D C - halapa

1

Zadatak 081 (Ana, hotelijerska škola)

U četverokutu ABCD, prikazanome na slici, stranica AB paralelna je sa stranicom CD , a

stranica BC paralelna je sa stranicom DF , s time da je zadano │AB│= 4.5 cm, │FB│= 1.3 cm,

│FC│= 2 · │FB│ i 0

90 .CFB∠ = Kolika je površina četverokuta ABCD?

2 2 2 2. 5.85 . 7.54 . 9.23 . 11.7A cm B cm C cm D cm

D C

A BF

Rješenje 081 Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Ploština trokuta izračunava se po formuli

, .2

,2 2

b va v c va b cP P P⋅⋅ ⋅

= = =

Ploština trokuta jednaka je polovici produkta duljine jedne njegove stranice i duljine visine koja

odgovara toj stranici.

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Ploština pravokutnog trokuta čije su katete a i b dana je formulom

2.

a bP

⋅=

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri stranice.

Trapez je četverokut kojemu su dvije suprotne stranice usporedne (paralelne). Usporedne stranice zovu

se osnovice, a druge dvije zovu se kraci trapeza. Ploština trapeza izračunava se po formuli

2,

a cP v

+= ⋅

gdje je v visina trapeza.

Paralelogram je četverokut kojemu su po dvije nasuprotne stranice paralelne.

Površina paralelograma jednaka je umnošku osnovice (baze) i pripadne visine:

ili .P a v P b va b= ⋅ = ⋅

N

D C

A BF

2

Sa slike vidi se:

4.5 , 1.3 , 2 2 1.3 2.6 , 2.6AB cm FB cm FC FB cm cm ND FC cm= = = ⋅ = ⋅ = = =

4.5 1.3 3.2 , 1.3AF AB FB cm cm cm DC FB cm= − = − = = =

1.inačica

N

D C

A BF

Četverokut ABCD je trapez jer je stranica AB paralelna sa stranicom .CD Površina trapeza ABCD

iznosi:

4.5 1.32.6

2 2

AB DC cm cmP FC P cm

ABCD ABCD

+ += ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

5.8 22.6 7.54 .

2

cmP cm P cm

ABCD ABCD⇒ = ⋅ ⇒ =

Odgovor je pod B.

2.inačica

N

D C

A BF

Uočimo da je površina četverokuta (trapeza) ABCD jednaka zbroju površina trokuta AFD i

paralelograma FBCD.

2

AF NDP P P P FB FC

ABCD AFD FBCD ABCD

⋅= + ⇒ = + ⋅ ⇒

3.2 2.6 21.3 2.6 7.54 .

2

cm cmP cm cm P cm

ABCD ABCD

⋅⇒ = + ⋅ ⇒ =

Odgovor je pod B.

3.inačica

3

N

D C

A BF

Uočimo da je površina četverokuta (trapeza) ABCD jednaka zbroju površina trapeza AFCD i

pravokutnog trokuta FBC.

2 2

AF DC FB FCP P P P ND

ABCD AFCD FBC ABCD

+ ⋅= + ⇒ = ⋅ + ⇒

3.2 1.3 1.3 2.62.6

2 2

cm cm cm cmP cm

ABCD

+ ⋅⇒ = ⋅ + ⇒

4.5 1.3 2.6 22.6 7.54 .

2 2

cm cm cmP cm P cm

ABCD ABCD

⋅⇒ = ⋅ + ⇒ =

Odgovor je pod B.

Vježba 081

U četverokutu ABCD, prikazanome na slici, stranica AB paralelna je sa stranicom CD , a

stranica BC paralelna je sa stranicom DF , s time da je zadano │AB│= 9 cm, │FB│= 2.6 cm,

│FC│= 2 · │FB│ i 0

90 .CFB∠ = Kolika je površina četverokuta ABCD?

2 2 2 2. 30.16 . 18.64 . 36.12 . 22.14A cm B cm C cm D cm

D C

A BF

Rezultat: A.

Zadatak 082 (4A, TUPŠ)

U četverokutu ABCD, prikazanome na skici, su 0 0

60 i 150 .ACD BCD∠ = ∠ = Kolika je

duljina dijagonale AC zaokružena na jednu decimalu?

. 3.3 . 3.6 . 4.0 . 4.1A cm B cm C cm D cm

4

2.2 cm

4 cmA B

D

C

Rješenje 082

Ponovimo!

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine.




Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat duljine hipotenuze jednak zbroju kvadrata

duljina kateta.

2 2 2.c a b= +

2.2 cm

4 cmA B

D

C

2.2 cm

4 cmA B

D

C

2.2 cm

4 cmA B

D

C

Sa slika vidi se:

0 04 , 2.2 , 60 , 150 .AB cm BC cm ACD BCD= = ∠ = ∠ =

Uočimo da je kut jednak razlici kutova i .BCA BCD ACD∠ ∠ ∠

0 0 0150 60 90 .BCA BCD ACD BCA BCA∠ = ∠ − ∠ ⇒ ∠ = − ⇒ ∠ =

Kut BCA∠ je pravi kut pa je trokut ∆ABC pravokutan. Njegova je hipotenuza stranica AB , a katete

su i .AC BC Duljinu katete AC izračunamo pomoću Pitagorina poučka.

2 2 2 2 2 2/AC AB BC AC AB BC= − ⇒ = − ⇒

( ) ( )2 2 2 2

4 2.2 3.3 .AC AB BC AC cm cm AC cm⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

Odgovor je pod A.

5

Vježba 082

U četverokutu ABCD, prikazanome na skici, su 0 0

50 i 140 .ACD BCD∠ = ∠ = Kolika je

duljina dijagonale AC zaokružena na jednu decimalu?

. 3.3 . 3.6 . 4.0 . 4.1A cm B cm C cm D cm

2.2 cm

4 cmA B

D

C

Rezultat: A.

Zadatak 083 (Ivan, tehnička škola)

Na skici je prikazan trapez kojemu je jedan krak okomit na osnovice. Duljine osnovica iznose

10 cm i 6 cm, a duljina kraka okomitoga na osnovice iznosi 4 cm. Povučena je dužina usporedna s

osnovicama i ona taj trapez dijeli na dva dijela jednakih ploština. Na kojoj je udaljenosti od kraće

osnovice trapeza povučena ta dužina?

. 2.057 . 2.246 . 2.793 . 2.918A cm B cm C cm D cm

6 cm

4 cm

10 cm

Rješenje 083

Ponovimo!

.b a b

ac c

⋅⋅ =


Trapez je četverokut kojemu su barem dvije stranice paralelne (usporedne). Trapez je četverokut koji

ima dvije suprotne stranice usporedne. Usporedne stranice trapeza zovu se osnovice, a druge dvije

zovu se kraci trapeza. Podsjetimo se formule za površinu trapeza:

v

P = a + c

2 ⋅⋅⋅⋅ v

d

c

b

a

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

6

P

P2

P1

y4 - x

x

10 cm

4 cm

6 cm6 cm

10 cm

Kada konstruiramo dužinu usporednu s osnovicama ona trapez dijeli na dva manja trapeza koji imaju

jednake ploštine pa su te ploštine jednake polovici ploštine cijelog trapeza. Zato vrijedi:

( ) ( )

1 6 1 10 6 6 1 10 64

1 2 2 2 2 2

1 10 1 10 6 10 1 10 64 4 4

2 2 2 2 2

42 2

422 2

y yP P x x

y yP P x x

+ + + += ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⇒ ⇒ ⇒+ + + +

= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅

( ) ( )

( )

( ) ( )

6 616 16

6 322 2

10 10 10 4 324 16 4

/ 2

162 2

/ 2

y yx x

y x

y y y xx x

+ +⋅ = ⋅ =

+ ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

+ + + ⋅ − =⋅ −

⋅

⋅= ⋅ − =

metoda

supstitucije

6 32 32 6

40 10 4 32 40 10 4 32

x y x x y x

x y x y x y x y

⋅ + ⋅ = ⋅ = − ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⇒

− ⋅ + ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

( )40 10 4 32 6 32 40 10 4 32 6 32x y x x y x⇒ − ⋅ + ⋅ − − ⋅ = ⇒ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ = ⇒

10 4 6 32 40 32 4 4 24 4 4 24 / : 4x y x y x y x⇒ − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒

6 6 .y x y x⇒ − = ⇒ = +

Sada rješavamo sustav jednadžbi.

( )( ) ( )

metoda

supstituc

6 326 6 32 12 32

6 ije

y xx x x x

y x

+ ⋅ =⇒ ⇒ + + ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒

= +

22 2 12 32 0

12 32 12 32 01 , 12 , 32

x xx x x x

a b c

+ ⋅ − =⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅ − = ⇒ ⇒

= = = −

( )1 , 12 , 32 2

12 12 4 1 32 12 144 1282

4 1,2 1,22 1 21,2 2

a b c

x xb b a c

xa

= = = −− ± − ⋅ ⋅ − − ± +

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅=

⋅

12 16.492

112 272 12 16.492 21,2 1,2 12 16.4922 2

2 2

x

x x

x

− +=

− ± − ±⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒

− −=

nema smis

4.49

la

2

1 22.246 .

28.492

2 2

x

x cm

x

=

⇒ ⇒ =

= −

Odgovor je pod B.

7

Vježba 083

Na skici je prikazan trapez kojemu je jedan krak okomit na osnovice. Duljine osnovica iznose

10 cm i 6 cm, a duljina kraka okomitoga na osnovice iznosi 4 cm. Povučena je dužina usporedna s

osnovicama i ona taj trapez dijeli na dva dijela jednakih ploština. Na kojoj je udaljenosti od kraće

osnovice trapeza povučena ta dužina?

. 2.057 . 2.246 . 2.793 . 2.918A cm B cm C cm D cm

1 dm

4 cm

60 mm

Rezultat: A.

Zadatak 084 (Den, tehnička škola)

Odredite opseg četverokuta prikazanog na skici.

122°°°°

108°°°° 146 m

123 m57 m

A

B

C

D

Rješenje 084

Ponovimo!

, ,0

1 60 ' 1' .50 ''a c

a d b cb d

= = = ⇒ ⋅ = ⋅


Zbroj svih kutova u trokutu je 180º.

.0

180α β γ+ + =


Opseg četverokuta računa se po formuli:

,O a b c d= + + +

gdje su a, b, c i d duljine njegovih stranica.

Podsjetimo se poučka o sinusima (sinusovog poučka).

U trokutu ABC vrijedi

2sin si i

,n s n

a b cR

α β γ= = =

pri čemu je R polumjer opisane kružnice tom trokutu.

Poučak o kosinusu (kosinusov poučak)

U trokutu ABC vrijede ove jednakosti

8

2 2 22 cos

2 2 22 cos

2

,

2 s

,

2 2co .

a b c b c

b a c a c

c a b a b

α

β

γ

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅

122°°°°

108°°°° 146 m

123 m57 m

A

B

C

D

U četverokutu ABCD konstruiramo dijagonalu AC i uočimo trokut ABC. Pomoću kosinusovog

poučka izračunamo │AC│.

2 2 2 02 cos122AC AB BC AB BC= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

2 2 2 02 cos1 2 /2AC AB BC AB BC⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

2 2 02 cos122AC AB BC AB BC⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

2 2 057 123 2 57 123 cos122 160.65 .AC AC m⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

160.65 mββββ

αααα

122°°°°

108°°°° 146 m

123 m57 m

A

B

C

D

U trokutu ∆ACD pomoću sinusovog poučka dobije se kut :DACα = ∠

0 0sin sin108 sin sin108

0 sinsi 8

1

n10

/AC DC

AC DC ACAC

DCα αα

= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅= ⋅ ⇒

0 0sin108 sin1081

sin sinDC DC

AC ACα α

⋅ ⋅−⇒ = ⇒ = ⇒

0146 sin1081 0

sin 59 48 '22 ''.160.65

α α⋅−

⇒ = ⇒ =

Potrebno je još u trokutu ∆ACD odrediti mjeru kuta :ACDβ = ∠

9

0 0 0 0 0 0 0108 180 180 108 180 59 48 '22 '' 108α β β α β+ + = ⇒ = − − ⇒ = − − ⇒

0 0 0 0 072 59 48 '22 '' 71 59 '60 '' 59 48 '22 '' 12 11'36 ''.β β β⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

Duljinu stranice AD možemo izračunati na dva načina:

• sinusov poučak

sin0 0 0sin sinsin108 sin1

/

08 sin10

s

8

inAD AC AD AC AC

AD γγ γ

γ= ⇒ = ⋅⋅= ⇒ ⇒

160.65 0sin12 11'36 '' 35.68 .

0sin108

AD AD m⇒ = ⋅ ⇒ =

• kosinusov poučak 2 2 2

2 cosAD AC DC AC DC γ= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

2 2 22 os /cAD AC DC AC DC γ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

2 22 cosAD AC DC AC DC γ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

2 2 0160.65 146 2 160.65 146 cos12 11'36 '' 35.68 .AD AD m⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

Opseg četverokuta ABCD iznosi:

57

123

146

35.68

AB m

BC m

CD m

AD m

O AB BC CD AD

=

=⇒ ⇒

== + + +

=

57 123 146 35.68 361.68 .O m m m m O m⇒ = + + + ⇒ =

Vježba 084

Odredite opseg četverokuta prikazanog na skici.

122°°°°

108°°°° 292 m

246 m114 m

A

B

C

D

Rezultat: 723.36 m.

Zadatak 085 (Amelia, gimnazija)

Neka su a, b, c i d duljine stranica, a P ploština konveksnog četverokuta. Dokažite da vrijedi:

2 2 2 2

.4 4 4 4

a b c dP ≤ + + +

Rješenje 085

10

Ponovimo!

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojima su svi

kutovi manji od 180°.


Ploština trokuta zadanog dvjema stranicama i kutom između njih

1 1 1sin , sin si, .n

2 2 2P a b P b c P a cγ α β= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

0, 0 s n .i 1α π α∈ ⇒ < <

( ) 2, 0 0 ,

1, , , , .

n a c a cn nn n na b a b a a a n a a R

b d b d

⋅⋅ = ⋅ = ≥ = ⋅ = ≥ ∈

⋅

( ) , .2

0 ,2 2

2 ,a b

a b a a b b a b c a c b c a c b dc d

≥− = − ⋅ ⋅ + ≤ > ⇒ ⋅ ≤ ⋅ ⇒ + ≥ +

≥


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Neka je dan skup n pozitivnih brojeva { }, , , ... , .1 2 3

a a a an Tada je aritmetička sredina An brojeva

a1, a2, a3, … , an definirana izrazom

...1 2 3 .

a a a anAn

n

+ + + +=

Neka je dan skup n pozitivnih brojeva { }, , , ... , .1 2 3

a a a an Tada je geometrijska sredina Gn

brojeva a1, a2, a3, … , an definirana izrazom

...1 2 3

.nG a a a an n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Za aritmetičku i geometrijsku sredinu vrijedi nejednakost

.A G≥

Znak jednakosti vrijedi, ako je:

... .1 2 3

a a a an= = = =

Neka su a, b i c tri pozitivna realna broja. Tada je

• aritmetička sredina A brojeva a, b i c definirana izrazom

3

a b cA

+ +=

• geometrijska sredina G brojeva a, b i c definirana izrazom

3.G a b c= ⋅ ⋅

Važna nejednakost!

( )1 1 2 2.

2 4x y x y⋅ ⋅ ≤ ⋅ +

Dokaz 1. Promatrajmo brojeve x2 i y2. Za njih vrijedi:

( ) ( )2

22 2 2 2 2

22 2

2 2 2

x y x y x yx y x y x y

+ + +⋅ ≤ ⇒ ⋅ ≤ ⇒ ⋅ ≤ ⇒

11

( )2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2.

2 2 2

1/

2 4 2 4

x y x y x yx y x y x y x y x y

+ + +⇒ ⋅ ≤ ⇒ ⋅ ≤ ⇒ ⋅ ⋅ ≤ ⇒ ⋅ ⋅ ≤ ⋅⋅ +

Dokaz 2.

Promatrajmo brojeve x i y. Za njih vrijedi:

( )2 2 2 2 2 2 2

0 2 0 2 2x y x x y y x y x y x y x y− ≥ ⇒ − ⋅ ⋅ + ≥ ⇒ + ≥ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ≤ + ⇒

2 2 2 222 2

24

1

4

2/

4 44

x y x y x y x yx y x y

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⇒ ⋅ ⋅ ≤ + ⋅ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒

( )2 2

1 1 2 2.

2 4 2 4

x y x yx y x y

⋅ +⇒ ≤ ⇒ ⋅ ⋅ ≤ ⋅ +

γγγγ

αααα

d c

ba

D

C

B

A

Budući da je četverokut ABCD konveksan, svaki je njegov kut manji od 180° pa je sinus svakog kuta

pozitivan broj manji od 1.

Četverokut ABCD podijelimo, na primjer, dijagonalom DB na dva trokuta ∆DAB i ∆BCD.

Za ploštinu trokuta ∆DAB vrijedi:

[ ] ( )1 1sin

2 2

1 1 2 2sin 1

2 4P a b P a bDA

a bA

aB

bD B

α α < ⋅ ⋅ ≤ ⋅ += ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ≤ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒

( )1 1 12 2 2 2.

4 4 4P a b P a bDAB DAB

⇒ ≤ ⋅ + ⇒ ≤ ⋅ + ⋅

Za ploštinu trokuta ∆BCD vrijedi:

[ ] ( )1 1sin

2 2

1 1 2 2sin 1

2 4P c d P c dBC

c dC

cD

dB D

γ γ < ⋅ ⋅ ≤ ⋅ += ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ≤ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒

( )1 1 12 2 2 2.

4 4 4P c d P c dBCD BCD

⇒ ≤ ⋅ + ⇒ ≤ ⋅ + ⋅

Ploština četverokuta ABCD jednaka je zbroju ploština trokuta ∆DAB i ∆BCD

P P PDAB BCD

= +

pa slijedi:

zbrojimo

nejednakost

1 12 2

4 4

1 12

4

i2

4

P a bDAB

P c dBCD

≤ ⋅ + ⋅

⇒ ⇒

≤ ⋅ + ⋅

12

1 1 1 12 2 2 2

4 4 4 4P P a b P P P

DAB BCDc d

DAB BCD⇒ + ≤ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒=+ ⋅ ⇒ +

2 2 2 21 1 1 12 2 2 2

.4 4 4 4 4 4 4 4

a b c dP a b c d P⇒ ≤ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ ≤ + + +

Vježba 085

Neka su a, b i c duljine stranica trokuta ∆ABC, a P njegova ploština. Dokažite da vrijedi:

( )1 2 2.

4P a b≤ ⋅ +

Rezultat: Dokaz analogan.

Zadatak 086 (Valentina, srednja škola)

Dimenzije kuće su 20 m x 9 m. Oko nje je napravljena ograda koja je 3 metra udaljena od

svakog zida. Koliko je dugačka ograda?



kutovi manji od 180°. Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne).

Pravokutnik je paralelogram koji ima barem jedan pravi kut (pravi kut ima 90º).

Opseg pravokutnika

Opseg je zbroj duljina svih stranica pravokutnika

.2 2O a b= ⋅ + ⋅

Kako zapisati da je broj b za n veći od broja a?

, , .b a n b n a b a n= + − = − =

1.inačica

3 m

3 m

3 m

3 mb + 6

a + 6

b = 9 m

a = 20 m

Sa slike vidi se da su dimenzije kuće a = 20 m, b = 9 m, a dimenzije ograde a + 6 i b + 6. Duljina

(opseg) ograde iznosi:

( ) ( ) ( ) ( )2 6 2 6 2 20 6 2 9 6 2 26 2 15O a b O O= ⋅ + + ⋅ + ⇒ = ⋅ + + ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒

52 30 82 .O O m⇒ = + ⇒ =

2.inačica

Budući da je napravljena ograda 3 metra udaljena od svakog zida, duljina svakog zida uvećana je za

6 m pa je opseg ograde O1 za 4 · 6 m = 24 m

veći od opsega temelja kuće O.

24 2 2 24 2 20 2 9 24 40 18 241 1 1 1

O O O a b O O= + ⇒ = ⋅ + ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⋅ + ⇒ = + + ⇒

13

82 .1

O m⇒ =

Vježba 086

Dimenzije kuće su 20 m x 9 m. Oko nje je napravljena ograda koja je 2 metra udaljena od

svakog zida. Koliko je dugačka ograda?

Rezultat: 74 m.

Zadatak 087 (Antonija, gimnazija)

Ako se dijagonale romba uvećaju za 2, površina mu poraste za 34. Ako se pak veća dijagonala

umanji za 6, a manja uveća za 4, površina se umanji za 8. Kolika je kraća dijagonala?

Rješenje 087 Ponovimo! Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojima su svi


Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne). Romb je paralelogram koji ima sve stranice jednake duljine. Dijagonale romba raspolavljaju se i

međusobno su okomite. Dijagonale romba raspolavljaju njegove kutove. Površina romba dana je

izrazom

2,

1P e f= ⋅ ⋅

gdje su e i f duljine dijagonala.

Kako zapisati da je broj b za n veći od broja a?

, , .b a n b n a b a n= + − = − =

Kako zapisati da je broj b za n manji od broja a?

, , .b n a b a n a b n+ = = − − =

Množenje zagrada

( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

f

e

C

A B

D

Površina romba glasi:

• ako su e i f njegove dijagonale

2

e fP

⋅=

• ako su dijagonale e i f uvećane za 2

( ) ( )2 2

1 2

e fP

+ ⋅ +=

• ako je veća dijagonala e umanjena za 6, a manja f uvećana za 4

( ) ( )6 4.

2 2

e fP

− ⋅ +=

Iz uvjeta zadatka napišemo pripadne jednadžbe.

14

Ako se dijagonale romba uvećaju za 2, površina mu poraste za 34 pa vrijedi jednadžba

34.1

P P= +

Ako se veća dijagonala umanji za 6, a manja uveća za 4, površina se umanji za 8 pa možemo napisati

jednadžbu

8.2

P P= −

Riješimo sustav jednadžbi.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 234 3434

1 2 2 2 2

8 6 4 6 42 8 82 2 2 2

/ 2

/ 2

e f e fe f e fP P

P P e f e fe f e f

+ ⋅ + + ⋅ +⋅ ⋅= + = += +

⇒ ⇒ ⇒= − − ⋅ + − ⋅ +⋅ ⋅

= − = −

⋅

⋅

( ) ( )

( ) ( )

2 2 68 2 2 4 68

4 6 24 166 4 16

e f e f e f e f e f

e f e f e fe f e f

+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ +⇒ ⇒ ⇒

⋅ + ⋅ − ⋅ − = ⋅ −− ⋅ + = ⋅ −

2 2 4 68 2 2 4 68 2 2 68 4

4 6 24 16 4 6 24 16 4 6 16 24

e f e f e f

e f

e f e f

ee f e e f ff

+ ⋅ + ⋅ + = + ⋅ + ⋅ +⋅ ⋅

⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ = −⇒ ⇒ ⇒ ⇒

+ ⋅ − ⋅ − = − ⋅ − ⋅ − = − ⋅ − ⋅ = − +

( )metoda suprotnih

/ : 2koeficijenata

2 2 642 2 64

4 6 84 6 8

e fe f

e fe f

⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⋅ − ⋅ =⋅ − ⋅ −=

2 2 645 60 5 60 12.

2 3 4/ : 5

e ff f f

e f

⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

− ⋅ + ⋅ = −

Vježba 087

Ako se dijagonale romba uvećaju za 2, površina mu poraste za 34. Ako se pak veća dijagonala

umanji za 6, a manja uveća za 4, površina se umanji za 8. Kolika je veća dijagonala?

Rezultat: e = 20.

Zadatak 088 (Bax, gimnazija)

Osnovice trapeza imaju duljine a i c. Koliki je omjer površina na koje je trapez razdijeljen

srednjicom (spojnicom središta krakova)?

2 3. . . .

2 3

a c a c a c aA B C D

a c a c a c c

⋅ + + ⋅ +

+ + ⋅ + ⋅


, , .1

a

n a c a d b c a dbncb d b d b c

d

⋅ + ⋅ ⋅= + = =

⋅ ⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅




2,

a cP v

+= ⋅

15

gdje je v visina trapeza, a i c su duljine osnovica.

Dužina koja spaja polovišta krakova trapeza zove se srednjica trapeza. Duljina srednjice trapeza

jednaka je polovici zbroja duljina osnovica trapeza.

2.

a cs

+=

s

v

2

v

2

c

a

G

H

EF

A B

D C

Sa slike vidi se:

, , ,2

vAB a CD c FE s HG GD= = = = =

Srednjica s dijeli trapez ABCD na dva trapeza ABEF i FECD jednakih visina.

Površina:

• trapeza ABEF iznosi

1 2 2

a s vP

+= ⋅

• trapeza FECD iznosi

.2 2 2

s c vP

+= ⋅

Računamo kvocijent P1 i P2.

1 2 2 1 1 1 1 1 2

2 2 2 2 22

2 2

22 2 1 2

a s v a s a s a caP P P P Pa s

s c v s c s c a cP P P

v

v P s c Pc

+ + + +⋅ ⋅ +

+= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ + + ++⋅ ⋅ +

2 3 3

1 1 2 1 2 1 2 12 3 3

2 2 2 22 1 2 2

2

2

a a c a a c a c a cP P P P

a c c a c c a c a cP P P P

+ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ++

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒+ + + ⋅ + ⋅ + ⋅

+

3

31 1 1 .3 3

2 21

a cP P a c

a cP P a c

⋅ +

⋅ +⇒ = ⇒ =

+ ⋅ + ⋅

Odgovor je pod C.

Vježba 088

Osnovice trapeza imaju duljine 8 i 4. Koliki je omjer površina na koje je trapez razdijeljen

srednjicom (spojnicom središta krakova)?

. 1.4 . 1.2 . 1.6 . 2.5A B C D

Rezultat: A.

16

Zadatak 089 (Ana, gimnazija)

Jedna dijagonala i stranica romba imaju duljinu 8 3.⋅ Kolika je duljina druge dijagonale?

. 20 . 22 . 24 . 26A B C D


( ),1

.2

,n m n m

a a a a a a a+

= ⋅ = =


Jednakostraničan trokut ima tri jednaka kuta α = 60° i tri jednake stranice.

Ploština jednakostraničnog trokuta duljine stranice a računa se po formuli

3.

2

4

aP

⋅=


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


Četverokut s okomitim dijagonalama koji ima barem jednu os simetrije zove se deltoid. Ploština je

deltoida jednaka polovici produkta duljina njegovih dijagonala.

2.1 2

d dP

⋅=

Romb je deltoid kojemu sjecište dijagonala raspolavlja dijagonale. Stranice romba su sukladne. Romb

ima dvije osi simetrije.

d2

d1

a

a

aa

CD

A B

Sa slike vidi se:

8 3 , 8 32

AB BC CD DA a BD d a= = = = = ⋅ = = = ⋅

Uočimo da je ploština romba ABCD jednaka dvostrukoj ploštini jednakostraničnog trokuta ABD pa

slijedi:

21 2 31 2 1 22 222 2 24

2

d dd d d dP a

PABD

P PA

d a

BD

⋅⋅ ⋅= ⋅

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

=

=⇒

⋅

2 23 31 12 2 3 8

2/ 3 3

1 12 4 2 4

d a d aa ad d

aa

⋅ ⋅⋅ ⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅⋅ ⇒

( )2

8 3 8 3 24.1 1 1

d d d⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

17

Odgovor je pod C.

Vježba 089

Jedna dijagonala i stranica romba imaju duljinu 16 3.⋅ Kolika je duljina druge dijagonale?

. 40 . 44 . 48 . 52A B C D

Rezultat: C.

Zadatak 090 (4A, TUPŠ)

Zemljište ima oblik trapeza kao na skici. Koliko najmanje metara ograde treba kupiti da bi se

ogradilo zemljište?

Rješenje 090

Ponovimo!

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima

četiri kuta i četiri stranice.

Opseg četverokuta dan je formulom ,O a b c d= + + +


Trapez je četverokut koji ima dvije suprotne stranice usporedne. Usporedne stranice trapeza zovu se

osnovice, a druge dvije zovu se kraci trapeza.

Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne).


Zbroj veličina svih kutova u trokutu iznosi 180°.

.0

180α β γ+ + =

Podsjetimo se poučka o sinusima (sinusovog poučka).

U trokutu ABC vrijedi

2sin si i

,n s n

a b cR

α β γ= = =

pri čemu je R polumjer opisane kružnice tog trokuta.

Kutovi s paralelnim kracima

Kutovi s paralelnim kracima su sukladni ili su suplementni (zbroj kutova je 180º).

a

b

c

d

αααα

ββββ

ββββ

αααα

d

c

b

a

| | , | | ,a c b d α β= | | , | | ,0

180a d b c α β+ =

18

b

145°°°°

10°°°°

145°°°°25°°°°

87.5 m

105 m

b

d

EA B

CD

Točkom D konstruiramo usporednicu (paralelu) sa stranicom BC četverokuta ABCD. Ta usporednica

siječe stranicu AB u točki E. Uočimo trokut AED čiji su kutovi:

0 025 , 145DAE AED∠ = ∠ =

( ) ( )0 0 0 0 0 0 0180 180 25 145 180 170 10EDA DAE AED∠ = − ∠ + ∠ = − + = − =

Sa slike vidi se:

105 , , 87.5 ,AB m BC ED b DC EB m DA d= = = = = =

105 87.5 17.5AE AB EB m m m= − = − =

Na trokutu AED dva puta primijenimo sinusov poučak da bismo izračunali duljine stranica b i d

četverokuta ABCD.

• 0 0 0 0 0 0

sin 25 sin10 sin 25 sin10 sin 25

0/ sin 2

s n10

5

i

ED AE AE AEb b= ⇒ = = ⋅ ⇒⇒

17.50 0sin 25 sin 25 42.59

0 0sin10 sin10

AE mb b b m⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

• 0 0 0 0 0 0

sin145 sin10 sin145 sin10 sin145

0/ sin145

sin10

AD AE AE AEd d= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒

17.50 0sin145 sin145 57.80 .

0 0sin10 sin10

AE md d d m⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

Opseg trapeza ABCD iznosi:

105 42.59 87.5 57.8 292.89 .O AB b DC d O m m m m O m= + + + ⇒ = + + + ⇒ =

Vježba 090

Zemljište ima oblik trapeza kao na skici. Koliko najmanje metara ograde treba kupiti da bi se

ogradilo zemljište?

0.105 km

875 dm

25°°°° 145°°°°

Rezultat: 295.89 m.

19

Zadatak 091 (Antonio, srednja škola)

Zadan je četverokut ABCD prikazan na skici.

a) Kolika je površina četverokuta ABCD?

b) Koliki je opseg četverokuta ABCD?

6.5 cm

4 cm

10 cmA B

C

D

Rješenje 091

Ponovimo!



Opseg četverokuta dan je formulom

,O a b c d= + + +



osnovice, a druge dvije zovu se kraci trapeza. Trapez je četverokut kojemu su barem dvije stranice

paralelne (usporedne).

Podsjetimo se formule za površinu trapeza:

v

P = a + c

2 ⋅⋅⋅⋅ v

d

c

b

a


Pravokutnik je paralelogram koji ima barem jedan pravi kut (pravi kut ima 90º).

Površina pravokutnika je jednaka produktu njegove duljine a i širine b.

.P a b= ⋅





2.

a bP

⋅=

Pitagorin poučak

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat duljine hipotenuze jednak zbroju kvadrata

duljina kateta.

2 2 2.c a b= +

a) Računamo površinu četverokuta ABCD.

1.inačica

Četverokut ABCD je trapez jer ima dvije stranice, i ,AD BC paralelne. Sa slike vidi se:

20

10 cm

4 cm6.5 cm

BA

C

D

6.5 , 4 , 10AD cm BC cm AB cm= = =

Površina četverokuta iznosi:

6.5 4 210 52.5 .

2 2

AD BC cm cmP AB P cm P cm

+ += ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

2.inačica

6.5 cm

4 cm

10 cm

E

A B

C

D

Konstruiramo okomicu iz točke C na stranicu .AD Neka je točka E njihovo sjecište. Sa slike vidi se:

6.5 , 4 , 10AD cm BC AE cm AB EC cm= = = = =

6.5 4 2.5ED AD AE cm cm cm= − = − =

Površina četverokuta ABCD jednaka je zbroju površina pravokutnika ABCE i pravokutnog trokuta

ECD.

6.5 cm 4 cm

10 cm

E

A B

C

D

21

2

EC EDP P P P AB BC

ABCE ECD

⋅= + ⇒ = ⋅ + ⇒

10 2.5 2 2 210 4 40 12.5 52.5 .

2

cm cmP cm cm P cm cm P cm

⋅⇒ = ⋅ + ⇒ = + ⇒ =

b) Računamo opseg četverokuta ABCD.

6.5 cm

4 cm

10 cm

E

A B

C

D

Konstruiramo okomicu iz točke C na stranicu .AD Neka je točka E njihovo sjecište. Sa slike vidi se:

6.5 , 4 , 10AD cm BC AE cm AB EC cm= = = = =

6.5 4 2.5ED AD AE cm cm cm= − = − =

6.5 cm

4 cm

10 cm

E

A B

C

D

Uočimo pravokutan trokut ECD i primijenimo Pitagorin poučak kako bismo izračunali │CD│.

2 2 2 2 2 2/CD ED EC CD ED EC= + ⇒ = + ⇒

( ) ( )2 2 2 2

2.5 10 10.31 .CD ED EC CD cm cm CD cm⇒ = + ⇒ = + ⇒ =

Opseg četverokuta ABCD je:

10 4 10.31 6.5 30.81 .O AB BC CD AD O cm cm cm cm O cm= + + + ⇒ = + + + ⇒ =

Vježba 091

Zadan je četverokut ABCD prikazan na skici. Kolika je površina četverokuta ABCD?

22

20 cm

8 cm

13 cm

BA

C

D

Rezultat: 210 cm2.

Zadatak 092 (Vahelani, gimnazija)

Koliki su kutovi jednakokračnog trapeza ako su njegove osnovice duge 17 cm i 7 cm, a

krak je dug 11 cm?

Rješenje 092

Ponovimo!




osnovice, a druge dvije zovu se kraci trapeza. Trapez je četverokut kojemu su barem dvije stranice

paralelne (usporedne). Trapez je jednakokračan ako su mu nasuprotne neparalelne stranice jednake

duljine, a kutovi uz osnovicu sukladni. Nasuprotni kutovi su suplementni (zbroj iznosi 180º).

c

bb

a

αααα + ββββ = 180°°°°

ββββββββ

αααααααα




Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine

hipotenuze.

17

αααα αααα

ββββββββ

7

11 11

C

BA

D

23

1111

55 7

7

ββββ ββββ

αααααααα

MN

C

A B

D

Sa slike vidi se:

17 , 11 , 7 , 5AB BC AD CD NM AN MB= = = = = = =

1111

55 7

7

ββββ ββββ

αααααααα

MN

C

A B

D

Na slici uočimo pravokutan trokut AND i pomoću funkcije kosinus izračunamo kut α.

51 1cos cos cos 62 57 '52 ''.

11

AN AN

AD ADα α α α

− −= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

�

Kut β iznosi:

180 180 180 62 57 '52 '' 179 59 '60 '' 62 57 '52 ''α β β α β β+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒� � � � � �

117 2 '8 ''.β⇒ =�

Vježba 092

Koliki su kutovi jednakokračnog trapeza ako su njegove osnovice duge 34 cm i 14 cm, a

krak je dug 22 cm?

Rezultat: 62 57 '52 '', 117 2 '8 ''.α β= =� �

Zadatak 093 (Vahelani, gimnazija)

Odredi opseg romba kojemu je dulja dijagonala duga 20 cm i sa stranicom zatvara kut od 36° 52' 12".

Rješenje 093

Ponovimo!

, ,1 2

, 0 , .aan m n m

a a a a a a a ab b

+= ⋅ = = ≥ =


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


24


Četverokut s okomitim dijagonalama koji ima barem jednu os simetrije zove se deltoid. Deltoid ima

dva para susjednih sukladnih stranica. Romb je deltoid kojemu sjecište dijagonala raspolavlja

dijagonale. Opseg romba duljine stranice a izračunavamo po formuli

4 .O a= ⋅

f

e

a

aa

a

C

A B

D


Na osnovi odnosa među duljinama stranica trokut može biti:

1) raznostraničan,

2) jednakokračan,

3) jednakostraničan.

Kod jednakokračnog trokuta duljine dviju stranica su jednake. Stranice jednakih duljina zovemo

kracima trokuta. Zbroj svih kutova u trokutu je 180º.

.0

180α β γ+ + =

Za jednakokračan trokut vrijedi:

02 180 .α β+ ⋅ =

ββββββββ

αααα

b b

aA B

C


U trokutu ABC vrijede ove jednakosti:

2 2 22 cos ,a b c b c α= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos ,b a c a c β= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos .c a b a b γ= + − ⋅ ⋅ ⋅

25

ββββαααα

ααααe

a

aa

a

C

A B

D

Sa slike vidi se:

, , ,AC e AB BC a CAB BCA ABCα β= = = ∠ = ∠ = ∠ =

Trokut ABC je jednakokračan jer ima dvije stranice jednake duljine, │AB│=│BC│ pa kut β iznosi:

2 180 180 2 180 2 36 52 '12 '' 180 72 104 '24 ''α β β α β β⋅ + = ⇒ = − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = − ⇒� � � � � �

180 73 44 '24 '' 179 59 '60 '' 73 44 '24 '' 106 15 '1 36 ''.60 ' β β β⇒ ⇒ == − ⇒ = − ⇒ = � � � � ��

Uočimo jednakokračan trokut ABC i pomoću poučka o kosinusu izračunamo duljinu stranice a.

2 2 2 2 2 22 cos 2 cosAC AB BC AB BC e a a a aβ β= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

( )2 2 2 2 2 2 2 22 2 cos 2 2 cos 2 1 cose a a a a e a eβ β β⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ − = ⇒

( )( ) ( ) ( )

2 22 2 21 2

2 1 cos2

/ /2 1 cos 1 cos 2 1 cos

e ea e a a

ββ

β β⇒ ⋅ ⋅ − = ⇒ = ⇒ =

⋅ −⋅

⋅ −⇒

⋅ −

( ) ( ) ( )

22

2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos

ee ea a a

β β β⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ − ⋅ − ⋅ −

( )20

12.5 .2 1 cos106 15 '36 ''

cma a cm⇒ = ⇒ =

⋅ −�

Opseg romba ABCD iznosi:

4 4 12.5 50 .O a O cm O cm= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

Vježba 093

Odredi opseg romba kojemu je dulja dijagonala duga 2 dm i sa stranicom zatvara kut od 36° 52' 12".

Rezultat: 50 cm.

Zadatak 094 (Willy, gimnazija)

Zbroj n – 1 kutova konveksnog n – terokuta jednak je 1380º. Kut koji nije u zbroju iznosi:

. 10 . 30 . 45 . 60A B C D� � � �

Rješenje 094

Ponovimo!

,, ., 0a b

a b a c b c c R a b cc c

< ⇒ + < + ∈ < > ⇒ <


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Poligon (mnogokut) je skup svih točaka ravnine omeđen dužinama. Ako je omeđen sa n dužina zove

26

se n – terokut. U konveksnom je poligonu svaki unutarnji kut manji od 180º.

Zbroj unutarnjih kutova poligona od n stranica je

( ) ( )2 .180K n n= − ⋅�

Zbroj unutarnjih kutova svakog konveksnog n – terokuta je

( )2 180 .n − ⋅�

U postavljenom zadatku je zbroj n – 1 kutova konveksnog n – terokuta jednak 1380º. Neka je α kut

koji nije u zbroju. Tada vrijedi jednadžba:

( )2 180 1380 180 360 1380 180 1740 .n n nα α α= − ⋅ − ⇒ = ⋅ − − ⇒ = ⋅ −� � � � � � �

Budući da je poligon konveksan, svaki unutarnju kut mora biti manji od 180º. Dalje slijedi:

0 180 0 180 1740 180 /0 180 1740 1 1780 40n nα< < ⇒ < ⋅ − < ⇒ < ⋅ − < ⇒+� � � � � � � � � ��

0 1740 180 1740 1740 180 1740n⇒ + < ⋅ − + < + ⇒� � � � � � �

17401740 180 1920 1740 180 11 40 97 20n n⇒ < ⋅ <− + ⇒ < ⋅ < ⇒� � � ��

n je prirodan/ : 180

bro1740 180 1920 9.667 1

j0.667n n⇒ < ⋅ < ⇒ < < ⇒ ⇒

� � � �

10

180 174010 180 10 1740 60 .n

n

nα α

α⇒ = ⇒ ⇒ = ⋅

=

= ⋅ −− ⇒ =

� �

�

�

�

Odgovor je pod D.

Vježba 094

Zbroj n – 1 kutova konveksnog n – terokuta jednak je 1050º. Kut koji nije u zbroju iznosi:

. 10 . 30 . 45 . 60A B C D� � � �

Rezultat: B.

Zadatak 095 (Šibenska vesela trojka ☺☺☺☺, gimnazija)

Koliki su opseg i površina trapeza ABCD ako su duljine njegovih stranica jednake: a = 10 cm,

c = 6 cm, d = 8.24 cm, a kut α = 72°48'?

Rješenje 095

Ponovimo!




Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

hipotenuze.



2 2 22 cos ,a b c b c α= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos ,b a c a c β= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos .c a b a b γ= + − ⋅ ⋅ ⋅




2,

a cP v

+= ⋅

gdje je v visina trapeza.

27

Opseg trapeza računa se po formuli:

,O a b c d= + + +



jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

a

b

c

dv

αααα c

N

D

BA

C

Točkom D konstruiramo dužinu DE usporednu sa dužinom .BC

a

b

c

dv

αααα c

EN

D

BA

C

Sa slike vidi se:

10 , , 6 , 8.24AB a cm BC DE b CD EB c cm AD d cm= = = = = = = = =

, , 72 48 'AE AB EB a c ND v DAN α= − = − = ∠ = =�

a

b

c

dv

αααα c

EN

D

BA

C

Uočimo pravokutan trokut AND i izračunamo duljinu visine v uporabom funkcije sinus.

sin sin sin sin sin ./ND v v v

v dAD d d d

dα α α α α= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅⋅

Površina trapeza ABCD iznosi:

28

[ ]

10

6sin

8.24

72 4

2 2

8 '

sin

a cm

c cma c a cP v P dv d

d cmα

α

α+ +

= ⋅ ⇒ ⇒

=

== ⋅

=

=

= ⋅ ⋅ ⇒ ⇒

�

10 6 168.24 sin 72 48 ' 8.24 sin 72 48 '

2 2

cm cm cmP cm P cm

+⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒� �

8.24 sin 72 48 ' 8 8.24 sin 72 4816

2'

cmP cm P cm cm⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒� �

Ponovno

kalkulator

u ruke!

262.97 .P cm⇒ ⇒ =

b

a

b

c

dv

αααα c

EN

D

BA

C

Da bismo izračunali duljinu stranice b promotrimo trokut AED i uporabom poučka o kosinusu dobije

se: 2 2 2

2 cosDE AD AE AD AE α= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2

2 cos 2 cos /b d a c d a c b d a c d a cα α⇒ = + − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ = + − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒

( ) ( )

8.24

1222 co

0

6

72

s

48 '

d cm

ab d a c d a

cmc

cm

c

α

α⇒ =

=

=

=

=

+ − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ ⇒

�

( ) ( ) ( )2 2

8.24 10 6 2 8.24 10 6 cos 72 48 'b cm cm cm cm cm cm⇒ = + − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒�

[ ]Kalkulator! 8.03 .b cm⇒ ⇒ =

Opseg trapeza iznosi:

10 8.03 6 8.24 32.27 .

10

8.03

6

8.24

a cm

bO a b c d O cm cm cm cm O cm

cm

c cm

d cm

=

== + + + ⇒ ⇒ = + + + ⇒ =

=

=

Vježba 095

Koliki su površina i opseg trapeza ABCD ako su duljine njegovih stranica jednake: a = 1 dm,

c = 0.6 dm, d = 82.4 mm, a kut α = 72°48'?

Rezultat: 62.97 cm2, 32.27 cm.

29

Zadatak 096 (Dubravko, srednja škola)

Konveksni četverokut ABCD ima prave kutove pri vrhovima B i D. Ako je │BC│=1,

│CD│= 4, │DA│= 3, kolika je površina četverokuta ABCD?

Rješenje 096

Ponovimo!

.a b a b⋅ = ⋅



Opseg četverokuta dan je formulom

,O a b c d= + + +






2.

a bP

⋅=

Pitagorin poučak

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat duljine hipotenuze jednak zbroju kvadrata

duljina kateta.

2 2 2.c a b= +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

1

4

3A D

C

B

Sa slike vidi se:

1 , 4 , 3 , 90BC CD DA ABC CDA= = = ∠ = ∠ =�

30

1

4

3A D

C

B

Primjenjujući Pitagorin poučak na pravokutan trokut CDA dobije se:

2 2 2 2 2 22 23 4 9 16 25AC AD CD AC AC AC= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = ⇒

225 25 5./AC AC AC⇒ = ⇒ = ⇒ =

Primjenjujući Pitagorin poučak na pravokutan trokut ABC dobije se:

2 2 2 2 2 22 25 1 25 1 24AB AC BC AB AB AB= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒

224 4 6 4 6 2/ 6.AB AB AB AB⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Ploština četverokuta ABCD jednaka je zbroju ploština pravokutnih trokuta ∆CDA i ∆ABC.

2 2

CD DA AB BCP P P P

ABCD CDA ABC ABCD

⋅ ⋅= + ⇒ = + ⇒

2 6 1 64 3 24 36 6.

2 2 2 2P P P

ABCD ABCD ABCD

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⇒ = + ⇒ = + ⇒ = +

Vježba 096

Konveksni četverokut ABCD ima prave kutove pri vrhovima B i D. Ako je │BC│=1,

│CD│= 4, │DA│= 3, koliki je opseg četverokuta ABCD?

Rezultat: 8 2 6.O = + ⋅

Zadatak 097 (Ante, srednja škola)

Osnovice trapeza su 13 cm i 5 cm, a kraci 7 cm i 3 cm. Izračunajte kutove trapeza.

Rješenje 097

Ponovimo!



Trapez je četverokut kojemu su barem dvije stranice paralelne (usporedne). Kutovi trapeza uz isti krak

su suplementni (zbroj je 180°).

31

αααα + δδδδ = 180°°°°

ββββ + γγγγ = 180°°°°

δδδδ γγγγ

ββββαααα




2 2 22 cos ,a b c b c α= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos ,b a c a c β= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos .c a b a b γ= + − ⋅ ⋅ ⋅

Kutovi s paralelnim kracima su:

• sukladni

cb da

a c i b d ⇒⇒⇒⇒ αααα = ββββ

ββββαααα

ili

• suplementni

αααα

ββββ

a c i b d ⇒⇒⇒⇒ αααα + ββββ = 180°°°°

a d

b c

c

a - c

dd

c

b

a

αααα

δδδδ

ββββ

γγγγ

αααα

EA B

D C

Sa slike vidi se:

13 , 7 , 5 , 3AB a cm BC b cm CD AE c cm DA CE d cm= = = = = = = = = =

13 5 8EB a c cm cm cmAB AE= − = − =− =

, , ,DAB ABC BCA CDAα β γ δ∠ = ∠ = ∠ = ∠ =

Uočimo trokut EBC i uporabimo kosinusov poučak da bismo izračunali mjeru kuta α.

32

c

a - c

dd

c

b

a

αααα

δδδδ

ββββ

γγγγ

αααα

EA B

D C

2 2 2

2 cosBC EB CE EB CE α= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2

2 cos 2 cosb a c d a c d a c d a c d bα α⇒ = − + − ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = − + − ⇒

( ) ( )( )

( )( )

2 2 22 2 2

2 cos co1

/2

s2a

a c d ba c d a c d b

a c dc dα α

− + −⋅

⋅⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = − + − ⇒

⋅− −⋅= ⇒

⋅

( )( )

( ) ( ) ( )2 2 2 22 2

8 3 71 1cos cos 60 .

2 2 8 3

a c d b cm cm cm

a c d cm cmα α α

− + − + −− −⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

�

Mjera kuta δ je:

180 180 180 60 120 .α δ δ α δ δ+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =� � � � �

Na istom trokutu EBC uporabimo kosinusov poučak da bismo izračunali mjeru kuta β.

c

a - c

dd

c

b

a

αααα

δδδδ

ββββ

γγγγ

αααα

EA B

D C

2 2 2

2 cosEC EB BC EB BC β= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2

2 cos 2 cosd a c b a c b a c b a c b dβ β⇒ = − + − ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = − + − ⇒

( ) ( )( )

( )( )

2 2 22 2 2

2 cos co1

/2

s2a

a c b da c b a c b d

a c bc bβ β

− + −⋅

⋅⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = − + − ⇒

⋅− −⋅= ⇒

⋅

( )( )

2 2 21

cos2

a c b d

a c bβ

− + −−⇒ = ⇒

⋅ − ⋅

( ) ( ) ( )2 2 2

8 7 31cos 21 47 '12 ''.

2 8 7

cm cm cm

cm cmβ β

+ −−⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅

�

Mjera kuta γ je:

180 180 180 21 47 '12 ''β γ γ β γ+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒� � � �

33

179 59 '60 '' 21 47 '12 '' 158 12 '48 ''.γ γ⇒ = − ⇒ =� � �

Vježba 097

Osnovice trapeza su 1.3 dm i 0.5 dm, a kraci 0.7 dm i 0.3 dm. Izračunajte kutove trapeza.

Rezultat: 60 , 21 47 '12 '' , 158 12 '48 '' , 120 .α β γ δ= = = =� � � �

Zadatak 098 (Marina, srednja škola)

Dijagonale paralelograma su 16 cm i 10 cm, a kut između dijagonala je 60°. Izračunajte

duljine njegovih stranica.

Rješenje 098

Ponovimo!



Paralelogram je četverokut kojemu oba para nasuprotnih stranica leže na paralelnim pravcima.


Dijagonala paralelograma je spojnica dva nesusjedna vrha. Paralelogram ima dvije dijagonale koje se

međusobno raspolavljaju.




2 2 22 cos ,a b c b c α= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos ,b a c a c β= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos .c a b a b γ= + − ⋅ ⋅ ⋅

Kutovi koji imaju jedan krak zajednički, a unija drugih dvaju krakova je pravac zovu se sukuti.

αααα' αααα

c

ba V

' 180 .α α+ =�

Suplementni su oni kutovi kojima je zbroj mjernih brojeva kutova 180°.

ϕϕϕϕ'ϕϕϕϕ

f

ebb

a

a

S

C

A B

D

Sa slike vidi se:

, , 16 , 10AB DC a BC AD b AC e cm BD f cm= = = = = = = =

34

8 , 52 2

e fAS SC cm BS SD cm= = = = = =

60 , ' 180 60 120BSC BSAϕ ϕ∠ = = ∠ = = − =� � � �

Uočimo trokut BCS i uporabimo kosinusov poučak da bismo izračunali duljinu stranice b.

S

a

a

b b

e

2

f

2

ϕϕϕϕ

CD

BA

2 2 22 cosBC BS SC BS SC ϕ= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( )2 2

2 22 22 cos 5 8 2 5 8 cos 60

2 2 2 2

f e f eb b cm cm cm cmϕ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

�

1 12 2 2 2 2 225 64 2 5 8 2

225 64 5 8

2b cm cm cm cm b cm cm cm cm⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

2 2 2 2 2 2 2 225 64 40 49 49 /b cm cm cm b cm b cm⇒ = + − ⇒ = ⇒ = ⇒

249 7 .b cm b cm⇒ = ⇒ =

Uočimo trokut ABS i uporabimo kosinusov poučak da bismo izračunali duljinu stranice a.

.

f

2

S

a

a

b be

2 ϕϕϕϕ'

CD

BA

2 2 22 cos 'AB AS BS AS BS ϕ= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( )2 2

2 22 22 cos ' 8 5 2 8 5 cos120

2 2 2 2

e f e fa a cm cm cm cmϕ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

�

12 2 264 25 2 8 5

2a cm cm cm cm⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ − ⇒

2 2 2 2 2 2 264 25 8 5 64 25 40a cm cm cm cm a cm cm cm⇒ = + + ⋅ ⇒ = + + ⇒

2 2 2 2 2129 129 129 129 ./a cm a cm a cm a cm⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

35

Vježba 098

Dijagonale paralelograma su 16 cm i 10 cm, a kut između dijagonala je 60°. Izračunajte

duljine njegovih stranica.

Rezultat: 129 , 7 .a cm b cm= =

Zadatak 099 (1B, TUPŠ)

A(3, – 7) i B(– 1, – 4) su dva susjedna vrha kvadrata. Izračunati opseg, površinu i

duljinu dijagonale kvadrata.

Rješenje 099

Ponovimo!



Kvadrat je četverokut kojemu su sve stranice sukladne, a dijagonale međusobno sukladne i okomite.

Opseg kvadrata duljine stranice a izračunava se po formuli

4 .O a= ⋅

Površina kvadrata duljine stranice a izračunava se po formuli

2.P a=

Duljina dijagonale d kvadrata izračunava se po formuli

2 .2

2

dd a a

⋅= ⋅ ⇒ =

Udaljenost točaka ( ) ( ), i , :1 1 2 2

A x y B x y

( ) ( )2

1 1.

2

2 2AB x x y y= − + −

d

aA B

Izračunamo duljinu stranice a kvadrata.

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

, 3, 71 1

, 1, 4

2

2 2 12

2

12

Aa AB x x y y

x y A

B x y B

= − ⇒ ⇒

= − − − + −

= =

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2

1 3 4 7 4 4 7 4 3a a a⇒ = − − + − − − ⇒ = − + − + ⇒ = − + ⇒

16 9 25 5 .a a a cm⇒ = + ⇒ = ⇒ =

Tada je:

• opseg kvadrata

4 4 5 20O a O cm O cm= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

• površina kvadrata

36

( )22 2

5 25 .P a P cm P cm= ⇒ = ⇒ =

• duljina dijagonale kvadrata

2 5 2 .d a d cm= ⋅ ⇒ = ⋅

Vježba 099

A(– 3, – 7) i B(1, – 4) su dva susjedna vrha kvadrata. Izračunati opseg kvadrata.

Rezultat: 20 cm.

Zadatak 100 (1B, TUPŠ)

A(– 8, 11) i B(– 5, – 10) su suprotni vrhovi kvadrata. Izračunati dijagonalu, opseg i površinu

kvadrata.

Rješenje 100

Ponovimo!

, ,2

.1

0 ,,n m n m

a b a b a a a a a a a a+

⋅ = ⋅ = ≥ = ⋅ =

( ) .2

a a=



Kvadrat je četverokut kojemu su sve stranice sukladne, a dijagonale međusobno sukladne i okomite.

Opseg kvadrata duljine stranice a izračunava se po formuli

4 .O a= ⋅

Ploština kvadrata duljine stranice a izračunava se po formuli

2.P a=

Duljina dijagonale d kvadrata izračunava se po formuli

2 .2

2

dd a a

⋅= ⋅ ⇒ =

Udaljenost točaka ( ) ( ), i , :1 1 2 2

A x y B x y

( ) ( )2

1 1.

2

2 2AB x x y y= − + −


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

d

a

C

A

37

Izračunamo duljinu dijagonale d kvadrata.

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

, 8, 111 1

, 5, 1

2 2

2 12

10

22

A x y A

C x yy

Cd AC x x y

= − ⇒ ⇒

= − −

= = − + −

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22

5 8 10 11 5 8 21 3 21d d d⇒ = − − − + − − ⇒ = − + + − ⇒ = + − ⇒

djelomično

korjenovanje9 441 450 225 2d d d

⇒ = + ⇒ = ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒

225 2 15 2 .d d cm⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Tada je:

• duljina stranice a kvadrata

( )2

15 22 15 2 2

2 2 2

da a a

⋅⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒

15 2 1 2

2

515

2a a a cm

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ =

• opseg kvadrata 4 4 15 60O a O cm O cm= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

• površina kvadrata

( )22 2

15 225 .P a P cm P cm= ⇒ = ⇒ =

Vježba 100

A(8, 11) i B(5, – 10) su suprotni vrhovi kvadrata. Izračunati duljinu stranice a kvadrata.

Rezultat: 15 cm.

Documents

D C - halapa