Curve Ellittiche, Forme Modulari e Rappresentazioni di ... · Curve Ellittiche, Forme Modulari e Rappresentazioni di Galois - Una breve introduzione Author: Daniele Masoero Subject:

Curve Ellittiche, Forme Modulari e Rappresentazioni di GaloisUna breve introduzione

Daniele MasoeroUniversità degli studi di Genova, Dipartimento di Matematica

18 Maggio, 2015

mailto:[email protected]

http://www.unige.it/strutture/ou/staff/DIMA

Cosa studiamo?

Rappresentazioni di Galois

Forme ModulariCurve Ellittiche (Motivi)

Daniele Masoero Curve Ellittiche, Forme Modulari e Rappresentazioni di Galois 1 / 23


Cenni di Arimetica delle Curve Ellittiche

Cosa è una curva ellittica?

Definizioni equivalenti:

• Una curva ellittica è una varietà abeliana di dimensione 1.

• Una curva proiettiva non singolare e irriducibile di genere 1 con un punto 0.

Più esplicitamente, ogni curva ellittica ha un modello piano cubico della forma:

y 2 + a1xy + a3 = x3 + a2x2 + a4x + a6

detta equazione di Weierstrass. Se la caratteristica del nostro campo 6= 2, 3possiamo ridurci a

(y ′)2 = 4(x ′)3 − g2x ′ − g3



Aritmetica sulla curva

D’ora in poi le curve considerate saranno a coefficienti in Q.Sia E/Q una curva ellittica e sia K un’estensione di Q associamo all’insiemedei suoi punti K -razionali E(K) una struttura di gruppo abeliano nel seguentemodo:

P + Q

−R

P

Q



Mordell-Weil

Teorema di Mordell WeilSia A/K una varietà abeliana su un campo di numeri K allora il gruppo A(K)definito su i suoi punti K -razionali è un gruppo abeliano finitamente generato.

Per il teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati otteniamo

A(K) ' Zr ⊕ A(K)tors

r è detto rango della varietà ed è il principale oggetto di studio.

• r dipende dalla scelta di K !

• È congetturato che esistano curve ellittiche su Q di rango arbitrariamentealto.



Funzioni L

Sia E/Q una curva ellittica, definita in forma affine da

y 2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x + a6

e assumiamo che sia un modello minimale secondo Néron (∆(E) il più piccolopossibile in modulo).

Denotiamo con E = Ep la riduzione di E su Z/p. Se p non divide ∆ allora E èuna curva ellittica e definiamo la sua serie L come

L(E , s) = ((1− a1s)(1− a2s))−1

(ai sono le radici caratteristiche della mappa di Frobenius (x , y) 7→ (xp, yp)).



Funzioni L

Se E è una curva singolare, detto P il suo punto singolare definiamo:

L(E , s) =

(1− s)−1 se P è un nodo con tangenti distinte

(1 + s)−1 se P è un nodo con tangenti coniugate

1 se P è una cuspide

L(E , s) :=∏

p

L(Ep, s) =∑

n

an

ns



Congettura di Birch Swinnerton-Dyer

Congettura di Birch Swinnerton-Dyer

L(E , s) ≈ (1− s)r

Kolyvagin ha dimostrato la congettura per r = 1!Weils e alievi hanno dimostrato che si può estendere analiticamente a tutto ilpiano complesso.



Funzioni Ellittiche

�

Cosa vuol dire ellittiche?

DefinizioneUna funzione ellittica è una funzione meromorfa f : C→ C tale che esistonoω1, ω2 ∈ C:

• C = ω1R + ω2R

• f (z + ω1) = f (z + ω2) = f (z)

Se ω ∈ Λ := ω1Z + ω2Z allora f (z + ω) = f (z), possiamo quindi ridurci astudiare f su C/Λ.



Funzione di Weierstrass

Dato un reticolo Λ vogliamo associare una funzione ellittica "speciale".

Definizione

Sia Λ un reticolo definiamo la funzione di Weierstrass come:

℘(z) := 1z2 +

∑ω∈Λr{0}

(1

(z − ω)2 −1ω2

)

La funzione di Weierstrass soddisfa l’equazione funzionale

(℘′(z))2 = 4(℘(z))3 − g2℘(z)− g3

cong2 = 60

∑ω∈Λr0

1ω4 , g3 = 140

∑ω∈Λr0

1ω6



Parametrizzare curva ellittica

Funzioni di WeierstrassTori su C Curve Ellittiche

Fatti

• La mappa che ad una curva ellittica associa un toro è un isomorfismo digruppi.

• Λ ' aΛ (z 7→ az), quindi Λ ' Λ(τ) := Z + Zτ con τ ∈ H (I(τ) > 0).



Invarianti

Tramite l’isomorfismo "descritto" precedentemente definiamo:

• g2(τ) := g2(Λ(τ)), g3(τ) := g3(Λ(τ))

• ∆(τ) := 16(4g2(τ)3 − 27g3(τ)2) il sistemaf (x , y ; τ)∂

∂x f∂

∂y f

ha soluzione sse ∆(τ) = 0

• j(τ) := 1728g2(τ)3

∆(τ)



Modularità di j

Due reticoli sono omotetici sse Λ = aΛ′ per qualche a.

ProprietàΛ ' Λ′ sse j(Λ) = j(Λ′).

Modularità di j

j(τ) = j(τ ′) sse τ = γ.τ ′ := a + cτb + dτ con γ =

(a bc d

)∈ SL(2,Z).

Proprietà + Modularità j 7−→ {Curve ellittiche/ ∼} 1−1←→ H/SL(2,Z)



Regione fondamentale di SL(2,Z)

�

Come è fatto Y (1) := H/SL(2,Z)?

-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1 1.5

•

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Denotiamo con X(1) la compattificazione di Y (1) come superfice di Riemann(in modo esplicito X(1) := (H ∪ P(Q))/SL(2,Z)).



Forme Modulari

Forme modulari

• Sia N ∈ N definiamo con Γ0(N) il gruppo delle matrici in SL(2,Z) la cuiriduzione modulo N è triangolare superiore.

• Una funzione olomorfa f è detta forma modulare di livello N e peso k se

f (z) = (cz + d)k f (γ.z) con γ =

(a bc d

)∈ Γ0(N).

• S(N) è l’insieme delle forme modulari di livello N.

Se f ∈ S(N) e N|M allora f ∈ S(M), le forme in S(N) che non sono formemodulari di livello un qualche divisore di N sono dette nuove forme.

• S(N)new è l’insieme delle nuove forme.



Proprietà elementari e funzione L

• Il peso di una forma modulare è pari

f

((−1 00 −1

).z

)= −1k f (z), ma

(−1 00 −1

).z = z

• Le forme modulari sono funzioni periodiche infatti f (z) = f (1 + z)

f

((1 10 1

).z

)= f (z), ma

(1 10 1

).z = 1 + z

f si può sviluppare in serie di Fourier f =∑

n≥0 anqn, e quindi la suatrasformata di Mellin sarà

L(f , s) :=∑n≥0

an

ns



Formula di Shimura

• Una forma modulare si dice cuspidale se a0 = 0.• Ad una curva ellittica possiamo associare un numero N detto conduttoredella curva.

Formula di ShimuraShimura ci fornisce un metodo per associare ad una nuova forma cuspidale f dilivello N e peso k una varietà abeliana Af di dimensione k.

A una nuova forma cuspidale di peso 2 possiamo quindi associare una curvaellittica.



Rapporto tra f e Af

�

Che rapporto c’è tra f e Af ?

Teorema

L(f , s) = L(Af , s) per quasi tutti gli n.

�

La corrispondenza è suriettiva?Questa domanda prende il nome di Congettura di Tanyama-Shimura• Nel 1995 Weils ha dimostrato la congettura per le curve semistabili!• Nel 2001 la dimostrazione è stata estesa a tutte le curve su Q!



Perché interessava a Weils?

Tutto molto alla cazzo.

DefinizioneSia n > 2 e sia an + bn = cn soluzione del problema di Fermat, definiamo unacurva ellittica associata alla soluzione nel seguente modo:

y 2 = x(x − an)(x + bn)

• Frey si accorge nel 1990 che una curva siffatta non può essere modulare!• La curva di Frey ha conduttore il radicale di abc.• Tanyama-Shimura per curve semistabili + Considerazioni di Frey 7−→ UltimoTeorema di Fermat!



D’accordo, ma tu cosa fai?

Definizioni

Fissiamo G un gruppo e A un G-modulo (un gruppo su cui agisce G).

Definizione

Hn(G ,A) = Mappe(Gn,A)/qualcosa

Prendiamo ora una curva ellittica E/Q e sia K un campo di numeri.Sicuramente avremo che Gal(Q/K) agisce su E(Q).

H0(K ,E) := H0(Gal(Q/K),E) = E(Q)Gal(Q/K) = E(K)



Valutazioni e gruppi associati

Sia K un campo e sia v una sua valutazione, denotiamo con Kv il suocompletamento (nel senso topologico) di K rispetto a v .

• Kv è un campo e abbiamo l’inclusione di campi K → Kv .• Gal(Kv/Kv ) ⊆ Gal(K/K)• Hn(Kv ,E) ⊆ Hn(K ,E)

Gruppo di Shafarevich

X(E ,K) := ker

H1(K ,E)→∏

v∈Val(K)

H1(Kv ,E)



Grazie.

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