David Hilbert

David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg, PrusiaOriental – 14 de febrero de 1943, Gotinga, Alemania)fue un matemático alemán, reconocido como uno de losmás influyentes del siglo XIX y principios del XX. Esta-bleció su reputación como gran matemático y científicoinventando o desarrollando un gran abanico de ideas, co-mo la teoría de invariantes, la axiomatización de la geo-metría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fun-damentos del análisis funcional. Hilbert y sus estudiantesproporcionaron partes significativas de la infraestructu-ra matemática necesaria para la mecánica cuántica y larelatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoríade la demostración, la lógica matemática y la distinciónentre matemática y metamatemática. Adoptó y defendióvivamente la teoría de conjuntos y los números transfini-tos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mun-dial en la matemática es su presentación en 1900 de unconjunto de problemas que establecieron el curso de granparte de la investigación matemática del siglo XX.En la pugna por demostrar correctamente algunos de loserrores cometidos por Einstein, en la teoría general dela relatividad, David Hilbert se adelantó a las correccio-nes de Einstein, sin embargo nunca quiso otorgarse elmérito.[1]

1 Vida

Hilbert nació en Königsberg, en Prusia Oriental (actualKaliningrado, Rusia). Se graduó en el liceo de su ciu-dad natal y se matriculó en la Universidad de Königsberg(Albertina). Obtuvo su doctorado en 1885, con una di-sertación, escrita bajo supervisión de Ferdinand von Lin-demann, titulada Über invariante Eigenschaften speciellerbinärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen (Sobrelas propiedades invariantes de formas binarias especia-les, en particular las funciones circulares). HermannMin-kowski coincidió con Hilbert en la misma universidad ymomento como doctorando, y llegaron a ser amigos ínti-mos, ejerciendo uno sobre el otro una influencia recíprocaen varios momentos de sus carreras científicas.Hilbert permaneció como profesor en la Universidad deKönigsberg de 1886 a 1895, cuando, como resultado dela intervención en su nombre de Felix Klein, obtuvo elpuesto de Catedrático de Matemática en la Universidadde Göttingen, que en aquel momento era el mejor centrode investigación matemática en el mundo, donde perma-necería el resto de su vida.

2 El teorema de finitud

El primer trabajo de Hilbert sobre funciones invariantesle llevó en 1888 a la demostración en su famoso teoremade finitud. Veinte años antes, Paul Gordan había demos-trado el teorema de la finitud de generadores para for-mas binarias usando un complejo enfoque computacio-nal. Los intentos de generalizar este método a funcionescon más de dos variables fallaron por la enorme dificul-tad de los cálculos implicados. Hilbert se dio cuenta deque era necesario seguir un camino completamente dife-rente. Como resultado, demostró el teorema fundamentalde Hilbert: mostrar la existencia de un conjunto finito degeneradores, para las invariantes cuánticas en cualquiernúmero de variables, pero de forma abstracta. Esto es,demostró la existencia de dicho conjunto, pero no de for-ma algorítmica sino mediante un teorema de existencia.Hilbert envió sus resultados a losMathematische Annalen.Gordan, el experto en teoría de invariantes de los Anna-len, no fue capaz de apreciar la naturaleza revolucionariadel teorema de Hilbert y rechazó el artículo, criticandola exposición porque era insuficientemente comprensiva.Su comentario fue: «Esto es teología, ¡no matemática!»Klein, por otro lado, reconoció la importancia del trabajoy se aseguró de que fuese publicado sin alteraciones. Ani-mado por Klein y los comentarios de Gordan, Hilbert ex-tendió su método en un segundo artículo, proporcionandoestimaciones sobre el grado máximo del conjunto míni-mo de generadores, y lo envió una vez más a los Annalen.Tras leer el manuscrito, Klein le escribió, diciendo: «Sinduda éste es el trabajo más importante en álgebra gene-ral que los Annalen han publicado nunca». Más adelante,cuando la utilidad del método de Hilbert había sido re-conocida universalmente, el propio Gordan diría: «He deadmitir que incluso la teología tiene sus méritos».

3 Axiomatización de la geometría

El texto Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de lageometría), que Hilbert publicó en 1899, sustituye los tra-dicionales axiomas de Euclides por sistema formal de 21axiomas. Evitan las debilidades identificadas en los deEuclides, cuya obra clásica Elementos seguía siendo usadacomo libro de texto en aquel momento.El enfoque de Hilbert marcó el cambio al sistema axio-mático moderno. Los axiomas no se toman como verda-des evidentes. La geometría puede tratar de cosas, sobre

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2 4 LOS 23 PROBLEMAS

las que tenemos intuiciones poderosas, pero no es nece-sario asignar un significado explícito a los conceptos in-definidos. Como dice Hilbert, los elementos tales comoel punto, la recta, el plano y otros, se pueden sustituir conmesas, sillas, jarras de cerveza y otros objetos. Lo que sediscute y se desarrolla son sus relaciones definidas.Hilbert comienza enumerando los conceptos sin defini-ción: punto, recta, plano, incidencia (una relación entrepuntos y planos), estar entre, congruencia de pares depuntos y congruencia de ángulos. Los axiomas unificanla geometría plana y la sólida de Euclides en un únicosistema.

4 Los 23 problemas

Hilbert propuso una lista muy influyente de 23 problemassin resolver en el Congreso Internacional de Matemáticosde París en 1900. Se reconoce de forma general que estaes la recopilación de problemas abiertos más exitosa yde profunda consideración producida nunca por un únicomatemático.Tras reescribir los fundamentos de la geometría clásica,Hilbert podía haberlo extrapolado al resto de las matemá-ticas. Este enfoque difiere, sin embargo, de los posterio-res «logicistas» Russel-Whitehead o el «formalismo ma-temático» de su contemporáneo Giuseppe Peano y másrecientemente del «conjunto de matemáticos» NicolasBourbaki . La comunidad matemática al completo podríaembarcarse en problemas que él identificó como aspectoscruciales en las áreas de la matemática que él considerócomo claves.Lanzó el conjunto de problemas en la conferencia “Losproblemas de la matemática” presentada durante el cursodel Segundo Congreso Internacional de Matemáticos ce-lebrado en París. Esta es la introducción a la conferenciade Hilbert:

¿Quién entre nosotros no estaría contento de le-vantar el velo tras el que se esconde el futuro;observar los desarrollos por venir de nuestraciencia y los secretos de su desarrollo en los si-glos que sigan? ¿Cual será el objetivo hacia elque tenderá el espíritu de las generaciones futu-ras de matemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevoshechos revelará el nuevo siglo en el vasto y ricocampo del pensamiento matemático?

Presentó menos de la mitad de los problemas en el Con-greso, que fueron publicados en las actas. Extendió elpanorama en una publicación posterior, y con ella llególa formulación canónica actual de los 23 Problemas deHilbert. El texto al completo es importante, dado que laexégesis de las cuestiones puede seguir siendo materia dedebate inevitable, cada vez que se preguntan cuántas hansido resueltas:

1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo.¿Cuál es el cardinal del continuo?2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética.¿Son compatibles los axiomas de la aritmética?3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igualbase e igual altura.4. El problema de la distancia más corta entre dos puntos.¿Es la línea recta la distancia más corta entre dos puntos,sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo conti-nuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidadde las funciones que definen el grupo.6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuer-po axiomático para la física?7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos númeroscomo e, 2v2, etc.8. El problema de la distribución de los números primos.9. Demostración de la ley más general de reciprocidad enun cuerpo de números cualesquiera.10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecua-ciones diofánticas.11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cua-lesquiera.12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerposabelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de sép-timo grado por medio de funciones de sólo dos argumen-tos.14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas com-pletos de funciones.15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo deSchubert o geometría algebraica.16. Problema de la topología de curvas algebraicas y desuperficies.17. La expresión de formas definidas por sumas de cua-drados.18. Construcción del espacio de los poliedros congruen-tes.19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculode variaciones, ¿son siempre analíticas?20. El problema general de condiciones de contorno deDirichlet.21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferen-ciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntossingulares y grupo monodrómico.22. Uniformidad de las relaciones analíticas por mediode funciones automórficas: siempre es posible uniformi-zar cualquier relación algebraica entre dos variables pormedio de funciones automorfas de una variable.

6.1 El trabajo de Gödel 3

23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.Algunos se resolvieron en poco tiempo. Otros se han dis-cutido durante todo el siglo XX, y actualmente se ha lle-gado a la conclusión de que unos pocos son irrelevanteso imposibles de cerrar. Algunos continúan siendo actual-mente un reto para los matemáticos.

5 Formalismo

Siguiendo la tendencia que se había convertido en están-dar a mitad de siglo, el conjunto de problemas de Hilberttambién constituía una especie de manifiesto, que abrió lavía para el desarrollo de la escuela del Formalismo mate-mático, una de las tres escuelas matemáticas más impor-tantes del siglo XX. De acuerdo al formalismo, la mate-mática es un juego —carente de significado— en el queuno lo practica con símbolos carentes de significado deacuerdo a unas reglas formales establecidas de antemano.Por tanto es una actividad de pensamiento autónoma. Sinembargo, hay margen para la duda al respecto de si lapropia visión de Hilbert era simplistamente formalista eneste sentido.

6 El programa de Hilbert

En 1920 propuso de forma explícita un proyecto de inves-tigación (en metamatemática, como se llamó entonces)que acabó siendo conocido como programa de Hilbert.Quería que la matemática fuese formulada sobre unas ba-ses sólidas y completamente lógicas. Creía que, en prin-cipio, esto podía lograrse, mostrando que:

1. toda la matemática se sigue de un sistema finito deaxiomas escogidos correctamente; y

2. que tal sistema axiomático se puede probar consis-tente.

Parecía tener razones técnicas y filosóficas para formu-lar esta propuesta. Esto afirmaba su disgusto por lo quese había dado a conocer como ignorabimus, que aún eraun problema activo en su tiempo dentro del pensamientoalemán, y que podía rastrearse en esa formulación hastaEmil du Bois-Reymond.El programa sigue siendo reconocible en la filosofía de lamatemática más popular, donde se le llama normalmen-te formalismo. Por ejemplo, el grupo Bourbaki adoptóuna versión selectiva y diluida como adecuada para losrequisitos de sus proyectos gemelos de (a) escribir tra-bajos fundamentales enciclopédicos, y (b) dar soporte alsistema axiomático como herramienta de investigación.Este enfoque ha tenido éxito e influencia en relación conel trabajo de Hilbert en el álgebra y el análisis funcional,pero no ha conseguido cuajar igual con sus intereses enfísica y lógica.

6.1 El trabajo de Gödel

Hilbert y los matemáticos de talento que trabajaron con élen esta empresa estaban dedicados al proyecto. Su intentode dar soporte a la matemática axiomatizada con princi-pios definidos, que eliminaría las incertidumbres teóricas,iba sin embargo a acabar en derrota.Gödel demostró que no se podía demostrar la completi-tud de ningún sistema formal no contradictorio que fue-ra suficientemente amplio para incluir al menos la arit-mética, sólo mediante sus propios axiomas. En 1931 suteorema de la incompletitudmostró que el ambicioso plande Hilbert era imposible tal como se planteaba. El se-gundo requisito no podía combinarse con el primero deforma razonable, mientras el sistema axiomático sea ge-nuinamente finito.Sin embargo, el teorema de completitud no dice nada alrespecto de la demostración de la completitud de la mate-mática mediante un sistema formal diferente. Los logrosposteriores de la teoría de la demostración como mínimoclarificaron la relación de la consistencia con las teoríasde interés principal para los matemáticos. El trabajo deHilbert había empezado lógico en su camino a la clarifi-cación; la necesidad de entender el trabajo de Gödel llevóentonces al desarrollo de la teoría de la computabilidad ydespués de la lógica matemática como disciplina autóno-ma en la década de 1930–1940. De este 'debate' nació di-rectamente la base para la informática teórica de AlonzoChurch y Alan Turing.

7 La escuela de Göttingen

Entre los alumnos de Hilbert se encuentran HermannWeyl, el campeón mundial de ajedrez Emanuel Lasker,Ernst Zermelo y Carl Gustav Hempel. John vonNeumannfue asistente suyo. En la Universidad de Göttingen, Hil-bert se encontró rodeado por un círculo social constituidopor algunos de los matemáticos más importantes del sigloXX, como Emmy Noether y Alonzo Church.

8 Análisis funcional

Alrededor de 1909, Hilbert se dedicó al estudio de ecua-ciones diferenciales e integrales; su trabajo tuvo conse-cuencias directas en partes importantes el análisis fun-cional moderno. Para poder llevar a cabo estos estudios,Hilbert introdujo el concepto de un espacio euclídeo deinfinitas dimensiones, llamado más tarde espacio de Hil-bert. Su trabajo en esta parte del análisis proporcionó labase de importantes contribuciones a la física matemáticaen las dos décadas siguientes, aunque en direcciones quepor entonces no se podían anticipar. Más tarde, StefanBanach amplificó el concepto, definiendo los espacios deBanach. El espacio de Hilbert es por sí misma la idea más

4 12 ÚLTIMOS AÑOS

importante del análisis funcional, que creció a su alrede-dor durante el siglo XX.

9 Física

Hasta 1912, Hilbert fue de forma casi exclusiva un mate-mático «puro». Cuando planeaba hacer una visita a Bonn,donde estaba inmerso en el estudio de la física, su amigoy colega matemático Hermann Minkowski hacía chistesdiciendo que tenía que pasar 10 días en cuarentena antesde poder visitar a Hilbert. En realidad, Minkowski pa-rece ser responsable de la mayoría de investigaciones deHilbert en física anteriores a 1912, incluido su seminarioconjunto sobre el tema en 1905.En 1912, tres años tras la muerte de su amigo, cambió suobjetivo hacia este tema de forma casi exclusiva. Arreglóque se le asignara un «tutor en física».[2] Empezó estu-diando la teoría cinética de los gases y pasó luego a lateoría elemental de radiación y a la teoría molecular dela materia. Incluso tras el estallido de la guerra en 1914,continuó celebrando seminarios y clases donde se seguíande cerca los trabajos de Einstein entre otros.Hilbert invitó a Einstein a Göttingen para que impartie-ra una semana de lecciones entre junio y julio de 1915sobre relatividad general y su teoría de la gravedad endesarrollo (Sauer 1999, Folsing 1998). El intercambio deideas llevó a la forma final de las ecuaciones de campode la Relatividad General, en concreto las ecuaciones decampo de Einstein y la acción de Einstein-Hilbert. Aun-que Einstein y Hilbert no llegaron nunca a enzarzarse enuna disputa pública sobre prioridad, ha habido algo dediscusión sobre el descubrimiento de las ecuaciones decampo.Además, el trabajo de Hilbert anticipó y asistió a variosavances en la formulación matemática de la mecánicacuántica. Su trabajo fue clave para el de Hermann Weyly John von Neumann sobre la equivalencia matemáticade la mecánica de matrices de Werner Heisenberg y laecuación de onda de Erwin Schrödinger, y su espacio deHilbert juega un papel importante en la teoría cuántica.En 1926, von Neumann mostró que si los estados atómi-cos se entendiesen como vectores en el espacio de Hil-bert, entonces se corresponderían tanto con la teoría defunción de onda de Schrödinger como con las matricesde Heisenberg.Mediante esta inmersión en la física, trabajó en darle ri-gor a la matemática que la sostiene. Aunque es muy de-pendiente de la matemática avanzada, el físico tiende aser «descuidado» con ella. Para un matemático «puro»como Hilbert, esto era «feo» y difícil de entender. Alempezar a comprender la física y la manera en que losfísicos usaban la matemática, desarrolló una teoría mate-máticamente coherente para lo que encontró, principal-mente en el área de las ecuaciones integrales. Cuando sucolega Richard Courant escribió el clásicoMétodos de fí-

sica matemática incluyó algunas ideas de Hilbert, y aña-dió su nombre como coautor incluso aunque Hilbert nollegó a contribuir al escrito. Hilbert dijo que «la físicaes demasiado dura para los físicos», implicando que lamatemática necesaria estaba lejos de su alcance por logeneral; el libro de Courant-Hilbert les facilitó las cosas.

10 Teoría de números

Hilbert unificó el campo de la teoría algebraica de nú-meros con su tratado de 1897 Zahlbericht (literalmente'informe sobre números’). Abatió el problema de Waringen el sentido amplio. Desde entonces tuvo poco más quedecir sobre el tema; pero la emergencia de las formas mo-dulares de Hilbert en la disertación de un estudiante im-plica que su nombre está más unido a un área importante.Propuso una serie de conjeturas sobre la teoría de cuer-pos de clases. Los conceptos fueron muy influyentes, ysu propia contribución queda patente en los nombres delcuerpo de clase de Hilbert y el símbolo de Hilbert de lateoría local de cuerpos de clases. Los resultados sobre es-tas conjeturas quedaron probados en su mayoría sobre1930, tras el importante trabajo de Teiji Takagi que loestableció como el primer matemático japonés de nivelinternacional.Hilbert no trabajó en las áreas principales de la teoríaanalítica de números, pero su nombre quedó unido a laconjetura de Hilbert-Pólya, por razones anecdóticas.

11 Charlas, ensayos y contribucio-nes misceláneas

Su paradoja del Grand Hotel, una meditación sobre lasextrañas propiedades del infinito, se usa a menudo en tex-tos populares sobre números cardinales infinitos.

12 Últimos años

Hilbert vivió para ver a los nazis purgar a la mayoría demiembros facultativos sobresalientes de la Universidad deGöttingen, en 1933. . Entre aquellos forzados amarcharseestuvieron Hermann Weyl, que había ocupado la cátedrade Hilbert al retirarse en 1930, EmmyNoether y EdmundLandau. Uno de los que hubo de dejar Alemania fue PaulBernays, colaborador de Hilbert en lógica matemática ycoautor con él del importante libro Grundlagen der Mat-hematik (que acabó presentándose en dos volúmenes, en1934 y 1939). Ésta fue una secuela del libro de Hilbert-Ackermann Fundamentos de lógica teórica de 1928.Un año después, asistió a un banquete y lo sentaron allado del nuevo Ministro de Educación, Bernhard Rust.Rust le preguntó: «¿Cómo va la matemática en Göttingen

5

ahora que ha sido liberada de la influencia judía?» A loque Hilbert contestó, «¿La matemática en Göttingen? Yano queda nada de eso».[3]

Tumba de David Hilbert en Göttingen:Wir müssen wissenWir werden wissen

Para cuando Hilbert murió en 1943, los Nazis habían re-estructurado casi por completo la universidad, ya que mu-cho del personal facultativo anterior era judío o estabacasado con judíos. Al funeral de Hilbert asistió menos deuna docena de personas, sólo dos de los cuales eran cole-gas académicos.[4]

En su tumba, en Göttingen, se puede leer su epitafio:

Wir müssen wissen, wir werden wissen ('Debe-mos saber, sabremos’).

Irónicamente, el día antes de que Hilbert pronunciase estafrase, Kurt Gödel presentaba su tesis, que contenía el fa-moso teorema de incompletitud: hay cosas que sabemosque son ciertas, pero que no podemos probar.

13 Véase también

• Curva de Hilbert

• Matriz de Hilbert

• Espacio de Hilbert

• Transformada de Hilbert

8 primeros pasos de la construcción de la curva de Hilbert.

• Hilbert Nullstellensatz

• Axiomas de Hilbert

• Teorema de la Base de Hilbert

• Paradoja de Hilbert del hotel infinito

• Entscheidungsproblem

14 Nota y referencias[1] Corry

[2] Reid p. 129.

[3] Reid p. 205.

[4] Reid p. 213.

15 Bibliografía

Bibliografía primaria para la traducción al inglés:

• Ewald, William B. (1996). From Kant to Hilbert: ASource Book in the Foundations of Mathematics. Ox-ford Uni. Press.

• 1918. “Axiomatic thought,” 1115-14.• 1922. “The new grounding of mathematics:First report,” 1115-33.

• 1923. “The logical foundations of mathema-tics,” 1134-47.

• 1930. “Logic and the knowledge of nature,”1157-65.

6 16 ENLACES EXTERNOS

• 1931. “The grounding of elementary numbertheory,” 1148-56.

• 1904. “On the foundations of logic and arith-metic,” 129-38.

• 1925. “On the infinite,” 367-92.• 1927. “The foundations of mathematics,”con comentarios de Weyl y un apéndice deBernays, 464-89.

• van Heijenoort, Jean (1967). From Frege to Godel:A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931.Harvard Univ. Press.

• Hilbert, David (1999). Geometry and Imagination.American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1998-4. (un grupo de lecciones accesibles al público, im-partidas originalmente a ciudadanos de Göttingen)

Secundaria:

• Almira, J. M., Sabina de Lis, J. C. (2007). Hil-bert. Matemático Fundamental. Nivola. ISBN 978-84-96566-40-8.

• Bottazini, Umberto (2003). Il flauto di Hilbert. Sto-ria della matemática. UTET. ISBN 88-7750-852-3.

• Corry, L., Renn, J., y Stachel, J. (1997). «BelatedDecision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute».Science 278.

• Grattan-Guinnes, Ivor (2000). The Search for Mat-hematical Roots 1870-1940. Princeton Uni. Press.

• Gray, Jeremy (2003). El reto de Hilbert. ISBN 84-8432-465-6.

• Odifreddi, Piergiorgio (2003).Divertimento Geomé-trico - Da Euclide ad Hilbert. Bollati Boringhieri.ISBN 88-339-5714-4.. Una exposición clara de los“errores” de Euclides y de las soluciones presenta-das en el Grundlagen der Geometrie, con referenciaa la geometría no euclídea.

• Reid, Constance (1996). Hilbert. Springer. ISBN 0-387-94674-8.. La biografía en inglés.

• Sauer, Tilman (1999). «The relativity of discovery:Hilbert’s first note on the foundations of physics».Arch. Hist. Exact Sci. v53. pp 529-575.. (Disponiblede la Cornell University Library como PDF descar-gable )

• Thorne, Kip (1995). Black Holes and Time Warps:Einstein’s Outrageous Legacy. W. W. Norton &Company. ISBN 0-393-31276-3.

• Folsing, Albrecht (1998). Albert Einstein. Penguin.

• Mehra, Jagdish (1974). Einstein, Hilbert, and theTheory of Gravitation. Reidel.

16 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre David HilbertCommons.

• Wikiquote alberga frases célebres de o sobreDavid Hilbert. Wikiquote

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F.,«Biografía de David Hilbert» (en inglés),MacTutorHistory of Mathematics archive, Universidadde Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hilbert.html.

• David Hilbert en el Mathematics Genealogy Project

• Los 23 problemas de Hilbert

• El programa de Hilbert

•

• Obras de David Hilbert en el Proyecto Gutenberg.

• Charla de Hilbert en la radio grabada en Königsbergen 1930 (en Alemán), con traducción al inglés.

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17 Texto e imágenes de origen, colaboradores y licencias

17.1 Texto• David Hilbert Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert?oldid=82069730 Colaboradores: Joseaperez, Oblongo, Vivero, Paz.ar,Dodo, Sms, Tano4595, Galio, RGLago, El Moska, Xatufan, Renabot, Yurik, RobotJcb, Heimy, Yrithinnd, Emijrp, Rembiapo pohyiete(bot), RobotQuistnix, Superzerocool, Chobot, Yrbot, FlaBot, BOTijo, YurikBot, GermanX, KnightRider, Aegidus, Eskimbot, Ceancata,MoisesMB~eswiki, Götz, Chlewbot, Axxgreazz, Electrican MV, Jstitch, CEM-bot, ARHEKI, JMCC1, Thijs!bot, Lecuona, TXiKiBoT,Rei-bot, Chabbot, Idioma-bot, Lnegro, VolkovBot, Lucien leGrey, AlleborgoBot, Muro Bot, SieBot, Danielba894, PaintBot, PolarBot, Porla verdad, Drinibot, Lobo, Fadesga, Copydays, PasabaPorAqui, Farisori, Estirabot, Botito777, Alexbot, Toolserver, Raulshc, BotSottile,UA31, Ushur, LucienBOT, MastiBot, DumZiBoT, MelancholieBot, InflaBOT, Luckas-bot, Amirobot, ArthurBot, Xqbot, Jkbw, Kismalac,Botarel, Cristian Gabriel Meneses, TiriBOT, Gusbelluwiki, Halfdrag, Jerowiki, PatruBOT, HRoestBot, Rubpe19, Julio grillo, AvocatoBot,MetroBot, Invadibot, Acratta, Elvisor, Wikiullu, Addbot, Jarould, Crystallizedcarbon y Anónimos: 42

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