CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES

Introdução

Curvas horizontais circulares 2

β1, β2, β3 são azimutes dos alinhamentos

θ1, θ2 são ângulos de deflexão

𝐀𝐀, 𝐃𝐃, 𝐆𝐆 são tangentes (trechos retos entre curvas de concordância)

Introdução

Curvas horizontais circulares 3

𝐀𝐁, 𝐁𝐃, 𝐃𝐄, 𝐄𝐆 são tangentes externas

𝐀𝐃� , 𝐃𝐆� são os desenvolvimentos das curvas de concordância são

arcos de círculo concordando duas tangentes

Elementos de uma curva circular

Curvas horizontais circulares 4

PC: ponto de curva

PT: ponto de tangente

PI: ponto de interseção de tangentes

T: tangente externa

D: desenvolvimento da curva

Δ: ângulo de deflexão

AC: ângulo central da curva

Elementos de uma curva circular

Curvas horizontais circulares 5

R: raio da curva circular

O: centro da curva

E: afastamento

G: grau da curva

c: corda

d: deflexão sobre a tangente

Relações entre os elementos

Curvas horizontais circulares 6

No triângulo O-PC-PI:

𝑻𝑹

= 𝒕𝒕𝑨𝑨𝟐⇒ 𝑻 = 𝑹. 𝒕𝒕

𝑨𝑨𝟐

𝑫𝟐.𝝅.𝑹

=𝑨𝑨𝟑𝟑𝟑

⇒ 𝑫 =𝝅.𝑹.𝑨𝑨𝟏𝟏𝟑

(para AC em graus)

Ou: 𝑫 = 𝑹.𝑨𝑨

(para AC em radianos)

Relações entre os elementos

Curvas horizontais circulares 7

No triângulo O-PC-PI:

𝒄𝒄𝒄𝑨𝑨𝟐

=𝑹

𝑹 + 𝑬⇒

⇒ 𝑬 = 𝑹. (𝒄𝒔𝒄𝑨𝑨𝟐− 𝟏)

Ou:

𝑬 = 𝑻. 𝒕𝒕𝑨𝑨𝟒

Relações entre os elementos

Curvas horizontais circulares 8

No elemento O-A-B:

𝑨𝑨�𝑮

=𝟐.𝝅.𝑹𝟑𝟑𝟑

⇒ 𝑮 =𝟏𝟏𝟑.𝑨𝑨�𝝅.𝑹

(para G em graus)

Quando R ↑ ⇒ 𝑨𝑨� ≈ corda

p/ corda de 20 m:

𝑮𝟐𝟑 =𝟏𝟏𝟑.𝟐𝟑𝝅.𝑹

=𝟏𝟏𝟒𝟏,𝟗𝟐

𝑹

Relações entre os elementos

Curvas horizontais circulares 9

No elemento O-A-B:

𝒅 =𝑮𝟐

𝒅𝟐𝟑 =𝑮𝟐𝟑𝟐

=𝟏𝟏𝟒𝟏,𝟗𝟐𝟐.𝑹

Deflexão por metro:

𝒅𝒎 =𝒅𝒄

=𝑮𝟐. 𝒄

p/ 𝒄 = 𝟐𝟑 𝒎: 𝒅𝒎 = 𝒅𝟐𝟑𝟐𝟑

= 𝑮𝟐𝟑𝟒𝟑

Importante!

Curvas horizontais circulares 10

Estacas (estaqueamento da estrada)

Anteprojeto: estacas a cada 50 metros

Projeto: estacas a cada 20 metros

Notação:

[ A + B ]

A: número inteiro de estacas

B: distância em metros (fração de estaca)

Exemplo: 335,48 m [ 16 + 15,48 m ]

Pontos notáveis

Curvas horizontais circulares 11

Est. PC = Est. PI – T

Est. PT = Est. PC + D

Indicação em projeto

Curvas horizontais circulares 12

Indicação em projeto

Curvas horizontais circulares 13

Exercício

Verificar o raio mínimo e calcular os elementos geométricos da

curva circular simples de um trecho da estrada.

Dados:

AC = 35º12’

R = 350 m

PI = 68 + 2,38 m

Região plana; classe II

Curvas horizontais circulares 14

Locação da curva circular

Curvas horizontais circulares 15

Locação da curva circular

Curvas horizontais circulares 16

Utilizando os dados do exercício anterior:

Est. PC = [ 62 + 11,35m ]

Est. PT = [ 73 + 6,37m ]

d20 = 1,637º = 1º38’13”

dm = 0,08185º = 0º04’55”

Pelo menos 5 casas decimais!!!

Locação da curva circular

Curvas horizontais circulares 17

Utilizando os dados do exercício anterior:

Estaca Corda (m)

Deflexão parcial (graus)

Deflexão parcial (GMS)

Deflexão acumulada (GMS)

PC 62+11,35 -- -- -- -- 63 8,65 0,70800 0° 42' 29" 0° 42' 29" 64 20 1,63700 1° 38' 13" 2° 20' 42" 65 20 1,63700 1° 38' 13" 3° 58' 55" 66 20 1,63700 1° 38' 13" 5° 37' 08" 67 20 1,63700 1° 38' 13" 7° 15' 22" 68 20 1,63700 1° 38' 13" 8° 53' 35" 69 20 1,63700 1° 38' 13" 10° 31' 48" 70 20 1,63700 1° 38' 13" 12° 10' 01" 71 20 1,63700 1° 38' 13" 13° 48' 14" 72 20 1,63700 1° 38' 13" 15° 26' 28" 73 20 1,63700 1° 38' 13" 17° 04' 41"

PT 73+6,37 6,37 0,52138 0° 31' 17" 17° 35' 58"

Locação da curva circular

Curvas horizontais circulares 18

Utilizando os dados do exercício anterior:

Estaca Corda (m)

Deflexão parcial (graus)

Deflexão parcial (GMS)

Deflexão acumulada (GMS)

PC 62+11,35 -- -- -- -- 63 8,65 0,70800 0° 42' 29" 0° 42' 29" 64 20 1,63700 1° 38' 13" 2° 20' 42" 65 20 1,63700 1° 38' 13" 3° 58' 55" 66 20 1,63700 1° 38' 13" 5° 37' 08" 67 20 1,63700 1° 38' 13" 7° 15' 22" 68 20 1,63700 1° 38' 13" 8° 53' 35" 69 20 1,63700 1° 38' 13" 10° 31' 48" 70 20 1,63700 1° 38' 13" 12° 10' 01" 71 20 1,63700 1° 38' 13" 13° 48' 14" 72 20 1,63700 1° 38' 13" 15° 26' 28" 73 20 1,63700 1° 38' 13" 17° 04' 41"

PT 73+6,37 6,37 0,52138 0° 31' 17" 17° 35' 58"

Locação da curva circular

Curvas horizontais circulares 19

Utilizando os dados do exercício anterior:

Estaca Corda (m)

Deflexão parcial (graus)

Deflexão parcial (GMS)

Deflexão acumulada (GMS)

PC 62+11,35 -- -- -- -- 63 8,65 0,70800 0° 42' 29" 0° 42' 29" 64 20 1,63700 1° 38' 13" 2° 20' 42" 65 20 1,63700 1° 38' 13" 3° 58' 55" 66 20 1,63700 1° 38' 13" 5° 37' 08" 67 20 1,63700 1° 38' 13" 7° 15' 22" 68 20 1,63700 1° 38' 13" 8° 53' 35" 69 20 1,63700 1° 38' 13" 10° 31' 48" 70 20 1,63700 1° 38' 13" 12° 10' 01" 71 20 1,63700 1° 38' 13" 13° 48' 14" 72 20 1,63700 1° 38' 13" 15° 26' 28" 73 20 1,63700 1° 38' 13" 17° 04' 41"

PT 73+6,37 6,37 0,52138 0° 31' 17" 17° 35' 58"

𝒅𝒎. 𝒄

Locação da curva circular

Curvas horizontais circulares 20

Utilizando os dados do exercício anterior:

Estaca Corda (m)

Deflexão parcial (graus)

Deflexão parcial (GMS)

Deflexão acumulada (GMS)

PC 62+11,35 -- -- -- -- 63 8,65 0,70800 0° 42' 29" 0° 42' 29" 64 20 1,63700 1° 38' 13" 2° 20' 42" 65 20 1,63700 1° 38' 13" 3° 58' 55" 66 20 1,63700 1° 38' 13" 5° 37' 08" 67 20 1,63700 1° 38' 13" 7° 15' 22" 68 20 1,63700 1° 38' 13" 8° 53' 35" 69 20 1,63700 1° 38' 13" 10° 31' 48" 70 20 1,63700 1° 38' 13" 12° 10' 01" 71 20 1,63700 1° 38' 13" 13° 48' 14" 72 20 1,63700 1° 38' 13" 15° 26' 28" 73 20 1,63700 1° 38' 13" 17° 04' 41"

PT 73+6,37 6,37 0,52138 0° 31' 17" 17° 35' 58"

Locação da curva circular

Curvas horizontais circulares 21

Utilizando os dados do exercício anterior:

Estaca Corda (m)

Deflexão parcial (graus)

Deflexão parcial (GMS)

Deflexão acumulada (GMS)

PC 62+11,35 -- -- -- -- 63 8,65 0,70800 0° 42' 29" 0° 42' 29" 64 20 1,63700 1° 38' 13" 2° 20' 42" 65 20 1,63700 1° 38' 13" 3° 58' 55" 66 20 1,63700 1° 38' 13" 5° 37' 08" 67 20 1,63700 1° 38' 13" 7° 15' 22" 68 20 1,63700 1° 38' 13" 8° 53' 35" 69 20 1,63700 1° 38' 13" 10° 31' 48" 70 20 1,63700 1° 38' 13" 12° 10' 01" 71 20 1,63700 1° 38' 13" 13° 48' 14" 72 20 1,63700 1° 38' 13" 15° 26' 28" 73 20 1,63700 1° 38' 13" 17° 04' 41"

PT 73+6,37 6,37 0,52138 0° 31' 17" 17° 35' 58"

+ =

≈ AC/2

Visibilidade nas curvas horizontais

Curvas horizontais circulares 22

Visibilidade nas curvas horizontais

Curvas horizontais circulares 23

(formulação nas páginas 96, 97, 98 e 99

do livro “Estradas de Rodagem – Projeto

Geométrico” de Glauco Pontes Filho)

R: raio (m)

D: distância de visibilidade de parada

ou de ultrapassagem (m)

M: afastamento horizontal mínimo (m)

Exercício proposto

Calcular os elementos geométricos da curva circular simples de

um projeto e sua tabela de locação.

Dados:

AC = 42º26’

R = 300 m

PI = 54 + 15,4 m

Região plana; classe II

Curvas horizontais circulares 24

Exercício proposto

No traçado abaixo, sendo as curvas circulares simples e

sabendo-se que o ponto A encontra-se na estaca [115+2,30m],

determinar todas as estacas notáveis do trecho, bem como a sua

extensão total.

Curvas horizontais circulares 25

A

B

Exercícios de estudo

Capítulo 9 do livro:

“Projeto Geométrico de Rodovias” (2a. Edição)

Carlos Pimenta e Márcio Oliveira

Exercícios 3.1 a 3.5 (resolvidos)

Curvas horizontais circulares 26