CursoControl v y Q Completo (1)

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CONTROL DE VOLTAJE Y POTENCIA REACTIVA

DR. JOSE HORACIO TOVAR HERNNDEZ

PRESENTACION

En un sistema elctrico de potencia ideal, el voltaje y la frecuencia en cada punto de suministro deben ser constantes y libres de armnicos, adems de que el factor de potencia debe ser unitario. En particular, estos parmetros deben ser independientes del tamao y las caractersticas de las cargas de los consumidores. En un sistema ideal, cada carga podra disearse para que tuviera un desempeo ptimo especificado, en lugar de tener un comportamiento adecuado ante un rango de valores de voltaje variando de manera impredecible. Adems, no debera haber interferencia entre las diferentes cargas como un resultado de las variaciones de corriente en cada una de ellas. Desde un punto de vista de flujos de potencia, esto podra verse como que cada nodo fuera un nodo de voltaje controlado, cuya carga variante a travs del tiempo no causara que su voltaje estuviera variando para cada valor de carga, es decir, que este voltaje en terminales tuviera un valor de regulacin cero. En funcin de esta referencia, puede establecerse una nocin de la calidad del suministro en trminos de qu tan constantes son el voltaje y la frecuencia en el punto de suministro y de qu tan cerca se est operando a un factor de potencia unitario. En sistemas trifsicos, el grado de balance de las corrientes y voltajes debe incluirse como una medida de la calidad en el suministro. Una definicin de calidad de suministro en trminos numricos involucra la especificacin de tales cantidades, como la mxima fluctuacin en el voltaje rms sobre un periodo de tiempo establecido. Especificaciones de este tipo pueden hacerse ms precisamente a travs del uso de conceptos estadsticos, y estos son especialmente tiles en problemas donde las fluctuaciones de voltaje pueden tomar lugar muy rpidamente (por ejemplo, en el punto de suministro de hornos de arco). Puesto que tales condiciones no se pueden alcanzar en un sistema elctrico de potencia, o ms simplemente, en un punto de suministro, debido a la interaccin que este tiene con el mismo sistema, se requiere ayudar al sistema a evolucionar a estados acercndose a la condicin operativa ideal. Esta ayuda, debe interpretarse como la manera de compensar las limitaciones que tiene el sistema para alcanzar tales estados operativos. Dentro de un esquema de compensacin, es comn la inclusin de dispositivos que, para un punto de suministro determinado, ante una cierta condicin operativa, permitan reducir

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los niveles de voltaje, mientras que, para otra condicin, permitan que el voltaje se incremente en magnitud. Hablando de observar los niveles de voltaje en todos los puntos del sistema, se requiere de plantear esquemas de compensacin coordinados de alguna manera, a fin de lograr un objetivo preestablecido. Esto resulta en observar que la distribucin de la potencia reactiva y sus reservas mantengan niveles adecuados en todo momento. El problema resulta ser relativamente complejo, debido a que las redes de transmisin son generadoras/consumidoras de potencia reactiva. El propsito de este curso es analizar el comportamiento de la potencia reactiva y el voltaje en sistemas elctricos de potencia. Para esto, se debe observar el comportamiento de cada uno de sus componentes, a fin de plantear esquemas de compensacin de potencia reactiva adecuados y lograr el objetivo de ofrecer un suministro con estndares de calidad aceptables, desde un punto de vista de voltaje.

OBJETIVO Proporcionar los conceptos fundamentales para el anlisis de sistemas elctricos de potencia en estado estacionario, desde un punto de vista de voltaje y potencia reactiva. Para ello, se establece el comportamiento de cada elemento del sistema de potencia ante estos parmetros y se formula la necesidad, desde un punto de visto operativo, de coordinar fuentes y reguladores de voltaje mediante el despacho de potencia reactiva y aplicacin de acciones correctivas. Se plantea el problema de inestabilidad de voltaje y algunas tcnicas para establecer ndices de proximidad al colapso de voltaje.

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NDICE

CAPTULO 1. COMPENSACIN LOCAL DE CARGA....................................................................... 1.1. Objetivos.................................................................................................................... 1.2. Concepto de compensador ideal........................................................ 1.3. Necesidades de compensacin de carga.................................................................... 1.4. Normas de aceptacin de la calidad del suministro....................................... 1.5. Especificaciones de un compensador de carga.......................................................... 1.6. Correccin de factor de potencia............................................................................... 1.7. Balanceo de fases....................................................................................................... 1.8. Regulacin de voltaje................................................................................................ 1.9. Regulacin de voltaje: formulacin aproximada................... Referencia............................................................................................................................

1 1 1 1 2 2 2 6

12 18 22

CAPTULO 2. LNEAS DE TRANSMISIN NO COMPENSADAS.................................................... 2.1. Modelado monofsico de lneas de transmisin................................................. 2.2. Lneas de transmisin no compensadas..................................................................... 2.2.1 Lnea de transmisin operando a su potencia natural...................................... 2.2.2. Lnea no compensada: circuito abierto............................................................. 2.3. Lnea simtrica no compensada................................................................................. 2.3.1. Lnea simtrica sin carga.................................................................................. 2.3.2. Operacin bajo-excitada de generadores debido a la corriente del efecto capacitivo....................................................... 2.3.3. Lnea no compensada bajo carga: efecto de la longitud de la lnea, factor de potencia, potencia de carga sobre el voltaje y la potencia reactiva............. 2.3.4. Lnea simtrica bajo carga............................................................................... 2.3.5. Lnea simtrica no compensada bajo carga: consideraciones de estabilidad y mxima potencia transmitida....................... 2.3.6. Expresiones alternas para requerimientos de potencia reactiva....................... 2.4. Cargabilidad de lneas de transmisin en sistemas elctricos longitudinales............. 2.4.1. Caractersticas de sistemas elctricos longitudinales....................................... 2.4.2. Cargabilidad en planificacin de sistemas elctricos de potencia.................... 2.4.3. Limitacin trmica........................................................................................... 2.4.4. Cada de voltaje................................................................................................ 2.4.5. Margen de estabilidad...................................................................................... 2.4.6. Cargabilidad en operacin de sistemas elctricos de potencia.........................

23 23 27 28 29 31 31

34

35 37

41 51 54 54 55 55 56 56 57

CAPTULO 3. COMPENSACIN DE LNEAS DE TRANSMISIN.................................................. 3.1. Introduccin............................................................................................................... 3.2. Compensacin ZC virtual............................................................................................ 3.3. Compensacin y por seccionamiento.................................................................. 3.4. Compensacin fija uniformemente distribuida........................................................... 3.5. Compensacin distribuida sobre el control de voltaje................................................ 3.6. Efecto de la compensacin distribuida sobre la potencia reactiva generada por la lnea................................................................................. 3.7. Efecto de la compensacin distribuida sobre la mxima potencia transmitida......... 3.8. Compensacin en derivacin regulada y uniformemente distribuida.........................

60 60 60 60 61 63 63 64 66

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CAPTULO 4. COMPENSACIN REACTIVA EN DERIVACIN..................................................... 4.1. Control de voltaje de circuito abierto con reactancias en derivacin......................... 4.2. Valores de los reactores en los extremos de la lnea.................................................. 4.3. Reactores en derivacin mltiples sobre una lnea de transmisin de gran longitud.................................................................. 4.4. Reactor o capacitor en el punto medio.......................................................................

71 71 71 77 78

CAPTULO 5. COMPENSACIN SERIE................................................................................................ 5.1. Objetivos y limitaciones prcticas............................................................................. 5.2. Lnea simtrica con capacitores serie y reactores en derivacin en el punto medio................................................................. 5.2.1. Caractersticas de transferencia de potencia y mxima potencia transmitida.......................................................... 5.2.2. Casos especiales............................................................................................... 5.3. Discusin final sobre compensacin serie y derivacin............................................ 5.3.1. Criterios de voltaje........................................................................................... 5.3.2. Datos y modelos del sistema............................................................................ 5.4. Conclusiones..................................................................

87 87 88 89 93 95 96 97 98

CAPTULO 6. MODELADO DE ELEMENTOS QUE INFLUYEN SOBRE EL VOLTAJE............. 6.1. Introduccin............................................................................................................... 6.2. Transformador............................................................................................................ 6.3. Cargas dependientes del voltaje................................................................................. 6.3.1. Modelo polinomial........................................................................................... 6.3.2. Modelo exponencial......................................................................................... 6.3.3. Modelo hbrido................................................................................................. 6.3.4. Obtencin de los parmetros de un modelo..................................................... 6.3.5. Caractersticas y parmetros de cargas ms comunes...................................... 6.3.5.1. Lmparas fluorescentes....................................................................... 6.3.5.2. Motores de induccin.......................................................................... 6.3.5.3. Aire acondicionado y calefaccin....................................................... 6.3.6. Valores tpicos de sensibilidades...................................................................... 6.3.7. Inclusin de modelos de carga en la formulacin del problema de flujos de potencia convencional............................................ 6.3.7.1. Derivadas parciales considerando el modelo con exponente de sensibilidad........................................... 6.3.7.2. Derivadas parciales considerando el modelo del polinomio de segundo grado........................................ 6.4. Curvas de capacidad................................................................................................... 6.4.1. Lmite de corriente en el estator... 6.4.2. Lmite de la corriente de campo....................................................................... 6.4.3. Lmite de calentamiento por subexcitacin de la mquina............................... 6.4.4. Curva de capacidad para el Generador de Rotor Cilndrico............................. 6.4.4.1. Definicin del modelo para estudios de flujos.................................... 6.4.4.2. Ejemplo de clculo de curva de capacidad......................................... 6.4.5. Curva de capacidad para el generador de polos salientes................................ 6.4.5.1. Definicin del modelo para estudios de flujos.................................... 6.4.5.2. Ejemplo 3............................................................................................

99 99 99 112 112 113 114 114 115 115 115 115 115 117 118 119 119 119 119 122 123 123 124 127 129 131

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CAPTULO 7. COMPENSADORES ESTTICOS DE POTENCIA REACTIVA............................... 7.1. Introduccin............................................................................................................... 7.2. Propiedades de compensadores estticos de potencia reactiva................................... 7.3. Principales tipos de compensadores estticos............................................................ 7.3.1. Reactor controlado por tiristores...................................................................... 7.3.1.1. Caracterstica fundamental de voltaje corriente.................................. 7.3.1.2. Armnicas........................................................................................... 7.3.2. Transformador controlado por tiristores........................................................... 7.3.3. TCR con capacitores en derivacin.................................................................. 7.4. Capacitor conmutado por tiristores............................................................................ 7.4.1. Principio de funcionamiento............................................................................ 7.4.2. Caractersticas voltaje/corriente....................................................................... 7.5. Compensador de reactor saturado.............................................................................. 7.5.1. Principio de operacin...................................................................................... 7.5.2. Caracterstica voltaje/corriente......................................................................... 7.6. Modelos de CEV para estudios de flujos de potencia................................................ 7.6.1. Modelo del condensador sncrono.................................................................... 7.6.2. Modelo de susceptancia variable...................................................................... 7.6.3. Modelo de ngulo de disparo........................................................................... 7.6.4. Condensador sncrono (lmites de susceptancia)............................................ 7.6.5. Justificacin de los modelos de CEV............................................................... 7.6.6. Estudio de caso................................................................................................. 7.6.7. Conclusiones.................................................................................................... 7.7. Aplicaciones de compensadores estticos de potencia reactiva................................. 7.7.1. Control de fluctuaciones rpidas de voltaje...................................................... 7.7.1.1. Regulacin de voltaje.......................................................................... 7.7.1.2. Regulacin de factor de potencia........................................................ 7.7.2. Control de voltaje/potencia reactiva en sistemas elctricos de potencia.......... 7.7.2.1. Control de voltaje en terminales convertidoras C.A.-C.D................... 7.7.2.2. Estabilizacin de sistemas elctricos de potencia................................ 7.7.2.3. Incremento de lmites de transferencia de potencia en lneas de transmisin................................................... Referencias.......................................................................................................................

135 135 135 136 138 140 141 144 145 147 147 149 149 150 152 154 154 155 156 157 158 158 163 164 164 165 166 166 167 167 168 170

CAPTULO 8. INTRODUCCIN AL PROBLEMA DE INESTABILIDAD DE VOLTAJE............... 8.1. Introduccin............................................................................................................... 8.2. El fenmeno de inestabilidad de voltaje..................................................................... 8.3. Respuesta ante contingencias severas de voltaje........................................................ 8.4. Incidentes de colapso de voltaje................................................................................. 8.4.1. Incidentes de inestabilidad de voltaje............................................................... 8.4.2. Recuperacin atrasada de voltaje inducida por falla........................................ 8.5. Escenario tpico de colapso de voltaje....................................................................... 8.6. Caracterizacin del colapso de voltaje....................................................................... 8.7. Definicin de estabilidad de voltaje........................................................................... 8.8. Mxima potencia transmistida.................................................................................... 8.8.1. Mxima potencia no restringida....................................................................... 8.8.2. Potencia mxima bajo un factor de potencia especificado para la carga.......... 8.8.2.1. Lnea de transmisin sin prdidas.......................................................

171 171 172 173 173 174 175 176 177 178 179 179 182 184

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8.8.2.2. Lnea de transmisin sin prdidas y carga con factor de potencia unitario............................................... 8.8.2.3. Extensiones a sistemas multipuertos................................................... 8.8.3. Mxima potencia derivada a partir de las ecuaciones de flujos........................ 8.8.4. Relaciones voltaje potencia.............................................................................. 8.8.5. Requerimientos de potencia reactiva de los generadores................................. 8.9. Introduccin a mecanismos de inestabilidad de voltaje............................................. 8.9.1. Caracterstica del sistema vs. caracterstica P-V de la carga............................ 8.9.2. Escenarios de inestabilidad.............................................................................. 8.10.Herramientas de anlisis............................................................................................. 8.10.1. Anlisis dinmico........................................................................................... 8.10.2. Anlisis esttico.............................................................................................. 8.10.2.1. ndices basados en el estado actual de operacin.............................. 8.10.2.2. ndices basados en grandes desviaciones.......................................... 8.11. Anlisis de estabilidad de voltaje con curvas P-V y V-Q......................................... 8.11.1. Curvas P-V..................................................................................................... 8.11.2. Curvas V-Q.................................................................................................... 8.11.2.1. Identificacin de los mrgenes de potencia reactiva......................... 8.11.2.2. Comportamiento con respecto al margen de potencia reactiva......... 8.12. Anlisis de sensibilidades y de mnimo valor singular............................................. 8.12.1. Anlisis de sensibilidad................................................................................ 8.12.2. Anlisis modal V-Q...................................................................................... 8.12.3. Mnimo valor singular.................................................................................. 8.12.3.1. Formulacin.................................................................................. 8.12.3.2. Ecuaciones y variables para estado estacionario........................... 8.13. Procedimientos de planificacin operativa basados en estudios de flujos de potencia.............................................................................. 8.13.1. Flujos de potencia de precontingencia......................................................... 8.13.2. Flujos de potencia de posfalla...................................................................... Referencias..........................................................................................................................

185 185 186 189 192 194 194 195 197 198 198 198 200 201 202 206 208 209 212 212 214 226 226 227 229 229 229 232

CAPTULO 9. EFECTOS DE ELEMENTOS DEL SISTEMA EN LA INESTABILIDAD DE VOLTAJE................................................... 9.1. Introduccin............................................................................................................... 9.2. Transformador con cambiador automtico de derivacin.......................................... 9.3. Cargas dependientes del voltaje................................................................................. 9.4. Curvas de capacidad................................................................................................... 9.5. Compensadores estticos de potencia reactiva........................................................... 9.6. Prdidas en el sistema.................................................................................................

233 233 233 236 237 238 239

CAPTULO 10. EL PROBLEMA DE CONTROL DE VOLTAJE EN SISTEMAS ELCTRICOS DE POTENCIA............................................................. 10.1. Requerimientos generales.......................................................................................... 10.2. Clasificacin de jerarquas de control....................................................................... 10.2.1. Control de voltaje y potencia reactiva primarios........................................... 10.2.2. Control secundario de voltaje y potencia reactiva......................................... 10.2.3. Control terciario de voltaje y potencia reactiva............................................. 10.2.4. Estudios de pronstico de voltaje y potencia reactiva...................................

242 242 243 244 244 245 245

ix

10.3. Prcticas actuales y tendencias futuras...................................................................... 10.3.1. El estado del arte del control de voltaje......................................................... 10.3.1.1. Control primario............................................................................. 10.3.1.2. Control secundario......................................................................... 10.3.1.3. Control terciario............................................................................. 10.3.1.4. Estudios de planificacin................................................................ 10.3.1.5. Seleccin de la estrategia a seguir para la seguridad...................... 10.3.1.6. Resumen......................................................................................... 10.3.2. Problemas que requieren desarrollo adicional............................................... 10.3.2.1. Mejoramiento del control de voltaje............................................... 10.3.2.2. Conceptos generales....................................................................... 10.3.2.3. Herramientas para ayuda del operador........................................... 10.3.2.4. Sistemas expertos........................................................................... 10.3.2.5. Informacin del sistema................................................................. 10.3.2.6. Redes inteligentes........................................................................... 10.4. Estrategia de control de voltaje en una rea operativa.............................................. 10.5. Conclusiones.............................................................................................................

246 246 246 246 247 248 248 249 249 249 251 251 252 252 252 253 253

CAPTULO 11. INTRODUCCIN AL PROBLEMA DE FLUJOS PTIMOS Y DESPACHO DE POTENCIA REACTIVA.............................................. 11.1. Introduccin.............................................................................................................. 11.2. Formulacin del problema........................................................................................ 11.3. Formulacin de la funcin lagrangiana..................................................................... 11.3.1. Incorporacin de funciones objetivo............................................................. 11.3.1.1. Despacho econmico...................................................................... 11.3.1.2. Maximizacin de reserva de generacin de potencia reactiva........ 11.3.1.3. Minimizacin de prdidas.............................................................. 11.3.2. Funciones de igualdad para ecuaciones de errores de potencia..................... 11.4. Algoritmo general para la solucin de flujos ptimos............................................... 11.5. Simulaciones............................................................................................................. 11.5.1. Sistema de 5 nodos........................................................................................ 11.5.2. Anlisis con un sistema real.......................................................................... Referencias............................................................................................................................

254 254 254 257 257 257 260 261 262 263264 264 270 275

CAPTULO 12. SISTEMA EXPERTO PARA EL CONTROL DE VOLTAJE....................................... 12.1. Introduccin.............................................................................................................. 12.2. Sistema experto para control de voltaje..................................................................... 12.2.1. Formulacin del problema de control de voltaje.......................................... 12.2.2. Modelo de sensibilidades lineales................................................................. 12.3. Seleccin de nodos crticos....................................................................................... 12.4. Reglas para definir acciones correctivas................................................................... 12.5. Proceso de solucin del sistema experto................................................................... 12.6. Ejemplos de aplicacin.............................................................................................. 12.7. Validacin del sistema experto.................................................................................. 12.7.1. Confiabilidad................................................................................................. 12.7.2. Eficiencia....................................................................................................... 12.8. Conclusiones............................................................................................................. Referencias..........................................................................................................................

276 276 278 278 279 282 282 284 285 292 292 293 294 295

CAPTULO 1

COMPENSACIN LOCAL DE CARGA La compensacin reactiva de carga, puede estar diseada de manera distinta, dependiendo de las condiciones en las que opera la carga, as como de sus propias caractersticas. 1.1 OBJETIVOS La compensacin de cargas es el manejo de la potencia reactiva para mejorar la calidad de suministro en sistemas de corriente alterna. Este trmino, compensacin de carga, es usado cuando un esquema de compensacin de potencia reactiva es aplicado de acuerdo a los requerimientos de una carga en particular, estando el equipo de compensacin ubicado lo ms cerca de ella. Las tcnicas aplicadas difieren considerablemente de aquellas que se requieren para la compensacin de sistemas elctricos de potencia. En la compensacin de carga, se tiene tres objetivos principales: Correccin del factor de potencia. Mejoramiento de la regulacin de voltaje. Balanceo de cargas. Es posible que se tenga una situacin donde, a pesar de que se mantenga una buena regulacin de voltaje, se requiera corregir el factor de potencia o de balancear la carga. 1.2 CONCEPTO DE COMPENSADOR IDEAL Un compensador ideal puede definirse en trminos de las siguientes especificaciones: Proporcionar una cantidad variable y controlable de potencia reactiva precisamente de

acuerdo a los requerimientos de la carga, y de manera instantnea. Presentar un voltaje constante en sus terminales. Ser capaz de operar de manera independiente en las tres fases. La responsabilidad de proporcionar compensacin no es nica del suministrador del servicio, sino tambin del consumidor, de acuerdo a varios factores, incluyendo la naturaleza y tamao de la carga. 1.3 NECESIDADES DE LA COMPENSACIN DE CARGA Si una carga debe corregir su factor de potencia en el estado estacionario, entonces se trata de una cuestin econmica, cuya respuesta depende de varios factores, incluyendo tarifas, penalizaciones, tamao de la carga, as como de su factor de potencia actual.

CAPTULO 1 COMPENSACIN LOCAL DE CARGA

Maestra en Ciencias en Ingeniera Elctrica CFE-ITM-PGIIE Jos Horacio Tovar Hernndez 2013 2

Para cargas que causan variaciones de voltaje, puede que se tenga que compensar no nicamente su factor de potencia, sino que tambin su regulacin de voltaje. El grado de variacin de voltaje es evaluado en un punto de acoplamiento comn, que resulta ser el punto donde las reas de responsabilidad entre el suministrador y el consumidor coinciden, por ejemplo, el lado de alto voltaje de los transformadores de distribucin. Cargas tpicas requiriendo este tipo de compensacin son los hornos de arco y de induccin, as como maquinaria pesada accionada por grandes motores de induccin. Una primera idea de los requerimientos de compensacin puede tenerse mediante la caracterizacin de la carga, de acuerdo a lo siguiente: Tipo de carga (de corriente alterna o directa). Ciclos de variacin de carga en trminos de potencia activa y reactiva. Relacin de cambio de potencia activa y reactiva (el tiempo de pasar de un mnimo a un

mximo). Generacin de armnicas. Demanda mxima coincidente de potencias activa y reactiva en plantas de cargas mltiples. 1.4 NORMAS DE ACEPTACIN DE LA CALIDAD DEL SUMINISTRO Entre muchos casos, un efecto cuestionable de las variaciones de voltaje en el punto de suministro es la perturbacin en el nivel de iluminacin. El grado en que las variaciones son cuestionables depende no solamente de la magnitud de la variacin, sino adems de su velocidad y frecuencia. Variaciones muy lentas de hasta un 3% pueden ser tolerables, mientras que en el caso de variaciones muy rpidas pueden coincidir con la sensibilidad visual (entre 1 y 25 Hz) y deben ser limitadas a un valor del 0.25% o menos. Asimismo, el malfuncionamiento de motores y el impacto sobre ciertos procesos productivos hace que la calidad del suministro sea una cuestin importante a atender mediante la compensacin reactiva. 1.5 ESPECIFICACIONES DE UN COMPENSADOR DE CARGA Cuando se especifica un compensador de potencia reactiva, los parmetros y factores a considerar, entre otros, son los siguientes: Requerimientos mximos continuos de absorcin/generacin de potencia reactiva. Magnitud y tiempos de duracin de sobrecargas. El voltaje nominal y lmites de voltaje entre los cuales las especificaciones de potencia

reactiva no deben excederse. La frecuencia y su duracin. 1.6 CORRECCIN DE FACTOR DE POTENCIA La correccin del factor de potencia de una carga, se analiza de acuerdo al circuito mostrado en la Figura 1.1.



Figura 1.1 Carga de un sistema representada por una admitancia.

Para esta figura, la corriente en la carga es igual a la corriente de carga del sistema, es decir,

XRllllSl IjIjVBGVjBGVII +=+=+== )( (1.1) donde V es el fasor de referencia, RI es la componente activa de la corriente e XI es su componente reactiva. Las relaciones anteriores pueden observarse en el diagrama fasorial de la Figura 1.2.

Figura 1.2 Diagrama fasorial para la carga de la Figura 1.1.

En trminos de potencia:

llllll QjPBVjGVIVS +===22* (1.2)

donde se observa claramente que la potencia aparente tiene una componente activa y otra reactiva. Para cargas en atraso (inductivas), lB es negativa y lQ es positiva. En este caso, para el sistema sin compensar, la corriente, lS II = , es mayor en magnitud que la requerida por la carga activa, lP , por el factor:

lR

l

CosII

1

= (1.3)

lllX SenIBVI ==

SI

lll BjGY += V

lYVI=

l

lllR CosIGVI ==

V



y el factor de potencia:

l

ll S

PCos = (1.4)

El principio de correccin de factor de potencia es compensar para la potencia reactiva, lo cual se logra reduciendo la corriente reactiva IX en un valor deseado. Para el caso de corregir el factor de potencia a un valor unitario, debe conectarse en paralelo una admitancia puramente reactiva, con un valor igual a lBj . Esto se muestra en la Figura 1.3. En este caso, la corriente proporcionada por el sistema es:

III lS += = Rllll IGVBjVjBGV ==+ )()( (1.5) El diagrama fasorial de la ecuacin anterior se muestra en la Figura 1.4. Ntese que ahora la corriente del sistema est en fase con el fasor de voltaje que es el de referencia, debido a que se compensa a factor de potencia unitario.

Figura 1.3 Sistema compensado a factor de potencia unitario.

Figura 1.4 Diagrama fasorial del sistema compensado a factor de potencia unitario.

lllRS CosIGVII ===

lYVI =

l

lllX SenIBVI ==

V

lBVI =

SI

lll BjGY += V ljBY =



Ahora, la corriente SI es de magnitud menor a la de lI , y es capaz de alimentar la carga lP a un voltaje V. La corriente del compensador es la siguiente:

lBVjYVI == (1.6) La potencia aparente intercambiada con el sistema elctrico de potencia es:

QjPS +=

* IVS =

lBVjS2= (1.7)

de donde se observa que 0=P y ll QBVQ ==

2 . Del tringulo de potencia mostrado en

la Figura 1.5, se obtiene lo siguiente:

lll TgPQ = (1.8)

llll CosSSenSQ 21== (1.9)

Esta ltima expresin es importante, debido a que Q est en funcin de los nominales del equipo que representa a la carga.

Figura 1.5 Tringulo de potencias para la carga del sistema. Si se considera que la carga del sistema vara constantemente, como es el caso de ciertas cargas industriales como equipos de soldadura, procesos de fabricacin intermitentes o los hornos elctricos de arco o de induccin, entonces, la correccin del factor de potencia se convierte en un problema donde la compensacin debe variar de acuerdo a cada condicin de carga que se presente.

lP

lQ lS

l



1.7 BALANCEO DE FASES La compensacin de factor de potencia ha sido manejada en trminos de circuitos monofsicos (o trifsicos transformados en monofsicos a travs de la transformacin de componentes simtricas), y otro de los objetivos principales de compensacin es el balanceo de cargas trifsicas desbalanceadas. La mayor parte de los sistemas elctricos de potencia son trifsicos y estn diseados para trabajar en condiciones balanceadas. Sin embargo, en el sistema se tiene cargas monofsicas que se conectan y desconectan aleatoriamente, as como lneas de transmisin no transpuestas, lo cual causa desbalances en los circuitos trifsicos del sistema. Una operacin desbalanceada da lugar a componentes de corriente que pueden tener efectos indeseables, incluyendo prdidas adicionales en motores y unidades generadoras, oscilaciones en el par de mquinas de c.a., incremento en el rizo en rectificadores, mal funcionamiento de diferentes equipos, saturacin de generadores y corrientes excesivas en el neutro. Ciertos tipos de equipos, incluyendo diversos compensadores, dependen de la operacin balanceada para poder eliminar las armnicas mltiplos de tres [1]. Para la compensacin de cargas desbalanceadas, es til modelar al compensador reactivo y a la carga en funcin de admitancias, formando una red de compensacin ideal. Posteriormente, se podr observar que el anlisis a realizar es lo suficientemente general como para incluir la compensacin del factor de potencia. Para formar la red de admitancia de compensacin ideal, los voltajes de alimentacin son considerados balanceados. La carga se representa por la red conectada en delta de la Figura 1.6, en la cual, para representar al desbalance, las admitancias ablY ,

bclY y

calY son complejas y

distintas. Cualquier carga conectada en estrella no aterrizada puede representarse por la Figura 1.6(a), por medio de la transformacin estrella-delta. Los cambios en la carga son considerados lo suficientemente lentos o casi-estacionarios, de modo que el anlisis fasorial es aplicable y la carga es considerada como lineal [1]. En este caso, el compensador ideal se concibe como cualquier red trifsica pasiva de admitancias que, combinada en paralelo con la carga, presentar una carga resistiva simtrica a la fuente.



(a) (b) (c) Figura 1.6 (a) Carga trifsica desbalanceada. (b) Conexin de susceptancias en derivacin para correccin

de factor de potencia en cada fase. (c) Carga resultante; desbalanceada pero con factor de potencia unitario.

abI

bcI

c

caI

cV bV aV

calY

bclY

b a

ablY

abl

ab BB =

c cV bV aV

cal

ca BB = bclbc BB =

b a

c cV bV aV

calG

bclG

b a

ablG



Iniciando con el concepto de correccin de factor de potencia, cada admitancia de carga puede hacerse puramente resistiva, conectando en paralelo una susceptancia de compensacin igual al negativo de la susceptancia de la carga en esa rama de la delta. Esto es, si en la delta se tiene las cargas en cada rama iguales a lo siguiente:

abl

abl

abl BjGY += ,

bcl

bcl

bcl BjGY += ,

cal

cal

cal BjGY += (1.10)

La susceptancia de compensacin para cada rama resulta como:

abl

ab BB = , bcl

bc BB = , cal

ca BB = (1.11) las cuales se conectan en paralelo con cada una de las cargas de (1.10). Esto se muestra en la Figura 1.6(b). Las admitancias resultantes son mostradas en la Figura 1.6(c), las cuales presentan nicamente parte real, lo cual indica que son cargas equivalentes con factor de potencia unitario. Sin embargo, todava estn desbalanceadas.

Para balancear las cargas, como primer paso, considrese la carga ablG de la Figura 1.7. Las corrientes de lnea pueden ser balanceadas conectando la susceptancia capacitiva entre las fases b y c:

3

ablbc GB = (1.12)

adems de conectar la susceptancia inductiva siguiente entre las fases c y a:

3

ablca GB = (1.13)

lo cual es ilustrado en la Figura 1.7(b). Las corrientes de lnea no solo estn balanceadas, sino que tambin estn en fase con su respectivo voltaje, de modo que cada fase del sistema de suministro conectado en estrella alimentara un tercio de la potencia total a factor de potencia unitario. Entonces, el circuito equivalente est compuesto de tres resistencias conectadas en estrella, cada una teniendo un valor de conductancia ablG , como se muestra en la Figura 1.7(c).

La potencia total es 3 ablGV2 , donde V es el valor rms del voltaje de alimentacin de lnea a

neutro, asumido balanceado. Tanto el factor de potencia global como el factor de potencia en cada fase son unitarios. Aunque las corrientes en las tres ramas de la delta estn desbalanceadas, hay una potencia de equilibrio dentro de la delta, la potencia reactiva generada por el capacitor entre las lneas b y c es igual a la absorbida por el inductor entre las lneas c y a, as que no es generada ni absorbida por el sistema de suministro.



(a) (b) (c) Figura 1.7 (a) Carga equivalente entre las fases a y b, despus de compensar para corregir el factor de potencia.

(b) Compensacin para la carga entre las fases a y b para balancear el circuito trifsico. (c) Circuito equivalente visto desde el sistema de suministro para la carga entre las fases a y b.

De la Figura 1.7(b), se tiene un circuito trifsico, que puede ser expresado en trminos nodales:

+

=

c

b

a

abl

abl

abl

ablab

labl

ablab

l

ablab

l

c

b

a

V

V

V

GjGj

GjGjGG

GjGGjG

I

I

I

033

33

33

(1.14)

ablG

ablG

ablG

aI c

caV bcV

3

abljG

3

abljG

b a

ablG

abV

bI

cI c

b a ablG

c

b a



Haciendo:

VVa = ,

=

23

21 jVVb ,

+=

23

21 jVVc

y ejecutando las operaciones indicadas en la ecuacin matricial (1.14):

VGI abla = ,

=

23

21 jVGI ablb ,

+=

23

21 jVGI ablc

donde puede observarse que las corrientes estn en fase con los voltajes y, adems, son balanceadas. Si un proceso similar se aplica a las otras ramas representando las cargas compensadas a factor de potencia unitario, se obtiene resultados similares, de modo que, superponiendo los resultados, al final resulta un circuito trifsico balanceado visto desde el sistema de suministro. Sumando los efectos de cada una de las compensaciones ejecutadas para cada una de las cargas de la delta, se tiene que la compensacin final es la siguiente:

( ) 3bclcalablab GGBB += (1.15a)

( ) 3calablbclbc GGBB += (1.15b)

( ) 3ablbclcalca GGBB += (1.15c) Por lo anterior, se puede concluir lo siguiente: 1. Cualquier carga trifsica, lineal, desbalanceada y no aterrizada, puede transformarse en

balanceada, sin crear intercambios de potencia reactiva entre el sistema de suministro y la carga, mediante la conexin de una red ideal de compensacin en paralelo con la carga.

2. La red ideal es puramente reactiva y capaz de corregir el factor de potencia a valor unitario. Ejemplo 1.1 Suponga que se tiene una carga conectada en delta desbalanceada con los siguientes valores para cada una de las ramas de la delta:

1015 jQjPS ablab

labl +=+= pu.

812 jQjPS bclbc

lbcl +=+= pu.

510 jQjPS calca

lcal +=+= pu.

Sabiendo que )()()( 2*2** ablabl

abl

abl

abl jBGVYVYVVIVS ====

Y suponiendo que los voltajes estn balanceados y su magnitud es 1.0 pu, entonces,

)()(0.1 ablabl

abl

abl

abl

abl BjGBjGQjP ==+



Igualando partes reales e imaginarias:

15=ablG pu, 10=ablB pu.

Procediendo de la misma forma con las otras dos cargas:

12=bclG pu, 8=bclB pu.

10=calG pu, 5=calB pu.

Para obtener un circuito balanceado, se aplica las ecuaciones (1.15):

( ) 8453.83/)1210(103 =+=+= bclcalablab GGBB ( ) 88675.103/)1015(83 =+=+= calablbclbc GGBB ( ) 26795.33/)1512(53 =+=+= ablbclcalca GGBB

Estas admitancias estarn conectadas en paralelo con las admitancias de carga de cada una de las ramas de la delta. Por tanto, para verificar que el circuito resultante es balanceado se calcula las corrientes de lnea mediante la ecuacin matricial:

=

c

b

a

cccbca

bcbbba

acabaa

c

b

a

VVV

YYYYYYYYY

III

Donde:

aaY = (15+10) j (10 + 5 8.8453 3.26795) = 25 j 2.88675

abY = baY = 15 + j (10 8.8453) = 15 + j 1.1547

acY = caY = 10 + j (5 3.26795) = 10 + j 1.73205

bbY = (15 + 12) j (10 + 8 8.8453 10.88675) = 27 + j 1.73205

bcY = cbY = 12 + j (8 10.88675) = 12 j 2.88675

ccY = (12 + 10) j (8 + 5 10.88675 3.26795) = 22 + j 1.1547 Realizando las operaciones matriciales:

aI = 1(25 j 2.88675)+(0.5 j 0.866)( 15 + j 1.1547) +(0.5 + j 0.866)( 10 + j 1.73205) = 25 j 2.88675 + 8.5 + j 12.41265 + 3.5 j 9.526 = 37 j 0.001 = 37 pu

bI = 1(15 + j 1.1547)+(0.5 j 0.866)(27 + j 1.73205) +(0.5 + j 0.866)( 12 j 2.88675) = 15 + j 1.1547 12 j 24.248025 + 8.5 j 8.948625 = 18.5 j 32.04195 = 37 (0.5 j 0.866) pu

cI = 1(10 + j 1.73205)+(0.5 j 0.866)(12 j 2.88675) +(0.5 + j 0.866)(22 + j 1.1547) = 10 + j 1.73205 + 3.5 + j 11.835375 12 + j 18.47465 = 18.5 + j 32.042075 = 37 (0.5 + j 0.866) pu



Como se puede observar, las corrientes son balanceadas y estn en fase con los voltajes de suministro del sistema, lo cual indica que la carga equivalente opera a un factor de potencia unitario. 1.8 REGULACIN DE VOLTAJE En esta parte se agrega el concepto de un compensador ideal que mantiene constante el voltaje en el punto de alimentacin o suministro, por medio de mantener aproximadamente constante la potencia reactiva entregada por el sistema. La regulacin de voltaje puede definirse como el cambio proporcional en la magnitud de voltaje en el punto de suministro, asociado con un cambio definido en la corriente de carga (por ejemplo, desde el vaco hasta plena carga). Este cambio de voltaje es causado por la cada de voltaje en la impedancia del punto de suministro cuando circula a travs de esta la corriente de carga. Para el anlisis, el sistema est representado por su equivalente monofsico de Thevenin, visto desde el punto de suministro tal como lo muestra la Figura 1.8.

Figura 1.8 Circuito equivalente de la carga y el sistema de suministro.

La regulacin de voltaje est dada por:

VVE

V

VE =

(1.16)

donde el fasor V es referencia. Simplificando la notacin, la regulacin de voltaje se escribe comnmente como:

lI

V

lll BjGY +=

SSS XjRZ +=

lI

E



VVE

(1.17)

En caso de que no exista la compensacin:

SSSSSSlS IjXIRIZIZVEV +==== (1.18)

Tomando la convencin *IVS = , se tiene que la potencia compleja consumida por la carga es:

*llll IVjQPS =+=

de donde V

jQPI lll

+=* , y de aqu, *V

jQPI lll

= .

Pero V es el fasor de referencia, por lo que

VjQPI lll

= (1.19)

Substituyendo (1.19) en (1.18):

( )

+

=

+=

VQjXPXj

VQjRPR

VjQPjXRV lSlSlSlSllSS

+

+=

VQRPXj

VQXPRV lSlSlSlS (1.20)

Haciendo:

XR VjVV += se obtiene:

VQXPRV lSlSR

+=

VQRPXV lSlSX

=

Las relaciones anteriores pueden ser observadas en el diagrama fasorial de la Figura 1.9.



Figura 1.9 Diagrama fasorial del circuito de la Figura 1.8 (sin compensar). Si se agrega un compensador en paralelo con la carga, es posible hacer que la magnitud del voltaje en el punto de suministro sea igual a la magnitud del voltaje del equivalente del sistema, es decir, V = E, lo cual equivale a hacer que la regulacin de voltaje sea igual a cero, implicando esto que V permanezca constante para cualquier valor de carga. Utilizando un compensador puramente reactivo, en la ecuacin (1.20) la potencia reactiva de carga se substituye por la potencia reactiva del sistema:

lS QQQ += donde Q es la potencia reactiva del compensador, la cual es ajustada tal que se rote el fasor

V hasta que V = E. De la ecuacin (1.18):

VVE =

+

++=+=

VQRPX

jV

QXPRVVVE SSlSSSlS

Calculando la magnitud de E :

22

+

++=

VQRPX

VQXPR

VE SSlSSSlS

o tambin,

222

+

++=

VQRPX

VQXPR

VE SSlSSSlS (1.21)

lI

l

S

V E

V

SS IR RV

XV

SS IjX



Haciendo:

2

++=V

QXPRVA SSlS

2

=

VQRPX

B SSlS

Desarrollando A:

( )22222242

2221 SSlSSlSSSSlS QXPRQPXRQXVPRVVVA +++++=

( )22222

2 2122 SSlSSlSSSSlS QXPRQPXRVQXPRVA +++++=

Desarrollando B:

( )22222

21 SSSlSSlS QRQPRXPXVB +=

Entonces:

++

+++++=+=

SlSSSSlS

SlSSSSlSSSlS

QPXRQRPX

QPXRQXPR

VQXPRVBAE

2

21222222

2222

222

( )222222222

22 122 SSlSSSlSSSlS QRPXQXPRVQXPRVE ++++++=

Reagrupando:

( ) ( )2222

2222

22 1122 SSlSSSSSlS XRPVXRQ

VQXPRVE ++++++=

y de aqu:

( ) ( ) 022 22222

222

2

2

=++++++ EPRVQXXRV

PXR

V

QlSSSSS

lSS

S

y se obtiene la ecuacin cuadrtica:

02 =++ cQbQa SS donde:



S

SS

XVb

XRa2

22

2=

+=

( ) 222222242222224 22 VEXPPRVRPVVEPRVXRPVc SllSSllSSSl +++=+++= o tambin,

( ) 222222 VEXPPRVc SllS ++= Resolviendo para QS:

acabb

QS 242

=

y despus:

lS QQQ = Siendo Q el total de la potencia reactiva del compensador para hacer que E = V. Esto se observa en el diagrama fasorial de la Figura 1.10.

Figura 1.10 Diagrama fasorial para el circuito de la Figura 1.8, compensado para mantener constante el voltaje. Es importante hacer notar que siempre existe una solucin para SQ , cualquiera que sea el valor de lP , lo cual permite establecer que: Un compensador puramente reactivo puede eliminar las variaciones del voltaje en el punto de suministro del sistema causadas por cambios en las potencias activa y reactiva de la carga.

S

l SS IR

SS IjX

V

E

V

SI

I

lI



Adems, debe notarse que solamente la magnitud del voltaje V ser controlada y que su ngulo de fase variar de acuerdo a la corriente de carga. Esto se comprueba si en lugar de hacer actuar el compensador como un regulador de voltaje se le hace actuar como un corrector de factor de potencia. Esto conduce a que:

lQQ = Por lo que:

0=+= lS QQQ Sustituyendo este valor en (1.20):

( )VP

jXRV

PXj

VPR

V lSSlSlS +=+=

donde se notar que V es independiente de la potencia reactiva de carga Ql, por lo que se puede concluir lo siguiente: Un compensador puramente reactivo no puede mantener al mismo tiempo al voltaje constante en el punto de suministro del sistema y al factor de potencia (instantneo) con un valor unitario. Ejemplo 1.2. Suponga que el circuito de la Figura 1.8 tiene los siguientes valores: E = 1 0

lS = 200 MW + j 50 MVAr Potencia base = 100 MVA. Calcular la susceptancia capacitiva que debe ser conectada en paralelo con la carga para que el voltaje V = 1.0 pu, cuando: (a) SZ = 0.00538 + j 0.03882 pu, V = 0.9657 pu (b) SZ = 0.01076 + j 0.07764 pu, V = 0.9212 pu (c) SZ = 0.00269 + j 0.01941 pu, V = 0.9839 pu Verificar los resultados obtenidos mediante un estudio de flujos de potencia.

2222 )03882.0()00538.0( +=+= SS XRa = 0.001536

SXVb22= )03882.0()0.1(2 2= = 0.07764

( ) 222222 VEXPPRVc SllS ++= = [(1)2 + 0.00538(2.0)]2 + (2.0)2 (0.03882)2 (1)2 (1)2 c = 0.02766



003072.007653775.007764.0

)001536.0(2)02766.0()001536.0(4)07764.0(07764.0 2 =

=SQ

=1SQ 0.3588 pu, =2SQ 50.188 pu.

lS QQQ = = 0.3588 pu 0.5 = 0.8538 pu = 85.38 MVAr

1.9 REGULACIN DE VOLTAJE: FORMULACIN APROXIMADA Si el sistema es corto-circuitado en el nodo de carga, la potencia aparente del corto-circuito ser:

*

2*

CCCCCCCCCC

ZEIEjQPS ==+= (1.22)

donde ( )SS

CC jXREI

=*

*

De aqu:

( ) CCCCCCCCSSSSCC SenjSCosSjXR

EjXR

EES +=

=

=

2*

Entonces:

( ) ( )SSCCCCCCCC jXRSenjSCosSE += 2

CCCCSCCCCSCCCCSCCCCS SenSXCosSjXSenSjRCosSRE ++=2

Separando partes reales e imaginarias:

CCCCSCCCCS SenSXCosSRE +=2

CCCCSCCCCS CosSXSenSR =0

de esta ltima ecuacin:

CCCCSCCCCS CosSXSenSR =

CCSCCS CosXSenR =



S

S

CC

CC

RX

CosSen

=

S

SCC R

XTg = (1.23)

De acuerdo a las relaciones anteriores:

CCCCCCCCSSCC SenjZCosZjXRZ +=+= donde:

CCCCS CosZR =

CCCCS SenZX = Sustituyendo estos valores en

CCCCSCCCCS SenSXCosSRE +=2

se obtiene

CCCCCCCCCCCC SenSZCosSZE 222 +=

( )CCCCCCCC SenCosSZE 222 +=

CCCC SZE =2

CCCC S

EZ2

=

Sustituyendo esta ltima ecuacin en las expresiones para RS y XS:

CCCC

S CosSE

R 2

= (1.24)

CCCC

S SenSEX

2= (1.25)



De la ecuacin (1.18):

VQXPR

V lSlSR+

=

VQRPX

V lSlSX

=

Sustituyendo (1.24) y (1.25) en las ecuaciones anteriores:

[ ]lCClCCCC

R QSenPCosVSEV += 1

2

[ ]CClCClCC

X CosQSenPVSEV = 1

2

Normalizando VR y VX con respecto a V:

[ ]CClCClCC

R SenQCosPSV

EVV

+=

2

2

[ ]CClCClCC

X CosQSenPSV

EVV

=

2

2

Si se supone que 12

2

VE

[ ]CClCClCC

R SenQCosPSV

V +

1 (1.26)

[ ]CClCClCC

X CosQSenPSV

V

1 (1.27)

De las ecuaciones (1.26) y (1.27), la expresin en la que se nota predominantemente el cambio en la magnitud de voltaje es la relacionada con VR, mientras que la relacionada con VX produce predominantemente un cambio sobre el ngulo de fase. Por tal motivo, la ecuacin (1.27) es ignorada para determinar el cambio en la magnitud de voltaje. Las expresiones anteriores, a pesar de ser aproximaciones, son tiles debido a que estn expresadas en trminos conocidos y comunes:



Relacin X/R Nivel de falla de corto circuito SCC Potencias activa y reactiva de carga (Pl, Ql) Aunque las ecuaciones han sido desarrolladas para relacionar cambios de voltaje, V, asociados con cambios de escala completa (desde el vaco hasta plena carga) en las potencias activa y reactiva de cargas, las ecuaciones de regulacin de voltaje (1.18), (1.26) y (1.27) son vlidas, adems, para pequeos cambios en Pl y Ql:

[ ]CClCClCC

R SenQCosPSV

V +=

1 (1.28)

Ahora bien, si RS



Si se supone que Ql

CAPTULO 2

LNEAS DE TRANSMISIN NO COMPENSADAS En este captulo, se analiza el comportamiento de la lnea de transmisin, desde un punto de vista potencia reactiva/voltaje, para diferentes condiciones de operacin, sin incluir esquemas de compensacin. Para esto, primeramente se analiza la lnea de transmisin considerando el efecto de su longitud para, posteriormente, analizar el comportamiento del voltaje y, en base a ello, considerar la posibilidad de compensar la lnea, de acuerdo a necesidades de transferencia de potencia y/o regulacin de voltaje. 2.1 MODELADO MONOFSICO DE LNEAS DE TRANSMISIN En estado estacionario, la lnea de transmisin puede modelarse como un circuito de parmetros concentrados de una lnea larga, donde la resistencia e inductancia totales son incluidas en la rama serie del circuito , mientras que la capacitancia total es dividida entre sus ramas en derivacin. Para obtener este modelo, se parte del circuito de la Figura 2.1.

Figura 2.1 Lnea de transmisin con parmetros distribuidos. Entonces, de acuerdo a lo presentado en este circuito, se tiene las siguientes relaciones por unidad de longitud:

ulCjGy

ulLjRz

/

/

1+=

+=

(2.1)

Aplicando la Ley de Voltajes de Kirchhoff:

x

rI sI

+ +

( )xI xz

( )xxI +

( )xxV +

+

sV xy

+

( )xV rV

x

x = d

CAPTULO 2 LNEAS DE TRANSMISIN NO COMPENSADAS


)()()( xIxzxVxxV +=+ de donde:

)()()(

xIzx

xVxxV=

+

Tomando el lmite cuando 0x :

)()()(

0xIz

xxVxxV

Limx

=

+

resulta que:

)()(

xIzdx

xVd= (2.2)

De la misma manera, aplicando la Ley de Corrientes de Kirchhoff:

)()()( xxVxyxIxxI ++=+ Rearreglando:

)()()(

xxVyx

xIxxI+=

+

Tomando el lmite cuando 0x :

)()(

xVyxdxId

= (2.3)

Derivando (2.2) y (2.3) con respecto a x:

xdxId

zdx

xVd )()(2

2= (2.4)

xdxVd

ydx

xId )()(2

2= (2.5)


)()(

2

2xIzy

dx

xId= (2.6)



y ahora substituyendo (2.3) en (2.4):

)()(

2

2xVzy

dx

xVd= (2.7)

Definiendo:

ulzy

ulzy

/1

/1 22

=

=

(2.8)

{ }== Re constante de atenuacin

(2.9) { }== Im constante de fase

donde j+= . Substituyendo en (2.6) y (2.7):

)()( 2

2

2xV

dx

xVd=

(2.10)

)()( 2

2

2xI

dx

xId=

Estas ecuaciones pueden escribirse en la forma siguiente:

0)()( 2

2

2= xV

dx

xVd (2.11)

0)()( 2

2

2= xI

dx

xId (2.12)

siendo estas ecuaciones diferenciales homogneas, las cuales tienen la solucin:

xpxp eAeAxV 21 21)( += (2.13) Para determinar 1p y 2p se forma el polinomio caracterstico de (2.11), haciendo:

2

22;

dxdp

dxdp ==

Substituyendo:

0)()( 22 = xVxVp



De aqu,

022 =p Resolviendo para :p

=p de donde =1p y =2p . Substituyendo en (2.13):

xx eAeAxV += 21)( (2.14) Para determinar 1A y 2A , se establece las relaciones cuando 0=x :

21)0( AAVV r +== (2.15) Adems, se supone una carga conectada en el extremo de recepcin equivalente a la impedancia caracterstica de la lnea de transmisin:

CLz c =

de modo que se establece el voltaje en tal extremo, en funcin de la corriente:

21)0( AAIzIz rcc == (2.16) De la ecuacin (2.16) se obtiene:

21 AIzA rc += (2.17) Substituyendo en (2.15):

222 2 AIzAAIzV rcrcr +=++= Resolviendo para 2A :

22rcr IzVA

= (2.18)


( )rcrrcrcrrc IzVIzIzV

IzA +=

+= 221

21

resultando:



21rcr IzVA

+= (2.19)

Entonces, substituyendo (2.18) y (2.19) en (2.14):

xrcrxrcr eIzV

eIzV

xV

++

=22

)( (2.20)

xrcrxrcrc e

IzVe

IzVxIz

+=

22)( (2.21)

Si se supone que la lnea de transmisin no tiene prdidas, de modo que 0=R , por lo que:

LCjj == (2.22) Substituyendo en las ecuaciones (2.20) y (2.21), se obtiene el siguiente resultado:

xSenIzjxCosVxV rcr +=)( (2.23)

xSenzV

jxCosIxIc

rr +=)( (2.24)

2.2 LNEAS DE TRANSMISIN NO COMPENSADAS En las ecuaciones (2.23) y (2.24), V e I forman ondas estacionarias, debido a la variacin senoidal de sus partes reales e imaginarias a travs de la lnea. El trmino LC es la velocidad de propagacin de los efectos electromagnticos a travs de la lnea. La constante de fase puede expresarse en la forma:

2

2==

uf

(2.25)

donde fu/= , se define como la longitud de onda, siendo u = 3108 m/s = 186,000 mi/s, y f es la frecuencia en Hz. Si f = 60 Hz, entonces = 3108/60 = 3,100 mi y 3100/2= = 2.027 10-3 rad/mi. La cantidad d= es la longitud elctrica de la lnea, expresada en radianes o longitudes de onda. En el caso de la lnea sin prdidas, y cz la caracterizan conjuntamente con su longitud. Sin embargo, estos son parmetros parecidos para todas las lneas, de modo que el comportamiento de cada lnea puede ser ms especfico si se define mediante su longitud, voltaje y nivel de transmisin.



2.2.1 Lnea de Transmisin Cargada a su Potencia Natural

cz es la impedancia aparente de una lnea infinitamente larga, esto es, la relacin de voltaje y corriente en cualquiera de sus puntos es la misma. Una lnea de longitud finita, con cz conectada

en el extremo receptor, tendr el mismo comportamiento, es decir, si cz = rr IV / , entonces,

cr

rc zxSenjxCosI

xSenjxCosIzxIxV

xZ =+

+==

)()(

)()(

)(

(2.26)

donde claramente se observa que es independiente de x . Adems,

xjr eVxV

=)( (2.27)

xjr eIxI

=)( (2.28) lo cual significa que los fasores de voltaje y corriente tienen amplitud constante a travs de la lnea, por lo cual, se dice que la lnea tiene un perfil plano de voltaje, cuando se tiene conectada en el extremo receptor una carga equivalente a la impedancia caracterstica de la lnea. El diagrama fasorial de este caso es el mostrado en la Figura 2.2.

Figura 2.2 Diagrama fasorial de un lnea de transmisin con carga en el extremo receptor igual a la impedancia caracterstica.

Una lnea en esta condicin se dice estar cargada naturalmente. La carga natural o SIL (Surge Impedance Loading) es:

czVP

20

0 = (2.29)

donde 0V es el voltaje nominal de la lnea. De esta ecuacin, se observa que la potencia natural,

0P , se incrementa con el cuadrado del voltaje. Adems, cz es un nmero real y del diagrama fasorial se observa que el factor de potencia es unitario en todos los puntos de la lnea, de modo que, bajo estas condiciones, la lnea de transmisin no genera ni absorbe potencia reactiva. Esto significa que la potencia reactiva generada por el efecto capacitivo es absorbida por el efecto inductivo.



2.2.2 Lnea No Compensada: Circuito Abierto Si se energiza en el extremo de envo (s), y no se conecta carga alguna en el extremo receptor (r), entonces,

0=rI y las ecuaciones (2.23) y (2.24) se reducen a las siguientes:

xCosVxV r =)( (2.30)

xSenzV

jxIc

r =)( (2.31)

En el extremo de envo, dx= , de modo que el voltaje y la corriente en este extremo, en funcin del voltaje de recepcin, resulta en:

CosVE rs = (2.32)

SenzV

jIc

rs = (2.33)

Debe notarse que Es y Vr estn en fase, lo cual es consistente con el hecho de que no hay transferencia de potencia activa, adems de que la magnitud del voltaje en el extremo de recepcin ser mayor que la correspondiente al extremo de envo, de acuerdo a la ecuacin (2.32). El diagrama fasorial resultante es el mostrado en la Figura 2.3.

Figura 2.3 Diagrama fasorial de voltajes y corrientes de una

lnea de transmisin sin carga en el extremo receptor. El perfil de voltaje expresado por (2.30) puede escribirse en la forma:

xCosCos

ExV s

=)( (2.34)

y de la misma manera, el perfil de corriente:

SI

rS VE



xSenCoszE

jxIc

s

=)( (2.35)

Ejemplo 2.1. Se tiene una lnea de 200 millas, con una frecuencia de operacin f = 60Hz, adems, = 0.405 rad = 23.2. Considere que la magnitud de voltaje en el extremo de envo es igual a 1.0 pu, mientras que la impedancia caracterstica es igual a 1.0 pu. Entonces, en el extremo de recepcin, con x = 0,

088.1)0()2.23(

0.1=== Cos

CosxCos

Cos

EV

o

sr

La corriente en el extremo de envo, esto es, con dx= , ser la siguiente:

4286.0)2.23()2.23(0.1

0.1 jSenCos

jSenCoszE

jxSenCoszE

jI ooc

s

c

ss ====

pu.

Grficamente, los resultados anteriores pueden observarse en la Figura 2.4. Ntese que el voltaje tiende a incrementarse conforme se acerca al punto de recepcin; adems, debido a que la corriente desde el punto de envo tiende a disminuir, la corriente en el punto de recepcin es cero.

Figura 2.4 Perfil de voltaje (a) y de corriente (b), en pu, para la lnea del ejemplo 2.1.



A la elevacin del voltaje de recepcin, con respecto al de envo, se le conoce como efecto Ferranti. Aun cuando en este caso la elevacin de voltaje no es de magnitud riesgosa, se puede tener una idea de lo que sucedera si se tiene longitudes mayores y que la lnea est operando en vaco. 2.3 LNEA SIMTRICA NO COMPENSADA El concepto de lnea de transmisin simtrica, aunque ideal, permite establecer algunas relaciones importantes entre la carga del sistema y el control de voltaje en puntos especficos de la lnea. En este apartado, se describe el comportamiento de la lnea simtrica tanto en vaco como bajo carga. 2.3.1 Lnea Simtrica Sin Carga Una lnea con estas caractersticas tiene conectadas dos mquinas sncronas en sus extremos, pero sin transferir potencia activa. Suponiendo que los voltajes en ambos extremos pueden controlarse en su magnitud, de manera que rs VE = , de las ecuaciones (2.23) y (2.24), con dx= , se tiene:

dSenIzjdCosVE rcrs += (2.36)

dSenzV

jdCosIIc

rrs += (2.37)

o tambin:

SenIzjCosVE rcrs += (2.38)

SenzV

jCosIIc

rrs += (2.39)

Si no existe transferencia de potencia activa, las condiciones elctricas en ambos extremos de la lnea son idnticas. Por simetra:

rs II = (2.40) Substituyendo (2.40) en (2.39):

SenzV

jCosIIc

rrr +=



SenzV

jCosIc

rr =+ )1(

=

+=

21

tgzV

jCos

SenzV

jIc

r

c

rr (2.41)


Senzjtgz

VjCosVE c

c

rrs

+=

2

+

++=

++=

+=

Cos

SenCosCosV

CosSen

CosVSentgVCosVE rrrrs 1)1(

12

22

rrrs VCosCos

VCos

SenCosCosVE =

+

+=

+

++=

11

1

22 (2.42)


=

2tg

zV

jIc

rs

Substituyendo (2.42) en el resultado anterior:

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