Das RSA-Verfahren - Einsatz von Standardalgorithmen in der Kryptologie Klaus Becker 2007

Das RSA-Verfahren -Einsatz von

Standardalgorithmen in der Kryptologie

Klaus Becker

2007

2

Verschlüsseln durch modulares Rechnen

Zielsetzung: Am Beispiel kryptologischer Verfahren Relevanz von Algorithmen erkennen Bedeutung schneller Algorithmen erleben Standardalgorithmen kennen lernen

modulares Addieren

Verschlüsselung mit öffentl. Schlüssel (d, m)

z → (z * d) % m

z → (z * e) % m

modulares Multiplizieren

Entschlüsselung mit privat. Schlüssel (e, m)


z → (z + d) % m

z → (z + e) % m



z → (z ** d) % m

z → (z ** e) % m


modulares Potenzieren

3 Teil 1

Das RSA-Verfahren

4 RSA-Verfahren

5 Aufgabe

Experimentieren Sie mit dem Werkzeug "CrypTool", um einen ersten Eindruck von der Arbeitsweise des RSA-Verfahrens zu gewinnen.

Starten Sie CrypTool. Rufen Sie [Einzelverfahren] [RSA-Kryptosystem] [RSA-Demo] auf.

Nutzen Sie jetzt CrypTool, um einfache Texte zu verschlüsseln und wieder entschlüsseln.

6 Orientierung

Im folgenden soll das RSA-Verfahren genauer untersucht werden. Dabei sollen insbesondere die algorithmischen Grundlagen analysiert werden. Die mathematischen Aspekte werden kurz angesprochen, aber nicht weiter vertieft.

Die Vorgehensweise folgt einem Vorschlag von Witten und Schulz, der in den folgenden Artikeln beschrieben wird:

H. Witten, R.-H. Schulz: RSA & Co. in der Schule, Teil1. LOG IN 140 S. 45 ff.

H. Witten, R.-H. Schulz: RSA & Co. in der Schule, Teil2. LOG IN 143 S. 50 ff.

7 Teil 2

Verschlüsseln mit modularer Addition

8 Den Anfang macht Caesar

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

Schlüssel: DQuelltext:

SALVECAESAR

Geheimtext:VDOYHFDHVDU

PYLZFOWBNQCYBUVNCBLGYCHYAYBYCGMWBLCZNYH

NTCZYLN

VDOYHFDHVD

U

9 Caesar-Verfahren mit Zahlen

A → 00B → 01

...Z → 25

A#S#T#E#R#I#X

00#18#19#04#17#08#23

(0 + 3) % 26 = 3(18 + 3) % 26 = 21...(23 + 3) % 26 = 0

00#18#19#04#17#08#23

03#21#22#07#20#11#00

(3 + 23) % 26 = 0(21 + 23) % 26 = 18...(0 + 23) % 26 = 23

03#21#22#07#20#11#00

00#18#19#04#17#08#23

A → 00B → 01

...Z → 25

00#18#19#04#17#08#23

A#S#T#E#R#I#X

Codierung:

Umwandlung von Zeichen in Zahlen

Verschlüsselung:

Verarbeitung von Zahlen

Entschlüsselung:


Decodierung:

Umwandlung von Zahlen in Zeichen

10 Modulares Rechnen - Addition

Uhrenaddition: (14 + 22) % 24 = 36 % 24 = 12

%: Rest bei der ganzzahligen Division

Bsp.: 12 % 4 = 0; 12 % 5 = 2; 12 % 17 = 12Verschlüsselung:


(0 + 3) % 26 = 3(18 + 3) % 26 = 21...(23 + 3) % 26 = 0

00#18#19#04#17#08#23

03#21#22#07#20#11#00

Entschlüsselung:


(3 + 23) % 26 = 0(21 + 23) % 26 = 18...(0 + 23) % 26 = 23

03#21#22#07#20#11#00

00#18#19#04#17#08#23

„Es ist jetzt 14 Uhr. In 22 Stunden gibt es

wieder Mittagessen.“ 14 + 22 = 12

11 Caesar-Variationen

Codierung:

Umwandlung von Zeichen in Zahlen

A → 01B → 02

...Z → 26

A#S#T#E#R#I#X

01#19#20#05#18#09#24

Verschlüsselung:

Verarbeitung von Zahlen(e, m) = (9, 30)

(1 + 9) % 30 = 10(19 + 9) % 30 = 28...(24 + 9) % 30 = 3

01#19#20#05#18#09#24

10#28#29#14#27#18#03

Entschlüsselung:

Verarbeitung von Zahlen(d, m) = (21, 30)

(10 + 21) % 30 = 1(28 + 21) % 30 = 19...(3 + 21) % 30 = 24

10#28#29#14#27#18#03

01#19#20#05#18#09#24

Decodierung:

Umwandlung von Zahlen in Zeichen

A → 01B → 02

...Z → 26

01#19#20#05#18#09#24

A#S#T#E#R#I#X

12 Caesar-Variationen

Codierung:

Code: A → 1Blocklänge: 2

AA → 0101AB → 0102

...ZZ → 2626

AS#TE#RI#X

0119#2005#1809#24

Verschlüsselung:

öffentlicher Schlüssel(e, m) = (2102, 3000)

(119 + 2102) % 3000 = 2221(2005 + 2102) % 3000 = 1107 ...

0119#2005#1809#24

2221#1107#911#2126

Entschlüsselung:

privater Schlüssel(d, m) = (898, 3000)

(2221 + 898) % 3000 = 119(1107 + 898) % 3000 = 2005 ...

2221#1107#911#2126

0119#2005#1809#24

Decodierung:


AA → 0101AB → 0102

...ZZ → 2626

0119#2005#1809#24

AS#TE#RI#X

13 Aufgabe

Codierung:


DO#MS#PE#YE#R

Verschlüsselung:


Entschlüsselung:


Decodierung


AA → 0101AB → 0102

...ZZ → 2626

AA → 0101AB → 0102

...ZZ → 2626

14 Aufgabe

Codierung:


Verschlüsselung:


Entschlüsselung:

privater Schlüssel(d, m) =

103#114#112#107#114#105

Decodierung


A → 01B → 02

...Z → 26

A → 01B → 02

...Z → 26

15 Additives Chiffrierverfahren

Codierung:


AA → 0101AB → 0102

...ZZ → 2626

AS#TE#RI#X

0119#2005#1809#24

Verschlüsselung:


z → (z + e) % m 0119#2005#1809#24

2221#1107#1010#2126

Entschlüsselung:


z → (z + d) % m 2221#1107#1010#2126

0119#2005#1809#24

Decodierung:


AA → 0101AB → 0102

...ZZ → 2626

0119#2005#1809#24

AS#TE#RI#X

Bed.: z < mm > maxCode

Bed.: (e + d) % m = 0


Codierung:


b → z AS#TE#RI#X

0119#2005#1809#24

Verschlüsselung:


z → (z + e) % m 0119#2005#1809#24

2221#1107#1010#2126

Entschlüsselung:


z → (z + d) % m 2221#1107#1010#2126

0119#2005#1809#24

Decodierung


0119#2005#1809#24

AS#TE#RI#X

eindeutige Codierung von Zeichenblöcken

Bed.: z < mm > maxCode

Bed.: (e + d) % m = 0

z → b

Decodierung als Um-kehrung der Codierung


Korrektheit:

Die Entschlüsselung macht die Verschlüsselung rückgängig:

z → (z + e) % m → ((z + e) % m + d) % m = (z + (e + d) % m) % m = z % m = z

Verschlüsselung:


z → (z + e) % m 0119#2005#1809#24

2221#1107#1010#2126

Entschlüsselung:


z → (z + d) % m 2221#1107#1010#2126

0119#2005#1809#24

Sicherheit:

Das "additive" Chiffrierverfahren ist nicht sicher, da man aus dem öffentlichen Schlüssel sofort den privaten Schlüssel bestimmen kann.

Bed.: m ist größer als die maximale Codezahl

Bed.: e + d = m

18 Prinzip von Kerckhoff

Vgl. A. Beutelspacher: Kryptologie. Vieweg 1996

Das Prinzip wurde erstmals formuliert im Buch "La cryptographie militaire" von Jean Guillaume Hubert Victor Francois Alexandre Auguste Kerckhoffs van Nieuwenhof (1835 bis 1903).

Die Sicherheit eines Kryptosystems darf nicht von der Geheimhaltung des Algorithmus abhängen. Die Sicherheit darf sich nur auf die Geheimhaltung des Schlüssels gründen.

Sicherheit:

Das "additive" Chiffrierverfahren erfüllt nicht das Prinzip von Kerckhoff.

19 Implementierung

Codierung:


AA → 0101AB → 0102

...ZZ → 2626

Verschlüsselung:


(119 + 2102) % 3000 = 2221(2005 + 2102) % 3000 = 1107 ...

Entschlüsselung:


(2221 + 898) % 3000 = 119(1107 + 898) % 3000 = 2005 ...

Decodierung:


AA → 0101AB → 0102

...ZZ → 2626

Zur Implementierung des vorgestellten Chiffrier-verfahrens (in Python) werden die einzelnen Operationen mit Hilfe von Funktionen dargestellt.

def zahl(c):def zeichen(z):def zerlegen(wort, blocklaenge):def codierenBlock(wort):def codierenBlockListe(blockListe):def codieren(wort, blocklaenge):def decodierenZahl(zahl):def decodierenZahlListe(zahlenListe):def zusammenfuegen(liste):def decodieren(zahlenListe):def verschluesselnZahl(zahl, schluessel):def verschluesseln(zahlenListe,

20 Aufgabe

In der Datei "ChiffriersystemModularesAddieren.py" finden Sie eine Implementierung des vorgestellten Chiffrierverfahrens.

Analysieren Sie die einzelnen Funktionsdeklarationen und ergänzen Sie geeignete Testfälle.

21 Teil 3

Verschlüsseln mit modularer Multiplikation

22 Multiplikatives Chiffrierverfahren

Codierung:


b → z A#S#T#E#R#I#X

01#19#20#05#18#09#24

Verschlüsselung:


z → (z * e) % m 01#19#20#05#18#09#24

07#13#20#05#06#03#18

Entschlüsselung:


z → (z * d) % m 07#13#20#05#06#03#18

01#19#20#05#18#09#24

Decodierung


01#19#20#05#18#09#24

A#S#T#E#R#I#X


Bed.: z < m

Bed.: (e * d) % m = 1

z → b


23 Aufgabe

Codierung:


b → z C#A#E#S#A#R

Verschlüsselung:


z → (z * e) % m

Entschlüsselung:


z → (z * d) % m

Decodierung



Bed.: z < m

Bed.: (e * d) % m = 1

z → b


24 Aufgabe

Codierung:


b → z

Verschlüsselung:


z → (z * e) % m

Entschlüsselung:


z → (z * d) % m 27#5#6#2#7

Decodierung



Bed.: z < m

Bed.: (e * d) % m = 1

z → b


25 Implementierung



b → z

z → (z * e) % m

z → (z * d) % m


Bed.: z < m

Bed.: (e * d) % m = 1

z → b


Codierung:


Verschlüsselung:


Entschlüsselung:


Decodierung


26 Aufgabe

Ändern Sie die Implementierung des Chiffriersystems mit modularem Addieren geeignet ab und testen Sie das neue Chiffriersystem, das auf modularem Multiplizieren basiert.

27 Modulares Inverses

Zwei Zahlen a, b heißen modular invers zueinander bzgl. des Moduls m genau dann, wenn gilt: (a * b) % m = 1.

Verschlüsselung:


z → (z * e) % m 01#19#20#05#18#09#24

07#13#20#05#06#03#18

Entschlüsselung:


z → (z * d) % m 07#13#20#05#06#03#18

01#19#20#05#18#09#24

Bed.: z < m; ggT(d, m) = 1

Bed.: (e * d) % m = 1

Bsp.: (7 * 13) % 30 = 1. Also: 13 ist das modulare Inverse zu 7 bzgl. des Moduls m = 30.Beachte: Wenn a und m teilerfremd sind, dann existiert das modulare Inverse von a bzgl. m.

Das multiplikative Chiffrierverfahren funktioniert nur, wenn man zwei Zahlen e und d findet mit (e * d) % m = 1.

28 Aufgabe

Untersuchen Sie, zu welchen der folgenden Zahlen e es ein modulares Inverses d bzgl. des Moduls 12 gibt:

e = 2

e = 3

e = 4

e = 5

e = 6

e = 7

e = 8

e = 9

e = 10

e = 11

29 Korrektheit

Korrektheit:

Die Entschlüsselung macht die Verschlüsselung rückgängig:

z → (z * e) % m → ([(z * e) % m] * d) % m = (z * [(e * d) % m]) % m = (z * 1) % m = z

Verschlüsselung:


z → (z * e) % m 01#19#20#05#18#09#24

07#13#20#05#06#03#18

Entschlüsselung:


z → (z * d) % m 07#13#20#05#06#03#18

01#19#20#05#18#09#24

Bed.: z < m; ggT(e, m) = 1

Bed.: (e * d) % m = 1

Beispiel:

Verschlüsseln: 9 → (9 * 7) % 30 Entschlüsseln: (9 * 7) % 30 → ([(9 * 7) % 30] * 13) % 30 = [(9 * 7) * 13)] % 30 = [9 * (7 * 13)] % 30 = (9 * [(7 * 13) % 30]) % 30 = (9 * 1) % 30 = 9

30 Aufgabe

Der Korrektheitsnachweis nutzt einige Regeln zum Rechnen mit modularer Multiplikation aus, u. a.:

((a % m) * (b % m)) % m = ((a % m) * b) % m = (a * b) % m

Überprüfen Sie diese Regeln anhand von Beispielen. Sie können sich die Ergebnisse auch von Python (im interaktiven Modus) berechnen lassen.

31 Sicherheit

Verschlüsselung:


z → (z * e) % m 01#19#20#05#18#09#24

07#13#20#05#06#03#18

Entschlüsselung:


z → (z * d) % m 07#13#20#05#06#03#18

01#19#20#05#18#09#24

Bed.: z < m; ggT(e, m) = 1

Bed.: (e * d) % m = 1

Sicherheit:Die Sicherheit des multiplikativen Chiffrierverfahrens hängt davon ab, ob man zur Zahl e aus dem öffentlichen Schlüssel das modulare Inverse d bzgl. m bestimmen kann.

32

Bestimmung des modularen Inversen

Ein naiver Ansatz besteht darin, der Reihe nach alle Zahlen durchzuprobieren, bis man das gewünschte Ergebnis gefunden hat. def modInvNaiv(e, m): gefunden = False d = 1 while not gefunden: if (e*d)%m == 1: gefunden = True else: d = d + 1 return d

33 Aufgabe

Implementieren und testen Sie den Algorithmus in Python.

Testen Sie insbesondere den Algorithmus auch mit großen Zahlen.

Bsp.:

Bestimmen Sie das modulare Inverse vone = 775517959261225265313877628572204089387832653836742449bzgl. m = 1000010000100001000010000100001000010000100001000010000Als Ergebnis sollten Sied = 49erhalten.

Bestimmen Sie jetzt das modulare Inverse vond = 49bzgl.m = 1000010000100001000010000100001000010000100001000010000Als Ergebnis sollten Siee = 775517959261225265313877628572204089387832653836742449erhalten.

Was fällt hier auf?

34 Aufgabe

Benutzen Sie ein Programm mit zusätzlichen Ausgaben, um abzuschätzen, wie lange es wohl dauern wird, bis das Ergebnis der folgenden Berechnung feststeht:

e = 49m = 1000010000100001000010000100001000010000100001000010000modInvNaiv(e, m)

Messen sie hierzu (grob) die Zeit, die das Programm benötigt, um 10000000 Zahlen durchzuprobieren. Rechnen Sie dann hoch.

def modInvNaiv(e, m): gefunden = False d = 1 while not gefunden: if d % 10000000 == 0: print "Anzahl der Versuche: ", d if (e*d)%m == 1: gefunden = True else: d = d + 1 return d

35

Praktisch unbrauchbarer Algorithmus

Beispiel:

e = 49m = 1000010000100001000010000100001000010000100001000010000modInvNaiv(d, m)

Um 10 000 000 (= 107) Zahlen durchzuprobieren, benötigt ein Rechner derzeit etwas 10s.

Da das erwartete Ergebnis 775517959261225265313877628572204089387832653836742449 eine 54-stellige Zahl ist, wird der Rechner eine Zeit benötigen, die in der Größenordnung von 1047s liegt. Dies sind mehr als 1039 Jahre. Bedenkt man, dass das Universum ein Alter von etwa 1010 Jahre hat, dann zeigt sich, wie ungeeignet das naive Vorgehen ist.

Für größere Zahlen ist der naive Algorithmus unbrauchbar. Für die unten gezeigten Zahlen benötigt ein Rechner länger, als das Universum alt ist.

36 Vielfachsummensatz

Ein besseres Verfahren zur Bestimmung des modularen Inversen basiert auf folgendem Zusammenhang ("Vielfachsummensatz", "Lemma von Bézout", "Lemma von Bachet"):

Für je zwei natürliche Zahlen a und b gibt es ganze Zahlen x und y mit ggT(a,b)=x*a+y*b.

Beispiele:

a = 3; b = 4: ggT(3, 4) = 1 = (-1)*3 + 1*4

a = 6; b = 9: ggT(6, 9) = 3 = (-1)*6 + 1 * 9

a = 41; b = 192: ggT(41, 192) = 1 = 89*41 + (-19)*192

37

Erweiterter euklidischer Algorithmus

(1) 884 = 2*320 + 244 → 244 = 884 - 2*320 = (1*884 + 0*320) - 2*(1*320 + 0*884) = 1*884 - 2*320

(2) 320 = 1*244 + 76→ 76 = 320 - 1*244 = (0*884 + 1*320) - 1*(1*884 - 2*320)) = 3*320 - 1*884

(3) 244 = 3*76 + 16 → 16 = 244 - 3*76 = (1*884 - 2*320) - 3*(3*320 - 1*884) = 4*884 - 11*320

(4) 76 = 4*16 + 12→ 12 = 76 - 4*16 = (3*320 - 1*884) - 4*(4*884 - 11*320) = 47*320 - 17*884

(5) 16 = 1*12 + 4→ 4 = 16 - 1*12 = (4*884 - 11*320) - 1*(47*320 - 17*884) = 21*884 - 58*320

(6) 12 = 3*4 + 0

Gegeben: a = 884; b = 320Gesucht: ggT(a, b) = x*a + y*b

Ergebnis:

ggT(884, 320) = 4 = 21*884 + (- 58)*320

38 Aufgabe

Bestimmen Sie analog die Darstellung für a = 30 und b = 7.

Gegeben: a = 30; b = 7Gesucht: ggT(a, b) = x*a + y*b

39 Aufgabe

Das Struktogramm zeigt, wie der erweiterte euklidische Algorithmus mit Variablen und Kontrollstrukturen beschrieben werden kann. Im Folgenden ist ein Ablaufprotokoll für die Eingaben a = 884 und b = 320 skizziert. Machen Sie sich anhand dieses Ablauf-protokolls die Arbeitsweise des Algorithmus klar. Die unten gezeigten Berechnungsschritte sollten sich im Ablaufprotokoll widerspiegeln.

Bachet

Eingabe: a, b

aalt := a

amitte := b

xalt := 1

xmitte := 0

yalt := 0

ymitte := 1

SOLANGE amitte <> 0

q := aalt div amitte

aneu := aalt mod amitte

xneu := xalt - q*xmitte

yneu := yalt - q*ymitte

xalt := xmitte

xmitte := xneu

yalt := ymitte

ymitte := yneu

aalt := amitte

amitte := aneu

Ausgabe: aalt, xalt, yalt

(1) 884 = 2*320 + 244 → 244 = 884 - 2*320 = (1*884 + 0*320) - 2*(1*320 + 0*884) = 1*884 - 2*320

(2) 320 = 1*244 + 76→ 76 = 320 - 1*244 = (0*884 + 1*320) - 1*(1*884 - 2*320)) = 3*320 - 1*884

(3) 244 = 3*76 + 16 → 16 = 244 - 3*76 = (1*884 - 2*320) - 3*(3*320 - 1*884) = 4*884 - 11*320

(4) 76 = 4*16 + 12→ 12 = 76 - 4*16 = (3*320 - 1*884) - 4*(4*884 - 11*320) = 47*320 - 17*884

(5) 16 = 1*12 + 4→ 4 = 16 - 1*12 = (4*884 - 11*320) - 1*(47*320 - 17*884) = 21*884 - 58*320

(6) 12 = 3*4 + 0

40


Geg.: a = 884; b = 320; Ges.: ggT(a, b) = x*a + y*baalt:884 = a:884 amitte:320 = b:320xalt:1 = 1xmitte:0 = 0yalt:0 = 0ymitte:1 = 1 {aalt:884 = xalt:1 * a: 884 + yalt:0 * b:320; amitte:320 = xmitte:0 * a:884 + ymitte:1 * b:320}

(1) 884 = 2*320 + 244 → 244 = 884 - 2*320 = (1*884 + 0*320) - 2*(1*320 + 0*884) = 1*884 - 2*320

q: 2 = aalt: 884 / amitte: 320 aneu:244 = aalt:884 % amitte:320xneu:1 = xalt:1 - xmitte:0 * q:2yneu:-2 = yalt:0 - ymitte:1 * q:2xalt:0 = xmitte:0xmitte:1 = xneu:1yalt:1 = ymitte:1ymitte:-2 = yneu:-2aalt:320 = amitte:320amitte:244 = aneu:244{aalt:320 = xalt:0 * a:884 + yalt:1 * b:320; amitte:244 = xmitte:1 * a:884 + ymitte:-2 * b:320}

Bachet

Eingabe: a, b

aalt := a

amitte := b

xalt := 1

xmitte := 0

yalt := 0

ymitte := 1

SOLANGE amitte <> 0





xalt := xmitte

xmitte := xneu

yalt := ymitte

ymitte := yneu

aalt := amitte

amitte := aneu


41


{aalt:320 = xalt:0 * a:884 + yalt:1 * b:320; amitte:244 = xmitte:1 * a:884 + ymitte:-2 * b:320}

(2) 320 = 1*244 + 76 → 76 = 320 - 1*244 = (0*884 + 1*320) - 1*(1*884 - 2*320)) = 3*320 - 1*884

q: 1 = aalt: 320 / amitte: 244 aneu:76 = aalt:320 % amitte:244xneu:-1 = xalt:0 - xmitte:1 * q:1yneu:3 = yalt:1 - ymitte:-2 * q:1xalt:1 = xmitte:1xmitte:-1 = xneu:-1yalt:-2 = ymitte:-2ymitte:3 = yneu:3aalt:244 = amitte:244amitte:76 = aneu:76{aalt:244 = xalt:1 * a:884 + yalt:-2 * b:320; amitte:76 = xmitte:-1 * a:884 + ymitte:3 * b:320}

Bachet

Eingabe: a, b

aalt := a

amitte := b

xalt := 1

xmitte := 0

yalt := 0

ymitte := 1

SOLANGE amitte <> 0





xalt := xmitte

xmitte := xneu

yalt := ymitte

ymitte := yneu

aalt := amitte

amitte := aneu


42 Aufgabe

Die Datei "ErweiterterEuklidischerAlgorithmus.py" enthält eine Implementierung des erweiterten euklidischen Algorithmus. Testen Sie diese Implementierung. Fügen Sie insbesondere Ausgabeanweisungen ein und überprüfen Sie das gezeigte Ablaufprotokoll.

43

Bestimmung des modularen Inversen

Mit Hilfe der Ausgaben des erweiterten euklidischen Algorithmus lässt sich das modulare Inverse bestimmen:

Beispiel 1: modInv(41, 192)Beachte: ggT(41, 192) = 1. Das modulare Inverse von 41 bzgl. 192 kann bestimmt werden.Der Algorithmus von Bachet liefert zu den Eingaben (41, 192) die Ausgabe (1, 89, -19). Also: 1 = 89*41 + (-19)*192Also: (89*41) % 192 = (1 - (-19)*192) % 192 = (1 + 19*192) % 192 = 1Also: modInv(41, 192) = 89

Beispiel 2: modInv(17, 192)Beachte: ggT(17, 192) = 1. Das modulare Inverse von 17 bzgl. 192 kann bestimmt werden.Der Algorithmus von Bachet liefert zu den Eingaben (17, 192) die Ausgabe (1, -79, 7). Also: 1 = (-79)*17 + 7*192Also: 1 + 192*17 = (-79+192)*17 + 7*192Also: 1 + 192*17 - 7*192 = 113*17Also: (113*17) % 192 = (1 + 10*192) % 192 = 1Also: modInv(17, 192) = 113

Beispiel 3: modInv(320, 884)Beachte: ggT(320, 884) = 4 > 1. Es gibt kein modulares Inverses von 320 bzg. 884.

44 Aufgabe

Die Datei "ModularesInverses.py" zeigt u. a., wie man aus den Ergebnissen des erweiterten euklidischen Algorithmus das modulare Inverse bestimmen kann.

Testen Sie die Implementierung insbesondere für große Zahlen:

e = 49m = 1000010000100001000010000100001000010000100001000010000modInv(d, m)

Welche Konsequenzen ergeben sich hieraus für die Sicherheit des Chiffrierverfahrens mit modularer Multiplikation?

45 Sicherheit

Verschlüsselung:


z → (z * e) % m 01#19#20#05#18#09#24

07#13#20#05#06#03#18

Entschlüsselung:


z → (z * d) % m 07#13#20#05#06#03#18

01#19#20#05#18#09#24

Bed.: z < m; ggT(e, m) = 1

Bed.: (e * d) % m = 1

Sicherheit: Das "multiplikative" Chiffrierverfahren ist nicht sicher, da man aus dem öffentlichen Schlüssel mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus den privaten Schlüssel recht schnell bestimmen kann.

46 Sicherheit

Sicherheit: Das "multiplikative" Chiffrierverfahren ist nicht sicher, da man aus dem öffentlichen Schlüssel mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus den privaten Schlüssel recht schnell bestimmen kann.

Die "Unsicherheit" basiert hier also darauf, dass man ein schnelles Verfahren gefunden hat, um das modulare Inverse einer Zahl zu bestimmen.

47 Teil 4

Verschlüsseln mit modularem Potenzieren

48

Verschlüsseln d. modulares Rechnen

modulares Addieren

Verschlüsselung mit öffentl. Schlüssel (e, m)

z → (z * e) % m

z → (z * d) % m

modulares Multiplizieren

Entschlüsselung mit privat. Schlüssel (d, m)


z → (z + e) % m

z → (z + d) % m



z → (z ** e) % m

z → (z ** d) % m


modulares Potenzieren

49

Verschlüsseln d. modulares Potenzieren

Codierung:



01#19#20#05#18#09#24

Verschlüsselung:


z → (z ** e) % m 01#19#20#05#18#09#24

01#61#69#26#46#58#52

Entschlüsselung:


z → (z ** d) % m 01#61#69#26#46#58#52

01#19#20#05#18#09#24

Decodierung


01#19#20#05#18#09#24

A#S#T#E#R#I#X


Bed.: z < m

Bed.: (e * d) % φ(m) = 1

z → b


50 Schlüsselerzeugung

Vorbereitung:

Wähle zwei verschiedene Primzahlen p und q.

Berechne m = p*q.

Berechne φ(m) = (p-1)*(q-1).

Wähle eine Zahl e, die teilerfremd zu φ(m) ist.

Berechne d so, dass (e*d) % φ(m) = 1 ist.

("Vernichte p, q, φ(m).")

Schlüssel:

Der öffentliche Schlüssel ist (e, m).

Der private Schlüssel ist (d, m).

Beispiel:

p = 7; q = 11

m = 77

φ(m) = 60

z. B. e = 13

d = 37

(13, 77)

(37, 77)

51 Aufgabe

Codierung:



01#19#20#05#18#09#24

Verschlüsselung:


z → (z ** e) % m 01#19#20#05#18#09#24

Entschlüsselung:


z → (z ** d) % m

Decodierung



Bed.: z < m

Bed.: (e * d) % φ(m) = 1

z → b


52 Aufgabe

Codierung:


b → z

Verschlüsselung:


z → (z ** e) % m

Entschlüsselung:


z → (z ** d) % m 28#25#02#25#04#07

Decodierung



Bed.: z < m

Bed.: (e * d) % φ(m) = 1

z → b


53 Implementierung



Codierung:


b → z

Verschlüsselung:


z → (z ** e) % m

Entschlüsselung:


z → (z ** d) % m

Decodierung



Bed.: z < m

Bed.: (e * d) % φ(m) = 1

z → b


54 Aufgabe

Ändern Sie die Implementierung des Chiffriersystems mit modularem Addieren / Multiplizieren geeignet ab und testen Sie das neue Chiffriersystem, das auf modularem Potenzieren basiert.

Hinweis: Benutzen Sie zum schnellen modularen Potenzieren die folgende Funktion modpot:

def modpot(x, y, n): pot = 1 while y > 0: if y % 2 == 1: pot = (pot * x) % n y = y - 1 else: x = (x * x) % n y = y / 2 return pot

55 Korrektheit des RSA-Verfahrens

Behauptung: Seien (e, m) und (d, m) ein öffentlicher und privater Schlüssel zum RSA-Verfahren. Sei z eine natürliche Zahl mit z < m. Dann gilt: (ze % m)d % m = z

Verschlüsselung:


z → (z ** e) % m 01#19#20#05#18#09#24

01#61#69#26#46#58#52

Entschlüsselung:


z → (z ** d) % m 01#61#69#26#46#58#52

01#19#20#05#18#09#24

Bed.: z < m

Bed.: (e * d) % φ(m) = 1

56 Korrektheit des RSA-Verfahrens

Beweis: Nach den Vorgaben zur Schlüsselerzeugung gilt:m = pq; (m) = (p-1)(q-1); (ed) % (m) = 1.

Da (ed) % (m) = 1, gibt es eine natürliche Zahl k mit ed = k(m) + 1.

Nach dem Satz (s. u.) gilt dann (zk(m) + 1) % m = z.

Hiermit folgt jetzt:

(ze % m)d % m = (ze)d % m = (zed) % m = (zk(m) + 1) % m = z

Behauptung: Seien (e, m) und (d, m) ein öffentlicher und privater Schlüssel zum RSA-Verfahren. Sei z eine natürliche Zahl mit z < m. Dann gilt: (ze % m)d % m = z

SatzSeien p und q Primzahlen. Dann gilt für alle natürlichen Zahlen z und alle natürlichen Zahlen k: zk(p-1)(q-1)+1 % (pq) = z

57 Aufgabe

Überprüfen Sie die Aussage des Satzes: Seien p und q Primzahlen. Dann gilt für alle natürlichen Zahlen z und alle natürlichen Zahlen k: zk(p-1)(q-1)+1 % (pq) = z

Setzen Sie hierzu für die p, q, z und k konkrete Werte einsetzen und berechnen Sie (mit Python) den Ausdruck zk(p-1)(q-1)+1 % (pq).

58 Aufgabe

Die Verschlüsselung durch modulares Potenzieren ist nur dann geeignet, wenn man schnell modulare Potenzen bestimmen kann. Testen und analysieren Sie den folgenden Algorithmus:

def modpot(x, y, n): pot = 1 while y > 0: if y % 2 == 1: pot = (pot * x) % n y = y - 1 else: x = (x * x) % n y = y / 2 return pot

59 Sicherheit des RSA-Verfahrens

Bedingung:Die Sicherheit hängt davon ab, ob man in angemessener Zeit den Bestand-teil m des öffentlichen Schlüssels in seine Primfaktoren zerlegen kann.Vorbereitung:

Wähle zwei verschiedene Primzahlen p und q.

Berechne m = p*q.

Berechne φ(m) = (p-1)*(q-1).

Wähle eine Zahl e, die teilerfremd zu φ(m) ist.

Berechne d so, dass (e*d) % φ(m) = 1 ist.

("Vernichte p, q, φ(m).")

Schlüssel:

Der öffentliche Schlüssel ist (e, m).

Der private Schlüssel ist (d, m).

Beispiel:

p = 7; q = 11

m = 77

φ(m) = 60

z. B. e = 13

d = 37

(13, 77)

(37, 77)

60 Sicherheit des RSA-Verfahrens

Sicherheit:Bis heute gibt es keine schnellen Algorithmen, um eine Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Das RSA-Verfahren ist bei groß gewählten Primzahlen recht sicher, da man aus dem öffentlichen Schlüssel den privaten Schlüssel bisher nicht in angemessener Zeit bestimmen kann.

61 Aufgabe

Mit dem folgenden Programm kann man eine Primfaktorzerlegung bei natürlichen Zahlen durchführen.

def primfaktoren(n): from math import sqrt liste = [] for t in [2, 3]: while n % t == 0: liste.append(t) n = n / t t = 5 d = 2 w = round(sqrt(n)) while t <= w: while n % t == 0: liste.append(t) n = n / t t = t + d d = 6 - d if n > 1: liste.append(n) return liste

Testen Sie das Programm.

Testen Sie auch das Verhalten bei großen Eingabezahlen.

62 Aufgabe

Multiplizieren Sie zwei Primzahlen p und q und zerlegen Sie anschließend das Produkt m = p*q wieder in seine Primfaktoren. Erhöhen Sie schrittweise die Größe von p und q. Zur Erzeugung von Primzahlen können Sie die sehr naiv implementierte Funktion "naechstgroesserePrimzahl(n)" (oder auch "naechstKleinerePrimzahl(n)") benutzen (siehe "SystematischePrimzahlZerlegung.py"). Protokollieren Sie die Messergebnisse und versuchen Sie herauszufinden, wie die Rechenzeit in Abhängigkeit der Größe der Ausgangsprimzahlen wächst. Gehen Sie bei der Erhöhung von p und q systematisch vor. Erzeugen Sie z. B. Primzahlen, die in der Nähe von 30..0 bzw 40..0 liegen. Die Zahlen 30..0 sollen beginnend bei 30 jeweils um eine Stelle wachsen, analog 40..0 = 40, 400, 4000, .. . Die Zahlen n wachsen dann jeweils um zwei Stellen (siehe nächste Folie).

63 Aufgabe

p q n StellenZeit

31 41 1271 4

307 401 123107 6

3001 4001 12007001 8

64 Aufgabe

Gibt es eigentlich genug Primzahlen in der gewünschten Größenordnung? Untersuchen Sie, wie viele Primzahlen es bis zu einer gegebenen Zahl x gibt.

65 Informationen

Gibt es genug Primzahlen in der gewünschten Größenordnung?

Für eine gegebene Zahl x gibt es ungefähr x/ln(x) Primzahlen, die kleiner als x sind.

Man wählt heute Primzahlen, die mit mindestens 512 Bit dargestellt werden. Das sind Zahlen in der Größenordnung 2512. Da 2512/ln(2512) etwa die Größenordnung 2500 hat (das ist eine Zahl mit 150 Dezimalstellen), sollten genügend Primzahlen für die Verschlüsselung zur Verfügung stehen.

Wie bestimmt man große Primzahlen?

Zur Bestimmung großer Primzahlen geht man wie folgt vor. Man erzeugt eine Zufallszahl im gewünschten Größenbereich und testet, ob es sich um eine Primzahl handelt. Solche Primzahltests kann man sehr schnell mit geeigneten Verfahren durchführen. Da es sehr viele Primzahlen im gewünschten Bereich gibt (s. o.), muss man nicht in der Regel allzu viele Zahlen testen.

66 Fazit

Algorithmen spielen bei der Entwicklung von Chiffriersystemen eine große Rolle.

Im Fall des RSA-Verfahrens benötigt man einerseits gute Algorithmen, um das Verfahren überhaupt effizient durchführen zu können (z. B. schnell ein modulares Inverses bestimmen; schnell eine modulare Potenz bestimmen).

Andererseits ist das Verfahren so angelegt, dass bestimmte Operation mit den bisher bekannten Algorithmen mit vertretbarem Rechenaufwand nicht durchgeführt werden können.

67 Literaturhinweise

Folgende Materialien wurden hier benutzt:

H. Witten, R.-H. Schulz: RSA & Co. in der Schule, Teil1. LOG IN 140 S. 45 ff

H. Witten, R.-H. Schulz: RSA & Co. in der Schule, Teil2. LOG IN 143 S. 50 ff

K. Merkert: http://www.hsg-kl.de/faecher/inf/krypto/rsa/index.php

Documents

Das RSA-Verfahren - Einsatz von Standardalgorithmen in der Kryptologie Klaus Becker 2007