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Rappresentazione di dati numerici
2© Piero Demichelis
Sistemi numerici
• Si suddividono in:
Non posizionali : quali ad esempio il sistema di numerazione romano (i cui simboli sono: I, II, III, IV, V, X, L, C, D, M) oppure quello egiziano
Posizionali : quali ad esempio il sistema arabo (decimale) e il sistema maya (ventesimale).
• Nei sistemi posizionali le operazioni aritmetiche risultano molto agevoli mentre in quelli non posizionali sono alquanto complicate.
3© Piero Demichelis
Sistema posizionale a base fissa
• Nei sistemi numerici a base fissa, un numero N può essere rappresentato in uno del seguenti modi:
N = dn-1; dn-2 ........ d1; d0; d-1 ........ d-m
N = dn-1· rn-1 + ..... + d0· r0 + d-1· r-1 + ..... + d-m· r-m
1ni
ii m
N d r
4© Piero Demichelis
Sistemi numerici
• Proprietà di un sistema numerico a base fissa
è a rango illimitato : ogni numero intero vi può essere rappresentato;
è a rappresentazione unica : ad ogni numero intero corrisponde un solo insieme ordinato di cifre;
è irridondante : ad ogni insieme ordinato di cifre corrisponde un solo numero non rappresentato da altri insiemi ordinati.
5© Piero Demichelis
Sistema decimale
• r = 10
• cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Esempio:
10110 = 1 × 102 + 0 × 101 + 1 × 100
= 100 + 0 + 1= 10110
6© Piero Demichelis
Sistema binario
• r = 2
• cifre: { 0, 1 }
Esempio:
1012= 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
= 4 + 0 + 1 = 510
7© Piero Demichelis
Sistema ottale
• r = 8
• cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
Esempio:
1018= 1 × 82 + 0 × 81 + 1 × 80
= 64 + 0 + 1 = 6510
• molto utile per scrivere in modo compatto i numeri binari (ad ogni 3 cifre binarie corrisponde una cifra ottale)
( 1 1 0 1 1 0 0 0 1) 2 = ( 6 6 1 ) 8
8© Piero Demichelis
Sistema esadecimale
• r = 16
• cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }
Esempio:
101H = 1 × 162 + 0 × 161 + 1 × 160
= 256 + 0 + 1 = 25710
• anch’esso utile per scrivere in modo compatto i numeri binari (ad ogni 4 cifre binarie corrisponde 1 cifra esadecimale)
( 1 1 0 1 1 0 0 0 1) 2 = ( 1 B 1 ) 16
9© Piero Demichelis
Sistema base 5
• r = 5
• cifre: { 0, 1, 2, 3, 4 }
Esempio:
1015= 1 × 52 + 0 × 51 + 1 × 50
= 25 + 0 + 1 = 2610
10© Piero Demichelis
Sistema binario
• Caratteristiche su n cifre si rappresentano 2n numeri; ad esempio su 4
cifre:
Prime 16 potenze del 2:
0 ... 0 1000 ... 81 ... 1 1001 ... 910 ... 2 1010 ... 1011 ... 3 1011 ... 11100 ... 4 1100 ... 12101 ... 5 1101 ... 13110 ... 6 1110 ... 14111 ... 7 1111 ... 15
0 ... 0 1000 ... 81 ... 1 1001 ... 910 ... 2 1010 ... 1011 ... 3 1011 ... 11100 ... 4 1100 ... 12101 ... 5 1101 ... 13110 ... 6 1110 ... 14111 ... 7 1111 ... 15
20 ... 1 29 ... 512 21 ... 2 210 ... 1024 22 ... 4 211 ... 2048 23 ... 8 212 ... 4096 24 ... 16 213 ... 8192 25 ... 32 214 ... 16384 26 ... 64 215 ... 32768 27 ... 128 216 ... 65536 28 ... 256
20 ... 1 29 ... 512 21 ... 2 210 ... 1024 22 ... 4 211 ... 2048 23 ... 8 212 ... 4096 24 ... 16 213 ... 8192 25 ... 32 214 ... 16384 26 ... 64 215 ... 32768 27 ... 128 216 ... 65536 28 ... 256
11© Piero Demichelis
Sistema binario
• La cifra binaria è detta bit
parola che deriva dall’unione di due elisioni:
binary digit
• I bit estremi di un numero binario si chiamano:
1 0 1 1 1 0 0 1 0 0
MSB(Most Significant Bit)
LSB(Least Significant
Bit)
12© Piero Demichelis
Limiti del sistema binario
• Poiché su n bit si rappresentano 2n numeri, per rappresentare la stessa grandezza occorrono molte più cifre rispetto al sistema numerico decimale.
bit simboli val. minimoval. massimo
416 0 158256 0 25516 65,536 0 65,53532 4,294,967,296 0 4,294,967,295
13© Piero Demichelis
Conversione da binario a decimale
• Si applica direttamente la definizione effettuando la somma pesata delle cifre binarie:
1012 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
= 4 + 0 + 1 = 5
1101.12 = 1 23 + 1 22 + 0 21 + 1 20 + 1 2-1
= 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5 = 13.510
14© Piero Demichelis
Conversione da binario a decimale (2)
B) Metodo consigliato: da
012
22
21
1 ...)( drdrdrdrdNV nn
nn
012321
0123
22
1
012
22
21
1
))....))(...(
...........
)...(
...)(
drdrdrdrdrd
drdrdrdrd
drdrdrdrdNV
nnn
nn
nn
nn
nn
mettendo in evidenza i fattori comuni, si ricava:
15© Piero Demichelis
Conversione da binario a decimale (3)
Si deduce il seguente algoritmo:
1. Si parte dalla cifra più significativa2. Si moltiplica per la base3. Si somma la cifra successiva4. Si ripete da 2. fino ad arrivare a d0
Esempio: 10102 = ((1*2+0)*2+1)*2+0 = 1010
16© Piero Demichelis
Conversione da decimale a binario
N = dn-1· rn-1 + ..... + d0· r0 + d-1· r-1 + ..... + d-m· r-m
• Consideriamo la sola parte intera e riscriviamo il numero binario nel modo seguente:
N = d0 + 2 · (d1 + 2 · (d2 + ...... + dn-1))
• Si può osservare che dividendo N per la base 2, si ottiene un
quoziente (d1 + r · (d2 + ...... + dn-1)) e un resto d0, che costituisce proprio la cifra meno significativa del numero nella base 2.
• Dividendo successivamente il quoziente per la base 2 si trova ancora un quoziente e un resto d1, che è la cifra di peso uno cercata, e così via.
17© Piero Demichelis
Esempio
• Esempio:
13 6 3 1 0 quozienti1 0 1 1 restid0 d1 d2 d3
1310 = 11012
18© Piero Demichelis
Numero di bit dellarappresentazione binaria
Problema: dato N10, quanti bit (n) occorrono
per rappresentarlo in base 2 ?
Con n bit il massimo numero rappresentabile è:
1221
0max
nn
i
iN
Con n-1 bit il massimo numero rappresentabile è:
122 12
0
'max
nn
i
iN
19© Piero Demichelis
Numero di bit dellarappresentazione binaria (2)
Pertanto per rappresentare un numero x tale che x 2n-1 e x > 2n-1-1 occorrono n bit.
Esempio: 3=22-1 < 5 < 7=23-1: 5 si rappresenta su 3 bit (infatti 510 = 1012).
Ora:2n-1-1 < x 2n-12n-1 < x+1 2n
n-1 < log2(x+1) n
20© Piero Demichelis
Numero di bit dellarappresentazione binaria (3)
n = log2 (x+1)
k = intero superiore o uguale a k
In generale, per una base r:
n = logr (x+1)
21© Piero Demichelis
Numero di bit dellarappresentazione binaria (4)
Dato N, il rapporto tra cifre decimali e bit occorrenti per rappresentarlo:
D / B = log10(N+1) / log2(N+1)
non è costante al variare di N.
Si può però osservare che: 210 = 1024 1000 = 103 10 bit ogni 3 cifre
decimali.
Questo rapporto si mantiene per un largo intervallo di valori.
22© Piero Demichelis
Numero di bit dellarappresentazione binaria (5)
210 = 1024 103 → Kilo
220 = 1.048.576 106 → Mega
230 = 1.073.741.824 109 → Giga
23© Piero Demichelis
Conversione da decimale a binario
• Dato un numero frazionario:
N = a-1 2-1 + a-2 2-2 + ...... + a-m 2-m
• moltiplicando N per la base 2, si ricava come parte intera la cifra a-1, cioè la prima cifra binaria.
• Eliminata questa parte intera, moltiplicando quanto resta ancora per 2, si ricava come parte intera a-2, ecc.
• Le parti intere, scritte nel medesimo ordine con cui sono state ricavate, rappresentano il numero frazionario binario cercato.
24© Piero Demichelis
Esempio
• Regola: si moltiplica per due la parte frazionaria e si prende la cifra intera prodotta dal risultato proseguendo fino alla precisione richiesta.
Esempio: 0.34 x 2
0.68 x 0.3410 = 0.01012
2 1.36 x 2 0.72 x 2
1.44 ecc. 13.3410 = 1101.01012
25© Piero Demichelis
Per convertire un numero con parte intera e parte frazionaria, si convertono separatamente le due parti e poi si giustappongono.
Esempio: 25.812510 = (?)2
2510 = 110012 (metodo delle divisioni successive)
0.812510 = 0.11012 (metodo dei prodotti successivi)
25.812510 = (11001.1101)2
26© Piero Demichelis
Conversioni tra sistemi in base qualsiasi
• E’ ovvio che le regole di conversione decimale-binario sono del tutto generali e valgono qualsiasi siano i sistemi numerici coinvolti.
• Ad esempio per convertire il numero decimale 365 in base 7 si divide per 7:
365 52 7 1 0 1 3 0 1
36510 = 10317
27© Piero Demichelis
Operazioni aritmetiche
• Le operazioni aritmetiche in un qualsiasi sistema numerico si possono eseguire nello stesso identico modo che conosciamo così bene per il sistema numerico decimale.
• L’avvertenza è solo quella di costruire la “tabellina” opportuna per quel particolare sistema numerico: si ricordi che la tabellina per il sistema numerico decimale ce la siamo studiata a memoria sin dall’infanzia!!!!
• Il nostro interesse è però particolarmente concentrato sul sistema numerico binario e sono proprio le operazioni aritmetiche in binario che affronteremo ora.
28© Piero Demichelis
Somma in binario
• Regole base:0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 0 con riporto (carry) di 1
• Si effettuano le somme parziali tra i bit dello stesso peso, propagando gli eventuali riporti:
1 10 1 1 0 + 6 +
0 1 1 1 = 7 =1 1 0 1 13
29© Piero Demichelis
Somma completa
• La somma completa (full addition) tiene conto del riporto per cui si sommano due bit ed un carry ottenendo come risultato un bit di somma e un bit di riporto
A B Carry S Rip
0 0 0 0 0
0 1 0 1 0
1 0 0 1 0
1 1 0 0 1
0 0 1 1 0
0 1 1 0 1
1 0 1 0 1
1 1 1 1 1
30© Piero Demichelis
Sottrazione in binario
• Regole base:0 – 0 = 00 – 1 = 1 con prestito (borrow) di 1 1 – 0 = 11 – 1 = 0
• Si eseguono le sottrazioni bit a bit tenendo conto dei prestiti:
11 1 0 0 - 12 -
1 0 1 0 = 10 =0 0 1 0 2
31© Piero Demichelis
Sottrazione completa
• Analogamente alla somma, è possibile definire la sottrazione completa (sottrazione tra due bit ed un borrow )
A B Borrow
SPrest
0 0 0 0 0
0 1 0 1 1
1 0 0 1 0
1 1 0 0 0
0 0 1 1 1
0 1 1 0 1
1 0 1 0 0
1 1 1 1 1
32© Piero Demichelis
Moltiplicazione in binario
• Il prodotto tra due numeri binari si può calcolare con la tecnica già nota per i numeri in base 10, detta della somma e scorrimento.
Esempio: 1 0 1 1 x 11 x 1 0 1 = 5 = 1 0 1 1 55 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1
• Nella pratica si usano accorgimenti particolari basati sull’operazione di scorrimento (shift ).
33© Piero Demichelis
Divisione in binario
• Come per le altre operazioni applichiamo le stesse regole che usiamo col sistema decimale:
Esempio:1 0 1 0 1 1 10 0 0 1 1 1 21 / 3 = 71 0 10 1 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1 0 0
34© Piero Demichelis
L’operazione di shift
• Equivale ad una moltiplicazione o divisione per la base.
• Consiste nel “far scorrere ” i bit (a sinistra o a destra) inserendo opportuni valori nei posti lasciati liberi.
• In decimale equivale a moltiplicare (shift a sinistra) o dividere (shift a destra) per 10.
• In binario equivale a moltiplicare (shift a sinistra) o dividere (shift a destra) per 2.
35© Piero Demichelis
Shift a sinistra
• Si inserisce come LSB un bit a zero
• Equivale ad una moltiplicazione per due
0011 « 1 = 0110 ( 3 2 = 6 )0011 « 2 = 1100 ( 3 22 = 12 )0011 « 3 = 11000 ( 3 23 = 24 )
0 0 1 1
0 1 1 0
« 1 (shift a sinistra di 1 posizione)
0
36© Piero Demichelis
Shift a destra
• Si inserisce come MSB un bit a zero
• Equivale ad una divisione per due
0110 » 1 = 0011 ( 6 : 2 = 3 )0110 » 2 = 0001 ( 6 : 4 = 1 ) troncamento!
0 1 1 0
0 1 1 0
» 1 (shift a destra di 1 posizione)
0
37© Piero Demichelis
Moltiplicazioni
• Una qualsiasi moltiplicazione tra due numeri può essere trasformata in una serie di shift e di somme, operazioni che vengono eseguite molto velocemente dai microprocessori.
• Ad esempio il prodotto 14 x 13 diventa:14 · 13 = 14 · (8 + 4 + 1) = 14 · 8 + 14 · 4 + 14 · 11410 = 11102 1 1 1 1
1110000 +1110 « 3 + 1110 « 2 + 1110 111000 +
1110 = 10110110
38© Piero Demichelis
Limiti della rappresentazione
• Quando scriviamo sulla carta non ci preoccupiamo quasi mai della grandezza dei numeri (a meno di particolari necessità).
• Nelle macchine numeriche un numero deve essere rappresentato in un particolare dispositivo elettronico interno che si chiama registro ed è paragonabile ad una cella di memoria.
• Caratteristica fondamentale di questo dispositivo è la sua dimensione (numero di bit) stabilita in sede di progetto: ovvero in un elaboratore potremo rappresentare solo una quantità limitata di numeri.
39© Piero Demichelis
Limiti della rappresentazione
• Ad esempio se il nostro contenitore (registro) è lungo 5 bit:
potremo rappresentare solamente i numeri binari compresi tra 0
0 0 0 0 0 e 31 1 1 1 1 1
• Inoltre dovremo in qualche modo introdurre il segno dei numeri!
40© Piero Demichelis
I numeri con segno
• Oltre al problema relativo al valore del numero bisogna trovare il modo di rappresentare il segno.
• Il segno dei numeri può essere solo di due tipi:positivo ( + )negativo ( - )
• Sembrerebbe quindi facile rappresentarlo in binario, tuttavia la soluzione più semplice (1 bit riservato al segno) non è sempre conveniente.
• Per tener conto del segno anziché il sistema numerico binario si utilizzano dei codici binari che hanno tuttavia come base, ovviamente, il sistema numerico binario.
41© Piero Demichelis
Modulo e segno
• Su N bit, un bit è destinato al segno (in binario 0 = +,1 = -) e N-1 bit al valore assoluto (anche detto modulo)
S modulo
• E’ un codice che ricorda molto il nostro modo di rappresentare i numeri sulla carta.
• Presenta però gravi svantaggi dovuti alla doppia rappresentazione dello zero (esistono e sono leciti infatti sia + 0, che - 0) e alla complessità delle operazioni aritmetiche.
42© Piero Demichelis
Modulo e segno
• Esempi - usando una codifica su quattro bit: + 310 0011MS
310 1011MS
• Si ha una doppia rappresentazione dello zero: 0000MS + 010
1000MS 010
• In generale su N bit sono rappresentabili i valori:
- ( 2N-1 - 1 ) x + ( 2N-1 - 1 )
8 bit => [ -127 ÷ +127 ]16 bit => [ -32.767 ÷ +32.767 ]
43© Piero Demichelis
Complemento a 1
• Considerando numeri binari di n bit, si definisce complemento a uno di un numero A la quantità:
A = 2n - 1 – A
• Viene anche detto semplicemente complemento.
• Regola pratica:il complemento a uno di un numero binario A si ottiene
cambiando il valore di tutti i suoi bit (complementando ogni bit)
Esempio:
A = 1011 A 0100
44© Piero Demichelis
Complemento a 2
• Considerando numeri binari di n bit, si definisce complemento a due di un numero A la quantità:
A = 2n – A
Regola pratica:il complemento a due di un numero binario A si ottiene
sommando uno al suo complemento (a uno)
Esempio:
A = 1011 A = 0100 A0101
45© Piero Demichelis
Complemento a 2
• E’ usato per rappresentare numeri relativi:
( A 0 ) 0 A2 (= AMS)
( A < 0 ) complemento a 2 di A
• In questo modo l’MSB indica il segno: 0 = +, 1 = -
• Regola alternativa per la determimazione del complemento a due: si parte da destra, si lasciano inalterati tutti gli zeri fino al primo uno che si lascia inalterato, si complementano tutti gli altri bit
• Esempio:A = 001101001000; A = 110010111000
46© Piero Demichelis
Complemento a 2
• Esempio - usando una codifica su 4 bit:
+ 310 0 ( 32 ) 0011CA2
- 310 - 0011 1100 + 1 1101CA2
• In generale su N bit sono rappresentabili i valori:
- ( 2N-1 ) x + ( 2N-1 - 1 )
8 bit => [ -128 ÷ +127 ]16 bit => [ -32.768 ÷ +32.767 ]
47© Piero Demichelis
Somma e sottrazione in complemento a 2
• La somma si effettua direttamente, senza badare ai segni degli operandi, come fossero due normali numeri binari.
• La sottrazione si effettua sommando al minuendo il complemento a 2 del sottraendo:
A – B A + (- B) ovvero: A + B
• Esempio: 0 1 0 1 0 + 10 + 1 0 1 0 0 = - 12 = 1 1 1 1 0 - 2
48© Piero Demichelis
Overflow
• Si usa il termine overflow per indicare l’errore che si verifica in un sistema di calcolo automatico quando il risultato di un’operazione non è rappresentabile con la medesima codifica e numero di bit degli operandi.
• Nella somma in binario puro si ha overflow quando si opera con un numero fisso di bit e si genera un riporto (carry) sul bit più significativo (MSB, quello più a sinistra).
Esempio: somma tra numeri di 4 bit in binario puro
0 1 0 1 +1 1 1 0 =
overflow! 1 0 0 1 1
49© Piero Demichelis
Overflow in complemento a 2
1. Operandi con segno discorde: non si può mai verificare overflow!!!!!
2. Operandi con segno concorde: c’è overflow quando il risultato ha segno discorde da
quello dei due operandi
3. In ogni caso, si trascura sempre il carry (riporto) oltre il MSB
Esempi:0 1 0 1 + 1 1 1 0 +0 1 0 0 = 1 1 0 1 =1 0 0 1 1 1 0 1 1 = overflow! carry, risultato OK
50© Piero Demichelis
Fixed-point
• Si usa un numero fisso di bit per la parte intera e per quella frazionaria (e non si rappresenta la virgola!)
• Ad esempio (4 + 4 bit, binario puro):
15.9375 = 111111110.0625 = 00000001
virgola sottintesa
51© Piero Demichelis
Fixed-point
• Vantaggi: gli operandi sono allineati per cui le operazioni aritmetiche
risultano facili ed immediate; la precisione assoluta è fissa
• Svantaggi: l’intervallo di valori rappresentati è assai modesto la precisione dei numeri frazionari rappresentati molto
scarsa
• Utilizzo tipico: DSP (Digital Signal Processor) Sistemi digitali per applicazioni specifiche (special-purpose) Numeri interi nei calcolatori
52© Piero Demichelis
Rappresentazione di numeri interi
• A causa dell’estrema semplicità che presentano le operazioni aritmetiche in complemento a 2, in tutte le macchine numeriche i numeri interi vengono rappresentati in questo codice.
• Il numero di bit utilizzati dipende dalla macchina: si tratta generalmente di 16 bit (interi corti) o 32 bit (interi lunghi).
• La rappresentazione è nota col nome di fixed-point e il punto frazionario è supposto all’estrema destra della sequenza di bit (parte frazionaria nulla).
53© Piero Demichelis
Rappresentazione di numeri reali
• Le rappresentazioni fin qui considerate hanno il pregio di rappresentare esattamente i numeri (almeno quelli interi) ma richiedono un numero di bit esorbitante quando il numero da rappresentare ha valore elevato.
• La rappresentazione dei numeri frazionari che deriva dai codici precedenti, ovvero in fixed point, a causa delle forti approssimazioni che impone è usata raramente.
• Generalmente viene utilizzato un apposito codice noto come floating point che consente di rappresentare in un numero limitato di bit grandezze di qualsiasi valore anche se condizionate da approssimazioni più o meno elevate.
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 54 A. Valenzano - 1996-2002
Rappresentazione di numeri in floating point
Realizza un compromesso tra l'intervallo dei valori rappresentati e la precisione della rappresentazione.Utilizza una notazione del tipo mantissa + esponente dove il numero di bit dedicati
• alla mantissa influisce sulla precisione
• all' esponente influisce sull' ampiezza dell'inter-vallo di valori rappresentabili
55Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 55 A. Valenzano - 1996-2002
La notazione scientifica
• Numeri in virgola fissa su 6 cifre decimali. Intervallo esprimibile:
0 999999 ( 106)• Numeri in notazione scientifica su 6
cifre. Forma:X.YYY10WW
• Dove la parte intera X esprime la quantità, il numero di cifre della parte frazionaria YYY la precisione, l’esponente WW l’ordine di grandezza.
56Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 56 A. Valenzano - 1996-2002
La notazione scientifica (2)
• Intervallo di valori espressi:
0 (0.000100) 10100 (9.9991099)
• Con 6 cifre, si rappresentano sempre 106 numeri differenti, ma
– Nella rappresentazione in virgola fissa, sono equispaziati
– Nella rappresentazione in virgola mobile, non sono distribuiti uniformemente: vicino allo zero, i numeri differiscono di 10-3; vicino al valore massimo, differiscono di 10-31099= 1096.
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 57 A. Valenzano - 1996-2002
Standard IEEE P754
Definisce i formati per la rappresentazione dei numeri in virgola mobile ma anche:
• le conversioni tra formati floating point differenti;
• le conversioni tra numeri f. p. ed interi o numeri rappresentati in codice BCD;
• i risultati delle operazioni aritmetiche;
• i metodi di trattamento di situazioni di eccezione (es. divisione per zero, errori di overflow, under-flow etc.).
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 58 A. Valenzano - 1996-2002
Single basic format P754 (32 bit)I numeri sono pensati nella forma
normalizzata:
X = (-1)s(1.m)2e
dove:
• s è il bit di segno;
• e è l'esponente rappresentato in codice eccesso 127 (cioè esponente vero + 127) su 8 bit ( -126 e 127);
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 59 A. Valenzano - 1996-2002
Single basic format P754 (32 bit)• m è la mantissa rappresentata in forma
normalizzata su 23 bit in modo che il primo bit abbia peso 2-1;(il bit 20 sempre uguale a 1 non viene rappresentato ed è detto hidden bit)
Esempio:
13.2510
va trasformato nella forma normalizzata:
+1101.012 = +1.10101223
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 60 A. Valenzano - 1996-2002
Struttura della rappresentazione single
basic format
s e m
11.7510 = 1011.112 = 1.01111*23 s = 0e = 10000010m = 01111....
Esempio: rappresentare 11.7510 in P754 s.b.f.
0 10000010 01111000000000000000000
Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 61 A. Valenzano - 1996-2002
Caratteristiche della rappresentazione P754 su 32
bitRange della rappresentazione: si considerano i valori assoluti dei numeri normalizzati rappresentabili:
Nmax = 1.111... ·2127 = 3.4 · 1038
Nmin = 1.000... ·2-126 = 1.17 · 10-38
Precisione della rappresentazione: due valori rappresentabili e consecutivi differiscono per 2e-23
dove “e” è l’esponente vero (non in codice eccesso 127)
Numero massimo di valori rappresentabili: 232
62Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 62 A. Valenzano - 1996-2002
Distribuzione dei numeri in f.p.
1 2 4 8-1-2- 4- 8
1.0..* 201.0..* 2
11.0..* 2
21.0..* 2
3
223
numeri 223
numeri
63Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 63 A. Valenzano - 1996-2002
Interpretazione di un numero f.p.
Sia s il bit del segno, e l’esponente, f la parte frazionaria.
• Se e = 0 ed f = 0, il valore è (-1)s0, cioè +0 oppure -0
• Se e = 0 ed f 0, è una forma denormalizzata (esempio: si possono rappresentare gli interi su 23 bit, ecc.)
64Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 64 A. Valenzano - 1996-2002
Interpretazione di un numero f.p. (2)
• Se 0 < e < 255, è una forma normalizzata e il valore è
(-1)s(1.f)2(e-127)
• Se e = 255 ed f 0, si rappresenta
(-1)s()
cioè un numero infinitamente grande o infinitamente piccolo
65Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 65 A. Valenzano - 1996-2002
Interpretazione di un numero f.p. (3)
• Se e = 255 ed f = 0, non si tratta di un numero valido (not a number, NAN): permette di codificare condizioni particolari, quali operazione non valida, overflow, ecc.
66Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 66 A. Valenzano - 1996-2002
Operazioni in f.p.
Gli operandi sono da riportare nella forma:
1.xxxxx…x2a
1.yyyyy…y2b
dove a e b sono gli esponenti eccesso 127
SOMMA – SOTTRAZIONESi eseguono le operazioni con gli algoritmi del modulo e segno.
67Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 67 A. Valenzano - 1996-2002
Operazioni in f.p. (2)
Si devono allineare i numeri rispetto al punto decimale, riportandoli allo stesso esponente. Si fa scorrere a destra il valore minore (in modulo) di un numero di posizioni pari alla differenza degli esponenti.La differenza degli esponenti si può fare direttamente sui valori eccesso 127: (a’+127)-(b’+127) = a’-b’.L’esponente del risultato è quello del modulo maggiore.Potrebbe essere richiesta una ri-normalizzazione del risultato.
68Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 68 A. Valenzano - 1996-2002
Operazioni in f.p. (3)
PRODOTTOSi sommano gli esponenti normalizzati e si sottrae 127: (a’+127) + (b’+127) =(a’+b’+127)+127.Si moltiplicano le mantisse di 24 bit, ottenendo il prodotto su 48 bit: il risultato deve essere troncato ai 24 bit più significativi (precisione di 2-23).Può essere richiesta una ri-normalizzazione: 1.x… 1.y… < 1002 = 4
69Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 69 A. Valenzano - 1996-2002
Operazioni in f.p. (4)
DIVISIONESi sottraggono gli esponenti normalizzati e si somma 127: (a’+127) - (b’+127) = (a’-b’).Il dividendo, di 24 bit, si estende a 48 bit, inserendo zeri a destra, e si divide per il divisore, di 24 bit: il risultato, di 24 bit, ha la precisione di 2-23.Può essere richiesta una ri-normalizzazione.
70Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 70 A. Valenzano - 1996-2002
Osservazioni sul f.p.
I risultati delle operazioni in f.p. possono dipendere dall’ordine di esecuzione.
Esempio
1016 + 2 - 1016
e
1016 - 1016 + 2
danno risultati diversi.
71Elementi di Informatica - Aritmetica del calcolatore 71 A. Valenzano - 1996-2002
Osservazioni sul f.p. (2)
In generale, in f.p. vale
a + b = a
se
a / b > 224 16106
Esempio:
non ha senso incrementare di uno un valore positivo a se a è molto maggiore di 1.
624 10162 b
a 624 10162 b
a 624 10162 b
a 624 10162 b
a 624 10162 b
a 624 10162 b
a 624 10162 b
a 624 10162 b
a 624 10162 b
a 624 10162 b
a 624 10162 b
a 624 10162 b
a
72© Piero Demichelis
Floating-point
• E’ basata sul formato esponenziale (notazione scientifica)
N = mantissa base esponente
Ricorda le notazioni:
standard 3.5 × 104 3.5E+4scientifico 0.35 × 105 0.35E+5
• Nei sistemi di elaborazione Base = 2 Mantissa ed esponente sono rappresentati in binario
73© Piero Demichelis
Floating-point
• Vantaggi: grande intervallo di valori rappresentabili errore relativo fisso
• Svantaggi: operandi non allineati per cui le operazioni aritmetiche
risultano molto complesse errore assoluto variabile e dipendente dal valore del
numero
• E’ la rappresentazione utilizzata da tutti i calcolatori elettronici per rappresentare i numeri frazionari ed è stata standardizzata dall’IEEE.
74© Piero Demichelis
Formato IEEE-P754
• Standard IEEE per il floating-point: Rappresentazione binaria di
mantissaesponente segno
• Singola precisione: 32 bit (float)
• Doppia precisione: 64 bit (double)
23 bit8 bit
esponentesegno mantissa
1 bit
52 bit11 bit
esponentesegno mantissa
1 bit
precisione: circa 7 cifre decimali
precisione: circa 17 cifre decimali
75© Piero Demichelis
Overflow e Underflow
• A causa della precisione variabile è possibile avere errori di rappresentazione: numeri troppo grandi: overflow numeri troppo piccoli: underflow
Esempio: IEEE P754
0-1038 -10-38 10-38 1038
overflow
underflow
76© Piero Demichelis
Rappresentazioni di dati non numerici
• Qualunque insieme finito di oggetti può essere codificato tramite valori numerici associando ad ogni oggetto un codice (ad esempio un numero intero).
• Nel sistema numerico binario per rappresentare K oggetti distinti occorre un numero minimo di bit pari a:
N = log2 K
77© Piero Demichelis
Caratteri
• E’ sicuramente il tipo di informazione più scambiata: occorre pertanto una codifica standard.
la più usata fa riferimento al codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange)
in passato era molto diffuso il codice EBCDIC (Extended BCD Interchange Code)
codice UNICODE
78© Piero Demichelis
Codice ASCII
• E’ usato anche nelle telecomunicazioni.
• Usa 8 bit per rappresentare: i 52 caratteri alfabetici (a ÷ z , A ÷ Z) le 10 cifre (0 ÷ 9) i segni di interpunzione (,;:!?&%=+-/ ecc.) un gruppo di caratteri di controllo tra cui:
CR ( 13 ) Carriage ReturnLF,NL ( 10 ) New Line, Line FeedFF,NP ( 12 ) New Page, Form FeedHT ( 9 ) Horizontal TabVT ( 11 ) Vertical Tab
NUL ( 0 ) NullBEL ( 7 ) BellEOT ( 4 ) End-Of-Transmission
79© Piero Demichelis
Codice ASCII
• Ad esempio per rappresentare il messaggio “Auguri a tutti!” è necessaria la seguente sequenza:
01000001 A 00100000 spazio01110101 u 01110100 t01100111 g 01110101 u01110101 u 01110100 t01110010 r 01110100 t01101001 i 01101001 i00100000 spazio 00100001 !01100001 a
Fine Rappresentazione dei dati