ĐÁP ÁN CUỐI KỲ MÔN TOÁN A3 Câu 1. (1đ). Chứng minh các đẳng thức sau: a) 0 xx yy z z với sin z y x . b) 0 xx yy z z với sin x z e y . Giải a) Với sin z y x ta có sin xx z x y và sin yy z x y . Do đó, 0 xx yy z z . b) Với sin x z e y ta có sin x xx z e y và sin x yy z e y . Do đó, 0 xx yy z z . Câu 2. (2đ). Tìm cực trị của hàm hai biến 3 2 2 12 8 1 z x y x y . Giải Ta xét hệ phương trình 2 0 2 2 3 12 0 0 2 2 4 8 0 x y z x x x z y y y Vậy z có hai điểm dừng là 2; 2 M và 2; 2 N . + Với điểm dừng 2; 2 M ta có 6 2 12 0 4 M xx M xy M yy A z M B z M C z M Ta thấy 2 48 0 M M M M AC B và 0 M A nên M là điểm cực tiểu. + Với điểm dừng 2; 2 N ta có 6 2 12 0 4 N xx N xy N yy A z N B z N C z N Ta thấy 2 48 0 N N N N AC B nên M không là điểm cực trị của z . Kết luận: z có một điểm cực tiểu là 2; 2 M . Câu 3. (2đ). Tính các tích phân bội hai sau: a) 2 D I x ydxdy với D là miền bị giới hạn bởi các đường 1; 2; 1; 5 x x y y . b) 2 D J x y dxdy với D là miền tam giác có ba đỉnh 0;0 , 1;0 , 0;1 O A B . Giải a) Vì D là miền bị giới hạn bởi các đường 1; 2; 1; 5 x x y y nên ; : 1 2,1 5 D xy x y . Do đó, 2 5 3 2 2 5 2 2 1 1 1 1 3 12 36 3 2 | | D x y I x ydxdy x dx ydx .

Dapan

Download PDF Report

Upload
hhdinh19
View
35
Download
1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Dap an

Citation preview

P N CUI K MN TON A3

Cu 1. (1). Chng minh cc ng thc sau:

a) 0xx yyz z vi sinz y x .

b) 0xx yyz z vi sinxz e y .

Gii

a) Vi sinz y x ta c sinxxz x y v sinyyz x y . Do , 0xx yyz z .

b) Vi sinxz e y ta c sinxxxz e y v sinx

yyz e y . Do , 0xx yyz z .

Cu 2. (2). Tm cc tr ca hm hai bin 3 22 12 8 1z x y x y .

Gii

Ta xt h phng trnh 20 2 23 12 0

0 2 24 8 0

x

y

z x xx

z y yy

Vy z c hai im dng l 2;2M v 2;2N .

+ Vi im dng 2;2M ta c

6 2 12

0

4

M xx

M xy

M yy

A z M

B z M

C z M

Ta thy 2 48 0M M M MA C B v 0MA nn M l im cc tiu.

+ Vi im dng 2;2N ta c

6 2 12

0

4

N xx

N xy

N yy

A z N

B z N

C z N

Ta thy 2 48 0N N N NA C B nn M khng l im cc tr ca z .

Kt lun: z c mt im cc tiu l 2;2M .

Cu 3. (2). Tnh cc tch phn bi hai sau:

a) 2

D

I x ydxdy vi D l min b gii hn bi cc ng 1; 2; 1; 5x x y y .

b) 2

D

J x y dxdy vi D l min tam gic c ba nh 0;0 , 1;0 , 0;1O A B .

Gii

a) V D l min b gii hn bi cc ng 1; 2; 1; 5x x y y nn

; : 1 2,1 5D x y x y . Do ,

2 5 3 22 52 2

1 11 1

3 12 363 2

| |D

x yI x ydxdy x dx ydx

.
b) V D l min tam gic c ba nh 0;0 , 1;0 , 0;1O A B nn

; : 0 1,0 1D x y x y x Do ,

1 1

2 2

0 0

x

D

J x y dxdy dx x y dy

Ta thy

31 312

00

1

3 3 3|

xxx y x

x y dy

Vy 1 3 4

1

00

1 1 1.

3 3 3 12 4|

x xJ dx x

Cu 4. (2). Tnh cc tch phn ng sau:

a) 2 22L

I x y ds vi L l on thng c hai u mt 1;1 , 2;2A B .

b) 2 2 2x xL

J ye x dx e y x dy vi L l ng trn 2 2 1x y .

Gii

a) L c phng trnh y x vi 1;2x . Khi ,

1

2 2 2

0

2 2 3 2L

I x y ds x dx .

b) p dng cng thc Green ta c

2 2 2 21 1

2 2x yD x y D x y

J Q P dxdy dxdy

.

Cu 5. (2) Gii cc phng trnh vi phn

a) 2 21 1 0x y dx y x dy .

b) 42

3y

y xx

vi iu kin 1 1y .

Gii

a) Phng trnh cho tng ng vi

2 20

1 1

x ydx dy

x y

.

Ly tch phn hai v ta c

2 21 1x y C .

b) p dng cng thc bin thin hng s Lagrange ta c

2 2

4 2 2 2 33 3 .dx dx

x xy e x e dx C x x dx C x x C

Hn na, 1 1y nn 0C .
Cu 6. (1). Tm khi lng ca si dy ng 2y x c hai u mt 1;1 , 2;4A B

bit hm mt ca si dy l , 2x y x .

Gii

Gi m l khi lng ca si dy ng. Khi ,

2

3 22 2

11

1 12 2 1 4 1 4 17 17 5 5

6 6|

L

m xds x x dx x