UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

DAVID CROSELLI

GIBANJE POD VPLIVOM MOCNEGA UPORA

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2014

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETADVOPREDMETNI UCITELJ: MATEMATIKA IN FIZIKA

DAVID CROSELLI

Mentor: DR. BOJAN GOLLI, IZR. PROF.

GIBANJE POD VPLIVOM MOCNEGA UPORA

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2014

Zahvaljujem se mentorju dr. Bojanu Golli, ki je s strokovno pomocjo innasveti prispeval k nastanku diplomskega dela.Posebna zahvala gre tudi mojim starsem za podporo in moralno spodbujanjev studijskem obdobju.

D. Croselli i

Povzetek

V diplomskem delu je predstavljena analiza videoposnetkov prostega padain vodoravnega meta s pomocjo hitre kamere in programske opreme Tracker,s katero lahko preverjamo fizikalne zakone. Teoreticno je obdelan kvadratnizakon upora, ki ga izpeljemo iz zastojnega tlaka. Teoreticno dolocim, kako selega in hitrost telesa casovno spreminjata, ko je le-to pri gibanju podvrzenosili upora. Pri prakticnem delu je prikazana analiza posnetkov prostega padain vodoravnega meta, kjer sta opazovani telesi krogla in balon, ki se gibljetav vodi oz. skozi zrak. Tako preverim, ali velja kvadratni zakon upora tudiza predmete, ki so v primerjavi z medijem lahki. V programskem jeziku For-tran zapisem racunalniski program, ki s pomocjo iteracije resi diferencialnoenacbo za dvodimenzijski problem vodoravnega meta.

Kljucne besede: posevni met, sila upora, prosti pad, Tracker

D. Croselli ii

Abstract

In the diploma thesis, the motion of free fall and the projectile motion havebeen recorded using a high-speed camera and analysed with the Tracker soft-ware, a suitable tool for checking physical laws. A theoretical description ofthe drag law, is given. The change in position and velocity of a projectile,subjected to a large drag force, are determined theoretically. In the prac-tical part, the analysis of the video clip of the free fall and the projectilemotion, where the object are a plastic sphere moving through water and aballoon moving trough air, are shown. With this experiment, I check whe-ther the drag law applies even to objects which are relatively light comparedto the medium through which they move. A computer program which sol-ves differential equations with iteration, written in the Fortran programminglanguage, is used for computing the two-dimensional projectile motion.

Key words: projectil motion, drag, free fall, Tracker

D. Croselli iii

Kazalo

1 Uvod 2

2 Sila upora 52.1 Bernoullijeva enacba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Zastojni tlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Kvadratni zakon upora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Izpeljava enacb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.1 Prosti pad z upostevanjem upora . . . . . . . . . . . . 92.4.2 Posevni met z upostevanjem upora . . . . . . . . . . . 12

3 Prakticni del 153.1 Program za numericno resevanje . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1 Programska koda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Posnetek prostega pada krogle v vodi . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Analiza posnetka s programom Tracker . . . . . . . . . 183.2.2 Primerjava s teoreticnimi rezultati . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Posnetek vodoravnega meta krogle v vodi . . . . . . . . . . . . 233.3.1 Analiza posnetka s programom Tracker . . . . . . . . . 233.3.2 Primerjava s teoreticnimi rezultati . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Posnetek prostega pada balona . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.1 Analiza posnetka s programom Tracker . . . . . . . . . 283.4.2 Primerjava s teoreticnimi rezultati . . . . . . . . . . . . 29

3.5 Posnetek posevnega meta balona . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5.1 Analiza posnetka s programom Tracker . . . . . . . . . 323.5.2 Primerjava s teoreticnimi rezultati . . . . . . . . . . . . 32

4 Zakljucek 37

Slike

1 Primerjava trajektorij kosarkarske zoge z upostevanjem in brezupostevanja zracnega upora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Trenutna slika tokovnic v toku okoli precno postavljene plosce. 63 Sile na kroglo v gravitacijskem polju pri prostem padu skozi

medij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Graf funkcije f(x) = ln(cosh(x)). . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Sile na kroglo v gravitacijskem polju pri posevnem metu skozi

medij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Programsko okno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Primerjava rezultatov za hitrost pridobljenih z analiticno in

numericno metodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Primerjava rezultatov za lego pridobljenih z analiticno in nu-

mericno metodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Postavitev poskusa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1810 Dolocanje koordinatnega sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . 1811 Obdelan posnetek prostega pada krogle v vodi. . . . . . . . . . 1912 Graf lege v odvisnosti od casa pri prostem padu krogle v vodi. 1913 Graf hitrosti vy v odvisnosti od casa pri prostem padu krogle

v vodi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014 Prilagajanje premice na izmerjene tocke za dolocanje koncne

hitrosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015 Graf lege v odvisnosti od casa s teoreticno krivuljo. . . . . . . 2116 Graf hitrosti v odvisnosti od casa s teoreticno krivuljo. . . . . 2217 Postavitev poskusa za vodoravni met. . . . . . . . . . . . . . . 2318 Obdelan posnetek vodoravnega meta kroglice v vodi. . . . . . 2319 Graf lege x v odvisnosti od casa pri posevnem metu krogle. . . 2420 Graf hitrosti vx v odvisnosti od casa pri posevnem metu krogle. 2421 Graf lege y v odvisnosti od casa pri posevnem metu krogle s

teoreticno krivuljo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2522 Graf hitrosti vy v odvisnosti od casa pri posevnem metu krogle

s teoreticno krivuljo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2523 Graf y(x) prikazuje trajektorijo, ki jo opise krogla pri posevnem

metu s teoreticno krivuljo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2624 Poskus z balonom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2725 Obdelan poskus prostega pada balona. . . . . . . . . . . . . . 2826 Graf lege y v odvisnosti od casa pri prostem padu balona. . . 2827 Graf lege y v odvisnosti od casa pri prostem padu balona. . . 2928 Graf hitrosti vy v odvisnosti od casa pri prostem padu balona. 3029 Posevni met balona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

30 Obdelan posnetek posevnega meta balona. . . . . . . . . . . . 3231 Graf lege x v odvisnosti od casa pri posevnem metu balona. . 3232 Graf hitrosti vx v odvisnosti od casa pri posevnem metu balona. 3333 Graf lege y v odvisnosti od casa pri posevnem metu balona. . 3534 Graf hitrosti vy v odvisnosti od casa pri posevnem metu balona. 3535 Graf y(x) opisuje teoreticno in prakticno trajektorijo, ki jo

opise balon pri posevnem metu. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1 UVOD

1 Uvod

Vsa telesa, ki se gibljejo skozi medij, so podvrzena doloceni sili upora, to jesila, ki nasprotuje gibanju, in navadnemu trenju, ki je odvisno le od smeri hi-trosti. Sila upora je odvisna od oblike telesa, ki se giblje skozi medij, gostotemedija, koeficienta upora in hitrosti, s katero se telo giblje. Ali gre za linearnoali kvadratno odvisnost hitrosti je odvisno od telesa samega. V diplomskinalogi bomo analizirali gibanje lahkega telesa pod vplivom mocne sile upora.Tudi tokovi v mediju, skozi katerega se giblje opazovano telo, nekoliko vpli-vajo na gibanje lahkega telesa, zato postane analiza gibanja tehnicno tezkoizvedljiva. Telesa ne opisujejo v naprej napovedane krivulje, temvec vcasihnakljucno spreminjajo smer gibanja. Za analizo gibanja uporabimo hitro ka-mero in posnetke analiziramo s pomocjo programa Tracker, ki lahko postanetudi uciteljev pripomocek v razredu za analizo enostavnih poskusov iz dina-mike, kot je npr. prosti pad. Tudi hitra kamera je seveda dober uciteljevpripomocek, ki ga, za dovolj pocasna gibanja, lahko nadomesti ze kamera nadobrem pametnem telefonu. Vecina pametnih telefonov, ki so danes v pro-daji na svetovnih trgih, premorejo resolucijo HD in zato imajo dovolj dobrolocljivost, da utegnejo biti posnetki primerni tudi za opazovanje trajektorijmajhnih objektov.Pri napovedovanju trajektorij telesa uporabimo diferencialno enacbo, ki joizpeljemo iz Newtonovih zakonov. Diferencialno enacbo resimo analiticno alipa z numericno metodo. Pri numericnem resevanju napisemo racunalniskiprogram, ki enacbo resi s pomocjo iteracije.

Poskus, ki je predstavljen in analiziran v diplomskem delu, je dokaj enostavenin razumljiv. Pri poskusu nas zanima predvsem, kaksna je trajektorija, ki joopise telo pri prostem padu in posevnem metu z upostevanjem sile upora.V soli lahko poskus opravimo s kosarkarsko zogo, ki jo spustimo v prostoru,in tako v razredu ucencem predstavimo prosti pad. Trajektorija, ki jo bozoga opisala je seveda enolicno dolocena in z lahkoto napovedljiva; ucencibodo brez velikih tezav napovedali, da opise zoga premico, ki je pravokotnaZemljini povrsini. Podobno lahko pokazemo tudi posevni met: zogo sunemov vodoravni smeri z doloceno zacetno hitrostjo, pri tem pa ucence spodbu-dimo, da napovejo trajektorijo, ki jo bo zoga opisala pri svojem gibanju.Tudi v tem primeru gre pricakovati, da bodo ucenci utegnili napovedati traj-ektorijo, ki jo bo zoga opisala pri posevnem metu, saj se s tovrstnim pojavomotroci srecajo tudi v prostem casu. Spomnimo se raznih sportov, ki predvide-vajo uporabo zoge, pri katerih je potrebno obvladovati metanje zoge in celonapovedovanje njene trajektorije (odbojka, kosarka, nogomet itd.). Ucenciimajo zato ze veliko izkusenj iz vsakdanjega zivljenja z opisovanjem trajek-

D. Croselli 2

1 UVOD

torij teles.

Pri zgoraj omenjenih poskusih in navedenih sportih je seveda pomembnopoudariti, da se zoga giblje skozi medij, ki je po gostoti mnogo manjsi odmateriala, iz katerega je sestavljena zoga. To pomeni, da je pri enaki pro-stornini zoga mnogo tezja od medija, v nasem primeru zraka.Pri posevnem metu kosarkarske zoge upor ne spremeni kvalitativno oblikekrivulje; na oko je to se vedno parabola (slika 1). Napaka pri dometu alinajvecji visini meri le nekaj procentov.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5 6

y[m]

x[m]

z uporom

♦

♦

♦

♦

♦♦

♦♦

♦ ♦ ♦ ♦ ♦♦♦♦♦

♦

♦

♦

♦

♦brez upora

Slika 1: Primerjava trajektorij kosarkarske zoge z upostevanjem in brezupostevanja zracnega upora.

Vprasanji, ki se pojavljata na tem mestu, sta kaj se zgodi, ce se zoga alikaksno drugo telo giblje skozi mnogo gostejsi medij in ali je mozno napovedatitrajektorijo takega gibanja. S tovrstnim primerom gibanja skozi gost medij,ucenci nimajo mnogo izkusenj; pri nobenem sportu ni kljucnega pomena, dase doloceno telo giblje skozi gost medij, kvecjemu obratno. Naj pomislimo navse sporte, kjer je najbolj pomembno zagotoviti gladke povrsine (skoraj breztrenja), ali pa celo cim bolj aerodinamicne oblike, ki drasticno zmanjsajovpliv upora; pomislimo na avtomobilizem, kjer avte gradijo tako, da imajocim bolj aerodinamicno obliko, kar zagotavlja tudi manjso porabo goriva.Ko obravnavamo upor v osnovni soli, je priporoceno opraviti enostaven po-skus s papirjem. Vzamemo lista formata A4, prvega pustimo taksnega kotje, drugega pa stisnemo v obliko krogle. S tem lista ne strzemo oz. spremi-njamo njegove zacetne mase. Ucence vprasamo kateri list bo prispel prvi dotal, nato pa lista razlicnih oblik spustimo. S takim poskusom lahko ucencempredstavimo na enostaven nacin vpliv oblike pri padanju telesa skozi zrak inprikazemo, kako v resnici medij mocno vpliva na gibanje lahkih teles.Obstajajo nevsakdanja gibanja, pri katerih ne smemo zanemariti upora, kipravzaprav igra kljucno vlogo. Primer takega gibanja je strel puscice, ki

D. Croselli 3

1 UVOD

jo ustrelimo v vodi s podvodno pusko. Kljub temu, da je puscica hidrodi-namicne oblike, je zaradi njene visoke hitrosti pri gibanju v vodi podvrzenamocni sili upora. Komercialne podvodne puske lahko v vodi ustrelijo puscicos hitrostjo, ki dosega 30 m/s. Trajektorija, ki jo opise puscica pri strelu, ni-kakor ne spominja na parabolo: v prvih treh do stirih metrih je trajektorijav vodoravni smeri dokaj ravna, nato pa se mocno ukrivi in se njena hitrostv x smeri drasticno zmanjsa, puscica zacne skoraj prosto padati.Ce hoce podvodni lovec zadeti ribo, mora znati presoditi na koliksni razdaljise riba nahaja in dobro poznati, kaksno trajektorijo bo puscica opisala.Na tem mestu se lahko vprasamo, ali lahko podvodni lovec teoreticno na-pove, kaksno trajektorijo opise puscica, ki jo s svojo pusko ustreli pod vodo,in tako zadene ribo, ne da bi svoje puske prej preizkusil.Vprasajmo se, kako natancno je mogoce napovedati trajektorijo telesa, ki segiblje skozi gost medij in je zato podvrzeno mocni sili upora.

V fizikalnem laboratoriju v soli smo s potrebscinami nekoliko omejeni. Ce bihoteli analizirati strel podvodne puske v vodi, bi morali uporabiti zelo dolgoposodo in zelo hitro kamero, ki posname vsaj 300 slik na sekundo, saj jegibanje puscice za navadno kamero, ki posname 30 ali 60 slik na sekundo, sekar prehitro. Poskus gibanja pod vplivom mocnega upora moramo prilago-diti na razmere, ki jih imamo v fizikalnem laboratoriju. Izvesti moramo takposkus, ki bo uporaben tudi pri poucevanju v osnovni soli in tudi v razreduenostavno izvedljiv.

Gibanje pod vplivom mocnega upora lahko predstavimo z posevnim metomzracnega balona, pri tem pa predpostavimo, da ima balon obliko krogle.Podobno se lahko vprasamo ali znamo napovedati trajektorijo, ki jo opisekrogla, ki jo z vzmetnim topom ustrelimo v vodi.V diplomski nalogi je predstavljena analiza prostega pada in posevnega metakrogle v vodi in balona v zraku z uporabo hitre kamere in programa Trackerter primerjava izmerjenih rezultatov s teoreticnimi.V teoreticnem delu je posebej obdelan kvadratni zakon upora, ki ga izpeljemoz zastojnim tlakom iz Bernoullijeve enacbe. Prikazana je izpeljava enacb izfizikalnih zakonov, ki povedo, kako se lega in hitrost telesa spreminjata prigibanju, ki ga zavira mocna sila upora.

D. Croselli 4

2 SILA UPORA

2 Sila upora

2.1 Bernoullijeva enacba

Bernoullijeva enacba opisuje stacionarni laminarni tok nestisljive in nevisko-zne tekocine vzdolz tokovnice. Enacbo je leta 1738 v svojem delu Hydro-dynamica prvi zapisal svicarski matematik in fizik Daniel Bernoulli. Enacbasledi iz zakona o ohranitvi energije ali integriranega izreka o ohranitvi gibalnekolicine, pri cemer upostevamo kontinuitetno enacbo.[1]Pricakovati smemo, da velja Bernoullijeva enacba

1

2ρv′2 + ρgz′ + p′ =

1

2ρv2 + ρgz + p, (1)

vsaj priblizno, ce je viskoznost kapljevine dovolj majhna. Tu je ρ gostotamedija, p tlak, v hitrost in z visina.Enacba (1) je izpeljana tako, da povezuje kolicine p′, v′, z′ in p, v, z v dvehtockah na isti tokovnici. Pogosto uporabimo to enacbo pri toku po cevi. Vtem primeru vstavimo za v in v′ srednji hitrosti v′s in vs v dveh presekih Sin S ′ cevi. Za p′ in p vstavimo povprecna tlaka v teh presekih in za z′ in zvisini tezisc obeh presekov.Bernoullijeva enacba velja cim bolje, tem manj se p′, S ′, z′ razlikujejo odustreznih kolicin p, S, z. Vedno se moramo zavedati, da je Bernoullijevaenacba le priblizna. Relativna razlika med pravo vrednostjo dolocene kolicinein rezultatom, ki ga dobimo z Bernoullijevo enacbo, je lahko 10% ali vec.[2]

Priblizno uporabna je za opis kapljevin, ce je njihova viskoznost dovolj majhna.Uporabiti jo smemo pri plinih, kadar je gostota plina priblizno konstantna.Velikokrat jo uporabimo tudi za opis turbulentnega toka, ki je v povprecjustacionaren.[3]

D. Croselli 5

2.2 Zastojni tlak

2.2 Zastojni tlak

V toku pred oviro tekocina zastaja. V tocki, kjer tekocina zastaja (zastojnatocka) in na zastojni tokovnici, je hitrost enaka nic. Razliko p′ − p medtlakom p′ in tlakom p v zastojni tocki imenujemo zastojni tlak

p− p′ = 1

2ρv′2, (2)

kjer je v′ hitrost tekocin v nemotene toku in v = 0 hitrost v zastojni tocki.S Prandtlovo cevjo1lahko dolocimo hitrost plinskega toka preko zastojnegatlaka. Iz zveze

p− p′ = ρ′gh =1

2ρv′2, (3)

sledi za hitrost v nemotenem toku

v′ = (2ρ′gh/ρ)12 . (4)

Enacba (3) ohranja svojo veljavnost, ce hitrost ni tako velika, da bi bilopotrebno upostevati spreminjanje gostote plina.[2]

2.3 Kvadratni zakon upora

Pri gibanju telesa skozi medij nas zanima predvsem sila tekocine na telo, kine miruje glede na tekocino. Precno na tok postavimo plosco s presekom Skot prikazuje slika 2.

A A’

B B’

C C’

turbolenca

Slika 2: Trenutna slika tokovnic v toku okoli precno postavljene plosce.

Pri racunanju upora izhajamo iz zastojnega tlaka, ceprav ga na obmocju zvrtinci ne moremo dobro dolociti. V zastojni tocki A je hitrost enaka nic inje tlak enak p. V tocki A’ nasproti nje, je hitrost zaradi vrtincev vecja kotv′ in tlak manjsi kot p′. V tocki B je hitrost vecja kot nic in je tlak manjsi

1Nemski fizik Ludwig Prandtl (1875 - 1953) je eden od ustanoviteljev moderne hidro-dinamike in aerodinamike.

D. Croselli 6

2.3 Kvadratni zakon upora

kot p. V tocki B’ nasproti nje pa je hitrost manjsa kot v tocki A’ in tlakvecji. V tocki C je hitrost se vecja in tlak manjsi kot v tocki B, a v tocki C’hitrost se manjsa in tlak se vecji kot v tocki B’. Razlika tlakov v tockah Ain A’ je vecja kot zastojni tlak, a je razlika na robu plosce nekoliko manjsa.Upor ocenimo s

(p′ − p)S =1

2ρv′2S, (5)

a ker gre le za povrsno oceno, v enacbo vpeljemo koeficientom cu, ki gaimenujemo koeficient upora. Koeficient upora dolocimo z merjenjem, ali paza izbrano opazovano telo pogledamo v tabelo (tabela 1).Tako dobimo kvadratni zakon upora

F =1

2cuρSv

2, (6)

kjer je v hitrost tekocine v nemotenem toku merjena glede na telo.[2]Vseeno je, ali se giblje tekocina in miruje telo, ali se giblje telo in mirujetekocina. Odlocilna je relativna hitrost. Koeficient upora cu je odvisen odoblike telesa in od njegove lege proti smeri relativne hitrosti. Za S vzamemonajvecji presek telesa.Upor je najmanjsi za telo s tako imenovano hidrodinamicno obliko, ki spo-minja na obliko nekaterih rib. Podobno obliko imajo tudi krila letal ali celonekateri sportni avtomobili.

telo cu

simetricno postavljena plosca 1,1krogla 0,47polkrogla 0,42kocka 1,05stozec 0,50valj 0,82telo s hidrodinamicno obliko 0,04

Tabela 1: Vrednosti cu za razlicna telesa.[4]

Sila, ki jo gibajoca se tekocina izvaja na telo, ima smer relativne hitrosti, ceima telo simetrijsko os v smeri te hitrosti, ce telo nima osi v navedeni legi pasila nima enake smeri. Zaradi tega je sila tekocine na plosco, ki je nagnjenaproti toku, priblizno pravokotna na plosco. V takem primeru razstavimo siloF na komponento v smeri relativne hitrosti Fux in na komponento v navpicnismeri Fuy , ki ji pravimo tudi dinamicni vzgon.Iz zakona o viskoznosti sklepamo, da deluje tekocina na gibajoce se telo s

D. Croselli 7

2.3 Kvadratni zakon upora

silo zaradi viskoznosti. V laminarnem toku okoli telesa je hitrost oddaljenihplasti enaka hitrosti v nemotenem toku, medtem ko plast ob telesu mirujeglede na telo. Strizna hitrost je razlicna od nic in z njo zvezana strizna sila natelo ima komponento v smeri relativne hitrosti. Upor dobimo, ko sestejemoprispevke komponente strizne sile v smeri toka po vsej povrsini telesa. Racunje zelo zapleten celo za kroglo in se moramo zadovoljiti z oceno. V zakonu oviskoznosti

F ′/S ′ = ηdvx/dz (7)

ocenimo S ′ kar s povrsino krogle 4πR2 in strizno hitrost kar z v/R. Takodobimo za upor oceno F = F ′ = 4πRηv. Z zapletenim racunom pa pridemodo Strokesove enacbe

F = 6πRηv. (8)

Za upor drugih teles velja podobna enacba

F = koeficient · lηv (9)

v kateri je koeficient odvisen od oblike in lege telesa in je l izbrana znacilnalinearna razseznost v celnem preseku telesa. To je linearni zakon, pri kateremnastopa hitrost v prvi potenci. Pri racunanju privzamemo da sta linearni inkvadratni zakon clena v potencni vrsti za upor v odvisnosti od relativnehitrosti. Ce potencno vrsto racunamo za kroglo dobimo

F = 6πRηv + 0, 47 · 1

2ρv2πR2. (10)

Pri majhni hitrosti prevlada prvi clen in obvelja linearni zakon, pri velikihitrosti prevlada drugi clen in obvelja kvadratni zakon. Izracunajmo razmerjemed drugim in prvim clenom: 0, 2ρv2·πR2/6πRηv = 0, 017·2Rρv/η. Stevilskikoeficient ni bistven, zato ga ne vkljucimo v definicijo Reynoldsovega stevila

Re = 2Rρv/η. (11)

Za kroglo velja z relativno natancnostjo nekaj odstotkov linearni zakon, ce jeReynoldsovo stevilo manjse kot 0, 5, in kvadratni zakon, ce je Reynoldsovostevilo vecje kot priblizno 103. V vmesnem obmocju si ne moremo pomagatiz nobenim od obeh zakonov, niti z njuno vsoto, ampak smo navezani nauporabo tabel.[2]

D. Croselli 8

2.4 Izpeljava enacb

2.4 Izpeljava enacb

2.4.1 Prosti pad z upostevanjem upora

Opisimo padanje telesa v gravitacijskem polju z upostevanjem upora, ki gapovzroca medij.

Fu

Fvzg

Fgvy

Slika 3: Sile na kroglo v gravitacijskem polju pri prostem padu skozi medij.

Za kroglo, ki pada skozi medij v gravitacijskem polju, zapisemo 2. Newtonovzakon

ma = Fg − Fvzg − Fu, (12)

kjer je m masa krogle, a njen pospesek, Fg gravitacijska sila, Fvzg sila vzgonain Fu sila upora.Kot smo povedali v poglavju 2.3, je na tem mestu potrebno izbrati ali gre zalinearni ali kvadratni zakon upora. Upostevati moramo enacbo (10). Izbirokvadratnega zakona upravici Reynoldsovo stevilo (11), ki ga izracunamo zakroglo, ki smo jo uporabili v laboratoriju pri izvajanju poskusov.Plasticna krogla z maso m = 9, 4 g in premerom 2r = 2, 55 cm se je gibalaz maksimalno hitrostjo vk ≈ 0, 25 m/s (izracunano pri prakticnem delu), vvodi z viskoznostjo η = 1 mPas.Iz znanih parametrov izracunamo Reynoldsovo stevilo za uporabljeno kroglo

Re = 2Rρv/η =0, 0255 m · 1000 kgm−3 · 0, 25 ms−1

0, 001 Pas= 6375,

kar je vecje od 103. Podobno izracunamo Reynoldsovo stevilo tudi za balon,z maso m = 8, 2 g in premerom 2r = 20 cm, ki smo ga uporabili pri poskusih,Re = 22343.

D. Croselli 9

2.4 Izpeljava enacb

Ob upostevanju kvadratnega zakona upora Fu = 12cuρSv

2 in upostevanju, daje sila teza Fg = mg in sila vzgona Fvzg = ρgV , dobimo

ma = mg − ρgV − 1

2cuρSv

2. (13)

Obravnavajmo prosti pad, pri katerem postavimo opazovano telo v srediscekoordinatnega sistema in gibanje spremljamo vzdolz osi y; pri tem predpo-stavimo tudi, da predmet neskoncno pada. Koordinatni sistem postavimotako, da kaze pozitivna smer ordinatne osi v enako smer, kot kaze smer hi-trosti krogle.Ker velja, da je pospesek diferencial hitrosti in casa lahko zapisemo ay =dvy/dt in vstavimo v enacbo (13)

mdvydt

= mg − ρgV − 1

2cuρSv

2y . (14)

Enacbo (14) lahko dodatno polepsamo tako, da vpeljemo koeficienta α =12mcuρS in β = g − ρgV/m, diferencial dvy/dt oznacimo z vy

vy = β − αv2y. (15)

Dobili smo diferencialno enacbo, ki jo lahko resimo z analiticno ali z nu-mericno metodo.Resevanja diferencialne enacbe (15) se lotimo tako, da enacbo pomnozimo zdt in delimo s celotnim izrazom na desni strani enacbe (15)

dvyβ − αv2y

= dt. (16)

Na tem mestu lahko integriramo v intervalu od 0 do casa t in od hitrosti 0do hitrosti vy. vk naj bo tista hitrost, ki jo telo doseze v ravnovesnem stanju,torej ko je vsota vseh sil enaka nic.∫ vy

0

dvyβ − αv2y

=

∫ t

0

dt (17)

Resitev integrala poiscemo v prirocniku in dobimo

tanh−1(√

αβvy)

√βα

= t, (18)

od tod izrazimo vy

vy(t) =

√β

αtanh(t

√αβ). (19)

D. Croselli 10

2.4 Izpeljava enacb

Oglejmo si limito izraza na desni strani enacbe (19), ko gre cas t proti ne-skoncnosti

limt→+∞

√β

αtanh(t

√αβ)) =

√β

α,

kar pomeni, da telo pri prostem padu skozi medij doseze prej ali slej koncno

hitrost vk =√

βα

. Koncno hitrost lahko dobimo tudi tako, da v enacbo (14)

ali (15) postavimo dvy/dt = 0, saj se hitrost s casom ne spreminja vec.Ker nas zanima tudi lega v odvisnosti od casa, enacbo (19) zapisemo

dy

dt=

√β

αtanh(t

√αβ), (20)

ki jo delimo z dt, integriramo in dobimo

y(t) =1

αln(cosh(t

√αβ)). (21)

Oglejmo si limito izraza na desni strani enacbe (21)

limt→+∞

1

αln(cosh(t

√αβ)) = +∞,

kar je v skladu z dejstvom, da opise telo pri prostem padu brez omejitev,neskoncno dolgo pot, kot kaze graf funkcije f(x) = ln(cosh(x)) na sliki 4.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 2

f(x)

x

Slika 4: Graf funkcije f(x) = ln(cosh(x)).

D. Croselli 11

2.4 Izpeljava enacb

2.4.2 Posevni met z upostevanjem upora

Opisimo vodoravni met krogle skozi medij.

Fu Fuy

Fvzg

Fux

Fgvy

vx

v

Slika 5: Sile na kroglo v gravitacijskem polju pri posevnem metu skozi medij.

Tokrat bomo koordinatni sistem postavili s standardno orientacijo v teziscekrogle. Krogla se premika hkrati v x smeri, hkrati v y smeri, kar pomeni,da kroglo pri gibanju zavira sila upora Fu, ki ima vodoravno komponentoFux in navpicno komponento Fuy , ki sta razlicni od nic. Sila upora ima smernegativne hitrosti ~v, zato je

~F =1

2cuρSv

2~v

v= −1

2cuρSv~v, (22)

s komponentama

Fux = −1

2cuρSvvx, (23)

Fuy = −1

2cuρSvvy, (24)

kjer je absolutna hitrost krogle

v =√v2x + v2y. (25)

Zapisimo 2. Newtonov zakon za obe smeri

max =∑

Fx = Fux (26)

may =∑

Fy = −Fg + Fvzg + Fuy (27)

D. Croselli 12

2.4 Izpeljava enacb

Dobimo dve sklopljeni diferencialni enacbi

mdvxdt

= −1

2cuρSvvx (28)

mdvydt

= −mg + ρgV − 1

2cuρSvvy, (29)

ki pa nista linearni, zato nista analiticno resljivi. Enacbi pa lahko vseenoresimo z numericno metodo.Numericna metoda predvideva uporabo racunalniskega programa, ki namomogoca hitro resevanje kompleksnih izracunov. V soli je najbolj razsirjenprogramski jezik Pascal, zato veliko zgledov zapisemo v tem jeziku. TurboPascal, ki ga najdemo na vecini osebnih racunalnikov, tudi omogoca eno-stavno delo z grafiko, kar nam bo se posebej prav pri pisanju demonstracij-skih programov. Fiziki sicer se vedno najbolj uporabljamo FORTRAN, kije najprimernejsi za pisanje velikih programskih paketov, kjer je odlocilnahitrost izvajanja in raba velikih polj.[5]Pisanje programa se lahko zelo hitro zakomplicira, zato je pomembno, dasmo pri sestavljanju cim bolj sistematicni in urejeni.Programska koda, ki jo napisemo v poljubnem programskem jeziku, nam neomogoca, da dobimo analiticno resitev diferencialne enacbe, torej neko funk-cijo x(t) ali v(t), pac pa za problem vodoravnega meta program izracunalego, hitrost in pospesek pri dolocenem casu. Oglejmo si, kako je programosnovan.Zapisimo diferencialni enacbi (28) in (29) v nekoliko poenostavljeni obliki

ax = − 1

2mcuρSvvx (30)

ay = −g + ρgV/m− 1

2mcuρSvvy. (31)

Komponenti pospeska ax in ay se stalno spreminjata, prav tako se spreminjatatudi komponenti hitrosti vx in vy. Za primerno kratek casovni interval ∆t,lahko privzamemo, da je pospesek konstanten. Ce poznamo koordinati x iny in komponenti hitrosti vx in vy pri dolocenem casu t, lahko izracunamo legoin hitrost v nekoliko poznejsem casu t+ ∆t, z uporabo enacb za konstantenpospesek.V casovnem intervalu ∆t, je v smeri x povprecna komponenta pospeska ax =∆vx/∆t in komponenta hitrosti v isti smeri vx pa se spremeni za ∆vx = ax∆t.Podobno se komponenta hitrosti vy spremeni za ∆vy = ay∆t. Na koncuintervala ∆t sta komponenti hitrosti v x in y smeri

vx + ∆vx = vx + ax∆t, (32)

D. Croselli 13

2.4 Izpeljava enacb

vy + ∆vy = vy + ay∆t. (33)

V casovnem intervalu ∆t se seveda spremeni tudi lega objekta, saj se jeta premaknil. Povprecna hitrost v x smeri, v casovnem intervalu ∆t, jepovprecje med vx in vx + ∆vx ali kar vx + ∆vx/2. V casovnem intervalu ∆tse x komponenta spremeni za

∆x = (vx + ∆vx/2)∆t = vx∆t+1

2ax(∆t)

2

in podobno se y komponenta spremeni za

∆y = (vy + ∆vy/2)∆t = vy∆t+1

2ay(∆t)

2,

kar pa je v skladu z enacbami gibanja s konstantnim pospeskom. Ob koncucasovnega intervala ∆t sta koordinati objekta

x+ ∆x = x+ vx∆t+1

2ax(∆t)

2 (34)

in

y + ∆y = y + vy∆t+1

2ay(∆t)

2. (35)

Na tem mestu je potrebno dolociti zacetne pogoje; dolociti moramo zacetnevrednosti x, y, vx in vy. Ce nas zanima prosti pad, bomo koordinatni sistempostavili v tezisce opazovanega telesa, torej bosta zacetni koordinati x0 = 0,y0 = 0 in zacetni hitrosti vx0 = 0, vy0 = 0.Z iteriranjem lahko izracunamo lego in hitrost na koncu vsakega casovnegaintervala z zacetnimi vrednostmi, in to storimo za veliko stevilo intervalov.ze za 100 intervalov postane racunanje z zepnim kalkulatorjem dolgo in zah-tevno, tu pa je kljucen racunalnik, ki racuna zelo hitro in seveda bolj precizno.[6]Uporabljena racunska shema postane uporabna le za manjse case, pri vecjihpa postane nestabilna. Uporabiti bi bilo potrebno simetricno metodo ali ka-tero drugo od bolj sofisticiranih shem, kot je metoda Runge Kutta 4. reda.Uporabljena metoda je sicer nazorna in ni problematicna za implementa-cijo zacetnih vrednosti, zato je primerna tudi za poucevanje v tehnicni aliracunalniski srednji soli.

D. Croselli 14

3 PRAKTICNI DEL

3 Prakticni del

Prakticni del diplomske naloge predvideva predvsem izvedbo poskusov inanalizo videoposnetkov s programom Tracker. V jeziku FORTRAN smo na-pisali program, s katerim lahko resimo diferencialno enacbo z numericno me-todo; teoreticne rezultate, ki jih pridobimo z analiticno in numericno metodo,primerjamo z rezultati, ki smo jih pridobili z eksperimentalno metodo.

3.1 Program za numericno resevanje

Za resevanje diferencialnih enacb (28) in (29) smo uporabili program, ki smoga napisali v programskem jeziku FORTRAN [7]. V programu je zapisanamasa m opazovanega objekta (pri nasih eksperimentih plasticna krogla inbalon), njegov koeficient upora cu, njegov precni presek S, njegov volumenV in zemeljski gravitacijski pospesek g. Ko se program zazene, moramonajprej vstaviti casovni interval ∆t. Pri izbiri casovnega intervala je potrebnopoiskati kompromis med dolzino intervala ∆t in stevilom iteracij. Krajsi kotje interval, bolj natancna je metoda, a postane nestabilna po dolocenemstevilu iteracij. Zato ne smemo intervala zmanjsevati v nedogled, ker grehkrati stevilo iteracij cez vse meje. Pri izbiri casovnega intervala moramobiti pazljivi, saj lahko program ”ponori”, zato je dobro, da program veckratzazenemo z razlicnimi casovnimi intervali in opazujemo, kaj se s programomdogaja.V programu vtipkamo tudi komponenti zacetne hitrosti vx in vy. Koordinatnisistem je ze dolocen v samem programu; sredisce koordinatnega sistema jeob casu t = 0 postavljeno v tezisce opazovanega objekta. Program izpiseizracunane podatke v doloceno datoteko .txt, ki jo uporabimo za risanjegrafov s programom Gnuplot. Program izpise cas t, lego x in y, komponentihitrosti vx in vy ter absolutno hitrost v.

Slika 6: Programsko okno.

D. Croselli 15

3.1 Program za numericno resevanje

3.1.1 Programska koda

Oglejmo si programsko kodo, ki smo jo zapisali v jeziku FORTRAN.

PROGRAM posevni_met !z upostevanjem upora

IMPLICIT NONE

REAL :: g=9.81,m=0.0094 ,C=0.47 , ro=1000 , S=0.00051 ,u=0.00000868 ,

v,vx ,vy,t,ax,ay,x,y,h,vk

INTEGER :: i

INTEGER , PARAMETER :: out_unit =20

WRITE (*,*) "Vstavi h" !casovni interval

READ (*,*)h

WRITE (*,*) "vstavi zacetno hitrost v x smeri" !zacetne hitrosti

READ (*,*)vx

WRITE (*,*) "vstavi zacetno hitrost v y smeri"

READ (*,*)vx

t=0 !zacetne vrednosti

x=0

y=0

OPEN (unit=out_unit ,file="rezultat5.txt",action="write",

status="replace")

DO i=0,200

v = sqrt(vx**2 + vy**2) !absolutna hitrost

ax= -(0.5*ro*C*S/m)*v*vx !komponenta pospeska v smeri x

ay=-g+ro*u*g/m -(0.5* ro*C*S/m)*v*vy !komponenta pospeska v smeri y

WRITE(out_unit ,’(6f10 .5)’) i*h,x,y,vx ,vy,v

vx=vx+ax*h !enacbe za hitrost in lego s konstntnim pospeskom

vy=vy+ay*h

x=x+vx*h+0.5*ax*h**2

y=y+vy*h+0.5*ay*h**2

t=t+h

END DO

CLOSE(out_unit)

END PROGRAM posevni_met

Na tem mestu se je potrebno vprasati, ali program pravilno deluje za nasepotrebe, oz. ali se podatki, pridobljeni s programom, dobro ujemajo z ana-liticno resitvijo. Primerjajmo analiticne rezultate z rezultati pridobljenimi znumericno metodo za prosti pad. Za prosti pad opise hitrost vy v odvisnostiod casa enacba (19).

D. Croselli 16

3.1 Program za numericno resevanje

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

vy[m/s]

t[s]

numericni rezultati♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦

♦analiticni rezultat

Slika 7: Primerjava rezultatov za hitrost pridobljenih z analiticno in nu-mericno metodo.

Tocke, pridobljene z numericno metodo, se dobro prilegajo teoreticni krivuljikljub temu, da smo pri numericni metodi vzeli dokaj velik casovni interval∆t = 0, 02 s, kar seveda nekoliko zmanjsa preciznost racunanja.V poglavju 2.4 smo izpeljali enacbo (21), ki opisuje lego krogle, ki prostopada v odvisnosti od casa. Oglejmo si, ali se tocke pridobljene z numericnometodo dobro prilegajo teoreticni krivulji.

-0.2

-0.18

-0.16

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y[m]

t[s]

numericni rezultati♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦

♦analiticni rezultat

Slika 8: Primerjava rezultatov za lego pridobljenih z analiticno in numericnometodo.

Tudi rezultati za lego v odvisnosti od casa, pridobljeni z numericno metodo,se dobro ujemajo s teoreticno krivuljo. Preverili smo, da so rezultati, pri-dobljeni s programom, v skladu s teorijo in torej dovolj zanesljivi v smislupreciznosti.

D. Croselli 17

3.2 Posnetek prostega pada krogle v vodi

3.2 Posnetek prostega pada krogle v vodi

V laboratoriju smo posneli prosti pad krogle v vodi. Za poskus smo uporabiliposodo, v katero smo natocili vodo. V posodo smo postavili mersko palico,ki smo jo vzeli za referenco. Prosti pad smo posneli s hitro kamero, ki smo jopostavili na oddaljeno mesto od posode, da smo se izognili napakam zaradiaberacije.

Slika 9: Postavitev poskusa.

Krogla je imela maso m = 9, 4 g in premer 2r = 2, 55 cm.

3.2.1 Analiza posnetka s programom Tracker

Za analizo posnetka smo uporabili program Tracker [8], ki omogoca enostavnodolocanje trajektorije krogle pri prostem padu in avtomaticno racunanje lege,hitrosti in pospeska.Kot prikazuje slika 10, je v programu najprej potrebno dolociti koordinatnisistem in referenco; tako programu povemo, koliko je v realnosti dolg delpalice na sliki oz. koliko pixlov na sliki odgovarja realni dolzini dela palice. Stem bo lahko program dolocal lego, hitrost in pospesek. Pomembno je torej,da smo pri kalibraciji cim bolj natancni in da ima posnetek dovolj dobroresolucijo.

Slika 10: Dolocanje koordinatnega sistema.

D. Croselli 18

3.2 Posnetek prostega pada krogle v vodi

Programu moramo tudi povedati, kateri objekt naj opazuje. To storimotako, da ustvarimo novo masno tocko in kliknemo na opazovani objekt. Kodolocimo vse potrebne parametre, sam program izrise graf poti v odvisnostiod casa. Poleg tega izracuna tudi hitrosti in pospeske, ki jih lahko ponazo-rimo na grafu v posebnem oknu za risanje grafov.Podatke lahko tudi prekopiramo in shranimo v drugem programu, kot je npr.Excel, in jih dodatno obdelamo.

Slika 11: Obdelan posnetek prostega pada krogle v vodi.

Podatke o legi in hitrosti v odvisnosti od casa smo prenesli v datoteko .txtin graf narisali s programom Gnuplot.Kot je razvidno na grafu y(t), ki je prikazan na sliki 12, je telo na zacetkupospesevalo, dokler ni doseglo koncne hitrosti vk, ki jo lahko izracunamo kotnaklon premice, ki jo narisemo skozi tocke od priblizno t1 = 1 s do t2 = 1, 8 s.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

y[m]

t[s]

♦♦♦♦♦♦♦♦

♦♦♦♦

♦♦♦♦

♦♦♦♦

♦♦♦♦

♦♦♦♦

♦♦♦♦

♦♦♦♦

♦♦♦♦

♦♦♦

Slika 12: Graf lege v odvisnosti od casa pri prostem padu krogle v vodi.

Ker opisujejo tocke v tem obmocju premico, sklepamo, da se je krogla odcasa t1 premikala s konstanto hitrostjo vk, kar pa pomeni, da je dosegla rav-novesno stanje, torej je bila po 1. Newtonovem zakonu vsota vseh sil enakanic.

D. Croselli 19

3.2 Posnetek prostega pada krogle v vodi

Oglejmo si graf hitrosti vy v odvisnosti od casa.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

vy[m/s]

t[s]

♦♦♦

♦

♦♦♦♦♦♦

♦♦

♦♦

♦♦♦♦♦

♦♦♦♦♦

♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦

♦♦♦

♦

♦

Slika 13: Graf hitrosti vy v odvisnosti od casa pri prostem padu krogle vvodi.

Tudi iz grafa vy(t), ki je prikazan na sliki 13, je razvidno, da po nekem casuτ doseze telo koncno hitrost. To sklepamo iz tega, ker so po tem casu vsetocke zbrane okoli dolocene vrednosti.Izracunajmo koncno hitrost krogle iz grafa y(t). Podatke zberemo v intervalut ∈ [1, 0 s; 1, 8 s].

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

y[m]

t[s]

♦♦

♦♦

♦♦

♦♦

♦♦

♦♦

♦♦

♦♦

♦♦

Slika 14: Prilagajanje premice na izmerjene tocke za dolocanje koncne hitro-sti.

S prilagajanjem premice na izbrane tocke dolocimo s programom Gnuplotnaklon premice k, ki odgovarja hitrosti vky .vky = (0, 250± 0, 001) m/s, z relativno napako r = 0, 004 = 0, 4%.

D. Croselli 20

3.2 Posnetek prostega pada krogle v vodi

3.2.2 Primerjava s teoreticnimi rezultati

V poglavju 2.4 smo izpeljali enacbi (19) in (21), ki opisujeta hitrost in legov odvisnosti od casa. Zanima nas, ali se izmerjene vrednosti ujemajo s teo-reticnimi rezultati in koliksno je odstopanje.V istem poglavju smo izpeljali, da je koncna hitrost pri prostem padu skozi

medij vky ,teor =√

βα

, z β = g − ρgVm

in α = 12mcuρS.

Za izmerjene vrednosti m = 9, 4 g in 2r = 2, 55 cm je teoreticna koncnahitrost

vky ,teor =

√g − ρgV

m12mcuρS

= 0, 242 m/s. (36)

Izracunajmo, koliksno je odstopanje od eksperimentalne vrednosti.

η = 100%|vky − vky ,teor|vky + vky ,teor

= 1, 6%

Odstopanje izmerjene vrednosti od teoreticne je zelo majhno.Oglejmo si, ali se izmerjene vrednosti ujemajo s teoreticnimi podatki.Izmerjene vrednosti lege v odvisnosti od casa primerjamo s teoreticno krivu-ljo, ki jo opisuje enacba (21) z znanimi podatki krogle.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

y[m]

t[s]

♦♦♦♦♦♦♦♦♦

♦♦♦♦

♦♦♦♦

♦♦♦♦♦

♦♦♦♦

♦♦♦♦

♦♦♦♦

♦♦♦♦

♦♦♦♦

♦

Slika 15: Graf lege v odvisnosti od casa s teoreticno krivuljo.

Izmerjene tocke se dobro prilegajo teoreticni krivulji.

D. Croselli 21

3.2 Posnetek prostega pada krogle v vodi

Oglejmo si, kako se graf hitrosti v odvisnosti od casa prilega teoreticni kri-vulji.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

vy[m/s]

t[s]

♦♦♦

♦

♦♦♦♦♦♦

♦♦

♦♦

♦♦♦♦♦

♦♦♦♦♦

♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦

♦♦♦

♦

♦

Slika 16: Graf hitrosti v odvisnosti od casa s teoreticno krivuljo.

Iz grafa je ocitno, da se po dolocenem casu τ izmerjene vrednosti hitrosti zbi-rajo okoli teoreticne vrednosti. Izmerjene tocke se v prvem delu grafa oz. odzacetnega casa t0 = 0 s do casa t1 ≈ 0, 4 s dobro prilegajo teoreticni krivulji;po casu t1 pride do odstopanja, ki se sicer po casu t2 ≈ 1 s nekoliko zmanjsa.Prileganje izmerjenih tock k teoreticni krivulji je sicer zadovoljivo; napakonaredimo predvsem pri dolocanju pozicije krogle na posnetku v programuTracker. Do napake pride zaradi tega, ker ne moremo zelo natancno dolocititezisca. Napaki se ne moremo izogniti, cetudi na kroglo narisemo tocko;krogla pri padanju pridobi dolocen spin in bi lahko bila tocka, v dolocenemtrenutku padca, nevidna.Poskus prostega pada v laboratoriju smo veckrat ponovili, saj trajektorijekrogle niso bile popolnoma ravne. Krogla je pri padanju nakljucno zavijalalevo ali desno. Ugotovili smo, da pridobi krogla pri padanju dolocen spin,zaradi katerega pride do ukrivljenja trajektorije. Spin povzrocajo predvsemmastni madezi na krogli, zato je potrebno kroglo ocistiti z alkoholom, da spinnekoliko zmanjsamo. Nenatancnost pri odcitavanju lege se pozna predvsempri dolocitvi hitrosti z numericnim odvajanjem. Pri dolocitvi iz strmine pre-mice skozi izmerjene lege, pa se napake zaporednih odcitkov izpovprecijo, inrezultat za hitrost je veliko bolj natancen.

D. Croselli 22

3.3 Posnetek vodoravnega meta krogle v vodi

3.3 Posnetek vodoravnega meta krogle v vodi

Nekoliko bolj zahtevna je izvedba vodoravnega meta krogle v vodi. Za poskussmo uporabili dolgo posodo, ki smo jo napolnili z vodo in opremili z metrskopalico, ki smo jo potrebovali za referenco, kot prikazuje slika 17. Na eno stranposode smo pritrdili vzmetni top ”Projectil luncher (short range)-PASCO”,s katerim smo lahko ustrelili kroglo. Trajektorijo krogle smo posneli s hitrokamero, ki je bila postavljena dalec od posode, da smo se izognili aberaciji.

Slika 17: Postavitev poskusa za vodoravni met.

3.3.1 Analiza posnetka s programom Tracker

Enak postopek, kot je opisan v poglavju 3.2.1, smo opravili tudi za vodoravnimet. Analiza s programom Tracker je tudi v tem primeru dokaj enostavna;sam program izracuna lego, hitrost in pospeske, izrise zelene grafe.

Slika 18: Obdelan posnetek vodoravnega meta kroglice v vodi.

Pri vodoravnem metu je bila tezava izmeriti izstopno hitrost krogle; tega ses programom Tracker ne da narediti.V tocki 0 ima krogla zacetno hitrost v0, v tocki 1 pa se giblje z neko hitrostjov, ki je od v0 razlicna. Da bi lahko izracunali zacetno hitrost v0, bi morali

D. Croselli 23

3.3 Posnetek vodoravnega meta krogle v vodi

pred trenutkom t = 0 dolociti lego krogle, ki je znotraj cevi se pospesevala.Tega pa seveda ne moremo narediti, saj se znotraj cevi ne da dolociti lege.Zaradi velike hitrosti in slabega posnetka, je lega v tocki 1 nekoliko nezane-sljiva. Koordinatni sistem smo premaknili v tocko 3, pri kateri program boljzanesljivo izracuna trenutno hitrost, saj je od te tocke naprej slika dovoljstabilna. V tocki 3 ima hitrost krogle komponento v smeri y, ki je ze nesmemo zanemariti, zato obravnavamo strel iz tocke 3 kot posevni met.

3.3.2 Primerjava s teoreticnimi rezultati

Oglejmo si, ali se rezultati pridobljeni z numericno metodo ujemajo z ekspe-rimentalnimi rezultati.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x[m]

t[s]

numericnieksperimentalni

◦

◦◦ ◦

◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦

◦

Slika 19: Graf lege x v odvisnosti od casa pri posevnem metu krogle.

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

vx[m/s]

t[s]

numericnieksperimentalni

◦

◦

◦◦ ◦

◦ ◦ ◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

◦

Slika 20: Graf hitrosti vx v odvisnosti od casa pri posevnem metu krogle.

Iz grafov na sliki 19 in na sliki 20 je ocitno, da se rezultati pridobljeni znumericno metodo ne ujemajo z eksperimentalnimi rezultati.Pri grafu x(t) lege v odvisnosti od casa je odstopanje zelo veliko; teoreticnakrivulja kaze, da opravi krogla mnogo vecjo pot kot v resnici.

D. Croselli 24

3.3 Posnetek vodoravnega meta krogle v vodi

Pri grafu vx(t) je odstopanje od teoreticnih vrednosti nekoliko manjse; rezul-tati se ujemajo okoli vodoravne asimptote.Oba grafa kazeta na dejstvo, da deluje v smeri x se druga sila, ki je v enacbahnismo upostevali; katera sila je to pa ne znamo dolociti, lahko le ugibamo,katera bi lahko bila.Oglejmo si, grafa lege y in hitrosti vy v odvisnosti od casa.

-0.2

-0.18

-0.16

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

y[m]

t[s]

numericnieksperimentalni

◦◦ ◦

◦◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

◦

Slika 21: Graf lege y v odvisnosti od casa pri posevnem metu krogle s teo-reticno krivuljo.

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

vy[m/s]

t[s]

numericnieksperimentalni

◦

◦

◦◦◦

◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦

◦◦ ◦ ◦

◦◦ ◦

◦

◦

Slika 22: Graf hitrosti vy v odvisnosti od casa pri posevnem metu krogle steoreticno krivuljo.

Grafa na slikah 21 in 22 kazeta, da je ujemanje eksperimentalnih in teo-reticnih rezultatov nekoliko boljse v primerjavi z rezultati lege in hitrosti zax smer. Odstopanje teoreticnih vrednosti od eksperimentalnih za hitrost v xsmeri nosi svoj vpliv tudi pri racunanju hitrosti v y smeri. Vzrok za odsto-panje prinasa v enacbah, ki jih uporabljamo pri numericni metodi, pospesekax, ki ga doloca 2. Newtonov zakon.

D. Croselli 25

3.3 Posnetek vodoravnega meta krogle v vodi

Kot smo razdelali v poglavju 2.4.2, moramo pri dvodimenzionalnem pro-blemu upostevati, da je hitrost v vektor, torej je v smeri osi x komponentasile upora Fux sorazmerna z vvx in v smeri osi y komponenta Fuy sorazmernaz −vvy, kjer je absolutna hitrost krogle

v =√v2x + v2y,

zato povzroci odstopanje vx nepreciznost tudi pri racunanju hitrosti v y smeri.Vplivu hitrosti vx na hitrost vy se ne moremo izogniti.Oglejmo si, kaksno trajektorijo opise krogla pri posevnem metu.

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

y[m]

x[m]

numericnieksperimentalni

◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦

◦

Slika 23: Graf y(x) prikazuje trajektorijo, ki jo opise krogla pri posevnemmetu s teoreticno krivuljo.

Odstopanje eksperimentalnih od teoreticnih vrednosti za hitrost in lego v xsmeri nosi svoj vpliv tudi pri racunanju trajektorije. Tudi iz grafa y(x) jeocitno, da deluje v smeri x se dodatna sila, ki je v enacbah nismo upostevali.

D. Croselli 26

3.4 Posnetek prostega pada balona

3.4 Posnetek prostega pada balona

Poskus, vsebinsko podoben poskusu, ki smo ga predstavili in analizirali vpoglavju 3.2, utegne biti prosti pad balona. Ta je seveda enostavno izve-dljiv in ga zato lahko pokazemo tudi pri pouku v soli. Prav tako kot prostipad krogle v vodi, prikazuje prosti pad balona v zraku gibanje pod vplivommocnega upora; tudi tu je opazovano telo lahko v primerjavi z medijem.Poskus izvedemo tako, da balon spustimo, pri tem iz oddaljenega mesta po-snamemo gibanje s hitro kamero, nato pa posnetek analiziramo s programomTracker. Pri poskusu z balonom nas zanima, ali bodo rezultati podobni re-zultatom poskusa s kroglo v vodi. Zanima nas, ali bo tudi pri tem poskusuprislo do velikih odstopanj eksperimentalnih rezultatov od teoreticnih, alipovzrocajo okoliscine takega poskusa podobne efekte kot pri poskusu vodo-ravnega meta krogle v vodi.Pri poskusu smo uporabili rdec balon, ki ga obravnavamo kot kroglo s pre-merom 2r = 20 cm in maso m′ = 3, 1 g.Masa balona, ki smo jo oznacili z m′, je tista masa, ki jo odcitamo iz elek-tronske tehtnice, torej je m′g rezultanta sile teze in sile vzgona, ki deluje natehtnico. Ker je v tem primeru prostornina balona dokaj velika, vzgona nesmemo zanemariti in moramo zato izracunati vztrajnostno maso m.Iz 1. Newtonovega zakona sledi

m′g = mg − ρgV,

od koder jem = m′ + ρV = 8, 2 g.

Slika 24: Poskus z balonom.

D. Croselli 27

3.4 Posnetek prostega pada balona

3.4.1 Analiza posnetka s programom Tracker

Tudi pri poskusu z balonom uporabimo za analizo posnetkov program Tracker.Rezultate izpisemo v datoteko .txt, ki jo uporabimo za risanje grafov s pro-gramom Gnuplot.

Slika 25: Obdelan poskus prostega pada balona.

Pri prostem padu balona nas zanima koncna hitrost. Oglejmo si graf poti yv odvisnosti od casa.

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y[m]

t[s]

◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

y = kx+ n

Slika 26: Graf lege y v odvisnosti od casa pri prostem padu balona.

Izmerjene tocke so na grafu y(t) oznacene s krogci, medtem ko prikazujeravna crta asimptoto.Kot je razvidno na grafu y(t), ki je prikazan na sliki 26, je telo na zacetkupospesevalo, dokler ni doseglo koncne hitrosti vk, ki jo lahko izracunamokot naklon premice, ki jo narisemo skozi tocke od priblizno t1 = 0, 45 s dot2 = 0, 95 s. S prilagajanjem premice na izbrane tocke v programu Gnuplot,dolocimo naklon premice k, ki odgovarja hitrosti vky .vky = (−1, 63± 0, 01) m/s, z relativno napako r = 0, 006 = 0, 6%.

D. Croselli 28

3.4 Posnetek prostega pada balona

Za izmerjene vrednosti mase in premera balona (m = 8, 2 g in 2r = 20 cm)je teoreticna koncna hitrost

vky ,teor = −

√g − ρgV

m12mcuρS

= −1, 83 m/s. (37)

Izracunajmo, koliksno je odstopanje od eksperimentalne vrednosti.

η = 100%|vky − vky ,teor|vky + vky ,teor

= 5, 8%

Odstopanje izmerjene vrednosti od teoreticne je sprejemljivo, saj je manjseod 10%.

3.4.2 Primerjava s teoreticnimi rezultati

Oglejmo si, ali se izmerjene vrednosti ujemajo s teoreticnimi podatki.Izmerjene vrednosti lege y v odvisnosti od casa primerjamo z rezultati prido-bljenimi z numericno metodo. Kot smo preverili v poglavju 3.1.1, programza numericno resevanje, ki smo ga predstavili v istem poglavju, dobro delujetudi za prosti pad. Dodatno bi lahko preverili, ali se eksperimentalni rezul-tati ujemajo z analiticnimi rezultati, vendar to ni potrebno, saj je za prostipad numericna metoda dovolj zanesljiva.

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y[m]

t[s]

eksperimentalni◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

◦◦◦ ◦

◦ ◦ ◦◦

◦numericni

Slika 27: Graf lege y v odvisnosti od casa pri prostem padu balona.

Izmerjene tocke se dobro prilegajo teoreticni krivulji.

D. Croselli 29

3.4 Posnetek prostega pada balona

Oglejmo si, kako se graf hitrosti v odvisnosti od casa prilega teoreticni kri-vulji.

-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

vy[m/s]

t[s]

eksperimentalni◦◦◦◦ ◦ ◦

◦◦ ◦◦◦ ◦◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

◦ ◦

◦numericni

Slika 28: Graf hitrosti vy v odvisnosti od casa pri prostem padu balona.

Nekoliko slabse prileganje eksperimentalnih vrednostih k teoreticnim vre-dnostim zasledimo na grafu vy(t). V prvem delu grafa do casa t ≈ 0, 6 s seizmerjene tocke dobro prilegajo teoreticnim tockam, nato pa konvergirajo knekoliko manjsi vrednosti koncne hitrosti, kot je teoreticna. Koncna hitrostpridobljena z numericno metodo se ujema z rezultatom pridobljenim z ana-liticno metodo.Do napake pride, ker ne moremo zelo natancno dolociti tezisca balona. Na-paki se ne moremo izogniti, cetudi na balonu narisemo tocko; balon pri pada-nju pridobi dolocen spin in bi lahko bila tocka v dolocenem trenutku padcanevidna.Poskus prostega pada v laboratoriju smo veckrat ponovili, saj trajektorijebalona niso bile popolnoma ravne. Balon je pri padanju nakljucno zavijallevo ali desno. V sobi je tezko zagotoviti za poskus idealno okolje, saj sov prostoru prisotni zracni tokovi, ki gibanje balona zmotijo in trajektorijogibanja nekoliko popacijo.Vsekakor je prileganje eksperimentalnih rezultatov k teoreticnim zadovoljivo.

D. Croselli 30

3.5 Posnetek posevnega meta balona

3.5 Posnetek posevnega meta balona

Pri prostem padu balona smo dobili zelo podobne rezultate kot pri prostempadu krogle v vodi. Za oba poskusa so se eksperimentalni rezultati dobroujemali s teoreticnimi. Veliko odstopanje smo zasledili pri posevnem metukrogle v vodi, zato je pomembno, da izvedemo podoben poskus, s katerimlahko dodatno potrdimo prisotnost sile, ki jo povzroca okolica ali celo spintelesa, ki je pri teoreticni izpeljavi enacb nismo upostevali.Gibanje balona skozi zrak je gibanje, ki je podvrzeno mocni sili upora, saj sodimenzije balona zelo velike in njena masa precej majhna. Poskus posevnegameta balona opravimo tako, da balon pod kotom glede na tla sunemo z nekohitrostjo. Gibanje balona posnamemo s hitro kamero, nato pa posnetek ana-liziramo s programom Tracker, podobno kot smo analizirali vodoravni metkrogle v vodi.Pri vodoravnem ali posevnem metu balona je pomembno, da poskus veckratponovimo. V sobi so prisotni zracni tokovi, ki lahko gibanje balona nekolikozmotijo. Pozorni moramo biti tudi na to, kako balon sunemo: zagotoviti mo-ramo tako hitrost, da bo balon skozi celotno gibanje ostal znotraj snemalnegakota.

Slika 29: Posevni met balona.

D. Croselli 31

3.5 Posnetek posevnega meta balona

3.5.1 Analiza posnetka s programom Tracker

Enak postopek, kot je opisan v poglavju 3.2.1, smo opravili tudi za vodo-ravni met balona. Analiza s programom Tracker je tudi v tem primeru dokajenostavna; sam program izracuna lego, hitrost in pospeske ter izrise zelenegrafe.Tako kot pri posevnem metu krogle v vodi tudi pri posevnem metu balonazacetne hitrosti v tocki 0 ne moremo dolociti. Koordinatni sistem prema-knemo v tocko 1, kot prikazuje slika 30, v kateri je hitrost znana. Poskusobravnavamo od tocke 1 dalje in zato postavimo cas opazovanja v tocki 1 nat = 0.

Slika 30: Obdelan posnetek posevnega meta balona.

3.5.2 Primerjava s teoreticnimi rezultati

Oglejmo si, ali se rezultati pridobljeni z numericno metodo ujemajo z ekspe-rimentalnimi rezultati.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x[m]

t[s]

eksperimentalni

◦◦◦◦ ◦◦ ◦◦ ◦ ◦

◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

◦ ◦ ◦

◦numericni

Slika 31: Graf lege x v odvisnosti od casa pri posevnem metu balona.

D. Croselli 32

3.5 Posnetek posevnega meta balona

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2

vx[m/s]

t[s]

eksperimentalni◦◦◦

◦

◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦

◦

◦numericni

Slika 32: Graf hitrosti vx v odvisnosti od casa pri posevnem metu balona.

Iz grafov na slikah 31 in 32 je ocitno, da se rezultati pridobljeni z numericnometodo ne ujemajo z eksperimentalnimi rezultati.Pri grafu x(t) lege v odvisnosti od casa je odstopanje zelo veliko; teoreticnakrivulja kaze, da opravi balon mnogo vecjo pot kot v resnici. Eksperimen-talni rezultati se ujemajo le v prvem delu grafa do casa t ≈ 0, 3 s: od todnaprej se rezultati razvejijo. Iz grafa zgleda, da je pri tem casu telo zacelomocno zavirati, kot da bi nanj zacela delovati se druga sila, katere smer jebila nasprotna smeri gibanja balona.Pri grafu vx(t) je odstopanje od teoreticnih vrednosti nekoliko manjse; rezul-tati se ujemajo okoli vodoravne asimptote. Graf vx(t) ima pravzaprav cudnoobliko, saj pade hitrost na 0, nato pa spet naraste.Tudi graf vx(t) potrjuje dejstvo, da deluje v x smeri se dodatna sila, ki je ni-smo upostevali, saj doseze telo v resnici mnogo hitreje koncno hitrost vk = 0.Rezultati, ki smo jih dobili pri poskusu z balonom, so primerljivi z rezultati,ki jih dobimo pri poskusu s kroglo v vodi. Oba poskusa kazeta na prisotnostdolocene sile, ki jo po vsej verjetnosti povzrocata okolje in spin telesa. Priizpeljavi kvadratnega zakona ne upostevamo, da je opazovano okolje posta-vljeno v koncnem prostoru, pac pa je prostor za gibanje neskoncen. Telo prisvojem gibanju potiska dolocen delez medija, ki je odvisen od precne povrsinetelesa in od same oblike telesa, v smeri gibanja. V neskoncnem prostoru po-tiska predmet delez medija brez ovir, v koncnem prostoru pa predmeti oz.stene potiskanje zaustavijo. Lahko bi si predstavljali gibanje telesa, ki predsabo potiska dolgo vzmet. Vzmet nudi upor pri gibanju, vendar ob dotiku ssteno in zaradi svoje elasticnosti dodatno zavira gibanje, saj kaze elasticnasila v nasprotno smer gibanja.Ta efekt je mnogo bolj ociten pri poskusu vodoravnega meta krogle v vodi,saj eksperimentalni rezultati pri grafu x(t) mnogo bolj odstopajo od teo-

D. Croselli 33

3.5 Posnetek posevnega meta balona

reticnih v primerjavi z grafom x(t) pri poskusu z balonom. Razlog za to je vsami naravi medijev: zrak je stisljiv plin, voda pa skoraj nestisljiva tekocina.Tudi spin telesa, ki povzroca Magnusov efekt, prispeva k neujemanju eks-perimentalnih in teoreticnih rezultatov. To bi lahko upostevali pri izpeljavi,vendar bi bilo potrebno dolociti kotno hitrost telesa, od katere je odvisnaMagnusova sila [9]

Fm = cu(ω × v),

kar pa je seveda tezko izvedljivo.Dodaten vpliv na gibanje telesa povzroca tudi udarni val. Ta je se posebejprisoten pri poskusu vodoravnega meta krogle: kroglo smo izstrelili s topom,ki je povzrocil udarni val, ta se je od stene odbil in se premikal v nasprotnosmer gibanja krogle. Udarni val, ki je med drugim razviden tudi iz video-posnetka, je zato povzrocil dodatno zaviranje krogle. Iz grafa vx(t) na sliki32 je razvidno, da deluje zunanja sila oz. udarni val najprej zaviralno, natopa spremeni predznak; hitrost vx ponovno naraste. To pomeni, da se je podolocenem casu udarni val odbil se na drugi strani sobe in tokrat gibanje ba-lona dodatno pospesil. Hitrost in intenziteto udarnega vala bi tezko izmerili.Vsekakor gre za silo, ki izvira iz okolice, saj se njeno delovanje spreminjas casom, ne pa s hitrostjo. Iz slik 20 in 32 je razvidno, da ta sila delujele razmeroma kratek cas po trku, kasneje pa se spet vzpostavijo normalnerazmere.Vzrok za neujemanje eksperimentalnih podatkov s teoreticnimi podatki pri-dobljenih z numericnem resevanjem z zapisanim programom se skriva tudi vsamem programu. Za smer x doloca v programu pospesek ax enacba (30),pri kateri upostevamo, da je hitrost v vektor z velikostjo v =

√v2x + v2y , kar

vstavimo v enacbo (30) in dobimo

ax = −1

2cuρSvx

√v2x + v2y. (38)

S tovrstnim zapisom povzrocajo majhne spremembe vx velike spremembetudi pri racunanju ay; vse enacbe se nekako prepletajo in vplivajo ena nadrugo. Po dolgem casu, ko gre vrednost vx proti 0 in gre vy k svoji koncnivrednosti, se rezultati pridobljeni z eksperimentalno in numericno metodoujemajo okoli asimptot.

D. Croselli 34

3.5 Posnetek posevnega meta balona

Oglejmo si grafa lege y in hitrosti vy v odvisnosti od casa.

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

y[m]

t[s]

eksperimentalni◦ ◦◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

◦numericni

Slika 33: Graf lege y v odvisnosti od casa pri posevnem metu balona.

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

vy[m/s]

t[s]

eksperimentalni◦◦◦◦◦ ◦ ◦

◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

◦numericni

Slika 34: Graf hitrosti vy v odvisnosti od casa pri posevnem metu balona.

Grafa na slikah 33 in 34 kazeta, da je ujemanje eksperimentalnih in teo-reticnih rezultatov nekoliko boljse v primerjavi z rezultati lege in hitrosti zax smer. Podobno kot pri poskusu s kroglo v vodi odstopanje teoreticnihvrednosti od eksperimentalnih za hitrost v x smeri nosi svoj vpliv tudi priracunanju hitrosti v y smeri.Odstopanje eksperimentalnih vrednosti od teoreticnih je sicer manjse v pri-merjavi s poskusom s kroglo.

D. Croselli 35

3.5 Posnetek posevnega meta balona

Oglejmo si, kaksno trajektorijo opise balon pri posevnem metu.

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

y[m]

x[m]

eksperimentalni

◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦

◦numericni

Slika 35: Graf y(x) opisuje teoreticno in prakticno trajektorijo, ki jo opisebalon pri posevnem metu.

Odstopanje teoreticnih vrednosti od eksperimentalnih za hitrost in lego v xsmeri nosi svoj vpliv tudi pri racunanju teoreticne trajektorije. Tudi iz grafay(x) za balon je ocitno, da deluje v smeri x se dodatna sila, ki je v enacbahnismo upostevali.

D. Croselli 36

4 ZAKLJUCEK

4 Zakljucek

V diplomskem delu sem teoreticno in prakticno obravnaval prosti pad invodoravni met krogle v vodi in balona v zraku. Z analizo posnetkov sempreveril, ali velja kvadrati zakon upora tudi za telesa, ki so v primerjavi zmedijem lahki.

Z izbranimi poskusi sem uspel pokazati fizikalne zakone, ki veljajo pri pro-stem padu telesa, ki je pri padcu podvrzeno mocni sili upora.Izpeljal sem enacbe, ki opisujejo lego in hitrost v odvisnosti od casa za prostipad telesa, ki je pri gibanju podvrzeno mocni sili upora.Za dvodimenzijski problem vodoravnega meta sem v jeziku FORTRAN za-pisal racunalniski program, ki kvalitativno opisuje gibanje telesa, ki se gibljepod vplivom mocnega upora. Program sem uporabil tudi za analizo prostegapada balona, pri katerem je program pravilno deloval in nudil kvantitativenopis.Izmerjene vrednosti pri prostem padu krogle v vodi in balona v zraku semprimerjal s teoreticnimi vrednostmi in ugotovil, s koliksno natancnostjo lahkos predstavljeno eksperimentalno metodo izmerimo koncno hitrost telesa, kije pri prostem padu podvrzeno mocni sili upora.

Pri dvodimenzijskem problemu vodoravnega meta so eksperimentalni rezul-tati nekoliko odstopali od teoreticnih rezultatov, ki sem jih pridobil z nu-mericnim resevanjem diferencialnih enacb s pomocjo programa, ki je delovalna osnovi iteracije.Izkazalo se je, da deluje v x smeri se dodatna sila, ki je pri izpeljavi enacb ni-smo upostevali. Na podlagi analize rezultatov in glede na okoliscine v katerihje bil izveden eksperiment, sem poskusil razloziti katera sila pri vodoravnemoz. posevnem metu telo dodatno zavre.Na tem mestu bi bilo potrebno dodatno raziskati in skusati potrditi domneve,ki so se porodile pri analizi rezultatov, vendar bi bilo to v nasem laboratorijutezko izvesti.Tako postanejo slednje domneve izhodisce za nova raziskovanja ali celo osnovaza se kaksno diplomsko ali magistrsko nalogo.

V diplomski nalogi sem poudaril uporabnost programske opreme Tracker,ki sem jo uporabil pri analizi posnetkov poskusov. Program Tracker lahkoucitelj v soli uporabi tudi za druge posnetke iz dinamike. Taka metoda anali-ziranja fizikalnih poskusov postane ucencem bolj zanimiva, saj ucenci dobroobvladujejo racunalnik in radi z njim delajo tudi pri pouku.

D. Croselli 37

LITERATURA

Literatura

[1] http://sl.wikipedia.org/wiki/Bernoullijeva_ena%C4%8Dba

[2] Janez Strnad, Fizika, 1. del, Mehanika, Toplota, DMFA, Ljubljana,1995, str. 126 – 130, (COBISS)

[3] http://sl.wikipedia.org/wiki/Bernoullijeva_ena%C4%8Dba

[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Drag_coefficient

[5] Bojan Golli, Numericne metode, Osnove numericnega resevanja, Pe-dagoska fakulteta, Univerza v Ljubljani, 2004, str. 2

[6] http://wps.aw.com/wps/media/objects/877/898586/topics/

topic01.pdf

[7] http://homes.di.unimi.it/informatica-ls-chimica/Doc/

Dispensa_fortran_Raucci.pdf

[8] https://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/

[9] http://ffden-2.phys.uaf.edu/211_fall2010.web.dir/Patrick_

Brandon/what_is_the_magnus_effect.html

D. Croselli 38