Cursul 1 algebra liniara

8/19/2019 Cursul 1 algebra liniara

1/37

Algebra si geometrie

Cursul 1: Elemente introductive de calcul vectorial


2/37

1 Vectori liberi în spaţiu

Cu E3 notam spatiul euclidian tridimensional al geometriei elementare.

De…ni̧tia 1 O pereche ordonat ¼ a (A; B) de puncte din

E3 se numeşte segment orientat de capete A; B şi se noteaz ¼ a prin !AB. Punctul A se numeşte origi-

nea segmentului orientat, iar punctul B, extremitatea segmentului orientat !AB.

Dac ¼ a A 6= B, atunci dreapta determinat ¼ a de punctele A şi B se noteaz ¼ a prinAB şi se numeşte dreapta suport a segmentului orientat

!AB. Dac ¼ a A = B

atunci

!

AB reprezint ¼ a segmentul orientat nul.

De…ni̧tia 2 Spunem c ¼ a segmentele orientate !AB, A 6= B şi

!CD, C 6= D, au

aceeaşi direcţie dac ¼ a şi numai dac ¼ a AB = C D _ AB == C D.


3/37

Propoziţia 1 Relaţia binar ¼ a ”aceeaşi direcţie” de…nit ¼ a pe mulţimea segmen-

telor orientate nenule din E3 este o relaţie de echivalenţ ¼ a.

De…ni̧tia 3 Dou ¼ a segmente orientate nenule şi colineare au aceeaşi sens dac ¼ auna din semidreptele determinate de ele este inclus ¼ a în cealalt ¼ a. Dou ¼ a segmente

orientate, nenule şi paralele, au acelaşi sens, dac ¼ a extremit ¼ aţile lor se a‡ ¼ a înacelaşi semiplan m¼ arginit de dreapta care le uneşte originile.

Propoziţia 2 Relaţia binar ¼ a ”acelaşi sens” de…nit ¼ a pe mulţimea segmentelor orientate nenule din E3 este o relaţie de echivalenţ ¼ a.

De…ni̧tia 4 Dou ¼ a segmente orientate au aceeaşi lungime dac ¼ a segmentele ne-orientate corespunz ¼ atoare sunt congruente între ele.


4/37

Propoziţia 3 Relaţia binar ¼ a ”aceeaşi lungime” de…nit ¼ a pe mulţimea segmen-

telor orientate din E3 este o relaţie de echivalenţ ¼ a.

De…ni̧tia 5 Dou ¼ a segmente orientate nenule se numesc echipolente dac ¼ a ele au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime. Dac ¼ a

!AB este echipolent

cu

!

CD vom scrie

!

AB ~

!

CD.

Propoziţia 4 Relaţia de echipolenţ ¼ a de…nit ¼ a pe mulţimea segmentelor orien-tate nenule din E3 este o relaţie de echivalenţ ¼ a.

De…ni̧tia 6 Clasele de echivalenţ ¼ a ale segmentelor orientate nenule în raport cu relaţia de echipolenţ ¼ a se numesc vectori liberi. Vectorii liberi vor … notaţi cu literele mici ale alfabetului latin cu bar ¼ a deasupra: a; b; c,...


5/37

În acest context, un segment orientat !AB se mai numeşte şi vector legat.

Mulţimea tuturor segmentelor orientate nule din E3 se va numi vector liber nulşi se va nota prin 0. Mulţimea vectorilor liberi din spaţiul E3 o not¼am cu V3.

Dac¼a în E3 …x¼am un punct O, atunci oric¼arui alt punct M din E3 îi corespundeun vector liber m şi numai unul al c¼arui reprezentant s¼a …e

!OM . Astfel prin

…xarea unui punct în spaţiul E3 realiz¼am o corespondenţ¼a biunivoc¼a între spaţi-ile E3 şi V3. Punctul …xat O se numeşte originea spaţiului E3, iar vectorulliber m, al c¼arui reprezentant este vectorul legat

!OM , se numeşte vectorul de

poziţie al punctului M faţ¼a de originea O.


6/37

1.1 Adunarea vectorilor liberi

De…ni̧tia 7 Fie a; b doi vectori liberi din V3, reprezentaţi de vectorii legaţi !OA şi respectiv

!AB din E3. Atunci vectorul liber c 2 V3, al c ¼ arui reprezentant

este vectorul legat !OB din E3, se numeşte suma vectorilor liberi a şi b şi se

scrie c = a + b.

Observaţia 1 În de…niţia 7 dac ¼ a schimb ¼ am reprezentantul !AB al vectorului b

cu !OB, atunci un reprezentant al vectorului sum¼ a c = a + b va …

!OC , unde

C este cel de al patrulea vârf al paralelogramului OABC .

Propoziţia 5 Adunarea vectorilor liberi de…neşte pe V3 o structur ¼ a de grup abelian.


7/37

1.2 Înmuļtirea cu scalari a vectorilor liberi

Propoziţia 6 Fie a 2 V3. Lungimea vectorului a, notat ¼ a prin kak, este lungimea unui segment orientat oarecare

!OA, care îl reprezint ¼ a.

De…ni̧tia 8 Fie 2 R şi v 2 V3. Dac ¼ a:

1) > 0 şi v 6= 0, atunci prin v înţelegem vectorul care are aceeaşi direcţie şi acelaş sens ca vectorul v şi a c ¼ arui lungime este egal ¼ a cu produsul dintre şi lungimea lui v;

2)


8/37

Produsul de…nit mai sus poart¼a numele de produsul cu scalari al vectorilor liberi.

Propoziţia 7 Înmulţirea cu scalari a vectorilor liberi are urm¼ atoarele propri-et ¼ aţi:

1) 8 v 2 V3; 1 v = v;

2) 8 ; 2 R, 8 v 2 V3, (v) = () v;

3) 8 ; 2 R, 8 v 2 V3, ( + ) v = v + v;

4) 8 2 R, 8 u; v 2 V3, (u + v) = u + v.


9/37

1.3 Colinearitate şi coplanaritate

De…ni̧tia 9 Doi vectori liberi a; b din V3 se numesc colineari dac ¼ a exist ¼ a!OA 2

a, !OB 2 b astfel încât punctele O; A; B; s ¼ a …e colineare.

De…ni̧tia 10 Trei vectori liberi a; b; c din V3 se numesc coplanari dac ¼ a re-prezentanţii lor

!OA,

!OB şi respectiv

!OC sunt coplanari.

Vectorul v = 1v1 + + nvn, unde v1;:::;vn, sunt n vectori din V 3; iar1;:::;n, n scalari din R se numeşte combinaţie liniar¼a a vectorilor v1;:::;vn.

De…ni̧tia 11 O mulţime …nit ¼ a de vectori fv1;:::;vng din V 3 se numeşte liniar dependent ¼ a dac ¼ a cel puţin unul dintre vectorii s ¼ ai este combinaţie liniar ¼ a acelorlanţi. În caz contrar mulţimea fv1;:::;vng se numeşte liniar independent ¼ a.


10/37

Propoziţia 8 Doi vectori liberi a; b 2 V3 sunt liniar dependenţi dac ¼ a şi numai

dac ¼ a ei sunt colineari. Trei vectori liberi a; b; c 2 V3 sunt liniar dependenţi dac ¼ a şi numai dac ¼ a ei sunt coplanari.

Observaţia 2 Din acest ¼ a propoziţie rezult ¼ a c ¼ a în V3 orice sistem format dindoi vectori necolineari, ca şi orice sistem format din trei vectori necoplanari,

este liniar independent.

Propoziţia 9 Orice sistem de patru vectori din V3 este liniar dependent.

Fie !OA 2 a;

!OB 2 b;

!OC 2 c;

!OD 2 d; E proiecţia ortogonal¼a a

punctului D pe planul (OAB) ; G ; F proiecţiile ortogonale ale punctului E pe dreapta OA şi respectiv OB şi H proiecţia ortogonal¼a a punctului D pedreapta OC . În aceste condiţii

!OD =

!OE +

!OH =

!OF +

!OG +

!OH . Cum

!OF este colinear cu

!OA;

!OG cu

!OB şi

!OH cu

!OC , exist¼a ; ; 2 R astfel

încât !OF =

!OA,

!OG =

!OB şi

!OH =

!OC adic¼a d = a + b + c.


11/37

Observaţia 3 Num¼ arul maxim de vectori liniar independenţi în V3 este 3.

De…ni̧tia 12 O submulţime G a lui V3 se numeşte sistem de generatori dac ¼ a8 v 2 V3 9 v1;:::;vn 2 G şi 1;:::;n 2 R astfel încât v = 1v1++nvn.

De…ni̧tia 13 O submulţime B a lui V3 se numeşte baz ¼ a dac ¼ a B este liniar independent ¼ a şi sistem de generatori pentru V3.

Observaţia 4 În spaţiul V3 o baz ¼ a este constituit ¼ a din orice trei vectori necopla-nari fv1; v2; v3g.

De…ni̧tia 14 Fie B = fv1; v2; v3g o baz ¼ a V3. Numerele 1; 2; 3 cu ajutorul c ¼ arora un vector v 2 V3 se scrie sub form¼ a de combinaţie liniar ¼ a de vectori ai bazei B se numesc coordonatele lui v în raport cu baza B.


12/37

Observaţia 5 Prin …xarea unei baze în V3 se stabileşte o corespondenţ ¼ a biu-

nivoc ¼ a între elementele spaţiilor V3 şi R3.

Corolar 1 Prin …xarea unui punct în E3 şi a unei baze în V3 se stabileşte o corespondenţ ¼ a biunivoc ¼ a între mulţimea punctelor lui E3 şi mulţimea tripletelor

lui R3

numit ¼ a sistem de coordonate.

Observaţia 6 Acest corolar ne permite s ¼ a spunem despre spaţiul V3 c ¼ a are 3dimensiuni .Mai târziu vom de…ni dimensiunea unui spaţiu vectorial ca …ind egal¼a cu num¼arul de vectori

dintr-o baz¼a a sa.


13/37

1.4 Proiecţie ortogonal¼a

De…ni̧tia 15 Fie a şi b 2 V 3 reprezentaţi respectiv de OA şi OB . Fie C proiecţia ortogonal ¼ a a punctului B pe dreapta OA şi c vectorul liber determi-nat de vectorul legat OC . În aceste condiţii vectorul c se numeşte proiecţiaortogonal ¼ a a vectorului b pe vectorul a. Not ¼ am acest lucru astfel: c = pra b.Propoziţia 10 Fie a 2 V 3n

0

…xat. Pentru orice vectori b; c 2 V 3 şi orice scalari ; 2 R avem:

pra

_b + c

= pra

b

+ pra (c) :

De…ni̧tia 16 Fie a; b doi vectori liberi nenuli din V3 şi OA respectiv OB doi reprezentanţi ai lor în E3. Prin de…niţie clasa de echivalenţ ¼ a a tuturor unghiu-rilor din spaţiul E3 congruente cu unghiul \ AOB se numeşte unghiul vectorilor

a şi b: Unghiul a doi vectori nenuli a; b se noteaz ¼ a prin \

a; b

sau prin ]

a; b

.


14/37

Observaţia 7 Între mulţimea claselor de echivalenţ ¼ a] a; b ; a; b 2 V3n 0şi mulţimea valorilor intervalului

h00; 1800

i sau ale intervalului [0; ] exist ¼ a o

corespondenţ ¼ a biunivoc ¼ a pe care în primul caz o vom nota cu m, iar în al doilea

caz cu . În aceste condiţii num¼ arul m \

a; b

se va numi m¼ asura în grade a

unghiului \ a;b, iar num¼ arul

\

a;b, m¼ asura în radiani a unghiului

\

a;b.

Observaţia 8 Dac ¼ a O1A1 şi O2A2 sunt doi reprezentanţi ai aceluiaşi vector liber a, un plan …xat în E3, iar O01; A

01; O

02; A

02, proiecţiile ortogonale ale

punctelor O1; A1; O2; A2, pe planul , atunci O01A01 O

02A

02.

De…ni̧tia 17 Fie a un vector liber din V

3 şi un plan din E

3. Fie OA unreprezentant oarecare al lui a şi O0; A0, proiecţiile ortogonale ale punctelor O şi A pe planul . Atunci prin de…niţie vectorul liber pr (a) al c ¼ arui reprezentant este vectorul legat O0A0, se numeşte proiecţia ortogonal ¼ a a vectorului a pe planul .


15/37

Propoziţia 11 Fie un plan …xat în E3. Pentru orice a; b 2 V3 şi orice ; 2 R, avem

pr

a + b

= pr (a) + pr

b

:

1.5 Produsul scalar al vectorilor liberi

De…ni̧tia 18 Fie a; b doi vectori liberi nenuli din V3 şi !OA, respectiv

!OB doi

reprezentanţi ai lor în E3. Prin de…niţie, clasa de echivalenţ ¼ a a tuturor unghiu-

rilor din spaţiul E3 congruente cu unghiul \ AOB se numeşte unghiul vectorilor

a şi b. Unghiul a doi vectori nenuli a şi b se noteaz ¼ a prin \

a; b

.


16/37

Observaţia 9 Între mulţimea claselor de echivalenţ ¼ a \ a; b; a; b 2 V3n n0oşi mulţimea valorilor intervalului

h00; 1800

i, sau ale intervalului [0; ] ; exist ¼ a

o corespondenţ ¼ a biunivoc ¼ a, pe care, în primul caz, o vom nota cu m, iar în

cel de al doilea caz cu . În aceste condiţii num¼ arul m

\

a; b!

se va numi

m¼ asura în grade a unghiului

\ a; b

, iar num¼ arul

\ a; b

!, m¼ asura în radiani

a unghiului \

a; b

.

De…ni̧tia 19 Fie a şi b doi vectori din V3. Num¼ arul real

a; b

=

8<: kak

b cos m \ a; b; a 6= 0 ^ b 6= 00; a = 0 _ b = 0


17/37

se numeşte produsul scalar al vectorilor a şi b.

Propoziţia 12 Produsul scalar al vectorilor liberi are urm¼ atoarele propriet ¼ aţi:

1) 8 a; b; c 2 V3;

a; b

=

b; a

;

2) 8 a; b; c 2 V3;

a; b + c

=

a; b

+ ( a; c);

3) 8 2 R; 8 a; b 2 V3;

a; b

=

a; b

;

4) 8 a 2 V3; (a; a) 0; (a; a) = 0 , a = 0.

Observaţia 10 8 a 2 V3; kak =q

(a; a) (aceast ¼ a formul ¼ a ne ofer ¼ a o modalitate de calcul a lungimii unui vector pe spaţiile înzestrate cu produs scalar),


18/37

Observaţia 11 8 a; b 2 V3; a; b = 12 kak2 + b2 a b

2

(vomar ¼ ata mai târziu c ¼ a în anumite condiţii o formul ¼ a ca aceasta ne poate furnizaprodusul scalar al unui spaţiu normat),

Observaţia 12 8 a; b 2 V3, a 6= 0 ^ b 6= 0, cos m \

a; b = (a; b)kakkbk

(aceast ¼ a formul ¼ a ne ofer ¼ a o modalitate de calcul a unghiului dintre doi vectori ai unui spaţiu înzestrat cu produs scalar),

Observaţia 13 Dac ¼ a se cunosc produsele scalare dintre vectorii v1; v2; v3

ai unei baze a spaţiului V

3 atunci, se cunoaşte produsul scalar dintre orice doi vectori ai spaţiului V3. Într-adev ¼ ar, cunoscând valorile produselor scalare vi; v j

, i; j = 1; 2; 3, datorit ¼ a faptului ca orice doi vectori a şi b din V3

se pot exprima în mod unic sub forma a = 1v1 + 2v2 + 3v3, respectiv,


19/37

b = 1v1+2v2+3v3, precum şi datorit ¼ a propriet ¼ aţilor amintite ale produsu-

lui scalar, observ ¼ am c ¼ a

a; b

=3X

i; j=1

i j

vi; v j

. Dac ¼ a alegem o baz ¼ a a

spaţiului V3 care s ¼ a satisfac ¼ a condiţiile suplimentare

vi; v j

=

( 1; i = j0; i 6= j

,

atunci produsul scalar dintre vectorii a şi b menţionaţi mai devreme cap ¼ at ¼ a

forma cea mai simpl ¼ a cu putinţ ¼ a şi anume

a; b

= 11 + 22 + 33.

În acest caz baza fv1; v2; v3g se numeşte ortonormat ¼ a sau canonic ¼ a, iar el-ementele sale se noteaz ¼ a de obicei cu i; j ; k. Geometric vectorii i; j ; k pot … gândiţi ca versori (vectori directori de lungime 1) ai muchiilor unui triedru triortogonal din E3:


20/37

1.6 Produsul vectorial al vectorilor liberi

De…ni̧tia 20 Fie a şi b doi vectori din V3. Vectorul

a b :=

8>:kak

b

sin \

a; b

!

e; a; b necolineari

0; a; b colineari

;

unde e este un versor (vector de lungime 1) perpendicular pe a şi b având sensul dat de regula burghiului, se numeşte produsul vectorial al vectorilor a şi b.

Propoziţia 13 Produsul vectorial al vectorilor liberi din spaţiu, de…nit mai sus,are urm¼ atoarele propriet ¼ aţi:

1) 8a; b 2 V3; a b = ~ b a, (anticomutativitatea);


21/37

2) 8 2 R; 8a; b 2 V3; (a) b = a b = a b ;3) 8a; b 2 V3; a

b + c

= a b + a c, (distributivitatea faţ ¼ a de

adunare);

4) Dac ¼ a vectorii a; b 2 V3 nu sunt colineari atunci a b reprezint ¼ a ariaparalelogramului OACB, unde OA, respectiv OB, sunt doi reprezentanţi ai vectorilor a şi b.

5) 8a; b 2 V3; a b = 0 , a; b colineari;

6) 8a; b 2 V3;

a b2

= kak2

b2

a; b2

, (identitatea lui Lagrange).

Aplicaţia 1 Fiind dat un triunghi ABC şi un punct O oarecare în spaţiu,expresia vectorial ¼ a OA OB + OB OC + OC OA este un invariant.


22/37

Soluţie: BC OA + CA OB + AB OC =

=

OC OB OA +

OA OC

OB +

OB OA

OC =

= 2

OA OB + OB OC + OC OA

,

deci

OA OB + OB OC + OC OA =

BC OA + CA OB + AB OC =2:

Dac¼a se ia un alt punct O0, atunci in virtutea relaţiei g¼asite putem scrie


23/37

O0A O0B + O0B O0C + O0C O0A =

BC O0A + CA O0B + AB O0C=2:

Dar O0A = OA OO0; O0B = OB OO0; O0C = OC OO0. Înlocuindaceste expresii în membrul doi al egalit¼aţii de mai sus, obţinem:

12

hBC

OA OO0

+ CA

OB OO0

+ AB

OC OO0

i =

= BC OA + CA OB + AB OC + OO0

BC + CA + AB

.

Dar BC + CA + AB = 0, deci ultima relaţie devine

O0A O0B + O0B O0C + O0C O0A =BC OA + CA OB + AB OC

=2:


24/37

De unde

OAOB +OBOC +OC OA = O0AO0B +O0BO0C +O0C O0A:

Astfel expresia menţionat¼a de problem¼a nu depinde de poziţia punctului O înspa̧tiu:

Observaţia 14 Considerând spaţiul V3 raportat la baza canonic ¼ an

i ; j ; ko

,datorit ¼ a faptului c ¼ a i i = 0, i j = k, i k = j, j i = k, j j = 0,

jk = i, k i = j , k j = i, kk = 0 precum şi propriet ¼ aţilor produsului vectorial prezentate mai devreme, pentru orice a =

1i +

2 j +

3k şi b =

1i + 2 j + 3k din V3 avem a b = (23 32) i + (31 13) j

+ (12 21) k, sau simbolic a b =

i j k1 2 31 2 3

.


25/37

1.7 Dublul produs vectorial a trei vectori

liberi

De…ni̧tia 21 Prin dublul produs vectorial al vectorilor a; b; c 2 V3, înţelegemvectorul a b c.

Propoziţia 14 Dublul produs vectorial are urm¼ atoarele propriet ¼ aţi:

1) 8a; b; c 2 V3; a b c

=

b c

a,

2) 8a; b; c 2 V3; a

b c

= 0 , b; c sunt colineari, sau a ? b; a ? c

( a ? b , \ m

a; b

= 900),


26/37

3) 8a; b; c 2 V3; vectorul ab c este coplanar cu vectorii b şi c. Calculul efectiv al acestui produs se poate obţine folosind formula

a

b c

=

b c

a; b

(a; c)

:

Observaţia 15 Produsul vectorial nu este asociativ. Într-adevar,

a b

c 6= a

b c

, dac ¼ a a, b şi c sunt necoplanari, deoarece vectorul din primul membru este coplanar cu vectorii a şi b, în timp ce vectorul din membrul al doilea este coplanar cu vectorii b şi c.


27/37

1.8 Produsul mixt a trei vectori liberi

De…ni̧tia 22 Fiind daţi vectorii liberi a; b; c 2 V3, num¼ arul

a; b c

se numeşte produsul mixt al acestori vectori.

Propoziţia 15 Produsul mixt a trei vectori are urm¼ atoarele propriet ¼ aţi:

1) Dac ¼ a vectorii a; b; c 2 V3 sunt necoplanari, atunci a; b c reprez-

int ¼ a volumul paralelipipedului care se construieşte pe reprezentanţii cu origineacomun¼ a ai celor trei vectori;

2) 8a; b; c 2 V3;

a; b c

= 0 dac ¼ a vectorii a; b; c sunt coplanari;

3) 8a, b, c 2 V3,

a; b c

=

c; a b

=

b; c a

;


28/37

4) 8a; b; c 2 V3; a; b c = a; c b ;5) 8 2 R; 8a; b; c 2 V3;

a; b c

=

a;

b c

=

a; b (c)

:

Aplicaţia 2 Prin vârful unui tetraedru se duce în planul …ec ¼ arei feţe câte o

perpendicular ¼ a pe muchia opus ¼ a. S ¼ a se demonstreze c ¼ a cele trei perpendiculare sunt situate în acelaşi plan.

Soluţie: Fie {1; {2; {3 versorii muchiilor Ox; Oy; Oz ale tetraedrului

dat. Consider¼am vectorul u coplanar cu vectorii {2 şi {3 şi ortogonal pe vec-torul {1; vectorul v coplanar cu vectorii {1 şi {3 şi ortogonal pe vectorul {2şi vectorul w coplanar cu vectorii {1 şi {2 şi ortogonal pe vectorul {3. Cumu = 1{2 + 1{3; v = 2{3 + 2{1; w = 3{1 + 3{2, avem (u; v w) =


29/37

1 23 ({2; {3 i1)+ 123 ({3; {1 {2). Dar ({1; {2 i3) = ({2; {3 i1) =

({3; {1 i2) de unde (u; v w) = (31 2 + 23 1) ({1; {2 i3). Din(u; {1) = 0, deducem 1 ({1; {2) + 1 ({1; {3) = 0; din (v; {2) = 0, de-ducem 2 ({2; {3) + 2 ({1; {2) = 0 şi din ( w; {3) = 0, deducem 3 ({1; {3) +3 ({2; {3) = 0. Condiţia necesar¼a şi su…cient¼a ca sistemul

8><>: 1 ({1; {2) + 1 ({1; {3) = 0 2 ({2; {3) + 2 ({1; {2) = 03 ({1; {3) + 3 ({2; {3) = 0

s¼a admit¼a şi soluţii nebanale, este

1 0 1

2 2 00 2 3

= 0 , 31 2 + 23 1 = 0:Astfel (u; v w) = 0. Deci vectorii u; v; w, sunt coplanari.


30/37

Observaţia 16 Dac ¼ a vectorii a = 1i + 2 j + 3k, b = 1i + 2 j + 3k şi

c = 1i + 2 j + 3k din V3 sunt raportaţi la baza canonic ¼ an

i ; j ; ko

atunci calculul produsului mixt

a; b c

se poate face cu ajutorul formulei

a; b c

=

1 2 31 2 3

1 2 3

:

2 Probleme

1. În paralelogramul ABCD s¼a se a‡e sumele !AB +

!DC şi

!AB +

!CD.

Indicaţie: !AB +

!DC = 2

!AB = 2

!DC ;

!AB +

!CD = 0:


31/37

2. Dac¼a rA şi rB sunt respectiv vectorii de poziţie ai punctelor A şi B, s¼a se

determine vectorul de poziţie al punctului M care împarte segmentul jABj înraportul kMAk

kMBk = k.

Indicaţie: Din ipotez¼a avem !M A = k

!M B , rA rM = k (rB rM ) )

rM = rAkrB1k .

Observaţia 17 Pentru k = 1 obţinem vectorul de poziţie al mijlocului seg-mentului jABj.

3. Cunoscând vectorii de pozi̧tie ai vârfurilor unui triunghi s¼a se determinevectorul de poziţie al centrului de greutate al acelui triunghi.


32/37

Indicaţie: În 4ABC , …e D mijlocul segmentului jBC j. Prelungim jOM j cu

segmentul jDM j congruent cu el şi not¼am cu N mijlocul lui jAM j. AvemrA + rB + rC = rA + 2rD = rA + rM = 2rN . S¼a observ¼am c¼a jADj estemedian¼a în 4OAM: În general 4OAM şi 4ABC se a‡¼a în plane diferite.Fie G centrul de greutate al 4OAM . Cum kAGk = 23 kADk şi jADj estemedian¼a în 4ABC ) G centru de greutate în 4ABC . Ca urmare rN =

32rG. Înlocuind acest rezultat în rela̧tia rA + rB + rC = 2rN , g¼asit¼a mai înainte, obţinem rA + rB + rC = 3rG, de unde rG =

13 (rA + rB + rC ).

4. Cunoscînd vectorii de pozi̧tie ai vârfurilor unui tetraedru s¼a se g¼aseasc¼avectorul de poziţie al centrului s¼au de greutate.

Indicaţie: Fie G1 centrul de greutate al feţei BCD şi G centrul de greutateal tetraedrului ABCD. Se ştie c¼a kGAkkGG1k

= 3. Deci !AG = 3

!GG1. Ca


33/37

urmare din rG = rA + !AG şi rG1 = rG +

!GG1 ) rG = rA + 3

!GG1;

!GG1 = rG1 rG ) rG = rA + 3rG1 3rG ) rG = 14

rA + 3rG1

.Cum rG1 =

13 (rB + rC + rD), (vezi problema precedent¼a) deducem rG =

14 (rA + rB + rC + rD).

5. Dintr-un punct A al unui cerc (O) se duc coardele variabile jAM j şi jAN jcare fac între ele un unghi constant. Se cere locul geometric al extremit¼aţiivectorului

!AM +

!AN .

Indicaţie: Fie I mijlocul coardei jM N j. I descrie un cerc

O0 concentric cu

cercul (O), iar !AM +

!AN = 2

!AI =

!AP , unde P descrie cercul omotetic cu

O0 faţ¼a de A în raportul 2.

6. Fie H ortocentrul unui triunghi ABC . Pe în¼aļtimile 4ABC se duc însensuri opuse vârfurilor, vectorii

!HD;

!HE;

!HF ale c¼aror lungimi sunt egale


34/37

cu lungimile laturilor jBC j ; jCAj ; jABj. S¼a se demonstreze c¼a suma acestor

vectori este nul¼a.

Indicaţie: Linia poligonal¼a care d¼a rezultanta (suma vectorilor) este un triunghicongruent cu 4ABC , deci se închide şi astfel rezultanta este nul¼a.

7. Fie a; b 2 V3. Dac¼a !OA 2 a;

!OB 2 b atunci produsul scalar al vectorilor

a şi b este egal cu puterea punctului O faţ¼a de sfera de diametru jABj.

Indicaţie: Fie B 0 a doua intersecţie a dreptei OA cu cercul de diametru jABj.Cum

m

\ AB0B

= 900 )

!OB 0

=!OB cos .


35/37

Deci

!OA;

!OB

=

!OA !OB cos = !OA!OB 0

.

8. Considerând punctele A; B; C; D …xate în spaţiu, s¼a se determine locul

geometric al punctului M care satisface relaţia

!M A;

!M B

=

!M C;

!M D

.

Indicaţie: Din interpretarea geometric¼a a produsului scalar (problema ante-rioar¼a) deducem c¼a punctul M are puteri egale faţ¼a de sferele de diametrejABj şi jCDj. Ca urmare locul geometric al punctului M este planul radicalal celor dou¼a sfere.


36/37

9. Fie A; B; C trei puncte necolineare …xate. Ce condiţie trebuie s¼a îndeplin-

easc¼a dou¼a puncte arbitrare M şi N din spaţiu pentru ca sistemele de foŗten!M A;

!M B;

!M C

o şi

n!N A;

!N B;

!N C

o s¼a-̧si fac¼a echilibru?

Indicaţie: !M A +

!M B +

!M C = 3

!M G;

!N A +

!N B +

!N C = 3

!N G; unde

g este centrul de greutate al 4ABC . Condiţia c¼autat¼a este ca punctele M şiN s¼a …e simetrice faţ¼a de punctul G.

10. Considerând punctele A; B; C; D; E; F; G; H; …xate în spaţiu s¼a sestudieze existenţa punctelor M pentru care

!M A;

!M B

=

!M C;

!M D

=

!M E;

!M F

=

!M G;

!M H

.

Indicaţie: Din interpretarea geometric¼a a produsului scalar (problema 7) rezult¼ac¼a punctul M are puteri egale faţ¼a de sferele de diametre jABj ; jCDj ; jEF j ;


37/37

jGH j. Astfel M este centrul radical al acestor sfere.

11. Fie A şi O dou¼a puncte …xe în spaţiu. Se cere locul geometric al punctuluiM pentru care

!OA;

!OM

= constant.

Indicaţie: Fie N proiecţia punctului M pe dreapta OA. Din!OA; !OM =!OA !ON ) !OA !ON = constant ) N …x. Cum orce punct din

spaţiu care veri…c¼a cerinţa problemei se proiecteaz¼a pe dreapta OA în punctul…x N , rezult¼a c¼a locul geometric c¼autat este planul perpendicular pe OA în N .

Documents

Cursul 1 algebra liniara