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0FRENTE B 3 BIMESTRE
0 a2 ANO PROF. Nádia
Dados dois números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz m por n ( indica-se m x n) toda tabela M formada por números reais distribuídos em m linhas e n colunas.
11 1
1
n
m mn
a a
A
a a
Se o número de linhas(m) for igual ao número de colunas (n), dizemos que esta matriz é de ordem n ou chamamos matriz n x n ( n por n).
Se o número de linhas for m e o número de colunas for n, dizemos que esta matriz é de ordem m x n (lê-se: m por n) ou simplesmente m x n.
Usamos letras maiúsculas para denotar matrizes e quando quisermos especificar a ordem de uma matriz A (o número de linhas e colunas) escreveremos A m x n. Para localizar um elemento de uma matriz, dizemos a linha e a coluna (nesta ordem) em que ele está.
Os elementos da matriz A são indicados por em que:
ija
m n
i 1,2,3,...,m e j 1,2,3,...,n
Consideramos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos por A m x n :
m n
2 3
0 2 6
1 3 4
x
C
É aquela que possui uma única coluna (n=1).
7
3
0
8
D
É aquela que possui uma única linha (m = 1)
0 1 3 9 6R
É aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m=n).
1 12
3 4A
Numa matriz quadrada , os elementos em que i = j , constituem a diagonal principal.
Numa matriz quadrada , os elementos em que a soma dos índices igual a n+1, constituem a diagonal secundária.
1 7 3 8
3 1 1 3
4 1 9 0
5 3 2 3
D
Diagonal principal
Diagonal secundária
É aquela em que ai j = 0, para todo i e j. É aquela em que ai j = 0, para todo i e j.
0 00 0 0
0 00 0 0 ;
0 00 0 0
0 0
T N
É uma matriz quadrada (m = n) onde os elementos que não estão na diagonal principal são nulos, isto é, ai j = 0, para i j
7 0 0
0 4 0
0 0 9
X
Matriz Identidade ou Unidade de ordem n é toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1.
nI
1 0 0
0 1 0
0 0 1
D
É a matriz diagonal que tem os elementos ai j iguais para i = j.
3 0 0
0 3 0
0 0 3
Z
ij mxnt
ji nxm ji ij
Dada uma matriz A (a ) , chama se transpostade A a matriz A (a ' ) tal que(a ' ) (a ), para todoi e j.
1 2
3 1
7 4
5 9
A
1 3 7 5
2 1 4 9tA
( )
( ) .
t t t
t t
tt
t t t
A B A B
A A
A A
AB B A
u
v
w
x
Uma matriz quadrada é simétrica se, e somente se ela é igual a sua transposta, ou seja se, e somente se A=At Uma matriz quadrada é simétrica se, e somente se ela é igual a sua transposta, ou seja se, e somente se A=At
1 1 5 1 1 5
1 0 2 1 0 2
5 2 2 5 2 2
tA A
Seja uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível se existir B tal que :
Seja uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível se existir B tal que :
nAB BA I
Se A não é inversível,dizemos que A é uma matriz singular.Se A não é inversível,dizemos que A é uma matriz singular.
Uma matriz quadrada é anti- simétrica se, e somente se, At = - AUma matriz quadrada é anti- simétrica se, e somente se, At = - A
0 1 5 0 1 5
1 0 2 1 0 2
5 2 0 5 2 0
tA A
ij mxnDada a matriz A a chama se oposta de A
e indica se A a matriz A tal que A A 0
11 0 11 0A e A
20 1 20 1
Duas matrizes são iguais se elas têm o mesmo número de linhas e colunas e todos os elementos estão dispostos na mesma posição são iguais.
ij ij ij ijmxn mxnDuas matrizes A a e B b são iguais quando a b
para todo i i 1,2,3,...m e j j 1,2,3,...n .
Exemplos :
1 3 1 3
7 4 7 4
1 3 1 3
7 4 17 14
ij ijmxn mxn
ij mxn
ij ij ijmxn
Dadas duas matrizes A a e B B
chama se soma A B a matriz C c
tal que c a b , para todo i e j.
ij ijmxn mxnDadas duas matrizes A a e B b
chama se diferença A B a matriz soma
de A com a oposta de .
B
2 3 8 5 7 9 0 9 8; ;
4 1 6 0 4 1 1 4 6A B C
7 4 1
4 3 5
5 16 17
1 0 5
A B
B C
ij mxn
ij ij ijmxn
Dado um número K e uma matriz A a , chama se
produto K.A a matriz B b tal que b k.a para todo
i e todo j.
11 0 33 0A e 3.A
20 1 60 3
ij jkmxn nxp
ik mxp
n
ik i1 1k i2 2k i3 3k in nk ij jkj i
Dadas duas matrizes A a e B b
chama se produto AB
a matriz C c tal que
c a . b a . b a b ... a . b a .b
REFERÊNCIA.
IEZZI , G. e HAZZAN, S. Fundamentos da Matemática Elementar.v. 4.Ed.Atual.6ed.