Equações Diferenciais Fracionárias e as Funções de Mittag …repositorio.unicamp.br/bitstream/REPOSIP/306993/1/... · 2018-08-26 · Ficha catalográfica Universidade Estadual

Eliana Contharteze Grigoletto

Equações Diferenciais Fracionárias e as Funções deMittag-Leffler

CAMPINAS2014

ii

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaMaria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162

Contharteze, Eliana, 1984- C767e ConEquações diferenciais fracionárias e as funções de Mittag-Leffler / Eliana

Contharteze Grigoletto. – Campinas, SP : [s.n.], 2014.

ConOrientador: Edmundo Capelas de Oliveira. ConTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de

Matemática, Estatística e Computação Científica.

Con1. Cálculo fracionário. 2. Equações diferenciais fracionárias. 3. Mittag-Leffler,

Funções de. I. Oliveira, Edmundo Capelas de,1952-. II. Universidade Estadual deCampinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Fractional differential equations and the Mittag-Leffler functionsPalavras-chave em inglês:Fractional calculusFractional differential equationsMittag-Leffler functionsÁrea de concentração: Matemática AplicadaTitulação: Doutora em Matemática AplicadaBanca examinadora:Edmundo Capelas de Oliveira [Orientador]Jayme Vaz JuniorAlagacone Sri RangaBruto Max Pimentel EscobarRubens de Figueiredo CamargoData de defesa: 06-11-2014Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

iv

vi

Abstract

We present the operators of fractional integration and differentiation, which can be used todescribe an anomalous diffusion process by means of a fractional differential equation. As an ap-plication we discuss a fractional differential equation associated with the slowing-down of neutronsusing Laplace and Fourier transforms. With the help of a convenient computational implemen-tation we obtain graphs of the solutions of this equation. Some properties of the operators offractional integration and differentiation are mentioned and used to demonstrate the fundamentaltheorem of fractional calculus. The classical Mittag-Leffler function with one parameter and theMittag-Leffler function with two parameters play an important role in the study of fractional dif-ferential equations. The so-called Mittag-Leffler function with three parameters, which generalizesthe previous two functions, naturally arises in the study of the fractional differential equation as-sociated with the telegraph problem. By calculating the inverse Laplace transform without usingcontour integration we obtain new representations for the Mittag-Leffler functions in terms of im-proper integrals of trigonometric functions; as an application we obtain some interesting improperintegrals which are usually proved by approximation using Fourier analysis or residue theory.

Keywords: Fractional calculus, Fractional differential equations, Mittag-Leffler functions.

ResumoApresentamos operadores de integração e derivação fracionárias, que em particular, podem ser

utilizados para descrever um processo difusivo anômalo através de uma equação diferencial fra-cionária. Como aplicação, discutimos uma equação diferencial fracionária associada ao processode desaceleração de nêutrons, utilizando as transformadas integrais de Laplace e Fourier e atravésde uma conveniente implementação computacional, obtemos gráficos associados à solução dessaequação. Algumas propriedades dos operadores de integração e derivação fracionárias são menci-onadas e utilizadas para escrever o teorema fundamental do cálculo fracionário. A clássica funçãode Mittag-Leffler, envolvendo um parâmetro e a função de Mittag-Leffler com dois parâmetrosdesempenham um papel importante no estudo das equações diferenciais fracionárias. A chamadafunção de Mittag-Leffler com três parâmetros, que generaliza as duas anteriores, emerge natural-mente no estudo da equação diferencial fracionária associada ao problema do telégrafo. Novas

vii

representações para as funções de Mittag-Leffler foram obtidas em termos de integrais imprópriasde funções trigonométricas, a partir do cálculo da transformada de Laplace inversa sem usar umcontorno de integração e como aplicação, encontramos algumas integrais impróprias interessantesque, geralmente, são demonstradas por aproximação com o uso de análise de Fourier ou teoria dosresíduos.

Palavras-chave: Cálculo fracionário, Equações diferenciais fracionárias, Funções de Mittag--Leffler.

viii

Sumário

Introdução 1

1 Transformadas Integrais 51.1 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Transformada de Laplace inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Transformada de Laplace inversa sem o uso de um contorno de integração . . . . . . 141.6 Transformada de Laplace unilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Funções Especiais 212.1 Função gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Relações envolvendo a função gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.2 Extensão da função gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3 Função gama incompleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Função beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Função hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.1 Representação integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.2 Relação com a função gama incompleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Funções de Mittag-Leffler 333.1 Função de Mittag-Leffler de um parâmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Função de Mittag-Leffler generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.1 Função de Mittag-Leffler de dois parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.2 Função de Mittag-Leffler de três parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Relações envolvendo as funções de Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4 Transformada de Laplace das funções de Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5 Representação integral das funções de Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5.1 Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Cálculo Fracionário 554.1 Integral fracionária de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1 Integral fracionária das funções de Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . 60

ix

4.2 Derivada fracionária de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Integral e derivada fracionárias de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4 Derivada fracionária de Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.5 Integral e derivada fracionárias de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.6 Integral fracionária de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.7 Derivada fracionária de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5 Teorema Fundamental do Cálculo Fracionário 915.1 TFCF Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2 TFCF Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3 TFCF Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.4 TFCF Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.5 TFCF Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.6 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6 Equações Diferenciais Fracionárias 1036.1 Equação associada à desaceleração de nêutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.1.1 Aproximação da transformada de Fourier inversa de Φ(𝜔, 𝑡) . . . . . . . . . . 1066.1.2 Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2 Equação do telégrafo fracionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.3 Equações diferenciais fracionárias lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Conclusões e Considerações Finais 127

A Função exponencial em termos das funções de Mittag-Leffler 129

B Implementação da solução da equação associada à desaceleração de nêutrons 131B.1 Caso particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Referências 135

x

Dedico esta tese à minha mãe Inês e ao meuorientador Prof. Dr. Edmundo Capelas de Oliveira.

xi

xii

Agradecimentos

Agradeço à minha mãe, cujo apoio incondicional, força, incentivo e presença foram de grandeimportância para que eu pudesse concluir mais esta etapa da minha vida acadêmica.

Tenho a sorte de ter o prof. Dr. Edmundo Capelas de Oliveira como meu orientador dedoutorado, a ele sou grata pelas ideias, orientação, pelo constante apoio e paciência. Além de meapoiar, me deu total liberdade em minhas pesquisas. Um dos resultados dessa interação com meuorientador foi a rápida evolução de nosso trabalho. Meu orientador é um excelente profissional,com muita experiência em sua área de pesquisa e também é um excelente educador, aprendi muitocom ele, em particular, sobre o cálculo fracionário.

Meu orientador, colegas e amigos me ajudaram muito, tanto na área da matemática, como como latex, em particular, agradeço imensamente o apoio do Júnior.

Finalizo reconhecendo que esta pesquisa não teria sido possível sem a ajuda financeira do CNPq- Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico.

Novembro de 2014.

Eliana Contharteze Grigoletto.

xiii

xiv

Introdução

O cálculo fracionário, nome popularizado para cálculo de ordem não inteira, é da mesma épocaque o cálculo de ordem inteira, do século XVII, conforme proposto independentemente por New-ton e Leibniz. O cálculo fracionário só se tornou uma área específica da matemática na décadade setenta, após uma reunião que culminou com o primeiro congresso internacional dedicado ex-clusivamente ao cálculo fracionário. Antes disso, só estavam disponíveis trabalhos esporádicos eindependentes, sem uma linha consolidada [40].

O tradicional cálculo de ordem inteira apresenta inúmeras aplicações nas áreas de matemática,física, ciências, entre outras. O cálculo de ordem não inteira é um cálculo não tradicional e assimcomo o cálculo tradicional, apresenta aplicações em diversas áreas. Dado um número 𝑎 qualquer,podemos multiplicar esse número 𝑛 vezes, obtendo dessa forma a potência 𝑎𝑛, podemos tambémcalcular a potência não inteira de um número, por exemplo, como a raiz quadrada, 91/2 =

√9 = 3.

Se fazemos isso com potência de números, por que não fazer com integrais e derivadas, ou seja,por que não pensar em derivada e integral de ordens não inteiras?

Na década de oitenta o cálculo fracionário ganhou vários adeptos, em particular, por propor-cionar aplicações explícitas em diversas áreas do conhecimento [1, 16, 32]. A partir da década denoventa, completamente consolidado, começam a emergir periódicos específicos e a publicação delivros textos em vários idiomas, o que o torna mais popular. Após o final do século passado, ocálculo fracionário conta com prestígio mundial. Uma linha do tempo, dos primórdios aos dias dehoje, é apresentada em [35, 36, 37].

Hoje, tanto do ponto de vista matemático, como no estudo de novas funções, quanto do ponto devista das aplicações em diversas áreas, tais como física, processamento de sinais, eletromagnetismo,finanças, entre outras [9], várias pesquisas são desenvolvidas visando aplicações concretas do cálculofracionário, que se tornou uma ferramenta importante para lidar, por exemplo, com processosdifusivos anômalos [39], cujo deslocamento quadrático médio ⟨𝑥2(𝑡)⟩ é uma expressão não linearno tempo, em contraste com a difusão usual, onde esse deslocamento é uma expressão linear notempo.

No primeiro capítulo apresentamos as transformadas integrais de Fourier e de Laplace, emboraesses conceitos sejam conhecidos, vamos definir a notação que utilizaremos ao longo desta tese. NaSeção 1.1 discutimos o conceito de convolução de sequências, bem como a extensão desse conceitoà convolução de funções. Na Seção 1.2 apresentamos a transformada de Fourier, bem como suatransformada inversa. A Seção 1.3 é outra seção introdutória importante, onde abordamos atransformada de Laplace, uma ferramenta utilizada para determinar uma solução particular deuma ampla classe de equações diferenciais ordinárias e de equações diferenciais fracionárias. Não

1

menos importante é a transformada de Laplace inversa, discutida na Seção 1.4. Outra metodologiapara a transformada de Laplace inversa sem o uso de um contorno de integração no plano complexo[2] é apresentada na Seção 1.5. Tal metodologia nos permite expressar algumas integrais imprópriasconvergentes em termos de novas funções, através de uma conveniente escolha para 𝜎, que é a partereal do número complexo 𝑠, variável da transformada de Laplace de uma função. Além disso,apresentamos uma aplicação envolvendo uma particular equação do telégrafo.

Em continuação a alguns conceitos básicos utilizados no cálculo fracionário, algumas funçõesespeciais, tais como as funções gama, gama incompleta, beta e as funções hipergeométricas que apa-recem como solução de algumas equações diferenciais, são abordadas no segundo capítulo. Na Seção2.1 apresentamos a função gama, também conhecida como função de Euler de segunda espécie,ela é uma das mais importantes funções da física matemática. Ao olharmos para a função fatorialde um número natural, isto nos dá os pontos (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720), ....Marcando estes pontos no plano, existe uma forma de unir os pontos e preencher o gráfico paramais valores se considerarmos a função gama, que é definida em termos de uma integral imprópria.Algumas distribuições de probabilidades são definidas em termos da função gama. Na mecânicaquântica não relativista, a função gama é utilizada, por exemplo, para expressar a dispersão deCoulomb durante uma colisão entre duas partículas carregadas [6]. Algumas relações envolvendoa função gama, bem como seu prolongamento analítico ao plano complexo são apresentadas nasSubseções 2.1.1 e 2.1.2, respectivamente. Já a função gama incompleta é discutida na Subseção2.1.3. Ainda no segundo capítulo, na Seção 2.2 apresentamos a função beta e na Seção 2.3 afunção hipergeométrica generalizada. Algumas representações integrais conhecidas para funçõeshipergeométricas particulares são apresentadas na Subseção 2.3.1.

A função 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑧 emerge naturalmente como solução de equações diferenciais ordináriascom coeficientes constantes. No caso das equações diferenciais fracionárias, ainda com coeficientesconstantes, emergem as chamadas funções de Mittag-Leffler como solução. Podemos interpretaras funções de Mittag-Leffler como generalizações da função exponencial. As funções de Mittag--Leffler de um, dois e três parâmetros são apresentadas no terceiro capítulo, nas Seções 3.1 e 3.2,respectivamente. Discutimos ainda algumas relações envolvendo as funções de Mittag-Leffler naSeção 3.3 e sua transformada de Laplace na Seção 3.4.

A partir do cálculo da transformada de Laplace inversa sem utilizar um contorno de integração,expressamos na Seção 3.5, a função de Mittag-Leffler de três parâmetros como uma integral emR+. Como casos particulares, apresentamos algumas integrais impróprias convergentes de funçõestrigonométricas, que podem ser escritas em termos das funções de Mittag-Leffler.

Tradicionalmente, o conceito de derivada é associado a um número natural, podemos derivaruma função uma, duas, três,..., 𝑛 vezes. É interessante então investigar a possibilidade de derivar𝛼 vezes uma função, onde 𝛼 é um número complexo.

A primeira ideia para isso é observar as propriedades da derivada de ordem inteira e entãotentar generalizá-las. Não existe apenas uma maneira de fazer isso [10].

Por exemplo, considerando 𝑛 ∈ N, a derivada de ordem inteira satisfaz as propriedades:

(i) d𝑛

d𝑡𝑛 [𝑐 𝑓(𝑡)] = 𝑐d𝑛

d𝑡𝑛𝑓(𝑡), onde 𝑐 é constante;

(ii) d𝑛

d𝑡𝑛 [𝑓(𝑡) ± 𝑔(𝑡)] = d𝑛

d𝑡𝑛𝑓(𝑡) ± d𝑛

d𝑡𝑛 𝑔(𝑡);

2

(iii) d𝑛

d𝑡𝑛 [𝑡𝑚] = 𝑚!(𝑚− 𝑛)!𝑡

𝑚−𝑛, com 𝑚 > 𝑛 e 𝑚,𝑛 ∈ N;

(iv) d𝑛

d𝑡𝑛 [𝑓(𝑡) · 𝑔(𝑡)] =𝑛∑

𝑘=0

(𝑛

𝑘

)𝑓 (𝑛−𝑘)(𝑡)𝑔(𝑘)(𝑡).

A maior dificuldade, quando pensamos em derivada de ordem não inteira, é substituir o fatorial,que é definido apenas para números naturais, por uma função definida para números complexos.Mas existe uma função especial, a saber, a função gama, definida por:

Γ(𝑧) =∫ ∞

0𝑡𝑧−1𝑒−𝑡d𝑡,

para Re(𝑧) > 0, 𝑛 natural não nulo, de modo que Γ(𝑛+ 1) = 𝑛!.Então, na propriedade (iii), se considerarmos 𝛼, 𝜇 ∈ C, de modo que Re(𝛼) ≥ 0 e Re(𝜇) > −1,

podemos escrever

d𝛼

d𝑡𝛼 [𝑡𝜇] = Γ(𝜇+ 1)Γ(𝜇− 𝛼 + 1)𝑡

𝜇−𝛼. (I)

Discutimos as operações de integração e derivação fracionárias no quarto capítulo, bem comoalgumas de suas propriedades. Mais especificamente, na Seção 4.1 introduzimos o conceito deintegral fracionária de Riemann-Liouville como uma generalização do conceito de integral de ordeminteira e na Seção 4.2, apresentamos a derivada fracionária de Riemann-Liouville.

Em [44], Osler determina uma expressão para a derivada fracionária de uma função analíticautilizando a série dessa função, com isso, dadas duas funções analíticas, determina uma expressãopara a derivada fracionária do produto dessas funções, que não generaliza a propriedade (iv).

A derivada fracionária à esquerda, segundo Riemann-Liouville, é definida de modo a obter aigualdade na equação (I) para a derivada fracionária da função 𝑓(𝑡) = 𝑡𝜇.

O que seria então d𝛼

d𝑡𝛼[𝑡−𝑚

]para 𝑚 natural não nulo? Temos que

d𝑛

d𝑡𝑛[𝑡−𝑚

]= (−1)𝑛 Γ(𝑚+ 𝑛)

Γ(𝑚) 𝑡−(𝑚+𝑛).

Usando a ideia para a derivação de ordem não inteira, temos

d𝛼

d𝑡𝛼[𝑡−𝑚

]= (−1)𝛼 Γ(𝑚+ 𝛼)

Γ(𝑚) 𝑡−(𝑚+𝛼).

Essa nova definição precisa ser mudada, visto que, para 0 < 𝛼 < 1, por exemplo, a derivada deordem não inteira poderia transformar uma função real em uma função complexa ou uma funçãocomplexa em uma função real após a derivação. A derivada fracionária de Liouville à direita,apresentada na Seção 4.3, é definida de modo a recuperar a derivada de ordem inteira da função𝑓(𝑡) = 𝑡−𝑚, com 𝑚 natural não nulo.

Para resolver uma equação diferencial fracionária envolvendo uma função que tem uma variáveltemporal, em alguns casos, se temos condições iniciais para o problema, é conveniente utilizar ooperador de derivação fracionária de Caputo, apresentado na Seção 4.4.

3

Integração e derivação fracionárias, conforme definidas pelos operadores de Riemann-Liouville,são bem adequadas para séries de potência, mas não para funções definidas por séries de Fourier. Se𝑓(𝑥) é uma função periódica de período 2𝜋, então a integral fracionária segundo Riemann-Liouvilledessa função pode não ser periódica, neste caso convém utilizar os operadores de integração ederivação fracionárias de Weyl. Uma discussão para esse caso é apresentada na Seção 4.5.

Continuando a discussão sobre operações de integração e derivação fracionárias, nas Seções4.6 e 4.7 vemos que para obter uma integração ou derivação fracionária no espaço euclideanoR𝑛, devemos encontrar potências fracionárias (−Δ)𝛼/2 do operador Laplaciano. No caso em queRe(𝛼) < 0, chamamos tal potência de integral fracionária de Riesz e no caso em que Re(𝛼) > 0,chamamos de derivada fracionária segundo Riesz.

O teorema fundamental do cálculo de ordem inteira estabelece uma relação entre os processosde integração e derivação, ele diz que a integração e diferenciação são processos inversos, alémdisso, as integrais podem ser calculadas para encontrar primitivas. O teorema também podeser usado para fazer determinados cálculos, em particular, podemos determinar o limite de umafunção usando o teorema fundamental do cálculo [26]. Após generalizar os conceitos de integraçãoe derivação, naturalmente podemos generalizar o teorema fundamental do cálculo para operadoresde integração e derivação de ordem não inteira.

No quinto capítulo apresentamos o que chamamos de teorema fundamental do cálculo fracioná-rio [25], uma possível generalização do teorema fundamental do cálculo. Aplicações deste teorema[14] são apresentadas na Seção 5.1, onde utilizamos o teorema para resolver algumas particularesequações diferenciais fracionárias.

Sabe-se que o cálculo de ordem inteira é uma ferramenta poderosa para explicar e modelarmuitos processos importantes em ciências aplicadas. Experimentos e a realidade ensinam-nosque existem muitos sistemas complexos anômalos na natureza e na sociedade que não podem sermodelados com o cálculo clássico. A modelagem de fenômenos anômalos requer o desenvolvimentode uma teoria, análoga ao caso clássico, para equações diferenciais fracionárias.

Aplicações do cálculo fracionário são apresentadas no sexto capítulo, onde discutimos, porexemplo, a equação diferencial fracionária associada à desaceleração de nêutrons na Seção 6.1 eatravés de uma implementação em MATLAB para a solução aproximada, obtemos os gráficos para asolução. Já na Seção 6.2, expressamos a solução para uma equação do telégrafo fracionária, usandotransformadas integrais e a metodologia da transformada de Laplace inversa sem um contorno deintegração, conforme discutida na Seção 1.5.

Na Seção 6.3 abordamos uma teoria básica para sistemas de equações diferenciais fracionáriaslineares, onde utilizamos os operadores de derivação segundo Riemann-Liouville e Caputo. Alémdisso, desenvolvemos dois teoremas sobre as autofunções associadas a esses operadores e atravésdesses teoremas, resolvemos tais equações diferenciais, expressando a solução no caso homogêneo.Incluímos ainda alguns exemplos ilustrativos. Enfim, apresentamos as conclusões e dois apêndicesque concluem o trabalho.

4

Capítulo 1

Transformadas Integrais

As transformadas integrais constituem uma poderosa ferramenta para resolver uma equaçãodiferencial. Neste capítulo, abordamos as transformadas de Laplace e Fourier, bem com suas trans-formadas inversas, visando a resolução de equações diferenciais fracionárias. Discutimos apenasas principais propriedades. Para um estudo específico sobre estas duas transformadas, sugerimoso livro [55].

Apresentamos inicialmente, algumas definições da análise funcional que serão utilizadas.

Definição 1.1 (Espaço L𝑝 (Ω)). Seja Ω = [𝑎, 𝑏] (a < b), um intervalo finito ou infinito no eixoreal R. Denotamos por L𝑝 (Ω), com 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞, o conjunto das funções complexas 𝑓 em Ω,𝑝−integráveis no sentido de Lebesgue, ou seja, ‖𝑓‖𝑝 < ∞, onde

‖𝑓‖𝑝 =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(∫

Ω|𝑓(𝑥)|𝑝 d𝑥

)1/𝑝

, se 1 ≤ 𝑝 < ∞,

supΩ

|𝑓 | = inf {𝑐 ∈ R : |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑐} , se 𝑝 = ∞.

Na definição a seguir, considere [𝑎, 𝑏] um intervalo finito no eixo real R.

Definição 1.2 (Espaço AC𝑛 [𝑎, 𝑏]). Para1 𝑛 ∈ N*, denotamos por AC𝑛 [𝑎, 𝑏], o espaço das funçõescomplexas 𝑓(𝑥), cujas derivadas até a ordem 𝑛−1 são absolutamente contínuas em [𝑎, 𝑏], de formaque2 𝑓 (𝑛−1)(𝑥) ∈ AC [𝑎, 𝑏].

1.1 ConvoluçãoDadas duas sequências {𝑎𝑛}∞

0 e {𝑏𝑛}∞0 , a convolução dessas duas sequências é definida como a

nova sequência

{𝑐𝑛}∞0 = lim

𝑛→∞

⎛⎝ 𝑛∑𝑗=0

𝑎𝑗𝑏𝑛−𝑗

⎞⎠ = lim𝑛→∞

⎛⎝ 𝑛∑𝑗=0

𝑎𝑛−𝑗𝑏𝑗

⎞⎠.

1Neste trabalho definimos N* := {1, 2, 3, ...}.2Utilizamos a notação 𝑓 (𝑛−1)(𝑥) = d(𝑛−1)

d𝑥(𝑛−1) 𝑓(𝑥).

5

A sequência {𝑐𝑛}∞0 aparece quando multiplicamos duas séries da forma

∞∑𝑗=0

𝑎𝑗𝑧𝑗 ·

∞∑𝑗=0

𝑏𝑗𝑧𝑗 =

∞∑𝑗=0

𝑐𝑗𝑧𝑗.

Por exemplo, quando multiplicamos duas séries de Laurent [13], temos que calcular uma con-volução de sequências.

Raciocínio análogo à convolução de sequências pode ser estendido para funções contínuas. Aintegral

Ψ(𝑥) = 𝑓(𝑥) * 𝑔(𝑥) = (𝑓 * 𝑔) (𝑥) =∫ ∞

−∞𝑓(𝑥− 𝜏)𝑔(𝜏)d𝜏 =

∫ ∞

−∞𝑓(𝜏)𝑔(𝑥− 𝜏)d𝜏 , (1.1.1)

geralmente surge no cálculo das transformadas de Laplace e Fourier. Essas transformadas integraisserão discutidas nas seções seguintes. A notação * significa convolução, ou ainda, produto deconvolução.

Se as funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) são tais que

𝑓(𝑥− 𝜏) = 0, se 𝑥 > 𝜏

e

𝑔(𝑥) = 0, se 𝑥 ∈ (−∞, 0),

então a equação (1.1.1) pode ser escrita da forma(𝑓 * 𝑔) (𝑥) =

∫ 𝑥

0𝑓(𝑥− 𝜏)𝑔(𝜏)d𝜏 . (1.1.2)

1.2 Transformada de FourierNesta seção apresentamos a definição e algumas propriedades da transformada de Fourier de

uma função 𝜙(𝑥) ∈ L1 (Ω). Começamos com a transformada 1−dimensional [55], para depoisestendê-la ao caso 𝑛−dimensional.

Seja 𝜙(𝑥) uma função periódica com período L no intervalo −L2 ≤ 𝑥 ≤ L

2 , então podemosescrevê-la como uma série exponencial [43]

𝜙(𝑥) = 1L

∞∑𝑛=−∞

𝜙𝑛𝑒𝑖 2𝜋𝑛𝑥

L , com 𝜙𝑛 =∫ L

2

− L2

𝜙(𝑥)𝑒−𝑖 2𝜋𝑛𝑥L d𝑥.

Seja 𝜔𝑛 ≡ 2𝑛𝜋L . A variação de 𝜔𝑛(Δ𝜔𝑛) é dada por

Δ𝜔𝑛 = 2𝜋(Δ𝑛)L = 2𝜋

L ,

pois Δ𝑛 = 1. Substituindo 2𝜋L por Δ𝜔𝑛, temos

6

𝜙(𝑥) = 1L

∞∑𝑛=−∞

𝜙𝑛𝑒𝑖𝜔𝑛𝑥 = 1

L

∞∑𝑛=−∞

𝜙𝑛𝑒𝑖𝜔𝑛𝑥

(L2𝜋Δ𝜔𝑛

)= 1

2𝜋

∞∑𝑛=−∞

𝜙𝑛𝑒𝑖𝜔𝑛𝑥Δ𝜔𝑛.

Fazendo L → ∞, Δ𝜔𝑛 → 0, com isso a série acima é a integral

𝜙(𝑥) = 12𝜋

∫ ∞

−∞𝜙𝑛𝑒

𝑖𝜔𝑛𝑥d𝜔𝑛 = 12𝜋

∫ ∞

−∞𝜙(𝜔𝑛)𝑒𝑖𝜔𝑛𝑥d𝜔𝑛,

onde substituímos 𝜙𝑛 por 𝜙(𝜔𝑛), pois,

𝜙𝑛 =∫ L

2

− L2

𝜙(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑛𝑥d𝑥 ≡ 𝜙(𝜔𝑛).

Como L → ∞, obtemos

𝜙(𝜔𝑛) =∫ ∞

−∞𝜙(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑛𝑥d𝑥.

Podemos agora abandonar o índice 𝑛, escrevendo

𝜙(𝑥) = 12𝜋

∫ ∞

−∞𝜙(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑥d𝜔 e 𝜙(𝜔) =

∫ ∞

−∞𝜙(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑥d𝑥.

A primeira integral é conhecida como a transformada de Fourier inversa e a segunda comotransformada de Fourier de 𝜙(𝑥). Assim, a transformada de Fourier 1−dimensional, ou simples-mente transformada de Fourier, da função 𝜙(𝑥) denotada por ℱ [𝜙] (𝜔) = 𝜙 (𝜔), com 𝜙 : R −→ Re 𝜙 : R −→ C, é definida por

ℱ [𝜙] (𝜔) = 𝜙 (𝜔) :=∫ ∞

−∞𝜙(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑥d𝑥. (1.2.1)

A transformada de Fourier inversa de 𝑔(𝜔), denotada por ℱ−1 [𝑔] (𝑥) = 𝑔(𝑥), é definida por

ℱ−1 [𝑔] (𝑥) = 𝑔(𝑥) := 12𝜋

∫ ∞

−∞𝑔(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑥d𝜔. (1.2.2)

A transformada de Fourier de uma função é interpretada como sendo a sua decomposiçãoexponencial.

As integrais nas equações (1.2.1) e (1.2.2) convergem absolutamente para funções 𝜙(𝑥) ∈ L1 (R)e 𝑔(𝜔) ∈ L1 (C) e para funções “suficientemente boas” [32].

Cada uma dessas transformadas é inversa uma da outra, ou seja,

ℱ−1ℱ𝜙 = 𝜙 e ℱℱ−1𝑔 = 𝑔.

A seguir algumas propriedades da transformada de Fourier 1−dimensional.

∙ Linearidade: ℱ (𝑎1𝜙1 + 𝑎2𝜙2) = 𝑎1ℱ (𝜙1) + 𝑎2ℱ (𝜙2).

∙ Convolução: ℱ [𝜙1 * 𝜙2] (𝜔) = 𝜙1 (𝜔)𝜙2 (𝜔).

∙ Multiplicação: ℱ [𝜙1 · 𝜙2] (𝜔) = 12𝜋𝜙1 (𝜔) * 𝜙2 (𝜔).

7

∙ Derivação: ℱ[𝜙(𝑛)

](𝜔) = (𝑖𝜔)𝑛 𝜙 (𝜔) ; ℱ−1

[𝜙(𝑛)

]= (−𝑖𝑥)𝑛 𝜙 (𝑥), com 𝑛 ∈ N.

Considere agora 𝜙 : R𝑛 −→ R. Neste caso, a transformada de Fourier 𝑛−dimensional da função𝜙(𝑥) e a respectiva transformada inversa, são dadas por

ℱ [𝜙] (𝜔) = 𝜙 (𝜔) :=∫

R𝑛𝜙(𝑥)𝑒−𝑖𝜔·𝑥d𝑥 (1.2.3)

eℱ−1 [𝑔] (𝑥) = 𝑔 (𝑥) := 1

(2𝜋)𝑛

∫R𝑛𝑔(𝜔)𝑒𝑖𝜔·𝑥d𝜔, (1.2.4)

onde 𝑥 = [𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛] ∈ R𝑛, 𝜔 = [𝜔1, 𝜔2, ..., 𝜔𝑛] ∈ R𝑛, com 𝜙 : R𝑛 −→ C, o produto 𝜔·𝑥 =𝑥1𝜔1 + 𝑥2𝜔2 + ...+ 𝑥𝑛𝜔𝑛, d𝑥 = d𝑥1d𝑥2...d𝑥𝑛 e d𝜔 = d𝜔1d𝜔2...d𝜔𝑛.

Se Δ é o operador de Laplace 𝑛−dimensional, ou seja,

Δ = 𝜕2

𝜕𝑥21

+ 𝜕2

𝜕𝑥22

+ · · · + 𝜕2

𝜕𝑥2𝑛

,

então

ℱ [Δ𝜙] (𝜔) = − |𝜔|2 𝜙 (𝜔) . (1.2.5)

1.3 Transformada de LaplaceA transformada de Laplace é usada para determinar uma solução particular de uma ampla

classe de equações diferenciais, tanto as de ordem inteira, quanto as de ordem não inteira.Seja 𝑓(𝑡) um sinal (som, potencial elétrico,...), então a transformada de Laplace bilateral de

𝑓(𝑡), denotada por L [𝑓 ] (𝑠) = F(𝑠), é definida por

L [𝑓 ] (𝑠) = F(𝑠) =∫ ∞

−∞𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)d𝑡, (1.3.1)

onde 𝑠 = 𝜎 + 𝑖𝜏 ∈ C.Se 𝑠 = 𝑖𝜔, então F(𝑖𝜔) é a transformada de Fourier de 𝑓(𝑡). Transformadas de Fourier de sinais

sempre existem para sinais em L1 (R), o mesmo não ocorre para as transformadas de Laplace, pois𝑠 = 𝜎+ 𝑖𝜏 pode induzir um crescimento exponencial. Assim, devemos nos preocupar com a regiãode convergência (RC).

De fato, se 𝑓(𝑡) ∈ L1 (R), por (1.3.1) podemos observar que𝑓 (𝜔)

= |F(𝑖𝜔)| < ∞, já que

𝑒−𝑖𝜔𝑡

= 1.

Enquanto que em L [𝑓 ], temos que𝑒−𝑠𝑡

=𝑒−(𝜎+𝑖𝜏)𝑡

=𝑒−𝜎𝑡

,

que pode crescer indefinidamente [18].

8

No caso particular em que 𝑓1(𝑡) = 𝑒−𝑎𝑡𝑢(𝑡), onde 𝑎 > 0 e 𝑢(𝑡) é a função degrau unitário,definida por

𝑢(𝑡) =

⎧⎨⎩1, se 𝑡 ≥ 0,0, se 𝑡 < 0,

(1.3.2)

temos por (1.3.1), que

F1(𝑠) =∫ ∞

−∞𝑒−𝑠𝑡𝑒−𝑎𝑡𝑢(𝑡)d𝑡 =

∫ ∞

0𝑒−(𝑎+𝑠)𝑡d𝑡 = −𝑒−(𝑎+𝑠)𝑡

𝑠+ 𝑎

∞

0= 1𝑠+ 𝑎

,

se Re(𝑠) > −𝑎. Logo, a RC é o semiplano complexo Re(𝑠) = 𝜎 > −𝑎.Se considerarmos 𝑓2(𝑡) = −𝑒−𝑎𝑡𝑢(−𝑡), onde 𝑎 > 0 e 𝑢(𝑡) é a função degrau unitário, por (1.3.1),

temos que

F2(𝑠) =∫ ∞

−∞−𝑒−𝑠𝑡𝑒−𝑎𝑡𝑢(−𝑡)d𝑡 =

∫ 0

−∞−𝑒−(𝑎+𝑠)𝑡d𝑡 = 𝑒(𝑎+𝑠)𝑡

𝑠+ 𝑎

0

∞= 1𝑠+ 𝑎

,

se Re(𝑠) < −𝑎. Logo, a RC é o semiplano complexo Re(𝑠) = 𝜎 < −𝑎.Podemos observar que F1(𝑠) ≡ F2(𝑠), entretanto 𝑓1(𝑡) = 𝑓2(𝑡), o que diferencia os dois casos é

a RC.Para um sinal de tempo contínuo 𝑓(𝑡), onde 𝑡 denota a variável temporal, utilizamos a trans-

formada de Laplace unilateral, ou simplesmente transformada de Laplace

L [𝑓 ] (𝑠) = F(𝑠) =∫ ∞

0𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)d𝑡, (1.3.3)

onde 𝑠 = 𝜎 + 𝑖𝜏 ∈ C.Vamos então definir a RC para a transformada de Laplace em (1.3.3). Começamos com a

definição a seguir.

Definição 1.3 (Ordem exponencial). Uma função 𝑓(𝑡), definida para 𝑡 ≥ 0, é de ordem exponencialse existem constantes reais M > 0, 𝑡0 > 0 e 𝑎 ∈ R, tais que

|𝑓(𝑡)| ≤ M𝑒𝑎𝑡, para todo 𝑡 > 𝑡0, (1.3.4)ou equivalentemente, se

𝑒−𝑎𝑡 |𝑓(𝑡)| ≤ M ⇔ lim𝑡→∞

𝑓(𝑡) 𝑒−𝑎𝑡

= 0.

Uma função 𝑓 é limitada se existe M > 0 tal que |𝑓(𝑡)| ≤ M, para todo 𝑡 no domínio de 𝑓 .Assim, se 𝑓 é limitada, dado 𝑎 > 0, temos

𝑒−𝑎𝑡 |𝑓(𝑡)| ≤ M, para todo 𝑡 ≥ 0,pois |𝑒−𝑎𝑡| ≤ 1. Logo, toda função limitada é de ordem exponencial.

Uma função de ordem exponencial no infinito e contínua por partes em todo intervalo [0,A],com A > 0 é dita admissível.

9

Teorema 1.4 (Existência da transformada de Laplace unilateral). Se uma função 𝑓(𝑡), definidapara 𝑡 ≥ 0, é contínua por partes em todo intervalo fechado 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑐, com 𝑐 > 0 e de ordemexponencial, então existe 𝑎 ∈ R de modo que L [𝑓 ] (𝑠) existe para Re(𝑠) = 𝜎 > 𝑎.

Demonstração. Sendo 𝑓 de ordem exponencial, pela Definição 1.3, existem constantes reais M > 0,𝑡0 > 0 e 𝑎, de modo que |𝑓(𝑡)| ≤ M𝑒𝑎𝑡, para todo 𝑡 > 𝑡0. Calculando a transformada de Laplacede 𝑓(𝑡), temos

L [𝑓 ] (𝑠) =∫ ∞

0𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)d𝑡 =

∫ 𝑡0

0𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)d𝑡⏟ ⏞

(I)

+∫ ∞

𝑡0𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)d𝑡⏟ ⏞ (II)

.

A integral (I) existe pela hipótese de que 𝑓 é contínua por partes em todo intervalo fechado0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑐. No caso da integral (II), temos

|𝑓(𝑡)| ≤ M𝑒𝑎𝑡 ⇒𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)

≤ M

𝑒−𝑠𝑡

𝑒𝑎𝑡.

Escrevendo 𝑠 = 𝜎 + 𝑖𝜏 , 𝑒−𝑠𝑡

=𝑒−𝜎𝑡−𝑖𝜏𝑡

=𝑒−𝜎𝑡

𝑒−𝑖𝜏𝑡

=𝑒−𝜎𝑡

.

Logo, podemos escrever 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)

≤ M

𝑒−𝜎𝑡

𝑒𝑎𝑡 = M𝑒−𝜎𝑡𝑒𝑎𝑡 = M𝑒−(𝜎−𝑎)𝑡,

ou seja, 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)

≤ M𝑒−(𝜎−𝑎)𝑡.

Com isso, impondo a condição 𝜎 > 𝑎, a integral (II) é convergente para Re(𝑠) = 𝜎 > 𝑎. Assim,L [𝑓 ] (𝑠) existe para Re(𝑠) > 𝑎. �

Concluímos então que a transformada de Laplace F(𝑠) em (1.3.3), existe em um domínio contidono semiplano complexo, onde Re(𝑠) = 𝜎 > 𝑎, com 𝑎 real satisfazendo (1.3.4).

A transformada de Laplace é um operador linear, pois se F(𝑠) e G(𝑠) são as transformadas deLaplace das funções 𝑓(𝑡) e 𝑔(𝑡) respectivamente, e 𝑎 e 𝑏 são constantes, então

L [𝑎 𝑓 + 𝑏 𝑔] (𝑠) = 𝑎F(𝑠) + 𝑏G(𝑠).Em particular, a função 𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑎𝑡 é de ordem exponencial, pois dado 𝑎 > 0, |𝑓(𝑡)| = |𝑒−𝑎𝑡| ≤ 1

para todo 𝑡 ≥ 0. Além disso, 𝑓(𝑡) é contínua. Logo, pelo Teorema 1.4, L [𝑓 ] (𝑠) existe e é dadapor

F(𝑠) =∫ ∞

0𝑒−𝑠𝑡𝑒−𝑎𝑡d𝑡 =

∫ ∞

0𝑒−(𝑎+𝑠)𝑡d𝑡 = −𝑒−(𝑎+𝑠)𝑡

𝑠+ 𝑎

∞

0= 1𝑠+ 𝑎

,

se Re(𝑠) > −𝑎.Se 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑛, com 𝑛 ∈ N, então para 𝑎 > 0 e 𝑡 ≥ 0,

10

lim𝑡→∞

𝑒−𝑎𝑡𝑡𝑛 = 0 (basta usar l’Hôpital 𝑛 vezes),

assim 𝑓 é de ordem exponencial. Sendo 𝑓 contínua, L [𝑓 ] (𝑠) existe e é dada por

F(𝑠) = 𝑛!𝑠𝑛+1 , com Re(𝑠) > 0.

Para uma função 𝑓 : R → R, com 𝑓(𝑡), dd𝑡𝑓(𝑡), d2

d𝑡2𝑓(𝑡), ..., d𝑛−1

d𝑡𝑛−1𝑓(𝑡) contínuas em [𝑎, 𝑐] ⊂ R ed𝑛

d𝑡𝑛𝑓(𝑡) contínua por partes em [𝑎, 𝑐] ⊂ R, de modo que existam constantes ��, M> 0 e 𝑡0 > 0 taisque

|𝑓(𝑡)| ≤ M𝑒��𝑡,

dd𝑡𝑓(𝑡)

≤ M𝑒��𝑡, ... ,

d𝑛−1

d𝑡𝑛−1𝑓(𝑡) ≤ M𝑒��𝑡,

para todo 𝑡 > 𝑡0. Então para Re(𝑠) > ��,

L

[d𝑛

d𝑡𝑛𝑓]

(𝑠) = 𝑠𝑛L [𝑓 ] (𝑠) −𝑛−1∑𝑗=0

𝑠𝑗

[(d𝑛−1−𝑗

d𝑡𝑛−1−𝑗𝑓(𝑡)

) 𝑡=𝑎

]. (1.3.5)

Para obter (1.3.5), basta fazer 𝑛 integrações por partes em L

[d𝑛

d𝑡𝑛𝑓]

(𝑠).

1.4 Transformada de Laplace inversaA RC da transformada de Laplace é o que faz a diferença para determinar a transformada de

Laplace inversa, já que ela é única.Escrevendo 𝑠 = 𝜎 + 𝑖𝜏 na equação (1.3.1), temos que

F(𝜎 + 𝑖𝜏) =∫ ∞

−∞𝑒−(𝜎+𝑖𝜏)𝑡𝑓(𝑡)d𝑡,

de onde segue que

F(𝑠) =∫ ∞

−∞𝑒−𝜎𝑡𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜏𝑡d𝑡,

ou seja, F(𝑠) é a transformada de Fourier da função 𝑒−𝜎𝑡𝑓(𝑡). Podemos então obter a função𝑒−𝜎𝑡𝑓(𝑡) aplicando a transformada de Fourier inversa, isto é,

𝑒−𝜎𝑡𝑓(𝑡) = 12𝜋

∫ ∞

−∞F(𝜎 + 𝑖𝜏)𝑒𝑖𝜏𝑡d𝜏 ,

ou seja,

𝑓(𝑡) = 12𝜋

∫ ∞

−∞F(𝜎 + 𝑖𝜏)𝑒(𝜎+𝑖𝜏)𝑡d𝜏 .

11

Fazendo a mudança de variáveis 𝜎+ 𝑖𝜏 = 𝑠, obtemos a representação integral para a transformadade Laplace inversa, dada por

𝑓(𝑡) = L −1 [F] (𝑡) = 12𝜋𝑖 lim

𝜏→∞

∫ 𝜎+𝑖𝜏

𝜎−𝑖𝜏𝑒𝑠𝑡 F(𝑠)d𝑠, (1.4.1)

onde Re(𝑠) > 𝜎0, de modo que todas as singularidades de F(𝑠) estejam do lado esquerdo à retaRe(𝑠) = 𝜎0 do plano complexo.

A seguir, alguns teoremas e definições importantes para o cálculo da transformada de Laplaceinversa.

Definição 1.5 (Função analítica). Uma função 𝑓(𝑧) : C → C é analítica em um domínio D ∈ C,se 𝑓(𝑧) é definida e diferenciável em todos os pontos de D. A função 𝑓(𝑧) é dita analítica em𝑧0 ∈ D, se 𝑓(𝑧) for analítica em uma vizinhança de 𝑧0. Os pontos de 𝑧 ∈ D nos quais 𝑓(𝑧) não édiferenciável, são chamados pontos singulares de 𝑓 .

Definição 1.6 (Função inteira). Uma função 𝑓(𝑧) : C → C é inteira se é analítica em todo oplano complexo e não tem singularidades, exceto no infinito. Toda função inteira admite umarepresentação da forma

𝑓(𝑧) =∞∑

𝑗=0𝑎𝑗𝑧

𝑗, válida para |𝑧| < ∞.

As funções de variáveis complexas podem ser expandidas em séries de Taylor ou Laurent. Aexpansão em série de Taylor, em torno de 𝑧0, é utilizada nos casos em que a função é analítica emuma vizinhança de 𝑧0, exceto em 𝑧0. A expansão em série de Laurent, em torno de 𝑧0, é utilizadaquando a função não é analítica em 𝑧0 e em uma vizinhança de 𝑧0, mas é analítica em uma coroacircular em torno de 𝑧0.

Se 𝑓(𝑧) é analítica em uma região 𝑅, exceto em 𝑉𝑧0 , que consiste em uma vizinhança de 𝑧0 eno próprio ponto 𝑧0, que é uma singularidade de 𝑓 , então 𝑓(𝑧) possui uma expansão em série deLaurent para todos os pontos próximos de 𝑧0, exceto em 𝑉𝑧0 . A série de Laurent de 𝑓(𝑧) em tornode 𝑧 = 𝑧0 é definida da forma

𝑓(𝑧) =∞∑

𝑗=−∞𝑎𝑗 (𝑧 − 𝑧0)𝑗, para todo 𝑧 ∈ 𝑅∖{𝑉𝑧0} , (1.4.2)

onde

𝑎𝑗 = 12𝜋𝑖

∮𝐶

𝑓(𝑧)(𝑧 − 𝑧0)𝑗+1 d𝑧,

com 𝑗 ∈ Z, e 𝐶 uma curva fechada simples contida na região 𝑅 que contém 𝑧0.Podemos calcular os coeficientes da série (1.4.2), utilizando o Teorema 1.8 e (1.4.3). Para o

coeficiente 𝑎𝑗, a função 𝑓(𝑧)(𝑧 − 𝑧0)𝑗+1 tem polo de ordem 𝑗 + 1 na singularidade 𝑧 = 𝑧0.

12

Fazendo 𝑗 = −1, encontramos

𝑎−1 = 12𝜋𝑖

∮𝐶

𝑓(𝑧)(𝑧 − 𝑧0)0 d𝑧 = 1

2𝜋𝑖

∮𝐶𝑓(𝑧)d𝑧,

de onde segue que

2𝜋𝑖 𝑎−1 =∮

𝐶𝑓(𝑧)d𝑧.

Para efetuar uma integração no plano complexo da forma∫ 𝜎+𝑖𝜏

𝜎−𝑖𝜏𝑔(𝑠)d𝑠,

onde 𝑔(𝑠) tem um número finito de singularidades, usamos o contorno de Bromwich, que consisteem uma curva vertical 𝐶 = {𝑠 = 𝜎0 + 𝑖𝜏 , com − ∞ < 𝜏 < ∞}. Essa curva vertical é uma linha noplano complexo, paralela ao eixo imaginário, de forma que todas as singularidades de 𝑔(𝑠) estejam àsua esquerda, no semiplano {𝑠 = 𝜎 + 𝑖𝜏 , com 𝜎 < 𝜎0}. Podemos calcular a integral através de umacurva simples fechada no plano complexo, no sentido anti-horário, de modo que as singularidadesde 𝑔(𝑠) estejam todas no interior da curva fechada.

Teorema 1.7 (Cauchy-Goursat). Seja 𝑓(𝑧) uma função analítica em um domínio D, simplesmenteconexo. Se 𝐶 é um caminho simples e fechado, com 𝐶 ⊆ D, então

∮𝐶𝑓(𝑧)d𝑧 = 0.

Demonstração. A demonstração para este teorema pode ser encontrada em [13]. �

Se 𝑓(𝑧) tem um polo [13] de ordem 𝑚 em 𝑧 = 𝑧𝑖, então o resíduo de 𝑓(𝑧) em 𝑧𝑖 é dado por

Res (𝑧𝑖) = lim𝑧→𝑧𝑖

1(𝑚− 1)!

d𝑚−1

d𝑧𝑚−1 [(𝑧 − 𝑧𝑖)𝑚𝑓(𝑧)] , se 𝑚 ≥ 1. (1.4.3)

Teorema 1.8 (Teorema dos resíduos). Seja 𝑓(𝑧) uma função analítica no fecho de uma curvafechada simples 𝐶, exceto em um número finito de pontos singulares isolados 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, · · · , 𝑧𝑘,dentro de 𝐶. Então,

∮𝐶𝑓(𝑧)d𝑧 = 2𝜋𝑖

𝑘∑𝑖=1

Res (𝑧𝑖).

Vamos esboçar um cálculo explícito envolvendo a transformada de Laplace inversa. Considere

F(𝑠) = 1𝑠2 + 1 .

As singularidades de F(𝑠) são 𝑠1 = 𝑖 e 𝑠2 = −𝑖. Com isso vemos que F(𝑠) tem polo simples,ou seja, de ordem 1, em 𝑠1 e 𝑠2, que se encontram do lado esquerdo do semiplano complexo{𝑠 = 𝜎 + 𝑖𝜏 : 𝜎 < 𝜎0}, conforme a figura a seguir.

13

Figura 1.1: Contorno de Bromwich de F(𝑠).

Com base no contorno de Bromwich da figura acima, vamos determinar L −1 [F] (𝑡).

L −1 [F] (𝑡) = 12𝜋𝑖 lim

𝜏→∞

∫ 𝜎0+𝑖𝜏

𝜎0−𝑖𝜏𝑒𝑠𝑡 1

𝑠2 + 1d𝑠

= 12𝜋𝑖

∫𝐶𝑒𝑠𝑡 1

𝑠2 + 1d𝑠

= 12𝜋𝑖 lim

𝑅→∞

∮𝐶1(𝑅)+𝐶2(𝑅)

𝑒𝑠𝑡 1𝑠2 + 1d𝑠

= 12𝜋𝑖 2𝜋𝑖

2∑𝑖=1

Res (𝑠𝑖)

= sen 𝑡.

Na próxima seção, apresentamos uma metodologia para efetuar o cálculo da transformada deLapalace inversa sem utilizar um contorno de integração.

1.5 Transformada de Laplace inversa sem o uso de um con-torno de integração

Poucos anos atrás Berberan discutiu a inversão analítica da transformada de Laplace semutilizar um contorno de integração [2]. Berberan justifica o cálculo devido a sua importânciaem problemas envolvendo a lei do decaimento da luminescência que é amplamente utilizada nafísica, química e ciências biológicas [58]. Nesta seção, faremos um resumo deste trabalho, vistoque vamos utilizar tal resultado. Convém ressaltar que o trabalho apresenta alguns erros, maisespecificamente, as equações de números (7), (8), (12) e (13) apresentam incoerências matemáticas.

14

A transformada de Laplace de uma função real 𝑓(𝑡), definida para 𝑡 > 0, é definida na equação(1.3.3) e sua respectiva transformada de Laplace inversa é definida na equação (1.4.1).

Fazendo a mudança de variáveis 𝑠 = 𝜎 + 𝑖𝜏 , com 𝜎, 𝜏 ∈ R, podemos reescrever a transformadade Laplace inversa de 𝑓(𝑡) da seguinte forma

𝑓(𝑡) = 𝑒𝜎𝑡

2𝜋

∫ ∞

−∞𝑒𝑖𝑡𝜏 F(𝜎 + 𝑖𝜏)d𝜏. (1.5.1)

Escrevendo F(𝜎 + 𝑖𝜏) = Re [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] + 𝑖 Im [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] e 𝑒𝑖𝑡𝜏 = cos(𝑡𝜏) + 𝑖 sen(𝑡𝜏), temos


2𝜋

{∫ ∞

−∞[Re [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] cos(𝑡𝜏) − Im [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] sen(𝑡𝜏)] d𝜏 +

+ 𝑖∫ ∞

−∞[Im [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] cos(𝑡𝜏) + Re [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] sen(𝑡𝜏)] d𝜏

}.

Como 𝑓(𝑡) é uma função real, podemos escrever∫ ∞

−∞[Im [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] cos(𝑡𝜏) + Re [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] sen(𝑡𝜏)] d𝜏 = 0,

de onde segue a expressão para 𝑓(𝑡):


2𝜋

∫ ∞

−∞[Re [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] cos(𝑡𝜏) − Im [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] sen(𝑡𝜏)] d𝜏. (1.5.2)

A partir da equação (1.3.3), temos que

Re [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] =∫ ∞

0𝑒−𝜎𝑡 𝑓(𝑡) cos(𝑡𝜏)d𝑡 (1.5.3)

e

Im [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] = −∫ ∞

0𝑒−𝜎𝑡 𝑓(𝑡) sen(𝑡𝜏)d𝑡, (1.5.4)

com isso, vemos que a função 𝜓(𝜏) = [Re [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] cos(𝑡𝜏) − Im [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] sen(𝑡𝜏)] é par, dessemodo, a equação (1.5.2) pode ser escrita como


𝜋

∫ ∞

0[Re [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] cos(𝑡𝜏) − Im [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] sen(𝑡𝜏)] d𝜏, (1.5.5)

onde 𝑡 > 0 e 𝜎 > 𝜎0. Esta expressão recupera a função cuja transformada de Laplace é conhecida,isto é, explicita a função como uma integral real.

Através do cálculo da transformada de Laplace inversa sem um contorno de integração noplano complexo, com uma conveniente escolha para 𝜎, que é a parte real do número complexo𝑠, variável da transformada de Laplace de uma função, expressamos algumas integrais imprópriasconvergentes em termos de uma nova função.

Considere a transformada de Laplace da função exponencial, dada por

L[𝑒𝑡]

(𝑠) = 1𝑠− 1 ,

15

para 𝑡 > 0 e Re(𝑠) > 1. Escolhendo 𝜎 = 2 e escrevendo 𝑠 = 2 + 𝑖𝜏 , temos

1𝑠− 1 = 1

1 + 𝑖𝜏= 1

1 + 𝜏 2 − 𝑖𝜏

1 + 𝜏 2 .

Assim, pela equação (1.5.3), podemos escrever

11 + 𝜏 2 = Re [F(2 + 𝑖𝜏)] =

∫ ∞

0𝑒−2𝑡 𝑒𝑡 cos(𝑡𝜏)d𝑡,

ou seja,

11 + 𝜏 2 =

∫ ∞

0𝑒−𝑡 cos(𝑡𝜏)d𝑡, (1.5.6)

para 𝜏 ∈ R.Por outro lado, pela equação (1.5.4), podemos escrever

− 𝜏

1 + 𝜏 2 = Im [F(2 + 𝑖𝜏)] = −∫ ∞

0𝑒−2𝑡 𝑒𝑡 sen(𝑡𝜏)d𝑡,

ou seja,𝜏

1 + 𝜏 2 =∫ ∞

0𝑒−𝑡 sen(𝑡𝜏)d𝑡, (1.5.7)

para 𝜏 ∈ R.Em particular, se 𝜏 = 0 na equação (1.5.6), temos que∫ ∞

0𝑒−𝑡d𝑡 = 1.

Utilizando essa metodologia de transformada de Laplace inversa, podemos mostrar, por exem-plo, que não existe uma função 𝑓(𝑡) cuja transformada de Laplace seja F(𝑠) = sen 𝑠. De fato,vamos supor que exista uma função 𝑓(𝑡) de modo que sua transformada de Laplace F(𝑠) sejaF(𝑠) = sen 𝑠. Escrevendo 𝑠 = 𝜎 + 𝑖𝜏 , temos que

L [𝑓(𝑡)] (𝜎 + 𝑖𝜏) = F (𝜎 + 𝑖𝜏) = sen (𝜎 + 𝑖𝜏) .Utilizando a relação

sen 𝑠 = 𝑒𝑖𝑠 − 𝑒−𝑖𝑠

2𝑖 ,

temos que

F (𝜎 + 𝑖𝜏) = 𝑒𝑖(𝜎+𝑖𝜏) − 𝑒−𝑖(𝜎+𝑖𝜏)

2𝑖 = 𝑖

2(𝑒𝜏𝑒−𝑖𝜎 − 𝑒−𝜏𝑒𝑖𝜎

).

Fazendo as substituições

𝑒−𝑖𝜎 = cos𝜎 − 𝑖 sen𝜎 e 𝑒𝑖𝜎 = cos𝜎 + 𝑖 sen𝜎,temos

16

F (𝜎 + 𝑖𝜏) = sen𝜎(𝑒𝜏 + 𝑒−𝜏

2

)+ 𝑖 cos𝜎

(𝑒𝜏 − 𝑒−𝜏

2

),

de onde segue que

F (𝜎 + 𝑖𝜏) = sen𝜎 · cosh 𝜏 + 𝑖 cos𝜎 · senh 𝜏.Separando as partes real e imaginária de F (𝜎 + 𝑖𝜏), temos que

Re [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] = sen𝜎 · coshe

Im [F(𝜎 + 𝑖𝜏)] = cos𝜎 · senh 𝜏.Finalmente, utilização a equação (1.5.5), podemos escrever


𝜋

∫ ∞

0[sen𝜎 cosh 𝜏 cos(𝑡𝜏) − cos𝜎 senh 𝜏 sen(𝑡𝜏)] d𝜏. (1.5.8)

Através de alguns testes computacionais, verificamos que a integral que define 𝑓(𝑡) na equação(1.5.8) é divergente para os valores de 𝜎 que foram testados. Logo, neste caso, não encontramosuma função 𝑓(𝑡) tal que sua transformada de Laplace seja a função sen 𝑠.

Outras integrais impróprias interessantes podem ser obtidas a partir das funções de Mittag--Leffler, que serão apresentadas no próximo capítulo.

1.6 Transformada de Laplace unilateralNo contexto de equações diferenciais, surgem singularidades de descontinuidades em sinais ou

funções. Quando isso acontece, devemos considerar essas singularidades e tratá-las de modo especí-fico quando utilizamos a transformada de Laplace unilateral. Em [34] encontramos uma discussãodetalhada sobre os limites inferiores de integração na definição da transformada de Laplace, taiscomo

L+ [𝑓(𝑡)] (𝑠) =∫ ∞

0+𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)d𝑡 (1.6.1)

e

L− [𝑓(𝑡)] (𝑠) =∫ ∞

0−𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)d𝑡. (1.6.2)

Contudo, considerando a transformada L+ como na equação (1.6.1), temos que

L+ [𝛿(𝑡)] = 0,enquanto que se considerarmos L− como na equação (1.6.2), temos

L− [𝛿(𝑡)] = 1.

17

Para uma função real 𝑓(𝑡) definida para 𝑡 ≥ 0, pela equação (1.3.5), podemos escrever a relação

L[𝑓 (𝑛)(𝑡)

](𝑠) = 𝑠𝑛L [𝑓 ] (𝑠) −

𝑛−1∑𝑗=0

𝑠𝑗𝑓 (𝑛−1−𝑗)(0). (1.6.3)

Quando consideramos as transformadas de Laplace unilaterais, conforme definidas nas equações(1.6.1) e (1.6.2), podemos obter as expressões

L+[𝑓 (𝑛)(𝑡)

](𝑠) = 𝑠𝑛L [𝑓 ] (𝑠) −

𝑛−1∑𝑗=0

𝑠𝑗𝑓 (𝑛−1−𝑗)(0+) (1.6.4)

e

L−[𝑓 (𝑛)(𝑡)

](𝑠) = 𝑠𝑛L [𝑓 ] (𝑠) −

𝑛−1∑𝑗=0

𝑠𝑗𝑓 (𝑛−1−𝑗)(0−). (1.6.5)

Em particular, se 𝑛 = 1 na equação (1.6.4), podemos escrever

L+[𝑓

′(𝑡)]

(𝑠) = 𝑠L [𝑓 ] (𝑠) − 𝑓(0+).

Tomando o limite com 𝑠 → ∞ na equação acima, temos que

lim𝑠→∞

{L+

[𝑓

′(𝑡)]

(𝑠)}

= lim𝑠→∞

{𝑠L [𝑓 ] (𝑠) − 𝑓(0+)

},

ou seja,

lim𝑠→∞

{∫ ∞

0+𝑒−𝑠𝑡𝑓

′(𝑡)d𝑡}

= lim𝑠→∞

{𝑠L [𝑓 ] (𝑠)} − 𝑓(0+),

de onde segue que

lim𝑠→∞

{𝑠L [𝑓 ] (𝑠)} = 𝑓(0+). (1.6.6)

Considere a versão clássica do problema associado à desaceleração de nêutrons, proposta eestudada por Sneddon [55]. Essa equação indica que o movimento da desaceleração de nêutronsem um material é semelhante à difusão de calor. Além disso, o autor salienta a importânciado estudo da difusão de nêutrons, principalmente na teoria da reação nuclear em cadeia. Esseproblema pode ser descrito através da equação diferencial parcial

𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) + T(𝑥, 𝑡),

onde 𝑢(𝑥, 𝑡) é denominada densidade da desaceleração de nêutrons, que representa o número denêutrons por unidade de volume por unidade de tempo em que atingem a idade 𝑡, 𝑥 representaa variável espacial e T(𝑥, 𝑡) é uma função fonte. Consideramos o caso em que T(𝑥, 𝑡) = 𝛿(𝑥)𝛿(𝑡),

18

que representa o problema em um meio infinito, com isso, o problema clássico da desaceleração denêutrons é descrito da seguinte forma

𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) + 𝛿(𝑥)𝛿(𝑡)𝑢(𝑥, 0) = 𝛿(𝑥)

lim|𝑥|→∞

𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) = 0.(1.6.7)

A seguir, apresentamos duas resoluções para esse problema, uma utilizando a transformada deLaplace definida em (1.6.1) e outra sem utilizar a transformada de Laplace.

Aplicando a transformada de Fourier em (1.6.7), obtemos

U𝑡(𝜔, 𝑡) = −𝜔2U(𝜔, 𝑡) + 𝛿(𝑡)U(𝜔, 0) = 1, (1.6.8)

onde U(𝜔, 𝑡) é a transformada de Fourier de 𝑢(𝑥, 𝑡) com relação à variável 𝑥. A condição U(𝜔, 0) = 1corresponde à filtragem de 𝛿(𝑥). Podemos reescrever a equação (1.6.8) da forma

dd𝑡𝑒

𝜔2𝑡U(𝜔, 𝑡) = 𝛿(𝑡)𝑒𝜔2𝑡.

Integrando ambos os membros da equação acima, obtemos

𝑒𝜔2𝑡U(𝜔, 𝑡) = 𝑐+∫ 𝑡

0𝛿(𝜏)𝑒𝜔2𝜏 d𝜏,

ou seja,

𝑒𝜔2𝑡U(𝜔, 𝑡) = 𝑐+∫ 𝑡

0𝛿(𝜏)𝑒−𝜔2(0−𝜏)d𝜏 = 𝑐+ (𝛿 * 𝑔) (0),

onde 𝑔(𝑡) = 𝑒−𝜔2𝑡. Dessa forma, temos que

𝑒𝜔2𝑡U(𝜔, 𝑡) = 𝑐+ 𝑔(0) = 𝑐+ 1.

Utilizando a condição inicial, podemos escrever

𝑒𝜔20U(𝜔, 0) = 𝑐+ 1 ⇒ 1 = 𝑐+ 1 ⇒ 𝑐 = 0.

Logo,U(𝜔, 𝑡) = 𝑒−𝜔2𝑡.

Aplicando agora a transformada de Fourier inversa na equação acima, obtemos a solução3

𝑢(𝑥, 𝑡) = 12√𝜋 𝑡𝑒−𝑥2/4𝑡, para 𝑡 > 0. (1.6.9)

Vale ressaltar que se utilizarmos a transformada de Laplace para resolver o problema (1.6.7),vamos encontrar uma solução diferente se não considerarmos a singularidade da distribuição delta

3Veja [55], página 215.

19

de Dirac em 𝑡 = 0. De fato, aplicando a transformada de Laplace em (1.6.8) e usando a relação(1.6.6), obtemos

𝑠U(𝜔, 𝑠) − U(𝜔, 0) = −𝜔2U(𝜔, 𝑠) + 1,

onde U(𝜔, 𝑠) é a transformada de Laplace de U(𝜔, 𝑡).Utilizando a condição inicial U(𝜔, 0), segue que

U(𝜔, 𝑠) = 2𝑠+ 𝜔2 .

Aplicando a transformada de Laplace inversa em U(𝜔, 𝑠) e em seguida a transformada deFourier inversa, temos

𝑢(𝑥, 𝑡) = 1√𝜋 𝑡𝑒−𝑥2/4𝑡. (1.6.10)

Note que a solução em (1.6.10) difere da solução apresentada por Sneddon, como na equação(1.6.9), por um fator 1/2. Para obter a solução correta para esse problema utilizando a trans-formada de Laplace, devemos considerar a singularidade de 𝛿(𝑡), neste caso, devemos tomar atransformada de Laplace conforme definida em (1.6.1). Além disso, utilizando a expressão (1.6.4),obtemos

𝑠U(𝜔, 𝑠) − U(𝜔, 0+) = −𝜔2U(𝜔, 𝑠) + L+ [𝛿(𝑡)] ,

de onde segue que

𝑠U(𝜔, 𝑠) − 1 = −𝜔2U(𝜔, 𝑠) + 0,

ou seja,

U(𝜔, 𝑠) = 1𝑠+ 𝜔2 .

Tomando a transformada de Laplace inversa e em seguida a transformada de Fourier inversa,obtemos a solução

𝑢(𝑥, 𝑡) = 12√𝜋 𝑡𝑒−𝑥2/4𝑡, para 𝑡 > 0,

como na equação (1.6.9).

20

Capítulo 2

Funções Especiais

As clássicas funções especiais, a função hipergeométrica e seus casos particulares, emergem na-turalmente como solução de algumas equações diferenciais ordinárias. Vários autores não incluemas funções gama e beta na classe de funções especiais por não serem solução de uma equaçãodiferencial.

Neste capítulo, devido a sua importância em uma série de aplicações, apresentamos algumasfunções especiais, incluindo além das funções gama e beta, as funções hipergeométricas.

2.1 Função gamaA função gama, também conhecida como função de Euler de segunda espécie, é uma das mais

importantes funções da física matemática, que além de generalizar o conceito de fatorial, é utilizadano cálculo das transformadas de Laplace e Fourier de algumas funções. Algumas distribuições deprobabilidades são definidas em termos da função gama. Na mecânica quântica não relativista, afunção gama é utilizada, por exemplo, para expressar a dispersão de Coulomb durante uma colisãoentre duas partículas carregadas [6].

Ao olharmos para a função fatorial de um número natural, isto nos dá os pontos (0, 1), (1, 1), (2, 2),(3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720), .... Marcando estes pontos no plano, existe uma forma de uni-los epreencher o gráfico para mais valores se considerarmos a função gama, definida para os reais positi-vos, podemos até ampliar o domínio dessa função a um conjunto contido no conjunto dos númeroscomplexos, como pode ser visto adiante.

A função gama é definida como uma integral imprópria em termos de outra função. Ela é umafunção complexa de uma variável complexa, Γ : D ⊂ C → C, e é definida da seguinte forma

Γ(𝑧) =∫ ∞

0𝑡𝑧−1𝑒−𝑡d𝑡, para Re(𝑧) > 0. (2.1.1)

Na integral (2.1.1), para 𝑧 ∈ N, a função

𝑓(𝑡) = 𝑡𝑧−1𝑒−𝑡 = 𝑒−𝑡

𝑡1−𝑧

21

possui singularidades em 𝑡 = 0. Se 𝑧 ∈ D = {𝜎 + 𝑖𝜏 , com 𝜎, 𝜏 ∈ R/𝜎 > 0}, a integral em (2.1.1)converge e a função gama é analítica, ou seja, Γ(𝑧) está bem definida para Re(𝑧) > 0.

2.1.1 Relações envolvendo a função gamaA seguir, algumas relações que podemos obter da função gama.

∙ Relação da função gama com a transformada de Laplace:

Fazendo a mudança de variáveis 𝑡 = 𝑠𝑣 em (2.1.1), obtemos

Γ(𝑧) =∫ ∞

0(𝑠𝑣)𝑧−1 𝑒−𝑠𝑣𝑠 d𝑣 = 𝑠𝑧

∫ ∞

0𝑣𝑧−1𝑒−𝑠𝑣 d𝑣,

de onde segue que

Γ(𝑧) = 𝑠𝑧L [𝑓 ] (𝑠), com 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑧−1 𝑢(𝑡), (2.1.2)onde 𝑢(𝑡) é a função degrau unitário, definida em (1.3.2).

∙ Fatorial:

Se 𝑧 ∈ N, a função gama é uma generalização do conceito de fatorial. De fato, fazendo 𝑧 = 𝑛+1em (2.1.2), temos

Γ(𝑛+ 1) = 𝑠𝑛+1L [𝑡𝑛] .

Como L [𝑡𝑛] = 𝑛!𝑠𝑛+1 , segue que

Γ(𝑛+ 1) = 𝑠𝑛+1 𝑛!𝑠𝑛+1 = 𝑛!

∙ Gaussiana:

Seja 𝑧 = 12 em (2.1.1). Efetuando a mudança de variável 𝑡 = 𝑥2, obtemos

Γ(1

2

)=∫ ∞

0𝑡−

12 𝑒−𝑡d𝑡 = 2

∫ ∞

0𝑒−𝑥2d𝑥 = 2

(√𝜋

2

)=

√𝜋.

∙ Relação funcional:

Fazendo integração por partes em Γ(𝑧 + 1) =∫ ∞

0𝑡𝑧𝑒−𝑡d𝑡, temos∫ ∞

0𝑡𝑧𝑒−𝑡d𝑡 = 𝑡𝑧

(−𝑒−𝑡

) ∞0

−∫ ∞

0−𝑒−𝑡𝑧𝑡𝑧−1d𝑡 = 𝑧

∫ ∞

0𝑡𝑧−1𝑒−𝑡d𝑡 = 𝑧 Γ(𝑧).

22

Logo, podemos escrever

Γ(𝑧 + 1) = 𝑧 Γ(𝑧), para Re(𝑧) > 0. (2.1.3)

∙ Reflexão:

Para 0 < Re(𝑧) < 1, é possível obter a expressão

Γ(1 − 𝑧)Γ(𝑧)efetuando uma integração no plano complexo [5]. O resultado dessa integração é uma funçãotrigonométrica

Γ(1 − 𝑧)Γ(𝑧) = 𝜋

sen (𝜋𝑧) , para 0 < Re(𝑧) < 1. (2.1.4)

2.1.2 Extensão da função gamaA função gama converge para valores de 𝑧 ∈ C, com Re(𝑧) > 0. A fim de estender essa função

a todo o plano complexo, vamos escrever a integral em (2.1.1), da seguinte forma

Γ(𝑧) =∫ ∞

0𝑡𝑧−1𝑒−𝑡d𝑡 =

∫ 1

0𝑡𝑧−1𝑒−𝑡d𝑡⏟ ⏞

I1

+∫ ∞

1𝑡𝑧−1𝑒−𝑡d𝑡⏟ ⏞

I2

.

A integral I2 converge para todo 𝑧 complexo, pois 𝑒−𝑡 decresce mais rapidamente do que qual-quer potência de 𝑡. Nosso problema agora, consiste em analisar a integral I1. Podemos reescreverI1 da seguinte forma

I1 =∫ 1

0𝑡𝑧−1𝑒−𝑡d𝑡

=∫ 1

0𝑡𝑧+𝑛

[𝑒−𝑡 − (1 − 𝑡+ 𝑡2/2! + · · · + (−1)𝑛𝑡𝑛/𝑛!)

𝑡𝑛+1

]d𝑡+

𝑛∑𝑘=0

∫ 1

0

(−1)𝑘𝑡𝑧−1+𝑘

𝑘! d𝑡

=∫ 1

0𝑡𝑧+𝑛

[𝑒−𝑡 − (1 − 𝑡+ 𝑡2/2! + · · · + (−1)𝑛𝑡𝑛/𝑛!)

𝑡𝑛+1

]d𝑡+

𝑛∑𝑘=0

(−1)𝑘

𝑘! (𝑧 + 𝑘) .

Fazendo 𝑛 → ∞, o primeiro termo, que é uma integral, vai para zero porque

𝑒−𝑡 =∞∑

𝑘=0

(−1)𝑘𝑡𝑘

𝑘! ,

sobrando apenas o somatório. Assim,

I1 =∞∑

𝑘=0

(−1)𝑘

𝑘! (𝑧 + 𝑘) .

23

Com isso, podemos escrever a função Γ(𝑧) da forma

Γ(𝑧) =∞∑

𝑘=0

(−1)𝑘

𝑘! (𝑧 + 𝑘) +∫ ∞

1𝑡𝑧−1𝑒−𝑡d𝑡. (2.1.5)

A expressão na equação (2.1.5) é chamada de expansão de Mittag-Leffler da função gama.Através dessa expressão notamos que a função gama é analítica em todos os pontos do planocomplexo exceto nos pontos Z− = {0,−1,−2,−3, · · ·}, que são os polos da função gama. Podemosentão usar essa expressão para determinar Γ(𝑧), com Re(𝑧) < 0 e 𝑧 /∈ Z−.

A seguir, temos a representação gráfica para a função 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝜎 + 𝑖 𝜏) = |Γ(𝜎 + 𝑖 𝜏)|, para−4 < 𝜎 < 4 e −3 < 𝜏 < 3, bem como alguns cortes feitos em alguns valores de 𝜎, conforme asFiguras 2.1, 2.2, 2.3 e 2.4.

Figura 2.1: Função 𝑓(𝜎 + 𝑖 𝜏) = |Γ(𝜎 + 𝑖 𝜏)|.

24

Figura 2.2: Corte da função |Γ(𝜎 + 𝑖 𝜏)| em 𝜎 ∼= −3, 9.

Figura 2.3: Corte da função |Γ(𝜎 + 𝑖 𝜏)| em 𝜎 ∼= −0, 8.

25

Figura 2.4: Corte da função |Γ(𝜎 + 𝑖 𝜏)| em 𝜎 ∼= 3, 3.

A representação gráfica da função gama, no caso particular em que Γ : R ∖ Z− → R, é como nafigura a seguir.

Figura 2.5: Função Γ(𝑧) para −5 < 𝑧 < 5.

Podemos obter a seguinte relação envolvendo a inversa da função gama:

1Γ(𝑧) = 1

2𝜋𝑖 lim𝜏→∞

∫ 𝜎0+𝑖𝜏

𝜎0−𝑖𝜏𝑒𝑠𝑠−𝑧d𝑠, com 𝜎0 > 0, (2.1.6)

onde a integral no membro direito da equação (2.1.6) está bem definida em todo o plano complexo.De fato, por (2.1.2), temos que

Γ(𝑧) = 𝑠𝑧L[𝑡𝑧−1

]⇒ 𝑠−𝑧Γ(𝑧) = L

[𝑡𝑧−1

],

de onde segue que

26

𝑠−𝑧 = 1Γ(𝑧)L

[𝑡𝑧−1

].

Aplicando a transformada de Laplace inversa em ambos os membros da igualdade acima, temos

L −1[𝑠−𝑧

]= L −1

[1

Γ(𝑧)L[𝑡𝑧−1

]],

ou seja,

L −1[𝑠−𝑧

]= 1

Γ(𝑧) 𝑡𝑧−1.

Agora,

L −1[𝑠−𝑧

]= 1

2𝜋𝑖 lim𝜏→∞

∫ 𝜎0+𝑖𝜏

𝜎0−𝑖𝜏𝑒𝑠𝑡𝑠−𝑧d𝑠, com 𝜎0 > 0.

Dessa forma, podemos escrever a seguinte igualdade

12𝜋𝑖 lim

𝜏→∞

∫ 𝜎0+𝑖𝜏

𝜎0−𝑖𝜏𝑒𝑠𝑡𝑠−𝑧d𝑠 = 1

Γ(𝑧) 𝑡𝑧−1.

Como 𝑡 é arbitrário, podemos tomar 𝑡 = 1, obtendo a relação da equação (2.1.6).A função 𝑓(𝑧) = 1

Γ(𝑧) também pode ser obtida pela aproximação de Stirling [17]. Essa apro-ximação é dada por

1Γ(𝑧)

∼=√𝑧

2𝜋𝑒𝑧𝑧−𝑧 = 1√

2𝜋

(𝑒

𝑧

)𝑧

𝑧12 . (2.1.7)

A seguir, o gráfico para a função 𝑓(𝑧) = 1Γ(𝑧) , no caso particular em que 𝑧 ∈ R.

Figura 2.6: Função 1Γ(𝑧) para −4, 5 < 𝑧 < 7.

27

2.1.3 Função gama incompletaA partir da definição da função gama, podemos introduzir as chamadas funções gama incom-

pletas, denotadas por 𝛾(𝛼,𝑤) e Γ(𝛼,𝑤). Essas funções são definidas para 𝛼 ∈ C, com Re(𝛼) > 0,respectivamente, por

𝛾(𝛼,𝑤) =∫ 𝑤

0𝑡𝛼−1𝑒−𝑡d𝑡, (2.1.8)

e

Γ(𝛼,𝑤) =∫ ∞

𝑤𝑡𝛼−1𝑒−𝑡d𝑡, (2.1.9)

Note que, a partir destas duas equações, podemos escrever que

Γ(𝛼) = lim𝑤→∞

𝛾(𝛼,𝑤) = Γ(𝛼, 0) = 𝛾(𝛼,𝑤) + Γ(𝛼,𝑤).

2.2 Função betaA função beta, também conhecida como função de Euler de primeira espécie, é uma função

complexa de duas variáveis complexas, B : D × D → C, onde D ⊂ C. Uma representação integralda função beta B(𝑥, 𝑦) é dada por

B(𝑥, 𝑦) =∫ ∞

0

𝑢𝑥−1

(1 + 𝑢)𝑥+𝑦 d𝑢,

definida para Re(𝑥) > 0 e Re(𝑦) > 0. Fazendo a mudança de variável

𝑡 = 𝑢

1 + 𝑢,

obtemos

B(𝑥, 𝑦) =∫ 1

0𝑡𝑥−1 (1 − 𝑡)𝑦−1 d𝑡, para Re(𝑥), Re(𝑦) > 0. (2.2.1)

Podemos escrever a função beta em termos da função gama, da seguinte forma:

B(𝑥, 𝑦) = Γ(𝑥)Γ(𝑦)Γ(𝑥+ 𝑦) .

Através da relação acima, é fácil ver que vale a relação de simetria B(𝑥, 𝑦) = B(𝑦, 𝑥).No caso particular em que 𝑚,𝑛 ∈ N*, temos que B(𝑚,𝑛) ≤ 1, pois

B(𝑚,𝑛) = Γ(𝑚)Γ(𝑛)Γ(𝑚+ 𝑛) = (𝑚− 1)! (𝑛− 1)!

(𝑚+ 𝑛− 1)! < 1.

A figura a seguir é a representação gráfica da função beta.

28

Figura 2.7: Função B(𝑥, 𝑦) para 0 < 𝑥, 𝑦 < 5.

Note que lim(𝑥,𝑦)→(∞,∞)

B(𝑥, 𝑦) = 0 e lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

B(𝑥, 𝑦) = ∞.

2.3 Função hipergeométricaA função hipergeométrica generalizada, também conhecida como função de Gauss, é definida

pela série

𝑝F𝑞 (𝛼1, 𝛼2, · · · , 𝛼𝑝; 𝛽1, 𝛽2, · · · , 𝛽𝑞; 𝑧) =∞∑

𝑗=0

(𝛼1)𝑗 · · · (𝛼𝑝)𝑗

(𝛽1)𝑗 · · · (𝛽𝑞)𝑗

𝑧𝑗

𝑗! , (2.3.1)

onde (𝛼𝑖)𝑗 e (𝛽𝑙)𝑗, com 𝑖 = 1, ..., 𝑝 e 𝑙 = 1, ..., 𝑞 (𝑝, 𝑞 ∈ N), denotam o símbolo de Pochhammer,que é definido da seguinte forma

(𝛾)𝜈 := Γ (𝛾 + 𝜈)Γ (𝛾) . (2.3.2)

Em (2.3.1), 𝛼𝑖, 𝛽𝑙 ∈ C∖Z−, para 𝑖 = 1, ..., 𝑝 e 𝑙 = 1, ..., 𝑞, além disso, Re(𝛼𝑖) > 0 e Re(𝛽𝑙) > 0.Se 𝑝 ≤ 𝑞, a série 𝑝F𝑞 (𝛼1, 𝛼2, · · · , 𝛼𝑝; 𝛽1, 𝛽2, · · · , 𝛽𝑞; 𝑧) é absolutamente convergente para todos

os valores de 𝑧 ∈ C. Quando 𝑝 = 𝑞 + 1, a série é absolutamente convergente para |𝑧| < 1.Como caso particular dos parâmetros, a partir da função hipergeométrica, no caso em que

𝑝 = 𝑞 = 1, obtemos a função hipergeométrica confluente, também conhecida como função deKummer, dada por

1F1 (𝛼; 𝛽; 𝑧) =∞∑

𝑗=0

(𝛼)𝑗

(𝛽)𝑗

𝑧𝑗

𝑗! . (2.3.3)

Essa série é convergente para todo 𝑧 ∈ C.Se considerarmos, 𝑝 = 𝑞 = 0, então

29

0F0 (𝑧) =∞∑

𝑗=0

𝑧𝑗

𝑗! = 𝑒𝑧 = 1F1 (𝛼;𝛼; 𝑧) ,

onde 1F1 (𝛼;𝛼; 𝑧) é um caso particular da função hipergeométrica confluente 1F1 (𝛼; 𝛽; 𝑧).Por outro lado, se 𝑝 = 1 e 𝑞 = 0, então

1F0 (𝛼; 𝑧) =∞∑

𝑗=0

Γ(𝛼 + 𝑗)Γ(𝛼)

𝑧𝑗

𝑗! .

Utilizando a equação (2.1.1) para escrever Γ(𝛼 + 𝑗), temos que

1F0 (𝛼; 𝑧) = 1Γ(𝛼)

∞∑𝑗=0

∫ ∞

0𝑒−𝑡𝑡𝛼+𝑗−1 𝑧

𝑗

𝑗! d𝑡 = 1Γ(𝛼)

∫ ∞

0𝑒−𝑡𝑡𝛼−1

∞∑𝑗=0

(𝑧𝑡)𝑗

𝑗! d𝑡.

Fazendo a substituição∞∑

𝑗=0

(𝑧𝑡)𝑗

𝑗! d𝑡 = 𝑒𝑧𝑡

na equação acima, temos que

1F0 (𝛼; 𝑧) = 1Γ(𝛼)

∫ ∞

0𝑒−𝑡𝑡𝛼−1𝑒𝑧𝑡d𝑡 = 1

Γ(𝛼)

∫ ∞

0𝑒−𝑡(1−𝑧)𝑡𝛼−1d𝑡.

Com a mudança de variáveis 𝑡(1 − 𝑧) = 𝑢, podemos escrever

1F0 (𝛼; 𝑧) = 1Γ(𝛼)(1 − 𝑧)−𝛼

∫ ∞

0𝑒−𝑢𝑢𝛼−1d𝑢 = Γ(𝛼)

Γ(𝛼)(1 − 𝑧)−𝛼 = (1 − 𝑧)−𝛼.

Logo,

1F0 (𝛼; 𝑧) = (1 − 𝑧)−𝛼, para |𝑧| < 1.

2.3.1 Representação integralA representação integral para a função hipergeométrica confluente 1F1 (𝛼; 𝛽; 𝑧) e para a função

hipergeométrica 2F1 (𝛼1, 𝛼2; 𝛽; 𝑧), pode ser obtida como a seguir.Partindo da definição da função hipergeométrica confluente, temos que

1F1 (𝛼; 𝛽; 𝑧) =∞∑

𝑗=0

(𝛼)𝑗

(𝛽)𝑗

𝑧𝑗

𝑗! =∞∑

𝑗=0

Γ(𝛼 + 𝑗)Γ(𝛽)Γ(𝛼)Γ(𝛽 + 𝑗)

𝑧𝑗

𝑗! .

Fazendo a substituiçãoΓ(𝛼 + 𝑗)Γ(𝛽 + 𝑗) = B(𝛼 + 𝑗, 𝛽 − 𝛼)

Γ(𝛽 − 𝛼) ,

obtemos

30

1F1 (𝛼; 𝛽; 𝑧) = Γ(𝛽)Γ(𝛼)Γ(𝛽 − 𝛼)

∞∑𝑗=0

B(𝛼 + 𝑗, 𝛽 − 𝛼)𝑧𝑗

𝑗!

=⏟ ⏞ (2.2.1)

Γ(𝛽)Γ(𝛼)Γ(𝛽 − 𝛼)

∞∑𝑗=0

∫ 1

0𝑡𝛼+𝑗−1(1 − 𝑡)𝛽−𝛼−1 𝑧

𝑗

𝑗! d𝑡

= Γ(𝛽)Γ(𝛼)Γ(𝛽 − 𝛼)

∫ 1

0𝑡𝛼−1(1 − 𝑡)𝛽−𝛼−1

⎛⎝ ∞∑𝑗=0

(𝑧𝑡)𝑗

𝑗!

⎞⎠ d𝑡

= Γ(𝛽)Γ(𝛼)Γ(𝛽 − 𝛼)

∫ 1

0𝑡𝛼−1(1 − 𝑡)𝛽−𝛼−1𝑒𝑧𝑡d𝑡.

Assim, podemos escrever

1F1 (𝛼; 𝛽; 𝑧) = Γ(𝛽)Γ(𝛼)Γ(𝛽 − 𝛼)

∫ 1

0𝑡𝛼−1(1 − 𝑡)𝛽−𝛼−1𝑒𝑧𝑡d𝑡, (2.3.4)

com Re(𝛽) > Re(𝛼) > 0 e |𝑧| < 1.No próximo capítulo, mais especificamente na Seção 3.4, expressamos as funções de Mittag-

-Leffler através de integrais impróprias e obtemos como caso particular, por meio dessas represen-tações, outra forma integral, uma integral imprópria, para a função hipergeométrica confluente1F1 (𝛼; 𝛽; 𝑡), no caso em que 𝑡 > 0 e 𝛽 > 0.

Para encontrar a representação integral para a função hipergeométrica 2F1 (𝛼1, 𝛼2; 𝛽; 𝑧), assimcomo fizemos para a função hipergeométrica confluente, podemos, a partir da definição da função,escrever

2F1 (𝛼1, 𝛼2; 𝛽; 𝑧) =∞∑

𝑗=0

(𝛼1)𝑗(𝛼2)𝑗

(𝛽)𝑗

𝑧𝑗

𝑗! =∞∑

𝑗=0

Γ(𝛼1 + 𝑗)Γ(𝛼2 + 𝑗)Γ(𝛽)Γ(𝛼1)Γ(𝛼2)Γ(𝛽 + 𝑗)

𝑧𝑗

𝑗! .

Fazendo a substituição

Γ(𝛼2 + 𝑗)Γ(𝛽 + 𝑗) = B(𝛼2 + 𝑗, 𝛽 − 𝛼2)

Γ(𝛽 − 𝛼2),

obtemos

2F1 (𝛼1, 𝛼2; 𝛽; 𝑧) = Γ(𝛽)Γ(𝛼2)Γ(𝛽 − 𝛼2)

∞∑𝑗=0

B(𝛼2 + 𝑗, 𝛽 − 𝛼2)Γ(𝛼1 + 𝑗)

Γ(𝛼1)𝑧𝑗

𝑗!

=⏟ ⏞ (2.2.1)

Γ(𝛽)Γ(𝛼2)Γ(𝛽 − 𝛼2)

∞∑𝑗=0

∫ 1

0𝑡𝛼2+𝑗−1(1 − 𝑡)𝛽−𝛼2−1 Γ(𝛼1 + 𝑗)

Γ(𝛼1)𝑧𝑗

𝑗! d𝑡,

ou seja,

2F1 (𝛼1, 𝛼2; 𝛽; 𝑧) = Γ(𝛽)Γ(𝛼2)Γ(𝛽 − 𝛼2)

∫ 1

0𝑡𝛼2−1(1 − 𝑡)𝛽−𝛼2−1

⎛⎝ ∞∑𝑗=0

Γ(𝛼1 + 𝑗)Γ(𝛼1)

(𝑧𝑡)𝑗

𝑗!

⎞⎠ d𝑡. (2.3.5)

31

Pela equação (2.1.1), podemos reescrever Γ(𝛼1 + 𝑗) no somatório dentro da integral na equação(2.3.5), obtendo

∞∑𝑗=0

Γ(𝛼1 + 𝑗)Γ(𝛼1)

(𝑧𝑡)𝑗

𝑗! = 1Γ(𝛼1)

∞∑𝑗=0

∫ ∞

0𝑒−𝜉𝜉𝛼1+𝑗−1 (𝑧𝑡)𝑗

𝑗! d𝜉

= 1Γ(𝛼1)

∫ ∞

0𝑒−𝜉𝜉𝛼1−1

∞∑𝑗=0

(𝜉𝑧𝑡)𝑗

𝑗! d𝜉

= 1Γ(𝛼1)

∫ ∞

0𝑒−𝜉𝜉𝛼1−1𝑒(𝜉𝑧𝑡)d𝜉

= 1Γ(𝛼1)

∫ ∞

0𝑒−𝜉(1−𝑡𝑧)𝜉𝛼1−1d𝜉.

Introduzindo a mudança de variável 𝑢 = 𝜉(1 − 𝑧𝑡), temos que∞∑

𝑗=0

Γ(𝛼1 + 𝑗)Γ(𝛼1)

(𝑧𝑡)𝑗

𝑗! = (1 − 𝑧𝑡)−𝛼11

Γ(𝛼1)

∫ ∞

0𝑒−𝑢𝑢𝛼1−1d𝑢

= (1 − 𝑧𝑡)−𝛼1Γ(𝛼1)Γ(𝛼1)

= (1 − 𝑧𝑡)−𝛼1 .

Assim, podemos reescrever a equação (2.3.5) da forma

2F1 (𝛼1, 𝛼2; 𝛽; 𝑧) = Γ(𝛽)Γ(𝛼2)Γ(𝛽 − 𝛼2)

∫ 1

0𝑡𝛼2−1(1 − 𝑡)𝛽−𝛼2−1(1 − 𝑧𝑡)−𝛼1d𝑡, (2.3.6)

com Re(𝛽) > Re(𝛼2) > 0 e |arg(1 − 𝑧)| ≤ 𝜋 − 𝜖, com 0 < 𝜖 < 𝜋.

2.3.2 Relação com a função gama incompletaPodemos relacionar a função hipergeométrica confluente 1F1 (𝛼; 𝛽; 𝑧) com a função gama in-

completa, no caso particular em que 𝛽 = 𝛼 + 1. Temos que

1F1 (𝛼;𝛼 + 1; −𝑧) =⏟ ⏞ (2.3.4)

Γ(𝛼 + 1)Γ(𝛼)Γ(1)

∫ 1

0𝑡𝛼−1𝑒−𝑧𝑡d𝑡 = 𝛼

∫ 1

0𝑡𝛼−1𝑒−𝑧𝑡d𝑡.

Fazendo a mudança de variável 𝑧𝑡 = 𝑢, podemos escrever

1F1 (𝛼;𝛼 + 1; −𝑧) = 𝛼𝑧−𝛼∫ 𝑧

0𝑢𝛼−1𝑒−𝑢d𝑢 =⏟ ⏞

(2.1.8)

𝛼𝑧−𝛼𝛾(𝛼, 𝑧),

de onde segue que

𝛾(𝛼, 𝑧) = 𝑧𝛼(𝛼)−11F1 (𝛼;𝛼 + 1; −𝑧) . (2.3.7)

32

Capítulo 3

Funções de Mittag-Leffler

Neste capítulo, apresentamos a função de Mittag-Leffler de um parâmetro [42], introduzida em1903, bem como as funções de Mittag-Leffler com dois e três parâmetros. Apresentamos ainda suatransformada de Laplace, sua representação integral via transformada de Laplace inversa sem umcontorno de integração no caso de funções de Mittag-Leffler reais, bem como sua relação com afunção hipergeométrica confluente.

A função com dois parâmetros [59] foi introduzida em 1905. Em 1971, Prabhakar [48] introduziua função de três parâmetros. Atualmente existem estudos sobre as funções de Mittag-Leffler com𝑛 parâmetros. As funções de Mittag-Leffler são generalizações da função exponencial.

3.1 Função de Mittag-Leffler de um parâmetroA função de Mittag-Leffler de um parâmetro E𝛼 : C −→ C, é uma função complexa de uma

variável complexa, e parâmetro complexo 𝛼. Essa função foi introduzida em 1903, pelo matemáticosueco Gösta Mittag-Leffler [42]. Ela é definida da forma

E𝛼(𝑧) =∞∑

𝑗=0

𝑧𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 1) , com Re(𝛼) > 0. (3.1.1)

Pela Definição 1.6, a função E𝛼(𝑧) é uma função inteira, pois é analítica em todo o planocomplexo e não tem singularidades.

Definição 3.1 (Ordem de uma função inteira). Uma função inteira não constante é de ordemfinita 𝜌 = inf {𝜆}, se

|𝑓(𝑧)| ≤ 𝑒|𝑧|𝜆 , para todo |𝑧| > 𝑟 > 0.

A função de Mittag-Leffler de um parâmetro é tal que

|E𝛼(𝑧)| ≤ 𝑒|𝑧|1

Re(𝛼),

para todo |𝑧| > 𝑟 > 0. Logo, é de ordem 𝜌 = 1Re(𝛼) .

33

Definição 3.2 (Tipo de uma função inteira). Uma função inteira, não constante, de ordem finita𝜌, é de tipo finito 𝜎 = inf {𝑏} > 0, se 𝑏 satisfaz

|𝑓(𝑧)| ≤ 𝑒𝑏|𝑧|𝜌 , para todo |𝑧| > 𝑟 > 0, com 𝑏 < ∞.

Se 𝑓(𝑧) não satisfaz a desigualdade para todo 𝑏 finito, então a função é dita de tipo máximo oude tipo infinito (𝜎 = 0). Uma função inteira, de ordem 1 e tipo finito é uma função de ordemexponencial.

Pela Definição 3.2, a função de Mittag-Leffler de um parâmetro é de tipo 𝜎 = 1.Por exemplo, a função E1(𝑧) = 𝑒𝑧 é de ordem 𝜌 = 1 e tipo 𝜎 = 1, enquanto que a função

𝑓(𝑧) = 1Γ(𝑧) é de ordem 𝜌 = 1 e tipo máximo.

A fórmula de duplicação [5] expressa uma função de Mittag-Leffler de parâmetro 2𝛼 em funçãodas funções de Mittag-Leffler de parâmetro 𝛼, da forma

E2𝛼(𝑧) = 12{E𝛼

(𝑧

12)

+ E𝛼

[−(𝑧

12)]}

. (3.1.2)

Podemos representar a função de Mittag-Leffler através de uma integral, no caso em que 𝛼 = 1𝑘

,com 𝑘 ∈ N∖{0, 1}.

Começamos com a representação integral da função E 1𝑘(𝑧), no caso em que 𝑘 ∈ N∖{0, 1}. Pela

equação (3.1.1), temos que

E𝛼(𝑧) =∞∑

𝑗=0

𝑧𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 1) .

Derivando ambos os membros da equação acima, temos

dd𝑧 [E𝛼(𝑧)] =

∞∑𝑗=0

𝑗𝑧𝑗−1

Γ (𝛼𝑗 + 1) =∞∑

𝑗=1

𝑗𝑧𝑗−1

Γ (𝛼𝑗 + 1) =

={

𝑧0

Γ (𝛼 + 1) + 2𝑧1

Γ (2𝛼 + 1) + · · · + (𝑘 − 1) 𝑧𝑘−2

Γ [(𝑘 − 1)𝛼 + 1] + 𝑘𝑧𝑘−1

Γ (𝑘𝛼 + 1) + (𝑘 + 1) 𝑧𝑘

Γ [(𝑘 + 1)𝛼 + 1] + · · ·}

Da relação em (2.1.3), temos que Γ (𝑘𝛼+ 1) = (𝑘𝛼) Γ (𝑘𝛼). Assim,


{𝑧0

𝛼Γ (𝛼) + 2𝑧1

2𝛼Γ (2𝛼) + · · · + (𝑘 − 1) 𝑧𝑘−2

(𝑘 − 1)𝛼Γ [(𝑘 − 1)𝛼] +

+ 𝑘𝑧𝑘−1

𝑘𝛼Γ (𝑘𝛼) + (𝑘 + 1) 𝑧𝑘

(𝑘 + 1)𝛼Γ [(𝑘 + 1)𝛼] + · · ·}

=

={

𝑧0

𝛼Γ (𝛼) + 𝑧1

𝛼Γ (2𝛼) + · · · + 𝑧𝑘−2

𝛼Γ [(𝑘 − 1)𝛼] + 𝑧𝑘−1

𝛼Γ (𝑘𝛼) + 𝑧𝑘

𝛼Γ [(𝑘 + 1)𝛼] + · · ·}

34

={

1𝛼

[𝑧0

Γ (𝛼) + 𝑧1

Γ (2𝛼) + · · · + 𝑧𝑘−2

Γ [(𝑘 − 1)𝛼]

]+ 𝑧𝑘−1

𝛼

[1

Γ (𝑘𝛼) + 𝑧1

Γ [(𝑘 + 1)𝛼] + · · ·]}

=

⎧⎨⎩⎡⎣ 1𝛼

𝑘−1∑𝜇=1

𝑧𝜇−1

Γ (𝜇𝛼)

⎤⎦+[𝑧𝑘−1

𝛼

(1

Γ (𝑘𝛼) + 𝑧1

Γ [(𝑘 + 1)𝛼] + · · ·)]⎫⎬⎭ .



⎧⎨⎩⎡⎣ 1𝛼

𝑘−1∑𝜇=1

𝑧𝜇−1

Γ (𝜇𝛼)

⎤⎦+[𝑧𝑘−1

𝛼

(1

Γ (𝑘𝛼) + 𝑧1

Γ [(𝑘 + 1)𝛼] + · · ·)]⎫⎬⎭ .

Considerando agora 𝛼 = 1𝑘

, obtemos

dd𝑧[E 1

𝑘(𝑧)]

=

⎧⎨⎩⎡⎣𝑘 𝑘−1∑

𝜇=1

𝑧𝜇−1

Γ (𝜇/𝑘)

⎤⎦+⎡⎣𝑘𝑧𝑘−1

⎛⎝ 1Γ (1) + 𝑧1

Γ(1 +

(1𝑘

)) + · · ·

⎞⎠⎤⎦⎫⎬⎭

=⎡⎣𝑘 𝑘−1∑

𝜇=1

𝑧𝜇−1

Γ (𝜇/𝑘)

⎤⎦+ 𝑘𝑧𝑘−1E 1𝑘(𝑧).

Assim, temos que

dd𝑧[E 1

𝑘(𝑧)]

= 𝑘𝑧𝑘−1E 1𝑘(𝑧) + 𝑘

𝑘−1∑𝜇=1

𝑧𝜇−1

Γ (𝜇/𝑘) . (3.1.3)

Como E 1𝑘(0) = 1, podemos escrever o problema de valor inicial

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩dd𝑧[E 1

𝑘(𝑧)]

= 𝑘𝑧𝑘−1E 1𝑘(𝑧) + 𝑘

𝑘−1∑𝜇=1

𝑧𝜇−1

Γ (𝜇/𝑘)E 1

𝑘(0) = 1

Multiplicando a equação (3.1.3) por 𝑒−(𝑧𝑘), temos

𝑒−(𝑧𝑘) dd𝑧[E 1

𝑘(𝑧)]

= 𝑘𝑧𝑘−1𝑒−(𝑧𝑘)E 1𝑘(𝑧) + 𝑘𝑒−(𝑧𝑘)

𝑘−1∑𝜇=1

𝑧𝜇−1

Γ (𝜇/𝑘) ⇒

𝑒−(𝑧𝑘) dd𝑧[E 1

𝑘(𝑧)]

− 𝑘𝑧𝑘−1𝑒−(𝑧𝑘)E 1𝑘(𝑧) = 𝑘𝑒−(𝑧𝑘)

𝑘−1∑𝜇=1

𝑧𝜇−1

Γ (𝜇/𝑘) ⇒

dd𝑧

[𝑒−(𝑧𝑘)E 1

𝑘(𝑧)]

= 𝑘𝑒−(𝑧𝑘)𝑘−1∑𝜇=1

𝑧𝜇−1

Γ (𝜇/𝑘) ⇒

35

𝑒−(𝑧𝑘)E 1𝑘(𝑧) =

⎡⎣∫ 𝑧

0𝑘𝑒−(𝜖𝑘)

𝑘−1∑𝜇=1

𝜖𝜇−1

Γ (𝜇/𝑘) d𝜖⎤⎦+ 𝑐,

onde 𝑐 é uma constante.Finalmente, aplicando a condição E 1

𝑘(0) = 1 na equação acima, encontramos 𝑐 = 1, de onde

segue

E 1𝑘(𝑧) = 𝑒𝑧𝑘 + 𝑒𝑧𝑘

⎡⎣∫ 𝑧

0𝑘𝑒−(𝜖𝑘)

𝑘−1∑𝜇=1

𝜖𝜇−1

Γ (𝜇/𝑘) d𝜖⎤⎦ . (3.1.4)

Por outro lado, se o parâmetro 𝛼 da função de Mittag-Leffler for racional, ou seja 𝛼 = ℎ

𝑘, com

ℎ, 𝑘 ∈ N e primos entre si, então a função de Mittag-Leffler neste parâmetro possui a representação

Eℎ𝑘(𝑧) = 1

ℎ

ℎ−1∑𝜇=0

E 1𝑘

(𝑧

1ℎ 𝑒

2𝜇𝜋𝑖ℎ

), (3.1.5)

cuja demonstração pode ser encontrada em [17, 59].Usando a fórmula de duplicação (3.1.2) e a representação (3.1.5), mencionamos a seguir alguns

casos particulares de interesse, onde representamos as funções de Mittag-Leffler em função deoutras funções.

∙ Função E2(𝑧):

E2(𝑧) = 12{E1(𝑧

12)

+ E1[−(𝑧

12)]}

= 𝑒√

𝑧 + 𝑒−√

𝑧

2 = cosh(√𝑧).

A seguir, o gráfico das funções E1.9(𝑧), E2(𝑧) e E2.1(𝑧).

Figura 3.1: Função E𝛼(𝑧), para 𝛼 = 1, 9; 2 e 2, 1.

36


E3(𝑧) = 13

[𝑒𝑧

13 + 2𝑒−( 1

2 𝑧13 ) cos

(12

√3𝑧 1

3

)].

De fato, pela fórmula de duplicação, podemos escrever

E3(𝑧) = 12{E 3

2

(𝑧

12)

+ E 32

[−(𝑧

12)]}

.

Fazendo ℎ = 3 e 𝑘 = 2 na equação (3.1.5), podemos escrever

E 32(𝑧 1

2 ) = 13

3−1∑𝜇=0

E 12

[(𝑧 1

2 ) 13 𝑒

2𝜇𝜋𝑖3]

= 13

2∑𝜇=0

E 12

(𝑧

16 𝑒

2𝜇𝜋𝑖3)

= 13[E 1

2

(𝑧

16)

+ E 12

(𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

+ E 12

(𝑧

16 𝑒

4𝜋𝑖3)]

.

Por outro lado,

E 32(−𝑧 1

2 ) = 13

3−1∑𝜇=0

E 12

[−(𝑧 1

2 ) 13 𝑒

2𝜇𝜋𝑖3]

= 13

2∑𝜇=0

E 12

(−𝑧

16 𝑒

2𝜇𝜋𝑖3)

= 13[E 1

2

(−𝑧

16)

+ E 12

(−𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

+ E 12

(−𝑧

16 𝑒

4𝜋𝑖3)]

.


E3(𝑧) = 16[E 1

2

(𝑧

16)

+ E 12

(𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

+ E 12

(𝑧

16 𝑒

4𝜋𝑖3)

+ E 12

(−𝑧

16)

+ E 12

(−𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

+

+ E 12

(−𝑧 1

6 𝑒4𝜋𝑖

3)]

= 13

{12[E 1

2

(𝑧

16)

+ E 12

(−𝑧

16)]}

+ 16[E 1

2

(𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

+ E 12

(−𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

+

+ E 12

(𝑧

16 𝑒

4𝜋𝑖3)

+ E 12

(−𝑧 1

6 𝑒4𝜋𝑖

3)]

= 13 E1

(𝑧

13)

+ 16[E 1

2

(𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

+ E 12

(−𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

+ E 12

(𝑧

16 𝑒

4𝜋𝑖3)

+ E 12

(−𝑧

16 𝑒

4𝜋𝑖3)]

= 13 𝑒

𝑧13 + 1

6[E 1

2

(𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

+ E 12

(−𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

+ E 12

(𝑧

16 𝑒

4𝜋𝑖3)

+ E 12

(−𝑧

16 𝑒

4𝜋𝑖3)]

.

37

Fazendo 𝑘 = 2 na equação (3.1.4), temos

E 12

(𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

= 𝑒

(𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)2

+ 𝑒

(𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)2 ⎛⎝∫

(𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

02𝑒−(𝜖2)

2−1∑𝜇=1

𝜖𝜇−1

Γ (𝜇/2) d𝜖⎞⎠

= 𝑒

(𝑧

13 𝑒

4𝜋𝑖3)

+ 𝑒

(𝑧

13 𝑒

4𝜋𝑖3) ⎛⎝∫

(𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

02𝑒−(𝜖2)

1∑𝜇=1

𝜖𝜇−1

Γ (𝜇/2) d𝜖⎞⎠

= 𝑒

(𝑧

13 𝑒

4𝜋𝑖3)

+ 𝑒

(𝑧

13 𝑒

4𝜋𝑖3) ⎛⎝∫

(𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

0

2𝑒−(𝜖2)

Γ(

12

) d𝜖⎞⎠ .

Analogamente, segue

E 12

(−𝑧 1

6 𝑒2𝜋𝑖

3)

= 𝑒

(𝑧

13 𝑒

4𝜋𝑖3)

+ 𝑒

(𝑧

13 𝑒

4𝜋𝑖3) ⎛⎝∫

(−𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

0

2𝑒−(𝜖2)

Γ(

12

) d𝜖⎞⎠

= 𝑒

(𝑧

13 𝑒

4𝜋𝑖3)

− 𝑒

(𝑧

13 𝑒

4𝜋𝑖3) ⎛⎝∫

(𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

0

2𝑒−(𝜖2)

Γ(

12

) d𝜖⎞⎠ .

Além disso,

E 12

(𝑧

16 𝑒

4𝜋𝑖3)

= 𝑒

(𝑧

13 𝑒

8𝜋𝑖3)

+ 𝑒

(𝑧

13 𝑒

8𝜋𝑖3) ⎛⎝∫

(𝑧

16 𝑒

4𝜋𝑖3)

0

2𝑒−(𝜖2)

Γ(

12

) d𝜖⎞⎠

e

E 12

(−𝑧 1

6 𝑒4𝜋𝑖

3)

= 𝑒

(𝑧

13 𝑒

8𝜋𝑖3)

− 𝑒

(𝑧

13 𝑒

8𝜋𝑖3) ⎛⎝∫

(𝑧

16 𝑒

4𝜋𝑖3)

0

2𝑒−(𝜖2)

Γ(

12

) d𝜖⎞⎠ .

Assim, obtemos

E3(𝑧) = 13𝑒

𝑧13 + 1

6[E 1

2

(𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

+ E 12

(−𝑧

16 𝑒

2𝜋𝑖3)

+ E 12

(𝑧

16 𝑒

4𝜋𝑖3)

+ E 12

(−𝑧

16 𝑒

4𝜋𝑖3)].

= 13𝑒

𝑧13 + 1

6

[2𝑒(

𝑧13 𝑒

8𝜋𝑖3)

+ 2𝑒(

𝑧13 𝑒

4𝜋𝑖3)].

Da fórmula de Euler1, segue que

𝑒4𝜋𝑖

3 = cos(4𝜋

3

)+ 𝑖 sen

(4𝜋3

)= −1

2 − 𝑖

√3

2 e

1Fórmula de Euler: 𝑒𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sen 𝑥.

38

𝑒8𝜋𝑖

3 = cos(8𝜋

3

)+ 𝑖 sen

(8𝜋3

)= −1

2 + 𝑖

√3

2 .


E3(𝑧) = 13𝑒

𝑧13 + 1

6

[2𝑒(

(𝑧13 )(− 1

2 −𝑖√

32 ))

+ 2𝑒(

(𝑧13 )(− 1

2 +𝑖√

32 ))]

= 13𝑒

𝑧13 + 1

6

[2𝑒(

− 12 𝑧

13 −𝑖

√3

2 𝑧13)

+ 2𝑒(

− 12 𝑧

13 +𝑖

√3

2 𝑧13)]

= 13𝑒

𝑧13 + 1

6

[2𝑒(

− 12 𝑧

13)𝑒

(−𝑖

√3

2 𝑧13)

+ 2𝑒(

− 12 𝑧

13)𝑒

(𝑖

√3

2 𝑧13)]

= 13𝑒

𝑧13 + 1

6

{2𝑒(

− 12 𝑧

13) [𝑒

(−𝑖

√3

2 𝑧13)

+ 𝑒

(𝑖

√3

2 𝑧13)]}

= 13𝑒

𝑧13 + 1

6

[2𝑒(

− 12 𝑧

13)2 cos

(12

√3𝑧 1

3

)].

A seguir, o gráfico das funções E2.9(𝑧), E3(𝑧) e E3.1(𝑧).



E4(𝑧) = 12{E2(𝑧

12)

+ E2[−(𝑧

12)]}

= 12[cosh

(𝑧

14)

+ cos(𝑧

14)].

Na figura a seguir, temos o gráfico das funções E3.9(𝑧), E4(𝑧) e E4.1(𝑧).

39


De acordo com Pollard [47], a função de Mittag-Leffler de um parâmetro definida por

𝑥 → E𝛼(−𝑥), 𝑥 ∈ R+,

é completamente monotônica para 𝛼 ∈ (0, 1], isto é,

(−1)𝑛D𝑛 [E𝛼(−𝑥)] ≥ 0, para todo 𝑛 = 0, 1, 2, ...

Funções completamente monotônicas são muito utilizadas em análise numérica, teoria de pro-babilidade [22], entre outras áreas [29].

A seguir o gráfico da função completamente monotônica E0,7(−𝑥), para 0 ≤ 𝑥 ≤ 10.

Figura 3.4: Função E0,7(−𝑥).

Por outro lado, se considerarmos 𝛼 = 1, 1, a função de Mittag-Leffler E1,1(−𝑥) não é monotô-nica. Segue abaixo o gráfico para essa função e para a função (−1)𝑛D𝑛 [E1,1(−𝑥)], no caso particular

40

em que 𝑛 = 1, onde podemos observar que existem valores de 𝑥 para os quais (−1)1D1 [E1,1(−𝑥)] <0, o que comprova que a função E1,1(−𝑥) não é monotônica.

Figura 3.5: Função E1,1(−𝑥).

Recentemente encontramos muitos trabalhos que estudam a monotonicidade de funções obtidasem termos das funções de Mittag-Leffler [11, 12, 41].

A função de Mittag-Leffler𝑥 → E𝛼(−𝑥𝛼), 𝑥 ∈ R+,

também é completamente monotônica para 𝛼 ∈ (0, 1]. Mainardi [38] em seu recente trabalho,discute propriedades dessa função, que aparece como solução de uma particular equação diferencialfracionária [23].

3.2 Função de Mittag-Leffler generalizadaUma função de Mittag-Leffler generalizada é aquela que apresenta mais de um parâmetro.

Em 1905, Wiman [59] introduziu a função de Mittag-Leffler de dois parâmetros E𝛼,𝛽(𝑧), que éuma generalização da função E𝛼(𝑧), conhecida como função de Wiman. Em 1971, Prabhakar [48]introduziu a função de três parâmetros E𝛾

𝛼,𝛽(𝑧). Atualmente existem estudos sobre as funções deMittag-Leffler com quatro ou mais parâmetros [57].

3.2.1 Função de Mittag-Leffler de dois parâmetrosA função de Mittag-Leffler de dois parâmetros E𝛼,𝛽 : C −→ C, é uma função complexa de uma

variável complexa e parâmetros complexos 𝛼 e 𝛽.

E𝛼,𝛽(𝑧) =∞∑

𝑗=0

𝑧𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 𝛽) , com Re(𝛼), Re(𝛽) > 0. (3.2.1)

A função de Mittag-Leffler de dois parâmetros é uma função inteira, de ordem 𝜌 = 1Re(𝛼) e

tipo 𝜎 = 1.Em particular, tomando 𝛽 = 1 na equação (3.2.1), temos que E𝛼,1(𝑧) = E𝛼(𝑧).

41

Segue abaixo o gráfico para as funções E3,2(𝑧) e E2.9,1.9(𝑧), no caso em que −10.000 < 𝑧 < 2.000.

Figura 3.6: Função E𝛼,𝛽(𝑧).

Schneider [54] mostrou que a função

𝑥 → E𝛼,𝛽(−𝑥), 𝑥 ∈ R+,

é completamente monotônica para 𝛼 ∈ (0, 1] e 𝛽 ≥ 𝛼, isto é,

(−1)𝑛D𝑛 [E𝛼,𝛽(−𝑥)] ≥ 0, para todo 𝑛 = 0, 1, 2, ...

3.2.2 Função de Mittag-Leffler de três parâmetrosA função de Mittag-Leffler de três parâmetros E𝛾

𝛼,𝛽 : C −→ C, é uma função complexa de umavariável complexa e parâmetros complexos 𝛼, 𝛽 e 𝛾. Essa função foi introduzida por Prabhakar[48] e é definida da forma

E𝛾𝛼,𝛽(𝑧) =

∞∑𝑗=0

(𝛾)𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 𝛽)𝑧𝑗

𝑗! , (3.2.2)

com Re(𝛼), Re(𝛽), Re(𝛾) > 0 e (𝛾)𝑗 denota o símbolo de Pochhammer (2.3.2).A função E𝛾

𝛼,𝛽(𝑧), assim como as funções E𝛼,𝛽(𝑧) e E𝛼(𝑧), também é uma função inteira de

ordem 𝜌 = 1Re(𝛼) .

Substituindo o símbolo de Pochhammer (2.3.2) na função de Mittag-Leffler de três parâmetros,podemos escrever

42


∞∑𝑗=0

(𝛾)𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 𝛽)𝑧𝑗

𝑗! =∞∑

𝑗=0

𝑧𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 𝛽)Γ (𝛾 + 𝑗)

Γ (𝛾) Γ (𝑗 + 1) .

Note que E1𝛼,𝛽(𝑧) = E𝛼,𝛽(𝑧).

O comportamento assintótico da função E𝛾𝛼,𝛽(𝑧) pode ser obtido através da fórmula em [53],

dada por

E𝛾𝛼,𝛽(𝑧) = (−𝑧)𝛾

Γ (𝛾)

∞∑𝑗=0

Γ (𝛾 + 𝑗)Γ (𝛽 − 𝛼(𝛾 + 𝑗))

(−𝑧)−𝑗

𝑗! , para |𝑧| > 1. (3.2.3)

3.3 Relações envolvendo as funções de Mittag-LefflerNesta seção expressamos a função de Mittag-Leffler de três parâmetros em termos da função

de Mittag-Leffler de dois parâmetros, e a partir disso, expressamos a função de dois parâmetrosem termos da função de um parâmetro. Temos que

E𝛾𝛼,𝛽(𝑧) = 1

Γ (𝛾)

∞∑𝑗=0

𝑧𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 𝛽)Γ (𝛾 + 𝑗)Γ (𝑗 + 1) .

Fazendo a substituição

Γ (𝛾 + 𝑗)Γ (𝑗 + 1) = 1

Γ (1 − 𝛾)B(𝑗 + 𝛾, 1 − 𝛾),

temos


Γ (𝛾)1

Γ (1 − 𝛾)

∞∑𝑗=0

𝑧𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 𝛽)B(𝑗 + 𝛾, 1 − 𝛾).

Por (2.2.1),

B(𝑗 + 𝛾, 1 − 𝛾) =∫ 1

0𝑡𝑗+𝛾−1 (1 − 𝑡)−𝛾 d𝑡,

ou seja,


Γ (𝛾)1

Γ (1 − 𝛾)

∞∑𝑗=0

𝑧𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 𝛽)

∫ 1

0𝑡𝑗+𝛾−1 (1 − 𝑡)−𝛾 d𝑡

= 1Γ (𝛾)

1Γ (1 − 𝛾)

∫ 1

0𝑡𝛾−1 (1 − 𝑡)−𝛾

∞∑𝑗=0

(𝑧𝑡)𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 𝛽) d𝑡

= 1Γ (𝛾)

1Γ (1 − 𝛾)

∫ 1

0𝑡𝛾−1 (1 − 𝑡)−𝛾E𝛼,𝛽(𝑧𝑡) d𝑡.

43

Usando a igualdade em (2.1.4), obtemos a expressão

E𝛾𝛼,𝛽(𝑧) = sen (𝜋𝛾)

𝜋

∫ 1

0𝑡𝛾−1 (1 − 𝑡)−𝛾E𝛼,𝛽(𝑧𝑡)d𝑡, para 0 < Re(𝛾) < 1. (3.3.1)

A relação na equação (3.3.1) é válida apenas para 0 < Re(𝛾) < 1, isso acontece porque emΓ (1 − 𝛾) devemos ter Re(1 − 𝛾) > 0 ⇒ Re(𝛾) < 1. Em Γ (𝛾), devemos ter Re(𝛾) > 0. Logo,0 < Re(𝛾) < 1.

Ressaltando que, em [56] encontramos a expressão (3.3.1), obtida de forma diferente, onde foinecessário o uso de derivadas fracionárias. Além disso, no artigo existe um erro, no lugar de 𝛾 queaparece no denominador da fração, é 𝜋.

Para expressar a função de três parâmetros em termos da função de dois parâmetros, paraRe(𝛾) ≥ 1, escrevemos


∞∑𝑗=0

𝑧𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 𝛽)Γ (𝛾 + 𝑗)

Γ (𝛾) Γ (𝑗 + 1)

=∞∑

𝑗=0

𝑧𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 1)Γ (𝛾 + 𝑗)

Γ (𝛾) Γ (𝑗 + 1)Γ (𝛼𝑗 + 1)Γ (𝛼𝑗 + 𝛽) .

Agora,

Γ (𝛼𝑗 + 1)Γ (𝛼𝑗 + 𝛽) = 1

Γ (𝛽 − 1)B(𝛼𝑗 + 1, 𝛽 − 1) = 1Γ (𝛽 − 1)

∫ 1

0𝑡𝛼𝑗 (1 − 𝑡)𝛽−2d𝑡.

Assim,


∞∑𝑗=0

𝑧𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 1)Γ (𝛾 + 𝑗)

Γ (𝛾) Γ (𝑗 + 1)1

Γ (𝛽 − 1)

∫ 1

0𝑡𝛼𝑗 (1 − 𝑡)𝛽−2d𝑡

= 1Γ (𝛽 − 1)

∫ 1

0(1 − 𝑡)𝛽−2

∞∑𝑗=0

(𝑧𝑡𝛼)𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 1)Γ (𝛾 + 𝑗)

Γ (𝛾) Γ (𝑗 + 1) d𝑡

= 1Γ (𝛽 − 1)

∫ 1

0(1 − 𝑡)𝛽−2 E𝛾

𝛼,1(𝑧𝑡𝛼) d𝑡.

Logo, obtemos


Γ (𝛽 − 1)

∫ 1

0(1 − 𝑡)𝛽−2 E𝛾

𝛼,1(𝑧𝑡𝛼) d𝑡, para Re(𝛽) > 1. (3.3.2)

A partir das equações (3.3.1) e (3.3.2), podemos escrever


⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩sin (𝜋𝛾)

𝜋

∫ 1

0𝑡𝛾−1 (1 − 𝑡)−𝛾E𝛼,𝛽(𝑧𝑡) d𝑡, se 0 < Re(𝛾) < 1,

1Γ (𝛽 − 1)

∫ 1

0(1 − 𝑡)𝛽−2 E𝛾

𝛼,1(𝑧𝑡𝛼) d𝑡, se Re(𝛾) ≥ 1 e Re(𝛽) > 1.

44

Utilizando as expressões obtidas, podemos considerar alguns casos particulares.Fazendo 𝛾 = 1 em (3.3.2), obtemos a função de Mittag-Leffler de dois parâmetros em termos

da função de Mittag-Leffler de um parâmetro,

E𝛼,𝛽(𝑧) = 1Γ (𝛽 − 1)

∫ 1

0(1 − 𝑡)𝛽−2 E𝛼(𝑧𝑡𝛼)d𝑡, se Re(𝛽) > 1. (3.3.3)

Em (3.3.3), se em particular 𝛽 = 2, então

E𝛼,2(𝑧) = 1Γ(1)

∫ 1

0(1 − 𝑡)2−2 E𝛼 (𝑧𝑡𝛼) d𝑡 =

∫ 1

0E𝛼 (𝑧𝑡𝛼) d𝑡.

Fazendo agora 𝛼 = 2,

E2,2(𝑧) =∫ 1

0E2(𝑧𝑡2)d𝑡 =

∫ 1

0cosh

√(𝑧𝑡2) d𝑡 =

∫ 1

0cosh(𝑡

√𝑧) d𝑡 = sinh

√𝑧√

𝑧.

Se 𝛽 = 3 em (3.3.3), então

E𝛼,3(𝑧) = 1Γ(2)

∫ 1

0(1 − 𝑡)3−2 E𝛼 (𝑧𝑡𝛼) d𝑡 =

∫ 1

0(1 − 𝑡) E𝛼 (𝑧𝑡𝛼) d𝑡 =

=∫ 1

0E𝛼 (𝑧𝑡𝛼) d𝑡−

∫ 1

0𝑡E𝛼 (𝑧𝑡𝛼) d𝑡.

Substituindo a primeira integral por E𝛼,2(𝑧) e fazendo a mudança de variável

𝑡2

2 = 𝑢

na segunda integral, temos

E𝛼,3(𝑧) = E𝛼,2(𝑧) −∫ 1

2

0E𝛼

(𝑧 (2𝑢)𝛼

2)

d𝑢.

Fazendo 𝛼 = 2 na expressão anterior, temos

E2,3(𝑧) = E2,2(𝑧) −∫ 1

2

0E2(𝑧 (2𝑢) 2

2)

d𝑢 = E2,2(𝑧) −∫ 1

2

0E2 (2𝑧𝑢) d𝑢 =

= sinh√𝑧√

𝑧−∫ 1

2

0cosh

√(2𝑧𝑢) d𝑢 = 1

𝑧

(cosh

√𝑧 − 1

).

Podemos relacionar a função de Mittag-Leffler E𝛾𝛼,𝛽(𝑧) com a função hipergeométrica confluente

1F1 (𝛾; 𝛽; 𝑧), e com isso, relacionarmos também com a função gama incompleta. De fato, temosque

1F1 (𝛾; 𝛽; 𝑧) = Γ(𝛽)∞∑

𝑗=0

(𝛾)𝑗

Γ (𝛽 + 𝑗)𝑧𝑗

𝑗! = Γ(𝛽) E𝛾1,𝛽(𝑧).

45

Assim, obtemos

E𝛾1,𝛽(𝑧) = 1

Γ(𝛽) 1F1 (𝛾; 𝛽; 𝑧) . (3.3.4)

Trocando 𝑧 por −𝑧, fazendo 𝛾 = 𝛽 − 1 em (3.3.4) e usando (2.3.7), temos que

E𝛽−11,𝛽 (−𝑧) = 1

Γ(𝛽) 1F1 (𝛽 − 1; 𝛽; −𝑧) = (𝛽 − 1)Γ(𝛽) 𝑧1−𝛽 𝛾(𝛽 − 1, 𝑧).


E𝛽−11,𝛽 (−𝑧) = 𝑧1−𝛽

Γ(𝛽 − 1) 𝛾(𝛽 − 1, 𝑧). (3.3.5)

Pela equação (3.3.2), temos que

E𝛽−11,𝛽 (−𝑧) = 1

Γ (𝛽 − 1)

∫ 1

0(1 − 𝑡)𝛽−2 E𝛽−1

1,1 (−𝑧𝑡) d𝑡 = 𝑧1−𝛽

Γ(𝛽 − 1) 𝛾(𝛽 − 1, 𝑧),

ou seja,

𝑧1−𝛽 𝛾(𝛽 − 1, 𝑧) =∫ 1

0(1 − 𝑡)𝛽−2 E𝛽−1

1,1 (−𝑧𝑡) d𝑡, para Re(𝛽) > 1. (3.3.6)

Em particular, fazendo 𝛾 = 1 em (3.3.4), obtemos

E1,𝛽(𝑧) = 1Γ(𝛽) 1F1 (1; 𝛽; 𝑧) , com Re(𝛽) > 0. (3.3.7)

3.4 Transformada de Laplace das funções de Mittag-LefflerNesta seção, vamos determinar a transformada de Laplace envolvendo as funções de Mittag-

-Leffler, que aparecem como solução particular de algumas equações diferenciais fracionárias,quando utilizamos a metodologia de transformadas integrais para resolvê-las. Começamos o cálculoa partir da função de três parâmetros


∞∑𝑗=0

𝑧𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 𝛽)Γ (𝛾 + 𝑗)

Γ (𝛾) Γ (𝑗 + 1) .

Considere 𝑘 ∈ C e 𝑡 ≥ 0, temos que

E𝛾𝛼,𝛽(𝑘𝑡𝛼) =

∞∑𝑗=0

(𝑘)𝑗 𝑡𝛼𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 𝛽)Γ (𝛾 + 𝑗)

Γ (𝛾) Γ (𝑗 + 1) .

Por (2.1.2), podemos escrever

1Γ (𝛼𝑗 + 𝛽) = 𝑡1−𝛼𝑗−𝛽L −1

[𝑠−𝛼𝑗−𝛽

],

46

assim,

E𝛾𝛼,𝛽(𝑘𝑡𝛼) =

∞∑𝑗=0

(𝑘)𝑗 𝑡𝛼𝑗𝑡1−𝛼𝑗−𝛽L −1[𝑠−𝛼𝑗−𝛽

] Γ (𝛾 + 𝑗)Γ (𝛾) Γ (𝑗 + 1)

= 𝑡1−𝛽L −1

⎡⎣ ∞∑𝑗=0

(𝑘)𝑗 𝑠−𝛼𝑗−𝛽 Γ (𝛾 + 𝑗)Γ (𝛾) Γ (𝑗 + 1)

⎤⎦ ,pois a transformada de Laplace inversa (L −1) é um operador linear. Logo,

𝑡𝛽−1E𝛾𝛼,𝛽(𝑘𝑡𝛼) = L −1

⎡⎣ 1𝑠𝛽

∞∑𝑗=0

(𝑘

𝑠𝛼

)𝑗 1Γ (𝛾) Γ (𝑗 + 1)Γ (𝛾 + 𝑗)

⎤⎦

= L −1

⎡⎣ 1𝑠𝛽

∞∑𝑗=0

(𝑘

𝑠𝛼

)𝑗 1Γ (𝛾) Γ (𝑗 + 1)

∫ ∞

0𝑒−𝑡𝑡𝛾+𝑗−1d𝑡

⎤⎦

= L −1

⎡⎣ 1𝑠𝛽

∫ ∞

0𝑒−𝑡𝑡𝛾−1d𝑡 1

Γ (𝛾)

∞∑𝑗=0

(𝑘𝑡

𝑠𝛼

)𝑗 1Γ (𝑗 + 1)

⎤⎦

= L −1[

1𝑠𝛽

1Γ (𝛾)

∫ ∞

0𝑒−𝑡𝑒

𝑘𝑡𝑠𝛼 𝑡𝛾−1d𝑡

]

= L −1[

1𝑠𝛽

1Γ (𝛾)

∫ ∞

0𝑒−𝑡(1− 𝑘

𝑠𝛼 )𝑡𝛾−1d𝑡].

Admitindo |𝑘/𝑠𝛼| < 1, podemos fazer a mudança de variável

𝑡

(1 − 𝑘

𝑠𝛼

)= 𝑢

na integral, com isso,


⎡⎣ 1𝑠𝛽

1Γ (𝛾)

∫ ∞

0𝑒−𝑢

(𝑢

1 − 𝑘𝑠𝛼

)𝛾−1 ( 11 − 𝑘

𝑠𝛼

)d𝑢⎤⎦

= L −1[

1𝑠𝛽

1Γ (𝛾)

(1

1 − 𝑘𝑠𝛼

)𝛾 ∫ ∞

0𝑒−𝑢𝑢𝛾−1d𝑢

]

= L −1[

1𝑠𝛽

1Γ (𝛾)

𝑠𝛼𝛾

(𝑠𝛼 − 𝑘)𝛾Γ (𝛾)

]

= L −1[

1𝑠𝛽

𝑠𝛼𝛾

(𝑠𝛼 − 𝑘)𝛾

].

47

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros, temos

L[𝑡𝛽−1E𝛾

𝛼,𝛽(𝑘𝑡𝛼)]

(𝑠) = 1𝑠𝛽

𝑠𝛼𝛾

(𝑠𝛼 − 𝑘)𝛾= 𝑠𝛼𝛾−𝛽

(𝑠𝛼 − 𝑘)𝛾,

isto é,

L[𝑡𝛽−1E𝛾


(𝑠) = 𝑠𝛼𝛾−𝛽

(𝑠𝛼 − 𝑘)𝛾, com |𝑘/𝑠𝛼| < 1. (3.4.1)

Em particular, fazendo 𝛾 = 1 na equação (3.4.1), temos

L[𝑡𝛽−1E𝛼,𝛽(𝑘𝑡𝛼)

](𝑠) = 𝑠𝛼−𝛽

𝑠𝛼 − 𝑘, com |𝑘/𝑠𝛼| < 1. (3.4.2)

Considerando agora 𝛽 = 1 na equação (3.4.2), temos

L [E𝛼(𝑘𝑡𝛼)] (𝑠) = 𝑠𝛼−1

𝑠𝛼 − 𝑘, com |𝑘/𝑠𝛼| < 1. (3.4.3)

3.5 Representação integral das funções de Mittag-LefflerNo Capítulo 1, discutimos um método para calcular a transformada de Laplace inversa sem o

uso de um contorno de integração, conforme proposto em [2]. Vamos utilizar a equação (1.5.5)para expressar a função de Mittag-Leffler de três parâmetros através de uma integral em R+. Paraisso, considere a restrição da função de Mittag-Leffler de três parâmetros, definida em (3.2.2) a umdomínio real, isto é,

E𝛾𝛼,𝛽 : R −→ R,

com parâmetros 𝛼 > 0, 𝛽 > 0 e 𝛾 > 0. Vamos utilizar a equação (1.5.5) para expressar a funçãoreal de Mittag-Leffler de três parâmetros através de uma integral em R+.

Pela equação (3.4.1), a transformada de Laplace da função 𝑓(𝑡) = 𝑡𝛽−1E𝛾𝛼,𝛽(𝑘𝑡𝛼) é dada por

L[𝑡𝛽−1E𝛾


(𝑠) = 𝑠𝛼𝛾−𝛽

(𝑠𝛼 − 𝑘)𝛾,

para 𝑡 > 0, com 𝑘 ∈ R e |𝑘/𝑠𝛼| < 1.Escrevendo 𝑠 = 𝜎 + 𝑖𝜏 , com 𝜎, 𝜏 ∈ R, podemos determinar 𝜎 ≡ 𝜎 (𝑘, 𝛼) para o qual a equação

(3.4.1) é válida. Introduzindo coordenadas polares, podemos escrever

𝑠 = 𝜎 + 𝑖𝜏 = 𝑟𝑒𝑖𝜃, onde 𝑟 =√𝜎2 + 𝜏 2

e𝜃 = arc cos

(𝜎√

𝜎2 + 𝜏 2

)ou 𝜃 = arc sen

(𝜏√

𝜎2 + 𝜏 2

).

A inequação |𝑘/𝑠𝛼| < 1 deve ser satisfeita, assim

48

|𝑘/𝑠𝛼| < 1 ⇔ |𝑘|𝑟−𝛼𝑒−𝑖𝜃𝛼

< 1

⇔ |𝑟−𝛼| < 1|𝑘|

⇔ |𝑟𝛼| > |𝑘|

⇔ (𝜎2 + 𝜏 2)𝛼2 > |𝑘|

⇔ 𝜎2 + 𝜏 2 > |𝑘|2𝛼 ,

isto é,

𝜎2 > |𝑘|2𝛼 − 𝜏 2,

para todo 𝜏 ∈ R. Logo, devemos considerar 𝜎 satisfazendo a desigualdade 𝜎 > |𝑘|1𝛼 . Podemos

escolher então

𝜎 = |𝑘|1𝛼 + 1.

Assim, é válida a igualdade


[𝑠𝛼𝛾−𝛽

(𝑠𝛼 − 𝑘)𝛾

], (3.5.1)

para 𝑡 > 0, com 𝑘 ∈ R e 𝑠 = 𝜎 + 𝑖𝜏 , com 𝜎 ≡ 𝜎(𝑘, 𝛼) = |𝑘|1𝛼 + 1 e 𝜏 ∈ R.

Por outro lado, temos que

𝑠𝛼𝛾−𝛽

(𝑠𝛼 − 𝑘)𝛾= (𝜎 + 𝑖𝜏)𝛼𝛾−𝛽

[(𝜎 + 𝑖𝜏)𝛼 − 𝑘]𝛾 .

Além disso, [(𝜎 + 𝑖𝜏)𝛼 − 𝑘]𝛾 ∈ C, então podemos escrever

[(𝜎 + 𝑖𝜏)𝛼 − 𝑘]𝛾 = 𝑟𝑒𝑖𝜃, (3.5.2)

de onde segue que (𝑟𝛼𝑒𝑖𝜃𝛼 − 𝑘

)𝛾= 𝑟𝑒𝑖𝜃,

ou seja,𝑟𝛼𝑒𝑖𝜃𝛼 − 𝑘 = 𝑟

1𝛾 𝑒𝑖 𝜃

𝛾 .

Separando parte real e parte imaginária, podemos escrever as equações

𝑟1𝛾 cos

(𝜃

𝛾

)= 𝑟𝛼cos (𝜃𝛼) − 𝑘 e 𝑟

1𝛾 sen

(𝜃

𝛾

)= 𝑟𝛼sen (𝜃𝛼) , (3.5.3)

logo,

49

𝑠𝛼𝛾−𝛽

(𝑠𝛼 − 𝑘)𝛾= (𝜎 + 𝑖𝜏)𝛼𝛾−𝛽

[(𝜎 + 𝑖𝜏)𝛼 − 𝑘]𝛾 =

(𝑟𝑒𝑖𝜃

)𝛼𝛾−𝛽

𝑟𝑒𝑖𝜃= 𝑟𝛼𝛾−𝛽

𝑟𝑒𝑖[𝜃(𝛼𝛾−𝛽)−𝜃].

Ou seja, podemos escrever

𝑠𝛼𝛾−𝛽

(𝑠𝛼 − 𝑘)𝛾= 𝑟𝛼𝛾−𝛽

𝑟

{cos

[𝜃 (𝛼𝛾 − 𝛽) − 𝜃

]+ 𝑖 sen

[𝜃 (𝛼𝛾 − 𝛽) − 𝜃

]}.

Assim, as partes real e imaginária são dadas, respectivamente, por

Re{

(𝜎 + 𝑖𝜏)𝛼𝛾−𝛽

[(𝜎 + 𝑖𝜏)𝛼 − 𝑘]𝛾

}= 𝑟𝛼𝛾−𝛽

𝑟cos

[𝜃 (𝛼𝛾 − 𝛽) − 𝜃

]e

Im{

(𝜎 + 𝑖𝜏)𝛼𝛾−𝛽

[(𝜎 + 𝑖𝜏)𝛼 − 𝑘]𝛾

}= 𝑟𝛼𝛾−𝛽

𝑟sen

[𝜃 (𝛼𝛾 − 𝛽) − 𝜃

].

Finalmente, utilizando a equação (1.5.5), podemos escrever

𝑡𝛽−1E𝛾𝛼,𝛽(𝑘𝑡𝛼) = 𝑒𝜎 𝑡

𝜋

∫ ∞

0

𝑟𝛼𝛾−𝛽

𝑟

{cos

[𝜃 (𝛼𝛾 − 𝛽) − 𝜃

]cos(𝑡𝜏) − sen

[𝜃 (𝛼𝛾 − 𝛽) − 𝜃

]sen(𝑡𝜏)

}d𝜏,

ou ainda, que


𝜋

∫ ∞

0

𝑟𝛼𝛾−𝛽

𝑟cos

[𝜃 (𝛼𝛾 − 𝛽) − 𝜃 + 𝑡𝜏

]d𝜏, (3.5.4)

onde 𝜎 ≡ 𝜎(𝑘, 𝛼) = |𝑘|1𝛼 + 1, 𝑟 ≡ 𝑟(𝜏) =

√𝜎2 + 𝜏 2, 𝜃 ≡ 𝜃(𝜏) = arc cos

(𝜎√

𝜎2 + 𝜏 2

), enquanto que

𝑟 ≡ 𝑟(𝜏) e 𝜃 ≡ 𝜃(𝜏) são dados pelas equações em (3.5.3).

3.5.1 Casos particularesNesta subseção apresentamos algumas integrais impróprias de funções trigonométricas em ter-

mos das funções de Mittag-Leffler, utilizando a equação (3.5.4).Na equação (3.5.4), considere o caso particular em que 𝛼 = 1, 𝛽 = 𝛾, isto é, 𝛼𝛾 − 𝛽 = 0 e

𝑘 = 1. Com isso, podemos tomar 𝜎 = 2. Assim, temos que

𝑡𝛽−1E𝛽1,𝛽(𝑡) = 𝑒2𝑡

𝜋

∫ ∞

0

𝑟0

𝑟cos

[𝜃 (0) − 𝜃 + 𝑡𝜏

]d𝜏.

Visto que 𝑓(𝑢) = cos(𝑢) é uma função par, podemos escrever


𝜋

∫ ∞

0

cos(𝜃 − 𝑡𝜏)𝑟

d𝜏,

onde

50

2 + 𝑖𝜏 = 𝑟𝑒𝑖𝜃,

já que escolhemos 𝜎 = 2. Desse modo,

𝑟 cos (𝜃) = 2 e 𝑟 sen (𝜃) = 𝜏,

com isso, pelas equações em (3.5.3), sendo 𝛾 = 𝛽, temos o sistema⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩𝑟

1𝛽 cos

(𝜃

𝛽

)= 1

𝑟1𝛽 sen

(𝜃

𝛽

)= 𝜏

,

de onde segue que

tg(𝜃

𝛽

)= 𝜏 ⇒ 𝜃 = 𝛽 arc tg (𝜏) ,

bem como

𝑟 = [sec (arc tg (𝜏))]𝛽 .

Logo, podemos escrever a representação integral


𝜋

∫ ∞

0

cos [𝛽 arc tg (𝜏) − 𝑡𝜏 ][sec (arc tg (𝜏))]𝛽

d𝜏, para 𝑡 > 0 e 𝛽 > 0. (3.5.5)

Em particular, se 𝛽 = 1 na equação (3.5.5), temos que

𝑒𝑡 = 𝑒2𝑡

𝜋

∫ ∞

0

cos [arc tg (𝜏) − 𝑡𝜏 ][sec (arc tg (𝜏))] d𝜏, para 𝑡 > 0,

ou ainda,𝜋 𝑒−𝑡 =

∫ ∞

0

cos (𝑡𝜏) + 𝜏 sen (𝑡𝜏)1 + 𝜏 2 d𝜏, para 𝑡 > 0. (3.5.6)

Vale ressaltar que, da relação

E𝛾1,𝛽(𝑧) = 1

Γ(𝛽) 1F1 (𝛾; 𝛽; 𝑧) ,

onde 1F1 (𝛾; 𝛽; 𝑧) é a função hipergeométrica confluente, podemos ainda escrever, a partir daequação (3.5.4), uma representação integral para uma particular função hipergeométrica confluente.

De fato, tomando 𝑘 = 1 e 𝛼 = 1 na equação (3.5.4), temos que 𝜎 = 2, assim,

𝑡𝛽−1E𝛾1,𝛽(𝑡) = 𝑒2 𝑡

𝜋

∫ ∞

0

𝑟𝛾−𝛽

𝑟cos

[𝜃 (𝛾 − 𝛽) − 𝜃 + 𝑡𝜏

]d𝜏,

ou seja,

51

1F1 (𝛾; 𝛽; 𝑡) = Γ(𝛽) 𝑡1−𝛽 𝑒2 𝑡

𝜋

∫ ∞

0

𝑟𝛾−𝛽

𝑟cos

[𝜃 (𝛾 − 𝛽) − 𝜃 + 𝑡𝜏

]d𝜏,

onde 𝑟 =√

4 + 𝜏 2, 𝜃 = arc cos(

2√4 + 𝜏 2

), enquanto que 𝑟 ≡ 𝑟(𝜏) e 𝜃 ≡ 𝜃(𝜏) são dados pelas

equações em (3.5.3):

𝑟1𝛾 cos

(𝜃

𝛾

)= 𝑟 cos (𝜃) − 1 e 𝑟

1𝛾 sen

(𝜃

𝛾

)= 𝑟 sen (𝜃) ,

mas 𝑠 = 2 + 𝑖𝜏 = 𝑟 𝑒𝑖 𝜃, ou seja, 𝑟 cos (𝜃) = 2 e 𝑟 sen (𝜃) = 𝜏 , assim

𝑟1𝛾 cos

(𝜃

𝛾

)= 1 e 𝑟

1𝛾 sen

(𝜃

𝛾

)= 𝜏,

de onde segue que

tg(𝜃

𝛾

)= 𝜏,

isto é,

𝜃 = 𝛾 arc tg (𝜏) .Dessa forma, podemos determinar 𝑟 escrevendo

𝑟1𝛾 cos

(𝜃

𝛾

)= 1 ⇔ 𝑟

1𝛾 cos (arc tg (𝜏)) = 1 ⇔ 𝑟 = [sec (arc tg (𝜏))]𝛾 .

Assim, temos a seguinte relação

1F1 (𝛾; 𝛽; 𝑡) = Γ(𝛽) 𝑡1−𝛽 𝑒2 𝑡

𝜋

∫ ∞

0

𝑟𝛾−𝛽

𝑟cos

[𝜃 (𝛾 − 𝛽) − 𝜃 + 𝑡𝜏

]d𝜏, (3.5.7)

para 𝑡 > 0 e 𝛽 > 0, onde 𝑟 =√

4 + 𝜏 2, 𝜃 = arc cos(

2√4 + 𝜏 2

), 𝑟 = [sec (arc tg (𝜏))]𝛾 e

𝜃 = 𝛾 arc tg (𝜏).Considere agora o caso em que 𝛼𝛾 − 𝛽 = 0 na equação (3.5.4). Temos que


𝜋

∫ ∞

0

𝑟0

𝑟cos

(𝜃 · 0 − 𝜃 + 𝑡𝜏

)d𝜏,

ou seja,


𝜋

∫ ∞

0

1𝑟

cos(𝑡𝜏 − 𝜃

)d𝜏, (3.5.8)

onde 𝜎 = |𝑘|1𝛼 + 1, enquanto que 𝑟 ≡ 𝑟(𝜏) e 𝜃 ≡ 𝜃(𝜏) são dados pelas equações em (3.5.3).

52

Por outro lado, na equação (3.5.8), considere agora o caso particular em que 𝛼 = 𝛽, 𝛾 = 1(𝛼𝛾 − 𝛽 = 0) e 𝑘 = −1. Neste caso, podemos escolher 𝜎 = 2 e escrever

𝑡𝛼−1E𝛼,𝛼(−𝑡𝛼) = 𝑒2𝑡

𝜋

∫ ∞

0

𝑟0

𝑟cos

[𝜃 (0) − 𝜃 + 𝑡𝜏

]d𝜏

= 𝑒2𝑡

𝜋

∫ ∞

0

1𝑟

[cos(−𝜃)cos(𝑡𝜏) − sen(−𝜃)sen(𝑡𝜏)

]d𝜏 .

Assim, temos


𝜋

∫ ∞

0

1𝑟

[cos(𝜃)cos(𝑡𝜏) + sen(𝜃)sen(𝑡𝜏)

]d𝜏. (3.5.9)

Utilizando as equações (3.5.3), podemos escrever

𝑟 cos(𝜃) = 𝑟𝛼cos (𝜃𝛼) + 1 e 𝑟 sen(𝜃) = 𝑟𝛼sen (𝜃𝛼) .

De onde segue que

𝑟2[cos2(𝜃) + sen2(𝜃)

]= 𝑟2 𝛼

[cos2 (𝜃𝛼) + sen2 (𝜃𝛼)

]+ 2 𝑟𝛼cos (𝜃𝛼) + 1,

ou seja,

𝑟2 = 𝑟2 𝛼 + 2 𝑟𝛼cos (𝜃𝛼) + 1.

Assim, podemos escrever as seguintes expressões

cos(𝜃)𝑟

= 𝑟𝛼cos (𝜃𝛼) + 1𝑟2 𝛼 + 2 𝑟𝛼cos (𝜃𝛼) + 1 e sen(𝜃)

𝑟= 𝑟𝛼sen (𝜃𝛼)𝑟2 𝛼 + 2 𝑟𝛼cos (𝜃𝛼) + 1 .

Sendo 𝜎 = 2, temos 𝑠 = 2 + 𝑖 𝜏 , de onde segue que

𝑟 =√

4 + 𝜏 2

e

𝜃 = arc cos(

2√4 + 𝜏 2

)ou 𝜃 = arc sen

(𝜏√

4 + 𝜏 2

).

Assim, temos que

𝜙1(𝜏) := cos(𝜃)𝑟

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩(4 + 𝜏 2)

𝛼2 cos

[𝛼 · arc cos

(2√

4 + 𝜏 2

)]+ 1

(4 + 𝜏 2)𝛼 + 2 (4 + 𝜏 2)𝛼2 cos

[𝛼 · arc cos

(2√

4 + 𝜏 2

)]+ 1

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ (3.5.10)

53

e

𝜙2(𝜏) := sen(𝜃)𝑟

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩(4 + 𝜏 2)

𝛼2 sen

[𝛼 · arc sen

(𝜏√

4 + 𝜏 2

)]

(4 + 𝜏 2)𝛼 + 2 (4 + 𝜏 2)𝛼2 cos

[𝛼 · arc cos

(2√

4 + 𝜏 2

)]+ 1

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ . (3.5.11)

Substituindo as equações (3.5.10) e (3.5.11) na equação (3.5.9), podemos escrever a expressão


𝜋

∫ ∞

0[𝜙1(𝜏)cos(𝑡𝜏) + 𝜙2(𝜏)sen(𝑡𝜏)] d𝜏, (3.5.12)

onde 𝜙1(𝜏) e 𝜙1(𝜏) são definidos nas equações (3.5.10) e (3.5.11), respectivamente.Através de uma conveniente escolha para 𝜎, que é a parte real do número complexo 𝑠, variável da

transformada de Laplace de uma função, expressamos algumas integrais impróprias convergentesatravés de uma nova função, como no caso da equação (3.5.4), onde dados os parâmetros 𝛼, 𝛽, 𝛾e 𝑘, podemos escrever uma integral imprópria convergente, envolvendo funções trigonométricas, apartir das funções de Mittag-Leffler.

54

Capítulo 4

Cálculo Fracionário

As derivadas e integrais de ordem inteira têm inúmeras aplicações e são utilizadas para resolverproblemas em vários campos da ciência. As derivadas e integrais de ordem não inteira são umageneralização daquelas de ordem inteira. Em [27] Heymans & Podlubny e em [46] Podlubnyfornecem uma interpretação geométrica e discutem aplicações para o cálculo fracionário, comintegração e derivação de ordem não inteira.

Existem diversas formas de se introduzir tais conceitos, isto é, diversas maneiras de definira integral e a derivada de ordem não inteira, que não necessariamente coincidem umas com asoutras, mas cada uma apresenta sua particular aplicação em diversas áreas, tais como: física,processamento de sinais, eletromagnetismo, entre outras [9, 15, 21, 60].

Neste capítulo apresentamos as definições de integrais fracionárias, nos sentidos de Riemann--Liouville, Liouville, Weyl e Riesz, as derivadas fracionárias nos sentidos de Riemann-Liouville,Caputo, Liouville, Weyl e Riesz, bem como algumas de suas propriedades. Escrevemos o teoremafundamental do cálculo fracionário [25] envolvendo os operadores descritos, bem como aplicaçõesdeste teorema em algumas equações diferenciais fracionárias [14] particulares.

4.1 Integral fracionária de Riemann-LiouvilleNesta seção apresentamos a definição de integral fracionária, no sentido de Riemann-Liouville

e algumas de suas propriedades.Se 𝑓(𝑥) ∈ L1(𝑎, 𝑏), com −∞ < 𝑎 < 𝑏 < ∞, as integrais fracionárias de Riemann-Liouville de

ordem 𝛼 ∈ C, com Re(𝛼) > 0, à esquerda e à direita, são definidas, respectivamente, por

(I𝛼𝑎+𝑓

)(𝑥) := 1

Γ(𝛼)

∫ 𝑥

𝑎

𝑓(𝜏)(𝑥− 𝜏)1−𝛼 d𝜏 , para 𝑥 > 𝑎 (4.1.1)

e (I𝛼𝑏−𝑓

)(𝑥) := 1

Γ(𝛼)

∫ 𝑏

𝑥

𝑓(𝜏)(𝜏 − 𝑥)1−𝛼 d𝜏 , para 𝑥 < 𝑏. (4.1.2)

Se 𝛼 = 0, I0𝑎+ ≡ I0

𝑏− := I, onde I é o operador identidade1.1Ressaltamos que em alguns livros, as notações I𝛼

𝑎+ e I𝛼𝑏− aparecem como 𝑎I𝛼

𝑥 e 𝑥I𝛼𝑏 , respectivamente.

55

Definição 4.1 (Espaços I𝛼𝑎+ (L𝑝) e I𝛼

𝑏− (L𝑝)). Os espaços I𝛼𝑎+ (L𝑝) e I𝛼

𝑏− (L𝑝), são definidos paraRe(𝛼) > 0 e 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞, respectivamente, por

I𝛼𝑎+ (L𝑝) :=

{𝑓(𝑥) : 𝑓(𝑥) = I𝛼

𝑎+𝑔(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ L𝑝(𝑎, 𝑏)}

e

I𝛼𝑏− (L𝑝) :=

{𝑓(𝑥) : 𝑓(𝑥) = I𝛼

𝑏−ℎ(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ L𝑝(𝑎, 𝑏)}.

A seguir mencionamos algumas propriedades da integral fracionária de Riemann-Liouville, ou-tras podem ser encontradas em [52].

Propriedade 4.2 (Semigrupo). Se Re (𝛼) > 0 ou 𝛼 = 0 e se Re (𝛽) > 0 ou 𝛽 = 0, então

I𝛼𝑎+I𝛽

𝑎+ = I𝛼+𝛽𝑎+ e I𝛼

𝑏−I𝛽𝑏− = I𝛼+𝛽

𝑏− .

Propriedade 4.3 (Comutatividade). Se Re (𝛼) > 0 ou 𝛼 = 0 e se Re (𝛽) > 0 ou 𝛽 = 0, então

I𝛼𝑎+I𝛽

𝑎+ = I𝛽𝑎+I𝛼

𝑎+ e I𝛼𝑏−I𝛽

𝑏− = I𝛽𝑏−I𝛼

𝑏−.

Propriedade 4.4 (Linearidade). Sejam 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) tais que existam(I𝛼𝑎+𝑓

)(𝑥),

(I𝛼𝑏−𝑓

)(𝑥),(

I𝛼𝑎+𝑔

)(𝑥) e

(I𝛼𝑏−𝑔

)(𝑥), com Re(𝛼) > 0. Seja 𝜆 ∈ C, então

I𝛼𝑎+ [𝜆𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝜆I𝛼

𝑎+𝑓(𝑥) + I𝛼𝑎+𝑔(𝑥)

e

I𝛼𝑏− [𝜆𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝜆I𝛼

𝑏−𝑓(𝑥) + I𝛼𝑏−𝑔(𝑥).

Propriedade 4.5. Se Re(𝜇) > −1, Re(𝛼) > 0 e 𝑥 > 𝑎, então

I𝛼𝑎+(𝑥− 𝑎)𝜇 = Γ(𝜇+ 1)

Γ(𝜇+ 𝛼 + 1)(𝑥− 𝑎)𝜇+𝛼. (4.1.3)

Demonstração. Temos que

I𝛼𝑎+(𝑥− 𝑎)𝜇 = 1

Γ(𝛼)

∫ 𝑥

𝑎

(𝜏 − 𝑎)𝜇

(𝑥− 𝜏)1−𝛼 d𝜏 .

Fazendo a mudança de variável

𝑢 = 𝜏 − 𝑎

𝑥− 𝜏

na integral, temos que

𝜏 = 𝑢𝑥+ 𝑎

1 + 𝑢e d𝜏 = 𝑥− 𝑎

(1 + 𝑢)2 d𝑢.

Dessa forma,

56

I𝛼𝑎+(𝑥− 𝑎)𝜇 = 1

Γ(𝛼)

∫ ∞

0

(𝑢𝑥+ 𝑎

1 + 𝑢− 𝑎

)𝜇 (𝑥− 𝑢𝑥+ 𝑎

1 + 𝑢

)𝛼−1[𝑥− 𝑎

(1 + 𝑢)2

]d𝑢

= 1Γ(𝛼)

∫ ∞

0

(𝑢𝑥− 𝑢𝑎

1 + 𝑢

)𝜇 (𝑥− 𝑎

1 + 𝑢

)𝛼−1[𝑥− 𝑎

(1 + 𝑢)2

]d𝑢

= 1Γ(𝛼)(𝑥− 𝑎)𝜇+𝛼

∫ ∞

0

𝑢𝜇

(1 + 𝑢)𝜇+𝛼+1 d𝑢

= 1Γ(𝛼)(𝑥− 𝑎)𝜇+𝛼B(𝜇+ 1, 𝛼)

= Γ(𝜇+ 1)Γ(𝜇+ 𝛼 + 1)(𝑥− 𝑎)𝜇+𝛼. �

No particular caso em que consideramos a função 𝑔(𝛼, 𝑥) = I𝛼0+𝑥, com 𝛼, 𝑥 ≥ 0, por (4.1.3),

temos que

I𝛼0+𝑥 = Γ (2)

Γ (𝛼 + 2)𝑥𝛼+1 = 𝑥𝛼+1

Γ (𝛼 + 2) ⇒ 𝑔(𝛼, 𝑥) = 𝑥𝛼+1

Γ (𝛼 + 2) .

Vamos analisar a interpretação geométrica do cálculo de 𝑔(𝛼, 𝑥), no caso em que 𝑥 = 1 e 𝛼 ∈ [0, 1].

∙ Para 𝛼 = 0, 3:

I𝛼0+𝑥 = 0I0,3

1 𝑥 =∫ 1

0

𝜏

Γ(0, 3) (1 − 𝜏)0,7 d𝜏 = 1Γ (2, 3)

∼= 0, 86.

Geometricamente, isso representa a área da região do plano delimitada pelos gráficos de

𝑓(𝑡) = 𝑡

Γ(0, 3) (1 − 𝑡)0,7 , 𝑦 = 0 e 𝑡 = 1, conforme a figura a seguir.

Figura 4.1: Função 𝑓(𝑡) = 𝑡

Γ(0, 3) (1 − 𝑡)0,7 .

57

∙ Para 𝛼 = 0, 5: I𝛼0+𝑥 = 0I0,5

1 𝑥 =∫ 1

0

𝜏

Γ(0, 5) (1 − 𝜏)0,5 d𝜏 = 1Γ (2, 5)

∼= 0, 75.


𝑔(𝑡) = 𝑡


Figura 4.2: Função 𝑔(𝑡) = 𝑡

Γ(0, 5) (1 − 𝑡)0,5 .

∙ Para 𝛼 = 0, 8: I𝛼0+𝑥 = 0I0,8

1 𝑥 =∫ 1

0

𝜏

Γ(0, 8) (1 − 𝜏)0,2 d𝜏 = 1Γ (2, 8)

∼= 0, 6.


ℎ(𝑡) = 𝑡


Figura 4.3: Função ℎ(𝑡) = 𝑡

Γ(0, 8) (1 − 𝑡)0,2 .

58

∙ Para 𝛼 = 1: I𝛼0+𝑥 = 0I1

1𝑥 =∫ 1

0𝑥 d𝑥 = 1

Γ (3) = 12 .


𝜙(𝑡) = 𝑡, 𝑦 = 0 e 𝑡 = 1, conforme a figura a seguir.

Figura 4.4: Função 𝜙(𝑡) = 𝑡.

Notamos, através dos casos apresentados acima, que 𝑔(0.3, 1) > 𝑔(0.5, 1) > 𝑔(0.8, 1) > 𝑔(1, 1).Se 𝑓(𝑥) = 𝑘, onde 𝑘 é uma constante real, então

I𝛼0+𝑘 = 1

Γ(𝛼)

∫ 𝑥

0

𝑘

(𝑥− 𝜏)1−𝛼 d𝜏 = 𝑘

Γ(𝛼)

∫ 𝑥

0(𝑥− 𝜏)𝛼−1 d𝜏 = 𝑘𝑥𝛼

𝛼Γ (𝛼) = 𝑘𝑥𝛼

Γ (𝛼 + 1) .

Logo, para 𝑥 > 0, temos que

I𝛼0+𝑘 = 𝑘 𝑥𝛼

Γ (𝛼 + 1) . (4.1.4)

A transformada de Laplace do operador de integração fracionária de Riemann-Liouville, nocaso em que 𝑎 = 0, é dada por

L[I𝛼0+𝑓

](𝑠) = L

[1

Γ(𝛼)

∫ 𝑡

0

𝑓(𝜏)(𝑡− 𝜏)1−𝛼 d𝜏

](𝑠)

= 1Γ(𝛼)L

[∫ 𝑡

0𝑓(𝜏) (𝑡− 𝜏)𝛼−1 d𝜏

](𝑠)

= 1Γ(𝛼)L [𝑓 * 𝑔] (𝑠)

= 1Γ(𝛼)L [𝑓 ] (𝑠)L [𝑔] (𝑠),

onde 𝑔(𝑡) = 𝑡𝛼−1 𝑢(𝑡) sendo 𝑢(𝑡) a função degrau unitário, definida em (1.3.2).Usando a equação (2.1.2), obtemos

59

L[I𝛼0+𝑓

](𝑠) = 1

Γ(𝛼)L [𝑓 ] (𝑠)L[𝑡𝛼−1

](𝑠) = 𝑠−𝛼L [𝑓 ] (𝑠).

Ou seja, podemos escrever

L[I𝛼0+𝑓

](𝑠) = 𝑠−𝛼L [𝑓 ] (𝑠), para Re(𝛼) > 0. (4.1.5)

4.1.1 Integral fracionária das funções de Mittag-LefflerVamos expressar a integral fracionária de Riemann-Liouville à esquerda a partir das funções

de Mittag-Leffler, E𝛾𝛼,𝛽(𝑧), no caso em que 𝑧 > 0. Considere os parâmetros 𝜎, 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ C, de modo

que Re(𝛼),Re(𝛽),Re(𝛾) e Re(𝜎) sejam todos positivos.

I𝜎0+

[E𝛾

𝛼,𝛽(𝑧)]

= I𝜎0+

⎡⎣ ∞∑𝑗=0

𝑧𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 𝛽)Γ (𝛾 + 𝑗)

Γ (𝛾) Γ (𝑗 + 1)

⎤⎦

=∞∑

𝑗=0

Γ (𝛾 + 𝑗)Γ (𝛼𝑗 + 𝛽) Γ (𝛾) Γ (𝑗 + 1) I𝜎

0+

(𝑧𝑗)

=⏟ ⏞ (4.1.3)

∞∑𝑗=0

Γ (𝛾 + 𝑗)Γ (𝛼𝑗 + 𝛽) Γ (𝛾) Γ (𝑗 + 1)

Γ(𝑗 + 1)Γ(𝑗 + 𝜎 + 1) 𝑧

𝑗+𝜎

= 𝑧𝜎

Γ (𝛾)

∞∑𝑗=0

Γ (𝛾 + 𝑗)Γ(𝑗 + 𝜎 + 1)

𝑧𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 𝛽) .

Se 𝜎 = 𝛾 − 1, temos que

I𝛾−10+

[E𝛾

𝛼,𝛽(𝑧)]

= 𝑧𝛾−1

Γ (𝛾) E𝛼,𝛽(𝑧).

Por outro lado, se 𝜎 = 𝛾 − 1, podemos fazer a substituição

Γ (𝛾 + 𝑗)Γ(𝑗 + 𝜎 + 1) = 1

Γ(𝜎 − 𝛾 + 1)B (𝛾 + 𝑗, 𝜎 − 𝛾 + 1) ,

com isso,

I𝜎0+

[E𝛾

𝛼,𝛽(𝑧)]

= 𝑧𝜎

Γ (𝛾) Γ(𝜎 − 𝛾 + 1)

∞∑𝑗=0

B (𝛾 + 𝑗, 𝜎 − 𝛾 + 1) 𝑧𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 𝛽)

=⏟ ⏞ (2.2.1)

𝑧𝜎

Γ (𝛾) Γ(𝜎 − 𝛾 + 1)

∫ 1

0𝑡𝛾−1 (1 − 𝑡)𝜎−𝛾

∞∑𝑗=0

(𝑧𝑡)𝑗

Γ (𝛼𝑗 + 𝛽) d𝑡

= 𝑧𝜎

Γ (𝛾) Γ(𝜎 − 𝛾 + 1)

∫ 1

0𝑡𝛾−1 (1 − 𝑡)𝜎−𝛾 E𝛼,𝛽(𝑧𝑡) d𝑡.

60

Assim, obtemos as expressões

I𝜎0+

[E𝛾

𝛼,𝛽(𝑧)]

=

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩𝑧𝛾−1

Γ (𝛾) E𝛼,𝛽(𝑧), se 𝜎 = 𝛾 − 1,𝑧𝜎

Γ (𝛾) Γ(𝜎 − 𝛾 + 1)

∫ 1

0𝑡𝛾−1 (1 − 𝑡)𝜎−𝛾 E𝛼,𝛽(𝑧𝑡) d𝑡, se 𝜎 = 𝛾 − 1.

(4.1.6)

4.2 Derivada fracionária de Riemann-LiouvilleAs derivadas fracionárias, segundo Riemann-Liouville, à esquerda e à direita, são definidas para

𝛼 ∈ C, respectivamente, por

D𝛼𝑎+ := I−𝛼

𝑎+ e D𝛼𝑏− := I−𝛼

𝑏− .

Se Re(𝛼) < 0, D𝛼𝑎+𝑓(𝑥) e D𝛼

𝑏−𝑓(𝑥) existem para toda função 𝑓(𝑥) ∈ L1(𝑎, 𝑏), com −∞ < 𝑎 <𝑏 < ∞, pois coincidem com as respectivas integrais fracionárias de Riemann-Liouville. Por outrolado, se Re(𝛼) ≥ 0, então D𝛼

𝑎+𝑓(𝑥) e D𝛼𝑏−𝑓(𝑥) existem para toda função 𝑓(𝑥) ∈ AC𝑛(𝑎, 𝑏), com

𝑛 = [Re(𝛼)] + 1, onde [𝜇] denota a parte inteira de 𝜇.Podemos escrever as derivadas fracionárias, segundo Riemann-Liouville, para Re(𝛼) ≥ 0, com

𝛼 /∈ N, à esquerda e à direita, respectivamente, por2

(D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) := D𝑛[(

I𝑛−𝛼𝑎+ 𝑓

)(𝑥)], para 𝑥 > 𝑎 (4.2.1)

e (D𝛼

𝑏−𝑓)

(𝑥) := (−1)𝑛D𝑛[(

I𝑛−𝛼𝑏− 𝑓

)(𝑥)], para 𝑥 < 𝑏. (4.2.2)

Se, em particular, 𝛼 = 𝑛 ∈ N, então(D𝑛

𝑎+𝑓)

(𝑥) = 𝑓 (𝑛)(𝑥) e(D𝑛

𝑏−𝑓)

(𝑥) = (−1)𝑛𝑓 (𝑛)(𝑥).Seguem alguns lemas, propriedades e teoremas envolvendo o operador de derivação fracionária,

segundo Riemann-Liouville, outras podem ser encontradas em [28, 32].

Propriedade 4.6 (Linearidade). Os operadores D𝛼𝑎+ e D𝛼

𝑏−, assim como os operadores de integra-ção fracionária, são lineares.

Propriedade 4.7. Se 𝑥 > 𝑎, Re(𝜇) > −1 e Re(𝛼) ≥ 0, então

D𝛼𝑎+(𝑥− 𝑎)𝜇 = Γ(𝜇+ 1)

Γ(𝜇− 𝛼 + 1)(𝑥− 𝑎)𝜇−𝛼. (4.2.3)

Demonstração. A demonstração segue da Propriedade 4.5:D𝛼

𝑎+(𝑥− 𝑎)𝜇 = D𝑛I𝑛−𝛼𝑎+ (𝑥− 𝑎)𝜇 =⏟ ⏞

(4.1.3)

Γ(𝜇+ 1)D𝑛 [(𝑥− 𝑎)𝜇+𝑛−𝛼]Γ(𝜇+ 𝑛− 𝛼 + 1) = Γ(𝜇+ 1)(𝑥− 𝑎)𝜇−𝛼

Γ(𝜇− 𝛼 + 1) . �

2Aqui, denotamos D𝑛 ≡ d𝑛

d𝑥𝑛 .

61

Teorema 4.8. Sejam 𝑓(𝑥) ∈ AC𝑛[𝑎, 𝑏], 𝛼 ∈ C com Re(𝛼) ≥ 0 e 𝑛 = [Re(𝛼)]+1, então as derivadasfracionárias de Riemann-Liouville à esquerda e à direita, podem ser escritas da forma

(D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) =𝑛−1∑𝑗=0

(𝑥− 𝑎)𝑗−𝛼

Γ(1 + 𝑗 − 𝛼)(𝑓 (𝑗)(𝑥)

𝑥=𝑎

)+ 1

Γ(𝑛− 𝛼)

∫ 𝑥

𝑎

𝑓 (𝑛)(𝜏)(𝑥− 𝜏)𝛼−𝑛+1 d𝜏

e (D𝛼

𝑏−𝑓)

(𝑥) =𝑛−1∑𝑗=0

(−1)𝑗 (𝑏− 𝑥)𝑗−𝛼

Γ(1 + 𝑗 − 𝛼)(𝑓 (𝑗)(𝑥)

𝑥=𝑏

)+ (−1)𝑛

Γ(𝑛− 𝛼)

∫ 𝑏

𝑥

𝑓 (𝑛)(𝜏)(𝜏 − 𝑥)𝛼−𝑛+1 d𝜏 .

Demonstração. Para demonstrar o teorema para a derivada fracionária à esquerda, podemos partirda definição, depois integrar por partes 𝑛 vezes e por fim utilizar a regra de Leibniz3.(

D𝛼𝑎+𝑓

)(𝑥) = D𝑛

(I𝑛−𝛼𝑎+ 𝑓

)(𝑥)

= D𝑛

[1

Γ(𝑛− 𝛼)

∫ 𝑥

𝑎

𝑓 (𝜏)(𝑥− 𝜏)𝛼−𝑛+1 d𝜏

]

= D𝑛

{1

Γ(𝑛− 𝛼)

[𝑓(𝑎)(𝑥− 𝑎)𝑛−𝛼

(𝑛− 𝛼) + 1𝑛− 𝛼

∫ 𝑥

𝑎(𝑥− 𝜏)𝑛−𝛼𝑓 (1)(𝜏)d𝜏

]}

= 𝑓(𝑎)Γ(𝑛− 𝛼)D𝑛

[(𝑥− 𝑎)𝑛−𝛼

(𝑛− 𝛼)

]+ 1

Γ(𝑛− 𝛼 + 1)D𝑛[∫ 𝑥


]

= 𝑓(𝑎)(𝑥− 𝑎)−𝛼

Γ(1 − 𝛼) + D𝑛

[1

Γ(𝑛− 𝛼 + 1)

∫ 𝑥


].

Na 𝑛−ésima integração por partes, obtemos

(D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) =𝑛−1∑𝑗=0

𝑓 (𝑗)(𝑎) (𝑥− 𝑎)𝑗−𝛼

Γ(1 + 𝑗 − 𝛼) + D𝑛

[1

Γ(2𝑛− 𝛼)

∫ 𝑥

𝑎(𝑥− 𝜏)2𝑛−𝛼−1𝑓 (𝑛)(𝜏)d𝜏

]. (4.2.4)

Agora podemos utilizar 𝑛 vezes a regra de Leibniz, do cálculo de ordem inteira, na integral dolado direito em (4.2.4), obtendo a expressão

1Γ(2𝑛− 𝛼)D𝑛

[∫ 𝑥

𝑎(𝑥− 𝜏)2𝑛−𝛼−1𝑓 (𝑛)(𝜏)d𝜏

]= 1

Γ(𝑛− 𝛼)

∫ 𝑥

𝑎(𝑥− 𝜏)𝑛−𝛼−1𝑓 (𝑛)(𝜏)d𝜏 .

Finalmente, podemos escrever

(D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) =𝑛−1∑𝑗=0


Γ(1 + 𝑗 − 𝛼)(𝑓 (𝑗)(𝑥)

𝑥=𝑎

)+ 1

Γ(𝑛− 𝛼)

∫ 𝑥

𝑎

𝑓 (𝑛)(𝜏)(𝑥− 𝜏)𝛼−𝑛+1 d𝜏 . (4.2.5)

O resultado para a derivada fracionária à direita segue de maneira similar. �

3Regra de Leibniz: dd𝑥

∫ 𝑏(𝑥)

𝑎(𝑥)𝑓(𝑥, 𝜏)d𝜏 =

∫ 𝑏(𝑥)

𝑎(𝑥)

𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑥, 𝜏)d𝜏 + 𝑓(𝑥, 𝑏(𝑥)) d

d𝑥𝑏(𝑥) − 𝑓(𝑥, 𝑎(𝑥)) d

d𝑥𝑎(𝑥).

62

No caso em que 𝑓 (𝑗)(𝑎) = 𝑓 (𝑗)(𝑏) = 0, para 𝑗 = 0, 1, 2, ..., [Re (𝛼)] em (4.2.5), então

(D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) =(I𝑛−𝛼𝑎+ 𝑓 (𝑛)

)(𝑥) e

(D𝛼

𝑏−𝑓)

(𝑥) = (−1)𝑛(I𝑛−𝛼𝑏− 𝑓 (𝑛)

)(𝑥).

Lema 4.9. Sejam 𝜙(𝑥) ∈ L𝑝(𝑎, 𝑏), com 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞ e 𝛼 ∈ C com Re(𝛼) > 0, então[D𝛼

𝑎+

(I𝛼𝑎+𝜙

)](𝑥) = 𝜙(𝑥) e

[D𝛼

𝑏−

(I𝛼𝑏−𝜙

)](𝑥) = 𝜙(𝑥). (4.2.6)

Demonstração. Para demonstrar este lema, escrevemos[D𝛼

𝑎+

(I𝛼𝑎+𝜙

)](𝑥) = D𝑛I𝑛−𝛼

𝑎+ I𝛼𝑎+𝜙(𝑥).

Usando a Propriedade 4.2 e em seguida o teorema fundamental do cálculo de ordem inteira 𝑛 vezes,temos

D𝑛I𝑛−𝛼𝑎+ I𝛼

𝑎+𝜙(𝑥) = D𝑛I𝑛𝑎+𝜙(𝑥) = 𝜙(𝑥).

Utilizando raciocínio análogo, obtemos[D𝛼

𝑏−

(I𝛼𝑏−𝜙

)](𝑥) = 𝜙(𝑥). �

O Lema 4.9 e o lema a seguir serão utilizados no teorema fundamental do cálculo fracionário,discutido no Capítulo 5.

Lema 4.10. Se 𝑓(𝑥) ∈ L1(𝑎, 𝑏), com −∞ < 𝑎 < 𝑏 < ∞ e I𝑛−𝛼𝑎+ 𝑓(𝑥) ∈ AC𝑛[𝑎, 𝑏], com 𝛼 ∈ C,

Re(𝛼) > 0 e 𝑛 = [Re(𝛼)] + 1, então⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(I𝛼𝑎+D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑛−1∑𝑗=0

(𝑥− 𝑎)𝛼−𝑗−1

Γ(𝛼− 𝑗)[(

D𝑛−𝑗−1I𝑛−𝛼𝑎+ 𝑓(𝑥)

) 𝑥=𝑎

],

(I𝛼𝑏−D𝛼

𝑏−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑛−1∑𝑗=0

(−1)𝑛−𝑗−1(𝑏− 𝑥)𝛼−𝑗−1

Γ(𝛼− 𝑗)[(

D𝑛−𝑗−1I𝑛−𝛼𝑏− 𝑓(𝑥)

) 𝑥=𝑏

].

Em particular, se 𝛼 = 𝑛 ∈ N*, podemos escrever⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(I𝑛𝑎+D𝑛

𝑎+𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑛−1∑𝑗=0

(𝑥− 𝑎)𝑗

𝑗!(𝑓 (𝑗)(𝑥)

𝑥=𝑎

),

(I𝑛𝑏−D𝑛

𝑏−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑛−1∑𝑗=0

(−1)𝑗(𝑏− 𝑥)𝑗

𝑗!(𝑓 (𝑗)(𝑥)

𝑥=𝑏

),

e se 0 < Re(𝛼) < 1, temos⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩(I𝛼𝑎+D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) − (𝑥− 𝑎)𝛼−1

Γ(𝛼)[(

I1−𝛼𝑎+ 𝑓(𝑥)

) 𝑥=𝑎

],(

I𝛼𝑏−D𝛼

𝑏−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) − (𝑏− 𝑥)𝛼−1

Γ(𝛼)[(

I1−𝛼𝑏− 𝑓(𝑥)

) 𝑥=𝑏

].

63

Demonstração. Para demostrar este lema, podemos utilizar integração por partes. Temos que[I𝛼𝑎+

(D𝛼

𝑎+𝑓)]

(𝑥) =[I𝛼𝑎+

(D𝑛I𝑛−𝛼

𝑎+ 𝑓)]

(𝑥) = 1Γ(𝛼)

∫ 𝑥

𝑎(𝑥− 𝜏)𝛼−1D𝑛I𝑛−𝛼

𝑎+ 𝑓(𝜏)d𝜏 .

Integrando por partes, fazendo 𝑢 = (𝑥− 𝜏)𝛼−1 e d𝑣 = D𝑛I𝑛−𝛼𝑎+ 𝑓(𝜏)d𝜏 , obtemos[

I𝛼𝑎+

(D𝛼

𝑎+𝑓)]

(𝑥) =

=−(𝑥− 𝑎)𝛼−1

[(D𝑛−1I𝑛−𝛼

𝑎+ 𝑓(𝑥))

𝑥=𝑎

]Γ(𝛼) + 1

Γ(𝛼− 1)

∫ 𝑥

𝑎(𝑥− 𝜏)𝛼−2D𝑛−1I𝑛−𝛼

𝑎+ 𝑓(𝜏)d𝜏 .

Integrando por partes da mesma forma por mais 𝑛− 1 vezes, obtemos[I𝛼𝑎+

(D𝛼

𝑎+𝑓)]

(𝑥) =

= −𝑛−1∑𝑗=0

(𝑥− 𝑎)𝛼−𝑗−1[(


) 𝑥=𝑎

]Γ(𝛼− 𝑗) + 1

Γ(𝛼− 𝑛)

∫ 𝑥

𝑎(𝑥− 𝜏)𝛼−𝑛−1I𝑛−𝛼

𝑎+ 𝑓(𝜏)d𝜏

= −𝑛−1∑𝑗=0

(𝑥− 𝑎)𝛼−𝑗−1[(


) 𝑥=𝑎

]Γ(𝛼− 𝑗) + I𝛼−𝑛

𝑎+ I𝑛−𝛼𝑎+ 𝑓(𝑥)

= −𝑛−1∑𝑗=0

(𝑥− 𝑎)𝛼−𝑗−1[(


) 𝑥=𝑎

]Γ(𝛼− 𝑗) + 𝑓(𝑥).

De forma análoga segue o resultado para[I𝛼𝑏−

(D𝛼

𝑏−𝑓)]

(𝑥).Em particular, se 𝛼 = 𝑛, então, substituindo 𝛼 por 𝑛 em

[I𝛼𝑎+

(D𝛼

𝑎+𝑓)]

(𝑥) e fazendo a mudançade índices 𝑛− 𝑗 − 1 = 𝑘 no somatório, obtemos o resultado desejado.

Além disso, se 0 < Re(𝛼) < 1, basta fazer 𝑛 = 1 em[I𝛼𝑎+

(D𝛼

𝑎+𝑓)]

(𝑥) e[I𝛼𝑏−

(D𝛼

𝑏−𝑓)]

(𝑥). �

Diferentemente do operador de integração fracionária de Riemann-Liouville, a Propriedade 4.2(semigrupo) não vale para o operador de derivação fracionária segundo Riemann-Liouville, comopode ser observado através do teorema a seguir.

Teorema 4.11. Sejam 𝑓(𝑥) ∈ L1(𝑎, 𝑏), com −∞ < 𝑎 < 𝑏 < ∞, 𝛼 > 0 e 𝛽 > 0 tais que 𝛼+ 𝛽 < 𝑛,com 𝑛 = [Re(𝛼)] + 1, e sejam ainda 𝑚 = [Re(𝛽)] + 1 e

(I𝑚−𝛼𝑎+ 𝑓

)(𝑥) ∈ AC𝑚[𝑎, 𝑏], então

[D𝛼

𝑎+

(D𝛽

𝑎+𝑓)]

(𝑥) =(D𝛼+𝛽

𝑎+ 𝑓)

(𝑥) −𝑚−1∑𝑗=0

(𝑥− 𝑎)−𝛼−𝑗−1[(

D𝑚−𝑗−1I𝑚−𝛽𝑎+ 𝑓(𝑥)

) 𝑥=𝑎

]Γ(−𝛼− 𝑗) . (4.2.7)

Demonstração. Vamos usar o Lema 4.10 e a Propriedade 4.2 para a demonstração deste teorema.[D𝛼

𝑎+

(D𝛽

𝑎+𝑓)]

(𝑥) =[D𝑛I𝑛−𝛼

𝑎+

(D𝛽

𝑎+𝑓)]

(𝑥) =⏟ ⏞ 𝛼+𝛽<𝑛

D𝑛I𝑛−𝛼−𝛽𝑎+

[(I𝛽𝑎+D𝛽

𝑎+𝑓)]

(𝑥).

64

Pelo Lema 4.10, podemos escrever

[I𝛽𝑎+

(D𝛽

𝑎+𝑓)]

(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑚−1∑𝑗=0

(𝑥− 𝑎)𝛽−𝑗−1[(


) 𝑥=𝑎

]Γ(𝛽 − 𝑗) ,

com 𝑚 = [Re(𝛽)] + 1. Assim, obtemos

[D𝛼

𝑎+

(D𝛽

𝑎+𝑓)]

(𝑥) = D𝑛I𝑛−𝛼−𝛽𝑎+

⎧⎨⎩𝑓(𝑥) −𝑚−1∑𝑗=0

(𝑥− 𝑎)𝛽−𝑗−1[(


) 𝑥=𝑎

]Γ(𝛽 − 𝑗)

⎫⎬⎭= D𝛼+𝛽

𝑎+

⎧⎨⎩𝑓(𝑥) −𝑚−1∑𝑗=0

(𝑥− 𝑎)𝛽−𝑗−1[(


) 𝑥=𝑎

]Γ(𝛽 − 𝑗)

⎫⎬⎭=(D𝛼+𝛽

𝑎+ 𝑓)

(𝑥) −𝑚−1∑𝑗=0

D𝛼+𝛽𝑎+ (𝑥− 𝑎)𝛽−𝑗−1

[(D𝑚−𝑗−1I𝑚−𝛽

𝑎+ 𝑓(𝑥))

𝑥=𝑎

]Γ(𝛽 − 𝑗)

=(D𝛼+𝛽

𝑎+ 𝑓)

(𝑥) −𝑚−1∑𝑗=0

(𝑥− 𝑎)−𝛼−𝑗−1[(


) 𝑥=𝑎

]Γ(−𝛼− 𝑗) . �

Podemos determinar uma expressão para a transformada de Laplace da derivada fracionáriade Riemann-Liouville à esquerda, como a seguir.

L[D𝛼

𝑎+𝑓]

(𝑠) = L[D𝑛I𝑛−𝛼

𝑎+ 𝑓]

(𝑠)

=⏟ ⏞ (1.3.5)

𝑠𝑛L[I𝑛−𝛼𝑎+ 𝑓

](𝑠) −

𝑛−1∑𝑗=0

𝑠𝑗

[d𝑛−1−𝑗

d𝑡𝑛−1−𝑗I𝑛−𝛼𝑎+ 𝑓(𝑡)

] 𝑡=𝑎+

= 𝑠𝑛L[I𝑛−𝛼𝑎+ 𝑓

](𝑠) −

𝑛−1∑𝑗=0

𝑠𝑗[D𝑛−1−𝑗I𝑛−𝛼

𝑎+ 𝑓(𝑡)]

𝑡=𝑎+


](𝑠) −

𝑛−1∑𝑗=0

𝑠𝑗[D𝑛I1+𝑗I𝑛−𝛼

𝑎+ 𝑓(𝑡)]

𝑡=𝑎+


](𝑠) −

𝑛−1∑𝑗=0

𝑠𝑗[D𝑛I𝑛−𝛼+1+𝑗

𝑎+ 𝑓(𝑡)]

𝑡=𝑎+


](𝑠) −

𝑛−1∑𝑗=0

𝑠𝑗[D𝛼−1−𝑗

𝑎+ 𝑓(𝑡)]

𝑡=𝑎+.

65

Logo, para 𝑛 = [Re(𝛼)] + 1 e Re(𝛼) > 0, temos

L[D𝛼

𝑎+𝑓]

(𝑠) = 𝑠𝑛L[I𝑛−𝛼𝑎+ 𝑓

](𝑠) −

𝑛−1∑𝑗=0


𝑎+ 𝑓(𝑡)]

𝑡=𝑎+. (4.2.8)

Em particular, se 𝑎 = 0 em (4.2.8), então

L[D𝛼

0+𝑓]

(𝑠) = 𝑠𝛼L [𝑓 ] (𝑠) −𝑛−1∑𝑗=0


0+ 𝑓(𝑡)]

𝑡=0+, (4.2.9)

pois, L[I𝑛−𝛼0+ 𝑓

](𝑠) =⏟ ⏞

(4.1.5)

𝑠𝛼−𝑛L [𝑓 ] (𝑠).

Se 𝛼 = 𝑛 ∈ N, a equação em (4.2.9) torna-se igual à equação em (1.3.5), que é a transformadade Laplace da derivada 𝑛−ésima de uma função 𝑓(𝑡).

Como um exemplo da derivada fracionária de uma função, considere ℎ(𝛼, 𝑥) = D𝛼0+𝑥, com

𝛼 ≥ 0 e 𝑥 ≥ 0. Por (4.2.3), temos que

D𝛼0+𝑥 = Γ (2)

Γ (−𝛼 + 2)𝑥−𝛼+1 = 𝑥1−𝛼

Γ (2 − 𝛼) .

Logo,

ℎ(𝛼, 𝑥) = 𝑥1−𝛼

Γ (2 − 𝛼) .

Segue abaixo o gráfico de ℎ(𝛼, 𝑥).

Figura 4.5: Função ℎ(𝛼, 𝑥) para 0 ≤ 𝛼 ≤ 1 e 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.

Note que para 𝛼 = 0, temos ℎ(0, 𝑥) = 𝑥 e para 𝛼 = 1, ℎ(1, 𝑥) = 1.Por outro lado, se 𝑓(𝑥) = 𝑘, onde 𝑘 é uma constante complexa, podemos obter D𝛼

0+𝑘, fazendo𝑎 = 𝜇 = 0 em (4.2.3) e multiplicando por 𝑘:

66

D𝛼0+𝑘 = 𝑘D𝛼

0+1 = 𝑘𝑥−𝛼

Γ(1 − 𝛼) , para 𝑥 > 0 e Re(𝛼) > 0.

A derivada de uma constante será nula, apenas para 𝛼 ∈ N*, pois, neste caso,

Γ(1 − 𝛼) → ∞.

Para outros valores de 𝛼, D𝛼0+𝑘 será não nula.

Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥𝛼−𝑗, com Re(𝛼) > 0 e 𝑗 = 1, 2, ..., ([Re(𝛼)] + 1), então

D𝛼0+𝑥

𝛼−𝑗 = Γ(𝛼− 𝑗 + 1)Γ(1 − 𝑗) 𝑥−𝑗 ≡ 0,

pois, Γ(1 − 𝑗) → ∞ para todo 𝑗 = 1, 2, ..., ([Re(𝛼)] + 1).

4.3 Integral e derivada fracionárias de LiouvilleA sugestão inicial de Liouville foi baseada na fórmula para a diferenciação de uma função

exponencial e foi estendida para funções 𝑓(𝑥) que podem ser expandidas como séries da forma:

𝑓(𝑥) =∞∑

𝑘=0𝑐𝑘 𝑒

𝑎𝑘𝑥 ⇒ D𝑝𝑓(𝑥) =∞∑

𝑘=0𝑐𝑘 𝑎𝑘

𝑝 𝑒𝑎𝑘𝑥,

onde 𝑎𝑘 > 0 para todo 𝑘.Outra sugestão para a derivada fracionária segundo Liouville, foi a de derivar uma função da

forma 𝑓(𝑡) = 𝑡−𝑎, para Re(𝛼) ≥ 0, 𝑛 = [Re(𝛼)] + 1, 𝑎 > 0 e 𝑡 > 0.As integrais fracionárias segundo Riemann-Liouville, à esquerda e à direita, são facilmente

estendidas ao caso de um intervalo infinito (𝑎 = −∞ ou 𝑏 = +∞). As integrais fracionárias deLiouville, à esquerda e à direita, são definidas para −∞ < 𝑥 < ∞ e Re(𝛼) > 0, respectivamentepor

(I𝛼+𝑓)

(𝑥) = 1Γ(𝛼)

∫ 𝑥

−∞

𝑓(𝜏)(𝑥− 𝜏)1−𝛼 d𝜏 (4.3.1)

e (I𝛼−𝑓)

(𝑥) = 1Γ(𝛼)

∫ ∞

𝑥

𝑓(𝜏)(𝜏 − 𝑥)1−𝛼 d𝜏 . (4.3.2)

As correspondentes derivadas fracionárias de Liouville são

(D𝛼

+𝑓)

(𝑥) := D𝑛[(

I𝑛−𝛼+ 𝑓

)(𝑥)]

e(D𝛼

−𝑓)

(𝑥) := (−1)𝑛D𝑛[(

I𝑛−𝛼− 𝑓

)(𝑥)], (4.3.3)

onde 𝑛 = [Re(𝛼)] + 1, Re(𝛼) ≥ 0 e 𝑥 ∈ R.Se, em particular, 𝛼 = 𝑛 ∈ N, então

(D𝛼

+𝑓)

(𝑥) = 𝑓 (𝑛)(𝑥) e(D𝛼

−𝑓)

(𝑥) = (−1)𝑛𝑓 (𝑛)(𝑥).Kilbas utiliza a Propriedade 2.5, equação (2.2.13) de seu livro [32], para demostrar que

67

D𝛼−𝑡

−𝑎 = (−1)𝑛 Γ(𝛼 + 𝑎)Γ(𝑎) 𝑡−𝑎−𝛼,

para Re(𝛼) ≥ 0, 𝑛 = [Re(𝛼)] + 1, 𝑡 > 0 e 𝑎 > 0. Se, em particular, 𝛼 = 𝑛 e 𝑎 = 𝑚, então

d𝑛

d𝑡𝑛[𝑡−𝑚

]= (−1)𝑛 Γ(𝑚+ 𝑛)

Γ(𝑚) 𝑡−(𝑚+𝑛),

ou seja, recuperamos a derivada de ordem inteira dessa função.

4.4 Derivada fracionária de CaputoO operador diferencial de ordem não inteira de Caputo, pode ser utilizado quando queremos, por

exemplo, discutir uma equação diferencial fracionária, cujas condições iniciais têm interpretaçõesbem conhecidas em termos das derivadas de ordens inteiras [45].

Se 𝑓(𝑥) ∈ AC𝑛[𝑎, 𝑏], com −∞ < 𝑎 < 𝑏 < ∞, 𝛼 ∈ C tal que Re(𝛼) ≥ 0, com 𝛼 /∈ N, e seja𝑛 = [Re(𝛼)] + 1, então as derivadas fracionárias à esquerda (𝐶D𝛼

𝑎+) e à direita (𝐶D𝛼𝑏−), segundo

Caputo, são definidas a partir do operador de integração fracionária de Riemann-Liouville, daforma

(𝐶D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) :=(I𝑛−𝛼𝑎+ 𝑓 (𝑛)

)(𝑥) (4.4.1)

e (𝐶D𝛼

𝑏−𝑓)

(𝑥) := (−1)𝑛(I𝑛−𝛼𝑏− 𝑓 (𝑛)

)(𝑥) . (4.4.2)

Se, em particular, 𝛼 = 𝑛 ∈ N, então(

𝐶D𝑛𝑎+𝑓

)(𝑥) = 𝑓 (𝑛)(𝑥) e

(𝐶D𝑛

𝑏−𝑓)

(𝑥) = (−1)𝑛𝑓 (𝑛)(𝑥).

Utilizando a equação em (4.2.5), podemos estabelecer uma relação entre as derivadas fracioná-rias de Riemann-Liouville e Caputo, da forma

(D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) =𝑛−1∑𝑗=0


Γ(1 + 𝑗 − 𝛼)(𝑓 (𝑗)(𝑥)

𝑥=𝑎

)+(

𝐶D𝛼𝑎+𝑓

)(𝑥) ,

ou ainda, na forma

(𝐶D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) =(D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) −𝑛−1∑𝑗=0


Γ(1 + 𝑗 − 𝛼)(𝑓 (𝑗)(𝑥)

𝑥=𝑎

). (4.4.3)

Note que se 𝑓 (𝑗)(𝑎) = 𝑓 (𝑗)(𝑏) = 0 para 𝑗 = 0, 1, ..., 𝑛 − 1, então a derivada de Caputo coincidecom a derivada de Riemann-Liouville.

Diversas propriedades do operador de Caputo, bem como a relação dele com outros operadoresdiferenciais fracionários podem ser encontradas em [5, 8].

68

Propriedade 4.12. Se 𝑥 > 𝑎, Re(𝛼) > 0 e 𝑛 = [Re(𝛼)] + 1, então

𝐶D𝛼𝑎+(𝑥− 𝑎)𝜇 =

⎧⎪⎨⎪⎩0, para 𝜇 = 0, 1, 2, ..., 𝑛− 1,

Γ(𝜇+ 1)Γ(𝜇− 𝛼 + 1)(𝑥− 𝑎)𝜇−𝛼, para Re(𝜇) > 𝑛− 1.

Demonstração. Vamos usar a definição da derivada de Caputo e a Propriedade 4.7, para mostraro caso em que Re(𝜇) > 𝑛− 1.

𝐶D𝛼𝑎+(𝑥− 𝑎)𝜇 = I𝑛−𝛼

𝑎+ D𝑛(𝑥− 𝑎)𝜇

= I𝑛−𝛼𝑎+

[Γ(𝜇+ 1)

Γ(𝜇− 𝑛+ 1)(𝑥− 𝑎)𝜇−𝑛

](para Re(𝜇) > −1)

= Γ(𝜇+ 1)Γ(𝜇− 𝑛+ 1)I𝑛−𝛼

𝑎+ (𝑥− 𝑎)𝜇−𝑛

= Γ(𝜇+ 1)Γ(𝜇− 𝛼 + 1)(𝑥− 𝑎)𝜇−𝛼, para Re(𝜇− 𝑛) > −1, ou seja, Re(𝜇) > 𝑛− 1.

Por outro lado, se 𝜇 ∈ {0, 1, 2, ..., 𝑛− 1}, então

𝑛−1∑𝑗=0

[(D𝑗(𝑥− 𝑎)𝜇

) 𝑥=𝑎

] (𝑥− 𝑎)𝑗−𝛼

Γ(1 + 𝑗 − 𝛼) = Γ(𝜇+ 1) (𝑥− 𝑎)𝜇−𝛼

Γ(1 + 𝜇− 𝛼) ,

pois no somatório do primeiro membro, o único termo não nulo ocorre quando 𝜇 = 𝑗.Agora, por (4.4.3), segue que

𝐶D𝛼𝑎+(𝑥− 𝑎)𝜇 = D𝛼

𝑎+(𝑥− 𝑎)𝜇 −𝑛−1∑𝑗=0

[(D𝑗(𝑥− 𝑎)𝜇

) 𝑥=𝑎

] (𝑥− 𝑎)𝑗−𝛼

Γ(1 + 𝑗 − 𝛼)

= Γ(𝜇+ 1)Γ(𝜇− 𝛼 + 1)(𝑥− 𝑎)𝜇−𝛼 − Γ(𝜇+ 1) (𝑥− 𝑎)𝜇−𝛼

Γ(1 + 𝜇− 𝛼)

= 0. �

Particularmente, na Propriedade 4.12, se 𝜇 = 0 e 𝑘 é uma constante complexa, então

0 =(

𝐶D𝛼𝑎+(𝑥− 𝑎)0

)⇒ 𝑘𝐶D𝛼

𝑎+1 = 0 ⇒ 𝐶D𝛼𝑎+𝑘 ≡ 0.

Enquanto a derivada de Riemann-Liouville de uma constante pode ser não nula, a derivadafracionária de Caputo de uma constante é nula.

Lema 4.13. Se 𝑓(𝑥) ∈ C[𝑎, 𝑏], com [𝑎, 𝑏] um intervalo finito, 𝛼 ∈ C tal que Re(𝛼) > 0 e Re(𝛼) /∈ Nou 𝛼 ∈ N, então

( 𝐶D𝛼𝑎+I𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) e ( 𝐶D𝛼𝑏−I𝛼

𝑏−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥). (4.4.4)

69

A demonstração deste lema pode ser encontrada em [32].

Lema 4.14. Se 𝑓 ∈ AC𝑛[𝑎, 𝑏] ou C𝑛[𝑎, 𝑏], com −∞ < 𝑎 < 𝑏 < ∞, e 𝛼 ∈ C com Re(𝛼) > 0 e𝑛 = [Re(𝛼)] + 1, então

(I𝛼𝑎+ 𝐶D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑛−1∑𝑗=0

(𝑥− 𝑎)𝑗

𝑗!(𝑓 (𝑗)(𝑥)

𝑥=𝑎

)(4.4.5)

e(I𝛼𝑏− 𝐶D𝛼

𝑏−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑛−1∑𝑗=0

(−1)𝑗(𝑏− 𝑥)𝑗

𝑗!(𝑓 (𝑗)(𝑥)

𝑥=𝑏

). (4.4.6)

Demonstração. Vamos utilizar a Propriedade 4.2 e integração por partes para chegar ao resultado.Consideremos inicialmente as seguintes igualdades:(

I𝛼𝑎+ 𝐶D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) =(I𝛼𝑎+I𝑛−𝛼

𝑎+ D𝑛𝑓)

(𝑥) =(I𝑛𝑎+D𝑛

)𝑓(𝑥) =

(I𝑛𝑎+𝑓

(𝑛))

(𝑥) .

Agora podemos determinar(I𝑛𝑎+𝑓

(𝑛))

(𝑥) efetuando 𝑛 integrações por partes, ou seja,

(I𝑛𝑎+𝑓

(𝑛))

(𝑥) = 1Γ(𝑛)

∫ 𝑥

𝑎𝑓 (𝑛)(𝜏)(𝑥− 𝜏)𝑛−1d𝜏

= − 1Γ(𝑛)(𝑥− 𝑎)𝑛−1𝑓 (𝑛−1)(𝑎) + 1

Γ(𝑛− 1)

∫ 𝑥

𝑎𝑓 (𝑛−1)(𝜏)(𝑥− 𝜏)𝑛−2d𝜏

...

= −𝑛−1∑𝑗=1

𝑓 (𝑗)(𝑎)𝑗! (𝑥− 𝑎)𝑗 + 1

Γ(1)

∫ 𝑥

𝑎𝑓 (1)(𝜏)(𝑥− 𝜏)0d𝜏

= −𝑛−1∑𝑗=1

𝑓 (𝑗)(𝑎)𝑗! (𝑥− 𝑎)𝑗 +

∫ 𝑥

𝑎𝑓 (1)(𝜏)d𝜏

= −𝑛−1∑𝑗=1

𝑓 (𝑗)(𝑎)𝑗! (𝑥− 𝑎)𝑗 + 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

= 𝑓(𝑥) −𝑛−1∑𝑗=0

𝑓 (𝑗)(𝑎)𝑗! (𝑥− 𝑎)𝑗.

A demonstração para(I𝛼𝑏− 𝐶D𝛼

𝑏−𝑓)

(𝑥) é efetuada de forma similar. �

A expressão para a transformada de Laplace do operador de derivação fracionária de Caputoà esquerda, no caso em que 𝑎 = 0, Re(𝛼) > 0 e 𝑛 = [Re(𝛼)] + 1, é dada por

L[

𝐶D𝛼0+𝑓

](𝑠) = L

[I𝑛−𝛼0+ 𝑓 (𝑛)

](𝑠)

70

=⏟ ⏞ (4.1.5)

𝑠𝛼−𝑛L[𝑓 (𝑛)

](𝑠)

=⏟ ⏞ (1.3.5)

𝑠𝛼−𝑛

⎧⎨⎩𝑠𝑛L [𝑓 ] (𝑠) −𝑛−1∑𝑗=0

𝑠𝑗[D𝑛−1−𝑗𝑓(𝑡)

] 𝑡=0+

⎫⎬⎭= 𝑠𝛼L [𝑓 ] (𝑠) −

𝑛−1∑𝑗=0

𝑠𝛼−𝑛+𝑗[𝑓 (𝑛−1−𝑗)(𝑡)

] 𝑡=0+

=⏟ ⏞ 𝑛−1−𝑗=𝑘

𝑠𝛼L [𝑓 (𝑡)] −𝑛−1∑𝑘=0

𝑠𝛼−1−𝑘[𝑓 (𝑘)(𝑡)

] 𝑡=0+

.


L[

𝐶D𝛼0+𝑓

](𝑠) = 𝑠𝛼L [𝑓 ] (𝑠) −

𝑛−1∑𝑘=0

𝑠𝛼−1−𝑘[𝑓 (𝑘)(𝑡)

] 𝑡=0+

. (4.4.7)

Na equação (4.4.7), se em particular 𝛼 = 𝑛 ∈ N, então recuperamos a transformada de Laplaceda derivada 𝑛−ésima de uma função, como na equação (1.3.5).

4.5 Integral e derivada fracionárias de WeylAs operações de integração e derivação fracionárias, conforme definidas pelos operadores de

Riemann-Liouville, são bem adequadas para séries de potência, mas não para funções definidaspor séries de Fourier, pois, se 𝑓(𝑥) é uma função periódica de período 2𝜋, então

(I𝛼𝑎+𝑓

)(𝑥) pode

não ser periódica. Por essa razão, é conveniente utilizar os operadores de integração e derivaçãofracionárias de Weyl.

Seja 𝑓(𝑥) uma função periódica de período 2𝜋, definida na reta real, com valor médio nulo, istoé,

12𝜋

∫ 2𝜋

0𝑓(𝑥)d𝑥 = 0, (4.5.1)

e seja

𝑓(𝑥) ∼∞∑

𝑛=−∞𝑐𝑛𝑒

𝑖𝑛𝑥, com 𝑐𝑛 = 12𝜋

∫ 2𝜋

0𝑒−𝑖𝑛𝑥𝑓(𝑥)d𝑥, (4.5.2)

a série de Fourier de 𝑓(𝑥), onde os 𝑐𝑛’s são os coeficientes de Fourier4.Por (4.5.1), obtemos 𝑐0 = 0, já que por hipótese a função tem valor médio nulo. Assim,

podemos escrever

𝑓(𝑥) ∼∞∑

𝑛=−∞��=0

𝑐𝑛𝑒𝑖𝑛𝑥, com 𝑐𝑛 = 1

2𝜋

∫ 2𝜋

0𝑒−𝑖𝑛𝑥𝑓(𝑥)d𝑥. (4.5.3)

4A notação ∼ indica que a série não necessariamente converge, e se converge, não converge necessariamente a𝑓(𝑥).

71

Observe que por (4.5.3), temos

I1𝑓(𝑥) ∼∞∑

𝑛=−∞��=0

𝑐𝑛(𝑖𝑛)−1𝑒𝑖𝑛𝑥 e D1𝑓(𝑥) ∼∞∑

𝑛=−∞��=0

𝑐𝑛(𝑖𝑛)1𝑒𝑖𝑛𝑥.

Assim, a integral e a derivada de Weyl, são definidas, respectivamente, por

WI𝛼𝑓(𝑥) ∼∞∑

𝑛=−∞𝑛 =0

𝑐𝑛(𝑖𝑛)−𝛼𝑒𝑖𝑛𝑥 e WD𝛼𝑓(𝑥) ∼∞∑

𝑛=−∞𝑛 =0

𝑐𝑛(𝑖𝑛)𝛼𝑒𝑖𝑛𝑥,

com 𝛼 ∈ C e Re(𝛼) > 0.Substituindo 𝑐𝑛 na série para WI𝛼𝑓(𝑥), definida acima, obtemos


𝑛=−∞𝑛 =0

( 12𝜋

∫ 2𝜋

0𝑒−𝑖𝑛𝑦𝑓(𝑦)d𝑦

)(𝑖𝑛)−𝛼𝑒𝑖𝑛𝑥

= 12𝜋

∫ 2𝜋

0𝑓(𝑦)

⎡⎢⎣ ∞∑𝑛=−∞𝑛 =0

𝑒𝑖𝑛(𝑥−𝑦)

(𝑖𝑛)𝛼

⎤⎥⎦ d𝑦

=⏟ ⏞ 𝑥−𝑦=𝑡

12𝜋

∫ 𝑥−2𝜋

𝑥𝑓(𝑥− 𝑡)

⎡⎢⎣ ∞∑𝑛=−∞𝑛 =0

𝑒𝑖𝑛𝑡

(𝑖𝑛)𝛼

⎤⎥⎦ (−d𝑡)

= 12𝜋

∫ 2𝜋

0𝑓(𝑥− 𝑡)Ψ𝛼(𝑡)d𝑡,

onde

Ψ𝛼(𝑡) =∞∑

𝑛=−∞��=0

𝑒𝑖𝑛𝑡

(𝑖𝑛)𝛼. (4.5.4)

De maneira análoga, obtemos a expressão para a derivada fracionária de Weyl

WD𝛼𝑓(𝑥) ∼ 12𝜋

∫ 2𝜋

0𝑓(𝑥− 𝑡)Ψ−𝛼(𝑡)d𝑡.

De acordo com Samko [51], no caso em que 0 < 𝛼 < 1, se 𝑓(𝑥) ∈ L1(0, 2𝜋), a série em (4.5.4)converge a

Ψ𝛼(𝑡) = 2𝜋Γ(𝛼)𝑡

𝛼−1 + 𝑟𝛼(𝑡), com 0 < 𝑡 < 2𝜋,

onde a função 𝑟𝛼(𝑡) é infinitamente diferenciável em 𝑡 ∈ (−2𝜋, 2𝜋]. Dessa forma, obtemos a integralfracionária de Weyl à esquerda, definida por

WI𝛼𝑓(𝑥) = 1Γ(𝛼)

∫ 𝑥

−∞

𝑓(𝑡)(𝑥− 𝑡)1−𝛼

d𝑡 = I𝛼+𝑓(𝑥), 0 < 𝛼 < 1, (4.5.5)

72

isto é, a integral fracionária de Weyl coincide com a integral fracionária de Liouville para 0 < 𝛼 < 1.A respectiva derivada fracionária de Weyl à esquerda, denotada por −∞W𝛼

𝑥𝑓(𝑥), para 0 < 𝛼 < 1,é dada por

−∞W𝛼𝑥𝑓(𝑥) = d

d𝑥I1−𝛼+ 𝑓(𝑥) = 1

Γ(1 − 𝛼)dd𝑥

∫ 𝑥

−∞

𝑓(𝑡)(𝑥− 𝑡)𝛼

d𝑡 = D𝛼+𝑓(𝑥). (4.5.6)

Observe que se definirmos a série de Fourier de 𝑓(𝑥) da forma

𝑓(𝑥) ∼∞∑

𝑛=−∞��=0

𝑐𝑛𝑒−𝑖𝑛𝑥, com 𝑐𝑛 = 1

2𝜋

∫ 2𝜋

0𝑒𝑖𝑛𝑥𝑓(𝑥)d𝑥,

então obtemos para 0 < 𝛼 < 1, de maneira análoga, que a integral fracionária de Weyl à direita ea derivada fracionária de Weyl à direita, são definidas, respectivamente, por

WI𝛼𝑓(𝑥) = 1Γ(𝛼)

∫ ∞

𝑥

𝑓(𝑡)(𝑡− 𝑥)1−𝛼

d𝑡 = I𝛼−𝑓(𝑥)

e𝑥W𝛼

∞𝑓(𝑥) = − dd𝑥I1−𝛼

− 𝑓(𝑥) = − 1Γ(1 − 𝛼)

dd𝑥

∫ ∞

𝑥

𝑓(𝑡)(𝑡− 𝑥)𝛼

d𝑡 = D𝛼−𝑓(𝑥).

Como exemplo de aplicação da derivada fracionária segundo Weyl, vamos determinar umaexpressão para a derivada fracionária da particular função 𝑓(𝑥) = cos𝑥, segundo Weyl e segundoRiemann-Liouville.

Temos que 𝑓(𝑥) é periódica de período 2𝜋 e tem valor médio nulo, pois

12𝜋

∫ 2𝜋

0cos𝑥 d𝑥 = 0.

∙ Derivada fracionária de 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 segundo Weyl:

𝑓(𝑥) = cos 𝑥 = 𝑒𝑖𝑥 + 𝑒−𝑖𝑥

2 = 12 𝑒

𝑖𝑥 + 12 𝑒

−𝑖𝑥.

Assim, temos que

𝑐1 = 𝑐−1 = 12 e 𝑐𝑛 = 0 para todo 𝑛 ∈ Z∖{−1, 1}.

Com isso,

WD𝛼 cos𝑥 = 𝑐1(𝑖)𝛼𝑒𝑖𝑥 + 𝑐−1(−𝑖)𝛼𝑒−𝑖𝑥 = 12 𝑖

𝛼𝑒𝑖𝑥 + 12(−𝑖)𝛼𝑒−𝑖𝑥.

Portanto, podemos escrever

𝜑(𝛼, 𝑥) =WD𝛼 cos𝑥 = 12 𝑖

𝛼𝑒𝑖𝑥 + 12(−𝑖)𝛼𝑒−𝑖𝑥.

73

Note que a função 𝜑(𝛼, 𝑥) é periódica de período 2𝜋.Na figura a seguir, temos o gráfico para a função 𝜑(𝛼, 𝑥), no intervalo −10 ≤ 𝑥 ≤ 10, para

alguns valores de 𝛼.

Figura 4.6: WD𝛼(cos𝑥) para 𝛼 = 0, 8; 1 e 1, 5.

∙ Derivada fracionária de 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 segundo Riemann-Liouville:

D𝛼0+ cos𝑥 = 1

2(D𝛼

0+𝑒𝑖𝑥 + D𝛼

0+𝑒−𝑖𝑥)

= 12

⎧⎨⎩D𝛼0+

⎡⎣ ∞∑𝑗=0

(𝑖𝑥)𝑗

𝑗!

⎤⎦+ D𝛼0+

⎡⎣ ∞∑𝑗=0

(−𝑖𝑥)𝑗

𝑗!

⎤⎦⎫⎬⎭= 1

2 𝑥−𝛼 [E1,1−𝛼(𝑖𝑥) + E1,1−𝛼(−𝑖𝑥)]

= 𝑥−𝛼

2 Γ(1 − 𝛼) [1F1 (1; 1 − 𝛼; 𝑖𝑥) +1 F1 (1; 1 − 𝛼; −𝑖𝑥)] ,

onde 1F1 (𝑎; 𝑏; 𝑧) é a função hipergeométrica confluente.A derivada de Weyl é definida para 𝑥 ∈ R, enquanto que a de Riemann-Liouville é definida

apenas para 𝑥 > 0.A função D𝛼

0+ cos𝑥 não tem período 2𝜋. De fato, se por exemplo 𝛼 = 0, 5, então

[D0,5

0+ cos𝑥]

𝑥=1= 1−0,5

2 Γ(0, 5) [1F1 (1; 0, 5; 𝑖) +1 F1 (1; 0, 5; −𝑖)] ∼= −0, 1055,

74

enquanto que

[D0,5

0+ cos𝑥]

𝑥=(1+2𝜋)= (1 + 2𝜋)−0,5

2 Γ(0, 5) [1F1 (1; 0, 5; (1 + 2𝜋)𝑖) +1 F1 (1; 0, 5; −(1 + 2𝜋)𝑖)] ∼= −0, 2104.

Ou seja, concluímos que [D0,5

0+ cos𝑥]

𝑥=1=[D0,5

0+ cos𝑥]

𝑥=(1+2𝜋).

Na figura a seguir temos o gráfico da derivada fracionária segundo Riemann-Liouville da função𝑓(𝑥) = cos𝑥 para alguns valores particulares de 𝛼, quando −10 ≤ 𝑥 ≤ 20. No gráfico de D𝛼

0+(cos𝑥)podemos ter pontos com 𝑥 ≤ 0 apenas no caso em que 𝛼 = 1. Para 𝛼 = 1, D𝛼

0+(cos𝑥) está bemdefinida apenas para 𝑥 > 0.

Figura 4.7: D𝛼0+(cos𝑥) para 𝛼 = 0, 8; 1 e 1, 5.

A seguir, o gráfico para WD0,5(cos𝑥) e D0,50+(cos𝑥), quando 0 < 𝑥 < 4𝜋.Pelo gráfico acima, notamos que para 𝜋 < 𝑥 < 4𝜋 as derivadas se aproximam, enquanto que

para 0 < 𝑥 < 𝜋, elas diferem bastante, principalmente quando 𝑥 está próximo de 0.Outro exemplo de aplicação da derivada fracionária segundo Weyel pode ser obtido conside-

rando a seguinte equação diferencial fracionária:

WD2𝛼𝑓(𝑥) + WD𝛽𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), (4.5.7)com 0 < 𝛼, 𝛽 < 1 e 𝑔(𝑥) ∈ L1(0, 2𝜋) uma função 2𝜋−periódica, com valor médio nulo.

Seja

𝑓(𝑥) ∼∞∑

𝑛=−∞𝑛 =0

𝑎𝑛 𝑒𝑖𝑛𝑥

uma solução particular para essa equação. Assim, podemos escrever

75

Figura 4.8: WD0,5(cos𝑥) (Weyl) e D0,50+(cos𝑥) (Riemann-Liouville).

WD2𝛼𝑓(𝑥) ∼∞∑

𝑛=−∞��=0

𝑎𝑛(𝑖𝑛)2𝛼𝑒𝑖𝑛𝑥 e WD𝛽𝑓(𝑥) ∼∞∑

𝑛=−∞𝑛 =0

𝑎𝑛(𝑖𝑛)𝛽𝑒𝑖𝑛𝑥.

Com isso, obtemos

WD2𝛼𝑓(𝑥) + WD𝛽𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥) =∞∑

𝑛=−∞𝑛 =0

𝑎𝑛

[(𝑖𝑛)2𝛼 + (𝑖𝑛)𝛽 + 1

]𝑒𝑖𝑛𝑥.

Seja agora

𝑔(𝑥) ∼∞∑

𝑛=−∞𝑛 =0

𝑐𝑛𝑒𝑖𝑛𝑥,

a série de Fourier de 𝑔(𝑥), onde

𝑐𝑛 = 12𝜋

∫ 2𝜋

0𝑒−𝑖𝑛𝑥𝑔(𝑥)d𝑥,

então a equação em (4.5.7) é equivalente à equação∞∑

𝑛=−∞𝑛 =0

𝑎𝑛

[(𝑖𝑛)2𝛼 + (𝑖𝑛)𝛽 + 1

]𝑒𝑖𝑛𝑥 =

∞∑𝑛=−∞��=0

𝑐𝑛𝑒𝑖𝑛𝑥.

Através da equação acima é possível determinar os coeficientes 𝑎𝑛’s para obter uma expressão paraa função 𝑓(𝑥). Temos que

𝑎𝑛 = 𝑐𝑛

[(𝑖𝑛)2𝛼 + (𝑖𝑛)𝛽 + 1] =

[(𝑖𝑛)2𝛼 + (𝑖𝑛)𝛽 + 1

]−1

2𝜋

∫ 2𝜋

0𝑒−𝑖𝑛𝑥𝑔(𝑥)d𝑥.

76

Logo, uma solução particular para a equação (4.5.7) é dada por

𝑓(𝑥) ∼∞∑

𝑛=−∞𝑛 =0

𝑒𝑖𝑛𝑥

⎧⎪⎨⎪⎩[(𝑖𝑛)2𝛼 + (𝑖𝑛)𝛽 + 1

]−1

2𝜋

∫ 2𝜋

0𝑒−𝑖𝑛𝑥𝑔(𝑥)d𝑥

⎫⎪⎬⎪⎭ .Se, em particular, 𝑔(𝑥) = −sen𝑥 = 1

2𝑖 𝑒−𝑖𝑥 − 1

2𝑖 𝑒𝑖𝑥, então

𝑐−1 = 12𝑖 , 𝑐1 = − 1

2𝑖 e 𝑐𝑛 = 0 para todo 𝑛 ∈ Z∖{−1, 1}.

Assim, obtemos

𝑎−1 = 12𝑖 [(−𝑖)2𝛼 + (−𝑖)𝛽 + 1] , 𝑎1 = −1

2𝑖 (𝑖2𝛼 + 𝑖𝛽 + 1)e

𝑎𝑛 = 0 para todo 𝑛 ∈ Z∖{−1, 1}.


𝑓(𝑥) = 12𝑖 [(−𝑖)2𝛼 + (−𝑖)𝛽 + 1] 𝑒

−𝑖𝑥 − 12𝑖 (𝑖2𝛼 + 𝑖𝛽 + 1) 𝑒

𝑖𝑥.

Além disso, ainda neste caso particular, fazendo 𝛼 = 𝛽 = 1, temos que 𝑓(𝑥) = cos𝑥 é umasolução particular para a equação (4.5.7) quando 𝑔(𝑥) = −sen𝑥.

4.6 Integral fracionária de RieszOperações de integração e derivação fracionárias no espaço euclideano R𝑛 são potências fraci-

onárias (−Δ)𝛽/2 do operador Laplaciano, onde 𝛽 ∈ C. Se Re(𝛽) < 0, temos a integral fracionáriade Riesz, por outro lado, se Re(𝛽) > 0, temos a derivada fracionária de Riesz.

Se 𝜙 é uma função de uma variável real, então temos a seguinte propriedade:

ℱ [Δ𝜙] (𝜔) = (𝑖𝜔)2 𝜙 (𝜔) .

Generalizando essa propriedade para a derivada fracionária de uma função 𝑓(𝑥), com 𝑥 ∈ R,podemos escrever

ℱ[Δ𝛼/2𝑓

](𝜔) = (𝑖𝜔)𝛼 𝑓 (𝜔) .

Podemos ainda reescrever a potência 𝑖𝛼 da forma

𝑖𝛼 =(𝑖2)𝛼/2

= (−1)𝛼/2 ,

com isso, temos que

77

ℱ[Δ𝛼/2𝑓

](𝜔) = (−1)𝛼/2 ‖𝜔‖𝛼 𝑓 (𝜔) ,

ou ainda,

ℱ[(−Δ)𝛼/2 𝑓

](𝜔) = ‖𝜔‖𝛼 𝑓 (𝜔) ,

de onde segue que

(−Δ)𝛼/2 𝑓 = ℱ−1 ‖𝜔‖𝛼 ℱ𝑓 = D𝛼𝑓,

onde ℱ−1 denota a transformada de Fourier inversa e D𝛼 denota a derivada fracionária de Rieszde ordem 𝛼.

No caso da integral fracionária, podemos considerar a potência fracionária −𝛼

2 , com Re(𝛼) > 0,do operador Laplaciano, em termos da transformada de Fourier, por

(−Δ)−𝛼/2 𝑓 = ℱ−1 ‖𝜔‖−𝛼 ℱ𝑓 = I𝛼𝑓,

para 𝛼 ∈ C∖{0} e funções 𝑓(𝑥), “suficientemente boas”. I𝛼𝑓 denota a integral fracionária de Rieszda função 𝑓 .

A integração fracionária de Riesz de ordem 𝛼 é também conhecida como potencial de Riesz edefinida pela convolução de Fourier

(I𝛼𝑓) (x) =∫

R𝑛K𝛼(x − 𝜉)𝑓(𝜉)d𝜉, (4.6.1)

com Re(𝛼) > 0 e x ∈ R𝑛, onde

K𝛼(x) := 1𝛾𝑛(𝛼)

⎧⎪⎨⎪⎩‖x‖𝛼−𝑛 , se 𝛼− 𝑛 = 0, 2, 4, · · · ,

‖x‖𝛼−𝑛 log(

1‖x‖

), se 𝛼− 𝑛 = 0, 2, 4, · · · ,

é o núcleo de Riesz e 𝛾𝑛(𝛼) é definido em [32], como

𝛾𝑛(𝛼) =

⎧⎨⎩ 2𝛼 𝜋𝑛2 Γ

(𝛼2

) [Γ(

𝑛−𝛼2

)]−1, se 𝛼− 𝑛 = 0, 2, 4, · · · ,

(−1)𝑛−𝛼

2 2𝛼−1 𝜋𝑛2 Γ

(1 + 𝛼−𝑛

2

)Γ(

𝛼2

), se 𝛼− 𝑛 = 0, 2, 4, · · ·

Se, em particular, 𝑛 = 1, ou seja, 𝑓 : R → R, então

(I𝛼𝑓) (𝑥) =Γ(

1−𝛼2

)2𝛼 𝜋

12 Γ

(𝛼2

) ∫ ∞

−∞𝑓(𝜉) |𝑥− 𝜉|𝛼−1 d𝜉 (𝛼 = 1, 3, 5, · · ·). (4.6.2)

Podemos reescrever (4.6.2) como um produto de convolução (1.1.1), da seguinte forma

(I𝛼𝑓) (𝑥) = 𝑐𝛼 (𝑓 * 𝑔) (𝑥), (4.6.3)

onde 𝑔(𝑥) = |𝑥|𝛼−1, 𝑐𝛼 =Γ(

1−𝛼2

)2𝛼 𝜋

12 Γ

(𝛼2

) e 𝛼 = 1, 3, 5, · · ·

78

Aplicando a transformada de Fourier em ambos os membros de (4.6.3), obtemos

ℱ [I𝛼𝑓 ] (𝜔) = ℱ [𝑐𝛼 (𝑓 * 𝑔)] (𝜔) ⇒ |𝜔|−𝛼 𝑓 (𝜔) = 𝑐𝛼𝑓 (𝜔) 𝑔 (𝜔) ,

onde 𝑓 (𝜔) e 𝑔 (𝜔) são as transformadas de Fourier de 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), respectivamente. Assim,

𝑔 (𝜔) = ℱ[|𝑥|𝛼−1

](𝜔) =

2𝛼 𝜋12 Γ

(𝛼2

)Γ(

1−𝛼2

) |𝜔|−𝛼 . (4.6.4)

Podemos também reescrever (4.6.2) em termos das integrais de Liouville (4.3.1) e (4.3.2):

I𝛼𝑓(𝑥) =Γ(

1−𝛼2

)2𝛼 𝜋

12 Γ

(𝛼2

) ∫ ∞

−∞𝑓(𝜉) |𝑥− 𝜉|𝛼−1 d𝜉

=Γ(

1−𝛼2

)2𝛼 𝜋

12 Γ

(𝛼2

) [∫ 𝑥

−∞𝑓(𝜉)(𝑥− 𝜉)𝛼−1d𝜉 +

∫ ∞

𝑥𝑓(𝜉)(𝜉 − 𝑥)𝛼−1d𝜉

]

=Γ (𝛼) Γ

(1−𝛼

2

)2𝛼 𝜋

12 Γ

(𝛼2

) [I𝛼+𝑓(𝑥) + I𝛼

−𝑓(𝑥)]

= 12 cos

(𝛼𝜋2


−𝑓(𝑥)].

Logo, temos

I𝛼𝑓(𝑥) = 12 cos

(𝛼𝜋2


−𝑓(𝑥)]

(𝛼 = 1, 3, 5, · · ·). (4.6.5)

4.7 Derivada fracionária de RieszApresentamos nesta seção o operador de derivação fracionária de Riesz, que pode ser escrito

em termos da transformada de Fourier, conforme discutido na seção anterior, de modo a satisfazer

(−Δ)𝛼/2 𝑓 = ℱ−1 ‖𝜔‖𝛼 ℱ𝑓 = D𝛼𝑓,

onde D𝛼 denota a derivada fracionária de Riesz de ordem 𝛼.A derivada fracionária de Riesz de 𝑓(x), com x ∈ R𝑛, é definida para Re(𝛼) > 0, como a

seguinte integral

(D𝛼𝑓) (x) := 1d𝑛(𝑙, 𝛼)

∫R𝑛

(Δ𝑙

𝜉𝑓)

(x)|𝜉|𝑛+𝛼 d𝜉 (𝑙 > 𝛼), (4.7.1)

onde d𝑛(𝑙, 𝛼) e(Δ𝑙

𝜉𝑓)

(x) estão definidas em [32].

79

Em particular, se 𝑛 = 1, então

(D𝛼𝑓) (𝑥) = 𝑘𝛼

∫ ∞

−∞

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥− 𝜉)|𝜉|1+𝛼 d𝜉 (0 < 𝛼 < 1), (4.7.2)

onde 𝑘𝛼 =2𝛼 Γ(1 + 𝛼

2 ) Γ(1+𝛼2 ) sen(𝛼 𝜋

2 )𝜋

32

.

Vamos expressar (4.7.2) em termos das derivadas fracionárias de Liouville (4.3.3). Considerando0 < 𝛼 < 1, podemos escrever

D𝛼+𝑓(𝑥) = 1


∫ 𝑥

−∞(𝑥− 𝜉)−𝛼𝑓(𝜉)d𝜉

= 1Γ(1 − 𝛼)

dd𝑥

∫ ∞

0𝜉−𝛼𝑓(𝑥− 𝜉)d𝜉

= 1Γ(1 − 𝛼)

∫ ∞

0𝜉−𝛼 𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑥− 𝜉)d𝜉.

Agora, 𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑥− 𝜉) = − 𝜕

𝜕𝜉𝑓(𝑥− 𝜉), com isso, temos

D𝛼+𝑓(𝑥) = 1

Γ(1 − 𝛼)

∫ ∞

0𝜉−𝛼

[− 𝜕

𝜕𝜉𝑓(𝑥− 𝜉)

]d𝜉.

Efetuando integração por partes, obtemos

D𝛼+𝑓(𝑥) = 1

Γ(1 − 𝛼)

{[−𝑓(𝑥− 𝜉)

𝜉𝛼

] ∞

0− 𝛼

∫ ∞

0𝜉−𝛼−1𝑓(𝑥− 𝜉)d𝜉

}

= 1Γ(1 − 𝛼)

{lim

𝜉→∞

[−𝑓(𝑥− 𝜉)

𝜉𝛼

]+ lim

𝜉→0

[𝑓(𝑥− 𝜉)

𝜉𝛼

]− 𝛼

∫ ∞


}

= 1Γ(1 − 𝛼)

{0 + 𝑓(𝑥) lim

𝜉→0

[1𝜉𝛼

]− 𝛼

∫ ∞


}

= 1Γ(1 − 𝛼)

{0 + 𝑓(𝑥)

∫ ∞

0

𝛼

𝜉𝛼+1 d𝜉 − 𝛼∫ ∞


}

= 1Γ(1 − 𝛼)

[𝛼∫ ∞

0

𝑓(𝑥)𝜉𝛼+1 d𝜉 − 𝛼

∫ ∞

0

𝑓(𝑥− 𝜉)𝜉𝛼+1 d𝜉

]

= 𝛼

Γ(1 − 𝛼)

∫ ∞

0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥− 𝜉)𝜉𝛼+1 d𝜉.

80


D𝛼+𝑓(𝑥) = 𝛼

Γ(1 − 𝛼)

∫ ∞

0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥− 𝜉)𝜉𝛼+1 d𝜉 (0 < 𝛼 < 1). (4.7.3)

De forma análoga, obtemos

D𝛼−𝑓(𝑥) = − 1


∫ ∞

𝑥(𝜉 − 𝑥)−𝛼𝑓(𝜉)d𝜉

= − 1Γ(1 − 𝛼)

dd𝑥

∫ ∞

0𝜉−𝛼𝑓(𝑥+ 𝜉)d𝜉

= − 1Γ(1 − 𝛼)

∫ ∞

0𝜉−𝛼 𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑥+ 𝜉)d𝜉.

Agora, 𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑥+ 𝜉) = 𝜕

𝜕𝜉𝑓(𝑥+ 𝜉), com isso

D𝛼−𝑓(𝑥) = − 1

Γ(1 − 𝛼)

∫ ∞

0𝜉−𝛼

[𝜕

𝜕𝜉𝑓(𝑥+ 𝜉)

]d𝜉

Efetuando integração por partes, temos

D𝛼−𝑓(𝑥) = − 1

Γ(1 − 𝛼)

{lim𝜉→0

[−𝑓(𝑥+ 𝜉)

𝜉𝛼

]+ 𝛼

∫ ∞

0𝜉−𝛼−1𝑓(𝑥+ 𝜉)d𝜉

}

= − 1Γ(1 − 𝛼)

[−𝛼

∫ ∞

0

𝑓(𝑥)𝜉𝛼+1 d𝜉 + 𝛼

∫ ∞

0

𝑓(𝑥+ 𝜉)𝜉𝛼+1 d𝜉

]

= 𝛼

Γ(1 − 𝛼)

∫ ∞

0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥+ 𝜉)𝜉𝛼+1 d𝜉.

Logo, obtemos

D𝛼−𝑓(𝑥) = 𝛼

Γ(1 − 𝛼)

∫ ∞

0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥+ 𝜉)𝜉𝛼+1 d𝜉 (0 < 𝛼 < 1). (4.7.4)

A derivada de Riesz (4.7.2) de 𝑓(𝑥), pode ser escrita como

D𝛼𝑓(𝑥) = 𝑘𝛼

[∫ ∞

0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥− 𝜉)𝜉𝛼+1 d𝜉 +

∫ ∞

0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥+ 𝜉)𝜉𝛼+1 d𝜉

]

= 𝑘𝛼Γ(1 − 𝛼)

𝛼

[D𝛼

+𝑓(𝑥) + D𝛼−𝑓(𝑥)

].

Podemos simplificar a expressão

81

𝑘𝛼Γ(1 − 𝛼)

𝛼,

utilizando algumas identidades envolvendo a função gama, discutidas no Capítulo 2. Primeira-mente, vamos substituir o termo 𝑘𝛼, definido em (4.7.2) na expressão


𝛼=

2𝛼 Γ(1 + 𝛼

2

)Γ(

1+𝛼2

)sen

(𝛼 𝜋2

)𝜋

32

· Γ(1 − 𝛼)𝛼

.

Em [24], página 896, 1 de 8.335, encontramos a expressão

Γ(𝑥) Γ(𝑥+ 1

2

)=

√𝜋 Γ(2𝑥)22𝑥−1 .

Escrevendo 𝑥 = 1 + 𝛼

2 , temos que

Γ(

1 + 𝛼

2

)Γ(1 + 𝛼

2

)=

√𝜋 Γ(1 + 𝛼)

2𝛼.



𝛼=

2𝛼 Γ(1 + 𝛼

2

)Γ(

1+𝛼2

)sen

(𝛼 𝜋2

)𝜋

32

· Γ(1 − 𝛼)𝛼

=√𝜋 Γ(1 + 𝛼) Γ(1 − 𝛼) sen

(𝛼 𝜋2

)𝛼𝜋

32

=⏟ ⏞ (2.1.3)

√𝜋 𝛼Γ(𝛼) Γ(1 − 𝛼) sen

(𝛼 𝜋2

)𝛼𝜋

32

=√𝜋 Γ(𝛼) Γ(1 − 𝛼) sen

(𝛼 𝜋2

)𝜋

32

.

Em [24], página 896, 2 de 8.334, encontramos a expressão

Γ(1

2 + 𝑥)

Γ(1

2 − 𝑥)

= 𝜋

cos (𝜋 𝑥) .

Escrevendo 𝑥 = 𝛼− 12 na expressão acima, temos que

Γ(𝛼) Γ(1 − 𝛼) = Γ(1

2 + 𝛼− 12

)Γ(1

2 + 12 − 𝛼

)= 𝜋

cos[𝜋(𝛼− 1

2

)] .Assim,

82


𝛼=

√𝜋 Γ(𝛼) Γ(1 − 𝛼) sen

(𝛼 𝜋2

)𝜋

32

=√𝜋 sen

(𝛼 𝜋2

)𝜋

𝜋32 cos

[𝜋(𝛼− 1

2

)]

=sen

(𝛼 𝜋2

)cos

[𝜋(𝛼− 1

2

)] .Ainda podemos escrever

sen(

𝛼 𝜋2

)cos

[𝜋(𝛼− 1

2

)] =sen

(𝛼 𝜋2

)cos

(𝛼𝜋 − 𝜋

2

) =sen

(𝛼 𝜋2

)sen (𝛼𝜋) =

sen(

𝛼 𝜋2

)sen

(2 𝛼 𝜋

2

) =sen

(𝛼 𝜋2

)2 sen

(𝛼 𝜋2

)cos

(𝛼 𝜋2

) = 12 cos

(𝛼 𝜋2

) .Ou seja, obtemos a seguinte igualdade


𝛼= 1

2 cos(𝛼 𝜋2 ) .

Temos então uma expressão para a derivada de Riesz em termos das derivadas de Liouville,dada por

D𝛼𝑓(𝑥) = 12 cos(𝛼 𝜋

2 )[D𝛼

+𝑓(𝑥) + D𝛼−𝑓(𝑥)

](0 < 𝛼 < 1). (4.7.5)

Podemos ainda expressar D𝛼𝑓(𝑥) como um produto de convolução a partir da equação (4.7.5).Substituindo D𝛼

+𝑓(𝑥) e D𝛼−𝑓(𝑥) pelas expressões dadas em (4.3.3) e considerando o fato de que

0 < 𝛼 < 1, podemos escrever

D𝛼𝑓(𝑥) = 12 cos(𝛼 𝜋

2 )

[1


∫ 𝑥

−∞𝑓(𝜉) (𝑥− 𝜉)−𝛼 d𝜉 + 1


∫ ∞

𝑥𝑓(𝜉) (𝜉 − 𝑥)−𝛼 d𝜉

]

= 1Γ(1 − 𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋

2 )

[dd𝑥

∫ 𝑥

−∞𝑓(𝜉) (𝑥− 𝜉)−𝛼 d𝜉 + (−1)−𝛼 d

d𝑥

∫ ∞

𝑥𝑓(𝜉) (𝑥− 𝜉)−𝛼 d𝜉

]

=[

1 + (−1)−𝛼

Γ(1 − 𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

]dd𝑥

∫ ∞

−∞𝑓(𝜉) (𝑥− 𝜉)−𝛼 d𝜉

=[

1 + (−1)−𝛼

Γ(1 − 𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

] ∫ ∞

−∞𝑓(𝜉)

[𝜕

𝜕𝑥(𝑥− 𝜉)−𝛼

]d𝜉

=[

1 + (−1)−𝛼

Γ(1 − 𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

] ∫ ∞

−∞𝑓(𝜉)

[−𝛼 (𝑥− 𝜉)−𝛼−1

]d𝜉

83

=[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

] ∫ ∞

−∞𝑓(𝜉) (𝑥− 𝜉)−𝛼−1 d𝜉.

Assim, temos que

(D𝛼𝑓) (𝑥) = 𝑑𝛼 (𝑓 * ℎ) (𝑥), (4.7.6)

onde ℎ(𝑥) = 𝑥−𝛼−1, 𝑑𝛼 =[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

]e 0 < 𝛼 < 1.

Aplicando a transformada de Fourier em ambos os membros da equação (4.7.6), obtemos atransformada de Fourier da função ℎ(𝑥) = 𝑥−𝛼−1

ℱ [(D𝛼𝑓)] (𝜔) =[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

]ℱ [(𝑓 * ℎ)] (𝜔)

|𝜔|𝛼 𝑓 (𝜔) =[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

]𝑓 (𝜔) ℎ (𝜔) ,

onde 𝑓 (𝜔) e ℎ (𝜔) são as transformadas de Fourier de 𝑓(𝑥) e ℎ(𝑥), respectivamente. Assim,

ℎ (𝜔) = ℱ[𝑥−𝛼−1

](𝜔) =

[Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋

2 )1 + (−1)−𝛼

]|𝜔|𝛼 , com 0 < 𝛼 < 1. (4.7.7)

Teorema 4.15. O produto de convolução de Fourier das funções 𝑔(𝑥) = |𝑥|𝛼−1 e ℎ(𝑥) = 𝑥−𝛼−1,para 0 < 𝛼 < 1 é da forma5

(𝑔 * ℎ) (𝑥) = 1𝑐𝛼 𝑑𝛼

𝛿(𝑥), (4.7.8)

onde 𝑐𝛼 =Γ(

1−𝛼2

)2𝛼 𝜋

12 Γ

(𝛼2

) , 𝑑𝛼 =[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

]e 1𝑐𝛼 𝑑𝛼

=4 Γ(𝛼) Γ(−𝛼) cos2(𝛼 𝜋

2 )1 + (−1)−𝛼

.

Demonstração. Aplicando a transformada de Fourier na função (𝑔 * ℎ) (𝑥), e usando as equações(4.6.4) e (4.7.7), temos que

ℱ [(𝑔 * ℎ)] (𝜔) = 𝑔 (𝜔) ℎ (𝜔) =(

|𝜔|−𝛼

𝑐𝛼

)(|𝜔|𝛼

𝑑𝛼

)= 1𝑐𝛼 𝑑𝛼

= ℱ[ 1𝑐𝛼 𝑑𝛼

𝛿(𝑥)]

(𝜔).


ℱ [𝑔 * ℎ] (𝜔) = ℱ[ 1𝑐𝛼 𝑑𝛼

𝛿]

(𝜔) .

Aplicando a transformada de Fourier inversa em ambos os membros, temos que

(𝑔 * ℎ) (𝑥) = 1𝑐𝛼 𝑑𝛼

𝛿(𝑥) =[

4 Γ(𝛼) Γ(−𝛼) cos2(𝛼 𝜋2 )

1 + (−1)−𝛼

]𝛿(𝑥).

�5𝛿(𝑥) denota a distribuição delta de Dirac.

84

No Teorema 4.15, o coeficiente 1𝑐𝛼 𝑑𝛼

em (4.7.8) é complexo, já que 0 < 𝛼 < 1.Considerando 0 < 𝛼 < 1, pelas equações (4.6.5) e (4.7.5), temos que

(D𝛼I𝛼𝑓) (𝑥) = 12 cos

(𝛼𝜋2

)D𝛼(I𝛼+𝑓(𝑥) + I𝛼

−𝑓(𝑥))

=⎡⎣ 1

2 cos(

𝛼𝜋2

)⎤⎦2 {

D𝛼+

[I𝛼+𝑓(𝑥) + I𝛼

−𝑓(𝑥)]

+ D𝛼−

[I𝛼+𝑓(𝑥) + I𝛼

−𝑓(𝑥)]}

= 14 cos2

(𝛼𝜋2

) [D𝛼+I𝛼

+𝑓(𝑥) + D𝛼+I𝛼

−𝑓(𝑥) + D𝛼−I𝛼

+𝑓(𝑥) + D𝛼−I𝛼

−𝑓(𝑥)].

Podemos escrever(D𝛼

+I𝛼+𝑓)

(𝑥) = lim𝑎→−∞

(D𝛼

𝑎+I𝛼𝑎+𝑓

)(𝑥) =⏟ ⏞

Lema 4.9

lim𝑎→−∞

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥),

de maneira análoga, temos (D𝛼

−I𝛼−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥).Assim,

(D𝛼I𝛼𝑓) (𝑥) = 14 cos2

(𝛼𝜋2

) [2𝑓(𝑥) + D𝛼+I𝛼


+𝑓(𝑥)]. (4.7.9)

Dadas duas funções reais 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), por (4.7.2) temos que para 0 < 𝛼 < 1,

D𝛼 [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑘𝛼

∫ ∞

−∞

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥− 𝜉)𝑔(𝑥− 𝜉)|𝜉|1+𝛼 d𝜉

= 𝑘𝛼

∫ ∞

−∞

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥− 𝜉) + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥− 𝜉) − 𝑓(𝑥− 𝜉)𝑔(𝑥− 𝜉)|𝜉|1+𝛼 d𝜉

= 𝑘𝛼

∫ ∞

−∞

𝑓(𝑥) [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥− 𝜉)] + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥− 𝜉) − 𝑓(𝑥− 𝜉)𝑔(𝑥− 𝜉)|𝜉|1+𝛼 d𝜉

= 𝑓(𝑥)D𝛼𝑔(𝑥) + 𝑘𝛼

∫ ∞

−∞

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥− 𝜉) − 𝑓(𝑥− 𝜉)𝑔(𝑥− 𝜉)|𝜉|1+𝛼 d𝜉

= 𝑓(𝑥)D𝛼𝑔(𝑥) + 𝑘𝛼

∫ ∞

−∞

𝜓(𝑥, 𝜉)|𝜉|1+𝛼 d𝜉,

onde

𝜓(𝑥, 𝜉) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥− 𝜉) − 𝑓(𝑥− 𝜉)𝑔(𝑥− 𝜉).

85

A função 𝜓(𝑥, 𝜉) pode ser reescrita da forma

𝜓(𝑥, 𝜉) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥− 𝜉) − 𝑓(𝑥− 𝜉)𝑔(𝑥− 𝜉)

= 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥− 𝜉) − 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥− 𝜉) + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥− 𝜉) − 𝑓(𝑥− 𝜉)𝑔(𝑥− 𝜉)

= 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥− 𝜉) − 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥− 𝜉) + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥− 𝜉) − 𝑓(𝑥− 𝜉)𝑔(𝑥− 𝜉)

= 𝑔(𝑥) [𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥− 𝜉)] − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥− 𝜉) + 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥− 𝜉) − 𝑓(𝑥− 𝜉)𝑔(𝑥− 𝜉).

Logo,

𝜓(𝑥, 𝜉) = 𝑔(𝑥) [𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥− 𝜉)]−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)𝑔(𝑥−𝜉)+𝑔(𝑥)𝑓(𝑥−𝜉)−𝑓(𝑥−𝜉)𝑔(𝑥−𝜉). (4.7.10)

Dessa forma, temos que

D𝛼 [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)D𝛼𝑔(𝑥) + 𝑘𝛼

∫ ∞

−∞

𝜓(𝑥, 𝜉)|𝜉|1+𝛼 d𝜉

=⏟ ⏞ Eq. (4.7.10)

𝑓(𝑥)D𝛼𝑔(𝑥)+𝑔(𝑥)D𝛼𝑓(𝑥)+𝑘𝛼

∫ ∞

−∞

−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥− 𝜉) + 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥− 𝜉) − 𝑓(𝑥− 𝜉)𝑔(𝑥− 𝜉)|𝜉|1+𝛼 d𝜉

= 𝑓(𝑥)D𝛼𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥)D𝛼𝑓(𝑥) + 𝑘𝛼

∫ ∞

−∞

−𝑓(𝑥) [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥− 𝜉)] + 𝑓(𝑥− 𝜉) [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥− 𝜉)]|𝜉|1+𝛼 d𝜉

= 𝑓(𝑥)D𝛼𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥)D𝛼𝑓(𝑥) + 𝑘𝛼

∫ ∞

−∞

[𝑓(𝑥− 𝜉) − 𝑓(𝑥)] [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥− 𝜉)]|𝜉|1+𝛼 d𝜉.


D𝛼 [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)D𝛼𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥)D𝛼𝑓(𝑥) + 𝑘𝛼

∫ ∞

−∞

[𝑓(𝑥− 𝜉) − 𝑓(𝑥)] [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥− 𝜉)]|𝜉|1+𝛼 d𝜉.

(4.7.11)Considere, por exemplo, o caso particular em que 𝑓(𝑥) = 𝑐, onde 𝑐 é uma constante real. Pela

equação (4.7.2), segue que para 0 < 𝛼 < 1,

D𝛼𝑐 = 𝑘𝛼

∫ ∞

−∞

𝑐− 𝑐

|𝜉|1+𝛼 d𝜉 = 0.

Ou seja, a derivada de uma constante é zero. Substituindo esse resultado na equação (4.7.11),podemos escrever

D𝛼 [𝑐 𝑔(𝑥)] = 𝑐D𝛼𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥)D𝛼𝑐+ 𝑘𝛼

∫ ∞

−∞

[𝑐− 𝑐] [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥− 𝜉)]|𝜉|1+𝛼 d𝜉,

86

ou seja,

D𝛼 [𝑐 𝑔(𝑥)] = 𝑐D𝛼𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥) · 0 + 𝑘𝛼

∫ ∞

−∞

[0] [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥− 𝜉)]|𝜉|1+𝛼 d𝜉,

assim, temos que

D𝛼 [𝑐 𝑔(𝑥)] = 𝑐D𝛼𝑔(𝑥).

Como um exemplo ilustrativo para a derivada de Riesz de uma função, vamos considerar afunção 𝑓(𝑥) = cos𝑥 e encontrar sua derivada fracionária segundo Riesz, no caso particular em que0 < 𝛼 < 1, utilizando a derivada como o produto de convolução, definida na equação (4.7.6).

D𝛼cos(𝑥) =[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

] ∫ ∞

−∞cos(𝜉) (𝑥− 𝜉)−𝛼−1 d𝜉.

Fazendo a mudança de variável 𝑢 = 𝑥− 𝜉 na integral acima, temos que

D𝛼cos(𝑥) =[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

] ∫ −∞

∞cos(𝑥− 𝑢)𝑢−𝛼−1 · (−d𝑢) ,

ou seja,

D𝛼cos(𝑥) =[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

] ∫ ∞

−∞cos(𝑥− 𝑢)𝑢−𝛼−1d𝑢.

Podemos reescrever a integral acima de maneira conveniente para que possamos utilizar as equaçõesem (??) e (??).

D𝛼cos(𝑥) =[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

] ∫ ∞

−∞(cos𝑥 cos𝑢+ sen𝑥 sen𝑢)𝑢−𝛼−1d𝑢

=[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

]{cos𝑥

∫ ∞

−∞cos(𝑢)𝑢−𝛼 d𝑢

𝑢+ sen𝑥

∫ ∞

−∞sen(𝑢)𝑢−𝛼 d𝑢

𝑢

}

=[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

]{cos𝑥

[∫ 0


𝑢+∫ ∞

0cos(𝑢)𝑢−𝛼 d𝑢

𝑢

]+

+ sen𝑥[∫ 0


𝑢+∫ ∞

0sen(𝑢)𝑢−𝛼 d𝑢

𝑢

]}.

Podemos reescrever as integrais

(i)∫ 0


𝑢=⏟ ⏞

𝑢= −𝑣

∫ 0

∞cos(−𝑣) (−𝑣)−𝛼

(−d𝑣−𝑣

)= −(−1)−𝛼

∫ ∞

0cos(𝑣) 𝑣−𝛼 d𝑣

𝑣

e

87

(ii)∫ 0


𝑢=⏟ ⏞

𝑢= −𝑣

∫ 0

∞sen(−𝑣) (−𝑣)−𝛼

(−d𝑣−𝑣

)= (−1)−𝛼

∫ ∞

0sen(𝑣) 𝑣−𝛼 d𝑣

𝑣,

na expressão para a derivada de Riesz de 𝑓(𝑥) = cos𝑥, com isso,

D𝛼cos(𝑥) =[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

]{cos𝑥

[−(−1)−𝛼

∫ ∞


𝑣+∫ ∞

0cos(𝑢)𝑢−𝛼 d𝑢

𝑢

]+

+ sen𝑥[(−1)−𝛼

∫ ∞


𝑣+∫ ∞

0sen(𝑢)𝑢−𝛼 d𝑢

𝑢

]},

ou ainda,

D𝛼cos(𝑥) =[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

]{[1 − (−1)−𝛼] cos𝑥

∫ ∞


𝑣+

+ [1 + (−1)−𝛼] sen𝑥∫ ∞


𝑣

}.

Nas expressões das equações (??) e (??), dadas por:∫ ∞

0cos(𝑡𝑥)𝑥𝑧 d𝑥

𝑥= Γ(𝑧) 𝑡−𝑧cos𝜋 𝑧2 , com Re(𝑧) > 0, 𝑡 > 0

e∫ ∞

0sen(𝑡𝑥)𝑥𝑧 d𝑥

𝑥= Γ(𝑧) 𝑡−𝑧sen𝜋 𝑧2 , com Re(𝑧) > −1, 𝑡 > 0,

podemos tomar 𝑡 = 1 > 0 para obter as expressões integrais para D𝛼cos(𝑥). Vale ressaltar queessas equações valem para Re(𝑧) > 0, mas podemos também considerar 0 < 𝑧 < 1, já que esteintervalo não contém nenhum polo da função gama. Assim, temos que

∫ ∞


𝑣= Γ(−𝛼) cos

(−𝛼𝜋

2

)= Γ(−𝛼) cos

(𝛼𝜋

2

)e

∫ ∞


𝑣= Γ(−𝛼) sen

(−𝛼𝜋

2

)= −Γ(−𝛼) sen

(𝛼𝜋

2

).

Dessa forma, podemos escrever

D𝛼cos(𝑥) =[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

] {[1 − (−1)−𝛼] cos(𝑥) Γ(−𝛼) cos

(𝛼𝜋

2

)+

+ [1 + (−1)−𝛼] sen(𝑥) (−Γ(−𝛼)) sen(𝛼𝜋

2

)}

88

=[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

] {[1 − (−1)−𝛼] Γ(−𝛼) cos(𝑥) cos

(𝛼𝜋

2

)+

+ [−1 − (−1)−𝛼] Γ(−𝛼) sen(𝑥) sen(𝛼𝜋

2

)}

=[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

] {Γ(−𝛼)

[cos(𝑥) cos

(𝛼𝜋

2

)− sen(𝑥) sen

(𝛼𝜋

2

)]+

+ (−1)1−𝛼Γ(−𝛼)[cos(𝑥) cos

(𝛼𝜋

2

)+ sen(𝑥) sen

(𝛼𝜋

2

)]}

=[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

] {Γ(−𝛼)

[cos

(𝑥+ 𝛼𝜋

2

)+ (−1)1−𝛼cos

(𝑥− 𝛼𝜋

2

)]},

de onde sgue que

D𝛼cos(𝑥) =[

1 + (−1)−𝛼

2 cos(𝛼 𝜋2 )

]·[cos

(𝑥+ 𝛼𝜋

2

)+ (−1)1−𝛼cos

(𝑥− 𝛼𝜋

2

)], (4.7.12)

para 0 < 𝛼 < 1.Em particular, se 𝛼 = 1

2 na equação (4.7.12), temos que

D1/2cos(𝑥) =[

1 + (−1)−1/2

2 cos(𝜋4 )

]·[cos

(𝑥+ 𝜋

4

)+ (−1)1/2cos

(𝑥− 𝜋

4

)]

=(

1 + 𝑖−1√

2

)[√2

2 cos(𝑥) −√

22 sen(𝑥) + 𝑖

(√2

2 cos(𝑥) +√

22 sen(𝑥)

)].

Efetuando o cálculo acima, obtemos

D1/2cos(𝑥) =√

22

(1 + 𝑖−1

√2

){[cos(𝑥) + 𝑖 sen(𝑥)] + 𝑖 [cos(𝑥) + 𝑖 sen(𝑥)]} =

(1 + 𝑖−1

2

)(𝑒𝑖 𝑥 + 𝑖 𝑒𝑖 𝑥

)=

= 12

(1 + 1

𝑖

) (𝑒𝑖 𝑥 + 𝑖 𝑒𝑖 𝑥

)= 1

2 (1 − 𝑖)(𝑒𝑖 𝑥 + 𝑖 𝑒𝑖 𝑥

)= 1

2(𝑒𝑖 𝑥 + 𝑖 𝑒𝑖 𝑥 − 𝑖 𝑒𝑖 𝑥 + 𝑒𝑖 𝑥

)= 𝑒𝑖 𝑥.

Logo, segue que

D1/2cos(𝑥) = 𝑒𝑖 𝑥.

Por outro lado, se considerarmos a função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑖 𝜆𝑥, com 𝜆 ∈ R um escalar qualquer, entãoa derivada de Riesz de ordem 𝛼 para essa função, com 0 < 𝛼 < 1, é dada por

D𝛼𝑒𝑖 𝜆𝑥 =⏟ ⏞ Eq. (4.7.6)

[1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

] ∫ ∞

−∞𝑒𝑖 𝜆𝜉 (𝑥− 𝜉)−𝛼−1 d𝜉.

89

Fazendo a mudança de variável 𝑢 = 𝑥− 𝜉 na integral acima, temos que

D𝛼𝑒𝑖 𝜆𝑥 =[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

] ∫ ∞

−∞𝑒𝑖 𝜆(𝑥−𝑢) 𝑢−𝛼−1d𝑢,

ou seja,

D𝛼𝑒𝑖 𝜆𝑥 = 𝑒𝑖 𝜆𝑥

[1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

] ∫ ∞

−∞𝑒−𝑖 𝜆𝑢 𝑢−𝛼−1d𝑢.

A integral no membro direito da equação acima é a transformada de Fourier da função 𝑓(𝑥) = 𝑥−𝛼−1

aplicada no ponto 𝜔 = 𝜆, onde 𝜔 é a variável da transformada de Fourier. Sendo assim, podemosescrever


[1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

]ℱ[𝑥−𝛼−1

](𝜆) .


ℱ[𝑥−𝛼−1

](𝜔) =

[Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋

2 )1 + (−1)−𝛼

]|𝜔|𝛼 ,

para 0 < 𝛼 < 1. Utilizando essa equação no cálculo da derivada de Riesz de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑖 𝜆𝑥, temosque


[1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

]·[

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

1 + (−1)−𝛼

]|𝜆|𝛼 ,

de onde segue que,

D𝛼𝑒𝑖 𝜆𝑥 = |𝜆|𝛼 𝑒𝑖 𝜆𝑥, para 0 < 𝛼 < 1. (4.7.13)

Em particular, se 𝜆 = 1 na equação (4.7.13), temos que

D𝛼𝑒𝑖 𝑥 = 𝑒𝑖 𝑥, para 0 < 𝛼 < 1,

isso significa que para o operador de derivação fracionária de Riesz, a função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑖 𝑥 se comportacomo a função exponencial 𝜙(𝑥) = 𝑒𝑥 no cálculo de ordem inteira, pois D𝑛𝑒𝑥 = 𝑒𝑥, para qualquer𝑛 ∈ N*.

90

Capítulo 5

Teorema Fundamental do CálculoFracionário

Depois de apresentar as diferentes versões dos operadores de integração e derivação fracioná-rias, é natural introduzir o correspondente TFCF (teorema fundamental do cálculo fracionário)associado a essas diferentes versões [25]. Apresentamos o TFCF nas versões de Riemann-Liouville,Caputo, Liouville, Weyl e Riesz. Os resultados já conhecidos serão mencionados em nossas refe-rências, os outros serão demonstrados. Em todos os casos, escrevemos o teorema de forma geral erecuperamos, com um limite conveniente, o resultado para o caso clássico do teorema fundamentaldo cálculo de ordem inteira.

5.1 TFCF Riemann-LiouvilleO teorema fundamental do cálculo fracionário, no caso em que consideramos os operadores de

integração e derivação fracionárias segundo Riemann-Liouville é como a seguir.

Teorema 5.1. Sejam 𝑓(𝑥) uma função tal que 𝑓 : [𝑎, 𝑏] −→ R, de modo que −∞ < 𝑎 < 𝑏 < ∞,𝛼 ∈ C com Re(𝛼) > 0 e 𝑛 = [Re(𝛼)] + 1. Se 𝑓(𝑥) ∈ AC𝑛[𝑎, 𝑏] ou C𝑛[𝑎, 𝑏], então para 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏):

(i)(D𝛼

𝑎+I𝛼𝑎+𝑓

)(𝑥) = 𝑓(𝑥) e

(D𝛼

𝑏−I𝛼𝑏−𝑓

)(𝑥) = 𝑓(𝑥).

(ii) Para[I𝑛−𝛼𝑎+ 𝑓(𝑥)

]∈ AC𝑛[𝑎, 𝑏], temos

(I𝛼𝑎+D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑛−1∑𝑗=0

(𝑥− 𝑎)𝛼−𝑗−1

Γ(𝛼− 𝑗)[(


) 𝑥=𝑎

](5.1.1)

e no caso em que[I𝑛−𝛼𝑏− 𝑓(𝑥)


(I𝛼𝑏−D𝛼

𝑏−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑛−1∑𝑗=0

(−1)𝑛−𝑗−1(𝑏− 𝑥)𝛼−𝑗−1

Γ(𝛼− 𝑗)[(

D𝑛−𝑗−1I𝑛−𝛼𝑏− 𝑓(𝑥)

) 𝑥=𝑏

]. (5.1.2)

91

Para 𝑓(𝑥) ∈ I𝛼𝑎+ (L𝑝), temos (

I𝛼𝑎+D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) (5.1.3)

e para 𝑓(𝑥) ∈ I𝛼𝑏− (L𝑝), temos (

I𝛼𝑏−D𝛼

𝑏−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥). (5.1.4)

Em particular, se 0 < Re(𝛼) < 1 nas equações (5.1.1) e (5.1.2), então

(I𝛼𝑎+D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) − (𝑥− 𝑎)𝛼−1

Γ(𝛼)[(


) 𝑥=𝑎

]e

(I𝛼𝑏−D𝛼

𝑏−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) − (𝑏− 𝑥)𝛼−1

Γ(𝛼)[(


) 𝑥=𝑏

].

Se 𝛼 = 1, temos que(I1𝑎+D1

𝑎+𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) e(I1𝑏−D1

𝑏−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑏),

bem como1

(𝑎I1

𝑏 D1𝑎+𝑓

)(𝑥) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) e

(𝑎I1

𝑏 D1𝑏−𝑓

)(𝑥) = 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏).

Demonstração. (i) Ambos os resultados seguem do Lema 2.4 em [32].(ii) Para demonstrar as equações em (5.1.3) e (5.1.4), utilizamos a Definição 4.1 e (i).Se 𝑓(𝑥) ∈ I𝛼

𝑎+ (L𝑝), então 𝑓(𝑥) = I𝛼𝑎+𝑔(𝑥). Assim, podemos escrever(

I𝛼𝑎+D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) = I𝛼𝑎+

[(D𝛼

𝑎+I𝛼𝑎+𝑔

)(𝑥)]

=(I𝛼𝑎+𝑔

)(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Agora, se 𝑓(𝑥) ∈ I𝛼𝑏− (L𝑝), de maneira análoga segue que(

I𝛼𝑏−D𝛼

𝑏−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥).

As equações (5.1.1) e (5.1.2) seguem do Lema 4.10.No caso em que 0 < Re(𝛼) < 1, devemos substituir 𝑛 = 1 em (5.1.1) e (5.1.2).No caso em que 𝛼 = 1, recuperamos(

𝑎I1𝑏 D1

𝑎+𝑓)

(𝑥) =[(

I1𝑎+D1

𝑎+𝑓)

(𝑥)]

𝑥=𝑏= [𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)]

𝑥=𝑏

= 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)e (

𝑎I1𝑏 D1

𝑏−𝑓)

(𝑥) =[(

I1𝑏−D1

𝑏−𝑓)

(𝑥)]

𝑥=𝑎= [𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑏)]

𝑥=𝑎

= 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏).�

1(𝑎I1

𝑏 𝜙)

(𝑥) =[(

I1𝑎+𝜙

)(𝑥)]

𝑥=𝑏=[(

I1𝑏−𝜙

)(𝑥)]

𝑥=𝑎.

92

5.2 TFCF CaputoSe considerarmos agora o operador de integração segundo Riemnann-Liouville e o operador de

derivação segundo Caputo, podemos escrever o teorema a seguir.

Teorema 5.2. Sejam 𝑓(𝑥) uma função tal que 𝑓 : [𝑎, 𝑏] −→ R, com −∞ < 𝑎 < 𝑏 < ∞ e 𝛼 ∈ Ccom Re(𝛼) > 0 e 𝑛 = [Re(𝛼)] + 1. Se 𝑓(𝑥) ∈ AC𝑛[𝑎, 𝑏] ou C𝑛[𝑎, 𝑏], então para 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏):

(i) Para Re(𝛼) /∈ N ou 𝛼 ∈ N, temos(𝐶D𝛼

𝑎+I𝛼𝑎+𝑓

)(𝑥) = 𝑓(𝑥) e

(𝐶D𝛼

𝑏−I𝛼𝑏−𝑓

)(𝑥) = 𝑓(𝑥).

(ii) Para[I𝑛−𝛼𝑎+ 𝑓(𝑥)


(I𝛼𝑎+ 𝐶D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑛−1∑𝑗=0

(𝑥− 𝑎)𝑗

𝑗!(𝑓 (𝑗)(𝑥)

𝑥=𝑎

)e para

[I𝑛−𝛼𝑏− 𝑓(𝑥)


(I𝛼𝑏− 𝐶D𝛼

𝑏−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑛−1∑𝑗=0

(−1)𝑗(𝑏− 𝑥)𝑗

𝑗!(𝑓 (𝑗)(𝑥)

𝑥=𝑏

).

Em particular, se 0 < Re(𝛼) < 1, então(I𝛼𝑎+ 𝐶D𝛼

𝑎+𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎),(I𝛼𝑏− 𝐶D𝛼

𝑏−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑏)e se 𝛼 = 1, então(

𝑎I1𝑏 𝐶D1

𝑎+𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) e(

𝑎I1𝑏 𝐶D1

𝑏−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏).

Demonstração. (i) Segue do Lema 2.21 em [32]. (ii) Segue do Lema 2.22 em [32]. �

5.3 TFCF LiouvilleSe considerarmos agora os operadores de integração e derivação fracionários segundo Liouville,

conforme definidos na Seção 4.3, podemos escrever o teorema a seguir.

Teorema 5.3. Sejam 𝑓(𝑥) uma função definida na reta real, 𝛼 ∈ C com Re(𝛼) > 0 e 𝑛 =[Re(𝛼)] + 1. Se 𝑓(𝑥) ∈ AC𝑛(−∞,∞) ou C𝑛(−∞,∞), então para 𝑥 ∈ R:

(i)(D𝛼

+I𝛼+𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) e(D𝛼

−I𝛼−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥).

(ii) Se 0 < Re(𝛼) < 1 e lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 0 = lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥), então(I𝛼+D𝛼

+𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥) e(I𝛼−D𝛼

−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥).

93

Demonstração. (i) Pela parte (i) do Teorema 5.1, segue que(D𝛼

+I𝛼+𝑓)

(𝑥) = lim𝑎→−∞

(D𝛼

𝑎+I𝛼𝑎+𝑓

)(𝑥) = lim

𝑎→−∞𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥),

de maneira análoga, temos(D𝛼

−I𝛼−𝑓)

(𝑥) = 𝑓(𝑥).(ii) Pela parte (ii) do Teorema 5.1, se 0 < Re(𝛼) < 1, então

(I𝛼+D𝛼

+𝑓)

(𝑥) = lim𝑎→−∞

{𝑓(𝑥) − (𝑥− 𝑎)𝛼−1

Γ(𝛼)[(


) 𝑥=𝑎

]}= 𝑓(𝑥)

e

(I𝛼−D𝛼

−𝑓)

(𝑥) = lim𝑏→+∞

{𝑓(𝑥) − (𝑏− 𝑥)𝛼−1

Γ(𝛼)[(


) 𝑥=𝑏

]}= 𝑓(𝑥),

desde que

lim|𝑥|→∞

𝑓(𝑥) = 0.

�

5.4 TFCF WeylSe considerarmos agora os operadores de integração e derivação fracionários segundo Weyl,

conforme definidos na Seção 4.5, podemos escrever o teorema a seguir.

Teorema 5.4. Seja 𝑓(𝑥) ∈ L1(0, 2𝜋) uma função periódica de período 2𝜋, definida na reta real,com valor médio nulo, e seja 𝛼 ∈ C com Re(𝛼) > 0, então nos pontos 𝑥 ∈ R para os quais a sériede Fourier de 𝑓(𝑥) converge, temos que

(WD𝛼 WI𝛼𝑓) (𝑥) = 𝑓(𝑥) e (WI𝛼 WD𝛼𝑓) (𝑥) = 𝑓(𝑥).

Demonstração. Seja

𝑓(𝑥) ∼∞∑

𝑛=−∞��=0

𝑐𝑛𝑒𝑖𝑛𝑥, com 𝑐𝑛 = 1

2𝜋

∫ 2𝜋

0𝑒−𝑖𝑛𝑥𝑓(𝑥)d𝑥,

a série de Fourier de 𝑓(𝑥), com coeficientes de Fourier 𝑐𝑛, então


𝑛=−∞𝑛 =0

𝑐𝑛(𝑖𝑛)−𝛼𝑒𝑖𝑛𝑥 e WD𝛼𝑓(𝑥) ∼∞∑

𝑛=−∞𝑛 =0

𝑐𝑛(𝑖𝑛)𝛼𝑒𝑖𝑛𝑥,

com isso, temos que

(WI𝛼 WD𝛼𝑓) (𝑥) = WI𝛼

⎡⎢⎣ ∞∑𝑛=−∞𝑛 =0

𝑐𝑛(𝑖𝑛)𝛼𝑒𝑖𝑛𝑥

⎤⎥⎦ =∞∑

𝑛=−∞��=0

𝑐𝑛(𝑖𝑛)𝛼(𝑖𝑛)−𝛼𝑒𝑖𝑛𝑥 =∞∑

𝑛=−∞𝑛 =0

𝑐𝑛𝑒𝑖𝑛𝑥 ∼ 𝑓(𝑥).

94

De maneira análoga, obtemos (WD𝛼 WI𝛼𝑓) (𝑥) = 𝑓(𝑥). �

5.5 TFCF RieszSe considerarmos agora potências fracionárias do operador Laplaciano, definidas nas Seções 4.6

e 4.7, como a integral fracionária de Riesz bem como sua derivada, podemos escrever o teoremacomo a seguir.

Teorema 5.5. Seja 𝑓(𝑥) ∈ Φ, onde Φ denota o espaço das funções de Lizorkin2, e seja 𝛼 > 0,então

(i) (D𝛼I𝛼𝑓) (𝑥) = 𝑓(𝑥).(ii) Para 0 < 𝛼 < 1, (I𝛼D𝛼𝑓) (𝑥) = 𝑓(𝑥).

Demonstração. (i) Segue da propriedade 2.35 de [32].(ii) Para 0 < 𝛼 < 1, de (4.6.3) temos que

(I𝛼D𝛼𝑓) (𝑥) = I𝛼 [𝑑𝛼 (𝑓 * ℎ) (𝑥)] = 𝑑𝛼 𝑐𝛼 (𝑓 * ℎ) (𝑥) * 𝑔(𝑥),

onde 𝑔(𝑥) = |𝑥|𝛼−1, ℎ(𝑥) = 𝑥−𝛼−1, 𝑐𝛼 =Γ(

1−𝛼2

)2𝛼 𝜋

12 Γ

(𝛼2

) e 𝑑𝛼 =[

1 + (−1)−𝛼

Γ(−𝛼) 2 cos(𝛼 𝜋2 )

].

Utilizando o Teorema 4.15, temos

(I𝛼D𝛼𝑓) (𝑥) = 𝑐𝛼𝑑𝛼 [𝑓 * (𝑔 * ℎ)] (𝑥) = 𝑐𝛼𝑑𝛼

[𝑓 *

( 1𝑐𝛼 𝑑𝛼

𝛿)]

(𝑥) = 𝑓(𝑥).

�

Em particular, pelo Teorema 5.5, para 0 < 𝛼 < 1, temos que (D𝛼I𝛼𝑓) (𝑥) = 𝑓(𝑥). Substituindoesse resultado na expressão da equação (4.7.9), podemos escrever

(D𝛼I𝛼𝑓) (𝑥) = 14 cos2

(𝛼𝜋2

) [2𝑓(𝑥) + D𝛼+I𝛼


+𝑓(𝑥)],

ou seja,

𝑓(𝑥) = 14 cos2

(𝛼𝜋2

) [2𝑓(𝑥) + D𝛼+I𝛼


+𝑓(𝑥)],

de onde segue o resultado

D𝛼+I𝛼


+𝑓(𝑥) =[2 cos2

(𝛼𝜋

2

)− 1

]2𝑓(𝑥) 0 < 𝛼 < 1. (5.5.1)

2Espaço das funções complexas infinitamente diferenciáveis, cujas derivadas de ordem inteira se anulam naorigem.

95

5.6 AplicaçõesSeguem alguns exemplos de aplicação do TFCF em equações diferenciais fracionárias [14],

envolvendo em particular, os operadores segundo Riemann-Liouville, Caputo e Riesz.

1. Considere o problema de valor inicial fracionário

𝐶D𝛼0+𝑦(𝑡) = 𝑐,

𝑦(0) = 0,onde 𝑐 é uma constante, 𝑡 > 0 e 0 < Re(𝛼) < 1.Aplicando o operador de integração fracionária I𝛼

0+ na equação diferencial, e utilizando oitem (ii) do Teorema 5.2, temos

I𝛼0+𝐶D𝛼

0+𝑦(𝑡) = I𝛼0+𝑐,

de onde segue a solução

𝑦(𝑡) = 𝑐 𝑡𝛼

Γ (𝛼 + 1) .

No caso particular em que 𝑐 = 1, segue abaixo o gráfico para alguns valores de 𝛼.

Figura 5.1: Função 𝑦(𝑡) = 𝑡𝛼

Γ (𝛼 + 1) .

96

2. Considere o problema de valor inicial envolvendo a equação de difusão fracionária

𝐶D𝛼0+𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝜆D2𝛽𝑢(𝑥, 𝑡),

𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥),

onde 𝜆 é uma constante não nula, 𝑡 > 0, 0 < 𝛼 ≤ 1, 12 < 𝛽 ≤ 1, 𝑓(𝑥) ∈ L1(−∞,∞) e

D2𝛽𝑢(𝑥, 𝑡) = (−Δ)𝛽 𝑢(𝑥, 𝑡)é a derivada fracionária, segundo Riesz, de 𝑢(𝑥, 𝑡) com relação à variável 𝑥.Elsaid [20] utiliza o método de iteração variacional para obter a solução para essa equação dedifusão fracionária. Outros métodos também podem ser utilizados, tais como aproximaçõesnuméricas e transformadas integrais.Neste trabalho, vamos resolvê-la utilizando o método das transformadas integrais e o TFCFsegundo Riesz.Aplicando a transformada de Laplace na equação de difusão e usando (4.4.7), temos

L[

𝐶D𝛼0+𝑢

](𝑠) = L

[𝜆D2𝛽𝑢

](𝑠),

de onde segue que

𝑠𝛼U(𝑥, 𝑠) − 𝑠𝛼−1𝑢(𝑥, 0) = 𝜆D2𝛽U(𝑥, 𝑠),onde U(𝑥, 𝑠) é a transformada de Laplace de 𝑢(𝑥, 𝑡). Da condição inicial 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥),temos

𝑠𝛼U(𝑥, 𝑠) − 𝑠𝛼−1𝑓(𝑥) = 𝜆D2𝛽U(𝑥, 𝑠).

Supondo que U(𝑥, 𝑠) = I2𝛽ℎ(𝑥, 𝑠) e usando a parte (i) do Teorema 5.5, segue que

𝑠𝛼I2𝛽ℎ(𝑥, 𝑠) − 𝑠𝛼−1𝑓(𝑥) = 𝜆D2𝛽I2𝛽ℎ(𝑥, 𝑠),ou seja,

𝑠𝛼I2𝛽ℎ(𝑥, 𝑠) − 𝑠𝛼−1𝑓(𝑥) = 𝜆ℎ(𝑥, 𝑠).

Pela equação (4.6.3), temos

𝑠𝛼 𝑐2𝛽 ℎ(𝑥, 𝑠) * 𝑔(𝑥) − 𝑠𝛼−1𝑓(𝑥) = 𝜆ℎ(𝑥, 𝑠),

onde 𝑔(𝑥) = |𝑥|2𝛽−1, o coeficiente 𝑐2𝛽 é como em (4.6.3) e ℎ(𝑥, 𝑠) * 𝑔(𝑥) é a convolução deFourier com relação à variável 𝑥.

97

Aplicando a transformada de Fourier e usando (4.6.4), temos

𝑠𝛼 𝑐2𝛽 ℎ(𝜔, 𝑠) 1𝑐2𝛽

|𝜔|−2𝛽 − 𝑠𝛼−1𝑓(𝜔) = 𝜆ℎ(𝜔, 𝑠),

assim,

𝑠𝛼ℎ(𝜔, 𝑠) |𝜔|−2𝛽 − 𝑠𝛼−1𝑓(𝜔) = 𝜆ℎ(𝜔, 𝑠),

onde ℎ(𝜔, 𝑠) = ℱ [ℎ] (𝜔).Além disso, aplicando a transformada de Fourier na expressão

U(𝑥, 𝑠) = I2𝛽ℎ(𝑥, 𝑠),

obtemos

U(𝜔, 𝑠) = |𝜔|−2𝛽 ℎ(𝜔, 𝑠).

Com isso, temos que

𝑠𝛼U(𝜔, 𝑠) − 𝑠𝛼−1𝑓(𝜔) = 𝜆 |𝜔|2𝛽 U(𝜔, 𝑠),

isto é,

U(𝜔, 𝑠) = 𝑠𝛼−1

𝑠𝛼 − 𝜆 |𝜔|2𝛽 𝑓(𝜔).

Aplicando a transformada de Laplace inversa e usando a equação (3.4.3), obtemos

��(𝜔, 𝑡) = 𝑓(𝜔)E𝛼

(𝜆 |𝜔|2𝛽 𝑡𝛼

),

onde E𝛼 (𝑧) é a função de Mittag-Leffler de um parâmetro dada em (3.1.1).Por fim, aplicando a transformada de Fourier inversa, obtemos

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥) * ℱ−1[E𝛼


)](𝑥, 𝑡). (5.6.1)

Explicitando o cálculo da transformada de Fourier inversa, podemos escrever

ℱ−1[E𝛼


)](𝑥, 𝑡) = 1

2𝜋

∫ ∞

−∞E𝛼


)𝑒𝑖 𝜔 𝑥d𝜔

= 1𝜋

∫ ∞

0E𝛼

(𝜆𝜔2𝛽𝑡𝛼

)cos(𝜔 𝑥)d𝜔.

98

Obtemos então a solução

𝑢(𝑥, 𝑡) = 1𝜋

∫ ∞

−∞

∫ ∞

0E𝛼


)𝑓(𝜏) cos (𝜔 (𝑥− 𝜏)) d𝜔 d𝜏. (5.6.2)

Note em (5.6.1), que se 𝑡 = 0, então

𝑢(𝑥, 0) =[𝑓 * ℱ−1 (1)

](𝑥) = (𝑓 * 𝛿) (𝑥) = 𝑓(𝑥).

Podemos considerar o caso particular em que 𝑓(𝑥) = 𝛿(𝑥), pois 𝛿(𝑥) ∈ L1(−∞,∞), já que∫ ∞

−∞𝛿(𝑥)d𝑥 = 1,

e para este caso, a solução é da forma

𝑢(𝑥, 𝑡) = 1𝜋

∫ ∞

0E𝛼


)cos(𝜔 𝑥)d𝜔. (5.6.3)

Ainda neste caso particular, se 𝛼 = 1, 𝛽 −→ 1/2 e 𝜆 = −1, obtemos a solução

𝑢(𝑥, 𝑡) = 12√𝜋𝑡𝑒− 𝑥2

4𝑡 ,

que é a solução clássica da equação de difusão associada às derivadas de ordem inteira.Por outro lado, se considerarmos 𝛼 = 𝛽 = 0, 9 no caso particular em que a solução é comoem (5.6.3), segue abaixo o gráfico de 𝑢(𝑥, 𝑡) para alguns valores de 𝑡.

Figura 5.2: Gráfico de 𝑢(𝑥, 𝑡) em (5.6.3) para 𝛼 = 𝛽 = 0, 9.

No próximo capítulo, vamos analisar especificamente a equação mais geral desse exemplo,consistindo em uma equação de difusão fracionária associada a desaceleração de nêutrons,cujas aplicações são discutidas em [55].

99

3. Jafari & Momani em [30] apresentam uma maneira de resolver equações diferenciais fracio-nárias fazendo uma modificação no método de perturbação com homotopia de He (HPM).Neste exemplo, vamos resolver uma equação apresentada em [30] utilizando o método deseparação de variáveis e o TFCF.Considere o problema de valor inicial da equação de difusão fracionária

𝐶D𝛼0+𝑢(��, 𝑡) = −Δ𝑢(��, 𝑡) e 𝑢(��, 0) = 𝑒−(𝑥1+𝑥2+𝑥3), (5.6.4)

onde �� = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), com −∞ < 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 < ∞, 𝑡 > 0 e 𝛼 ∈ (0, 1] ⊂ R.Vamos supor que a solução seja da forma

𝑢(��, 𝑡) = X(��)T(𝑡). (5.6.5)

Substituindo (5.6.5) na equação de difusão fracionária (5.6.4), temos

𝐶D𝛼0+T(𝑡)T(𝑡) = −ΔX(��)

X(��) = 𝜆,

onde 𝜆 é uma constante real. Primeiro consideramos a equação diferencial fracionária

𝐶D𝛼0+T(𝑡) = 𝜆T(𝑡). (5.6.6)

Substituindo (4.4.1) na equação (5.6.6), temos a equação equivalente

I𝑛−𝛼0+ T(𝑛)(𝑡) = 𝜆T(𝑡).

Aplicando o operador D𝑛−𝛼0+ em ambos os membros da equação acima, temos

D𝑛−𝛼0+ I𝑛−𝛼

0+ T(𝑛)(𝑡) = D𝑛−𝛼0+ (𝜆T(𝑡)) .

Usando a parte (i) do Teorema 5.1, podemos escrever

T(𝑛)(𝑡) = 𝜆D𝑛−𝛼0+ T(𝑡). (5.6.7)

Como 𝛼 ∈ (0, 1], então 𝑛 = 1 e a equação (5.6.7) torna-se

D10+T(𝑡) = 𝜆D1−𝛼

0+ T(𝑡). (5.6.8)

A equação (5.6.8) é conhecida e pode ser resolvida colocando 𝛼 = 1 e 𝛽 = 1 − 𝛼 na equação(5.2.31) de [32], onde obtemos o resultado

T(𝑡) = E𝛼 (𝜆𝑡𝛼) , (5.6.9)

100

onde E𝛼 (·) é a função de Mittag-Leffler de um parâmetro.Usando a condição inicial, temos que

X(��)T(0) = 𝑒−(𝑥1+𝑥2+𝑥3),

mas pela equação (5.6.9), T(0) = 1, então X(��) = 𝑒−(𝑥1+𝑥2+𝑥3). Substituindo esse resultadona equação envolvendo X(��), temos que

−3X(��) = 𝜆X(��),

isto é, 𝜆 = −3. Assim, a solução é dada por

𝑢(��, 𝑡) = 𝑒−(𝑥1+𝑥2+𝑥3)E𝛼 (−3𝑡𝛼) . (5.6.10)

Notamos no artigo de Jafari & Momani [30] que a solução apresentada está com erro deimpressão, pois é fácil verificar que ela não é solução para o problema (5.6.4).Como um caso particular, consideramos o problema associado à equação de difusão unidi-mensional, dado por

𝐶D𝛼0+𝑢(𝑥, 𝑡) = −Δ𝑢(𝑥, 𝑡) e 𝑢(𝑥, 0) = 𝑒−𝑥.

Neste caso, a solução é

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒−𝑥E𝛼 (−𝑡𝛼) ,

pois 𝜆 = −1 em (5.6.9). Representamos a seguir o gráfico no caso em que 𝛼 = 0, 8.

Figura 5.3: Gráfico de 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒−𝑥E𝛼 (−𝑡𝛼) × 𝑥 no caso 𝛼 = 0, 8.

101

4. Considere a equação

D𝛼0+𝑦(𝑥) = 𝜆D𝛽

0+𝑦(𝑥), (5.6.11)com 𝑥 > 0 e 0 ≤ 𝛽 < 𝛼 ≤ 1.Vamos supor a solução 𝑦(𝑥) ∈ I𝛽

0+ (L𝑝), assim podemos escrever 𝑦(𝑥) = I𝛽0+𝑔(𝑥), com

𝑔(𝑥) ∈ L𝑝(0,∞). Substituindo em (5.6.11), temos

D𝛼0+I𝛽

0+𝑔(𝑥) = 𝜆D𝛽0+I𝛽

0+𝑔(𝑥). (5.6.12)

O membro esquerdo de (5.6.12) pode ser escrito como D𝛼−𝛽0+ 𝑔(𝑥), pois como 𝛼 ≤ 1,

D𝛼0+ = D𝑛I𝑛−𝛼

0+ =⏟ ⏞ 𝑛=1

D1I1−𝛼0+ ,

com isso,D𝛼

0+I𝛽0+𝑔(𝑥) = D1I1−𝛼

0+ I𝛽0+𝑔(𝑥) = D1I1−𝛼+𝛽

0+ 𝑔(𝑥) = D𝛼−𝛽0+ 𝑔(𝑥).

Utilizando a parte (i) do Teorema 5.1 no membro direito de (5.6.12), temos

D𝛼−𝛽0+ 𝑔(𝑥) = 𝜆𝑔(𝑥). (5.6.13)

Como 0 < 𝛼− 𝛽 ≤ 1, pelo Corolário 5.1 de [32], a solução da equação (5.6.13) é dada por

𝑔(𝑥) = 𝑥𝛼−𝛽−1E𝛼−𝛽,𝛼−𝛽

(𝜆𝑥𝛼−𝛽

),

onde E𝛼,𝛽 (·) é a função de Mittag-Leffler de dois parâmetros.Agora, 𝑦(𝑥) = I𝛽

0+𝑔(𝑥), efetuando a integração, obtemos a solução de (5.6.11), dada por

𝑦(𝑥) = 𝑥𝛼−1E𝛼−𝛽,𝛼

(𝜆𝑥𝛼−𝛽

). (5.6.14)

Em particular, quando 𝛼 = 𝜆 = 1 em (5.6.11), a solução é dada por

𝑦(𝑥) = E1−𝛽,1(𝑥1−𝛽

)= E1−𝛽

(𝑥1−𝛽

).

Neste caso, temos que

lim𝛽→0

𝑦(𝑥) = lim𝛽→0

E1−𝛽

(𝑥1−𝛽

)= 𝑒𝑥,

que satisfaz a equação

D1𝑎+𝑦(𝑥) = 𝑦(𝑥) ⇔ d

d𝑥𝑦(𝑥) = 𝑦(𝑥),

ou seja, recuperamos a solução no caso da equação diferencial de ordem inteira.

102

Capítulo 6

Equações Diferenciais Fracionárias

Nesse capítulo, primeiramente apresentamos e resolvemos a equação diferencial parcial fraci-onária associada à desaceleração de nêutrons, como um problema particular associado a difusãoem um material, cuja versão clássica, equação diferencial parcial de ordem inteira, estudada porSneddon [55], foi discutida na Seção 1.6. A versão fracionária desse problema consiste em umadifusão anômala, já que o deslocamento quadrático médio possui uma relação não linear no tempo.A difusão anômala desempenha regras importantes em muitos problemas envolvendo equaçõesdiferenciais parciais fracionárias.

A equação diferencial

d𝛼

d𝑡𝛼𝑢(𝑥, 𝑡) = −𝑘 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡),

descreve um movimento associado à difusão anômala.Por [39], temos que o deslocamento quadrático médio ⟨𝑥2(𝑡)⟩ é dado por

⟨𝑥2(𝑡)

⟩= L −1

[−𝜕2U(𝜔, 𝑠)

𝜕𝜔2

]𝜔=0

∼ 𝑘 𝑡𝜇,

onde U(𝜔, 𝑠) = ℱ [L [𝑢(𝑥, 𝑡)]] e 𝑘 é uma constante.Se 𝜇 = 1, temos a difusão normal, se 𝜇 < 1, a subdifusão e se 𝜇 > 1, a superdifusão.Em particular, a difusão anômala desempenha um papel importante em uma ampla classe

de sistemas, como por exemplo, a difusão em fractais, a difusão em meios porosos, entre outrossistemas físicos [19].

Ainda neste capítulo, apresentamos dois teoremas sobre as autofunções dos operadores de de-rivação fracionária de Riemann-Liouville e Caputo, como aplicação desses teoremas, apresentamosuma expressão para a solução de um certo tipo de equação diferencial fracionária linear, bem comoexemplos de aplicação. E por fim, discutimos a equação diferencial fracionária do telégrafo.

103

6.1 Equação associada à desaceleração de nêutronsNa Seção 1.6 discutimos uma equação diferencial parcial de ordem inteira, com condições iniciais

e de fronteira, associada à desaceleração de nêutrons. Nesta seção, vamos considerar a equaçãodiferencial parcial fracionária associada a esse problema.

Para descrever a equação fracionária associada a esse problema [7], introduzimos a derivadade Caputo na variável temporal e na variável espacial, introduzimos a derivada de Riesz. Comparâmetros convenientes, recuperamos a solução da equação de ordem inteira.

O problema fracionário correspondente ao problema (1.6.7), pode ser escrito da forma

𝐶D𝛼0+𝑢(𝑥, 𝑡) = −𝜈 (−Δ)𝛽/2 𝑢(𝑥, 𝑡) + F(𝑥)𝛿(𝑡)

𝑢(𝑥, 0+) = F(𝑥)𝑢(𝑥, 0−) = 0

lim|𝑥|→∞

𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) = 0,(6.1.1)

onde 0 < 𝛼 ≤ 1, 1 < 𝛽 ≤ 2, 𝜈 > 0, 𝐶D𝛼0+ é a derivada de Caputo e (−Δ)𝛽/2 = D𝛽 é a derivada

de Riesz.Vamos resolver esse problema usando transformadas integrais.Aplicando a transformada de Fourier em (6.1.1), segue que

𝐶D𝛼0+U(𝜔, 𝑡) = −𝜈 |𝜔|𝛽 U(𝜔, 𝑡) + F(𝜔)𝛿(𝑡)

U(𝜔, 0+) = F(𝜔),U(𝜔, 0−) = 0,

(6.1.2)

onde U(𝜔, 𝑡) é a transformada de Fourier de 𝑢(𝑥, 𝑡) com relação à variável 𝑥 e F(𝜔) é a transformadade Fourier de F(𝑥).

Aplicando agora a transformada de Laplace, conforme definida em (1.6.1) e usando a expressãoem (4.4.7), temos

𝑠𝛼𝒰(𝜔, 𝑠) − 𝑠𝛼−1U(𝜔, 0+) = −𝜈 |𝜔|𝛽 𝒰(𝜔, 𝑠) + F(𝜔) L+ [𝛿(𝑡)] ,

onde 𝒰(𝜔, 𝑠) é a transformada de Laplace de U(𝜔, 𝑡).Usando a condição U(𝜔, 0+) = F(𝜔) de (6.1.2) na equação acima e substituindo L+ [𝛿(𝑡)] por

zero, temos

𝑠𝛼𝒰(𝜔, 𝑠) − 𝑠𝛼−1F(𝜔) = −𝜈 |𝜔|𝛽 𝒰(𝜔, 𝑠),

ou seja,

𝒰(𝜔, 𝑠) = F(𝜔) 𝑠𝛼−1

𝑠𝛼 + 𝜈 |𝜔|𝛽. (6.1.3)

Aplicando a transformada de Fourier inversa na equação (6.1.3), obtemos

𝒰(𝑥, 𝑠) = ℱ−1[F(𝜔)Φ(𝜔, 𝑠)

],

104

onde Φ(𝜔, 𝑠) = 𝑠𝛼−1

𝑠𝛼 + 𝜈 |𝜔|𝛽. Assim,

𝒰(𝑥, 𝑠) = (F * Φ) (𝑥),

onde * é a convolução de Fourier, Φ ≡ Φ(𝑥, 𝑠) = ℱ−1[Φ(𝜔, 𝑠)

]e F(𝑥) = ℱ−1

[F(𝜔)].

Podemos escrever

Φ(𝑥, 𝑠) = 12𝜋

∫ ∞

−∞

𝑠𝛼−1

𝑠𝛼 + 𝜈 |𝜔|𝛽𝑒𝑖𝜔𝑥d𝜔.

Substituindo 𝑒𝑖𝜔𝑥 por cos(𝜔𝑥) + 𝑖 sen(𝜔𝑥) na integral acima e considerando o fato de que a

função 𝑠𝛼−1

𝑠𝛼 + 𝜈 |𝜔|𝛽é par na variável 𝜔, segue que

Φ(𝑥, 𝑠) = 1𝜋

∫ ∞

0

𝑠𝛼−1

𝑠𝛼 + 𝜈𝜔𝛽cos(𝜔𝑥)d𝜔. (6.1.4)

Logo,

𝒰(𝑥, 𝑠) =∫ ∞

−∞F(𝑥− 𝜏)Φ(𝜏, 𝑠)d𝜏, (6.1.5)

onde Φ(𝜏, 𝑠) é como na equação (6.1.4).Aplicando a transformada de Laplace inversa em (6.1.5), obtemos a solução

𝑢(𝑥, 𝑡) =∫ ∞

−∞F(𝑥− 𝜏)L −1 [Φ(𝜏, 𝑠)] d𝜏.

Por (6.1.4), temos que

L −1 [Φ(𝜏, 𝑠)] = 1𝜋

∫ ∞

0L −1

[𝑠𝛼−1

𝑠𝛼 + 𝜈𝜔𝛽

]cos(𝜔𝜏)d𝜔.

Pela expressão em (3.4.3), admitindo a condição

𝜈 |𝜔|𝛽𝑠−𝛼

< 1,

podemos escrever

L −1 [Φ(𝜏, 𝑠)] = 1𝜋

∫ ∞

0E𝛼(−𝜈𝜔𝛽𝑡𝛼)cos(𝜔𝜏)d𝜔.

Portanto, a solução para o problema (6.1.1) é

𝑢(𝑥, 𝑡) = 1𝜋

∫ ∞

−∞

{F(𝑥− 𝜏)

[∫ ∞

0E𝛼(−𝜈𝜔𝛽𝑡𝛼)cos(𝜔𝜏)d𝜔

]}d𝜏, para 𝑡 > 0. (6.1.6)

Em particular, se 𝜈 = 1, 𝛼 = 1, 𝛽 = 2 e F(𝑥) = 𝛿(𝑥), então

𝑢(𝑥, 𝑡) = 12√𝜋 𝑡𝑒−𝑥2/4𝑡, para 𝑡 > 0,

ou seja, recuperamos a solução da equação de ordem inteira, definida em (1.6.7).

105

6.1.1 Aproximação da transformada de Fourier inversa de Φ(𝜔, 𝑡)Com o intuito de encontrar uma maneira de obter o gráfico para a solução da equação diferencial

fracionária associada à desaceleração de nêutrons, dada por (6.1.6), no caso em que fixamos 𝑡 = 𝑡0,vamos obter uma aproximação da transformada de Fourier inversa da função

Φ(𝜔, 𝑡) = E𝛼(−𝜈𝜔𝛽𝑡𝛼), (6.1.7)que aparece na solução 𝑢(𝑥, 𝑡) em (6.1.6).

Para escrever a expressão para uma aproximação de ℱ−1[E𝛼(−𝜈𝜔𝛽𝑡𝛼)

], vamos usar raciocínio

similar ao utilizado na obtenção da transformada de Fourier discreta (conhecida como DFT) [3].Para obter valores de 𝑢(𝑥, 𝑡), temos que calcular a integral

Φ(𝑥, 𝑡) = 1𝜋

∫ ∞

0E𝛼(−𝜈𝜔𝛽𝑡𝛼)cos(𝜔𝑥)d𝜔. (6.1.8)

Essa integral é a transformada de Fourier inversa da função Φ(𝜔, 𝑡) da equação (6.1.7).Fixado um 𝑡0, como 𝜈 > 0, existe um 𝜔𝑐 de modo que Φ(𝜔𝑐, 𝑡0) ∼= 0 para |𝜔| > 𝜔𝑐.Se redefinirmos Φ(𝜔, 𝑡0) da seguinte forma

Φ(𝜔, 𝑡0) =

⎧⎨⎩Φ(𝜔, 𝑡0), se 0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐,

0, se 𝜔 > 𝜔𝑐,(6.1.9)

pela equação (6.1.8), a função Φ(𝑥, 𝑡0) é dada por

Φ(𝑥, 𝑡0) ∼=1𝜋

∫ 𝜔𝑐

0Φ(𝜔, 𝑡0)cos(𝜔𝑥)d𝜔.

Dividindo o intervalo [0, 𝜔𝑐] em 𝑛 subintervalos, com Δ𝜔 = 𝜔𝑐

𝑛e definindo 𝑛+ 1 pontos

𝜔𝑗 = 𝑗Δ𝜔, para 𝑗 = 0, ..., 𝑛,com 𝜔0 = 0; 𝜔1 = Δ𝜔; · · · ;𝜔𝑛 = 𝜔𝑐, encontramos os valores de Φ(𝜔𝑗, 𝑡0) em todos os pontos 𝜔𝑗’s.Assim, podemos escrever

Φ(𝑥, 𝑡0) ∼=1𝜋

∫ 𝜔𝑐

0Φ(𝜔, 𝑡0)cos(𝜔𝑥)d𝜔 ∼=

1𝜋

Δ𝜔𝑛∑

𝑗=0

Φ(𝜔𝑗, 𝑡0)cos(𝜔𝑗 𝑥).

Logo,

Φ(𝑥, 𝑡0) ∼=Δ𝜔𝜋

𝑛∑𝑗=0

Φ (𝜔𝑗, 𝑡0) cos (𝜔𝑗 𝑥) , (6.1.10)

onde Δ𝜔 = 𝜔𝑐

𝑛, 𝜔𝑗 = 𝑗Δ𝜔 e Φ (𝜔𝑗, 𝑡0) =⏟ ⏞

(6.1.7)

E𝛼(−𝜈𝜔𝑗𝛽𝑡𝛼).

Pela expressão em (6.1.10), com uma conveniente implementação em MATLAB1, podemosobter valores aproximados para 𝑢(𝑥, 𝑡0).

1Veja Apêndice B.

106

6.1.2 Casos particularesVamos considerar alguns casos particulares para a solução aproximada da equação diferencial

(6.1.1), que pode ser obtida utilizando a expressão (6.1.10), quando são dados os parâmetros𝜈, 𝛼, 𝛽 e a função F(𝑥). Utilizando a solução aproximada, podemos plotar alguns gráficos da forma𝑢(𝑥, 𝑡0) × 𝑥 através da implementação discutida no Apêndice B.

1. Se 𝜈 = 1, 𝛼 = 1, 𝛽 = 2 e F(𝑥) = 𝛿(𝑥), temos o problema de ordem inteira

𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) = −𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) + 𝛿(𝑥)𝛿(𝑡)𝑢(𝑥, 0+) = 𝛿(𝑥)𝑢(𝑥, 0−) = 0

lim|𝑥|→∞

𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) = 0.(6.1.11)


𝑢(𝑥, 𝑡) = 1𝜋

∫ ∞

0𝑒−𝜔2𝑡cos(𝜔𝑥)d𝜔 = 1

2√𝜋 𝑡𝑒−𝑥2/4𝑡, para 𝑡 > 0.

Ou seja, recuperamos a solução da equação de ordem inteira, definida em (1.6.7).Fixando 𝑡0 = 1, pela equação (6.1.7), podemos escrever

Φ(𝜔, 1) = E𝛼(−𝜈𝜔𝛽𝑡0𝛼) = E1(−𝜔211) = 𝑒−𝜔2

.

Escolhendo 𝑤𝑐 = 4, temos que Φ(4, 1) = 𝑒−(4)2 ∼= 1, 1253 · 10−7.

Fazendo 𝑛 = 105, temos que Δ𝜔 = 𝜔𝑐

𝑛= 4

105 = 4 · 10−5.

A solução exata para essa escolha de 𝑤𝑐 e 𝑡0 é 𝑢(𝑥, 1) = 12√𝜋𝑒−𝑥2/4, enquanto que a solução

aproximada é dada por

𝑢(𝑥, 1) ∼=4 · 10−5

𝜋

100000∑𝑗=0

𝑒−(4·10−5 𝑗)2

cos(4 · 10−5 𝑗 𝑥

),

já que por (6.1.6) temos que 𝑢(𝑥, 1) = Φ(𝑥, 1), pois F(𝑥) = 𝛿(𝑥), com isso, usamos a apro-ximação em (6.1.10). Para alguns valores de 𝑥, comparamos os valores obtidos pela soluçãoaproximada com os valores exatos, dados pela solução clássica, conforme a Tabela 1 a seguir.

𝑛 = 105; Φ(4, 1) ∼= 1, 1253 · 10−7

𝑥 𝑢e(𝑥, 1) 𝑢a(𝑥, 1)0 0, 282094 0, 282101

0, 5 0, 265003 0, 2650091 0, 219695 0, 219702

1, 5 0, 160732 0, 1607392 0, 103776 0, 103783

Tabela 1: 𝑢e(𝑥, 1) (exato) e 𝑢a(𝑥, 1) (aproximado), com 𝑤𝑐 = 4.

107

Por outro lado, escolhendo 𝑤𝑐 = 2, temos que Φ(2, 1) = 𝑒−(2)2 ∼= 0, 0183156.

Fazendo 𝑛 = 105, temos que Δ𝜔 = 𝜔𝑐

𝑛= 2

105 = 2 · 10−5. Neste caso, a solução aproximada édada por

𝑢(𝑥, 1) ∼=2 · 10−5

𝜋

100000∑𝑗=0

𝑒−(2·10−5 𝑗)2

cos(2 · 10−5 𝑗 𝑥

)

𝑛 = 105; Φ(2, 1) ∼= 0, 0183156𝑥 𝑢e(𝑥, 1) 𝑢a(𝑥, 1)0 0, 282094 0, 280778

0, 5 0, 265003 0, 2644161 0, 219695 0, 220468

1, 5 0, 160732 0, 1619842 0, 103776 0, 104154

Tabela 2: 𝑢e(𝑥, 1) (exato) e 𝑢a(𝑥, 1) (aproximado), com 𝑤𝑐 = 2.

Na Tabela 2, utilizamos 𝑤𝑐 = 2, que não é uma escolha melhor que 𝑤𝑐 = 4, visto que Φ(2, 1)não está tão próximo de zero, mesmo assim a solução aproximada coincide com a soluçãoexata em duas casas decimais. Na Tabela 1, consideramos 𝑤𝑐 = 4, de modo que Φ(2, 1) ∼= 0,neste caso notamos uma melhora nos valores da solução aproximada, que coincidem com asolução exata em três casas decimais. Vale ressaltar também que quanto maior o número deamostras 𝑛, mais informações temos da solução exata.

2. Neste caso vamos considerar 𝛼 = 0, 9; 𝛽 = 1, 9; 𝑡0 = 𝜈 = 1 e F(𝑥) = 𝛿(𝑥). Temos então oseguinte problema

𝐶D0,90+𝑢(𝑥, 𝑡) = −𝜈 (−Δ)

1,92 𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝛿(𝑥)𝛿(𝑡)

𝑢(𝑥, 0+) = 𝛿(𝑥)𝑢(𝑥, 0−) = 0

lim|𝑥|→∞

𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) = 0.(6.1.12)

No Apêndice B, discutimos detalhadamente os passos utilizados para a obtenção dos dadosda Tabela 3 e do gráfico para este caso particular.Sendo 𝑡0 = 1, pela equação (6.1.7), temos que

Φ(𝜔, 1) = E𝛼(−𝜈𝜔𝛽𝑡0𝛼) = E0,9

(−𝜔1,9

).

Escolhendo 𝑤𝑐 = 10 e 𝑛 = 105, temos que

108

Δ𝜔 = 𝜔𝑐

𝑛= 10

105 = 10−4 e 𝜔𝑗 = 10−4 𝑗, para 𝑗 = 0, 1, · · · , 100000.

Além disso, Φ(10, 1) = E0,9 [−(10)1,9] ∼= 0, 00135174.Logo, temos que

𝑢(𝑥, 1) ∼=10−4

𝜋

100000∑𝑗=0

E0,9

[−(10−4 𝑗

)1,9]

cos(10−4 𝑗 𝑥

).

Na tabela a seguir, comparamos valores exatos com valores aproximados para a solução,quando 𝑥 = 0; 0, 3; 0, 5; 0, 8; 1; 2 e 5.

𝛼 = 0, 9; 𝛽 = 1, 9 e 𝑤𝑐 = 10𝑥 𝑢e(𝑥, 1) 𝑢a(𝑥, 1)0 0, 313239 0, 308543

0, 3 0, 288564 0, 2892440, 5 0, 268238 0, 2674790, 8 0, 233220 0, 2337461 0, 208288 0, 2081442 0, 094986 0, 0951885 0, 002548 0, 002539

Tabela 3: 𝑢e(𝑥, 1) (exato) e 𝑢a(𝑥, 1) (aproximado) para o problema (6.1.12).

A seguir, plotamos o gráfico neste caso particular para 𝑢(𝑥, 1), com 𝑥 ∈ [−6, 6].

Figura 6.1: Função 𝑢(𝑥, 1) para 𝛼 = 0, 9 e 𝛽 = 1, 9.

109


𝐶D0,80+𝑢(𝑥, 𝑡) = −𝜈 (−Δ)

1,82 𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝛿(𝑥)𝛿(𝑡)

𝑢(𝑥, 0+) = 𝛿(𝑥)𝑢(𝑥, 0−) = 0

lim|𝑥|→∞

𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) = 0.(6.1.13)

Sendo 𝑡0 = 1, pela equação (6.1.7), temos que

Φ(𝜔, 1) = E𝛼(−𝜈𝜔𝛽𝑡0𝛼) = E0,8

(−𝜔1,8

).


Δ𝜔 = 𝜔𝑐

𝑛= 10

105 = 10−4 e 𝜔𝑗 = 10−4 𝑗, para 𝑗 = 0, 1, · · · , 100000.

Além disso, Φ(10, 1) = E0,8 [−(10)1,8] ∼= 0, 00352176.Logo, temos que

𝑢(𝑥, 1) ∼=10−4

𝜋

100000∑𝑗=0

E0,8

[−(10−4 𝑗

)1,8]

cos(10−4 𝑗 𝑥

).

𝛼 = 0, 8; 𝛽 = 1, 8 e 𝑤𝑐 = 10𝑥 𝑢e(𝑥, 1) 𝑢a(𝑥, 1)0 0, 352421 0, 338616

0, 3 0, 300382 0, 3020990, 5 0, 269656 0, 2676380, 8 0, 224922 0, 2262731 0, 196665 0, 1962552 0, 087287 0, 0877885 0, 004525 0, 004475


O gráfico na Figura 6.2 a seguir, representa a solução 𝑢(𝑥, 1) do problema (6.1.13), no casoem que 𝑥 ∈ [−6, 6]. Na Figura 6.3 plotamos em um mesmo gráfico as figuras correspondentesaos problemas (6.1.11), (6.1.12) e (6.1.13).

110


Figura 6.3: Função 𝑢(𝑥, 1) para particulares valores de 𝛼 e 𝛽.

111


𝐶D0,50+𝑢(𝑥, 𝑡) = −𝜈 (−Δ)

1,52 𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝛿(𝑥)𝛿(𝑡)

𝑢(𝑥, 0+) = 𝛿(𝑥)𝑢(𝑥, 0−) = 0

lim|𝑥|→∞

𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) = 0.(6.1.14)

Sendo 𝑡0 = 1, pela equação (6.1.7) temos que

Φ(𝜔, 1) = E𝛼(−𝜈𝜔𝛽𝑡0𝛼) = E0,5

(−𝜔1,5

).


Δ𝜔 = 𝜔𝑐

𝑛= 10

105 = 10−4 e 𝜔𝑗 = 10−4 𝑗, para 𝑗 = 0, 1, · · · , 100000.

Além disso, Φ(10, 1) = E0,5 [−(10)1,5] ∼= 0, 0178323.Por outro lado, escolhendo 𝑤𝑐 = 100 e 𝑛 = 105, temos que

Δ𝜔 = 𝜔𝑐

𝑛= 100

105 = 10−3 e 𝜔𝑗 = 10−3 𝑗, para 𝑗 = 0, 1, · · · , 100000.

Além disso, Φ(100, 1) = E0,5 [−(100)1,5] ∼= 0, 000564189.A tabela a seguir mostra os valores obtidos pela solução aproximada para essas duas escolhasde 𝑤𝑐.

𝛼 = 0, 5; e 𝛽 = 1, 5𝑥 𝑢e(𝑥, 1) 𝑢a(𝑥, 1) com 𝜔𝑐 = 10 𝑢a(𝑥, 1) com 𝜔𝑐 = 1000 0, 568488 0, 454931 0,532730

0, 3 0, 326512 0, 334580 0,3260770, 5 0, 262421 0, 251904 0,2624750, 8 0, 195169 0, 202036 0,1951051 0, 162019 0, 159710 0,1620852 0, 068682 0, 071180 0,0687625 0, 008979 0, 008665 0,009122


Com base na Tabela 5, escolhemos 𝜔𝑐 = 100 para plotar o gráfico a seguir.

112


5. Vamos considerar 𝛼 = 0, 1; 𝛽 = 1, 9; 𝜈 = 1 e F(𝑥) = 𝛿(𝑥). Temos então o seguinteproblema

𝐶D0,10+𝑢(𝑥, 𝑡) = −𝜈 (−Δ)

1,92 𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝛿(𝑥)𝛿(𝑡)

𝑢(𝑥, 0+) = 𝛿(𝑥)𝑢(𝑥, 0−) = 0

lim|𝑥|→∞

𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) = 0.(6.1.15)

Escolhendo 𝑤𝑐 = 100 e 𝑛 = 105, vamos analisar a solução aproximada para o problema(6.1.15) para os valores de 𝑡 a seguir.

∙ Para 𝑡0 = 0, 5, temos que

Φ(100; 0, 5) = E0,1[−(100)1,9(0, 5)0,1

] ∼= 0, 000158931

∙ Para 𝑡0 = 1, temos que

Φ(100, 1) = E0,1[−(100)1,9

] ∼= 0, 000148289.

∙ Para 𝑡0 = 1, 5, temos que

Φ(100; 1, 5) = E0,1[−(100)1,9(1, 5)0,1

] ∼= 0, 000142398.

113

𝛼 = 0, 1, 𝛽 = 1, 9 e 𝑡 = 0, 5𝑥 𝑢e(𝑥, 1) 𝑢a(𝑥, 1)0 0, 530111 0, 524648

0, 3 0, 372183 0, 3721680, 5 0, 300115 0, 3002440, 8 0, 219196 0, 2192921 0, 178430 0, 1785622 0, 065603 0, 0657405 0, 004136 0, 004290

𝛼 = 0, 1, 𝛽 = 1, 9 e 𝑡 = 1𝑥 𝑢e(𝑥, 1) 𝑢a(𝑥, 1)0 0, 511120 0, 506033

0, 3 0, 363091 0, 3630940, 5 0, 294926 0, 2950560, 8 0, 217714 0, 2178151 0, 178466 0, 1786002 0, 067865 0, 0680045 0, 004646 0, 004801

𝛼 = 0, 1, 𝛽 = 1, 9 e 𝑡 = 1, 5𝑥 𝑢e(𝑥, 1) 𝑢a(𝑥, 1)0 0, 500328 0, 495450

0, 3 0, 357813 0, 3578220, 5 0, 291844 0, 2919760, 8 0, 21675 0, 2168531 0, 178383 0, 1785182 0, 069149 0, 0692885 0, 004964 0, 005119

Tabela 6: 𝑢e(𝑥, 1) (exato) e 𝑢a(𝑥, 1) (aproximado) para alguns valores de 𝑡.

A seguir, o gráfico no caso particular em que 𝑡 = 1 e 𝑥 ∈ [−6, 6].


No gráfico a seguir, plotamos 𝑢(𝑥, 𝑡) para 𝑡 = 0, 5; 1 e 1, 5 e 𝑥 ∈ [−1, 1].

Figura 6.6: Função 𝑢(𝑥, 𝑡) para 𝑡 = 0; 1 e 1, 5, com 𝛼 = 0, 1 e 𝛽 = 1, 9.

114

6. Vamos considerar o problema geral (6.1.1) no caso em que

F(𝑥) =

⎧⎨⎩1, se |𝑥| < 1/2,0, se |𝑥| > 1/2.


𝑢(𝑥, 𝑡) = 1𝜋

∫ 𝑥+1/2

𝑥−1/2

[∫ ∞

0E𝛼(−𝜈𝜔𝛽𝑡𝛼)cos(𝜔𝜏)d𝜔

]d𝜏

= 1𝜋

∫ ∞

0

{E𝛼(−𝜈𝜔𝛽𝑡𝛼)

[∫ 𝑥+1/2

𝑥−1/2cos(𝜔𝜏)d𝜏

]d𝜔}

= 1𝜋

∫ ∞

0


[sen[𝜔(𝑥+ 1/2)] − sen[𝜔(𝑥− 1/2)]

𝜔

]d𝜔}

= 1𝜋

∫ ∞

0


[sen(𝜔/2)cos(𝜔 𝑥)

𝜔/2

]d𝜔}

= 2𝜋

∫ ∞

0

E𝛼(−𝜈𝜔𝛽𝑡𝛼)sen(𝜔/2)cos(𝜔 𝑥)𝜔

d𝜔,

Logo,

𝑢(𝑥, 𝑡) = 2𝜋

∫ ∞

0

E𝛼(−𝜈𝜔𝛽𝑡𝛼)sen(𝜔/2)cos(𝜔 𝑥)𝜔

d𝜔. (6.1.16)

Os gráficos para a solução na equação (6.1.16) também podem ser obtidos utilizando a mesmametodologia dos exemplos anteriores, sendo necessário apenas uma pequena mudança naimplementação em MATLAB.A seguir alguns gráficos para esse caso.

Figura 6.7: Função 𝑢(𝑥, 𝑡) para 𝑡 = 0, 1; 0, 01 e 0, 001, com 𝛼 = 0, 6; 0, 8 e 1 e 𝛽 = 2.

Estudos recentes apresentam uma solução analítica para esse problema [7].

115

6.2 Equação do telégrafo fracionáriaVamos resolver a seguinte equação do telégrafo fracionária, que apresenta características dos

movimentos de onda e difusão [49]:

𝐶D2𝛼0+𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝑎 𝐶D𝛽

0+𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝑏 𝑢(𝑥, 𝑡) = −𝑘2 (−Δ)𝛾 𝑢(𝑥, 𝑡),lim

|𝑥|→∞𝑢(𝑥, 𝑡) = 0,

𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) e 𝜕

𝜕𝑡𝑢(𝑥, 𝑡)

𝑡=0

= 𝑔(𝑥),(6.2.1)

onde 𝑎, 𝑏 e 𝑘 são constantes reais, 𝑥 ∈ R é a variável espacial, 𝑡 > 0 é a variável temporal,1/2 < 𝛼 ≤ 1, 0 < 𝛽 ≤ 1 e 1/2 < 𝛾 ≤ 1. Para resolvê-la, vamos utilizar a metodologia detransformada de Laplace inversa apresentada em [2] e discutida no Capítulo 1, Seção 1.5 . No casoem que 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 1, nós recuperamos a clássica equação do telégrafo.

Essa equação foi resolvida em [4] no caso em que 𝑏 = 0, com o uso de transformadas integraisde Laplace e Fourier e a solução foi representada através da função 𝐻−Fox [8].

Aplicando a transformada de Fourier em ambos os membros da equação do telégrafo fracionária,temos

𝐶D2𝛼0+��(𝜔, 𝑡) + 𝑎 𝐶D𝛽

0+��(𝜔, 𝑡) + 𝑏 ��(𝜔, 𝑡) = −𝑘2 |𝜔|2𝛾 ��(𝜔, 𝑡),

onde ��(𝜔, 𝑡) = ℱ [𝑢(𝑥, 𝑡)] e (−Δ)𝛼/2 𝑓 = ℱ−1 ‖𝜔‖𝛼 ℱ𝑓 .Aplicando agora a transformada de Laplace na equação acima e usando a equação (4.4.7),

obtemos

𝑠2𝛼U(𝜔, 𝑠)−𝑠2𝛼−1��(𝜔, 0)−𝑠2𝛼−2 𝜕

𝜕𝑡��(𝜔, 𝑡)

𝑡=0

+𝑎 𝑠𝛽U(𝜔, 𝑠)−𝑎 𝑠𝛽−1��(𝜔, 0)+𝑏 U(𝜔, 𝑠) = −𝑘2 |𝜔|2𝛾 U(𝜔, 𝑠),

onde U(𝜔, 𝑠) = L [��(𝜔, 𝑡)]. Das condições iniciais, temos que

��(𝜔, 0) = ℱ [𝑢(𝑥, 0)] = ℱ [𝑓(𝑥)] = 𝑓(𝜔)e

𝜕

𝜕𝑡��(𝜔, 𝑡)

𝑡=0

= ℱ[𝜕

𝜕𝑡𝑢(𝑥, 𝑡)

𝑡=0

]= ℱ [𝑔(𝑥)] = 𝑔(𝜔).

Assim,

𝑠2𝛼U(𝜔, 𝑠) − 𝑠2𝛼−1𝑓(𝜔) − 𝑠2𝛼−2𝑔(𝜔) + 𝑎 𝑠𝛽U(𝜔, 𝑠) − 𝑎 𝑠𝛽−1𝑓(𝜔) + 𝑏 U(𝜔, 𝑠) = −𝑘2 |𝜔|2𝛾 U(𝜔, 𝑠),

de onde segue que

U(𝜔, 𝑠) =𝑓(𝜔)

(𝑠2𝛼−1 + 𝑎 𝑠𝛽−1

)+ 𝑠2𝛼−2𝑔(𝜔)

𝑠2𝛼 + 𝑎 𝑠𝛽 + 𝑘2 |𝜔|2𝛾 + 𝑏. (6.2.2)

116

Tomando a transformada de Fourier inversa na equação (6.2.2), podemos escrever

U(𝑥, 𝑠) = 12𝜋

∫ ∞

−∞𝑒𝑖 𝜔𝑥

⎡⎣𝑓(𝜔)(𝑠2𝛼−1 + 𝑎 𝑠𝛽−1

)+ 𝑠2𝛼−2𝑔(𝜔)

𝑠2𝛼 + 𝑎 𝑠𝛽 + 𝑘2 |𝜔|2𝛾 + 𝑏

⎤⎦ d𝜔. (6.2.3)

Pela equação (1.5.5), podemos escrever

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒𝜎𝑡

𝜋

∫ ∞

0[Re [U(𝑥, 𝜎 + 𝑖𝜏)] cos(𝑡𝜏) − Im [U(𝑥, 𝜎 + 𝑖𝜏)] sen(𝑡𝜏)] d𝜏, (6.2.4)

onde 𝜎, 𝜏 ∈ R e 𝜎 deve ser tomado de modo a satisfazer a condição de existência de U(𝑥, 𝜎 + 𝑖𝜏).

∙ Caso particular:

Considere o caso particular em que 𝑎 = 𝑏 = 2, 𝑘 = 1, 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 1, 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) e𝑔(𝑥) = −sen(𝑥) na equação (6.2.1).


U(𝑥, 𝑠) = 12𝜋

∫ ∞


⎡⎣𝑓(𝜔) (𝑠+ 2 ) + 𝑔(𝜔)𝑠2 + 2 𝑠+ 𝜔2 + 2

⎤⎦ d𝜔.

Como 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) e 𝑔(𝑥) = −sen(𝑥),

𝑓(𝜔) = −𝑖 𝜋 [𝛿(𝜔 − 1) − 𝛿(𝜔 + 1)]

e

𝑓(𝜔) = 𝑖 𝜋 [𝛿(𝜔 − 1) − 𝛿(𝜔 + 1)] .


U(𝑥, 𝑠) = 12𝜋

∫ ∞

−∞𝑒𝑖 𝜔𝑥 [−𝑖 𝜋 (𝛿(𝜔 − 1) − 𝛿(𝜔 + 1))]

[𝑠+ 2 − 1

𝑠2 + 2 𝑠+ 𝜔2 + 2

]d𝜔

= −𝑖(𝑠+ 1)2

∫ ∞


[𝛿(𝜔 − 1) − 𝛿(𝜔 + 1)𝑠2 + 2 𝑠+ 𝜔2 + 2

]d𝜔.

Efetuando a integral acima no MATLAB, obtemos o resultado

U(𝑥, 𝑠) = sen(𝑥)(

𝑠+ 1𝑠2 + 2 𝑠+ 3

).

Temos que 𝑠2 + 2 𝑠 + 3 é maior que zero para todo 𝑠 ∈ C, ou seja, Re [𝑠] = 𝜎 ∈ R, com isso,podemos escolher 𝜎 = 0 e escrever 𝑠 = 0 + 𝑖 𝜏 para determinar Re [U(𝑥, 𝑖𝜏)] e Im [U(𝑥, 𝑖𝜏)].

Assim, segue que

Re [U(𝑥, 𝑖𝜏)] = sen(𝑥)(

𝜏 2 + 3𝜏 4 − 2𝜏 2 + 9

)

117

e

Im [U(𝑥, 𝑖𝜏)] = − sen(𝑥)(

𝜏(𝜏 2 − 1)𝜏 4 − 2𝜏 2 + 9

).

Finalmente, pela equação (6.2.4), temos que

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒0𝑡

𝜋

∫ ∞

0

{sen(𝑥)

(𝜏 2 + 3

𝜏 4 − 2𝜏 2 + 9

)cos(𝑡𝜏) + sen(𝑥)

[𝜏(𝜏 2 − 1)

𝜏 4 − 2𝜏 2 + 9

]sen(𝑡𝜏)

}d𝜏

= sen(𝑥)𝜋

∫ ∞

0

(𝜏 2 + 3) cos(𝑡𝜏) + 𝜏(𝜏 2 − 1) sen(𝑡𝜏)𝜏 4 − 2𝜏 2 + 9 d𝜏 .

Efetuando a integral acima no MATLAB, obtemos o resultado

𝑢(𝑥, 𝑡) = sen(𝑥)𝜋

𝑒−𝑡𝜋 cos(√

2 𝑡).

Logo, neste caso particular, a solução é dada por

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒−𝑡cos(√

2 𝑡) sen(𝑥).

Segue abaixo o gráfico para a solução obtida neste caso particular.

Figura 6.8: Gráfico de 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒−𝑡cos(√

2 𝑡) sen(𝑥) para 0 < 𝑥 < 16 e 0 < 𝑡 < 3.

118

6.3 Equações diferenciais fracionárias linearesEnfim, mais uma aplicação das funções de Mittag-Leffler no estudo das equações diferenciais

fracionárias lineares.Vamos apresentar alguns exemplos de equações diferenciais fracionárias lineares (EDFL), cuja

solução pode ser expressa em termos das funções de Mittag-Leffler [31, 50].Sejam Ω = [𝑎, 𝑏] um intervalo finito do eixo real R, 𝑥 ∈ Ω e 𝛼 ∈ R, com 0 < 𝛼 ≤ 1 e 𝑛 ∈ N*.

Considere a equação diferencial fracionária linear

[L𝑛𝛼(𝑦)] (𝑥) :=(D𝑛𝛼

𝑎+𝑦)

(𝑥) +𝑛−1∑𝑗=0

𝑎𝑗(𝑥)(D 𝑗𝛼

𝑎+𝑦)

(𝑥) = 𝑓(𝑥), (6.3.1)

onde D𝛼𝑎+ denota os operadores de derivação fracionária de Riemann-Liouville ou de Caputo.

A equação em (6.3.1) é chamada de equação diferencial fracionária sequencial linear e possui𝑛 soluções globais [31].

Vamos analisar o caso particular em que 𝑎0(𝑥) = 𝜆 ∈ R∖{0}, 𝑎𝑗(𝑥) ≡ 0, para todo 𝑗 = 1, ..., 𝑛−1e 𝑓(𝑥) ≡ 0. Dessa forma, obtemos a equação

[L𝑛𝛼(𝑦)] (𝑥) :=(D𝑛𝛼

𝑎+𝑦)

(𝑥) − 𝜆𝑦(𝑥) = 0, (6.3.2)com 0 < 𝛼 ≤ 1 e 𝑛 ∈ N*.

Através de dois teoremas sobre as autofunções dos operadores de derivação fracionária segundoRiemann-Liouville e Caputo, é possível encontrar a solução para certos tipos de equações diferenci-ais fracionárias, em particular, as possíveis soluções da equação (6.3.2), no caso em que o operadorD𝛼

𝑎+ é considerado no sentido de Riemann-Liouville ou de Caputo.

Teorema 6.1. Sejam Ω = [𝑎, 𝑏] um intervalo finito do eixo real R, com 𝑥 ∈ Ω, 𝑚 ∈ N*, 𝜆 ∈ R∖{0}e 𝛼 ∈

(𝑚−1

𝑚, 1]

⊂ R, então

𝑦𝑘(𝑥) = (𝑥− 𝑎)𝑚𝛼−𝑘E𝑚𝛼,𝑚𝛼+1−𝑘 [𝜆(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼] , (6.3.3)com 𝑥 > 𝑎 e 𝑘 = 1, ...,𝑚, são as autofunções associadas ao autovalor 𝜆 do operador de derivaçãofracionária à esquerda segundo Riemann-Liouville (D𝑚𝛼

𝑎+ ).

Demonstração. Para mostrar que 𝑦𝑘(𝑥) são autofunções de D𝑚𝛼𝑎+ , para 𝑘 = 1, ...,𝑚, utilizamos a

definição da função de Mittag-Leffler e a Propriedade 4.7.Aplicando D𝑚𝛼

𝑎+ em 𝑦𝑘(𝑥), temos

D𝑚𝛼𝑎+

{(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼−𝑘E𝑚𝛼,𝑚𝛼+1−𝑘 [𝜆(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼]

}= D𝑚𝛼

𝑎+

⎡⎣ ∞∑𝑗=0

𝜆𝑗(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼𝑗+𝑚𝛼−𝑘

Γ (𝑚𝛼𝑗 +𝑚𝛼 + 1 − 𝑘)

⎤⎦

=∞∑

𝑗=0

𝜆𝑗

Γ (𝑚𝛼𝑗 +𝑚𝛼 + 1 − 𝑘)D𝑚𝛼𝑎+

[(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼𝑗+𝑚𝛼−𝑘

]

=∞∑

𝑗=1

𝜆𝑗−1

Γ (𝑚𝛼𝑗 + 1 − 𝑘)D𝑚𝛼𝑎+

[(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼𝑗−𝑘

].

119

Pela Propriedade 4.7, podemos escrever

D𝑚𝛼𝑎+

[(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼𝑗−𝑘

]= Γ (𝑚𝛼𝑗 − 𝑘 + 1)

Γ(𝑚𝛼𝑗 − 𝑘 −𝑚𝛼 + 1)(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼𝑗−𝑘−𝑚𝛼,

desde que

𝑚𝛼𝑗 − 𝑘 > −1, ou seja, que 𝛼 >𝑘 − 1𝑚𝑗

para 𝑘 = 1, 2, ...,𝑚 e 𝑗 = 1, 2, ....

Resolvendo essas inequações, encontramos a restrição

𝛼 >𝑚− 1𝑚

.

Assim, obtemos

D𝑚𝛼𝑎+


}=

∞∑𝑗=1

𝜆𝑗−1

Γ (𝑚𝛼𝑗 − 𝑘 −𝑚𝛼 + 1)(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼𝑗−𝑘−𝑚𝛼.

Se 𝑗 = 1, o denominador do membro direito da igualdade acima valerá Γ (1 − 𝑘), mas

lim𝑘→𝑎

Γ (1 − 𝑘) = ∞, para todo 𝑎 = 1, 2, ...,𝑚.

Com isso, temos

(𝑥− 𝑎)−𝑘

Γ (1 − 𝑘) = 0, para 𝑘 = 1, 2, ...,𝑚.

Logo, obtemos a igualdade

D𝑚𝛼𝑎+


}=

∞∑𝑗=2

𝜆𝑗−1

Γ (𝑚𝛼𝑗 − 𝑘 −𝑚𝛼 + 1)(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼𝑗−𝑘−𝑚𝛼,

ou seja,

D𝑚𝛼𝑎+


}=

∞∑𝑗=0

𝜆𝑗+1

Γ (𝑚𝛼𝑗 +𝑚𝛼 + 1 − 𝑘)(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼𝑗+𝑚𝛼−𝑘,

de onde segue o resultado desejado

D𝑚𝛼𝑎+


}= 𝜆(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼−𝑘E𝑚𝛼,𝑚𝛼+1−𝑘 [𝜆(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼] .

�

120

Considerando agora o operador de derivação fracionária segundo Caputo, podemos escrever oteorema a seguir sobre suas autofunções.

Teorema 6.2. Sejam Ω = [𝑎, 𝑏] um intervalo finito do eixo real R, com 𝑥 ∈ Ω, 𝛼, 𝜆 ∈ R∖{0},𝑚 ∈ N* e 𝛼 ∈

(𝑚−1

𝑚, 1]

⊂ R, então

𝑦𝑘(𝑥) = (𝑥− 𝑎)𝑘−1E𝑚𝛼,𝑘 [𝜆(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼] , (6.3.4)

para 𝑥 > 𝑎 e 𝑘 = 1, ...,𝑚, são as autofunções associadas ao autovalor 𝜆 do operador de derivaçãofracionária segundo Caputo (𝐶D𝑚𝛼

𝑎+ ).

Demonstração. Para mostrar que 𝑦𝑘(𝑥) são autofunções de 𝐶D𝑚𝛼𝑎+ , para 𝑘 = 1, ...,𝑚, utilizamos a

definição da função de Mittag-Leffler e a Propriedade 4.7.Aplicando 𝐶D𝑚𝛼

𝑎+ em 𝑦𝑘(𝑥), temos

𝐶D𝑚𝛼𝑎+

{(𝑥− 𝑎)𝑘−1E𝑚𝛼,𝑘 [𝜆(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼]

}= 𝐶D𝑚𝛼

𝑎+

⎡⎣ ∞∑𝑗=0

𝜆𝑗(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼𝑗+𝑘−1

Γ (𝑚𝛼𝑗 + 𝑘)

⎤⎦

= 𝐶D𝑚𝛼𝑎+

(𝑥− 𝑎)𝑘−1

Γ (𝑘) +∞∑

𝑗=1

𝜆𝑗

Γ (𝑚𝛼𝑗 + 𝑘)𝐶D𝑚𝛼𝑎+

[(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼𝑗+𝑘−1

].

Pela Propriedade 4.12, podemos escrever

𝐶D𝑚𝛼𝑎+

[(𝑥− 𝑎)𝑘−1

Γ (𝑘)

]= 0,

se 𝑘 − 1 = 0, 1, 2, ...,𝑚− 1 < [𝑚𝛼].Como [𝑚𝛼] < 𝑚𝛼, devemos ter 0, 1, 2, ...,𝑚− 1 < 𝑚𝛼. Resolvendo esse sistema de inequações,

encontramos a restrição

𝛼 >𝑚− 1𝑚

.

Além disso,

𝐶D𝑚𝛼𝑎+

[(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼𝑗+𝑘−1

]= Γ (𝑚𝛼𝑗 + 𝑘)

Γ (𝑚𝛼𝑗 + 𝑘 −𝑚𝛼)(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼𝑗+𝑘−1−𝑚𝛼,

desde que 𝑚𝛼𝑗 + 𝑘 − 1 > [𝑚𝛼], para todo 𝑗 = 1, 2, ... e para todo 𝑘 = 1, 2, ..,𝑚.Temos então um sistema de inequações:

Fazendo 𝑘 = 1: devemos ter 𝑚𝛼𝑗 > [𝑚𝛼], mas isso vale para todo 𝑗 = 1, 2, ....Fazendo 𝑘 = 2: devemos ter 𝑚𝛼𝑗 > [𝑚𝛼] − 1, mas isso vale para todo 𝑗 = 1, 2, ....

...Fazendo 𝑘 = 𝑚: devemos ter 𝑚𝛼𝑗 > [𝑚𝛼] −𝑚+ 1, mas isso vale para todo 𝑗 = 1, 2, ....


121

𝐶D𝑚𝛼𝑎+


}=

∞∑𝑗=1

𝜆𝑗(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼𝑗+𝑘−1−𝑚𝛼

Γ (𝑚𝛼𝑗 + 𝑘 −𝑚𝛼) ,

ou seja,

𝐶D𝑚𝛼𝑎+


}=

∞∑𝑗=0

𝜆𝑗+1(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼𝑗+𝑘−1

Γ (𝑚𝛼𝑗 + 𝑘) ,

de onde segue o resultado desejado

𝐶D𝑚𝛼𝑎+


}= 𝜆(𝑥− 𝑎)𝑘−1E𝑚𝛼,𝑘 [𝜆(𝑥− 𝑎)𝑚𝛼] .

�

Pelo Teorema 6.1, a solução geral da equação (6.3.2) quando consideramos o operador diferencialfracionário segundo Riemann-Liouville, pode ser escrita da forma

𝑦(𝑥) =𝑛∑

𝑘=1𝑐𝑘𝑦𝑘(𝑥) =

𝑛∑𝑘=1

𝑐𝑘(𝑥− 𝑎)𝑛𝛼−𝑘E𝑛𝛼,𝑛𝛼+1−𝑘 [𝜆(𝑥− 𝑎)𝑛𝛼] , (6.3.5)

onde 𝑐𝑘, com 𝑘 = 1, ..., 𝑛, são constantes arbitrárias.Por outro lado, se considerarmos o operador diferencial fracionário segundo Caputo, pelo Teo-

rema 6.2, a solução geral da equação (6.3.2), quando consideramos 0 < 𝛼 ≤ 1, pode ser escrita daforma

𝑦(𝑥) =𝑛∑

𝑘=1𝑐𝑘𝑦𝑘(𝑥) =

𝑛∑𝑘=1

𝑐𝑘(𝑥− 𝑎)𝑘−1E𝑛𝛼,𝑘 [𝜆(𝑥− 𝑎)𝑛𝛼] , (6.3.6)

onde 𝑐𝑘, com 𝑘 = 1, ..., 𝑛, são constantes arbitrárias.Note que se fizermos 𝛼 = 1 em (6.3.6), a solução coincide com a solução em (6.3.5), no caso

em que tomamos 𝛼 = 1, isto é,

𝑦(𝑥) =𝑛∑

𝑘=1𝑐𝑘(𝑥− 𝑎)𝑘−1E𝑛,𝑘 [𝜆(𝑥− 𝑎)𝑛] ,

onde 𝑐𝑘, com 𝑘 = 1, ..., 𝑛, são constantes arbitrárias.Seguem alguns exemplos ilustrativos de equações diferenciais fracionárias lineares, conforme

definidas em (6.3.2).

1. Em particular, se 𝑐𝑘 = 1 para todo 𝑘 = 1, 2, ..., 𝑛, 𝜆 = 1, 𝑎 = 0, 𝛼 = 1 e D𝛼0+ :=𝐶D𝛼

0+ naequação (6.3.2), então obtemos a solução

𝑦(𝑥) =𝑛∑

𝑘=1𝑥𝑘−1E𝑛,𝑘 (𝑥𝑛) = 𝑒𝑥, (6.3.7)

que é válida para todo 𝑛 natural. No Apêndice A.1 discutimos a expressão da equação (6.3.7)e apresentamos o resultado da expressão

122

lim𝑛→∞

[𝑛∑

𝑘=1𝑥𝑘−1E𝑛,𝑘 (𝑥𝑛)

]= 𝑒𝑥.

2. Considere a equação (6.3.2) no caso particular em que 𝑛 = 3, 𝜆 = 1, 𝛼 ∈(

23 , 1

)e D𝛼

𝑎+ é ooperador de Riemann-Liouville com 𝑎 = 0, isto é,

(D3𝛼

0+𝑦)

(𝑥) − 𝑦(𝑥) = 0.

Por (6.3.5), uma solução para essa equação pode ser escrita da forma

𝑦(𝑥) = 𝑥(3𝛼−1)E3𝛼,3𝛼

(𝑥3𝛼

)+ 𝑥(3𝛼−2)E3𝛼,3𝛼−1

(𝑥3𝛼

)+ 𝑥(3𝛼−3)E3𝛼,3𝛼−2

(𝑥3𝛼

),

a seguir, o gráfico para 𝑦(𝑥), nos casos em que 𝛼 = 0, 8 e 0, 9.

Figura 6.9: Gráfico de 𝑦(𝑥) para 𝛼 = 0, 8; 0, 9.

3. Considere agora a equação (6.3.2) no caso particular em que 𝑛 = 3, 𝜆 = 1, 𝛼 ∈(

23 , 1

)e D𝛼

𝑎+é o operador de Caputo com 𝑎 = 0, isto é,

(𝐶D3𝛼

0+𝑦)

(𝑥) − 𝑦(𝑥) = 0.

123

Figura 6.10: Gráfico de 𝑦(𝑥) para 𝛼 = 0, 8; 0, 9.

Por (6.3.6), uma solução para essa equação pode ser escrita da forma

𝑦(𝑥) = E3𝛼

(𝑥3𝛼

)+ 𝑥E3𝛼,2

(𝑥3𝛼

)+ 𝑥2E3𝛼,3

(𝑥3𝛼

).

A seguir o gráfico para 𝑦(𝑥), nos casos em que 𝛼 = 0, 8 e 0, 9.4. Considere o problema de valor inicial associado à equação de onda bidimensional fracionária

𝐶D2𝛼0+𝑢 = 2Δ𝑢,

𝑢(��, 0) = sen(𝑥1)sen(𝑥2),

onde 𝑢 ≡ 𝑢(��, 𝑡), �� = (𝑥1, 𝑥2), com −∞ < 𝑥1, 𝑥2 < ∞, 𝑡 > 0 e 𝛼 ∈(

12 , 1

)⊂ R.

Vamos supor que a solução seja da forma

𝑢(��, 𝑡) = X(��)T(𝑡). (6.3.8)

Substituindo a condição inicial na equação (6.3.8), obtemos

X(��) = 1T(0) sen(𝑥1)sen(𝑥2). (6.3.9)

Substituindo a equação (6.3.8) na equação de onda fracionária, temos

𝐶D2𝛼0+T(𝑡)T(𝑡) = 2ΔX(��)

X(��) = 𝜆,

onde 𝜆 é uma constante real.

124

Por (6.3.6), a solução da equação

𝐶D2𝛼0+T(𝑡) = 𝜆T(𝑡)

é dada por

T(𝑡) = E2𝛼

(𝜆𝑡2𝛼

)+ 𝑡E2𝛼,2

(𝜆𝑡2𝛼

). (6.3.10)

Fazendo 𝑡 = 0 na equação (6.3.10), obtemos T(0) = 1.Logo, de (6.3.9) podemos escrever

X(��) = sen(𝑥1)sen(𝑥2).

Substituindo agora X(��) na equação

2ΔX(��) = 𝜆X(��),

obtemos 𝜆 = −2.Com isso, a solução da equação de onda bidimensional fracionária é da forma

𝑢(𝑥1, 𝑥2, 𝑡) = sen(𝑥1)sen(𝑥2)[E2𝛼

(−2𝑡2𝛼

)+ 𝑡E2𝛼,2

(−2𝑡2𝛼

)]. (6.3.11)

Quando 𝑡 = 0, independente do parâmetro 𝛼, teremos 𝑢(𝑥1, 𝑥2, 0) = sen(𝑥1) sen(𝑥2).A seguir os gráficos de 𝑢(𝑥1, 𝑥2, 0) e 𝑢(𝑥1, 𝑥2, 0, 5) (para 𝛼 = 0, 6 e 𝛼 = 0, 9).

Figura 6.11: Função 𝑢(𝑥1, 𝑥2, 0) e 𝑢(𝑥1, 𝑥2, 0, 5) (para 𝛼 = 0, 6 e 𝛼 = 0, 9).

125

Por outro lado, para 𝛼 = 0, 6; 0, 9, temos a seguir os gráficos de 𝑢(𝑥1, 𝑥2, 2) e 𝑢(𝑥1, 𝑥2, 100).

Figura 6.12: Função 𝑢(𝑥1, 𝑥2, 2) e 𝑢(𝑥1, 𝑥2, 100), para 𝛼 = 0, 6; 0, 9.

Na figura acima é possível observar que quando o tempo 𝑡 aumenta, a função 𝑢(𝑥, 𝑡) tendeao plano 𝑢 = 0.

126

Conclusões e Considerações Finais

Assim como o cálculo de ordem inteira, o cálculo fracionário também apresenta inúmeras aplica-ções, como foi abordado no Capítulo 6, onde discutimos algumas particulares equações diferenciaisfracionárias. As definições de cada operador de integração e derivação de ordem não inteira, bemcomo a utilização de cada operador em casos específicos, foram discutidas no Capítulo 4.

Caputo reformulou a derivada fracionária de Riemann-Liouville, como vimos na Seção 4.4, afim de utilizar condições iniciais em equações diferenciais fracionárias. Além disso, pouco antes dareformulação de Caputo, Kolowankar e Gangal também reformularam a derivada fracionária deRiemann-Liouville a fim de derivar funções em fractais [33].

Para definir determinados conceitos do cálculo fracionário, é necessário discutir algumas funçõesespeciais e ferramentas matemáticas, tais como, as funções gama e beta e as transformadas integraisde Fourier e Laplace. Tais conceitos foram abordados nos Capítulos 1 e 2.

A função de Mittag-Leffler de um parâmetro e suas generalizações desempenham papel funda-mental no cálculo de ordem não inteira, assim como a função exponencial desempenha um papelimportante no cálculo de ordem inteira, as funções de Mittag-Leffler são importantes para o cál-culo fracionário em problemas da física, biologia, engenharia e ciências aplicadas. Tais funçõesaparecem como solução de uma ampla classe de equações diferenciais fracionárias.

Neste trabalho, mais especificamente, no Capítulo 3, apresentamos as funções de Mittag-Lefflerde um, dois e três parâmetros, bem como algumas de suas propriedades. Através de uma formaintegral conseguimos relacionar a função de um parâmetro com as funções de dois e três parâmetrose com isso obtivemos alguns gráficos para a função de três parâmetros.

Utilizando a metodologia da transformada de Laplace inversa sem utilizar um contorno deintegração, conforme apresentada na Seção 1.5, através de uma conveniente escolha para 𝜎, que é aparte real do número complexo 𝑠, variável da transformada de Laplace de uma função, expressamosalgumas integrais impróprias convergentes através de uma nova função. Ainda utilizando essametodologia, na Seção 3.5 expressamos as funções de Mittag-Leffler como integrais em R+, comono caso da equação (3.5.4), onde dados os parâmetros 𝛼, 𝛽, 𝛾 e 𝑘, podemos escrever uma integralimprópria convergente, envolvendo funções trigonométricas, a partir das funções de Mittag-Leffler.Vale ressaltar que não encontramos tais expressões em outras referências, o que nos motiva apublicar futuramente um artigo sobre isso.

Após uma breve introdução sobre o cálculo fracionário, apresentamos as integrais fracionáriasnos sentidos de Riemann-Liouville, Liouville, Weyl e Riesz, também discutimos a formulação dasderivadas fracionárias, conforme introduzidas por Riemann-Liouville, Caputo, Liouville, Weyl eRiesz. Apresentamos algumas propriedades associadas a esses operadores bem como o TFCF e

127

aplicações desse teorema. Demonstramos o teorema fundamental do cálculo fracionário e apresen-tamos exemplos de aplicação [25].

No Capítulo 6, resolvemos uma equação diferencial parcial fracionária associada a desacelera-ção de nêutrons [7], cuja versão clássica, isto é, equação de ordem inteira, foi proposta e estudadapor Sneddon [55], indicando que o movimento da desaceleração de nêutrons em um meio materialé semelhante à difusão de calor. Com o uso de transformadas integrais, de Laplace e Fourier,obtivemos uma expressão para a solução dessa equação. Devido a dificuldade em obter valorespara a solução em dados pontos, desenvolvemos um método numérico, escrevendo a solução apro-ximada da equação como um somatório e a partir desta fórmula adaptamos uma implementaçãoem MATLAB. Através dessa implementação, conseguimos obter valores para a solução.

Ainda no Capítulo 6, com o propósito de obter uma expressão explícita para a solução geral deuma equação diferencial fracionária específica, apresentamos dois teoremas sobre as autofunçõesdos operadores de derivação fracionária de Riemann-Liouville e Caputo, sendo possível atravésdesse teorema, expressar tal solução. Exemplos de aplicação foram apresentados e discutidos.

Os problemas relacionados ao cálculo fracionário apresentados neste trabalho são apenas umapequena parte do que está sendo feito e do que já foi estudado sobre o assunto. As referênciasbibliográficas e as referências nelas contidas, ajudam na compreensão do cálculo fracionário, bemcomo em suas respectivas ramificações.

Como continuação natural deste trabalho, pretendemos pesquisar mais sobre as possíveis aplica-ções no cálculo da transformada de Laplace inversa sem usar um contorno de integração, conformeapresentado e discutido na Seção 1.5, já que através dessa técnica podemos obter expressões paradeterminadas integrais impróprias.

Além disso, outro aspecto interessante e que merece mais atenção, é a parte computacionalpara obtenção de valores para a solução de determinadas equações diferenciais fracionárias, maisespecificamente, as equações que descrevem movimentos de difusão anômala, pois, geralmente asolução obtida emerge em termos de integrais impróprias de funções envolvendo as funções deMittag-Leffler, cuja solução analítica pode ser expressa em termos das funções H de Fox. Nãoencontramos referências sobre pacotes computacionais para as funções H de Fox, exceto paracasos particulares. Pretendemos desenvolver um método computacional para calcular integraisenvolvendo as funções de Fox.

128

Apêndice A

Função exponencial em termos dasfunções de Mittag-Leffler

No Capítulo 6, Seção 6.3, discutimos a solução geral para equações diferenciais fracionáriaslineares específicas.

No caso particular em que consideramos a EDFL(

𝐶D𝑛𝛼0+𝑦

)(𝑥) = 𝑦(𝑥),

com 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝛼 ∈ R, com 0 < 𝛼 ≤ 1 e 𝑛 ∈ N*, encontramos para a solução geral, a expressão

𝑦(𝑥) =𝑛∑

𝑘=1𝑥𝑘−1E𝑛,𝑘 (𝑥𝑛) ,

onde utilizamos o Teorema 6.2 para expressar tal solução.Vamos demonstrar que a soma

𝑛∑𝑘=1

𝑥𝑘−1E𝑛,𝑘 (𝑥𝑛) ,

é igual a função 𝑦(𝑥) = 𝑒𝑥, quando consideramos 𝑛 ∈ N* um número natural não nulo qualquer.Para isso, reescrevemos a soma acima da forma

𝑦(𝑥) =𝑛∑

𝑘=1𝑥𝑘−1E𝑛,𝑘 (𝑥𝑛) = E𝑛,1 (𝑥𝑛) + 𝑥E𝑛,2 (𝑥𝑛) + 𝑥2E𝑛,3 (𝑥𝑛) + · · · + 𝑥𝑛−1E𝑛,𝑛 (𝑥𝑛) .

Escrevendo a série de cada função de Mittag-Leffler, temos

𝑦(𝑥) =∞∑

𝑗=0

𝑥𝑛𝑗

Γ(𝑛𝑗 + 1) +∞∑

𝑗=0

𝑥𝑛𝑗+1

Γ(𝑛𝑗 + 2) + · · · +∞∑

𝑗=0

𝑥𝑛𝑗+𝑛−1

Γ(𝑛𝑗 + 𝑛) .

Assim, temos que

129

𝑦(𝑥) =(

1 + 𝑥𝑛

Γ(𝑛+ 1) + 𝑥2𝑛

Γ(2𝑛+ 1) + · · ·)

⏟ ⏞ ∞∑

𝑗=0

𝑥𝑛𝑗

Γ(𝑛𝑗 + 1)

+(

𝑥

Γ(2) + 𝑥𝑛+1

Γ(𝑛+ 2) + 𝑥2𝑛+1

Γ(2𝑛+ 2) + · · ·)

⏟ ⏞ ∞∑

𝑗=0

𝑥𝑛𝑗+1

Γ(𝑛𝑗 + 2)

+

+ · · · +(𝑥𝑛−1

Γ(𝑛) + 𝑥2𝑛−1

Γ(2𝑛) + 𝑥3𝑛−1

Γ(3𝑛) + · · ·)

⏟ ⏞ ∞∑

𝑗=0

𝑥𝑛𝑗+𝑛−1

Γ(𝑛𝑗 + 𝑛)

.

Rearranjando os termos e somando todos, teremos

𝑦(𝑥) = 1 + 𝑥

Γ(2) + · · · + 𝑥𝑛−1

Γ(𝑛) + 𝑥𝑛

Γ(𝑛+ 1) + 𝑥𝑛+1

Γ(𝑛+ 2) + · · · + 𝑥2𝑛−1

Γ(2𝑛) + · · · ,

ou seja,

𝑦(𝑥) = 𝑒𝑥,

independente do valor de 𝑛. Sendo assim, podemos escrever que𝑛∑

𝑘=1𝑥𝑘−1E𝑛,𝑘 (𝑥𝑛) = 𝑒𝑥, (A.1)

para qualquer natural não nulo 𝑛.Além disso, se tomarmos o limite quando 𝑛 vai para infinito na equação (A.1), a série converge

para a função exponencial. Temos que

lim𝑛→∞

[𝑛∑

𝑘=1𝑥𝑘−1E𝑛,𝑘 (𝑥𝑛)

]= 𝑒𝑥. (A.2)

Uma outra maneira de obtermos o mesmo resultado é através da transformada de Laplaceinversa.

130

Apêndice B

Implementação da solução da equaçãoassociada à desaceleração de nêutrons

Para esboçar gráficos da forma 𝑢(𝑥, 𝑡0) × 𝑥 para valores dos parâmetros 𝛼, 𝛽 e 𝜈 da equaçãoequação diferencial parcial de ordem fracionária, com condições iniciais e de fronteira, associadaà desaceleração de nêutrons (6.1.1), utilizamos dois softwares computacionais, MATLAB 7.8.0(R2009a.) e Wolfram Mathematica (versão 9.0).

Os gráficos foram obtidos utilizando um processo que será apresentado na próxima seção.

B.1 Caso particularApresentamos os passos utilizados na obtenção do particular caso em que 𝛼 = 0, 9; 𝛽 = 1, 9;

𝑡0 = 𝜈 = 1 e F(𝑥) = 𝛿(𝑥) na equação (6.1.1), como no problema (6.1.12):

𝐶D0,90+𝑢(𝑥, 𝑡) = −𝜈 (−Δ)

1,92 𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝛿(𝑥)𝛿(𝑡)

𝑢(𝑥, 0+) = 𝛿(𝑥)𝑢(𝑥, 0−) = 0

lim|𝑥|→∞

𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) = 0.

Esse caso foi apresentado e discutido no item 2 da Subseção 6.1.2. Considere as figuras a seguir.

Figura B.1: Programa para obtenção dos dados da Tabela 3 (Subseção 6.1.2).

131

Figura B.2: Programas para obtenção do gráfico.

132

Na Figura B.1, temos a implementação dos dois programas que foram necessários para obtençãodos valores aproximados da Tabela 3 da Subseção 6.1.2.

Encontramos 100001 valores para Φ(𝜔𝑗, 1) através do software Wolfram, já que neste caso𝑛 = 105. Esses dados foram salvos em um vetor e utilizados no programa em MATLAB, quetambém pode ser visto na Figura B.1, lado direito. Para cada particular valor de 𝑥, obtemos ovalor 𝑢𝑎 que representa 𝑢(𝑥, 1) aproximado.

Para encontrar os valores exatos, também disponíveis na Tabela 3 da Subseção 6.1.2, usamoso comando do Wolfram:

N [(1/Pi) * Integrate [MittagLefflerE [.9,−(𝑤)^(1.9)] * Cos [𝑥 * 𝑤] , {𝑤, 0, Infinity}]] ,

para cada valor de 𝑥 apresentado na tabela.Essa tabela é montada para que possamos avaliar se os valores de 𝑛 e 𝜔𝑐 são satisfatórios, ou

seja, se a solução aproximada é relativamente boa se comparada com a solução exata. Se issoacontecer, utilizamos outro programa em MATLAB para plotar o gráfico, conforme a Figura B.2.

Caso os valores escolhidos para 𝑛 e 𝜔𝑐 não sejam satisfatórios, aumentamos 𝜔𝑐 de modo a obterΦ(𝜔𝑐, 𝑡0) ∼= 0. Por vezes, se aumentamos muito o valor de 𝜔𝑐, é necessário também aumentar ovalor de 𝑛, caso contrário, o número de amostras da forma Φ(𝜔𝑗, 𝑡0) é muito pequena e com issonão conseguimos obter muita informação da solução exata.

Para plotar o gráfico da Figura 6.1, encontramos os valores para 𝑢(𝑥, 1) quando 𝑥 é discreto,para 𝑥 ∈ [0, 6], com Δ𝑥 = 0, 01, totalizando 601 valores encontrados.

Consideramos o fato de 𝑢(𝑥, 1) ser uma função par neste caso particular, reorganizamos osdados 𝑥 e 𝑢(𝑥, 1) aproximado em um vetor 𝑤, através do programa mostrado na Figura B.2.

O gráfico é plotado através do comando do Wolfram, que também aparece na Figura B.2. Emdados, aparece a lista de números organizados em planilha excel, a partir do vetor 𝑤, obtido doprograma em MATLAB.

Neste caso, alguns valores para os dados obtidos podem ser vistos a seguir:

DADOS:

{{−6.000000000000000, 0.000958532494552} , {−5.990000000000000, 0.000973324931345} ,{−5.980000000000000, 0.000988361780767} , {−5.970000000000000, 0.001003573741030} ,{−5.960000000000000, 0.001018890498073} , {−5.950000000000000, 0.001034241439748} ,{−5.940000000000000, 0.001049556375603} , {−5.930000000000000, 0.001064766255090} ,{−5.920000000000000, 0.001079803877024} , {−5.910000000000000, 0.001094604583173} ,{−5.900000000000000, 0.001109106929011} , {−5.890000000000000, 0.001123253324839} ,{−5.880000000000000, 0.001136990640790} , {−5.870000000000000, 0.001150270769550} ,

... ...{5.870000000000000, 0.001150270769550} , {5.880000000000000, 0.001136990640790} ,{5.890000000000000, 0.001123253324839} , {5.900000000000000, 0.001109106929011} ,{5.910000000000000, 0.001094604583173} , {5.920000000000000, 0.001079803877024} ,{5.930000000000000, 0.001064766255090} , {5.940000000000000, 0.001049556375603} ,

133

{5.950000000000000, 0.001034241439748} , {5.960000000000000, 0.001018890498073} ,{5.970000000000000, 0.001003573741030} , {5.980000000000000, 0.000988361780767}

{5.990000000000000, 0.000973324931345} , {6.000000000000000, 0.000958532494552}}.

Para os outros casos que foram apresentados na Subseção 6.1.2 com tabelas e gráficos, a meto-dologia utilizada para obter os resultados foi a mesma que apresentamos nesse apêndice.

134

Referências Bibliográficas

[1] R. L. Bagley and P. J. Torvik. A theoretical basis for the application of fractional calculus toviscoelasticity. J. Rheology, 27:201–210, 1983.

[2] Mário N. Berberan-Santos. Analytical inversion of the Laplace transform without contourintegration: application to luminescence decay laws and other relaxation functions. J. Math.Chem., 38:165–173, 2005.

[3] W. L. Briggs and V. E. Henson. The DFT: an owner’s manual for the discrete Fouriertransform. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 1995.

[4] R. F. Camargo, E. Capelas de Oliveira, and J. Vaz Jr. On the generalized Mittag-Lefflerfunction and its application in a fractional telegraph equation. Math. Phys. Anal. Geom.,15:1–16, 2012.

[5] Rubens Figueiredo Camargo. Cálculo Fracionário e Aplicações. Tese de Doutorado, Imecc –Unicamp, Campinas, 2009.

[6] C. W. Clark. Coulomb phase shift. Am. J. Phys., 47 (8):683–684, 1979.

[7] F. Silva Costa, E. Contharteze Grigoletto, J. Vaz Jr., and E. Capelas de Oliveira. Slowing-down of neutrons: A fractional model. Communications in Applied and Industrial Mathema-tics, Aceito 2014.

[8] Felix Silva Costa. Cálculo Fracionário e a Função de Fox. Tese de Doutorado, Imecc –Unicamp, Campinas, 2011.

[9] M. Dalir and M. Bashour. Applications of fractional calculus. Appl. Math. Sci., 4 (21):1021–1032, 2010.

[10] E. Capelas de Oliveira and J.A. Tenreiro Machado. A review of Definitions for FractionalDerivatives and Integral. Math. Probl. Eng., Article ID 238459, 2014.

[11] E. Capelas de Oliveira, F. Mainardi, and J. Vaz Jr. Models based on Mittag-Leffler functionsfor anomalous relaxation in dielectrics. Eur. Phys. J. Special Topics, 193:161–171, 2011.

[12] E. Capelas de Oliveira, F. Mainardi, and J. Vaz Jr. Fractional models of anomalous relaxationbased on the Kilbas and Saigo function. Meccanica, 49:2049–2060, 2014.

135

[13] E. Capelas de Oliveira e W. A. Rodrigues Jr. Funções Analíticas com Aplicações. EditoraLivraria da Física, São Paulo, 2006.

[14] E. Contharteze Grigoletto, E. Capelas de Oliveira e F. Silva Costa. Aplicações do teoremafundamental do cálculo fracionário em equações diferenciais fracionárias. Anais do I CMACSudeste, 59-64, 2013.

[15] L. Debnath. Recent applications of fractional calculus to science and engineering. Int. J.Math. Math. Sci., 54:3413–3442, 2003.

[16] Lokenath Debnath. A brief historical introduction to fractional calculus. Int. J. Math. Edu.,Sci. & Technol., 35:487–501, 2004.

[17] K. Diethelm. The Analysis of Fractional Differential Equations. Springer Verlag, Berlin,Heidelberg, 2010.

[18] Daniela dos Santos de Oliveira. Derivada Fracionária e as Funções de Mittag-Leffler. Disser-tação de Mestrado, Unicamp, Campinas, 2014.

[19] I. T. Pedron e R. S. Mendes. Difusão anômala e equações generalizadas de difusão. Rev. Bras.Ens. Fís., 27 (2):251–258, 2005.

[20] A. Elsaid. The variational iteration method for solving Riesz fractional partial differentialequations. Compt. Math. Appl., 60:1940–1947, 2010.

[21] N. Engheta. Fractional curl operator in electromagnetics. Microwave and Optical TechnologyLetters, 17:86–91, 1998.

[22] W. Feller. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, volume 2, 3rd ed.Wiley, New York, 1971.

[23] R. Gorenflo and F. Mainardi. Fractional calculus: integral and differential equations of fracti-onal order. Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, pages 223–276, 2008.

[24] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik. Table of Integrals, Series, and Products. Elsevier/AcademicPress, Amsterdam, 2007.

[25] E. Contharteze Grigoletto and E. Capelas de Oliveira. Fractional versions of the fundamentaltheorem of calculus. Appl. Math., 4:23–33, 2013.

[26] E. Contharteze Grigoletto and E. Capelas de Oliveira. Is a definition always useful to calculatesomething? Int. J. Math. Edu. Sci. & Technol., 44:1–4, 2013.

[27] N. Heymans and I. Podlubny. Physical interpretation of initial conditions for fractional dif-ferential equations with Riemann-Liouville fractional derivative. Rheol. Acta, 45:765–772,2006.

[28] R. Hilfer. Applications of Fractional Calculus in Physics. World Scientific, Singapore, 2000.

136

[29] M. E. H. Ismail, L. Lorch, and M. E. Muldon. Completely monotonic functions associatedwith the gamma function and its q-analogues. J. Math. Anal. Appl., 116:1–9, 1986.

[30] H. Jafari and S. Momani. Solving fractional diffusion and wave equations by modified homo-topy perturbation method. Phys. Lett. A, 370:388–396, 2007.

[31] A. A. Kilbas, M. Rivero, L. Rodríguez-Germá, and J. J. Trujillo. 𝛼-analytic solutions ofsome linear fractional differential equations with variable coefficients. Appl. Math. Comput.,187:239–249, 2007.

[32] Anatoly A. Kilbas, Hari M. Srivastava, and Juan J. Trujillo. Theory and Applications ofFractional Differential Equations. Elsevier, Amsterdam, 2006.

[33] K. M. Kolowankar and A. D. Gangal. Fractional differentiability of nowhere differentiablefunctions and dimensions. Chaos, 6:505–513, 1996.

[34] K. H. Lundberg, H. R. Miller, and D. L. Trumper. Initial conditions, generalized functionsand the Laplace transform. IEEE, Control Systems Magazine, 27:22–35, 2007.

[35] J. A. Tenreiro Machado, V. Kiryakova, and F. Mainardi. A poster about the old history offractional calculus. Fract. Cal. & Appl. Anal., 13:447–454, 2010.

[36] J. A. Tenreiro Machado, V. Kiryakova, and F. Mainardi. A poster about the recent historyof fractional calculus. Fract. Cal. & Appl. Anal., 13:329–334, 2010.

[37] J. A. Tenreiro Machado, V. Kiryakova, and F. Mainardi. Recent history of fractional calculus.Commun. Nonl. Sci. Num. Simul., 16:1140–1153, 2011.

[38] F. Mainardi. On some properties of the Mittag-Leffler function E𝛼(−𝑡𝛼), completely monotonefor 𝑡 > 0 with 0 < 𝛼 < 1. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B., 2014.

[39] R. Metzler and J. Klafter. The random walk′s guide to anomalous diffusion: A fractionaldynamics approach. Phys. Rep., 339:1–77, 2000.

[40] K. S. Miller and B. Ross. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional DifferentialEquations. John Wiley & Sons, New York, 1993.

[41] K. S. Miller and S. G. Samko. Completely monotonic functions. Integr. Transf. and Spec.Funct., 12:389–402, 2001.

[42] G. M. Mittag-Leffler. Sur la nouvelle fonction E𝛼 (𝑥). C. R. Acad. Sci. Paris, 137:554–558,1903.

[43] Tyn Myint-U. Partial Differential Equations of Mathematical Physics. Elsevier, New York,1973.

[44] Thomas J. Osler. A further extension of the Leibniz rule to fractional derivatives and itsrelation to Parseval’s formula. Siam J. Math. Anal., 3:1–16, 1972.

137

[45] I. Podlubny. Fractional Differential Equations. Mathematics in Science and Engineering V198,Academic Press, New York, 1999.

[46] I. Podlubny. Geometric and physical interpretation of fractional integral and fractional diffe-rentiation. Fract. Cal. & Appl. Anal., 5(4):367–386, 2002.

[47] H. Pollard. The completely monotonic character of the Mittag-Leffler function E𝛼(−𝑥). Bull.Amer. Math. Soc., 52:908–910, 1948.

[48] T. R. Prabhakar. A singular integral equation with a generalized Mittag-Leffler function inthe kernel. Yokohama Math. J., 19:7–15, 1971.

[49] R. Rajaramanr. Analytical solutions for the different forms of telegraph equations by homo-topy analysis method. Global J. Sci. Frontier Research, 12(5):7–12, 2012.

[50] S. Z. Rida and A. A. M. Arafa. New method for solving linear fractional differential equations.Int. J. Diff. Equat., Article ID 814132, 8 pages, 2011.

[51] S. G. Samko. Fractional Weyl-Riesz integrodifferentiation of periodic functions of two variablesvia the periodization of the Riesz kernel. Appl. Anal. J., 82(3):269–299, 2003.

[52] S. G. Samko, A. A. Kilbas, and O. I. Marichev. Fractional Integrals and Derivatives: Theoryand Applications. Gordon and Breach Science Publishers, Switzerland, 1993.

[53] R. K. Saxena, A. M. Mathai, and H. J. Haubold. Unified fractional kinetic equation and afractional diffusion equation. Astrophys. Space Sci., 209:299–310, 2004.

[54] W. R. Schneider. Completely monotone generalized Mittag-Leffler functions. Expo. Math.,14:3–16, 1996.

[55] I. N. Sneddon. Fourier Transform. Dover Publications, Inc., New York, 1995.

[56] A. Stanislavsky and K. Weron. Numerical scheme for calculating of the fractional two-powerrelaxation laws in time-domain of measurements. Comp. Phys. Commun., 183:320–323, 2012.

[57] Graziane Sales Teodoro. Sobre as funções de Mittag-Leffler e aplicações. Dissertação deMestrado, Unicamp, Campinas, 2014.

[58] B. Valeur. Molecular Fluorescence. Principles and Applications. Wiley-VCH, Weinheim, 2002.

[59] A. Wiman. Über den fundamentalsatz in der teorie der functionen E𝛼 (𝑥). Acta Math.,29:191–201, 1905.

[60] M. Zubair, M. J. Mughal, and Q. A. Naqvi. On electromagnetic wave propagation in fractionalspace. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 12:2844–2850, 2011.

138

Documents

Equações Diferenciais Fracionárias e as Funções de Mittag …repositorio.unicamp.br/bitstream/REPOSIP/306993/1/... · 2018-08-26 · Ficha catalográfica Universidade Estadual