Dati e calcoli numerici - Dipartimento di Matematicapisani/scienzenaturali/datinumerici.pdf · Dati e calcoli numerici ... Quando poi vogliamo parlare di numeri reali, ... Le prime

Capitolo 2

Dati e calcoli numerici

In questo capitolo metteremo da parte l�approccio assiomatico-sistematico e cioccuperemo dei diversi tipi di numeri da un punto di vista operativo.Fin dalla scuola elementare impariamo a svolgere calcoli esatti, in situazioni

riconducibili a conteggio (numeri interi e, indirettamente, numeri razionali).Calcoli del tipo

1681 + 187 = 1868

3

4+2

5=23

20

ci appaiono abbastanza semplici da svolgere. Tuttavia dobbiamo osservareche già nell�ambiente dei numeri naturali possono presentarsi situazioni piùimpegnative, del tipo

2021 + 2120:

Si tratta di calcolare e sommare due numeri naturali che hanno rispettivamente28 e 27 cifre: il calcolo non è impossibile, ma decisamente lungo.Quando poi vogliamo parlare di numeri reali, diventa essenziale premettere

una distinzione tra il numero come ente astratto e la sua rappresentazione conc-reta, rappresentazione di cui abbiamo bisogno per svolgere un minimo di calcoli.Si scopre che non ha più senso parlare di calcolo esatto, poiché non esiste unarappresentazione degli irrazionali con un numero �nito di cifre.A questo punto dobbiamo chiederci come si interpretano scritture del tipo

� = 3:14 (2.1a)

e = 2:718 (2.1b)

� + e = 5:858: (2.1c)

In realtà nelle scritture (2.1) il simbolo di uguaglianza non è del tutto ap-propriato. Infatti quella che stiamo e¤ettuando è una approssimazione, cioèsostituiamo il numero vero con un altro numero, ad esso opportunamente vici-no. Inoltre nella scrittura (2.1c), ottenuta dalle prime due, si sottintende cheper approssimare la somma � + e possiamo utilizzare la somma delle approssi-mazioni di � e di e. A questo proposito vedremo in seguito che, al contrario diquanto sembrerebbe, è più corretto scrivere

� + e = 5:85:

1

2 CAPITOLO 2. DATI E CALCOLI NUMERICI

Inoltre scopriremo che, e¤ettuando la somma, il margine di errore (tra il datovero � + e e la sua approssimazione 5:85) è aumentato.Lo trattazione di questi argomenti si articola in diversi passaggi.

� Anzitutto dovremo richiamare la notazione decimale e introdurre gli allinea-menti decimali.

� In secondo luogo spiegheremo quali limitazioni si presentino quando pre�s-siamo il numero di cifre a nostra disposizione e introdurremo la notazionein virgola mobile.

� In terzo luogo costruiremo un esempio concreto di approssimazione a cifre�ssate, in virgola mobile.

� Dovremo dare qualche informazione sui diversi tipi di errore che si pro-ducono nelle approssimazioni. In particolare potremo enunciare un teore-ma riguardante il nostro esempio di approssimazione.

� In�ne dovremo studiare la propagazione degli errori nelle operazioni.

A margine di tutto questo studieremo anche:

� alcune proprietà delle moderne macchine calcolatrici;

� alcune peculiarità dei dati provenienti da misurazioni; in questo caso ilruolo degli errori di approssimazione viene rimpiazzato dalle incertezzenelle misure.

2.1 Rappresentazione decimale

Per entrare in argomento consideriamo inizialmente gli interi naturali. Latabella seguente chiarisce la distinzione tra numero e rappresentazione.

rappresentazione decimale 5 14rappresentazione �primitiva� IIIII IIIIIIIIIIIIIIrappresentazione romana V XIVrappresentazione binaria 101 1110

Esaminiamo le diverse notazioni da un punto di vista tecnico.La notazione di uso corrente, quella che impariamo �n dalla scuola ele-

mentare, è posizionale decimale: ad esempio scriviamo

1481 (2.2)

e intendiamo1 � 1000 + 4 � 100 + 8 � 10 + 1

ossia1 � 103 + 4 � 102 + 8 � 10 + 1

Quindi con soli dieci simboli f0; 1; 2; : : : ; 9g possiamo rappresentare qualsiasinumero; la posizione di ciascun simbolo determina il suo valore. Infatti

� il simbolo 1 scritto a destra vale 1;

2.1. RAPPRESENTAZIONE DECIMALE 3

� il simbolo 1 scritto nella quarta posizione (partendo da destra) vale 1000 =1 � 103.

Nell�antico sistema romano (non posizionale), avremmo scritto

MCDLXXXI (2.3)

Ogni simbolo ha un valore diverso:

M = 1000

D = 500

C = 100

L = 50

XXX = 3 � 10I = 1

La scrittura (2.3) si interpreta come una somma (o di¤erenza) partendo dalsimbolo di valore più alto; C vale meno di D, scritto alla sinistra di D vuoldire che da D va sottratto (e non aggiunto) C. Per numeri sempre più gran-di dovremo inventare sempre nuovi simboli di valore sempre più alto (oppureiniziare a ripetere sempre lo stesso simbolo).Le notazioni posizionali moderne (del tipo (2.2)) hanno grandi vantaggi dal

punto di vista della facilità di calcolo; dobbiamo ricordare che esse sono resepossibili dal fatto che esiste un simbolo anche per 0, ereditato dalla matematicaaraba.La scelta della base 10 ha origini storiche. Le moderne tecnologie infor-

matiche usano la base 2: si usano due soli simboli f0; 1g ed il sistema di calcoloè molto semplice. Tuttavia, come si vedeva già nella tabella, servono stringhepiù lunghe; ad esempio il numero 1481 si scrive

10111001001

da intendersi, analogamente a quanto detto sopra:

1 � 210 + 1 � 28 + 1 � 27 + 1 � 26 + 1 � 23 + 1:

Dunque la scelta della base 10 rappresenta una scelta del tutto ragionevole.

Osservazione 2.1 Indipendentemente dal sistema di rappresentazione, per cias-cun numero intero è su¢ ciente una stringa �nita.Ovviamente è su¢ ciente una stringa �nita anche per i numeri razionali, in

quanto rappresentabili tramite una coppia di interi.

Una volta introdotta la notazione posizionale (decimale o in qualsiasi al-tra base) si introducono solitamente i numeri �con la virgola�. Ad esempioscriviamo

135:246 (2.4)

e intendiamo

1 � 102 + 3 � 10 + 5 + 2 � 10�1 + 4 � 10�2 + 6 � 10�3:


Si noti che seguendo la tradizione anglosassone stiamo utilizzando il punto alposto della virgola.Segue immediatamente dalla de�nizione che i numeri scritti nella forma (2.4)

sono razionali. Tuttavia, una volta �ssata una base, nel nostro caso 10, soloalcuni numeri razionali sono rappresentabili nella forma �decimale�, si trattadei cosiddetti razionali decimali. Fin dalle scuole elementari impariamo a ri-conoscere razionali decimali e non decimali. Come tipico esempio di razionalenon decimale possiamo considerare 1=3 o 2=7.

2.1.1 Allineamenti decimali

Ora �nalmente possiamo fornire qualche nozione sulla rappresentazione deinumeri reali.

Teorema 2.2 A ciascun a 2 R si associa (tramite una funzione bigettiva) unallineamento di in�nite cifre (decimali) per cui si scrive

a = � cmcm�1 : : : c1c0 : d1d2 : : :

dove ci; di 2 f0; 1; 2; : : : ; 9g.

In analogia a quanto visto sopra, la precedente scrittura si può intenderecome

a = � cm � 10m + � � �+ c1 � 10 + c0 + d1 � 10�1 + d2 � 10�2 + : : :

Ovviamente dovremmo precisare cosa intendiamo con quei puntini di sospen-sione a destra: sembra trattarsi, infatti, di una somma di in�niti termini!!!Mettendo da parte questo problema, si possono presentare tre situazioni:

� allineamento decimale �nito

a1 = 135:000 : : :

a2 = 27:450 0 : : :

(da un certo punto in poi le cifre sono tutte uguali a 0, oppure a 9)

� allineamento decimale periodico

a3 = 12:515 151 51 : : :

a4 = 2:123 423 423 4 : : :

� allineamento decimale non periodico

a5 = 3:141 692 653 589 : : :

a6 = 2:718 281 845 904 : : :

Le prime due situazioni corrispondono a numeri razionali, rispettivamentedecimali e non decimali. Precisamente

a1 = 135

a2 = 549=20

a3 = 413=33

a4 = 2357=1110

2.2. NUMERI A CIFRE FISSATE 5

La terza situazione corrisponde a numeri irrazionali, ossia numeri reali nonrazionali. Nell�esempio abbiamo riportato l�allineamento decimale corrispon-dente a due costanti fondamentali

a5 = �

a6 = e

Il Teorema 2.2 è di tipo costruttivo nel senso che de�nisce esattamente lasuccessione di cifre, quindi sarebbe possibile individuarle una alla volta. Tut-tavia vogliamo sottolineare che si tratta di �in�nite cifre�quindi non riuscire-mo mai scriverle materialmente tutte. Dunque se il numero in questione è ir-razionale, dobbiamo rinunciare a rappresentarlo e manipolarlo come è possibilefare, almeno in teoria, con i numeri interi e razionali.

Osservazione 2.3 La procedura di costruzione dell�allineamento decimale for-nisce inoltre una preziosa informazione: se arrestiamo il processo a k cifre dopoil punto (come si suol dire, tronchiamo a k cifre dopo il punto), la di¤erenzatra il numero a ed il numero che scriviamo è compresa tra �1=10k e 1=10k. Adesempio avremo

0 < � � 3:14 < 1=100;0 < e� 2:718 < 1=1000:

2.2 Numeri a cifre �ssate

Nelle situazioni reali si è costretti a lavorare con un numero limitato ed eventual-mente pre�ssato di cifre per ciascun numero. Le motivazioni di ciò dovrebberoessere evidenti ma è opportuno richiamarle:

� in assenza di sistemi automatici di calcolo, siamo obbligati a ricondurre itempi di calcolo a dimensione umana;

� se utilizziamo sistemi automatici di calcolo, per ciascun numero vieneassegnata una ben delimitata porzione di memoria.

Questa limitazione sulle cifre avrà diverse conseguenze:

� evidentemente sono esclusi dalla scrittura e dal calcolo tutti i numeriirrazionali;

� abbiamo una limitazione sull�estensione dell�intervallo di numeri che rius-ciamo a scrivere;

� non possiamo scrivere tutti i numeri compresi in questo intervallo.

Vediamo dunque quali numeri si riescono a scrivere (in base 10) pre�ssando ilnumero di cifre. Per semplicità consideriamo soltanto numeri positivi e �ssiamoil numero di cifre pari ad 8.Con la notazione tradizionale il più piccolo ed il più grande numero scrivibile

sarebbero rispettivamente

xmin = :000 000 01

xmax = 99 999 999:


E�evidente che non riusciamo a scrivere nè un miliardo, nè un miliardesimo;inoltre non possiamo scrivere

x = 12345:6789

che pure veri�ca la condizione

xmin � x � xmax:

Osservazione 2.4 Dobbiamo anche osservare che in questa scrittura le cifresono apparentemente 8, tuttavia vi è un�altra variabile, la posizione del punto,quindi è come se stessimo utilizzando 8 cifre più una cifra aggiuntiva, che va da0 a 8 per descrivere la posizione della virgola.

Per ampliare l�estensione dell�intervallo dei numeri scrivibili con 8 cifre pos-siamo considerare utilizzare diversamente le cifre a nostra disposizione. Consid-eriamo espressioni del tipo

E k

per indicare � 10k:

dove

� è un numero a 6 cifre contenuto in [1=10; 1), quindi compreso tra :100 000e :999 999;

� k è un intero a 2 cifre, quindi compreso tra �99 e 99.

Le cifre totali sono davvero 8; tuttavia con questa scelta il più piccolo numeroed il più grande numero scrivibili diventano rispettivamente

xmin = :100 000 � 10�99

xmax = :999 999 � 1099

Evidentemente l�estensione dell�intervallo dei numeri scrivibili è molto maggiore.In particolare possiamo scrivere

1 000 000 000 = :100 000E 10

:000 000 001 = :100 000E � 8

Tuttavia rimane l�impossibilità di scrivere tutti i numeri razionali compresi traxmin ed xmax.

2.3 Fattorizzazioni con potenze di 10

Alla base delle espressioni E k che abbiamo introdotto sopra, sussiste il seguenteTeorema.

Teorema 2.5 Per ogni a 2 R, a > 0 esistono (e sono unici) p 2 Z e c 2[1=10; 1) tali che

a = cE p

2.4. UNA PROCEDURA DI APPROSSIMAZIONE 7

Dimostrazione. Per ogni a > 0 consideriamo

p = blog10 ac+ 1c = a=10p

Rimane da provare che c 2 [1=10; 1).Abbiamo

p� 1 � log10 a < possia

10p�1 � a < 10p

Pertanto1

10� a

10p< 1

Questa fattorizzazione prende il nome di rappresentazione �oating point (invirgola mobile).

Corollario 2.6 Per ogni a 2 R, a > 0 esistono p1 2 Z e c1 2 [1; 10) tali che

a = c1E p1 (2.5)

Infatti possiamo considerare

c1 = 10c;

p1 = p� 1:

La fattorizzazione (2.5) prende il nome di notazione scienti�ca.La potenza 10p1 prende il nome di ordine di grandezza di x.Esiste anche la cosiddetta notazione ingegneristica

a = ciE pi

in cui pi è un intero multiplo di 3.

2.4 Una procedura di approssimazione

Con queste premesse possiamo illustrare una procedura di approssimazione. Peruna scelta di concretezza, come se si trattasse di un esempio, continuiamo adassegnare 6 cifre a e 2 cifre a k (non contando il segno davanti a e davantia k).Sia assegnato a 2 R, per semplicità a > 0. Si fattorizza a come indicato nel

Teorema 2.5a = cE p

con c 2 [1=10; 1); p 2 Z.

� Se p < �99 siamo nel cosiddetto caso di Under�ow, come approssimazionesi assume � = 0.

� Se p > 99 siamo nel cosiddetto caso di Over�ow, più grave dell�Under-�ow: il numero non è approssimabile (una macchina ci restituirebbe unmessaggio di errore).


Nei casi rimanenti (�99 � p � 99) la costruzione prosegue. Il numero c vienetroncato a 6 cifre decimali. Indichiamo con ct il numero dopo il troncamento.Per tener conto delle cifre rimanenti (quelle che abbiamo cancellato), se la

settima cifra di c è 5; 6; 7; 8; 9, alla sesta cifra di ct aggiungiamo 1, altrimentilasciamo tutto immutato; questa operazione viene chiamata arrotondamento.Indichiamo con il numero (a 6 cifre decimali) così ottenuto.Come approssimazione scegliamo

� = E p:

Alcuni esempi aiuteranno a fare chiarezza.

Esempio 2.7 Vogliamo approssimare

a = 1=23 = 0:043 478 260 869 56 : : :

Abbiamoa = :434 782 608 695 6 : : : E � 1

ossia

p = �1c = :434 782 608 695 6 : : :

Tronchiamo c e otteniamo ct

ct = :434 782

Poichè la settima cifra di c è 6 abbiamo

= :434 783

In conclusione la nostra approssimazione è data da

� = :434 783E � 1:


a = 2026 = 6710 886 400 : : : 000| {z }26 zeri

Abbiamo

p = 34

c = :671 088 64


ct = :671 088


= :671 089


� = :671 089E 34

2.4. UNA PROCEDURA DI APPROSSIMAZIONE 9


a =p129 = 11: 357 816 691 600 5 : : :

Abbiamoa = :113 578 166 916 005 : : : E2

ossia

p = 2

c = :113 578 166 916 005 : : :


ct = :113 578


= ct = :113 578


� = :113 578E 2

In questo caso possiamo anche tornare alla notazione tradizionale

� = 11:1357 8

Osservazione 2.10 In generale se a 2 [1=10; 106) possiamo anche evitare ilricorso alla notazione �oating point e vale una semplice regola. Si scrivonoalmeno 7 cifre dell�allineamento decimale associato ad a, si tronca a 6 cifre esi arrotonda in base alla settima. Ricordiamo che arrontondare vuol dire chese la settima cifra di a è 5; 6; 7; 8; 9, alla sesta cifra aggiungiamo 1, altrimentilasciamo tutto immutato.

Vediamo in�ne alcuni casi particolari.

Esempio 2.11 Se abbiamoa = 9:999997

scriveremo

p = 1

c = :9999997

e quindi con la procedura esposta sopra

ct = :999999

= 1:000000

Dunque

� = 1E 1

= :1E 2

infatti abbiamo convenuto che, nella notazione ��oating point�, il primo fattoredebba essere un numero c 2 [1=10; 1).


Esempio 2.12 Come caso limite abbiamo

a = :9999995E 99

quindi

p = 99

c = :9999995

Dopo l�arrotondamento si ha Over�ow.

Esempio 2.13 Evidentemente due numeri diversi possono essere approssimatie rappresentati allo stesso modo. In corrispondenza di

a1 = 123:456 78

a2 = 123:456 87

avremo sempre� = 123:457:

2.5 Approssimazioni ed errori

Sia assegnato un dato numerico a 2 R e sia � una sua approssimazione.Ricordiamo che l�approssimazione � si dice per difetto (risp. per eccesso) se

� < a (risp. a < �). La di¤erenza tra il dato originale e la sua approssimazione

� = a� �

prende il nome di errore assoluto commesso nell�approssimazione.

Esempio 2.14 Con questa terminologia 3:14 è un�approssimazione per difettodi � con errore assoluto inferiore ad 1=100. Analogamente 2:718 è un�approssi-mazione per difetto di e con errore assoluto inferiore ad 1=1000.

2.5.1 Errore relativo

In realtà l�errore assoluto, a dispetto del nome, potrebbe rivelarsi non signi�ca-tivo:

� se il dato è a = 2021 (ricordiamo le 28 cifre), un errore assoluto pari a 10(o anche a 109) è assolutamente trascurabile;

� se abbiamo a = 2� 2 [0; 10], un errore pari a 1 diventa rilevante.

La questione diventa più chiara con un esempio tratto dal mondo reale:

� se stiamo pesando una cassetta di frutta, sicuramente non ci preoccupiamodi essere precisi sui grammi;

� se siamo in gioielleria, pretendiamo che il peso di una catenina d�oro siapreciso �no al grammo.

2.5. APPROSSIMAZIONI ED ERRORI 11

Un modo per tener conto di queste situazioni è introdurre un nuovo tipo dierrore, l�errore relativo de�nito da

�

a=a� �a

In una qualsiasi approssimazione è ragionevole chiedere che l�errore relativosia inferiore ad un pre�ssato valore, generalmente indicato con EPS (iniziale di�epsilon�).

� Se a = 123457 e consideriamo � = 123500, abbiamo

� = �43 �

a= �0:00034:::

� Se a = 341:5 e consideriamo � = 300, abbiamo

� = 41:5�

a= 0:121:::

� Se a = 2:1576 e consideriamo � = 2:16, abbiamo

� = �0:0024 �

a= �0:00111:::

� Se a = 8:1576 e consideriamo � = 8:15, abbiamo

� = 0:0076�

a= 0:0009:::

Teorema 2.15 L�errore relativo prodotto dalla procedura di approssimazionedescritta sopra veri�ca la condizione��a

�� < 5 � 10�6L�esponente �6 dipende dall�aver usato 6 cifre per ; dunque se aumentiamo

il numero di cifre otteniamo un�approssimazione via via migliore.

2.5.2 Dimostrazione del Teorema

Ora dobbiamo occuparci del troncamento di c = a=10p.Consideriamo N cifre decimali (dopo il punto).Il semplice troncamento è dato da

ct =1

10N�10Nc

�Il troncamento con arrotondamento è dato da

=1

10N

�10Nc+

1

2

�Ricordiamo che la nostra approssimazione di a è data da

� = � 10p


Rimane da valutare l�errore relativo (in valore assoluto)

j�ja=ja� �ja

Dobbiamo distinguere due casi.Se a = 10m allora

p = m+ 1

c = 1=10

In questo caso = ct = c

quindi� = a

e dunquej�ja=ja� �ja

= 0

Se invece a non è una potenza di 10, allora avremo

10p�1 < a < 10p

Osserviamo cheja� �j = jc� j 10p

Abbiamo �10Nc+

1

2

�� 10Nc+ 1

2<

�10Nc+

1

2

�+ 1

ossia

10Nc� 12<

�10Nc+

1

2

�� 10Nc+ 1

2

quindi1

10N

�10Nc� 1

2

�< � 1

10N

�10Nc+

1

2

�

c� 12

1

10N< � c+ 1

2

1

10N

j � cj � 1

2

1

10N

D�altra parte1

a<

1

10p�1

Pertantoja� �ja

=jc� j 10p

a<1

2

10

10N=

5

10N

2.5. APPROSSIMAZIONI ED ERRORI 13

2.5.3 Alcune stime

Supponiamo ora di trovarci nella situazione più comune: conosciamo � valoreapprossimato di a e vogliamo determinare un intervallo entro il quale siamo certidi trovare a.Ovviamente per fare questo abbiamo bisogno di conoscere anche un�infor-

mazione sull�errore. Ovviamente non si conosce l�errore (che equivale a conoscereil valore a), ma conosciamo una maggiorazione dell�errore.

� Se sappiamo che j�j � �max allora

��max � a � �+�max: (2.6)

� Se sappiamo che j�=aj � EPS < 1 e 0 < a allora�

1 + EPS� a � �

1� EPS (2.7)

Osserviamo in�ne che una stima sull�errore assoluto si può ricavare una stimasull�errore relativo e viceversa.

� Se sappiamo che j�j � �max < � allora

j�=aj � �max��max

: (2.8)

� Se sappiamo che j�=aj � EPS < 1 e 0 < a allora

j�j � � EPS

1� EPS :

2.5.4 Manipolazione di numeri

Non appena si inizia a operare con approssimazioni, l�errore non solo si trasmetteal risultato ma addirittura si ampli�ca.

Proposizione 2.16 L�errore assoluto della somma è uguale alla somma deglierrori assoluti degli addendi.

Esempio 2.17 All�inizio del capitolo abbiamo scritto

� = 3:14

e = 2:718

� + e = 5:858:

Sappiamo che su � = 3:14 abbiamo un errore minore o uguale a 1=100, sue = 2:718 abbiamo un errore minore o uguale a 1=1000. Pertanto sulla sommaabbiamo un errore minore o uguale a 11=1000. Applicando la (2.6) si conclude

5:847 = 5:858� 11=1000 � � + e � 5:858 + 11=1000 = 5:869

Ecco spiegato perché all�inizio del capitolo abbiamo detto che sarebbe più correttoscrivere � + e = 5:85. Non ha senso scrivere 3 cifre dopo il punto se già sullaseconda abbiamo incertezza.


Proposizione 2.18 L�errore relativo del prodotto è uguale alla somma deglierrori relativi dei fattori.

Esempio 2.19 Se � e � sono rispettivamente approssimazioni di a e b conerrore relativo minore di 5=1000, allora �� è un�approssimazione di ab con errorerelativo minore di 10=1000.

Torneremo su questi problemi quando parleremo di cifre signi�cative. Peril momento ci basti di concludere che se un dato è a¤etto da un certo errore(assoluto o relativo) non si può sperare di avere un risultato a¤etto da un erroreminore (vedi Esempio 2.28).

Osservazione 2.20 Utilizzando le derivate vedremo come si stima l�errore trasmes-so attraverso una funzione.

2.6 Calcolatrici

In questo paragrafo vogliamo illustrare alcune caratteristiche dei sistemi auto-matici di calcolo. Per sempli�care l�esposizione ci riferiremo a due situazioniestreme: nella realtà le prestazioni o¤erte dalle calcolatrici e dai computer sonoin continua evoluzione e cambiano da modello a modello.

2.6.1 Calcolatrice primitiva

Indipendentemente dal modo in cui si rappresentano, tutti i dati vengono trat-tati con la procedura vista sopra:

� scrittura in virgola mobile;

� troncamento ed arrotondamento.

Anche un�operazione elementare viene svolta in questo modo.

Esempio 2.21 Consideriamo

1

6= :166 666 666 : : :

= :166 667

1

26= 0:038 461 538 :::

= :384 615E � 11

6+1

26= :166 667 + :038 461 5

= :205 1285

= :205 129

2.6. CALCOLATRICI 15

Esempio 2.22 Come secondo esempio vogliamo calcolare�p2 +

p3�2

Abbiamop2 = 1:414 213 56 : : :

= :141421p3 = 1:732 05 : : :

= :173 205p2 +

p3 = :314 626�p

2 +p3�2= 9:898 951 987 6

= 9:898 95

Possono anche riscontrarsi fenomeni interpretabili come di¤ormità rispettoalle proprietà teoriche delle operazioni.Consideriamo ancora un troncamento/arrotondamento a 6 cifre (più due

cifre per l�esponente).

Esempio 2.23 Se abbiamo

a1 = 123 456

a2 = : 456 789

risulta

a1 + a2 = 123 456: 456 789 =

= 123 456 = a1

In altri termini un addendo è irrilevante nella somma.

Esempio 2.24 Se abbiamo

a1 = 123:456

a2 = 3:45678

risulta evidentemente

a1 + a2 = 126:91278

= 126:913

dove evidentemente l�ultimo valore è quello ottenuto per troncamento/arrotondamento.Ora sommiamo

a3 = 0:00855543

e otteniamo

(a1 + a2) + a3 = 126:921 555 43

= 126:922


Possiamo anche sommare

a2 + a3 = 3:46533543

= 3:46534

e quindi

a1 + (a2 + a3) = 126:921 34

= 126:921

Dunque il risultato cambia a seconda dell�ordine di sommazione. Dal puntodi vista assiomatico dovremmo concludere che non vale la proprietà associativadella somma.

Osservazione 2.25 I precedenti esempi sono, per così dire, arti�ciali. Essiindendono semplicemente mostrare i possibili e¤etti di una procedura di troca-mento/arrotondamento. Nella pratica, come si diceva all�inizio, ogni calcolatriceha i suoi standard di calcolo, quindi non possiamo escludere che, provando perconto proprio, si osservino risultati alquanto diversi.

2.6.2 Computer Algebra System

I diversi tipi di dati e di operazioni vengono riconosciuti e trattati in modoopportuno, del tutto simile a quello �naturale�.Ad esempio

1

6+1

26=8

39

A richiesta possiamo passare alla rappresentazione decimale

8

39= 0:205 128 205 128 205 : : :

Se tronchiamo e arrotondiamo a 6 cifre riscontriamo una piccola di¤erenzarispetto al risultato calcolato in precedenza con la �calcolatrice primitiva�.Il secondo esempio è ancora più signi�cativo.�p

2 +p3�2= 2 + 2

p2p3 + 3

= 5 + 2p6

Se ci interessa possiamo anche vedere

5 + 2p6 = 9:898 979 485 566 36 : : :

Anche qui possiamo troncare e arrotondare a 6 cifre: riscontriamo una di¤erenzarispetto al risultato calcolato in precedenza.La vera prestazione aggiuntiva dei CAS è la capacità di e¤ettuare calcolo

letterale. In questo modo le eventuali operazioni numeriche, con le relativetrasmissioni di errori, vengono svolte alla �ne e si riducono sensibilmente leproblematiche evidenziate sopra nelle calcolatrici tradizionali.

2.7. DATI PROVENIENTI DA MISURAZIONI 17

2.7 Dati provenienti da misurazioni

Molte delle considerazioni svolte sui dati numerici si possono applicare anche allemisurazioni. In termini semplicistici misurare vuol dire attribuire un numero(reale) ad una grandezza (altezza, peso, ...). Da una parte abbiamo il dato a 2 Rche corrisponderebbe alla misurazione ideale, dall�altra abbiamo il dato � 2 Q,con un numero �nito di cifre, ottenuto in una nostra misurazione concreta,a¤etta da errori e imprecisioni. Dunque tra a ed � si è riprodotta una situazioneanaloga a quella che avevamo tra un numero reale e la sua approssimazione acifre �ssate.Anzitutto osserviamo che se un dato numerico � proviene da una mis-

urazione, il modo in cui viene riportato è indicativo dello strumento (o delmetodo) utilizzato per la misurazione e quindi della precisione del dato stes-so: si segnano tutte e sole le cifre riportate dallo strumento (o ottenute dallaprocedura).Consegue che, a di¤erenza di quanto accade con i numeri �senza unità di

misura�, tra le scritture

l = 3:284m

l = 3:28400m

vi è una profonda di¤erenza:

� nel secondo caso abbiamo utilizzato uno strumento ad alta precisione chesegna anche i centesimi di millimetro;

� nel primo caso utilizzato un metro comune che segna centimetri e mil-limetri.

Le cifre lette nello strumento e riportate nella misura sono le cosiddette cifresigni�cative, intendendo che l�ultima cifra riportata è incerta. Per evidenziarele ragioni di incertezza dell�ultima cifra può essere utile un esempio.

Esempio 2.26 Per le misurazioni di intevalli di tempo, supponiamo di disporredi cronometro che segna anche i centesimi di secondo. Se il nostro cronometroviene azionato manualmente, si deve tener conto dei tempi di reazione, quindi icentesimi di secondo segnati dal cronometro non sono assolutamente a¢ dabili.

Le regole sulla trasmissione dell�errore si traducono in regole sulle cifresigni�cative:

� in una somma i dati devono essere omogenei nella precisione, adeguandosialla precisione minima;

� in un prodotto (o in un rapporto) il numero delle cifre signi�cative delrisultato è pari al numero delle cifre signi�cative del fattore che ne contienemeno.

Osservando queste regole rimane chiara la precisione dei risultati. Vediamoalcuni esempi.


Esempio 2.27 Supponiamo di voler misurare l�area di un trapezio

A =1

2(b1 + b2)h

Misuriamo la base corta ed otteniamo b2 = 5:34m; la base lunga la misuriamocon uno strumento meno preciso ed otteniamo b1 = 11:2m; cambiando ancorastrumento misuriamo l�altezza h = 3:869m.La procedura corretta consiste nell�arrotondare

b2 = 5:3m

per poi ottenereb1 + b2 = 16:5m:

Quindi abbiamo

A =1

216:5 � 3:869

=1

263: 838 5

= 31: 919 25

= 31:9m2

Abbiamo applicato la regola pratica sul prodotto: il primo fattore ha 3 cifre, ilsecondo fattore ha 4 cifre, quindi del prodotto si considerano solo 3 cifre (con lasolita procedura di troncamento e arrotondamento).Sarebbe scorretto dire che

b1 + b2 = 11:2 + 5:34 = 16:54m

Infatti da questa scrittura si desume che entrambe le basi sono state misuratecon uno strumento che segna i cm. L�errore si trasmetterebbe al risultato �nale,infatti avremmo:

A =1

216:54 � 3:869

=1

263: 993 26

= 31: 996 63

= 32:00m2

Oltre che il risultato, notiamo che è diversa anche la precisione.

Esempio 2.28 Vogliamo calcolare la diagonale di un quadrato utilizzando laben nota relazione d =

p2 l.

L�operatore che ha provveduto alla misurazione del lato ci comunica l =10:50m con un incertezza di �2 cm, ossia j�j � 2 cm. In base alla (2.8) abbiamo��l

�� 2

1050� 2 =1

524

Come sappiamo,p2 è un numero irrazionale. Se approssimiamo

p2 = 1:414


l�errore relativo è inferiore a 5=10000 = 1=2000.Dunque per la diagonale otteniamo la misura approssimata

�1 = 10:5 � 1:414 = 14: 847m

con la seguente stima sull�errore relativo��d� �1d

�� 1

524+

1

2000=

631

262 000

= 2:4E � 3:

Applicando la formula (2.7) per stimare l�intervallo di variabilità della misuraesatta d otteniamo

14:811 4m � d � 14:882 8m

Dunque l�intervallo di variabilità misura all�incirca 7 cm.Se invece consideriamo

p2 = 1:414 21

abbiamo un errore relativo minore di 5=106 = 1=200 000. Con questa assunzioneotteniamo il valore

�2 = 10:5 � 1:414 21 = 14:849 205m

con un errore relativo tale che��d� �2d

�� 1

524+

1

200 000=

50 131

26 200 000

= 1:9E � 3

Applicando la formula (2.7) otteniamo la stima

14: 820 9m � d � 14:877 6m

Dunque l�intervallo di variabilità si è ristretto di appena 1:5 cm.

Questo esempio ci mostra che aver aumentato la precisione sul fattorep2

non ha modi�cato di molto il valore di d e la teoria sull�errore ci dice che ilnuovo valore non è molto più preciso del precedente (nel senso che l�intervallodi variabilità, ossia l�errore assoluto, si è ridotto di poco).Dovendo riportare un dato possiamo scrivere che la diagonale misura 14:84m;

stante l�incertezza di 3 cm è inutile scrivere altre cifre decimali; in altri termini,l�incertezza era sui centimetri e sui centimetri rimane.I calcoli nell�esempio precedente confermano le regole sulle cifre signi�cative.

Le cifre signi�cative della misura di l sono 4. Dunque conviene scriverep2 con

non meno (e non più) di quattro cifre e del prodotto dobbiamo considerare solole prime quattro cifre; in particolare la quarta cifra del prodotto (quella deicentimetri) dovrà essere considerata �incerta�.


2.7.1 Stime con attendibilità pre�ssata

Il modo più corretto per ottenere e riportare un dato ottenuto da misurazioneè il seguente

lmin � l � lmax (2.9)

ove si intende che noi stimiamo che l sia compreso nell�intervallo [lmin; lmax] conuna probabilità P �ssata in precedenza.Generalmente non si usa la scrittura (2.9) ma si scrive

l = �� ;

con � > 0, intendendo�� l � ��+ �: (2.10)

Tale �, dunque, è una stima sull�errore assoluto se approssimiamo l con ��:Vediamo come si perviene ad una stima di tipo (2.10), con attendibilità

pre�ssata. Premesso che che non basta sicuramente una sola misurazione, quindisi sottintende che la misurazione sia ripetibile, si può dimostrare quanto segue(vedi libro di Taylor).Supponiamo di aver e¤ettuato N misurazioni con esito �1; �2; : : : ; �N . Cal-

coliamo la media e la deviazione standard

�� =1

N

NXk=1

�i

� =

vuut NXk=1

��i � ��

�2N � 1

� Se vogliamo una stima attendibile con probabilità del 68% poniamo

� = �=pN:


� = 2�=pN:


� = 3�=pN

Osservazione 2.29 Evidentemente i tre valori di � legati alle probabilità 68%,95%, 99% sono legati alla distribuzione normale.

A parità di N (numero di misurazioni) il legame tra ampiezza dell�interval-lo e attendibilità della stima è del tutto plausibile: se vogliamo una stima piùattendibile (nel senso che aumenta la probabilità che sia vera), dobbiamo neces-sariamente accontentarci di una stima meno precisa (nel senso che l�intervallo èpiù ampio). E viceversa un intervallo più stretto (apparentemente più preciso)viene pagato in termini di stima meno attendibile.Dunque, immaginando che � rimanga più o meno stabile, l�unico modo per

dimezzare la stima sull�errore assoluto, conservando l�attendibilità pre�ssata, èquello di quadruplicare il numero di misurazioni.


Esempio 2.30 Vogliamo misurare una lunghezza l. Abbiamo tre misurazionicon un comune metro (precisione �no al mm)

�1 = 1:010m

�2 = 1:031m

�3 = 0:978m

Calcoliamo media e deviazione standard

�� = 1:006 333 333m =

= 1:006m

� = 0:026 689 573m

e quindi, per avere un�attendibilità al 95% poniamo

� = 2�p3=

2p30:026 689 573m =

= 0:033 081 846m = 0:033m

E dunque scriveremol = 1:006� 0:033m:

Osserviamo che i valori

lmax = 1:006 + 0:033m = 1:039m

lmin = 1:006 + 0:033m = 0:973m

sforano il più grande ed il più piccolo valore da noi osservati.In realtà tre sole misurazioni forniscono un risultato assolutamente inaf-

�dabile (lo si potrebbe dimostrare in maniera rigorosa). Dunque è necessarioe¤ettuare altre misurazioni.

�1 = 1:010m �4 = 0:994m �7 = 1:011m �10 = 1:036m�2 = 1:031m �5 = 1:028m �8 = 1:028m �11 = 1:002m�3 = 0:978m �6 = 1:013m �9 = 0:959m �12 = 0:964m

Ripetendo calcoli analoghi a quelli visti sopra otteniamo, con attendibilità al95%

l = 1:005� 0:015m.

Il valore medio non è cambiato di molto, ma l�intervallo di variabilità è più chedimezzato.

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