-
PROGRAMARE LINIARA
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
CUPRINSFormulare modelMetode de solutionare graficaModelul
programarii liniareSolutionare prin algoritmul SIMPLEX
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Linear Programming (LP)Modelul matematic (restrictiile) si
functia obiectiv sunt relatii liniare in variabileProgramarea
liniara este o tehnica matematica de a rezolvarea problemelor de
optimizare liniare cu restrictii liniare
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Tipuri de probleme de programare liniara
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
LP Formulare modelVariabile de decizieSimboluri matematice
pentru nivelul deciziilor (cantitati de materie prima, cantitate
transportata de la un depozit A la un consumator B)Functia
obiectivO relatie liniara intre variabilele de dcizie care reflecta
scopul urmaritIn domeniul afacerilor majoritatea FO sunt de tipul
maximize profitIn domeniul prepararii unor produse ce urmaresc o
reteta, ambalare.., scopul este minimizarea costurilorIn
organizarea aprovizionarii: minimizarea
cheltuielilorResctrictiiRelatii liniare (egalitati sau inegalitati)
ce reprezinta constrangeri in luarea deciziilor
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
LP Model matematic- forma generalaMax/min z = c1x1 + c2x2 + ...
+ cnxnSupus restrictiilor:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn (, =, )
b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn (, =, ) b2: am1x1 + am2x2 + ... +
amnxn (, =, ) bm
xj = variabile de deciziebi = nivel al constrageriicj =
coeficientii din functia obiectivaij = coeficientii in restrictii (
i restrictia, j variabila)
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Problema de alocarea resurselor-forma generala
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Problema de amestec-forma generalaNota: n>m
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Problema optimizarii transporturilor- forma generala
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
LP Exemple
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
LP : ExempluMax Z = 40 x1 + 50 x2 profit unitar: 40$/kg si
50&/kg
Subject tox1+2x240 (hr)(restrictie ore munca)4x1+3x2120 (kg)
(restrictie materie prima)x1 , x20
Solutia este x1 = 24 kg bomboane x2 = 8 kg bagheteProfit =
$1360
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Solutie graficaSe reprezinta sistemul de restrictii Se
identifica domeniul fezabil unde toate restrictiile sunt
satisfacute simultanReprezentarea functiei obiectiv pentru a
identifica optimul
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Solutie grafica
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Calculul coordonatelor punctului de optim248
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Varfurile domeniului definit de restrictii
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Functia obiectiv modificata4x1 + 3x2 120x1 + 2x2 4040 30 20 10 0
B|10|20|30|40x1x2CAZ = 70x1 + 20x2
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Algoritmul Simplex
Se adauga variabile de compensare in restrictiile de tip
inegalitate < ( ca semnificatie, resurse neutilizate) x1 + 2x2 +
s1 =40 4x1 + 3x2 + s2 =120In restrictii de forma aceste variabile
se adauga cu semn - si reprezinta un exces de resurse. De
exemplu:2x1 + 4x2 16 se transforma in2x1 + 4x2 - s1 = 16Variabilele
de compensare sunt pozitive si au coeficienti nuli in funxctia
obiectiv Z = $40x1 + $50x2 + 0s1 + 0s2Forma in care inegalitatile
sunt transformate in egalitati se numeste forma standard
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Crearea primei solutii fezabile de bazaPentru problema adusa la
forma standard, numarul total de variabile fiind N=n+m, (n nr
varialibe initiale, m nr de restrictii inegalitate) o solutie
fezabila de baza este acea solutie in care m variabile sunt nenule
si pozitive iar N-m variabile sunt nule. Aceasta solitie corespunde
unui varf al poligonului definit de restrictii. In probleme tipice
de PL, originea este varf al poligonului si prima solutie de baza
este originea (variabile initiale sun nule iar variabilele de
cmpensare sunt nenule si se obin din restrictii)Se creaza matricea
Simplex pentru prima solutie de baza
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Exemplu aducere la forma standard Prima solutie fezabila de
baza
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Matricea SIMPLEXVariabile nenule in bazaVariabile nule in
bazaCoeficientii in FO cu semn schimbatVal variabileleor nenule in
bazaCoeficientii var nule din restrictii
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Alegererea pivotuluiMatricea Simplex se va modifica pt a obtine
valorile corespunzatoare unei noi solutii fezabile de baza (un alt
varf al poligonului).Modificarile se fac utilizand pozitia
pivotuluiDeterminarea pivotului:In probleme de maxim se alege din
ultima linie, dintre valorile negative, cea mai mare in valoare
absoluta (aceasta pozitie definese coloana pivotului). Pe coloana
pivotului , dintre valorile bi /ai,j, cu ai,j diferit de zero, se
alege valoarea cea mai mica. Aceasta defineste coloana pivotului.In
probleme de minim se alege din ultima linie, dintre valorile
pozitive cea cu valoarea cea mai mare pt a defini coloana
pivotului. Linia pivotului se identifica ca la probleme de
maxim
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Modificarea matriciiVariabila din baza pe linia pivotului iese
din baza ( va fi nula)Variabila de pe coloana pivotului intra in
baza (va primi valoare nenula pozitiva)Elementele de pe linia
pivotului se impart la pivotElemntele de pe coloana pivotului se
impart la pivot si se schimba semnulCelelalte elemente se
calculeaza conform schemeia1=a0-c0*b0/piv
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Oprirea calculelorCalculele se termina cand pe ultima linie sunt
numai valori pozitive (pt maxim)Calculele se termina cand pe ultima
linie sunt numai valori negative (pt minim)
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Principiul algoritmului SIMPLEX pentru o problema de maximSe
creaza o prima solutie fezabila de baza (corespunde unui varf al
poligonului definit de restrictii) pornind din origine.
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Matricea SIMPLEXCoef in restrictiiCoef in FO cu semn
schimbatCorespunde originiix1=0, x2=0
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Iteratia 1x1=0, x2=20pivot
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Iteratia 2OPTIMULx1=24, x2=8
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
-
Reprezentarea cautarii SIMPLEXIter 0Iter 2 optimulIter 1
Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.
