P N CUI K MN TON A3

Cu 1. (1). Chng minh cc ng thc sau:

a) 0xx yyz z vi sinz y x .

b) 0xx yyz z vi sinxz e y .

Gii

a) Vi sinz y x ta c sinxxz x y v sinyyz x y . Do , 0xx yyz z .

b) Vi sinxz e y ta c sinxxxz e y v sinx

yyz e y . Do , 0xx yyz z .

Cu 2. (2). Tm cc tr ca hm hai bin 3 22 12 8 1z x y x y .

Gii

Ta xt h phng trnh 20 2 23 12 0

0 2 24 8 0

x

y

z x xx

z y yy

Vy z c hai im dng l 2;2M v 2;2N .

+ Vi im dng 2;2M ta c

6 2 12

0

4

M xx

M xy

M yy

A z M

B z M

C z M

Ta thy 2 48 0M M M MA C B v 0MA nn M l im cc tiu.

+ Vi im dng 2;2N ta c

6 2 12

0

4

N xx

N xy

N yy

A z N

B z N

C z N

Ta thy 2 48 0N N N NA C B nn M khng l im cc tr ca z .

Kt lun: z c mt im cc tiu l 2;2M .

Cu 3. (2). Tnh cc tch phn bi hai sau:

a) 2

D

I x ydxdy vi D l min b gii hn bi cc ng 1; 2; 1; 5x x y y .

b) 2

D

J x y dxdy vi D l min tam gic c ba nh 0;0 , 1;0 , 0;1O A B .

Gii

a) V D l min b gii hn bi cc ng 1; 2; 1; 5x x y y nn

; : 1 2,1 5D x y x y . Do ,

2 5 3 22 52 2

1 11 1

3 12 363 2

| |D

x yI x ydxdy x dx ydx

.

b) V D l min tam gic c ba nh 0;0 , 1;0 , 0;1O A B nn

; : 0 1,0 1D x y x y x Do ,

1 1

2 2

0 0

x

D

J x y dxdy dx x y dy

Ta thy

31 312

00

1

3 3 3|

xxx y x

x y dy

Vy 1 3 4

1

00

1 1 1.

3 3 3 12 4|

x xJ dx x

Cu 4. (2). Tnh cc tch phn ng sau:

a) 2 22L

I x y ds vi L l on thng c hai u mt 1;1 , 2;2A B .

b) 2 2 2x xL

J ye x dx e y x dy vi L l ng trn 2 2 1x y .

Gii

a) L c phng trnh y x vi 1;2x . Khi ,

1

2 2 2

0

2 2 3 2L

I x y ds x dx .

b) p dng cng thc Green ta c

2 2 2 21 1

2 2x yD x y D x y

J Q P dxdy dxdy

.

Cu 5. (2) Gii cc phng trnh vi phn

a) 2 21 1 0x y dx y x dy .

b) 42

3y

y xx

vi iu kin 1 1y .

Gii

a) Phng trnh cho tng ng vi

2 20

1 1

x ydx dy

x y

.

Ly tch phn hai v ta c

2 21 1x y C .

b) p dng cng thc bin thin hng s Lagrange ta c

2 2

4 2 2 2 33 3 .dx dx

x xy e x e dx C x x dx C x x C

Hn na, 1 1y nn 0C .

Cu 6. (1). Tm khi lng ca si dy ng 2y x c hai u mt 1;1 , 2;4A B

bit hm mt ca si dy l , 2x y x .

Gii

Gi m l khi lng ca si dy ng. Khi ,

2

3 22 2

11

1 12 2 1 4 1 4 17 17 5 5

6 6|

L

m xds x x dx x