DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 - Operação de ... · 3.5 - equaÇÕes com parÊnteses e equaÇÕes fracionÁrias 26 3.6 - os problemas e a linguagem algÉbrica 28 3.7 - resoluÇÃo

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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

GOVERNO DO PARANÁSECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃOPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL-PDE

VERA LUCIA DE SOUZA MAGNONI

O USO DE MATERIAIS CONCRETOS NO ENSINO DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU PARA ALUNOS DEFICIENTES

VISUAIS E/OU VIDENTES.

IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ - UNIOESTEORIENTADORA: PROFª. Ms. RENATA CAMACHO BEZERRA

ÁREA: MATEMÁTICA

TERRA ROXA-PR2010

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ-UNIOESTE

VERA LUCIA DE SOUZA MAGNONI

O uso de materiais concretos no ensino de equações do 1º grau para alunos deficientes

visuais e/ou videntes.

Unidade didática apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional/PDE2009. Orientadora: Profª. Ms. Renata Camacho Bezerra

TERRA ROXA-PR2010

IDENTIFICAÇÃO

Área: Matemática

Professora PDE: Vera Lucia de Souza Magnoni

NRE: Toledo

Orientadora: Profª. Ms. Renata Camacho Bezerra

IES: Universidade Estadual do Oeste do Paraná - UNIOESTE

Escola para Intervenção: Colégio Estadual Presidente Arhur da Costa e Silva.

Título: O uso de materiais concretos no ensino de equações do 1º grau para

alunos deficientes visuais e/ou videntes.

Conteúdo: Equações do 1º grau

Público: Alunos do 1º Ano do Ensino Médio

Município: Terra Roxa – Paraná

OBJETIVO GERAL: Propor uma metodologia que facilite o ensino-aprendizagem

através do material concreto, visando aplicação junto aos alunos deficientes visuais

(cegos e/ou de baixa visão), e também junto aos alunos videntes, com intuito de

contribuir para sanar e/ou minimizar as dificuldades referentes à aprendizagem do

conteúdo de equações do 1º grau.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Possibilitar ao aluno experiências lógico-matemáticas, com

desenvolvimento do raciocínio lógico e da atenção, entre outras

aquisições cognitivas que serão adquiridas na evolução de cada fase

do conhecimento;

• Minimizar as dificuldades encontradas no processo ensino-

aprendizagem, contribuindo para a construção de cenários educativos

mais inclusivos;

• Contribuir para a melhoria das práticas de sala de aula que envolvam

alunos deficientes visuais e/ou videntes com dificuldades de

aprendizagem;

• Permitir, através dos materiais concretos, um maior envolvimento dos

alunos deficientes visuais e/ou alunos videntes, com dificuldades de

aprendizagem nas tarefas propostas, pelas potencialidades de

descoberta e exploração que a manipulação tátil pode permitir;

• Proporcionar apoios necessários para que o aluno deficiente visual

possa ter sucesso escolar numa classe/turma regular;

• Facilitar a compreensão e a aprendizagem de equações de 1º grau

através de materiais concretos;

• Valorizar a troca de experiências entre alunos;

• Possibilitar a integração do educando ao mundo em que vive;

• Proporcionar um estudo dinâmico e diferenciado através do uso de

material concreto.

SUMÁRIO DE FIGURAS

Figura 1- Peça do equal com escritas em Braille, letra ampliada e letra cursiva

(monômio positivo)......................................................................................................13

Figura 2- Peça do equal com escrita em Braille, letra ampliada e letra cursiva

(número inteiro negativo)............................................................................................13

Figura 3- Parte interna da maleta do equal com suas respectivas peças.................13

Figura 4- Parte externa da maleta do equal...............................................................13

Figura 5- Quadro do equal para as representações e resoluções das equações do 1º

grau.............................................................................................................................14

Figura 6- Representação da linguagem simbólica de um problema, com escritas em

Braille, letra cursiva e letra ampliada..........................................................................16

Figura 7- Representação da equação para o estudo da variável- números

positivos......................................................................................................................17

Figura 8- Representação da equação para o estudo da variável- números negativos

e positivos...................................................................................................................18

Figura 9- Representação de uma equação do 1º grau, com resolução através do

princípio da igualdade.................................................................................................20

Figura 10- Representação de uma equação, com resolução através do método

formal (efetuar a mesma operação em ambos os lados)...........................................23

Figura 11- Representação de uma equação do 1º grau, com resolução através do

método de desfazer (operar ao contrário)..................................................................25

Figura 12- Representação de uma equação fracionária............................................27

Figura 13- Representação da linguagem algébrica dos problemas, com resoluções

através de uma equação do 1º grau...........................................................................30

SUMÁRIO

1-INTRODUÇÃO 08

2- DESCRIÇÃO DO MATERIAL CONCRETO 12

3-ATIVIDADES NO “EQUAL” 15

3.1 - LINGUAGEM SIMBÓLICA 16 3.2 - PAPEL DA VARIÁVEL 173.3 - EQUAÇÕES EQUIVALENTES 19 3.4 - MÉTODOS PARA RESOLVER UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU 21 3.5 - EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS 26 3.6 - OS PROBLEMAS E A LINGUAGEM ALGÉBRICA 283.7 - RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 303.8 - TESTANDO O RACIOCÍNIO 32

4-REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 34

5-APÊNDICE 36

Apêndice 1-LINGUAGEM SIMBÓLICA 36Apêndice 2-PAPEL DA VARIÁVEL 37Apêndice 3-EQUAÇÕES EQUIVALENTES 38Apêndice 4-MÉTODOS PARA RESOLVER UMA EQ. DO 1º GRAU 40Apêndice 5-EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E EQ. FRACIONÁRIAS 41Apêndice 6-OS PROBLEMAS E A LINGUAGEM ALGÉBRICA 43Apêndice 7-RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 45Apêndice 8-TESTANDO O RACIOCÍNIO 51

1- INTRODUÇÃO

A falta de qualificação/atualização de professores, de planejamento, a falta de

recursos, materiais, criatividade, motivação - por parte dos professores e dos alunos,

entre outros, tem gerado desequilíbrios, refletindo em alguns fatores como: evasão

escolar e traumas psicológicos, dentre outros problemas.

É preciso melhorar a qualidade de ensino, no entanto, para que isso ocorra,

temos que modificar nossos pensamentos em relação à educação, pois uma

transformação educacional significativa depende das ações conjuntas de todos os

envolvidos no processo educacional. Logo, cabe aos envolvidos, a responsabilidade

de criar, pesquisar, refletir e agir para mudar a realidade que envolve a educação,

investindo em práticas pedagógicas que venham melhorar o processo de ensino-

aprendizagem. Enfatizando a qualidade do conhecimento e não a quantidade, pois a

escola deve ser vista como um ambiente de construção do conhecimento, dando

oportunidades adequadas para o desenvolvimento das potencialidades de cada

educando, independente das dificuldades e particularidades de cada um.

Durante os anos de trabalho no ensino Médio, tem-se percebido que o

processo de construção de conceitos matemáticos vem ocorrendo de maneira

invertida, bastando para isso observar os freqüentes erros frente às resoluções de

equações do 1º grau. Portanto cabe ao professor proporcionar um ambiente

motivacional de forma que os alunos venham se sentir estimulados a estudar,

procurando meios que favoreça a discussão, a exploração e descobertas de

conceitos matemáticos.

Estudos realizados por Booth (1982) e Kieran (1981) sobre as dificuldades dos

alunos no aprendizado da álgebra, mostraram que o início das dificuldades, em

álgebra, está na incompreensão de conceitos, princípios e convenções da aritmética

ou concepções errôneas decorrentes de uma falsa generalização dos procedimentos

aritméticos, na compreensão insuficiente das relações existentes entre as operações

e das propriedades operatórias dos números, nas diferentes interpretações do sinal

de igualdade e soma.

É preciso estar ciente que os conceitos básicos devem ser desenvolvidos a

partir das séries iniciais, onde se trabalha as operações aritméticas, para que na 6ª

série a álgebra e a aritmética possam caminhar juntas, pois se os alunos tiverem

concepções erradas a respeito dos procedimentos aritméticos o desempenho em

8

álgebra poderá ser afetado. Todos nós sabemos que não existe um método ideal.

Compete ao professor, dentro das características pessoais, da sua classe e do seu

meio, escolher o melhor (método), para melhores resultados.

Sendo assim, ao procurar uma metodologia que desse suporte em sala de

aula, para tornar a matemática mais significativa e melhorar o ensino de álgebra nas

escolas públicas, propomos o trabalho com material concreto, por acreditar que ele

seja um catalisador para a aprendizagem matemática, pois segundo RÊGO e RÊGO

(2006): “O material concreto tem fundamental importância, pois, a partir de sua

utilização adequada os alunos ampliam sua concepção sobre o que é, como e para

que aprender matemática.”

No que diz respeito a alunos com deficiências visuais, o conjunto de desafios

enfrentados pelos professores em relação ao processo de ensino-aprendizagem,

como a falta de material didático, cursos específicos, entre outros, não devem ser

obstáculos e muito menos servir de justificativas para o descaso em relação ao

ensino-aprendizagem desses alunos. BARBOSA (2003) discorre que:

Buscar os recursos mais adequados para trabalhar com alunos portadores

de deficiência visual é tarefa que exige do professor enxergar além da

deficiência, lembrando que há peculiaridades no desenvolvimento de todas

as crianças, tendo elas deficiências ou não (BARBOSA, 2003, p.19).

A limitação é fato, mas não é empecilho para a compreensão/assimilação dos

conteúdos, pois a falta de visão pode ser suprida explorando os outros sentidos

remanescentes.

Quando se trata de alunos videntes, sabemos que as dificuldades de

aprendizagem também é uma limitação, mas é preciso que haja valorização das

metas, enriquecimento da aprendizagem e não dos obstáculos encontrados pelo

caminho.

Segundo FERRONATO (2002):

O ensino de matemática é facilitado com o uso de material, independente de

o aluno, enxergar ou não. Uma vez que pode observar concretamente os

“fenômenos” matemáticos e, por conseguinte, tem a possibilidade de

realmente aprender, entendendo todo o processo e não simplesmente

decorando formas isoladas e aparentemente inexplicáveis.

9

Não podemos negar que o domínio de regras e técnicas para o trabalho com a

álgebra seja importante, porém devemos priorizar a compreensão dos conceitos

algébricos, visando o desenvolvimento do raciocínio lógico.

Por acreditar que o uso de materiais concretos, facilita o processo de ensino-

aprendizagem e que ele por si só não traz conhecimento e sim as ações, análises,

reflexões e conclusões que o sujeito realiza sobre ele, o trabalho será desenvolvido

de acordo com o esquema que GABBA (1975), nos propõe para a utilização de

material concreto nas aulas de matemática.

Manipulação de objetos concretos

Ações realizadas com objetos

Obtenção de relações

Interiorização dessas relações

Aquisição e formulação do conceito

Integração do conceito a conceitos anteriores (estruturação)

Aplicação ou reconhecimento da estrutura em novas situações

Pois, para formalizar os conceitos é preciso coordenação das ações, e isso

pode ser possível com o auxílio do material concreto. Acreditamos que através dele,

os conceitos podem ser vivenciados, formalizados e aprendidos, criando situações de

aprendizagem desafiadoras, pois o material permite ao aluno, a percepção visual e

tátil, possibilitando a relação de informações, busca de soluções para os problemas

apresentados, produção de novas ideias, raciocínio, compreensão, elaboração e

reelaboração de seu conhecimento.

O estudo de equações do 1º grau com a proposta do material concreto, será

no intuito de permitir um trabalho de sala de aula que possa se constituir numa

educação para todos.

10

2- DESCRIÇÃO DA CONSTRUÇÃO DO MATERIAL CONCRETO

O material foi projetado e construído para apoiar as aulas de matemática em

relação às dificuldades enfrentadas nas resoluções das equações do 1º grau.

Durante o trabalho de dois anos com aluno deficiente visual, surgiu a

necessidade de trabalhar com materiais concretos, tanto nas disciplinas de Química,

como na disciplina de Matemática, tais materiais serviram de modelo para a criação

de um material denominado Equal, para estudar a parte algébrica de resolução de

uma equação do 1º grau. Durante o desenvolvimento da pesquisa para a elaboração

do projeto, deparei com um projeto semelhante denominado Braimateca: Facilitando

a aprendizagem da matemática pelo deficiente visual, da autora Antonieta Aparecida

Gonçalves Pereira Kanso.

Para a confecção do material, foram utilizados os seguintes materiais:

madeira, zinco, imã e papel (especial para digitação em Braille). A elaboração das

peças teve a ajuda de um aluno DV e de sua mãe, pois o mesmo deveria estar de

acordo com as necessidades de um aluno DV, ou seja, perceptível ao tato, tanto no

formato como na escrita (em Braille).

O Equal é composto por peças quadradas de 4 cm de lado, com bordas para

papeletas (com três versões de escrita:Braille, letra cursiva e letra ampliada) e

imantadas (atrás de cada peça possui um imã neodímio com dimensões 8x1,5mm.

As mesmas são formadas por números inteiros e fracionários, negativos e positivos,

monômios positivos e negativos, sinais de igualdade, letra X representando a variável

(termo desconhecido), letra P representando números positivos, letra N representando números negativos e parênteses.

11

Figura1 Figura2

Fonte: arquivo pessoal

Essas peças serão guardadas em ordem crescente (para facilitar o manuseio

das peças pelos alunos) em uma maleta de madeira de medidas externas 50x38cm e

medidas internas 44x32cm , com chapa metálica no seu interior onde as peças serão

fixadas, facilitando o transporte do material de um grupo para o outro ou também de

uma sala para outra, se for o caso.

Figura3 Figura4

Fonte: arquivo pessoal

1 Peça do equal com escritas em Braille, letra ampliada e letra cursiva (monômio positivo).2 Peça do equal com escrita em Braille, letra ampliada e letra cursiva (número inteiro negativo).3 Parte interna da maleta do equal com suas respectivas peças.4 Parte externa da maleta do equal.

12

Para trabalhar as equações do 1º grau, as peças serão dispostas em uma

chapa metálica com dimensões de 60x40cm, com moldura (para evitar acidentes com

as bordas cortantes), semelhante a um quadro negro.

Figura5 Fonte: arquivo pessoal

5 Quadro do Equal para as representações e resoluções das equações do 1º grau.

13

3- ATIVIDADES NO EQUAL

Apresentaremos algumas atividades que serão desenvolvidas em sala de aula

e/ou no laboratório de matemática, com material concreto denominado Equal,

visando à superação das dificuldades no processo de ensino-aprendizagem das

equações do 1º grau através de experiências no material concreto já citado, que

podem propiciar a construção de idéias algébricas.

Equação do 1º grauConceito: É toda sentença matemática aberta expressa por uma igualdade, ou seja,

são igualdades que contêm pelo menos uma letra que representa um número

desconhecido.

Sentenças abertas: são aquelas que apresentam elementos desconhecidos

chamados variáveis ou incógnitas. Ex: x + 5 = 12 é uma sentença aberta a

variável é x.

Sentenças fechadas: são aquelas que não possuem variáveis ou incógnitas.

Ex: 12 – 8 = 4 é uma sentença fechada (verdadeira).

Uma equação é composta por uma expressão colocada à esquerda do sinal de

igual, chamada primeiro membro, e por outra colocada à direita do sinal de igual,

chamada segundo membro.

Observe: 4x - 2 = 10

1ºmembro 2º membroSignifica que a expressão do 1º membro: 4x - 2 e a expressão do 2º membro: 10

representam o mesmo número.

O conjunto formado pelos elementos do universo da variável que tornam a

sentença aberta uma sentença verdadeira chama-se conjunto solução.

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da

equação.

14

3.1 – LINGUAGEM SIMBÓLICA

Objetivo: Compreender a representação de uma expressão algébrica.

Desenvolvimento: Essa atividade será desenvolvida em grupo de 4 alunos,

utilizando as peças do Equal como recurso. O professor dita as frases e os alunos

transcrevem na placa metálica as expressões algébricas.

Exemplo: O dobro de um número menos quatro.


3.1.1- Encontre expressões algébricas para representar as frases a seguir:

a) Soma de um número com 6.

b) Diferença entre um número e 7.

c) Dobro de um número mais 1.

d) Quádruplo de um número.

e) Metade de um número menos 3.

f) Triplo da soma de um número com 4.

g) Dobro da diferença entre um número e 1.

h) Quádruplo da soma de um número com 9.

6 Representação da linguagem simbólica de um problema, com escritas em Braille, letra cursiva e letra ampliada.

15

3.2 - PAPEL DA VARIÁVEL

Objetivo: Explorar as peças do Equal no sentido de representar ou igualar duas

expressões algébricas de maneira concreta, a fim de introduzir o papel da variável.

(adaptado da atividade “fichas ocultas” de Thompson apud Coxford e Shulte, 1995,

p.84).

Desenvolvimento: O trabalho será desenvolvido em grupo de 4 alunos, onde serão

utilizados peças do Equal ( que representam números negativos e positivos, variável

e sinal de igualdade) fixadas na chapa metálica para as representações das

equações. Primeiramente é colocado o sinal de igual na chapa, do lado direito

coloca-se peças com números positivos e/ou negativos e à esquerda coloca-se peças

com a variável “x”.Obs. Nas representações, as peças podem ser trocadas de lado.

1º Exemplo: = P P P


7 Representação da equação para o estudo da variável - números positivos

16

2ºExemplo: N = P P


3.2.1- O grupo observará a montagem das peças na chapa metálica do Equal e em

seguida escreverá a expressão formada encontrando o valor da interrogação que

chamaremos de variável “x”.Obs. Nas equações a peça com a ficha oculta será substituída por uma peça com a

letra “x” , para que o aluno possa compreender o papel da variável.

Ex: = P P P *Qual valor representa a ficha oculta

P é número positivo, para que os dois lados sejam iguais?

Quantas peças positivas *Chamaremos essa peça de variável “x” ,

estão representadas? ou seja, x deve ser igual a 3.

= 3

a) X = P P N

b) X = P N N

c) X = N N

d) X = P N

8 Representação da equação para o estudo da variável - números negativos e positivos.

17

e) X = N N N

3.2.2- Observe as equações na chapa metálica e represente a equação formada:

a) X X = P P

b) X X X = P P P P P P P P N N N N N

c) X X P = P P N N N

d) X X X P P = P P N N N

e) X X X = N P P P P N N

3.2.3- Cada grupo receberá peças do Equal (que representam números negativos,

positivos, variável “x” e sinal de igualdade). Os alunos farão montagens de equações

com as peças e em seguida as representações das equações formadas.

3.3 - EQUAÇÕES EQUIVALENTES

Objetivo: Possibilitar a compreensão das operações de equilíbrio nas equações.

Desenvolvimento: A atividade será desenvolvida em grupos de 4 alunos, utilizando

as peças do equal. O professor faz a representação de uma equação algébrica na

chapa metálica e em seguida pede para os alunos utilizar as regras dos princípios da

igualdade obtendo assim equações equivalentes.

Conceito: duas ou mais equações que têm o mesmo conjunto verdade.

Exemplo: x + 5 = 8 e x= 5 – 2 são equivalentes

18

Princípios da Igualdade

a) Princípio Aditivo: Se somar (ou subtrair) um mesmo número aos dois

membros de uma igualdade, obtém-se uma sentença equivalente.

b) Princípio Multiplicativo: Se multiplicar (ou dividir) ambos os membros de uma

igualdade por um número diferente de zero, obtém-se uma sentença

equivalente.

Exemplo: 4x +1 = 3x +2

Subtraímos o valor (3x) do 1º e do 2º membro.

Assim 4x- 3x+1= 3x-3x+2, resulta em: x+1=2.

Em seguida subtraímos o valor (1) d 1º e do 2º membro.

Assim: x+1-1=2-1, resulta em x=1

Obs. Para ser equivalentes o valor de x dever ser igual a 1.

Logo, substituindo o valor encontrado na equação temos:

4.1 +1 = 3.1 +2

5 = 5 Valores em equilíbrio


9 Representação de uma equação do 1º grau, com resolução através dos princípios da igualdade.

19

3.3.1- Para cada alternativa abaixo, encontre o valor de x para que as equações

sejam equivalentes entre si:

a) 5x + 3 = 4x + 9 b) 3x + 7 = 2x + 3 c) 6x – 5 = 2x + 3

d) 5x – 8 = 3x + 8 e) 8x + 2 = 6x + 4

3.3.2- Agora você é quem vai inventar equações equivalentes:

a) Escreva uma equação que começa assim 3x+ 2=...

Para que o valor de x seja igual a 1.

b) Crie outra que começa assim: 5x... = 2x +6

Para que o valor de x seja igual a 2.

3.3.3- Com as peças do equal escreva 4 equações para que a solução de cada uma

seja: 2, 3, 5, 8.

Obs. Os grupos farão troca de experiências de forma a verificar as equações

escritas.

3.4 – MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES

a) Método do encobrimento (ou esconder) – Consiste em “esconder”

determinado termo, a fim de encontrar uma resposta que seja satisfatória em relação

à igualdade. Por exemplo; na equação 5x+ 5= 10x, se escondermos o número 5 e

perguntarmos: 5x somado com quanto resulta em 10x? A resposta é 5x, assim 5=5x,

consequentemente x é igual a 1.

b) Método de desfazer (operar ao contrário) – Esse método baseia-se nas

noções de inversos operacionais e na reversibilidade de um processo envolvendo um

ou mais passos invertíveis. Por exemplo; na equação 2x+1=5, toma-se o resultado

numérico do lado direito e, procedendo da direita para à esquerda, desfaz-se cada

operação pela sua inversa. Entretanto, ele é claramente limitado ás equações com

uma única ocorrência de termo com a incógnita numa dada posição.

20

c) Método da substituição por tentativa e erro – No exemplo: 2x = 16, o

procedimento para encontrar o valor da incógnita x se resume em determinar o

número que multiplicado por 2 é igual a 16, valendo-se do domínio de um repertório

de resposta de produtos desse tipo (tabuada).

d) Método formal – Os métodos formais de resolução de equações incluem transpor

ou efetuar a mesma operação em ambos os lados de uma equação. Embora a

transposição de termos seja considerada uma versão resumida do procedimento de

efetuar a mesma operação em ambos os lados, Esses dois métodos são diferentes.

Efetuar a mesma operação em ambos os lados de uma equação enfatiza a relação

de equivalência das equações, e essa ênfase está ausente no procedimento de

transposição.

Exemplo: 4x+ 6 = 10

Operação em ambos os lados Transposição dos termos

4x+ 6=10 4x=10-6

4x+6-6= 10-6 x= 44

4x= 4 x=44

x=1 x= 1

x=44

x=1

Objetivo: mostrar aos alunos as várias maneiras possíveis de resolver as equações

do 1º grau.

Desenvolvimento: Para resolver as atividades abaixo relacionadas serão utilizados

os métodos de resolução citados anteriormente e o material concreto Equal como

recurso nos procedimentos.

Exemplificando através de desenho os métodos de resolução de equações:

21

1º Ex: Método formal

4x+ 2= 10

4x +2 = 10

4x +2 -2 = 10 -2

4x 8

=

4 4

x = 2


10 Representação de uma equação, com resolução através do método formal (efetuar a mesma operação em ambos os lados).

22

2º Ex: Método da substituição por tentativa e erro.

4x+2=10

Para x=1

4 . 1 +2 = 6

Para x=2

4 . 2 +2 = 10

3º Ex: Método do encobrimento ( ou esconder)

5x+5 = 10x

5x + ? = 10x

5x = 5

x = 5/5

x = 1

4ºEx: Método de desfazer (operar ao contrário)

2x+1 = 5

5 -1 = 2x

4 = 2x

4/2 = x

x = 2

23


3.4.1- Resolva as equações, sendo U=Q:

GRUPO I - Eq. com uma única ocorrência do termo com a incógnita.

a) 2 t + 5 = 9 c) 4x +4 = 12 e) 4y - 6=10

b) x -9 = - 15 d) 3m + 8= 11

GRUPO II - Eq. com duas ou mais ocorrências de termo com a incógnita.

a) 5x + 2 = 2x - 4 b) 4t + 9 = 3t + 5 c) x + 1 = 7x -2

d) 2m+1 = m + 11 e) y + 9 + 3y = -3 + 2y + 7

11 Representação de uma equação do 1º grau, com resolução através do método de desfazer (operar ao contrário).

24

3.5 - EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS.* Propriedade distributiva da multiplicação: Multiplicando um número natural

pela soma ou subtração de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada

uma das parcelas. Assim temos: m. (a+b) = ma + mb ou m. (a-b) = ma-mb

GRUPO I - Equações com parênteses

Para resolver essas equações, retiram-se os parênteses, aplicando a

propriedade distributiva da multiplicação.

Ex: 2(2x+1) + 3(2x -1) = 9

Resolva as seguintes equações:

a) 3(x+ 2) + 5 = x + 12 b) x + 4 (x -1) = 9 – 2( x+3)

c) 2(3x - 1) + 2 ( 3-x) = 8 d) 7(x-1) = 2(3x+ 1)

Observações: Na equação “b” o menos na frente do parêntese significa o mesmo que

multiplicar por -1.

GRUPO II – Equação com denominadores

Para eliminar os denominadores multiplicamos todos os termos (dos dois

membros) pelo m.m.c dos denominadores.

Exemplo: 3

5−x+

213 −x

= 4 m.m.c (3,2)= 6

63

)5( −x+ 6

2)13( −x

=6.4

2(x-5) + 3(3x-1) = 24 ( A partir dessa equação resolve-se como nas equações

anteriores.

25


Resolva as seguintes equações:

a) 3

2−x+ 2x=

25x

b) 5x -2

7+x=10

c)3

24 +x -

212 +x

=1 d)4

53 +x-

332 −x

=3

OBSERVAÇÃO - O zero como um complicador nas equações em que é

solução, e nas equações sem solução.

Exemplos:

1º) 6x-13=6x +12 Obs. Não há número que multiplicado por zero

6x-6x=12+13 resulte em 25, então a equação é impossível.

0x=25 V=∅

2º) 3x+ 5=3x+5 Obs. Qualquer número racional multiplicado

3x-3x=5-5 é igual à zero. Nesse caso a equação é uma

0x=0 identidade.

12 Representação de uma equação fracionária.

26

3º) 2

2+x+

33+x

=2 m.m.c=6

6.2

)2( +x+ 6

3)3( +x

= 6.2 Obs.O número que multiplicado por 5 da zero

3x+ 6+2x+6=12 é o próprio zero. Logo, V={0}.

5x=0

x=50

x=0

3.6- OS PROBLEMAS E A LINGUAGEM ALGÉBRICA

Objetivos:

• Desenvolver a linguagem e o pensamento algébrico de forma exploratório-

investigativa, as quais visam instiga-los a fazer explorações, descobertas,

conjecturas e argumentações que comprovem ou não as conjecturas.

• A utilização da linguagem oral para relatar, socializar e justificar aos colegas

as descobertas e resultados de seu grupo.

• Desenvolver a capacidade de trabalho investigativo em colaboração com os

colegas.

Desenvolvimento: As atividades serão desenvolvidas em grupo de 4 alunos ( para

cada grupo deverá ser escolhido um redator e um relator). Propor problemas de

distintas naturezas, pedir que cada aluno traduza o problema para a linguagem

algébrica, em seguida compare com os registros dos colegas, escolhendo o registro

que consideram o mais viável para representar o problema proposto.

Para a representação do problema na linguagem algébrica, o grupo escolhe

as peças (imantadas) no material concreto Equal, e em seguida transfere para a

chapa metálica, formando a sentença matemática.

O professor analisa e abre discussão coletivamente para os possíveis erros

ou acertos, socializando as escritas.

27

1) Traduza para a linguagem algébrica os problemas a seguir:

a) Dobrei um número, subtraí 1 unidade do produto e obtive 7.

b) Acrescentei 1 unidade a um número, multipliquei a soma por 3 e obtive o

dobro do número.

c) O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse número

aumentado de 1.

d) O triplo de um número, mais dois, é igual ao próprio número menos

quatro.

2) Usando a linguagem algébrica, encontre a sentença para cada problema

proposto a seguir:

a) Com o dobro da quantia que eu tenho mais R$ 12,00 poderei comprar um

livro que custa R$ 46,00. Quanto eu tenho?

b) Um táxi inicia uma corrida marcando R$ 5,00 no taxímetro. Cada

quilômetro rodado custa R$ 3,00 e que o total da corrida ficou em R$

47,00. Calcule quantos quilômetros foram percorridos.

c) Uma pessoa compra x latas de azeitonas a R$ 5,00 cada uma e x+4 latas

de palmito a R$ 7,00 cada uma. No total gastou R$ 172,00. Determine x.

d) Num estacionamento há carros e motos, totalizando 85 veículos. O

número de carros é igual a 4 vezes o de motos. Quantas motos há no

estacionamento?

28

Exemplo: O triplo de um número diminuído de 6 é igual ao dobro desse

número mais 2.


3.7- RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Objetivo: Desenvolver a linguagem matemática, refletindo sobre o processo de interpretação, expressão, representação e resolução dos problemas.

Desenvolvimento: Após as propostas de atividades em relação à compreensão da

variável, equações equivalentes e a linguagem algébrica nos problemas, bem como a

técnica utilizada nos procedimentos das resoluções das equações no Equal que

seguem uma seqüência prática favorecendo o processo de tradução da linguagem

escrita para a linguagem algébrica, acreditamos que os alunos já estejam aptos a

desenvolver problemas diversos.

Propomos então, alguns problemas (que podem ser resolvidos individualmente

ou em grupo) para serem escritos em linguagem algébrica e em seguida resolvidos

através de qualquer método já demonstrado anteriormente.

1) A soma de dois números é 77. O maior supera o menor em 7 unidades.

Quais são esses números?

2) Um terreno de 720m2 será dividido em 2 lotes, sendo que a área de um é o

dobro da área do outro. Qual é a área do terreno maior?

13 Representação da linguagem algébrica dos problemas, com resoluções através de uma equação do 1º grau.

29

3) Dois quintos do meu salário são reservados para o aluguel e a metade é

gasta com alimentação, restando ainda R$ 90,00 para gastos diversos. Qual é o meu

salário?

4) Um relógio cujo preço é R$ 97,00 está sendo vendido com o seguinte plano

de pagamento: R$ 40,00 de entrada e o restante em 3 prestações iguais. Qual é o

valor de cada prestação?

5) Eu tenho 20 cédulas, algumas de R$ 5,00 e outras de R$ 10,00. O valor

total das cédulas é de R$ 165,00. Quantas cédulas de R$ 5,00 e quantas de R$

10,00 eu tenho?

6) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um

deles tirou para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino também

tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons.

Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.

7) César tem 15 lápis a mais que Osmar, e José têm 12 lápis a menos que

Osmar. O total de lápis é 63. Quantos lápis têm Osmar?

8) A quantia de R$ 400,00 vai ser repartida entre você e Pedro. A diferença

entre as quantias que você e Pedro receberão é de R$ 60,00. Calcule quanto você

receberá, sabendo que é a maior quantia.

9) A locadora FILMEBOM cobra de seus usuários R$ 20,00 de taxa fixa de

inscrição no primeiro dia e R$ 4,00/dia por filme alugado. Já na locadora FILMEX, o

usuário paga uma taxa fixa de R$ 30,00 para ter o direito de alugar filmes e R$

3,00/dia por filme alugado. Assim, em termos de gastos para o usuário, é indiferente

associar-se e alugar filmes por dia na FILMEBOM ou na FIMEX, desde que ele leve:

a) 10 filmes b) 15 filmes c) 22 filmes d) 38 filmes

10) Ari e Rui têm juntos R$ 840,00. A quantia de Ari é igual a 43

da quantia de

Rui. Qual o valor que Rui possui?

11) O triplo de um número somado a 4 é igual a 25. Calcule esse número.

12) Lúcia é 5 anos mais velha que Cláudia. A soma das idades de ambas é 43

anos. Qual é a idade de Cláudia?

13) Uma maça vale 6 bananas mais meia maçã. Meia dúzia de bananas custa

48 centavos. Quanto custa uma maçã?

30

14) As idades de três irmãos somam 99 anos. Sabendo-se que o mais jovem

tem um terço da idade do mais velho e o segundo irmão tem a metade da idade do

mais velho, qual a idade do mais velho?

15) Fernando tem R$ 1.380,00 e Alberto R$1.020,00. Fernando economiza R$

36,00 por mês e Alberto, R$ 96,00. Depois de quanto tempo terão quantias iguais?

3.8 - TESTANDO O RACIOCÍNIO

Objetivo/desenvolvimento: A proposta para esta atividade é que os alunos

resolvam individualmente os problemas propostos e em seguida façam grupos para

discutir eventuais erros cometidos, compartilhando com os colegas o seu

pensamento, bem como as estratégias que selecionaram para resolver os problemas,

com isso poder articulá-lo de outra forma, chegando a novas soluções, conclusões e

ideias.

1) Dona Sílvia gastou R$45,00comprando uma torta de limão e duas tortas de

morango na confeitaria. A torta de morango custa R$3,00 a mais que a de limão.

Qual o preço de cada torta?

2) Paulo e José Augusto têm juntos 70 selos. Paulo tem o dobro de selos de José

Augusto. Quantos selos têm José Augusto?

3) As irmãs Josefa, Paulina e Mariana foram colher laranjas. Josefa colheu o dobro

das laranjas que Paulina e Mariana mais duas laranjas do que as outras duas irmãs.

No total foram colhidas 122 laranjas. Quantas laranjas colheu cada uma das irmãs?

4) Lucas, André e Bruno trabalham em um restaurante, mas recebem salários

diferentes. Para comparar os seus salários, eles fizeram uma tabela de acordo com

as seguintes informações: André recebe o dobro do que recebe Lucas e Bruno

recebe R$ 50,00 a mais que André.

a) De acordo com essas afirmações, complete a tabela.

Lucas André Bruno Os três juntosSalário

b) Se o dono do restaurante gasta, por mês, R$ 1050,00 com salário dos três

funcionários, quanto ganha cada um deles?

31

5) Este é um quadrado mágico, isto é, a soma dos números que estão numa

horizontal, vertical ou diagonal é sempre igual.

10 x

x+1

x +2 x+ 4

32

4- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANDRINI, A. Praticando a matemática: 6ª série/Álvaro Andrini - São Paulo: Editora do Brasil, 1989.

ANDRINI, A.; VANCONCELLOS, M. J. Praticando a matemática: 6ª série/ Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos - 1ª ed.-São Paulo: Editora do Brasil, 2006.

BARBOSA, M G.; ALVES, W.M.C. Estudos complementares II - A matemática e as letras-Programa Nacional de Inclusão de Jovens. Brasília, DF-2009.Disponível em:http://www.projovemurbano.gov.br/userfiles/file/materialdidatico/aluno/matematica/Oficina02_Matem%C3%A1tica_ECII.pdf Acesso em 05 março 2010.

BIANCHINI, E. Matemática: 6ª série/ Ediwaldo Bianchini- 3. ed. rev. e ampl. - São Paulo: Moderna, 1991.

BOOTH, L. R. Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra. In: COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (Org.). As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.

COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (Org.). As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.

DANTE, L. R. Tudo é matemática: 6ª série/Luiz Roberto Dante -2ª ed. 1ª imp.-São Paulo: Editora Ática, 2007.

FERRONATO, R. - A construção de instrumento de inclusão no ensino de matemática. Dissertação de mestrado em engenharia de produção. Universidade Federal de Santa Catarina, 2002.

FIORENTINI, D; MIORIN, M. A. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no Ensino de matemática. Boletim SBEM SP, Ano 4, nº 7 ( 1990).

_________________________. Contribuição para um Repensar a Educação Algébrica Elementar. Pro-Posições, v. 4, nº 1[10], p. 78-79, março, 1993.

FREITAS, M. A. Equação do 1º grau: métodos de resolução e análise de erros no ensino médio. Dissertação apresenta a Pontifícia Universidade Católica São Paulo-SP, 2002. Disponível em: <http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/marcos agostinhofreitas.pdf>. Acesso em: 17 out. 2009.

GABBA, P. J. Matemática para Maestros. Buenos Aires, Ed. Marymar, 1975.

GUELLI, O. Uma aventura do pensamento: 6ª série/ Oscar Guelli - 8ª ed.3ª imp.-São Paulo: Editora Ática, 2002.

KIERAN, C. Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 1981.

33

___________ Duas abordagens diferentes entre os principiantes em álgebra. In: COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (org) As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.

OLIVEIRA, A. T. C.C. Reflexões sobre a aprendizagem da álgebra. Educação Matemática em Revista, São Paulo: SBEM, ano 9, n.12, p 35-39, jun. 2002.

RÊGO, R. M.; RÊGO, R. G. Desenvolvimento e uso de materiais didáticos no ensino de matemática. In: LORENZATO, S. A (Org.). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006.

THOMPSON, F.M. O ensino de álgebra para criança mais nova. In: COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (org) As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.

34

APÊNDICE

APÊNDICE 1

3.1- LINGUAGEM SIMBÓLICA

Compreendendo a representação de uma expressão algébrica.

Um número será representado por x;O dobro de um número 2x;O triplo de um número 3x;O quádruplo de um número 4x;

A metade de um número 21

x ou 2x

;

A diferença de um número é a subtração desse número por outro qualquer.

ATIVIDADE 3.1.1

a) x+ 6 b) x – 7 c) 2x+1 d) 4x

e) 2x

- 3 f) 3x + 4 g) 2x -1 h) 4x + 9

35

APÊNDICE 2

3.2 - PAPEL DA VARIÁVEL

ATIVIDADE 3.2.1

Obs. A variável é o termo desconhecido.

a) Qual deve ser o valor de x para que os dois lados sejam iguais? x= 2 - 1 ⇒ x=1

b) x= 1- 2 ⇒ x= -1 c) x= -2 d) x= +1-1 ⇒x=0 e) x=3

ATIVIDADE 3.2.2

a) x= 2-1 b) 3x = 8-5 *Qual deve ser o valor de x para que seu triplo seja igual a 3 ?

c) 2x+1=2-3 d) 3x+2=2 - 3 e) 3x -1=4 - 2

ATIVIDADE 3.2.3

Nesta atividade, cada grupo fará a montagem das equações, seguida das representações, fazendo a verificação de cada uma das expressões.

36

APÊNDICE 3

3.3- EQUAÇÕES EQUIVALENTES

ATIVIDADE 3.3.1

Através do princípio da igualdade, se somarmos ou diminuirmos e/ou se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros, obtém -se uma sentença equivalente.

Numa sentença equivalente os dois membros ficam em equilíbrio, ou seja, os dois membros ficam iguais. Exemplo: 4 = 4

a) 5x + 3 = 4x + 9 Verificação 5x - 4x + 3 -3 = 4x- 4x+ 9 -3 5.6 +3 = 4.6 +9 x=6 30+3 = 24+9 33=33

b)3x + 7 = 2x+3 Verificação 3x -2x+7 -7 =2x -2x+3 -7 3. (-4) + 7= 2. (-4) +3 x=- 4 -12+7 = -8+3

-5 =-5

c) 6x-5=2x+3 Verificação 6x-2x-5+5=2x-2x+3+5 6.2 - 5= 2.2+3 4x=8 12- 5 = 4+3 x= 2 7=7

d)5x-8=3x+8 Verificação 5x -3x-8+8=3x-3x+8+8 5.8 -8=3.8+8 2x=16 40-8=24+8 x=8 32=32

e) 8x+2=6x+4 Verificação 8x-6x+2-2=6x-6x+4-2 8.1+2=6.1+4 2x=2 8+2=6+4 x=2 10=10

ATIVIDADE 3.3.2

Obs. Lembrando que para duas ou mais equações serem equivalentes os dois membros devem estar em equilíbrio.

a) 3x+2= ... para x=1 temos 3.1+2=5, logo se o 1º membro é igual a 5, o 2º membro também deve ser 5. Portanto a equação é 3x+2=5

37

b) 5x ...= 2x + 6 para x=2 temos 2.2+6=8, logo o 2º membro é igual a 8. Portanto o 1º membro deve ser 8.Então 5.2 ? = 8 10 - 8 = 8 8=8 * Logo a equação é 5x – 2 = 2x + 6

ATIVIDADE 3.3.3

a) Se x=2

Se o 2º membro for 4, no 1º membro também deve ser 4.Se x= 2, somamos mais 2 e obtemos também 4 no 1º membro.Logo a equação é x+ 2= 4 Verificação: 2+2= 4

4=4

b) Se x=3 Se no 2º membro colocarmos a expressão 2x+1 então 2.3 +1 é igual a 7. Logo, o 1º membro também deve ser 7.Se x=3 temos x+ 4 =7. A expressão procurada pode ser x+ 4= 2x+1.

Verificação: 3+4 = 2.3+1 7=7

c) Se x= 5

Se no 1º membro colocarmos a expressão 4x-1, então 4.5-1 é igual a 19. Logo o 2º membro também deve ser 19. Se x=5 temos 3.5+4=19. A expressão procuradora pode ser: 4x-1=3x+4 Verificação: 4.5-1= 3.5+4 20-1 =15+4 19=19

d) Se x=8Se no 1º membro colocarmos a expressão 3x-2, então 3.8-2 é igual a 22. Logo o 2º membro também deve ser 22. Se x=8 temos 2.8+6=22. A expressão procurada pode ser: 3x-2 =2x+6 Verificação: 3.8 -2 = 2.8+6

24 - 2 = 16+6 22 = 22

38

APÊNDICE 4

3.4 - MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES

ATIVIDADE 3.4.1

Para resolver as equações, efetuaremos a mesma operação em ambos os lados das equações (método formal) ou qualquer outro método apresentado anteriormente.

GRUPO I

a) 2t+ 5=9 b) x-9=-15 c) 4x+4=12 d) 3m+8=11 2t+ 5-5=9-5 x-9+9 = -15+9 4x+4-4=12-4 3m+8-8=11-8 2t/2 =4/2 x= - 6 4x/4=8/4 3m/3=3/3 t=2 x=2 m=1

e) 4y-6=10 4y-6+6=10+6 4y/4=4/4 y=1

GRUPO II

a) 5x+2=2x-4 b) 4t+9=3t+5 c) x+1=7x-2 5x-2x+2-2=2x-2x-4-2 4t-3t+9-9=3t-3t+5-9 x-7x+1-1=7x-7x-2-1 3x/3= - 6/3 t = - 4 -6x/-6= -3/-6 x= - 2 x= ½

d) 2m+1=m+11 e) y+9+3y=-3+2y+7 2m-m+1-1=m-m+11-1 4y+9=4+2y m=10 4y-2y+9-9=4-9+2y-2y

2y/2=-5/2 y=-5/2

39

APÊNDICE 5

3.5 - EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS.

GRUPO I

a) 3 (x+2) + 5= x+12

IMPORTANTE: Aplicar a propriedade distributiva da multiplicação [m. (a+b) =

ma+mb], somar os termos semelhantes e em seguida resolver as equações (escolher

um dos métodos já demonstrados anteriormente).

Assim temos: 3x+ 6+5=x+12

3x +11=x+12

3x-x+11-11=x-x+12-11

2x/2=1/2

x=1/2

b) x+ 4(x-1) = 9-2(x+3) c) 2(3x-1) + 2(3-x) =8 d) 7(x-1) =2(3x+1)

x+ 4x-4=9-2x-6 6x-2 +6-2x=8 7x-7= 6x+2

5x-4=3-2x 4x+4=8 7x-6x-7+7=6x-6x+2+7

5x+2x-4+4=3+4-2x+2x 4x+4-4=8-4 x= 9

7x/7=7/7 4x/4=4/4

x=1 x=1

40

GRUPO II

IMPORTANTE: Para eliminar os denominadores multiplicar todos os termos (dos dois

membros) pelo m.m.c dos denominadores em seguida, simplificar o m.m.c pelo

denominador, aplicar a propriedade distributiva, termos semelhantes e escolher um

dos métodos já citados para resolver as equações.

a) 3

2−x+ 2x=

25x

m.m.c (3,2)= 6 b) 5x -2

7+x=10 m.m.c (1,2)=2

6.(3

2−x) + 6.2x= 6.

25x

2.5x- 2(2

7+x) =2.10

2 (x-2) + 12x= 3.5x 10x-x-7=20

2x-4+12x=15x 9x-7=20

16x-4=15x 9x-7+7=20 +7

16x-15x-4+4=15x-15x+4 9x/9=27/9

x=4 x=3

c) 3

24 +x -

212 +x

=1 m.m.c (3,2)=6 d)4

53 +x-

332 −x

=3 m.m.c (4,3) =12

6(3

24 +x)- 6 (

212 +x

) = 6.1 12(4

53 +x) -12(

332 −x

)=3.12

2(4x+2) – 3(2x+1)= 6 3(3x+5) – 4(2x-3) =36

8x+4- 6x-3=6 9x+15 -8x+12=36

2x+1=6 x+27=36

2x+1-1=6-1 x+27-27=36-27

2x/2=5/2 x= 9

x=5/2

41

APÊNDICE 6

3.6- OS PROBLEMAS E A LINGUAGEM ALGÉBRICA

ATIVIDADE 3.6.1a) Dobrei um número, subtraí 1 unidade do produto e obtive 7.

• o dobro de um número: 2x

• subtraído uma unidade: 2x-1

• igual a 7

2x -1=7

b) Acrescentei 1 unidade a um número, multipliquei a soma por 3 e obtive o dobro do

número.

• um número: x

• acrescentei ( somei) uma unidade: x+1

• multipliquei a soma por 3: (x+1).3

• obtive o dobro desse número: 2x

(x+1). 3=2x

c) O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse número aumentado de 1.

• o dobro de um número: 2x

• o dobro desse número diminuído (ou subtraído) de 4: 2x -4

• é igual a esse número aumentado de 1: x+1

2x - 4= x+1

d) O triplo de um número, mais dois, é igual ao próprio número menos quatro.

• um número: x

• o triplo de um número: 3x

• o triplo de um número mais dois: 3x+2

• é igual a esse número menos quatro: x-4

3x+2 =x – 4

42

3.6.2- Usando a linguagem algébrica, encontre a sentença para cada problema

proposto a seguir:

a) Com o dobro da quantia que eu tenho mais R$ 12,00 poderei comprar um livro que

custa R$ 46,00. Quanto eu tenho?

• a quantia que eu tenho: x

• o dobro da quantia que eu tenho: 2x

• o dobro da quantia que eu tenho mais 12: 2x+12

• o livro custa 45 reais

• quanto eu tenho? “x”

2x+12=46

b) Um táxi inicia uma corrida marcando R$ 5,00 no taxímetro. Cada quilômetro

rodado custa R$ 3,00 e que o total da corrida ficou em R$ 47,00. Calcule quantos

quilômetros foram percorridos.

• início da corrida o taxímetro marca: R$ 5,00

• os quilômetros rodados: x

• cada quilômetro custa R$ 3,00: 3x

• o total da corrida é R$ 47,00

• quantos quilômetros foram percorridos? “x”

5+3x=47

c) Uma pessoa compra x latas de azeitonas a R$ 5,00 cada uma e x+4 latas de

palmito a R$ 7,00 cada uma. No total gastou R$ 172,00. Determine x.

• uma certa quantidade de azeitonas: x

• x latas de azeitonas custa R$ 5,00 cada uma: 5x

• uma certa quantidade de latas de palmito mais 4 latas: x+4

• uma certa quantidade de latas de palmito mais 4 latas custa R$7,00

• foi gasto na compra das latas de azeitonas e das latas de palmito: 172,00

• qual o valor de x?

5x+ 7(x+4 )=147

e) Num estacionamento há carros e motos, totalizando 85 veículos. O número de

carros é igual a 4 vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento?

• o número de motos: x

• o número de motos: 4x

43

• total de veículos é igual a 85: x+ 4x= 85 4x+x =85

APÊNDICE 7

3.7- RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

1-Número menor: x soma é 77

Número maior: x+7

A soma desses números é igual a 77, assim temos: x+ x+7= 77

Resolução da equação:

x+ x+7= 77 número maior: 2. 35= 70 Verificação

2x+ 7=77 número menor =35 x+ x+7=77

2x+7-7=77-7 35+35+7= 77

2x=70 70+7=77

2x/2=70/2 77=77

x=35

2- Lote Lote menor: x

Lote maior menor Lote maior: 2x

A área dos dois é igual a: 720m2

Área total: x+ 2x=720

Resolução da equação lote menor: 240m2 Verificação

3x=720 lote maior: 2.240= 480m2 x+ 2x=720

3x/3=720/3 240+ 2.240= 720

x=240 240+ 480= 720

720=720

3- Meu salário: x

Dois quintos do meu salário é gasto em aluguel: 52

x

Metade é gasta na alimentação: 21

x

Restante do salário: R$90,00

Se o salário é x, então temos: 2/5x+ 1/2x+ 90=x

44

Resolução da equação meu salário: R$900,00

2/5x+1/2x+90=x m.m.c( 2,5)=10 gasto com aluguel: 2/5. 900= R$360,00

10.2/5x+ 10.1/2x+ 10.90= 10.x gasto com alimentação: ½.900= R$ 450,00

4x+ 5x+900=10x Verificação

9x+900=10x 2/5.900+1/2.900+90=900

9x-10x+900-900=10x-10x-900 360+ 450+90=900

-1x= - 900 900=900

-1x/-1= -900/-1 ⇒ x=900

4- Preço do relógio: R$ 97,00

Entrada: R$ 40,00

Restante: em 3 prestações iguais= 3x

Então temos: 3x+ 40= 97

Resolução Verificação

3x+ 40-40=97-40 3.19+ 40=97

3x=57 57+40=97

3x/3=57/3 97=97

x=19

As prestações serão de: R$19,00

5-Nº de cédulas de R$ 5,00: 5x

Nº de cédulas de R$ 10,00: 10(20-x)

Então temos: 5x+10(20-x)= 165

Resolução da equação Verificação

5x+ 200-10x=165 Cédulas de R$5,00=7 5.7+ 10(20-7)=165

-5x+200=165 Cédulas de R$ 10,00=13 35+200-70=165

-5x+200-200=165-200 235-70=165

-5x=-35 165=165

-5x/-5= -35/-5

x= 7

6-Quantidade total de bombons: x

Um filho recebe metade dos bombons: 1/2x

Outro filho recebe metade do que sobrou, ou seja: 1/4x

Restante dos bombons: 10

Então temos: 1/2x+1/4x+10=x

45

Resolução da equação Total de bombons =40

1/2x+1/4x+10=x m.m.c(2,4)=4 um filho recebe a metade:1/2.40=20

4.1/2x+4.1/4x+ 4.10= 4.x o outro filho recebe a metade do que sobrou

2x+x+40=4x 1/4.40=10

3x+40=4x Verificação

3x-4x+40-40=4x-4x-40 1/2.40+1/4.40+10=40

-1x= - 40 20+10+10=40

-1x/-1= - 40/-1⇒x=40 40=40

7-Osmar tem: x lápis

César tem 15 lápis a mais que Osmar: x+15

José Augusto tem 12 lápis a menos que Osmar: x-12

Total de lápis entre os três: 63

Então temos: x+x+15+ x-12=63

Resolução da equação Osmar tem: 20 lápis

x+x+15+x-12=63 César tem: 20+15=35 lápis

3x+3=63 José Augusto tem: 20-12=8 lápis

3x+3-3=63-3 Verificação

3x=60 20+20+15+20-12=63

3x/3=60/3 75-12=63

x=20 63=63

8-Total em dinheiro: R$ 400,00

Você recebe: x

Pedro recebe: x-60

Então temos: x+ x-60=400

Resolução da equação

x+x-60=400

2x-60=400 Você recebe: 230

2x-60+60=400+60 Pedro recebe: 230-60=170

2x=460

2x/2=460/2 Verificação

x=230 x+ x-60=400

230+230- 60=400

230+170=400

400=400

46

9- O dia representaremos por: x

FILMEBOM cobra R$ 20,00 fixos mais R$ 4,00 por dia: 20 +4x

FILMEX cobra R$30,00 fixos mais R$3,00 por dia: 30+3x

Igualando os dois valores das duas locadoras temos: 20+4x=30+3x


20+4x=30+3x 20+4.10=30+3.10

20-20+4x-3x=30-20+3x-3x 20+40=30+30

x=10 60=60

10-Total entre Ari e Rui: R$840,00

Quantia de Rui: R$ x Soma x+ 43

x= 840

Quantia de Ari: 43

x

Então temos: x+3/4x=840


x+43

x=840 m.m.c (1,4)=4 480+ 43

.480=840

4.x+ 4. 43

x= 4.840 480+ 3.120=840

4x+ 3x= 3360 480+ 360=840

7x=3360 ⇒ 7x/7=3360/7 ⇒ x=480 840=840

11-Triplo de um número: 3x

Somado a 4: 3x+4

É igual a 25: 3x+4=25


3x+4=25 3.7+4=25

3x+4-4=25-4 21+4=25

3x=21 25=25

3x/3=21/3

x=7

47

12-Idade de Cláudia: x

Lúcia é 5 anos mais velha que Cláudia: x+ 5

A soma das idades de ambas é igual a 43: x+x+5=43


x+x+5=43 19+19+5=43

2x+5=43 38+5=43

2x+5-5=43-5 43=43

2x=38

2x/2=38/3

x=19

13-Banana será representada por: b

Maçã: m

Total de maçãs: 6b+1/2m

Meia dúzia de banana custa: 48 centavos

A maçã é igual a 6 bananas mais meia maçã: m=6b+21

m


96=48+21

.96

m = 48+21

m m.m.c( 1,2)=2 96=48+48

2.m=2.48+ 2.21

m 96=96

2m=96+m ⇒ 2m-m=96+m-m ⇒ m=96 Uma maçã custa: R$ 0,96

14-Mais velho: x

Mais jovem: 31

x Soma x+ 31

x +21

x =99

Segundo irmão: 21

x

48

Resolução da equação Mais velho: 54anos

x+ 21

x +31

x =99 m.m.c (2,3)=6 Mais jovem: 18 anos

Segundo irmão: 27 anos

6.x+6.21

x + 6. 31

x=6.99 Verificação

6x+3x+2x=594 54+21

.54 +31

.54=99

11x=594 54+27+18=99

11x/11=594/11 99=99

x=54

15- Fernando tem: R$ 1380,00

Alberto tem: R$ 1.020,00

O mês será representado por: x

Fernando economiza R$36,00 por mês: 36x

Alberto economiza R$96,00 por mês: 96x

Para terem quantias iguais temos: 36x+1380=1020+96x


36x+1380=1020+96x 36.6+1380=1020+96.6

36x-96x+1380-1380=1020-1380+96x-96x 216+1380=1020+576

-60x= - 360 1596=1596

-60x/-60=-360/-60

x=6 meses

*Após 6 meses eles terão as quantias iguais

49

APÊNDICE 8

3.8-TESTANDO O RACIOCÍNIO

1-Preço da torta de limão: x Preço da torta de morango: x+3 Preço de duas tortas de morango: 2.(x+3)

Então temos: x+ 2.(x+3)=45


x+2(x+3)=45 13+ 2(13+3)=45x+ 2x+6=45 13+2.16=453x+6=45 13+32=453x+6-6=45-6 45=453x=393x/3=39/3x=13

A torta de limão custa R$ 13,00 e a torta de morango R$ 16,00

2-Paulo e José tem juntos: 70 selos Paulo tem o dobro de José: 2x selos José tem: x selosEntão temos; x+ 2x=72


x+2x=72 24+2.24=723x=72 24+48=723x/3=72/3 72=72x=24José Augusto tem 24 selos.

3-Mariana: 2x Paulina: x Soma 2x+x+2x+x+2=122 Josefa: 2x+x+ 2Total de laranjas colhidas: 122 laranjas

Então temos: 2x+x+2x+x+2=122

50


2x+x+2x+x+2=122 2.20+20+2.20+20+2=1226x+2=122 40+20+40+22=1226x+2-2=122-2 60+62=1226x=120 122=1226x/6=120/6x=20

4- a)

Lucas André Bruno Os três juntosSalário x 2x 2x+50 x+2x+2x+50

b) Temos a equação: x+2x+2x+50=1050


x+2x+2x+50=1050 200+2.200+2.200+50=10505x+50=1050 200+400+400+50=10505x+50-50=1050-50 1050+50=10505x=1000 1050=10505x/5=1000/5x=200

Lucas ganha R$ 200,00, André ganha R$400,00 e Bruno ganha 450

5-

• No quadrado mágico as somas dos números que estão na vertical, na horizontal e na diagonal são sempre os mesmos, logo temos que a diagonal secundária é igual a diagonal principal ou vice-versa. Tomemos então:

Diagonal secundária: (x+2)+ (x+1)+x são iguaisDiagonal principal: 10+(x+1)+(x+4)

Então temos: (x+2)+ (x+1)+x=10+(x+1)+(x+4)

Resolução da equação

(x+2)+(x+1)+x=10+(x+1)+(x+4)x+2+x+1+x=10+x+1+x+43x+3=2x+15

10 17 X=19

15 x+1

12+1=13

11

x +2

12+2=14

9 x+ 4

12+4=16

51

3x-2x+3-3=2x-2x+15-3x=12

Verificação• 10+(12+1)+(12+4)=39

• (12+2)+(12+1)+12

• 1ª linha: 10+12=22 para 39 falta 17, logo a 1ª linha é 10 + 17+12=39

• 3ª coluna: 12+4+12=28 para 39 falta 11, logo a 3ª coluna é 12+11+16=39

• 2ª linha: 12+1+11=24 para 39 falta 15, logo a 2ª linha é 12+1+11+15=39

• 3ª linha: 12+2+12+4= 30 para 39 falta 9, logo a 3ª linha é 12+2+12+4+9=39

• 1ªcoluna: 10+12+2=24 para 39 falta 15, logo a 1ª coluna é 10+12+2+15=39

• 2ª coluna:12+1+ 17 para 39 falta 9, logo a 2ª coluna é 12+1+17+9=39

52

Documents

DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 - Operação de ... · 3.5 - equaÇÕes com parÊnteses e equaÇÕes fracionÁrias 26 3.6 - os problemas e a linguagem algÉbrica 28 3.7 - resoluÇÃo