TECHNISCHE MECHANIK. Band 17. Haul (1997), 4149

Manuskripmingang' ()5 September 1996

Rechnerische Ermittlung des bezogenen Spannungsgefälles für

homogene prismatische Stäbe mit Vollquerschnitt bei Torsion

E. Bazant

Dauerfestigkeitsuntersuchungen sind bekanntlich sehr aufwendig und teueri Zur Untersuchung von

Kerbprablemen sind deshalb neben Dauerfestigkeitsversuchen unbedingt analytische, numerische 0. a:

Methoden anzuwenden, damit eine möglichst umfassende Lösung mit geringem Aufwand erreicht wird. Die

vorliegende Arbeit zeigt eine Methode zur Ermittlung des bezogenen Spannungsgefälles für homogene

prismatische Stäbe mit Vollquerschnitt. Durch deren Anwendung kann man die Kerbwirkungszahl für viele

technisch wichtige Wellenprofile berechnen.

1 Berechnungsgrundlagen

Nach Siebel und Stieler (1955) kann man die Kerbwirkungszahl aus der Formzahl und dem bezogenen

Spannungsgefälle mit den Grundlagen der Elastizitätstheorie berechnen (TGL 19340, 1984; Göldnen 1978;

Sähn, 1989). In der bisherigen Literatur sind jedoch fast keine Angaben für die Formzahl und das bezogene

Spannungsgefälle für technisch häufig verwendete Profile bei Torsion zu finden. ln den Beiträgen von Bazant

(1989, 19913, 1991b) werden Lösungswege und Berechnungsbeispiele zur Bestimmung des

Torsionsträgheitsmoments, der Spannungskonzentration am Profilrand und der Formzahl bei Torsion

dargelegt.

Die Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles für Torsion erfolgt in diesem Aufsatz durch die Anwendung

der konformen Abbildung und der Elastizitätstheorie. Das Problem kann als gelöst betrachtet werden, wenn es

gelingt‘ das vorgegebene Profil (einfach zusammenhängendes Gebiet) auf den Kreis abzubilden.

Das bezogene Spannungsgefälle für Torsion wird mit der Funktion

(d1)ö Z M (1)

Imax

berechnet. Für die V011we11e(nach Bild 1) wird beispielsweise

y A

U

B

N

X

v

Bild 1.V011welle

I : G19 r

[I

l— : 019

dI'

I 2 G Ü a und damit111.1X

41

Hierbei sind

G = Schubmodul in N/mm2

1‘) : Verdrehwinkel je Längeneinheit.

Für die konforme Abbildungsfunktion eines Wellenprofiles mit Vollwandquerschnill (z. B. einer Keilwelle)

kann man folgenden Ansatz machen:

z:x+i_y:(1)(C)

R §+ Ä'l (II/HI + Ä'2 €2,141 + + Ä'n gin/H»!

p+l 2p+l np+l

N

II

0 s M s l (2)

C z eu+1v

p — Symmetriefaktor (mitp = l, 2, 3,

C —Ebene z-Ebene

u _ y“

n Q

K U

Q-

u : -

Bx Q:(\I 7

x (\l

J

Bild 2. Schematische Darstellung zur konformen Abbildung

42

Aus Gleichung (2) wird

‚r : R e“ eosv + Ltd/M)“ cos +1 v + Lea/7H)" COS 2p+1 v

p+l p 2p+1

+ + JiTeWM)“ cos(np+1)v]

np+

u - A-1 (p+l)u - 7V2 (2p+1)u t

y = R e smv + ———e Sin(p+l)v + ——e sm(2p+l)v (3)

p+1 2p+1

+ + —Ä”—e(’l”+l)" sin(n.p+l)v

np+1

Setzt man u = 0 ‚ so entsteht die Profilrandkurve in Parameterdarstellung

xR = R[c05v + Ä‘ cos(p+1)v + Ä: cos (2p+1)v + + M} cos(np+l)v:l

p+l 2p+l np+

yR :R sinv + A] sin (p+1)v + M sin (2p+1)v + + Ä" sin(np+l)v (4)

p+1 2p+1 np+l

und

e=e+n

Für Stäbe mit einfach zusammenhängendem Querschnitt muß die Spannungsfunktion q) die Dgl.

Am: —2GÜ (S

und ferner die Randbedingung

Oma = 0 (Ö)

erfüllen (Goldner, 1978; Goldner, 1979; Filonenko, 1967), Bei krummlinigen Koordinaten und

zweidimensionalen Problemen ist der Laplace—Operator (Goldner, 1985; Vocke, 1969; Neuber, 1958)

l h l1

A¢=‘— 4 +'itÜ

‘ maflmmk {Ami} i

mit den Verzerrungsfaktoren

(8)

Durch die Anwendung der konformen Abbildung entsteht ein orthogonales Koordinatensystem. und es ergeben

sich folgende Vereinfachungen

/z:h 2h(9)

Ll \'

und

M = —2-[a>.„„ + «1211]: —2Gö <10)

Für dieses Koordinatensystem ist

läälwF; : ___ (1.1)

Tmax

Das bezogene Spannungsgefälle wird für die maximale Spannung ermittelt Sie liegt am Profilrand. Am

Profilrand ist die Radialspannung Null.

(Tu)Rand = m”) = 0 (11)

Rand

Aus Gleichung (10) wird

(AMRand = —ZGÜ = 52 (12)

Mit

4)“tv h I ( )

und

EI : 2‘: (14)

Br Bu 8r

wird

g} = 7117D: m, — m 11.,] <15)

1

— : ‘1;[_¢,uu + I“ h'“]

p = _ (l6)

ermitteln (Vocke. 1969; Neuben 1958). Ferner ist nach Wunsch (1973)

8r

—:h 17

au ()

und nach Bazant (19913)

(mm = GGRE‘, (18)

44

Somit wird aus Gleichung (l4)

ä = “(111214 + Tr‘zh‘u z +

Br [1‘ h

und

— l

G : 2_ + — [l/mm]

Rau p

Unter Berücksichtigung der Mikrostützwirkung und mit

R=i

K2

wird schließlich das bezogene Spannungsgefälle bei Torsion

s Faktor zur Berücksichtigung der Beanspruchungsarten und Festigkeitshypothesen (Neuber, 1968)

— 2 K 1

G = _2 + — [l/mm]

a av pl

Es bedeuten:

pi = p + sp*

pl fiktiver Krümmungsradius

p Kn’immungsradius

p‘ Ersatzstrukturlänge

2 Berechnungsbeispiele

Beispiel 1

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

Berechnung der Kerbwirkungszahl BK aus der Formzahl 01K und dem bezogenen Spannungsgefälle 5 für

eine Keilwelle mit 8 Keilen bei Torsion und folgenden speziellen Werten:

2a = 60 mm z Außendurchmesser

pl = 0.27 mm

IP = 420 N/mmZ

E z 2,6 : bezogene max. Randspannung

K1 : (—1 —-

‘ R

KR z 0.954

45

nach Bazant (1991a) und Bazant(l99lb)

Mit Gleichung (22) wird

ö:—+l: ‘ +—1—~:3,73 l/mm

aa p, 302,6 0,27

Nach TGL 19340 (1984) ergeben ö = 3,73 l/mm und rF : 420 N/mm2 die Stützziffer n = 1,24.

Nach Bazant (1991a) und Bazant (l99lb) wird die — auf den Außendurchmesser bezogene — Formzahl

3 _

cur = ä —I’"R = (3) a“ = 1,1-‘~—2’6 = 3.63R KR 0,954

und hiermit die Kerbwirkungszahl nach Siebel und Stieler (1955)

[5X 2 9i z L63 = 2,92n 1.24

Hierbei sind:

Beispiel 2

Bild 3. Welle mit Kreiskerbe

Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles für eine Welle mit Kreiskerbe nach Bild 3. Die

Spannungsfunktion q; für das dargestellte Profil kann man in Polarkoordinaten angeben (GÖldner, 1978).

¢ = (NEV)

2 2

= GÖ[L ~ arcosv] — I] (24)

2 r“

2 2

Q) 2 GÖ|:P—— — r— — lapzcosv + arcosv]

2 2 r

Die Spannungskomponenten sind

d7I“ : —~fl : 41)., : G 1‘)? — a cosv e lj up” c0512] (25)

SrI'“

und

l a (DieI, : _ i) : _.(26)

r 81' r

46

Am Profilrand ist die Radialspannung Null, Tr = O. und es gilt

ä z —¢,,, = —Gfi(1 + hymn) (27)9r r

Das bezogene Spannungsgefälle Ö— wird für die Stelle der maximalen Spannung berechnet. Diese liegt bei

v = 0 und r = p . Mit Gleichung (1.1) wird

at 1 2

- a7 2;“

1'lmax

a

1 27 + V

5 z 3—9; I (29)

2 a

a

und für & << 1 ist

a

ö = ~1— + i (29.1)

2a pl

Zahlenbeispiel

Gegeben: a = 20 mm, pl : 1mm

Gesucht: c7 nach den Gleichungen (29), (291 1) und (22).

1 2 1 27 + 4„ + 7

c7 = a 91 — 20 1‘ =1.051 l/mm (29)

2 _ EI, 2 _ M

a 20

— l 1 l 1

G = — + — : + — : 1.025 l/mm (29.1)

2a p1 2-20 1

Die Berechnung nach Gleichung (22) erfolgt mit K2 : 1,005 und a“ 2 — Ei.Es wird

a

— 2 - K, 1 2 « 1,005 1

G: _-+—=—-——+~=1,051 (22)

a - 01‘. pl ‚0(„_ l”) 1

h “ 20

3 Berechnungsergebnisse

Das bezogene Spannungsgefälle ö nach Gleichung (22) gilt für homogene prismatische Stäbe mit

Vollquerschnitt und linear elastischem Material bei Torsion. Damit gilt diese Gleichung auch für folgende

häufig verwendete Antriebselemente:

47

- Wellen mit Paßfedernuten und Keilnuien.

— Keilwellen.

— Kerbzahnwellen.

» Zahnwellenprofilc,

A Polygonwellen usw.

Diese Funktion berücksichtigt den Einfluß der Mikrostützwirkung und damit den kerbspannungsmäßig

bedeutsamen Bereich der Spit/‚kerben.

— l . .. . . . i i

Die Haupteinflußgröße für G ist —. also der Wirksame kritische Kerbradius. Das Beispiel l zeigt die

Pi

Berechnung der Kerbwirkungszahl für eine Keilwelle und das Beispiel 2 die Bestimmung des bezogenen

Spannungsgefälles für die Welle mit Kreiskerbe. Hierbei ergibt das Zahlenbeispiel übereinstimmende

Ergebnisse für die Gleichungen (22) und (29).

4 Zusammenfassung

Nach Siebel und Stiebler (1955) genügen zur Berechnung der Kerbwirkungszahl das bezogene

Spannungsgefälle. die Formzahl und die Stützziffer.

Die vorliegende Arbeit zeigt die Bestimmung des bezogenen Spannungsgefälles.

Durch die zusätzliche Anwendung der Beitrage Banant (1991:1) und Bazant (1991b) kann man die Formzahl

und das Torsionsträgheitsmomeni und damit auch die Kerbwirkungszahl für viele gekerbte Wellen mit

Vollquerschnitt bei Torsion berechnen. Diese Berechnung erfolgt durch die Anwendung der konformen

Abbildung und der Elastizitatstheorie. Das Problem kann als gelöst betrachtet werden. wenn es gelingt. das

vorgegebene Profil (einfach zusammenhängendes Gebiet) auf den Kreis abzubilden.

Mit diesen theoretischen Grundlagen kann man ~ in Verbindung mit Experimenten - für den Konstrukteur

wertvolle neue Berechnungsunterlagen und Avorschriften schaffen.

Literatur

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Berlin. 2. (1989).

[J

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Göldner. H.; Holzweißig. F.: Leitfaden der Technischen Mechanik. Leipzig. VEB Fachbuchverlag,

(1978),

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Vocke. W.: Räumliche Probleme der linearen Elastizität. Leipzig, VEB Fachbuchverlag, (1969).

Wunsch, G.: Feldtheorie. Band 1. Berlin, VEB Verlag Technik. (1973).

Adresse: Dipl-Ing. E. Bazant. Kornstraße l4. D—39387 Oschersleben/Bode

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