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APRESENTAÇÃO
Este módulo faz parte da coleção intitulada MATERIAL MODULAR, destinada às três
séries do Ensino Médio e produzida para atender às necessidades das diferentes rea-
lidades brasileiras. Por meio dessa coleção, o professor pode escolher a sequência que
melhor se encaixa à organização curricular de sua escola.
A metodologia de trabalho dos Modulares auxilia os alunos na construção de argumen-
tações; possibilita o diálogo com outras áreas de conhecimento; desenvolve as capaci-
dades de raciocínio, de resolução de problemas e de comunicação, bem como o espírito
crítico e a criatividade. Trabalha, também, com diferentes gêneros textuais (poemas,
histórias em quadrinhos, obras de arte, gráficos, tabelas, reportagens, etc.), a fim de
dinamizar o processo educativo, assim como aborda temas contemporâneos com o ob-
jetivo de subsidiar e ampliar a compreensão dos assuntos mais debatidos na atualidade.
As atividades propostas priorizam a análise, a avaliação e o posicionamento perante
situações sistematizadas, assim como aplicam conhecimentos relativos aos conteúdos
privilegiados nas unidades de trabalho. Além disso, é apresentada uma diversidade de
questões relacionadas ao ENEM e aos vestibulares das principais universidades de cada
região brasileira.
Desejamos a você, aluno, com a utilização deste material, a aquisição de autonomia
intelectual e a você, professor, sucesso nas escolhas pedagógicas para possibilitar o
aprofundamento do conhecimento de forma prazerosa e eficaz.
Gerente Editorial
Funções III
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
© Editora Positivo Ltda., 2010Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.
DIRETOR-SUPERINTENDENTE: DIRETOR-GERAL:
DIRETOR EDITORIAL: GERENTE EDITORIAL:
GERENTE DE ARTE E ICONOGRAFIA: AUTORIA:
ORGANIZAÇÃO: EDIÇÃO DE CONTEÚDO:
EDIÇÃO:ANALISTAS DE ARTE:
PESQUISA ICONOGRÁFICA:EDIÇÃO DE ARTE:
CARTOGRAFIA:ILUSTRAÇÃO:
PROJETO GRÁFICO:EDITORAÇÃO:
CRÉDITO DAS IMAGENS DE ABERTURA E CAPA:
PRODUÇÃO:
IMPRESSÃO E ACABAMENTO:
CONTATO:
Ruben FormighieriEmerson Walter dos SantosJoseph Razouk JuniorMaria Elenice Costa DantasCláudio Espósito GodoyJorge Luiz Farago / Lucio Nicolau dos Santos CarneiroÂngela Ferreira Pires da TrindadeCintia Cristina Bagatin Lapa / Ângela Ferreira Pires da TrindadeRose Marie WünschGiselle Alice Pupo / Tatiane Esmanhotto KaminskiCarla Lage da Silva / Tassiane SauerbierAngela Giseli de SouzaLuciano Daniel Tulio / Thiago Souza GranadoDivanzir Padilha / Jack ArtO2 ComunicaçãoRosemara Aparecida Buzeti / Sérgio Reis© iStockphoto.com/Jorge Delgado; © iStockphoto.com/Dario Sabljak; LatinStock/Corbis/DK Limited Mary Evans Picture Library; © 2001-2009 HAAP Media Ltd/Klaus Post P.Imagens/PithEditora Positivo Ltda.Rua Major Heitor Guimarães, 17480440-120 Curitiba – PRTel.: (0xx41) 3312-3500 Fax: (0xx41) 3312-3599Gráfica Posigraf S.A.Rua Senador Accioly Filho, 50081300-000 Curitiba – PRFax: (0xx41) 3212-5452E-mail: [email protected]@positivo.com.br
F219 Farago, Jorge Luiz.Ensino médio : modular : matemática : funções III / Jorge Luiz Farago,
Lucio Nicolau dos Santos Carneiro ; ilustrações Divanzir Padilha, Jack Art. – Curitiba : Positivo, 2010.
: il.
ISBN 978-85-385-6721-9 (livro do aluno)ISBN 978-85-385-6722-6 (livro do professor)
1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos. I. Carneiro, Lucio Nicolau dos Santos. II. Padilha, Divanzir. III. Jack Art. IV. Título.
CDU 373.33
Todos os direitos reservados à Editora Positivo Ltda.
Neste livro, você encontra ícones com códigos de acesso aos conteúdos digitais. Veja o exemplo:
Acesse o Portal e digite o código na Pesquisa Escolar.
@MAT809Cubos
@MAT809
SUMÁRIO
Unidade 1: Função exponencial
Potenciação 5
Propriedades da potenciação 7
Função exponencial 9
Gráfico de uma função exponencial 12
Equações exponenciais 15
Inequações exponenciais 19
Unidade 2: Função logarítmica
Escala Richter 23
Definição de logaritmo 25
Propriedades operatórias dos logaritmos 28
Mudança de base 30
Equações logarítmicas 31
Função logarítmica 32
Inequações logarítmicas 35
Relação entre função exponencial e função logarítmica 37
Funções III4
Função exponencial1
Para Tales... a questão primordial não era o que sabemos, mas
como sabemos.
Aristóteles
BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo: Blucher, 1996. p. 30.
Ensino Médio | Modular 5
MATEMÁTICA
Uma lanchonete oferece aos seus clientes sanduíches de frango ou de atum. Eles podem escolher pão integral ou de centeio. Com o recheio de frango ou atum, podem escolher alface ou cenoura ralada.
Potenciação©
Shu
tter
stoc
k/Lo
sevs
ky P
avel
a) Quantas opções de sanduíches são oferecidas por essa lanchonete?
b) Expresse, na forma de potência, o resultado encon-trado?
Funções III6
Leia a seguinte notícia:
Voyager 2 tem problemas para enviar dados científicos à Terra
Sonda se encontra a 14 bilhões de quilômetros da Terra, e opera há 33 anos
O Laboratório de Propulsão a Jato (JPL) da Nasa está tentando resolver um problema nos dados enviados pela sonda Voyager 2, que se encontra na fronteira do Sistema Solar.
Nota divulgada pelo JPL informa que parece haver um problema no sistema que formata os dados para transmissão. Uma mudança inesperada tem impedido que os responsáveis pela missão decodifiquem os dados científicos.
Por enquanto, a Voyager 2 está em um modo de transmissão exclusiva de dados sobre o estado da sonda.
A Voyager 2 e sua "irmã gêmea", Voyager 1, foram lançadas em 1977 e atualmente são os dois objetos artificiais mais distantes da Terra. A Voyager 2 está a 14 bilhões de quilômetros do planeta.
Ed Stone, cientista do projeto Voyager, acredita que o problema pode ser resolvido e não acha que ele esteja ligado à idade da sonda. "Isto é memória volátil, como no computador da sua casa, quando você dá o boot", disse ele. "E de vez em quando uma partícula de raio cósmico pode fazer um dos bits virar, ou pode haver uma falha em um dos bits". O conserto pode envolver pôr o bit de volta em seu estado normal, ou reprogramar o sistema para contorná-lo.
Também pode ser possível descobrir como decodificar os dados. A nave transmite ininterruptamente, e a rede Deep Space da Nasa dedica cerca de dez horas ao dia para captar suas emissões. No modo normal, os dados são majoritariamente científicos, mas a uma taxa de 160 bits por segundo.
A Voyager 1 está a 17 bilhões de quilômetros da Terra e, em cerca de cinco anos, deverá cruzar o limiar da heliosfera, a bolha que o Sol cria ao redor do Sistema Solar, e mergulhar no espaço interestelar. A Voyager 2 seguirá depois.VOYAGER 2 tem problemas para enviar dados científicos à Terra. Disponível em: <http://www.estadao.com.br/noticias/vidae,voyager-2-tem--problemas-para-enviar-dados-cientificos-a-terra,548021,0.htm>. Acesso em: 27 jul. 2010.
Com base nessa notícia, responda:
a) A que distância a sonda Voyager 2 está da Terra?
b) Como é possível expressar essa distância, usando somente algarismos?
c) Expresse essa distância na forma de produto de dois fatores, sendo um dos fatores igual a 10 bilhões:
d) Reescreva o valor do item anterior, expressando o valor de 10 bilhões na forma de potência de base 10:
e) Como é denominada a forma que representa a distância no item anterior?
f) Na forma de notação científica, escreva a que distância se encontra a Voyager 1:
© N
ASA
/Fot
ógra
fo d
esco
nhec
ido
Ilustração de uma das naves Voyager no espaço; missão dura mais de 30 anos. Nasa/Divulgação
Dados dois números a e b reais e dois números m e n naturais, tem-se que são válidas as seguintes propriedades:
Para o produto de duas ou mais potências que possuem a mesma base, repete-se a base e somam-se os expoentes.
am ∙ an = am + n
Para o quociente de duas potências que possuem a mesma base, repete-se a base e subtraem-se os expoentes.
am
an a
m n= − (para a ≠ 0)
Para uma potência de outra potência, repete-se a base e multipli-cam-se os expoentes.
am n
am n( ) = ⋅
Para a potência de um produto (ou quociente) de dois fatores, cada fator é elevado ao expoente.
a bn
an
bn⋅ = ⋅( )
a
b
nan
bn
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
(para b ≠ 0)
Propriedades da potenciação
Aplicando as propriedades da potenciação, escreva as expressões, na forma de uma única potência:
a) 32 ∙ 34 b) 43 ∙ 42 c) 2
2
10
3
d) 10
10
5
2 e) 52 3( ) f) 83 4( )
g) (5 ∙ 4)2 h) 6
6
6
5
4⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Agora, calcule as potências:a) 54
b) (−3)3
c) 25 + (−4)2
d) 33
e) 14
f) 103
g) 112
h) 60
Denomina-se potência enésima de a, indicada por an, em que a é a base e n é o expoente, o produto de n fatores iguais a a, com a ∈ R e n ∈ IN, escreve-se como:
an = a ∙ a ∙ a ∙ ... ∙ an fatores
Potenciação
@MAT850
Propriedades
da potenciação
@MAT717
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
7
FÍSICAMATEMÁTICA
.
Pela definição, a1 = a e, pelas propriedades, tem-se:
1. Escreva na forma de potência de base 2:
a) 32
b) –128
c) 1
1 024
d) 8³
2. Calcule o valor das seguintes expressões:
a) 214
16182
3 2− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ ( ):
b) 13
279
121
32
0⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
( ) ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−
: :
3. Simplifique a fração: 3 3 33 3
1 1
2
n n n
n n
− +
++ +
–.
4. (MACKENZIE – SP) Qualquer que seja o natural n, (2n + 1 + 2n) · (3n + 1 – 3n) ÷ 6n é sempre igual a:
a) 6n b) 6n + 1
c) 16
d) 1
e) 6
5. Se x = 2,4 · 10−21 e y = 0,096 · 10−23, então, determine x
y.
6. (OBM) Quanto é 26 + 26 + 26 + 26 − 44?
a) 0
b) 2
c) 4
d) 42
e) 44
.......
7. (UFPR) Considere as três expressões numéricas indicadas a seguir:
I. 13
32
6 + :
II. −22 + 32 + 1
III. (0,2)2 · (0,5)
Calculando cada uma dessas expressões, os va-lores de I, II e III são respectivamente:
a) 712
, 6 e 0,02
b) 56
, 14 e 0,002
c) 25, 14 e 0,02
d) 712
, 6 e 0,002
e) 23
, 14 e 0,04
8. (UFF – RJ) O nanômetro é a medida de com-primento usada em Nanotecnologia (nano vem do grego e significa “anão”). Sabe-se que um metro equivale a um bilhão de na-nômetros. Considerando o diâmetro da Terra com 13 000 quilômetros, conclui-se que a medida do diâmetro da Terra, em nanôme-tro, é igual a:
a) 1,3 · 1016
b) 1,3 · 10−16
c) 1,3 · 10−9
d) 1,3 · 109
e) 1,3 · 104
Expoente zero:Para a ∈ R e n ∈ Z, tem-se:a0 ∙ a1 = a0 + 1 = a1 = aa0 ∙ a = a
aa
a0 =
a0 = 1, com a ≠ 0
Expoente negativo:Para n ∈ R e a ≠ 0, tem-se:a–n ∙ an = a–n + n = a0 = 1a–n ∙ an = 1
a =1
an
n–
Funções III8
Função exponencial
O estudo da função exponencial tem algumas aplicações importantes nas várias áreas de conhecimento:
na Química, estuda-se o decaimento radioativo ou o conceito de meia--vida de um elemento químico;
na Geografia, pode-se fazer a previsão do crescimento populacional de uma cidade, estado ou país, etc.;
na Biologia, o crescimento de uma cultura de bactérias pode ser expres-so por uma função exponencial.
Cissiparidade, divisão binária ou bipartição é um tipo de reprodução assexuada realizado por alguns seres, como as bactérias. Uma bactéria se divide, formando duas idênticas.
1. Considere, inicialmente, uma bactéria que se reproduz, assexuadamente, por meio da cissiparidade e gera dois indivíduos iguais a cada minuto.
a) Represente, neste quadro, o número de bactérias a cada minuto e em forma de potência:
Tempo (minutos)Número de bactérias
Número de bactérias em forma de potência
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t
b) O número de bactérias dobra a cada minuto. Escreva uma função que relacione o número de bactérias n em função do tempo t:
Observe que a variável independente está no expoente da potência. A esse tipo de função denomina-se função exponencial.
Jack
Art
. 201
1. V
etor
.
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
9
FÍSICAMATEMÁTICA
2. Uma população pode ser estimada pelo estudo das funções exponenciais. Segundo o IBGE, a população brasileira em 2000 era de 169 799 170 habitantes. A contagem feita pelo Censo Demográfico ocorre de dez em dez anos (exceto de 1980 a 1991) de acordo com esta tabela:
Ano População residente Taxa geométrica anual de crescimento (%)
1940 41 236 315 –
1950 51 944 397 2,39
1960 70 070 457 2,99
1970 93 139 037 2,89
1980 119 002 706 2,48
1991 146 825 475 1,93
2000 169 799 170 1,64
Fonte: IBGE. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/series_estatisticas/exibedados.php>. Acesso em: 21 jun. 2010.
O primeiro recenseamento geral aconteceu no Brasil em 1872. Desse ano até a atualidade, o número de habitantes foi multiplicado por 17. Isso colocou o Brasil entre as nações mais populosas do mundo, porém o ritmo de crescimento vem diminuindo desde a década de 1960 (ver tabela).
É possível estimar, com razoável segurança, a po-pulação em 2020, pela função exponencial a seguir:
P = P0(1 + i)t
em que P é a população no ano a ser determinada, P0 é a população inicial, ou seja, em 2000 (169 799 170 habi-tantes), e i é a taxa geométrica anual de crescimento (1,64%). Então:
P = 169 799 170 · (1,0164)t
© S
hutt
erst
ock/
Jurg
en Z
iew
e
É denominada função exponencial toda função f: R → R+* definida por f(x) = ax com 0 < a ≠ 1.Exemplos:
f(x) = 2x f(x) = 1
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
f(x) = ( )5 x
a) De acordo com o texto, qual era a população em 1872?
b) Qual é a população estimada para o ano de 2020?
Funções III10
1. Nas funções a seguir, indique aquelas que são exponenciais. Anote S para sim e N para não:
a) ( ) f(x) = x + 3 b) ( ) f(x) = 3x
c) ( ) f(x) = x2 + 2 d) ( ) f(x) = 2x + 2
e) ( ) f(x) = 5 · 12
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
x
f) ( ) f(x) = 2xx
2. O crescimento (aproximado) de uma colônia de bactérias foi expresso pela função P(t) = 30 000 . 30,2t, em que t é o tempo decor-rido em dias.
a) Determine o número de bactérias:da quantidade inicial.da quantidade quando t = 5 dias e
t = 10 dias.
b) Em relação ao item anterior, o número de bactérias dobrou?
3. O valor de determinado carro novo desvalori-za 10% ao ano nos três primeiros anos após a sua compra e retirada da loja. Considere um carro cujo preço é R$ 100.000,00 e outro cujo preço é R$ 30.000,00.
a) Calcule o preço dos dois carros: I. após o 1o. ano de uso; II. após o 2o. ano de uso; III. após o 3o. ano de uso.
b) Em qual dos dois carros a desvalorização em reais foi maior?
4. Compare os valores obtidos na atividade anterior com os valores das funções V1(t) = 100.000 · (0,9)t, para o carro cujo preço é R$ 100.000,00, e V2(t) = 30.000 · (0,9)t, para o carro cujo preço é R$ 30.000,00, e responda à seguinte questão: As funções determinam o preço do carro após 1, 2 e 3 anos de uso? Justifique.
5. O preço P(t) de um imóvel, após t anos de sua construção, é dado por uma função do tipo P(t) = 100.000 · 0 85 ,( )t
, em milhares de reais. Qual será o preço do imóvel, em milhares de reais:
a) daqui a 5 anos?
b) daqui a 10 anos?
6. Um uso importante da função exponencial está na Matemática Financeira. Ela auxilia no cálculo de um valor aplicado quando os juros forem compostos, isto é, o juro é obtido sobre o montante do período anterior. A relação que determina o valor após a aplicação é:
VF = VP · (1 + i)t, em que VF é o valor futuro, VP é o valor presente, i é a taxa e t é o tempo da aplicação.
P. Im
agen
s/Pi
th
Para um capital (VP) de R$ 10.000,00, aplicado a uma taxa de juros de 5% ao mês, obtenha o valor do capital após:
a) 4 meses.
b) 12 meses.
c) 24 meses.
7. Compare os valores da questão anterior com os valores obtidos para o caso de juros simples. (Juros simples: j = C · i · n)
8. Uma forma de estimar o número de micróbios de uma colônia é contando quantos micróbios há em 1 mm2 de uma placa contendo agar, uma substância que favorece o aumento da colônia, e multiplicar essa quantidade pela área ocupada (em mm2) pela colônia. Em uma colônia, foram contados inicialmente 20 micróbios em 1 mm2, e esta tinha aproximadamente 1 cm2. De acordo com dados de culturas desse mesmo micróbio, é possível escrever a expressão n(t) = N0 · 2
0,5t, que fornece o número de micróbios no organis-mo após t dias e N0 é o número inicial de micró-bios.
a) Determine o número de micróbios após 2 dias.
b) Determine o número de micróbios após 6 dias.
c) Após quantos dias a colônia terá 8 000 micró-bios?
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
11
FÍSICAMATEMÁTICA
A técnica utilizada para diagnosticar doenças em um indivíduo é denominada cintilografia, que consiste em injetar um isótopo radioativo, obtendo, dessa forma, a imagem de determinado órgão. Um radioisótopo utilizado para diagnosticar problemas com a glândula tireóidea é o iodo-123.
O iodo-123 é conveniente nessa técnica, pois a duração do efeito no organismo está relacionada à sua meia-vida que é de 13 horas, de modo que, a cada intervalo de 13 horas, a quantidade de iodo-123 no organismo equivale a 50% da quantidade existente no início desse intervalo, isto é, metade da sua quantidade inicial se desintegra.
Considerando que uma dose de iodo-123 foi ministrada a um paciente, complete a tabela e represente os pontos no plano cartesiano a seguir:
A t
Gráfico de uma função exponencial
Isótopos: são átomos de
um elemento químico que
possuem o mesmo número
de prótons (número
atômico).Radioisótopo:
é um isótopo de um
elemento químico que
emite radiação.
Tempo (horas) Porcentagem (%)
0
13
26
39
52
65
%
horas
Gru
po K
eyst
one/
Cava
llini
Jam
es
Observe que o decaimento ocorre de forma exponencial.Escreva a função relativa ao gráfico representado no plano cartesiano:
Gráficos
de funções
exponenciais
@MAT1194
Funções III12
2. Com relação a esta tabela, faça o que se pede e depois responda às questões:
a) Complete-a e trace o gráfico da função f(x) = 1
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
:
x f(x)
–2
–1
0
1
2
f(x)
4
3
2
1
0 1 2–1–2x
b) A função é crescente ou decrescente? Justifique.
c) Observando a função f(x) = 1
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
, o que indica que ela é decrescente?
1 Com relação a esta tabela, faça o que se pede e depois responda às questões:
a) Complete-a e trace o gráfico da função f(x) = 2x:
x f(x)
–2
–1
0
1
2
f(x)
4
3
2
1
0 1 2–1–2x
b) A função é crescente ou decrescente? Justifique.
c) Observando a função f(x) = 2x, o que indica que ela é crescente?
FÍSICAFÍSICAMATEMÁTICA
13Ensino Médio | Modular
Em uma função exponencial f(x) = ax: se a > 1, a função é crescente;
se 0 < a < 1, a função é decrescente;
1. Quanto às funções exponenciais a seguir, clas-sifique-as em crescentes (C) ou decrescentes (D):
a) ( ) f(x) = 5x
b) ( ) h(t) = (0,2)t
c) ( ) f(x) = πx
d) ( ) g(x) = 2x
e) ( ) h(t) = 45
t⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
f) ( ) k(n) = 2−n
g) ( ) p(x) = 27
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
−x
2. Dada a função exponencial f(x) = (a − 3)x, qual a condição para que seja:
a) crescente?
b) decrescente?
3. Represente, no plano cartesiano, o gráfico das funções a seguir:
a) f(x) = 3x
b) g(x) = 64 . 14
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
x
c) p(x) = 5x
4. A população brasileira cresce, aproximadamente, de acordo com a lei de formação P = P0 · 2
0,02t, na qual P(t) é a população t anos após 1990 e P0 é a população em 1990 (cerca de 146 milhões de habitantes). Se a população continuar cres-cendo de acordo com essa lei, em que ano ela será o dobro de P0?
5. Neste plano cartesiano, determine a área do trapézio quando:
a) k = 2
b) k = 3
c) k = x
6. Se uma função exponencial é dada por f(x) = 4 · 2−x, determine f(0) + f(1) + f(2) + f(3).
O gráfico da função exponencial f(x) = ax não intersecta o eixo x (eixo das abscissas) e intersecta o eixo y (eixo das ordenadas) no ponto (0, 1), e o conjunto-imagem da função exponencial é R+*.
x1 < x2 ⇔ f(x1) > f(x2)x1 < x2 ⇔ f(x1) < f(x2)
Funções III14
A datação de um fóssil, utilizando o carbono-14 (C-14), é uma técnica que auxilia a pesquisa arqueológica para determinar com boa exatidão a sua idade. Foi o
químico Willard Libby (1908-1980) que desenvolveu essa técnica no início dos anos 50, e esse estudo lhe trouxe,
em 1960, o Prêmio Nobel de Química.
O carbono-14 acumula-se durante
a vida da planta ou do ser vivo e decai a partir de sua morte. Assim, a sua datação é, basicamente, uma medição da quantidade remanescente desse elemento na constituição do fóssil. Essa medição aponta quanto desse elemento foi perdido durante o período em que se fossilizou. Como a meia-vida do C-14 é de aproximadamente 5 715 anos, muitos fósseis apresentam quantidades mensuráveis de C-14 depois de milhares de anos. O estudo de Willard Libby mostra que, se uma pequena fração da quantidade original de C-14 estiver presente, com medições apropriadas de laboratório, pode-se determinar a idade de qualquer fóssil.
A equação que fornece a quantidade de carbono-14 remanescente em função do tempo é dada por:
Q(t) = Q0 · 1
2
5715⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
t
em que Q0 é a quantidade inicial, e t é o tempo em anos. O gráfico que relaciona a massa de carbono-14 em função do tempo está representado a seguir:
Para um organismo que tinha inicialmente 10 g de carbono-14, determine o tempo decorrido se a quantidade remanescente for:a) a metade da quantidade inicial.b) 2,5 g.
Em uma equação exponencial, a incógnita encontra--se no expoente. Por exemplo:
2x = 16 (a solução é x = 4).
31
9
2 3x x− = (a solução é x = 1 ou x = 2).
5x + 1 + 5x + 5x – 1 = 775 (a solução é x = 3).
Equações exponenciais
© 2001-2010 HAAP Media Ltd/Fons Reijsbergen
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
15
FÍSICAMATEMÁTICA
Resolução de uma equação exponencial
Resolver uma equação exponencial é determinar o(s) valor(es) ou a(s) raiz(raízes) que verifica(m) a igualdade. Em uma equação exponencial, a incógnita está no expoente de uma potência. Podem-se dividir as equações exponenciais em dois tipos:
1o. tipo
Transforma-se a equação em uma igualdade na qual, em ambos os membros, têm-se potências de mesma base.
Por exemplo:
a) 2x = 16
2 24x =
x = 4
S = {4}
2o. tipo
Substituem-se as potências, cujo expoente tem a incógnita, por uma incógnita auxiliar.
Determinam-se as raízes dessa equação.
Iguala(m)-se a(as) raiz(raízes) obtida(s) à potência cujo expoente tem a incógnita.
Resolve-se a equação exponencial do 1o. tipo.
Por exemplo:
a) 5x + 1 + 5x + 5x – 1 = 775
5x · 51 + 5x + 5x · 5−1 = 775
Fazendo 5x = k, tem-se:
55
775k kk
+ + = k = 125
Voltando na equação 5x = k, tem-se:
5x = 125
5x = 53
x = 3
S = {3}
b) 32x – 12 · 3x + 27 = 0
Fazendo 3x = k, tem-se:
k2 – 12k + 27 = 0
As raízes da equação do 2o. grau são:
k = 3 e k = 9.
Voltando na equação 3x = k, tem-se:
3x = 3
x = 1
ou
3x = 9
3x = 32
x = 2
S ={1, 2}
Equações
exponenciais I
@MAT1301
Equações
exponenciais II
@MAT1340
b) 31
9
2 3x x− =
3 3
2 3 2x x− −= x2 – 3x = −2
x2 – 3x + 2 = 0
x = 1 ou x = 2
S = {1, 2}
c) 25 1254x = ( )5 52 34x = 5 5
23
4x =
2x = 3
4
x = 3
8
S = 3
8
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
d) 33x – 6 = 272x
33x – 6 = (33)2x
3 33 6 6x x− =
3x – 6 = 6x
x = −2
S = {–2}
16 Funções III
1. Determine o conjunto-solução destas equa-ções:
a) (0,1)x − 5 = 10
b) (73)−x+2 = 1
343
c) 3x2 · 3−7x · 312 = 1
d) 25x – 26 · 5x + 25 = 0
e) 2 8 9 26 3x x+ = ·
f) 32x – 10 · 3x + 9 = 0
g) 5 · 3x · 32 – 12 · 3x · 31 = 81
2. Devido à desintegração radioativa, uma massa m0 de carbono-14 é reduzida a uma massa m em t anos. As duas massas estão relacionadas pela fórmula m = m0 · 2
−t/5400. Nessas condi-ções, em quanto tempo 5 g de carbono-14 se-rão reduzidos a 0,625 g?
3. A partir de um ano (considerado como ano 0), o número de indivíduos de uma população é dado, aproximadamente, pela expressão n(t) = 5 000 · 20,5t, na qual t indica o ano. Em que ano se espera que a população seja de 80 000 indivíduos?
i 4. Dada a equação 3x – 4 · 81x = 1, determine o valor de x que verifica a igualdade.
5. Qual é o conjunto-solução da equação
4x + 2 · 2x – 8 = 0?
6. Qual(ais) o(s) valor(es) que satisfaz(em) a equa-ção 22x + 1 − 5 · 2x + 2 = –32?
7. Se 5
15
3 9
3 2x y
x y
+ =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪–
, então qual é o valor de x + y?
8. Considere a função real f(x) = –2 + 43
xx
.
Se x satisfaz a equação f x( )+ = −123
, então cal-
cule o(s) valor(es) de x.
9. Resolva a equação 2x + m · 22 – x – 2 · m – 2 = 0, para m = 1.
Função exponencial de base “e”
Algumas funções exponenciais utilizam o número e, denominado número de Euler, que representa um número irracional cujo valor é 2,7182818... Esse número é utilizado no estudo de fenômenos físicos e químicos, no de crescimentos populacionais, entre outros.
O gráfico dessa função está representado a seguir:
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
17
FÍSICAMATEMÁTICA
1. O número de bactérias em uma cultura varia de acordo com a função Q(t) = 200 · ekt.
Se, após 30 minutos, há 800 bactérias, então determine:
a) quantas bactérias existiam inicialmente na cultura?
b) quantas bactérias existirão após 60 minutos?
2. Uma experiência realizada com reprodução de ra-tos em um laboratório estima o número de indiví-duos após um tempo t. A população inicialmente era de 100 ratos e cresceu exponencialmente, de acordo com a função N(t) = 100 · eα · t, em que α depende da espécie do rato e das condições do ambiente e t é dado em dias. Se, após 24 dias, a população de ratos atingiu 500 indivíduos, então qual é o número de indivíduos após 48 dias?
3. Qual a massa de um elemento químico cuja meia-vida é de 24 dias e cuja desintegração é dada pela função Q(t) = Q0 · ekt, em que Q0 é a quantidade inicial desse elemento? Qual a quantidade de massa de 32 g desse elemento depois de 72 dias?
4. (UNIMONTES − MG) Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que consta-taram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por ele. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expres-são Q = 700 − 400 · e−0,5t, em que:
Q = quantidade de peças produzidas mensal-mente por um funcionário;
t = meses de experiência;e = 2,7183.
Com base nas informações acima, é correto afirmar que o esboço que melhor representa o gráfico de Q, no plano cartesiano, é:
a)
b)
c)
d)
5. (UFMS) Se N0 é o tamanho de uma colônia de bactérias em uma cultura no instante t = 0, en-tão o tamanho da colônia no instante t > 0 será dado por N(t) = N0 · e
αt, em que a constante α depende do tipo da bactéria e a variável t é dada em horas. Um experimento é iniciado com uma colônia de 100 bactérias e, após 12 horas, contou-se um total de 500 bactérias na colônia. Após 24 horas do início do experimento, o ta-manho da colônia será de:
a) 1 000 bactérias.
b) 2 000 bactérias.
c) 2 500 bactérias.
d) 2 675 bactérias.
e) 3 045 bactérias.
Funções III18
Uma doença que atingiu uma fazenda de gado bovino provocou a redução no número de indivíduos, que variou de acordo com a relação:
p(t) = 64 000 · (1 − 2−0,1t)em que t é o número de dias após o instante 0. A partir de quantos dias o número de indivíduos será inferior a 63 000?
Inequações exponenciais
Nas inequações exponenciais, a incógnita encontra-se no expoente. Resolver uma inequação exponencial é determinar os valores (conjunto-solução) que verificam a desigualdade. As inequações podem ser divididas em dois tipos:
1o. tipo: quando a > 1,
aw > az → w > z
mantém a desigualdade.Exemplo:2x > 162x > 24 → x > 4
2o. tipo: quando 0 < a < 1,
y
aw
az
ZW x
aw > az → w < z
inverte a desigualdade.Exemplo:
15
>1
125
15
>15
<
x
x
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3
3x
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
19
FÍSICAMATEMÁTICA
1. Qual é o conjunto-solução da inequação
23x + 4 > 2x + 10?
2. Qual é o conjunto-solução da inequação
18
0 252
13⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ≤
−−
x
x, ?
3. Obtenha a solução da inequação exponencial
15
1125
2 2⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ≥
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
+x x
.
4. (UESC – BA) O conjunto-solução da inequação (3x – 9)(2x – 8) > 0, em que x ∈ R, é:
(01) ]−∞, 2[ ∪ ]3, +∞[
(02) ]−∞, 3[ ∪ ]2, +∞[
(03) ]−∞, 2[
(04) ]−∞, 3[
(05) ]3, +∞[
5. (UNIBAHIA) O conjunto-solução da inequação
12
18
2 1⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ≥
−x é igual a:
(01) [−2, 2]
(02) [−2, 2[
(03) ]−∞, −2]
(04) [2, +∞[
(05)]−∞, −2] ∪ [2, +∞[
6. Em regiões de muito calor, a água evapora com uma intensidade maior que nas regiões onde o clima é mais ameno. Considere um lago de criação de peixes com 1 000 000 de litros de água em que não há retirada nem reposição de água durante certo período de seca. A quanti-dade de água no lago nesse período é descrito pela função:
V(t) = V0 · 2(−0,2)t
sendo V0 a quantidade inicial da água no lago e V(t) a quantidade de água no lago após t meses. Em quantos meses a quantidade de água do reservatório será reduzida a menos da metade do volume inicial?
7. (UFG) Suponha que o número de casos de uma doença é reduzido no decorrer do tempo, confor-me a função f(t) = k · 2qt, sendo k e q constantes e o tempo t dado em anos. Determine:
a) as constantes k e q, sabendo que no instante t = 0 existiam 2 048 casos, e que após quatro anos o número de casos era a quarta parte do valor inicial.
b) o número de anos necessários para que o nú-mero de casos seja menor que 1, significan-do a eliminação total da doença.
8. (UNEMAT) As substâncias radioativas têm uma tendência natural de se desintegrar, emitindo partículas e transformando-se numa nova subs-tância. Consequentemente, com o passar do tem-po, a quantidade da substância radioativa dimi-nui. Assim, considerando-se uma massa inicial de 32 g de radônio, t dias depois, sua massa M será, aproximadamente, M = 32 · 0,835t. Em um dia, quantos gramas do radônio se desintegrou?
a) 26,72 g b) 2,672 g
c) 5,28 g d) 0,528 g
e) 25,72 g
9. (UNIOESTE − PR) Uma colônia de bactérias A cresce segundo a função A(t) = 2(4t), e uma co-lônia B cresce segundo a função B(t) = 32(2t), sendo t o tempo em horas. De acordo com es-sas funções, imediatamente após um instante t’, o número de bactérias da colônia A é maior que o número de bactérias da colônia B. Pode-se afirmar, então, que:a) t´ é um número ímpar.b) t´ é divisível por 3. c) o dobro de t´ é maior que 7.d) t´ é maior que 15.
e) t´ é múltiplo de 5.
10. (UEA) Qual é a solução de
0,54x + 3 < 0,52x + 1?
a) x > −1 b) x < −1
c) x > 1 d) x < 1
e) −1< x < 1
Inequações
exponenciais I
@MAT1064
Inequações
exponenciais II
@MAT1241
Funções III20
1. Uma aproximação razoável para o crescimento da população brasileira é a relação:
P(t) = 40 · e0,02t
em que P é a população em milhões de habitantes.
Essa relação foi baseada nos censos realizados no Brasil no período de 1940 a 1991. Considerando que a população brasileira cresça de acordo com essa relação e que t = 0 corresponda ao ano 1940, qual será o ano em que a população ultrapassará 240 milhões de habitantes? (Considere: e1,8 = 6).
2. Determine o conjunto-solução da equação
101
100
2 3x − = .
3. (UERJ) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a · bx, conforme o gráfico:
Determine a taxa de inflação desse país no quar-to ano de declínio.
4. (ACAFE − SC) Num tanque biodigestor, os deje-tos suínos sob a presença de determinadas bac-
térias se decompõem segundo a lei D(t) = K · 214
− t
, na qual K é uma constante, t indica o tempo (em dias) e D(t) indica a quantidade de dejetos (em quilogramas) no instante t. Considerando-se os dados desse processo de decomposição, mostra-dos no gráfico, a quantidade de dejetos estará reduzida a 128 kg depois de
a) 16 dias; b) 12 dias;
c) 4 dias; d) 20 dias;
e) 8 dias.
5. Seja f : R → R uma função definida por f(x) = a · 4bx, em que a e b são constantes reais. Sabendo-se que f(0) = 1 600 e f(10) = 400, calcule k, tal que f(k) = 100.
6. (UFRRJ) O gráfico descreve a função f(x) = a2x – 1, em que a é positivo. Nessas condições qual o valor de a?
a) –3 b) –2
c) 2 d) 3
e) 4
7. (UNIRIO – RJ) Em uma população de bactérias, há P(t) = 109 · 43t bactérias no instante t medido em horas (ou fração da hora). Sabendo-se que, inicialmente, existem 109 bactérias, quantos mi-nutos são necessários para que se tenha o dobro da população inicial?
a) 20 b) 12
c) 30 d) 15
e) 10
8. (FRB – BA) A cada dia a ciência constata a cres-cente utilidade de bactérias, fungos e micróbios, inclusive na produção de substâncias que aju-dam no tratamento de diversas doenças. O nú-mero de micro-organismos nas colônias A e B, t horas após serem colocados em determinado ambiente, é dado por NA(t) = 2t2+1 e NB(t) = 4t + 2, respectivamente. É verdade que:
(01) o número de micro-organismos colocados na colônia B é o dobro do número de mi-cro-organismos colocados na colônia A.
(02) NA(t) sempre será maior do que NB(t).
(03) NA(t) sempre será menor do que NB(t).
(04) NA(t) será igual NB(t) em um único instante t.
(05) NA(t) será igual NB(t) em dois momentos dis-tintos.
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
21
FÍSICAMATEMÁTICA
22
Funções III22
Função logarítmica2
Entenda os terremotos e como eles afetam o planetaUm terremoto é um tremor de terra que pode durar
segundos ou minutos. Ele é provocado por movimentos na crosta terrestre, composta por enormes placas de rocha (as placas tectônicas). O tremor de terra oca-sionado por esses movimentos é também chamado de
Essas placas se movimentam lenta e continuamente sobre uma camada de rocha parcialmente derretida, oca-
nas grandes massas de rocha. Quando duas placas se chocam ou se raspam, elas
geram um acúmulo de pressão que provoca um movi--
gente (quando duas se chocam), divergente (quando se movimentam em direções contrárias) e transformante (separa placas que estão se deslocando lateralmente).
[...]
MediçãoOs sismógrafos são instrumentos utilizados para
registrar a hora, a duração e a amplitude de vibrações
Eles são formados por um corpo pesado pendente a uma mola, que é presa a um braço de um suporte preso num leito de rocha. Se a crosta terrestre é abalada por um terremoto, o cilindro se move e o pêndulo, pela inércia, se mantém imóvel e registra em um papel
escala de Richter, fórmula matemática que determina a largura das ondas.
Folha Online
Ensino Médio | Modular 23
MATEMÁTICA
Escala Richter
A escala Richter determina a intensidade de terremotos, considerando a amplitude das ondas registradas pelos sismó-grafos. Cada grau de diferença apresentado indica uma devastação substancialmente superior. A potência de um terremoto que alcance sete pontos nessa escala é mil vezes a potência de um que registre cinco pontos.
Usada pelos sismólogos, é uma escala logarítmica que relaciona a intensidade de energia liberada em um abalo sísmico a um valor acompanhado de uma unidade (grau ou ponto).
Número médio de terremotos de várias magnitudes por ano no mundo
Magnitude Efeito N.º médio por ano
< 2,5 Normalmente não sentido, mas registrado 900 000
2,5 a 6,0 Geralmente sentido; danos pequenos a moderados às estruturas 31 000
6,1 a 6,9 Potencialmente destrutivo, especialmente em áreas povoadas 100
7,0 a 7,9 Grandes terremotos; resultam em grandes danos 20
> 8 Grandes terremotos; geralmente resultam em destruição total 1 a cada 5 anos
Fonte: GUTENBERG B.; RICHTER C. F. Earthquake information bulletin and seismicity of the earth and associated phenomeno. Princeton: Princeton University Press, 1949. (Adaptação). In: REED, Wicander. Fundamentos da Geologia. Tradução de Harue Chara Avritcher. São Paulo: Cangage Learning, 2009. p. 195.
Essa tabela é “aberta”, portanto não é possível determinar um limite máximo de graus.
Ainda que cada terremoto tenha uma intensidade única, os efeitos de cada abalo sísmico variam bastante devido à distância, às condições do terreno, às condições das edificações e de outros fatores.
Observe esta tabela com os efeitos do terremoto em diversos níveis de intensidade:
A tabela apresentada foi obtida com base na equação logarítmica proposta por Charles Francis Richter (1900-1985) em 1935. Uma das equações logarítmicas utilizada é:
M = 0,67 ∙ log E – 3,25
em que E representa a energia mecânica liberada pelo abalo (medida em joules).
Latin
stoc
k/St
ringe
r McL
aysi
a
Latin
Stoc
k/Co
rbis
/Xin
hua
Pres
s/Xi
nHua
/Kyo
do
© W
ikim
edia
Com
mon
s/Vl
adim
ir Pl
aton
ow
Com um tremor de 9,1 graus na escala Richter, a província de Aceh, na ilha indonésia de Sumatra, foi atingida por um tsunami. Mais de 200 mil pessoas morreram no Sri
Lanka, na Tailândia, na Indonésia e na Índia, em 2004
Terremoto de 9,0 graus na escala Ritcher, ocorrido em 11 de março de 2011, abalou o norte do Japão, causando um tsunami
que devastou várias cidades da costa japonesa. Foi o quarto maior terremoto do
mundo desde 1900
Terremoto ocorrido no Chile, em 2010, que registrou 8,8 graus na escala Richter, destruindo
casas, rodovias e pontes. Aproximadamente 700 pessoas
morreram
Epicentro é o ponto à superfície da Terra diretamente acima do foco ou hipocentro.O foco ou hipocentro é o local no interior da Terra em que se dá o movimento, o qual produz a liberação
de energia por meio de ondas sísmicas.
a) 2t = 8
b) ( 5)x = 25
c) 3x = 19
d) 2x = 25
O estudo dos logaritmos trouxe algumas aplicações importantes em várias áreas de conhecimento, como Física, Geofísica, Química e Matemática Financeira. Nesta unidade de trabalho, são estudadas algumas dessas aplicações.
Determine a solução de cada equação exponencial:
Funções III24
O logaritmo x de um número N é o expoente a que se deve elevar um número a para que a igual-dade ax = N seja verificada.
ax = N loga N = x (com N > 0, a > 0 e a ≠ 1)
Em que N: antilogaritmo ou logaritmando
a: base
x: logaritmo
Definição de logaritmo
Logaritmo vem da composição de duas palavras gregas: logos (razão) e arithmos (números).
Aplicando a definição, determine o valor de cada logaritmo:
Observações:
Quando se escreve log A e não se indica a base, está subentendido que esta é 10, então log A = log10 A.
Quando se escreve ln A, está subentendido que a base é o número de Euler (e 2,718), então ln A = loge A. Esse logaritmo é denominado logaritmo neperiano ou logaritmo natural.
Definine-se cologa N como o oposto de loga N. Assim, cologa N = −loga N, com N > 0 e 0 < a ≠ 1.
a) log2 16 = x
b) log5 125 = y
c) log3 3 3 = z
Consequências da definição:
I. loga 1 = 0
II. loga a = 1
III. loga b = loga c b = c
IV. aloga N = N
FÍSICAFÍSICAMATEMÁTICA
Ensino Médio | Modular 25
Introdução aos
logaritmos
@MAT1070
1. John Napier, Barão de Murchinson, não era um matemático profissional, mas foi uma das pessoas que desenvolveu o estudo dos logaritmos. Era um proprietário esco-cês que administrava suas grandes propriedades e escrevia sobre vários assuntos. Napier trabalhou no estudo dos logaritmos vinte anos antes de publicar seus resultados, por volta de 1614.
Supondo que exista o logaritmo de a na base b, marque V para os itens verdadeiros e F para os falsos. Logaritmo é:
( ) o número a que se eleva a para obter b.
( ) o número a que se eleva b para obter a.
( ) a potência de base b e o expoente a.
( ) a potência de base a e o expoente b.
( ) a potência de base 10 e o expoente a.
2. Calcule os logaritmos a seguir:
a) log 0,01 b) log4 2 2
c) log 1
2
32 d) log 10 000
e) log2 0,25 f) log5 1
3. Quais são os valores de x para que log(x + 2) (3x – 3) exista?
4. Qual é o valor da expressão log2 0,5 + log3 3 + + log4 8 + log0,1 0,001 + 5 . log3
527?
5. Determine o valor de a nas seguintes igual-dades:
a) loga 81 = 4
b) loga 4 = –2
c) loga 5 = 1
6. (UNIRIO – RJ) O índice de desenvolvimento humano (IDH) é uma medida comparativa de riqueza, alfabetização, educação, espe-rança de vida, natalidade e outros fatores para diversos países do mundo. É uma ma-neira padronizada de avaliação e medida
do bem-estar de uma população, espe-cialmente bem-estar infantil. Todo ano, os países da ONU são classificados de acordo com essas medidas. Para se calcular o ín-dice de desenvolvimento humano-renda, determina-se o PIB per capita do país em dólares (P), e, em seguida, aplica-se a fór-
mula: IDH-R = log P – 2
2,6. Se um determina-
do país possui IDH-R = 1013
, pode-se afir-
mar que seu PIB per capita (P) é:
a) US$ 8.500,00
b) US$ 9.000,00
c) US$ 9.500,00
d) US$ 10.000,00
e) US$ 10.500,00
7. Em uma solução, o pH é definido pela relação:
pH = log 1
H+ ,
em que pH é a concentração de hidrogênio em íon-grama por litro de solução e H+ é denominado de concentração hidrogeniôni-ca. Dessa forma, o pH de uma solução, tal que H+ = 1,0 · 10−5 é:
a) –5 b) 15
c) 5 d) 105
e) 10−5
8. (UESC – BA) Como os logaritmos têm cresci-mento bastante lento, são usados em algu-mas aplicações práticas em que as medidas são muito grandes ou muito pequenas. Um exemplo é a escala Richter que é usada pe-los sismólogos para medir a intensidade de terremotos. Os valores dessa escala corres-pondem a log(x), com x igual à amplitude das ondas sísmicas provocadas pelo terre-moto. Se um terremoto A atingiu 5,2 graus na escala Richter e um outro, B, atingiu 3,2 graus, então a amplitude das ondas sísmi-cas provocadas por A foi igual a:
Latin
Stoc
k/Ph
otor
esea
rche
rs
Funções III26
a) 1 000 vezes a amplitude das ondas sísmi-cas provocadas por B.
b) 100 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.
c) 50 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.
d) 1/2 da amplitude das ondas sísmicas pro-vocadas por B.
e) 2 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.
Nível sonoro A Acústica é uma área da Física na qual se pode observar o uso dos logaritmos. Na relação,
= log ll0
é o nível sonoro medido em bel (símbolo B) em homenagem a Alexander Graham Bell (inventor do telefone); I0 é a menor intensidade física audível, equivalente a 10−12 W/m2, e é uma intensidade de referência que está próxima do limite mínimo da audição humana; e I é a intensidade física do som a ser medido. Nessa relação I, denominada de intensidade sonora, é uma qualidade fisiológica do som, na qual o ouvido humano diferencia um som forte de um fraco. Na prática, costuma-se adotar um submúltiplo do bel que é o decibel. A expressão torna-se:
= 10 . log ll0
No esquema a seguir, foram relacionados alguns níveis de intensidade sonora a algumas situações comuns da vida. Então, com a relação estudada sobre o nível sonoro, complete os valores nos espaços a seguir:
Audição humana: a orelha humana, se exposta a níveis superiores a 85 dB por um longo período de tempo, pode ter danos irreversíveis. Acima de 120 dB, tem a percepção sonora acompanhada de uma sensação de dor.
Ang
ela
Gis
eli /
Cor
el. 2
009.
Vet
or.
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
27
FÍSICAMATEMÁTICA
Propriedades operatórias dos
logaritmos
A altura de uma espécie de árvore pode ser modelada pela função h(t) = 1,2 + log (t + 1), em que h é a altura medida em metros e t é o tempo em anos (0 ≤ t ≤ 9).
1. Determine a altura dessa espécie de árvore após: (Dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48)
a) 5 anos.
b) 6 meses.
c) 3 anos.
Edua
rdo
Borg
es. 2
011.
Dig
ital.
Funções III28
2. Escreva log 6, log 1,5 e log 4 em função de log 2 e log 3:
Dessa forma, para M > 0, N > 0 e a > 0 e a ≠ 1, são válidas as propriedades:
Logaritmo do produto
loga (M . N) = loga M + loga N
Logaritmo do quociente
loga MN
= loga M – loga N
Logaritmo da potência
loga Mn = n . loga M
1. Com os dados log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, obtenha os logaritmos a seguir:
a) log 18 b) log 272
c) log 72
2. Os aviões têm um instrumento denominado altímetro, cuja função é transformar a me-dida da pressão atmosférica em altitude. A altitude medida com base no nível do mar pode ser relacionada à pressão atmosférica por meio da função:
h(p) = 20 · log 1p
em que h é medido em quilômetros e p em atm. Em uma viagem, o altímetro estava marcando 0,3 atm em determinado instan-te. Considerando log 3 = 0,48, qual a altitu-de do avião nesse instante?
3. No conjunto dos números reais, determine a solução das equações logarítmicas:
a) log (3x + 23) − log (2x − 3) = log 4
b) log3 (x + 2) = −1 + log3 x
4. (UCSAL – BA) Botânicos pesquisaram sobre o crescimento de uma espécie rara de uma planta. Concluíram que a altura h, em me-tros, varia com o tempo t, em meses, de acor-do com a função h(t) = log5 (5
0,9 . t + 1). Sabendo que o tempo de vida da planta va-ria entre 1 e 36 meses, quando uma planta
dessa espécie atingir 4 meses, a altura será igual a:a) 120 cm b) 130 cm c) 140 cm d) 150 cme) 160 cm
5. (UERN) Sejam a, b e c números reais positi-vos. Sabendo-se que o valor de b é 243, é correto afirmar que
log3 a . b
c + log3
b . ca
é igual a:
a) 20 b) 15c) 12 d) 10
6. Dado o sistema de equações:
x + y = 12
log2 x + log2 y = 5
para x < y, determine log2 xy.
7. (UNESP) A expectativa de vida em anos em uma região, de uma pessoa que nasceu a partir de 1900 no ano x (x 1900), é dada por L(x) = 12(199 · log x – 651). Conside-rando log 2 = 0,3, uma pessoa dessa re-gião que nasceu no ano 2000 tem expecta-tiva de viver:a) 48,7 anos. b) 54,6 anos.c) 64,5 anos. d) 68,4 anos.
e) 72,3 anos.
Prova da
propriedade
de logaritmo
do produto
@MAT1074
Prova da
propriedade
de logaritmo
do quociente
@MAT1047
Prova da
propriedade
de logaritmo
da potência
@MAT1049
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FÍSICA
29
FÍSICAMATEMÁTICA
A calculadora auxilia a obter um logaritmo com base 10 (tecla log) ou base e (tecla ln). Entretanto, nem sempre se resolvem problemas em que a base envolvida é 10 ou e. Como é possível, então, obter um logaritmo, cuja base é diferente desses valores?
Observe estes exemplos:
log3 2 = ? log2 10 = ? log3 8 = ?
O e é o número de Euler, que vale aproximadamente 2,718281828. E ln é denominado de logaritmo neperiano ou logaritmo natural, devido a John Napier.
Para trabalhar com logaritmos em que a base não é 10 ou e, existe a necessidade de se compreender a propriedade denominada de mudança de base.
Determine log3 2, sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477:
Mudança de base
P.Im
agen
s/Pi
th
Para N > 0, a > 0, a ≠ 1, k > 0 e k ≠ 1, pode-se escrever que:
loga N = logk Nlogk a
Essa propriedade é denominada mudança de base e pode ser utilizada para qualquer base (desde que respeitadas as condições de existência).
1. Utilizando uma calculadora, determine os logaritmos a seguir:
a) log2 3 b) log2 10 c) log3 8
2. Qual é o valor de x = log3 5 . log4 27 . log25
32?
3. (UNIT – SE) Usando a aproximação log 2 = 0,30, é correto afirmar que, se x é um número real positivo, log5 x é equivalente a:
a) 107
log x b) 87
log x
c) 57
log x d) 47
log x
e) 37
log x
4. Se 3
log2 x +
2log3 x
+ 1
log5 x = 2, então
quanto vale x2?
5. Se a e b são números reais, tais que logb a = 2, então qual é o valor de
k = logb a2 + logb a · loga b + logb (a · b)?
Justificativa
para mudança
de base em
logaritmos
@MAT1076
Funções III30
Toda equação em que a incógnita aparece no logaritmando, na base ou em ambos, é denominada equação logarítmica. Quando uma equação exponencial não puder ser resolvida apenas cancelando as bases e igualando os expoentes, pode-se utilizar o artifício de aplicar log em ambos os membros. Observe a situação a seguir:
Uma pessoa resolve fazer uma aplicação de um capital inicial igual a R$ 10.000,00 e deseja saber o tempo necessário para que o capital dobre e triplique, sendo a taxa de juros de 5% ao mês.
Equações logarítmicas
1. As instituições financeiras usam o regime de juro composto tanto para aplicações quan-to para empréstimos. Um banco oferece um tipo de aplicação financeira a uma taxa de juros de 8% ao ano. Em quantos anos o va-lor aplicado será duplicado?
2. Qual é a solução da equação 5x = 3x + 1
5?
3. (PUCSP) Um laboratório iniciou a produção de certo tipo de vacina com um lote de x doses. Se o planejado é que o número de doses produzidas dobre a cada ano, após quanto tempo esse número passará a ser igual a 10 vezes o inicial?
(Use: log 2 = 0,30)
a) 1 ano e 8 meses.
b) 2 anos e 3 meses.
c) 2 anos e 6 meses.
d) 3 anos e 2 meses.
e) 3 anos e 4 meses.
4. (UFPE) Admita que, quando a luz incide em um painel de vidro, sua intensidade di-minui em 10%. Qual o número mínimo de painéis necessários para que a intensidade da luz, depois de atravessar os painéis, se reduza a 1/3 de sua intensidade? (Dado: use a aproximação para o logaritmo deci-mal log 3 0,48).
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FÍSICA
31
FÍSICAMATEMÁTICA
Denomina-se função logarítmica toda função f: IR*+ IR que associa cada número x ao número
loga x por meio de y = f(x) = loga x, com a > 0 e a ≠ 1.lR*
+
xloga x
f(x)
lR
Gráfico de uma função logarítmica1. Complete a tabela, localize os pontos no plano cartesiano e, em seguida, trace a curva que passa
pelos pontos:
Função logarítmica
5. Determine o valor de x que representa a solu-ção da equação log 2 + log (x + 1) – log x = 1.
6. (UNEMAT) Algumas pessoas acreditam que a população da Terra não pode exceder 40 bilhões de pessoas. Se isto for verdade, en-tão a população P, em bilhões, t anos de-pois de 1990, poderia ser modelada pela
função P(t) = 40
1 + e–0,08t . Segundo este mo-
delo, aproximadamente quando a popula-ção atingiria 30 bilhões?
(Use para ln 3 = 1,099)
a) Em 2004.
b) Em 2084.
c) Em 2048.
d) Em 2020.
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
x log2 x
14
12
1
2
4
8
2. O gráfico representado no plano é de uma função crescente ou decrescente? Esse gráfico intersecta o eixo das ordenadas?
3. Escreva o conjunto-domínio e a imagem da função.
Funções III32
4. Complete a tabela, localize os pontos no plano cartesiano e, em seguida, trace a curva que passa pelos pontos:
5. O gráfico representado no plano é de uma função crescente ou decrescente? Esse gráfico intersecta o eixo das ordenadas?
6. Escreva o conjunto-domínio e a imagem da função:
x
14
12
1
2
4
8
log 1
2
x
Em uma função logarítmica f(x) = loga x:
quando a > 1, a função é crescente:
x1 < x2 f(x1) < f(x2)
quando 0 < a < 1, a função é decrescente:
x1 < x2 f(x1) > f(x2)
Observações:
Os gráficos das funções crescente e decrescente não intersectam o eixo das ordenadas (eixo y).
O domínio da função logarítmica é IR*+, e a imagem é IR.
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FÍSICA
33
FÍSICAMATEMÁTICA
1. Dada a função f(x) = log 2x + 4
3x, determi-
ne o valor de x, para f(x) = 0.
2. Se f(x) = 13
x
, se x < 0
log 1
3 x, se x > 0
, então determine:
a) f(9) b) f(–2)
c) f(–1) d) f 13
e) f(f(–1)) f) f(f(3))
g) f(f(–1)) + f(f(3))
3. Dada a função f: IR*+ IR, definida por
f(x) = loga x, em que 0 < a < 1, marque V para os itens verdadeiros e F para os falsos:
a) ( ) O gráfico da função pode ser repre-sentado no plano cartesiano a seguir:
b) ( ) Se x cresce indefinidamente, f(x) tam-bém cresce indefinidamente.
c) ( ) Se x = 0, então f(x) = y = 1.
d) ( ) O domínio da função é IR*+.
e) ( ) O conjunto-imagem é igual ao con-tradomínio da função.
4. Esta figura representa o gráfico da função y = log3 x:
Se OA = BC , determine o valor de k.
5. Na figura a seguir, B e C são pontos do grá-fico da função y = log 1
2 x, e os pontos A e D
têm coordenadas (2, 0) e (32, 0), respectiva-mente. Determine a área do trapézio ABCD.
6. Nesta tabela, está o valor aproximado do loga-ritmo decimal dos números naturais de 1 a 10:
log 1 = 0 log 6 = 0,778
log 2 = 0,301 log 7 = 0,845
log 3 = 0,477 log 8 = 0,903
log 4 = 0,602 log 9 = 0,954
log 5 = 0,699 log 10 = 1
A curva a seguir é determinada pela função y = log x. Determine a área da região som-breada:
x
y
1 2 3 4
7. (UFF – RJ) Segundo Resnick e Halliday, no livro Física, vol. 2, 4.a ed., a intensidade re-lativa IR de uma onda sonora, medida em decibel (dB), é definida por,
IR = 10 log10 ll0
Situação particular IR (dB)
Limiar da audição humana 0
Sussurro médio 20
Conversa normal 65
Limiar da dor 120
sendo I a intensidade sonora medida em watt/m2 e I0 a intensidade sonora de refe-rência (correspondente ao limiar da audição humana) também medida em watt/m2. Apre-sentam-se, a seguir, os valores em dB das in-tensidades relativas (IR) das ondas sonoras cor-respondentes a algumas situações particulares.
Funções III34
Na unidade watt/m2, pode-se afirmar que:
a) a intensidade sonora do sussurro médio é menor que 10 vezes a intensidade sonora do limiar da audição humana;
b) a intensidade sonora do limiar da dor é 120 vezes a intensidade sonora do limiar da au-dição humana;
c) a intensidade sonora do limiar da dor é igual a 1010 vezes a intensidade sonora de um sussurro médio;
d) a intensidade sonora do limiar da dor é, aproximadamente, o dobro da intensidade sonora de uma conversa normal;
e) a intensidade sonora de uma conversa nor-mal é menor que 104 vezes a intensidade sonora de um sussurro médio.
8. (ACAFE – SC) Considere o gráfico abaixo refe-rente à função definida por f(x) = a + logb x. O valor de f(81) + f( 3) é:
a) 13,5 b) 9,5 c) 9,7
d) 12,5 e) 10,5
Denomina-se inequação logarítmica toda inequação em que a incógnita aparece no logaritmando, na base ou em ambos. Por exemplo:
a) log5 (2x +1) > 0
b) logx 7 – logx (x + 1) ≤ 1
Para resolver uma inequação logarítmica, inicialmente devem-se reduzir os dois membros da inequação a logaritmos de mesma base.
loga N > loga MCancela-se loga, em ambos os membros, desde que:
a) Se a > 1, mantém-se o sinal da desigualdade.
loga N > loga M
Manter a desigualdade
N > M
Inequações logarítmicas
Inequações
logarítmicas
@MAT1072
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FÍSICA
35
FÍSICAMATEMÁTICA
b) Se 0 < a < 1, inverte-se o sinal da desigualdade.
loga M > loga N
Inverter a desigualdade
M < N
Exemplos:
a) log2 (x – 2) ≥ 1
Inicialmente, substitui-se, no segundo membro, o número 1 por log2 2 e, em seguida, cancela-se o log2 em ambos os membros. Como a base do logaritmo é maior que 1, então mantém-se o sinal da desigualdade.
log2 (x – 2) ≥ log2 2
log2 (x – 2) ≥ log2 2
x – 2 ≥ 2 x ≥ 4
Da condição de existência dos logaritmos, tem-se:
x − 2 > 0 x > 2
Assim, o conjunto-solução é:
S = { x IR I x ≥ 4}
b) log 1
3
(x – 5) > 0
Inicialmente, substitui-se, no segundo membro, o número 0 por log 1
3
1 e, em seguida, cancela-se
o log 1
3
em ambos os membros. Como a base do logaritmo é maior que 0 e menor que 1, então
inverte-se o sinal da desigualdade.
log 1
3
(x – 5) > log 1
3
1
log 1
3
(x – 5) > log 1
3
1
x – 5 < 1 x < 6
Mas, pela condição de existência dos logaritmos, tem-se:
x – 5 > 0 x > 5
Funções III36
1. Nas inequações a seguir, escreva o conjun-to-solução:
a) log23
(x – 1) > log23
8
b) log5 (8x + 1) log5 (6x + 19)
c) log13
2x < 0
d) log2 (x − 3) < 1
2. Qual(is) é(são) a(s) solução(ões) inteira(s) da inequação log3 (2x − 9) 1?
3. Qual é o maior valor inteiro de x que satisfaz a inequação log4
5
(x2 − 80) 0?
4. Se 2 < log N < 3, pode-se, então, afirmar que:
a) 10 000 < N < 100 000
b) 1 000 < N < 10 000
c) 100 < N < 1 000
d) 10 < N < 100
e) 1 < N < 10
5. (MACKENZIE – SP) Considere os valores in-teiros de x, tais que log 1
2
(x − 3) > −2. A soma desses valores é:
a) 9 b) 22 c) 1
d) 12 e) 15
6. (PUCPR) Sabendo que a desigualdade log(3 − 5x) 0,6 > log(3 − 5x) 0,7 é verdadeira, então:
a) x > 1 b) x < 1
c) 0,4 < x < 0,6 d) 0,6 < x < 0,7
e) 0,7 < x < 1
A função logarítmica é definida para todo número real positivo x ou x IR*+ é associado a um
número real y, tal que y = loga x, com a > 0 e a ≠ 1.Essa função possui o conjunto contradomínio (IR) igual ao conjunto-imagem. Observe o conjunto-
-imagem nos gráficos a seguir:
Relação entre função exponencial
e função logarítmica
Assim, o conjunto-solução é:
S = { x IR I 5 < x < 6}
Observação: Ao resolver uma inequação logarítmica, devem ser consideradas as condições de exis-tência do logaritmando e da base.
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FÍSICA
37
FÍSICAMATEMÁTICA
1. Como se denomina uma função em que o conjunto-imagem é igual ao contradomínio?
Nessa função, para cada elemento do domínio, há uma única imagem distinta no contradomínio:
2. Como se denomina uma função em que elementos distintos estão relacionados às imagens distintas?
3. Como é denominada a função que possui as duas características descritas anteriormente?
4. Dessa forma, pode-se determinar a função inversa da função logarítmica. A seguir, obtenha a ex-pressão da função inversa de f(x) = loga x e escreva os conjuntos domínio, contradomínio e imagem.
Os gráficos da função f(x) = loga x e da sua inversa f−1(x) são simétricos em relação à reta y = x. Observe:
y = x
a > 1
y = x
0 < a < 1
Funções III38
1. O terremoto que atingiu o Chile em 27 de fe-vereiro de 2010 teve uma intensidade de apro-ximadamente 9 graus na escala Richter, e seus efeitos foram sentidos em várias regiões, inclu-sive em São Paulo a 2 850 km de distância. A escala Richter é usada para medir a intensidade de um terremoto e é determinada pela fórmula
empírica (simplificada) I = 23
. log EE0
, na qual E
é a energia liberada no terremoto, em quilowatt-
-hora, e E0 = 7 · 10−3 Kwh.
Determine o intervalo correspondente à energia liberada no terremoto do Chile, em gigawatt- -hora (1 giga = 106 quilo).
2. (EMESCAM – ES) O pH do suco gástrico presente no estômago humano varia no intervalo de 1 a 3. O valor do pH está relacionado com a concen-tração de íons hidrogênio através da equação pH = −log10[H
+]. Assinale abaixo o número cor-reto de vezes que a concentração de íons hidro-gênio diminui quando o pH aumenta de 1 para 3:
a) 25 vezes;
b) 50 vezes;
c) 100 vezes;
d) 200 vezes;
e) 400 vezes.
3. (UCS – RS) Um modelo matemático, para descre-ver a relação entre o crescimento de uma grande-za y em função do tempo t, é y(t) = (ln ab3) · t, em que a e b são constantes que dependem da particular situação concreta modelada, e ln deno-ta o logaritmo natural. Supondo que ln a = 2 e ln b = 4, qual é o valor de y quando t = 2?
a) 124
b) 128
c) 12
d) 24
e) 14
4. Se a e b são números reais, tais que loga x = 3, então qual é o valor de:
k = loga x3 + 5 · loga x · loga x − loga (a · x)?
5. (UNIFEI – MG) Para uma onda plana de nível de intensidade sonora (NIS) de 40 [dB] (decibels), deslocando-se pelo ar, calcule a sua intensidade I (W/m2), sabendo-se que:
NIS[dB] = 10 log Ionda
Iref, com Iref=10–12W/m2
a) 10–12
b) 10–10
c) 10–8
d) 10–6
6. Qual é a solução real das equações a seguir?
a) log5 2x
x + 1 = –1
b) 13
log2 (log5 x) = 3
7. Se x2 + 4x + 2log7 k2 é um quadrado perfeito,
então quanto vale o logaritmo de k na base 7k?
8. (URCA – CE) Considere a função real de uma va-riável real, definida por f(x) = 3−x + 9−x. Então, f(log3 7) é igual a:
a) 17
b) 849
c) 1
d) 649
e) 37
9. Se 2m = 3, então escreva o valor de log2 54 em função de m.
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FÍSICA
39
FÍSICAMATEMÁTICA
40
Anotações
