido



• ó .ien dado !n ,ector li.rev

& !na traslación de ,ector v

en el lano es tam.i#n !na

f!nción en la "!e a cada !nto P del lano le corresonde como ima(en otro !nto P&

de modo "!e el ,ectorZ '' es e"!iolente a

v

• 3P4= P = P v

• )servaciones:•• + C!ando la traslación se alica a !na recta si(nifica alicarla a cada !na de

s!s !ntos 3.asta trasladar dos !ntos c!ales"!iera de ella4$

• + Para alicar !na traslación a !n ol5(ono& .asta 1acerlo con cada !no de s!s

,#rtices$

• + Para o.tener el trasladado de !n c5rc!lo .asta trasladar s! centro - tra)ar con

este n!e,o centro otro c5rc!lo del mismo radio

• + @as traslaciones conser,an las distancias& los 0n(!los& alineación - orden de!ntos& 0reas$

••

•••••••

•• Traslación id*ntica' +ector nulo•• Definición: ;e llama ,ector n!lo al ,ector c!-o ori(en coincide con s! etremo$

• 2otación AA

&%

•• Definición: @a traslación "!e transforma todo !nto del lano en si mismo se llama

traslación id#ntica o identidad$

• 2otación

T T AA %

T T 3 uuur ur

•• )servación

• + En la traslación id#ntica todos los !ntos son !nidos

' ' T %

=O

4

A

B

C

,

CG

AG

BG



• + ;iov ≠

entonces no tiene !ntos fi'os$

• + ;ivr cc

entonces r es recta fi'a$

• "omposición de traslaciones•• + @a comosición de dos traslaciones es otra traslación 3es !n caso artic!lar de la

comosición de f!nciones4$

• + @a comosición de traslaciones es conm!tati,a*vuvuuv

T T T T T +

==

• P

PG

PGG

!

,

!H,

•

• Tras.ación in7ersa T1"vv

T T −

− =1O

• +7 o = o +7 = I

• 3P4 = P ⇒ +7 3P4 = P

• +7 o 3P4 = P - o +73P4 = P

•

•

• Propiedades de la adición de vectores , la composición de traslaciones'•• P!esto "!e la traslación "!eda determinada or !n ,ector& odemos ded!cir las

roiedades de la comosición de traslaciones& de las roiedades de la adición de,ectores$

••• + @a adición de dos ,ectores es otro

,ector$

•• + @a adición de ,ectores es asociati,a$

•

• + El ,ector n!lo es elemento ne!tro ara laadición de ,ectores

•• + @a s!ma de !n ,ector - s! o!esto es !n

,ector n!lo

•• + @a adición de ,ectores es conm!tati,a

•• ∴@a estr!ct!ra del con'!nto de los

•• + @a comosición de dos traslaciones es

otra traslación$

• + @a comosición de traslaciones es

asociati,a$

•

• + @a traslación id#ntica es elemento ne!troara la comosición de traslación

•• + @a comosición de !na traslación - s!

in,ersa es la identidad$

•• + @a comosición de traslaciones es

conm!tati,a$

•

4

N O ZN O ZZ

N ZO ZZ

u

u v

v

T ' ' T ' '

T ' ' +

= =

=

r

r r

r



,ectores del lanocon la adición 3%$4 es (r!o a.eliano

•

• ∴Estr!ct!ra del con'!nto de traslaciones en el

lano con la comosición 3& o4 es (r!oa.eliano$

•

••

•

• II. ROTACIÓN

•

• Definición* Dado !n !nto fi'o O ∈π - !n 0n(!lo orientado α

• R 3O& α43P4 = tal "!e

X X

%< %'

'%< α

=

=

•

P

OPG

)servaciones•

• + Para o.tener las rectas trasformada mediante !na rotación& .asta o.tener los

trasformados de dos !ntos de la recta mediante esa rotación$ Un rocedimiento m0scómodo ara el anterior& es tra)ar desde el centro de rotación la distancia a la recta

dada& 1acer (irar esta distancia el 0n(!lo de (iro corresondiente& - or el ie de ladistancia "!e 1a (irado& tra)ar la erendic!lar

• + ;i dos ,ectores son aralelas& s!s transformadas or !na rotación& son tam.i#n

aralelas

• + ;i dos rectas son erendic!lares& s!s resecti,as trasformadas or !na rotación

tam.i#n son erendic!lares$

• + Para alicar la rotación a !n ol5(ono& .asta 1acerlo con cada !no de s!s

,#rtices$

• + @as rotaciones conser,an la distancia& los 0n(!los$

••

•••

••••

Rotación Id*ntica' -ngulo Nulo

4

A

C

B

O

AG CG

BG



•• Definición: ;e llama 0n(!lo n!lo al 0n(!lo c!-os lados coinciden$

X XX U\ T T A%A %µ =

•

• Definición: @a "!e trasforma todo !nto del lano en si mismo se llama rotaciónid#ntica o identidad$

• ' ' % ' % + 3 == X'N

••

•

)servación•• + ;i P = O s! ima(en es O& entonces P es !nto fi'o$

• + ;al,o en los casos

\1EU'\UX =∝& no 1a- rectas fi'as$

•• "omposición de Rotaciones "onc*ntricas$

•• ;i tenemos dos rotaciones del mismo centro O* R3O& α4& R3O& β4

• @a comosición de dos rotaciones conc#ntricas es otra rotación del mismo centro

c!-o 0n(!lo de (iro es la s!ma de los 0n(!los de (iro de las rotaciones dadas$

• R3O& β4 o R3O& α4 = R3O& α β4 = R3O& α4 o R3O& β4

••

• Rotación inversa

• R3O& α4J+7 = R3O& + α4

•

• R+7 o R = R o R+7 = I / R+7 o R 3P4 = P / R o R+7 3P4 = P

Propiedades de las adición de los .ngulos orientados , de la composición de

rotaciones del mismo centro

• + @a adición de 0n(!los orientados es otro

0n(!lo orientado$

• + @a adición de 0n(!los orientados es

asociati,a$

• + El 0n(!lo n!lo es ne!tro ara la

adición de 0n(!los$

• + @a s!ma de dos 0n(!los o!estos es el

0n(!lo n!lo$

• + @a comosición de dos rotaciones

conc#ntricas es otra rotación$

• + @a comosición de rotaciones conc#ntricas

es asociati,a

• + @a rotación id#ntica es el elemento ne!tro

ara la comosición de rotaciones

• + @a comosición de dos rotaciones in,ersas

es la identidad$

4



• + @a adición de 0n(!los orientados es

conm!tati,a$

•• ∴@a estr!ct!ra del con'!nto de 0n(!los

orientados con la adición 3A&4 es (r!o a.eliano

• + @a comosición de rotaciones del mismo

centro es conm!tati,a

•• ∴ Estr!ct!ra del con'!nto de rotaciones del

mismo centro con la le- de comosición3R& o4 es (r!o a.eliano

•••

)servaciones•• + Comosición de rotación con traslación no es conm!tati,a*

vvT % +% +T OX'OX' ∝≠∝

•

•••••

III' SI!#TR/A "#NTRA&•

•

• Definición: Dado !n !nto O∈π& la simetr5a del centro O es

tal "!e

• ;o 3P4=P ⇔ O es el !nto medio de PP••••• Propiedades*

•

• + Es in,ol!ti,a* ;O o ;O =

%>

= I ⇒ %% > > =−1

•• + iene !n 6nico !nto fi'o "!e es O$ @as rectas "!e asan or O& son rectas fi'as$

•• + R3O&7?KL4 = ;O

•• + Comosición de dos simetr5as centrales 3de distintos centros4 es !na traslación de

,ector

%%

<



•Z.Z %%%% T > > =

• En efecto*

• PPP es !n tri0n(!lo&Z%% es .ase media del tri0n(!lo& entonces

ZZZ %% '' = -

ZccZZ %% '' $ @!e(o

ZZZ %% '' =

•

P

O

OG

PG

PGG

•

•

( )ZZ Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z '' '' ' ' %' ' % %' ' % %%= + = + = + =

••

• IF/ SIMETR,A A:IAL

•• Definición* Dada !na recta r& se llama simetr5a aial de e'e r a la transformación ;r

definida or ;r 3P4 = P ⇔ r es mediatri) deZ ''

•

•

=G

P

s=sG

PG

• r

••• "omposición de dos simetrías a0iales*

<1

)servaciones*

+ ;O o ;O = 8OO

+ 2o es conm!tati,a* ;O o ;O ≠ ;O o ;O

+ , o ;O ≠ ;O o ,

Propiedades

+ odos los !ntos del e'e son !ntos fi'os&or lo tanto r es !na recta fi'a$+ @as rectas erendic!lares al e'e sonrectas fi'as$

+ Es in,ol!ti,a* ;r o ;r = ;r 8 = I ⇒ ;r

+7 = ;r



•• Primer caso* @os e'es se cortan

•• 74 @os e'es son o.lic!os - forman !n 0n(!lo α

• ;r o ;r = R 3O& 8α4

• ;r o ;r = R 3O& +8α4

•• E) e8e%#,

•

r

O

P

PG

PGG rG

• 84 @os e'es son erendic!lares

•

•

r

r

P

PP

O

••• "onclusión: • Al comoner dos simetr5as aiales de e'es conc!rrentes se o.tiene !na rotación de

centro en el !nto de intersección de los e'es - de 0n(!lo do.le del "!e forman dic1oe'es$ Rec5rocamente dada !na rotación R3O& γ 4 es osi.le eresarla como rod!cto

3o comosición4 de dos simetr5as aiales ;r - ;r de e'es r - r "!e asen or O -

tales "!e

γ X

1ZX =r r

la recta r 3ó r4 !ede ele(irse ar.itrariamente$

••

<

C,-, ZZZ %' %' %' ==

,$ e8!)!%!6)e &!-e#$*" /

En efecto* alicando como !n caso artic!lar delrimero

;r o ;r = R 3O& 8$MKL4 = R3O&7?KL4 =;O 3simetr5a central de centro O& intersección de lose'es4

rGr

O



•••••

••• ;e(!ndo caso* E'es aralelos

•

r

rG

P

PG

PGG

R

RG

;

•

••

• "onclusión*

• Al comoner dos simetr5as aiales de e'es aralelos se o.tiene !na traslación de

,ectores erendic!lares a los e'es - de mod!lo i(!al al do.le de las distancias entre los

e'es$ Rec5rocamente toda traslación , !ede eresarse como el rod!cto

3comosición4 de dos simetr5as aiales de e'es aralelos 3r r4 - erendic!lar av

&

tales "!e el ,ector orto(onal a ellos "!e ,a de r a r es i(!al a

v

.

1

$ El e'e r 3ó r4!ede ele(irse ar.itrariamente$

•

•

•

•

•

• + @a simetr5a aial* no es conm!tati,a& ni asociati,a* ;r o ;r ≠ ;r o ;r 3sal,o si r ⊥r4

•

<2

;r o ;r = 8RR siendo R∈r R∈ r - RR⊥ r

En Efecto*

;ea r r& el !nto R∈ r$ ;e tra)a la erendic!lar a

r or R - o.tenemos R∈ r

;r 3P4 = P - ;r 3P4=P

enemos*ZZZZZZZZZ ++>T T ' >' ' ' '' '' ==+=+=

++r r T > > iZ =



+' SI!#TR/A D#S&I1ADA

•

• Definición* sea r !na recta - ,ectorv

aralelo a r$ @a simetr5a desli)ada de e'e r

- ,ectorv

se define or

• D3r&v

4 = v

o ;r = ;r o v

•

r

, P

PG

EG PGG

•

•

"omposición de una simetría a0ial , una central•• enemos dos casos se(6n "!e O∈ r& O ∉ r

•• Primer caso* Donde O∈ r

•• enemos la recta r - el !nto O∈ r/ sea la recta s⊥ r or O

• Entonces* ;O = R3O& 7?KL4

• = ;s o ;r

• = ;r o ;s

•• @!e(o* ;r o ;O = ;r o ;r o ;s = I o ;s = ;s

• ;O o ;r = ;s o ;r o ;r = ;s o I = ;s

••

"onclusión:• En c!al"!ier caso& ;r o ;O = ;O o ;r = ;s da !na simetr5a aial de e'e erendic!lar a r

or O$

••• ;e(!ndo caso* O ∉ r

<4

Propiedades

+ ;iendo v

≠ K ⇒ no tiene !ntos fi'os& - r es

la 6nica recta fi'a$

+ D3r&v

4 J+7 = 3 v

o ;r 4+7

= ;r +7 o

v

+7

r O

P

PG

PGG

G

s



•• ;e tra)an las rectas s ⊥ r - t r & am.as or O

• Entonces ;O = ; t o ;s 374

• = ;s o ; t 384

•

• @!e(o* ;r o ;O = ;r o ; t o ;s alico 374

• =Z%%

T

o ;s como r t

• = D 3s&

%%4

Z%% s

•

• ;O o ;r = ;s o ; t o ;r alico 384

• = ;s o%%

T

t r

• = D 3s&

%%

4 s

%%Z

•• Entonces ;O o ;r ≠ ;r o ;O

•• "onclusión*

• @a comosición de !na simetr5a aial - !na central es !na simetr5a desli)ada de e'e

erendic!lar a r or O con !na traslación 3"!e es diferente se(6n el orden en "!e setome& los ,ectores son o!estos4 i(!al a 8 ,eces el ,ector "!e determinan la distanciadel !nto O a la recta r$ Rec5rocamente& toda simetr5a desli)ada !ede eresarsecomo el rod!cto de !na simetr5a central or !na aial - ,ice,ersa

•

•

"omposición de una Simetría A0ial , una Rotación•

• O∈ r ⇒ ;r o R 3O& α 4 = R3O& α4 o ;r = ;imetr5a Aial

• O ∉ r ⇒ ;r o R 3O& α 4 ≠ R3O& α4 o ;r

••

"omposición de una Simetría A0ial , Traslación•

• r no aralelo av

⇒ ;r o v

≠ v

o ;r

• r v

⇒ ;r o v

= v

o ;r = D3r&v

4

•• +I' 2!T#"IA

•• Definición*

<<

t

s

OG

O

r



•• Dados !n !nto O - !n n6mero real N ≠ K& se llama 1omotecia de centro O - ra)ón

N& a la transformación "!e alica P en P tal "!e

%' 7 %' .Z =& es decir*

+ P

%' ∈3recta4

+ P%' ∈

& si N K$

+ P ∈ semirrecta o!esta de%'

& si N K

+

%' 7 %' . =$

• )servaciones:•

+ 2otación* H3O& N4+ El !nto O es !nto fi'o/ las rectas "!e asan or O& son rectas fi'as$

•• Geom#tricamente*

•a3 Imagen de un punto

• H3O& N43P4 = P Z%' 7 %' =

•

%+%+7

%<%<7

%' %' 7

.2

Z......2c

.Z.......

.Z........

==

−=−=

==

•)3 Imagen de un segmento

•• H3O&N43P4=P∧ H3O&N434=

• ⇒

7 %<

%<

%'

%' ==

374 ⇒

ZZcc < ' '<

• ra)amos or P la aralela a O&• "!eda determinado el !nto R

• En el ∆OP *

+<

< '

%'

%' ZZZ=

384

• En el aralelo(ramo PR*

'< +< =Z

394

<

O

P

PG

RG R

G

O

P

PG

G

R



• Reemla)ando 394 en 384 - 374 *

7 '<

< '

%'

%' ==

ZZZ

• En consec!encia* la ima(en de !n se(mento

'<

or !na 1omotecia de centro O -

ra)on N es otro se(mento

ZZ< '

tal "!e* i$

'<< ' ccZZ

• ii$

7 '<

< ' =

ZZ

3la ra)ón entre los se(mentos es i(!al a la ra)ón

de la 1omotecia4

•c3 Imagen de un vector

•

7 '<

< ' '<< '

< ' '<7 % H

=

→

ZZccZZ

ZZ:O'N

••

•d3 Imagen de una recta

•

ZccZ:'N r r r r 7 % H ⇒→

• oda recta se transforma en !na recta

• aralela a ella$

••e3 Imagen de un .ngulo•

• + ;i N K los 0n(!los tienen los lados aralelos -

• diri(idos en el mismo sentido$

•• + ;i N K& los lados son aralelos - diri(idos en

• sentido contrario$•• + Dos 0n(!los 1omot#ticos son con(r!entes$

••f3 Imagen de un polígono

••

<

O

PG

G

P

O

P

PG

G

r

r G

O

P R

PG

G

RG

GG

RGG PGG

o

A

B

C

CG

BG

AG

CGG

BGG

AGG



• @as 1omotecias son transformaciones directas&

• conser,an la orientación del lano

•

••

"omposición de 2omotecias del mismo centro•• H3O& N84 o H3O& N74 = H3O& N74 o H3O& N84 = H3O& N8$ N74

• En efecto$

• H3O& N84 o H3O& N74 J 3P4 = H3O& N84 H3O& N74 3P4 J

• = H3O& N843P4 /

%' 7 %' .Z 1=

• = P /

%' 7 7 %' 7 %' ..Z.ZZ 1 == como N7 - N8 son

n6meros reales$

• = H3O& N7$N84 3P4•+ oda Homotecia tiene in,erso* H3O& N4 J +7 = H3O& 7N 4$

• En efecto* H3O& N4 3P4 = P tal "!e

[ ] %' 7

%' %' 7 %' %' 7 %' .1

Z.Z.Z 11

=⇒=⇒= −−

+ Eiste 2e!tro*

• N=7 ⇒ H3O& 74 = I 3Identidad4 / N = +7 ⇒ H3O&+74 = ;O

•+ @as 1omotecias del mismo centro forman !n (r!o a.eliano$

•

• RTA"I(N DI&ATADA 4 2!&$/A 5directa3•• Dado !n !nto O& !n n6mero real N& - !n 0n(!lo α& se define *

•• R3O& N& α4 = H3O& N4 o R3 O& α4 = R3 O& α4 o H3O& N4

•• SI!#TR/A DI&ATADA 5opuesta3•

• ;iendo O ∈ r& se define*• ;3O& N & r4 = H3O& N4 o ;r = ;r o H3O& N4

• )servaciones

+ De am.as se !ede decir* "!e m!ltilican las lon(it!des or | N | / alican rectas

en rectas/ conser,an el orden de los !ntos/ conser,an los 0n(!los/ O es !ntofi'o$

<



+ En rotación dilatada* no 1a- otro !nto fi'o/ no 1a- rectas fi'as& eceto si α =

7?KL& en este caso R3O& N& 7?KL4 = H3O& +N4$+ En simetr5a dilatada* 2o 1a- otro !nto fi'o& eceto en simetr5a aial recta fi'a r - s

⊥ r or O

• Inversas•• R3O& N& α4 J +7 = R3O& α4 J+7 o H3O& N4 J+7 = R3O& +α4 o H3O& 7N 4 = R3O& 7N& +α4

•• ;3O& N& r 4 J+7 = ;r

+7 o H3O& N4 J+7 = ;r o H3O& 7N4 = ;3O& 7N & r4

•• En las rotaciones - simetr5as dilatadas& siemre !ede s!onerse N K

•+ N K ⇒ R3O& N & α 4 = H3O& N 4 o R3O& α4

• = H3O& +N 4 o H3O& +74 o R3O& α4

• = H3O& +N 4 o R3O& 7?KL4 o R3O& α4

• = H3O& +N 4 o R3O& 7?KL α4• = R3O& +N & α 7?KL4

+ N K ⇒ ;3 O& N& r 4 = H3O& N 4 o ;r

• = H3O& +N 4 o H3O& +7 4 o ;r

• = H3O& +N 4 o ;O o ;r

• = H3O& +N 4 o ;s donde s ⊥ r or O

• = ;3O& +N& s 4

••• FII/ ISOMETRIAS•

• Definición: Una transformación del lano se llama isometr5a ⇔ conser,a la distancia

entre los !ntos

• F*π π es isometr5a ⇔ ∀ P& ∈ π *

'<< / ' / =NN

•

P

8&7= cm

F3P4

F34 F3P4

F34

8&7= cm 8&7= cm

•• Propiedades•• 74 oda isometr5a conser,a la alineación - orden de !ntos

<



a4 ;i esta entre P - R& entonces esta entre P - R& es decir& conser,a la relaciónQestar entre& or lo tanto alica semirrectas en semirrectas - se(mentos ense(mentos$

.4 ;i P& & R son !ntos alineados$ Entonces P& & R tam.i#n de.en estar alineados& es decir alica !ntos de !na recta en !ntos de !na recta$

c4 oda isometr5a transforma rectas aralelas en rectas aralelas& de a"!5 "!e si se

!ne con .4 res!lta "!e si se alica en semilanos se o.tiene semilanos$• d4 oda isometr5a conser,a el 0n(!lo de dos semirrectas& en artic!lar alicar

rectas erendic!lares en rectas erendic!lares$

•

4 Dadas dos semirrectas AB

-ZZ B A ele(idas ara cada !na de ellas !no de los

semilanos "!e determina& eiste !na - sola !na isometr5a "!e lle,a AB

aZZ B A - el

semilano ele(ido limitado or AB

en el semilano limitado orZZ B A

•

• A

AGB

BG

rientar el plano significa:• Orientar el sentido del 1a) del ra-o "!e sale de cada !nto$

Orientar el recorrido del contorno de c!al"!ier ol5(ono con,eo$

O .ien ara cada semirrecta ele(ir !na de s!s lados 3derec1a o i)"!ierda4••• En (eneral ara orientar el lano& .asta ele(ir !n sentido del recorrido ara !n 1a) en

artic!lar& !n ol5(ono& o ele(ir !n lado de !na semirrecta ara "!e "!ede orientado ellano& !es todas las elecciones se transmiten a c!al"!ier 1a)& ol5(ono o semirrecta$4$

•• @!e(o& las isometr5as !eden mantener o cam.iar la orientación del lano$ @as

isometr5as se clasifican en directas - o!estas se(6n conser,an o no la orientación dellano$

•

• Primer m#todo*

")#!,$"$!,

,$"$!,



•

A

B

C

AG CG

BG

AG

CG

BG

Isometr5adirecta

Isometr5ao!esta

•• ;e(!ndo m#todo*

• Podemos indicar !na isometr5a oniendo !na ra-a en los lados de las semirrectas "!e

de.en corresonderse$

•••

••

•

•

•

•

•

•

• @a comosición de isometr5as directas - o!estas si(!en !na re(la an0lo(a a la de los

si(nos del rod!cto de n6meros& asi(nando 34 a las directas - 3+4 a las o!estas$• dir $ dir = dir o$ o= dir dir$ o= o

••• )servación: • ;i .ien !na transformación es !na corresondencia& en la r0ctica lo ,emos

f5sicamente como mo,imientos& las isometr5as directas corresonden a mo,imientos"!e !eden rod!cir !n imacto desli)ando el lano so.re si mismo& las o!estas encam.io ei(en !n re.ote en el lano$

•• @as transformaciones est!diadas 3son isometr5as4 de ac!erdo a la clasificación son*

• + @as isometr5as Directas* raslación Rotación+ ;imetr5a Central$• + Isometr5as O!estas* ;imetr5as aiales+ ;imetr5a desli)ada$

••• Propiedad*

•

1

I&.D!$e%#"

B B !7.

!7 e$A A

I&. O(e&#"



• Dados dos se(mentos con(r!entes AB

- ZZ B A& eisten eactamente dos isometr5as

"!e lle,an A a A - B a B& !na es directa - la otra es o!esta$

••

• Teorema 6*•• oda isometr5a es !na simetr5a aial o !ede eresarse como rod!cto de a lo s!mo

tres simetr5as aiales$ ;i la isometr5a tiene !n !nto fi'o& es !na simetr5a aial o !edeeresarse como rod!cto de dos simetr5as aiales$

• Demostración

•

• ;ean∆

ABC -∆

ABC& dos tri0n(!los con(r!entes "!e se corresonden en la

isometr5a F dada$

• O sea*

=

=

=

ZN

ZN

ZN

C C /

B B /

A A /

or la con(r!encia se ,erifica "!e *

==

=

ZZ

ZZ

ZZ

C B BC

C A AC

B A AB

& Y

≅≅

≅

C C

B B

A A

••• Distin(!imos tres casos*

•• "aso I* ;i A ≡ A - B≡ B& entonces*

••••••••••••

• "aso II* ;i A = A - B ≠ B$•••••••

AG=A BG= B

CG= C

CG

+ C ≡ C⇒ F = I 3identidad4& la c!0l se !ede

considerar como el rod!cto de !na simetr5aaial consi(o mismo$

+ C ≠ C ⇒ C - C son sim#tricos resecto

AB

AB>

;ea r .isectri) deZX B A B & o sea r mediatri) de

Z BB$

;ea G la isometr5a definida or G = ;r o F 374

@!e(o G3A4 = A - G3B4 = B ⇒ G es !na isometr5a "!e

est0 en las condiciones del Caso I *

==

t AB > >

3 G

⇒ De 374& tenemos* ;r +7 o G = F ⇒

== r r > 3 >

/

AG= A

B

BG



•••••

• "aso III* ;i A ≠ A & B≠ B - C≠ C 3esto no imlica "!e 1a-a otros !ntos "!e no seanin,ariantes4 $

•••••••••

•••••••••••

•• )servación*

•• Considerando F no id#ntica& o sea I = ;7 o ;7&

• enemos*

=

opuesta> > >

fi?o punto@natiene / directa> >

fi?o punto@natiene / opuesta>

/

+ '

+ '

21

1

1

• @a directa reresenta el rod!cto de 8 simetr5as aiales/

• @a o!esta reresenta !na simetr5a aial o rod!cto de 9 simetr5as aiales

••• Teorema 7*

•

• oda isometr5a directa es !na traslación o rotación$

•

2

;ea t la mediatri) deZ AA$

Dada la isometr5a H = ;t o F 384

H3A4 = 3;t o F 4 3A4 = ;t F3A4J = ;t3A4 = A ⇒ H es !na

isometr5a "!e de'a fi'o a A ⇒ H est0 en el Caso II 3 o en

el Caso I 4$

⇒

=

2

1

r r

r

> >

>

3

H

⇒ De 384& tenemos* ;t+7 o H = F

==t 3 >

#

A A



• Demostración$

• ;i F es !na isometr5a directa 3or o.ser,ación del eorema 74 ⇒

=r r > >

3 /

Z

• @a Identidad !ede considerarse !na raslación de ,ector n!lo o como !na rotacióncon α = KL

•

• ;i F = ;r o ;r & entonces *

⇒⇒

rotaci)nunaes> > r a paralelaesnor

traslaci)nunaes> > r r

r r

r r

Z

Zcc

Z

Z

•• "orolario*

•• Una isometr5a directa "!e ten(a al(6n !nto fi'o - no sea la identidad es !na rotación

alrededor de este !nto fi'o 3- no es traslación or"!e si 1a- al(6n !nto fi'o& lo tienea todos - en ese caso es la identidad4$

••• Teorema 8: •• oda isometr5a o!esta "!e ten(a !n !nto fi'o es !na simetr5a aial$

• Demostración

•• Como tiene 7 !nto fi'o/ se elimina el caso III del teorema 7& comosición de tres

simetr5as aiales& entonces or la o.ser,ación 1ec1a de.e ser la simetr5a aial3o!esta4$

•• Teorema 9:•• oda isometr5a o!esta es !na simetr5a aial o !na simetr5a desli)ada$

• Demostración

•

• ;ea F isometr5a o!esta ⇒

= 1N

1N

12 333 CasoTeorema> > >

3 CasoTeorema> /

r r r

r

•• El 7er$ caso es simetr5a aial con lo "!e "!eda ro.ado el teorema& falta ,er el caso de

la comosición de 9 simetr5as aiales& si .ien se !ede tratar directamente estacomosición 3se 1ace en r0ctica4& ro.aremos el teorema or !n camino diferente$

• ;ean A - B dos !ntos distintos - A& B s!s im0(enes tal "!eZZ B A AB = or ser

isometr5a

• Por el teorema * F "!eda fi'ada con estos datos* A → A & B→ B - F o!esta

4



•

• ;ea O !nto medio de

Z AA

- sea G = ;O o F ⇒ G eso!esta

•

• Dir$ O$

• ;O=R3O&7?KL4

•• Como G3A4 = 3;O o F43A4 = ;O F3A4 J = ;O 3A4 = A ⇒ G es !na isometr5a o!esta

con !n !nto fi'o ⇒ G es !na simetr5a aial or eorema anterior* G = ;r ⇒ G = ;O o

F

• ⇒ F = ;O+7 o ;r = ;O o ;r ⇒

∉

∈desliada simetrar %

axial simetrar %

.

•

• "orolario:

•

• Una isometr5a o!esta "!e no ten(a !nto fi'o es !na simetr5a desli)ada de ,ector no

n!lo$

•

•• %eamos en detalle la constr!cción corresondiente al teorema anterior*

•

•

A

B

3 S 4

BG

AG

3 S 4

O

BGG

r

s

OG

••

<

Para esecificar !na isometr5a damos !n

se(mento AB

& - marcamos con !na ra-a 3+4 loslados de dic1o se(mento "!e de.encorresonderse$

7$ ;e determina O !nto medio deZ AA

8$ ;e alica G = ;O o F a los !ntos A - BG3A4 = AG3B4 = B 3simetr5a de B resecto de O4

9$ ;e constr!-e la mediatri) de ZZ BB & "!e

asa or A& llamada r$ 3 B = B ⇒ r = AB 4

:$ A1ora 1acemos ;O o ;r & tra)amos la

erendic!lar a r or O& denominada s* s ⊥



+III' S#!#AN1A•• Definición*

•• ;e llama seme'an)a a toda transformación del lano tal "!e eiste !na constante k

ositi,a 3ra)ón de la seme'an)a4& tal "!e si A → A& B→ B imlica "!e AB7 B A .ZZ =

•• Propiedades• @as isometr5as son caso artic!lares de las seme'an)as c!ando N = 7

Conser,an la alineación de los !ntos 3alica recta en rectas4$

Conser,a orientación de !ntos$

Conser,a el aralelismo - erendic!laridad de las rectas$

Conser,a 0n(!lo de las semirrectas$

@a comosición de 8 seme'an)as es otra seme'an)a c!-a ra)ón es el rod!cto de las

ra)ones de las seme'an)as dadas$

@a in,ersa de !na seme'an)a de ra)ón N es !na seme'an)a de ra)ón 7N 3

AB B A7

=ZZ1

4$ En res!men* el con'!nto de las seme'an)as es !n (r!o$

•• ;e clasifican en directas 34 - o!estas 3+4 se(6n conser,en o in,iertan la

orientación del lano$

•• @as 1omotecias - las rotaciones dilatadas son directas$

• @as simetr5as dilatadas son o!estas$••• Propiedad: !*todo de determinación•

7$ Dados dos ∆ ABC - ∆ ABC seme'antes eiste !na seme'an)a "!e alica el

rimero en el se(!ndo$

8$ Dado dos se(mentos AB

-ZZ B A eisten dos seme'an)as& !na directa - la otra

o!esta& "!e lle,an A→ A - B→ B

• *

••

En el di.!'o* Dados AB

-ZZ B A& el !nto P

comleto el ∆ APB - constr!-o so.reZZ B A



•••

••

a4 En el di.!'o se indica los semilanos corresondientes con !na ra-a 3+4 araesecificar !na seme'an)a directa$.4 ;e o.tiene el !nto P$

•

• 2ota* @as dos seme'an)as est0n relacionadas or la simetr5a aial de e'eZZ B A& es

decir& ;i ;7 es !na de las seme'an)as& la otra esZZ B A

>

$ Es decir*ZZ B A

>

o ;7 $ En cada

semilano 'B

B '

'A

A ' '

ZZZZZcM =∃

••• Teorema*

•• ;i !na seme'an)a alica cada recta& en !na recta aralela& entonces es !na

traslación o !na 1omotecia$

•• 32ota* ;e !ede s!rimir la condición de seme'an)a& esto es& se !ede decir "!e

si !na transformación en !n lano alica cada recta en !na recta aralela& entonces es!na traslación o !na 1omotecia$4

•

• Demostración$•• ;ea F !na transformación tal "!e ∀ recta r * F3r4 r$

• ;i F 3A4= A - s =Z AA& entonces F3s4 s - F3s4 asa or A

• o sea F3s4 = s es decir ∀ !nto A con A ≠ A& la rectaZ AA es fi'a$

•• Es e,idente "!e si dos rectas fi'as se cortan en !n !nto& dic1o !nto es fi'o& - "!e

todas las rectas "!e asen or !n !nto fi'o son fi'as$

•• ;i todas las rectas son fi'as& entonces F= I 3identidad4& ecl!-endo este caso$

•• ;ea r !na recta tal "!e F3r4= r ≠ r con r r$

• omamos A& B ∈ r ⇒ A& B ∈ r ⇒ Z AA -

Z BB son rectas fi'as$

• Distin(!imos dos casos*

•

$ F$& ≡F&

A A



• Primer caso*

•Z AA no aralela a

Z BB ⇒ O =

Z AA∩

Z BB 3!nto de intersección4 es !nto fi'o$

• ;ea N =

%A

%AZ

3se(mentos orientados& as5 N !ede ser ositi,o o ne(ati,o4••••••••••

• ;i P ∈ %A

& se ra)ona en forma an0lo(a !sando la recta%B

$

•• Segundo "aso:

•Z AA

Z BB ⇒ AA BB es !n aralelo(ramo - la traslación

Z AAT

lle,a A a A - B

a B

••

••••••••

• ;i P ∈ Z AA se ra)ona en forma an0lo(a& !sando la recta

Z BB$

••• "entro de una semejan;a' No Isom*trica$

•• Teorema I*•• oda seme'an)a "!e no sea isom#trica tiene !n !nto fi'o 3in,ariante4 - solo !no$

Ese !nto se llama centro de la seme'an)a$

A

A P P O

;ea P∈ r - P ∉ %A

⇒ P ∈ %'

- como P ∈ A'

⇒ P∈ a la recta aralela a A'

or A& o sea P

es la intersección de esa aralela con%'

$

%A%' ZZ

A

A P P

B B $ $

;ea P ∉

Z AA

& si f!era

Z ''

no aralela a

Z AA

& el !nto deintersección ser5a fi'o - tal como se ,io en el rimer caso

Z BB asar5a or dic1o !nto& lo c!al ser5a !na

contradicción "!e es Z AA$



•• Demostración

•• Demostraremos la !nicidad& des!#s ,eremos la eistencia

• ;ean O - O7 !ntos fi'os distintos ⇒ O = O - O7 = O7 /

1 1

Z

1 1

Z1

% % %%7

%% %%

= = = ⇒

Isometr5a 3contradicción !es se s!one "!e no es isometr5a4$

••• Teorema II •• oda seme'an)a directa "!e no sea isom#trica es !na rotación dilatada en

artic!lar !na 1omotecia$ 3En la rotación dilatada& si el 0n(!lo es cero& entonces"!eda sola la 1omotecia or eso es !n caso artic!lar$4

•

• Demostración•• ;ea ; !na seme'an)a directa de ra)ón N ≠7& sea O* !nto fi'o& centro de la

seme'an)a ;$

• ;ea ;7= H3O& 7N4 o ; / ;7 es seme'an)a directa or ser el rod!cto de 8 directas

de ra)ón 7 o sea ;7 es !na isometr5a directa ⇒ es traslación o rotación

• Pero ;7 tiene a O como !nto fi'o ⇒ ;7 es !na rotación de centro O ⇒ ;7 = R3O&

α4 ⇒ ; = H3O& 7N4 J +7 o ;7 = H3O& N4 o R3O& α4 = R3O& N & α4 rotación dilatada$

• En el caso de α = K ⇒ es !na 1omotecia

••

•• Teorema III *•• oda seme'an)a o!esta "!e no sea isom#trica es !na simetr5a dilatada$

•• Demostración$

•• ;ea ; seme'an)a o!esta de ra)ón N ≠7$ ;ea O centro de seme'an)a ;7

• ;7= H3O& 7N4 o ; ⇒ ;7 es !na isometr5a o!esta "!e tiene a O como !nto fi'o ⇒;7 es !na simetr5a aial* ;r con O ∈ r

• ⇒ ; = H3O& 7N4 J

+7

o ;r = H3O& N4 o ;r = ;3O& N &r4 simetr5a dilatada$

••

S! # ⊥$ ,$ O' e)#,)%e& S W H3O& N4 o ;r

= H3O& N4 o ;O o ;O o ;r

= H3O& N 4 o H3O& +74 o ;t

= H3O& +N 4 o ;t

= ; O +N t



••••

•

• enemos as5 otra eresión como !na simetr5a dilatada$ @as rectas r - t son rectasfi'as$

•• Teorema I: 3Demostración de la Eistencia4

• ;i la seme'an)a alica cada recta en !na aralela imlica or !n teorema re,io

"!e es !na 1omotecia$ 3no !ede ser !na traslación or"!e ser5a !na isometr5a4& lac!al imlica "!e tiene !n !nto fi'o4$

2os resta ,er el caso en "!e no 1a-a al(!na recta "!e se alica en !na recta

aralela a ella$ O sea eiste A& B tal "!e AB no aralela AB$

• A& B → A& B constr!imos so.re ellos aralelo(ramos seme'antes en los

semilanos corresondientes& se(6n sean directas ! o!estas& la seme'an)a ABCD → ABCD$ Determinamos los !ntos de intersección*

••• P = AB ∩ AB

• = BC ∩ BC

• R = CD ∩ CD

• ; = DA ∩ DA

•• ;ean P& R - P& R s!s im0(enes&

• ó sea O = PR ∩ PR• Como AB CD se !ede alicar el

• teorema de 1ales

• Z

Z

%+

%'

%+

%' =

374

••• 2ota* no !eden ser PR PR& !es ⇒ PR= PR 3!es PRRP ser5a !n

aralelo(ramo4 lo c!al contradice la s!osición de "!e no es !na transformaciónisom#trica$

•

• ;i O ∈ PR ⇒ O ∈ PR *

Z Z

Z Z

%' % '

%+ % +=

384 de la definición de seme'an)a$$

•

• De 374 - 384ZZ

ZZ

Z

Z

ZZ

ZZ

Z

Z

' %

+%

%'

%+

+%

' %

%+

%' =⇒=

D C

B A

AG

DG

CG

BG

PG

RG

P

R

E

O



•• Por lo tanto es ,0lido la si(!iente eresión

Z

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z

% ' % + %' %+ + ' + '

% ' %' % ' %'

+ += ⇒ =

⇒ OP = O P ⇒ O = O lo c!al r!e.a

"!e O es !n !nto fi'o$•• ;e !ede dar !na interretación (eom#trica del teorema de eistencia del

centro de !na seme'an)a no isom#trica de la si(!iente manera*

• ;e tiene 8 maas de la misma re(ión en diferentes escalas& si !na de ellos

se coloca de c!al"!ier forma so.re el otro 3sea de ad,erso o re,erso4& entonceseiste eactamente !n l!(ar& tal "!e los !ntos "!e lo reresentan en cada maase s!eronen 3nat!ralmente& en al(!nos casos dic1o l!(ar odr0 caer f!era delos l5mites de los maas4$

• @o anterior se '!stifica sencillamente* la corresondencia "!e asocia a

cada !nto de !n maa del otro maa "!e reresenta el mismo l!(ar es !naseme'an)a no isom#trica& 3-a "!e s!s escalas son diferentes4& directa si se coloca

del ad,erso& o!esta si se coloca del re,erso$• El centro de dic1a seme'an)a reresenta or lo tanto el mismo l!(ar en

am.os maas$

••

Transformaciones en el espacio de tres dimensiones'•

raslación*v

T

3i(!al "!e en el lano4$

•

;imetr5as Centrales* ;O 3i(!al "!e en el lano4$• Rotación alrededor de !n e'e* R 3e& α4

•• ;imetr5a resecto a !n e'e* R 3e& 7?KL4$

• ;imetr5a resecto a !na lano π* ;π

•• Homotecia H3O&N4 3i(!al "!e en el lano4$

• ;O = H3O&+74• Isometr5as - seme'an)as con la clasificación de directas - o!estas$

• Directas* conser,an la orientación el esacio 3se le da orientación al

esacio con !na terna de e'es& o .ien ordenando los ,#rtices de !n tetraedro4$

••

•

1

e

O

PG

P

O

P

PG

el lano es mediatri)del PPG



• $

•

••

••

•

• Derec1a I)"!ierda•• O!estas* or el contrario no reser,an la orientación del esacio$

•• raslaciones

• ;on directas Rotaciones alrededor de !n e'e

• Homotecia de ra)ón N K

••

• ;imetr5a central

• O!estas ;imetr5a resecto a !n lano

• Homotecia de ra)ón N K•• "omposiciones importantes•I4 Desla)amiento Helicoidal* Comosición de !na rotación alrededor de !n e'e

con !na traslación aralela al e'e$ Como la comosición de dostransformaciones directas& esta lo es& en c!al"!ier orden

•

v

•

••••

••

PG

P

PGG

PT



•II4 ;imetr5a Desli)ada* es la comosición de !na simetr5a

• resecto a !n lano con !na traslación$

• @a comosición es o!esta$

•

••••

•••••III4 ;imetr5a Rotada* es la comosición de !na simetr5a resecto a !n lano con

!na rotación de e'e erendic!lar al lano$

• @a transformación es o!esta$•••••••••

•

•I%4 Rotación Dilatada* es la comosición de !na rotación alrededor del !n e'e con

!na 1omotecia c!-o centro ertenece al e'e$

•••••

•••

••• "omposición de simetrías respecto a un plano$

•

7$ Planos Paralelos* raslación

Z'NZ π π π π d T > > =

8$ Planos ;ecantes* Rotación alrededor de la recta en "!e se cortan los lanos$

2

P ePT

PGG

PG

O e

PGG

PT

P

PG



• En artic!lar si los lanos son erendic!lares imlican !na rotación de

7?KL& simetr5a resecto a !na recta$$

• )servación•

7$ ;i comonemos tres simetr5as resecto a lanos erendic!lares de a dos res!ltala simetr5a central resecto al !nto com6n a los tres lanos$

•

•( ) %

%e

%

> e +

> > >

> > > >

=

=

=

1EU\'

ZZZ

π

π π π

•

• oda simetr5a central es !n caso artic!lar de simetr5a rotada$

••

•

•

8$ oda comosición de !na simetr5a resecto a !n lano con !na 1omotecia de

centro en !n !nto del lano 3simetr5a dilatada4 es !na rotación dilatada$

•

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) O ,$e TO%,)'\1EU'

'U

'

'

'1''

π π

π π

π

π π

⊥∈−=

−=

−=

−=

−−=

7 % H e +

7 H >

7 % H > > >

7 % H > >

7 % H % H > 7 % H >

e

e

%

••• "lasificación de las Isometrías$

•7$ oda isometr5a es !na traslación& !na rotación alrededor de !n e'e o !n

desla)amiento 1elicoidal$8$ oda isometr5a o!esta es !na simetr5a resecto a !n lano& simetr5a desli)ada o

!na simetr5a rotada$9$ oda seme'an)a no isom#trica es !na 1omotecia o !na rotación dilatada$

•••

•

4

e

O



•

Documents

Curso Lic Sem 1 Educ Mat