Dayana Cali Villarreal

Módulo Algebra Página 1

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL

CARCHI

FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y

CIENCIAS AMBIENTALES

Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario

Módulo

“ALGEBRA”

PRIMER NIVEL

PARALELO: “ B ”

Ing. Oscar René Lomas Reyes

Marzo 2013 – Agosto 2013


Contenido INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 3

OBJETIVOS ................................................................................................................................. 4

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES ..................................................................................... 5

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES ................................................................................. 6

EXPONENTES Y RADICALES ........................................................................................................ 7

EXPRESIONES ALGEBRAICAS ..................................................................................................... 9

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN? ....................................................................................................... 11

Partes de una ecuación ........................................................................................................... 11

¡Exponente! ............................................................................................................................. 12

PRODUCTOS NOTABLES .......................................................................................................... 13

FACTORIZACIÓN ...................................................................................................................... 15

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. ................................................................................. 16

ECUACIONES LINEALES ............................................................................................................ 16

SILABO ......................................................................................................................................... 18


INTRODUCCIÓN

El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las

propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para

generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos

análogos. Esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro

de la misma operación; ecuación algebraica.

El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos

usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el

Teorema de Pitágoras.

El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros

símbolos son usados para representar números desconocidos.

Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5

a ambos lados del signo igual (=), así:

x - 5 = 2

x - 5 + 5 = 2 + 5

x + 0 = 7

x = 7 (la respuesta)

Se realizara el estudio tanto de números reales, números enteros positivos,

negativos , fraccionarios , productos notables, factorización , sistemas de

ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera.


OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Recopilar toda la información de cada tema ya visto en el módulo de

algebra, para que sirva de guía base para nuestro estudio.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Elaborar el portafolio estudiantil

Analizar la información recolectada que servirá de base de estudio para

la evaluación.

Trabajar en forma grupal en la recolección de la información


CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES

Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y

así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o

números naturales.

Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)

Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3……

forman el conjunto de los enteros.

Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)

El conjunto de los números racionales consiste en números como

y

, que

pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un

numero racional es aquél que puede escribirse como

donde p y q son

enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 =

. De hecho todo entero

es racional.

Los números que se representan mediante decimales no periódicos que

terminan se conocen como números irracionales. Los números y √ son

ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los números

irracionales forman el conjunto de los números reales.

Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros

se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la

derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas


PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número

son iguales entre sí.

Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números

pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real.

Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números

pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden.

Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la

multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.

( ) ( ) ( ) ( )

Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que

para todo número real a.

Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número

real denotado poa –a

( )

Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número

da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y

después sumar todos los productos.

( ) ( )


EXPONENTES Y RADICALES

Exponentes

Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a

multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la

derecha del valor base. Por ejemplo:

b es el valor base y -5 es el exponente

-2 es el valor base y 7 es el exponente

Leyes de los exponentes

( )( )

( )

(

)

(

)

(

)

RADICALES

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima

de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”.

√

n = índice

x = radicando

y = raíz


√ =signo radical

Leyes radicales

√

√

√

√ √

√

√

√

√√

√

√

( √

)


EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las

operaciones aritméticas.

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo

término.

Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.

Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.

Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se

llaman Polinomios.

Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más

expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.


Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a

continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos

semejantes.

Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del

polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se

separan los productos parciales con sus propios signos.

División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio

separando los cocientes parciales con sus propios signos.


¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=",

por ejemplo:

x + 2 = 6

Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo

que está en la derecha (6)

Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"

Partes de una ecuación

Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las

diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!)

Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:

Una variable es un símbolo para un

número que todavía no conocemos.

Normalmente es una letra como x o

y.

Un número solo se llama una

constante.

Un coeficiente es un número que

está multiplicando a una variable (4x

significa 4 por x, así que 4 es un

coeficiente)

Un operador es un símbolo (como

+, ×, etc) que representa una

operación (es decir, algo que

quieres hacer con los valores).


Un término es o bien un número o

variable solo, o números y variables

multiplicados juntos.

Una expresión es un grupo de

términos (los términos están

separados por signos + o -)

Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el

segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente

es 4?"

¡Exponente!

El exponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces

usar el valor en una multiplicación.

Ejemplos:

82 = 8 × 8 = 64

y3 = y × y × y

y2z = y × y × z

Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones

Ejemplo: y4z2 es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz


PRODUCTOS NOTABLES

Binomio al cuadrado

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer

término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado

segundo.

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer

término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado

segundo.

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25

Binomio al cubo

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del

cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado

del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x 3 + 9x2 + 27x + 27


Binomio de resta al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del

cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado

del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado

del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el

segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por

el tercero.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =

= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6


FACTORIZACIÓN

Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el

producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama

factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de

polinomios simples.

Factorización por factor común.

Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se

dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e

inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes

que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor

común.

( )

( )

Factorización de una diferencia de cuadros.

Se sabe que: ( )( ) ; por lo tanto una diferencia de

cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados.

( )( )

Factorización de un cuadrado perfecto

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado

como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al

primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces por medio del

signo del segundo término y elevando este binomio al cuadrado:

( )( )

Factorización de una suma o diferencia de cubos

Se sabe que: ( )( ) ( )( )

Factorización de cubos perfectos de binomios.

( ) ( )


FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.

Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común,

pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.

Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar

cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización

total de la expresión.

( ) ( ) ( )( )

FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA

( )( )

( )( )

ECUACIONES LINEALES

Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra

solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia

(elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales porque se pueden

representar como rectas en el sistema cartesiano.

Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:

a) Ecuaciones lineales propiamente tales

En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas

es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede

serlo).

Para proceder a la resolución se debe:

Eliminar paréntesis.

Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en

el otro.

Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.

Ejemplo:

4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192

4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10


–35x = 182

b) Ecuaciones Fraccionarias

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las

expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).

Para proceder a la resolución se debe:

Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el

mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:

C . ECUACIONES LITERALES

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal,

pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para

despejarla.


SILABO

I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO

UPEC – MISIÓN MISIÓN - ESCUELA

Formar profesionales humanistas,

emprendedores y competentes,

poseedores de conocimientos

científicos y tecnológicos;

comprometida con la investigación y la

solución de problemas del entorno

para contribuir con el desarrollo y la

integración fronteriza

La Escuela de Desarrollo Integral

Agropecuario contribuye al desarrollo

Provincial, Regional y Nacional,

entregando profesionales que

participan en la producción,

transformación, investigación y

dinamización del sector agropecuario

y agroindustrial, vinculados con la

comunidad, todo esto con criterios de

eficiencia y calidad

UPEC - VISIÓN VISIÓN – ESCUELA

Ser una Universidad Politécnica

acreditada por su calidad y

posicionamiento regional

Liderar a nivel regional el proceso de formación y lograr la excelencia académica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización de los docentes, en la investigación, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los últimos adelantos tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotación racional de los recursos naturales, producción limpia, principios de equidad, participación, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberanía alimentaria.

ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE-

UNESCO

SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-

UNESCO

Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca.

II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:

CÓDIGO NIVEL PRIMERO

DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing.

TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: [email protected]

mailto:[email protected]


[email protected]

CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3

HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS 48

PRE-REQUISITOS: (Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo) CÓDIGOS

1. Nivelación Aprobada

CO-REQUISITOS: (Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo) CÓDIGOS

1. Física Aplicada 1

EJE DE FORMACIÓN: (En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL

ÁREA DE FORMACIÓN: (En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola

LIBRO(S) BASE DEL MÓDULO: (Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

LIBRO(S) REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO: (Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC

para estudio)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid

España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

mailto:[email protected]


Sánchez A. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición

Primera, Ecuador.

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm. Recuperado: Septiembre 2012.

Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO: (Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de

aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas

El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del

entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos,

análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera

preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje

académico pedagógico de los educandos.

III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL

Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).

Escaso razonamiento lógico matemático

Competencia GENÉRICA - UPEC: (Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)

Desarrollar el pensamiento lógico

Competencia GLOBAL - ESCUELA: (Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)

Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural

Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO: (Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)

Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas

http://www.sectormatematica.cl/

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado


para plantear y resolver problemas del entorno.

NIVELES DE LOGRO

PROCESO

COGNITIVO

LOGROS DE APRENDIZAJE

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías

El estudiante es capaz de:

DIMENSIÓN

(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)

1. TEÓRICO BÁSICO RECORDAR MLP

Identificar los términos básicos utilizados

durante el desarrollo del pensamiento lógico

matemático.

FACTUAL.- Si el estudiante va a TRATAR el

VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE

DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o

resolver problemas en ella.

2. TEÓRICO AVANZADO

ENTENDER

Diferenciar los conceptos básicos utilizados

para el desarrollo de pensamiento lógico

matemático.

CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a

INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o

ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER

dentro de una ESTRUCTURA más grande que les

permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER,

métodos de investigación, y los criterios para el uso de

habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR

Demostrar la utilidad de las matemáticas para

el desarrollo del razonamiento lógico

matemático.




4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR

Plantear alternativas mediante la aplicación de

la matemática que permitan dar solución a los

problemas planteados




5. TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR

Argumentar el planteamiento que dará

solución a los problemas planteados.

CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a








6. TEÓRICO PRÁCTICO AVANZADO

CREAR

Construir expresiones algebraicas que

contribuyan a la solución de problemas del

entorno.

1. FACTUAL.- Si el estudiante va a TRATAR el

VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE

DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o

resolver problemas en ella.

2. CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a






3. PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO

HACER, métodos de investigación, y los criterios para el

uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

4. METACOGNITIVO.- Si el estudiante llega a

adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN

GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento

del propio conocimiento.

Trabajo interdisciplinar: (Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).

Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas

discretas.


IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE

COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

El estudiante será capaz de

CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS

LOGROS ESPERADOS

ESTRATEGIAS

DIDÁCTICAS

Estrategias, métodos y

técnicas

HORAS

CLASE

COGNITIVOS

¿Qué TIENE que saber?

PROCEDIMENTALES

¿Saber cómo TIENE que

aplicar el conocimiento?

AFECTIVO MOTIVACIONALES

¿Saber qué y cómo TIENE actuar

axiológicamente?

T

P

Identificar los términos

básicos utilizados durante el

desarrollo del pensamiento

lógico matemático.

Sistema de Números

Reales

Recta de números Reales

Operaciones Binarias

Potenciación y

Radicación

Propiedades

fundamentales

Aplicaciones

Utilizar organizadores gráficos

para identificar las clases de

números reales que existe

Utilizar organizadores gráficos

para ubicar los elementos

Relacionar en la uve heurística

Identificar los diferentes

propiedades en potenciación y

radicación

Hacer síntesis gráfica

Repasar los conocimientos

adquiridos y aplicarlos a la vida

del profesional Turístico

Demostrar comprensión sobre los tipos

de números reales

Disposición para trabajar en equipo

Utilizar una actitud reflexiva y critica

sobre la importancia de la matemática

básica

Aceptar opiniones diferentes

Potenciar el clima positivo

Aceptar errores y elevar el autoestima

para que pueda actuar de manera

autónoma y eficiente

DEMOSTRAR.

1. Caracterizar los números reales para la demostración

2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los números reales.

CONVERSACIÓN

HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante preguntas.

3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución.

2 4


Diferenciar los conceptos

básicos utilizados para el

desarrollo de pensamiento


Expresiones algebraicas:

nomenclatura y clasificación.

Polinomios clasificación.

Operaciones con

Polinomios: adición, resta,

multiplicación y división.

Productos notables.

Descomposición Factorial

Aplicar operaciones mentales

Identificar los diferentes tipos

polinomios

Aplicar operaciones mentales en

la resolución de un sistema de

ecuaciones.

Identificar los diferentes tipos de

productos notables

Resolver ejercicios

Aceptar opiniones divergentes

Destacar la solidaridad en los

ambientes de trabajo

Potenciar la resolución de problemas

Valorar las participaciones de los

demás

Demostrar grado por lo que hacemos

INDUCTIVO-DEDUCTIVO

INDUCTIVO

1.Observación

2. Experimentación.

3. Información (oral,

escrita, gráfica, etc.)

4. Dramatización.

5. Resolución de

problemas.

6. comprobación.

7. Asociación (especial

temporal y casual)

8. Abstracción.

9. Generalización.

10. Resúmenes.

11. Ejercicios de fijación.

CONVERSACIÓN

HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante preguntas.

3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución,

2 4


socializar la solución.

Demostrar la utilidad de las

matemáticas para el

desarrollo del razonamiento


Máximo común divisor de

polinomios.

Mínimo común múltiplos

de polinomios.

Operaciones con

fracciones.

Aplicaciones

Resolver ejercicios con

polinomios sencillos y complejos

Aplicar procesos de resolución

adecuados para resolver

problemas.

Resolver ejercicios aplicando en

forma conjunta los máximos y los

mínimos

Distinguir los componentes de las

expresiones racionales

Utilizar una actitud crítica y reflexiva

sobre el tema.

Cooperar en el desarrollo del

conocimiento.

Demostrar confianza en el desarrollo

del proceso.

Cooperar con el grupo en la resolución

de funciones.

RAZONAR

1. Determinar las premisas.

2. Encontrar la relación de inferencia entre las premisas a través del término medio.

3. Elaborar las conclusiones.

RELACIONAR.

1. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar.

2. Determinar los criterios de relación entre los objetos

3 6

Plantear alternativas mediante

la aplicación de la matemática

que permitan dar solución a

los problemas planteados

Ecuaciones lineales,

resolución

Sistemas lineales y

clasificación.

Resolución de ecuaciones

lineales.

Aplicaciones

Plantear ecuaciones lineales.

Identificar los sistemas líneas y su

clasificación

Elaborar modelos matemáticos en

la solución de problemas de la

carrera

Implementar procesos de

resolución adecuados en

problemas reales.

Trabajar con eficiencia y eficacia

respetando los criterios en la resolución

de problemas.

Demostrar interés en el trabajo

individual y de equipo

Respetar las opiniones del grupo y

fuera de él.

Expresar coherencia en las soluciones

propuestas valorando las iniciativas de

cada participante.

EXPOSICION

PROBLEMICA.

1. Determinar el problema.

2. Realizar el encuadre del problema.

3. Comunicar el conocimiento.

4. Formulación de la hipótesis.

5. Determinar los procedimientos para resolver problemas.

6. Encontrar solución (fuentes, argumentos, búsqueda, contradicciones)

3 6

Argumentar el planteamiento

que dará solución a los

problemas planteados.

Definición y clasificación.

Ecuaciones reducibles a

cuadráticas

Resolución de ecuaciones

Nombrar la definición de

ecuaciones cuadráticas

Reducir a expresiones sencillas

las expresiones cuadráticas

Resolver ejercicios sobre

Utilizar creatividad y capacidad de

análisis y síntesis respetando los

criterios del grupo.

Demostrar razonamiento crítico y

reflexivo cooperando en la obtención

de resultados

EXPOSICIÓN

PROBLEMICA

1. Determinar el

problema

2. Realizar el encuadre

del problema

3. Comunicar el

3 6


cuadráticas por factoreo.

Resolución por

completación de un

trinomio cuadrado.

expresiones cuadráticas

Ejercitar las operaciones con

polinomios incompletos.

conocimiento

(conferencia ,video )

4. Formulación de la

hipótesis ( interacción

de las partes)

Construir expresiones

algebraicas que contribuyan a

la solución de problemas del

entorno.

Fórmula general para

resolver ecuaciones

cuadráticas.

Aplicaciones de la

ecuación cuadrática.

Aplicar la fórmula general para la

resolución de ecuaciones

cuadráticas

Distinguir los componentes de las

expresiones racionales

Valorar la creatividad de los demás

Respetar el criterio del grupo.

1. Determinar los

procedimientos para

resolver problemas.

2. Encontrar la solución

( fuentes ,argumentos,

búsqueda

,contradicciones)

3 6


V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO



COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE

indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados

DIMENSIÓN

(Elija el grado de

complejidad que UD.

EXIGIRÁ para alcanzar el

logro)

INDICADORES DE LOGRO

DE INGENIERIA

descripción

TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de

EVALUACIÓN

1°

PARCIA

L

2°

PARCIA

L

3°

PARCIA

L

SUPLETORI

O

Identificar los términos básicos

utilizados durante el desarrollo del

pensamiento lógico matemático.

FACTUAL. Interpretar información. Deberes

Trabajos

Consultas

Participación virtual

Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%

Diferenciar los conceptos básicos

utilizados para el desarrollo de


CONCEPTUAL. Interpretar la información. Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%


matemáticas para el desarrollo del

razonamiento lógico matemático.

CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas

complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

10%

10%

10%

10%


Pruebas

Portafolio

Reactivos

Documento

50%

10%

100%

Plantear alternativas mediante la

aplicación de la matemática que

permitan dar solución a los problemas

planteados

PROCESAL Analizar problemas y sistemas

complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%

100%

Argumentar el planteamiento que dará

solución a los problemas planteados.

CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia

para el diseño.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

5%

5%

25%

5%

Construir expresiones algebraicas que

contribuyan a la solución de problemas

del entorno.

FACTUAL.

CONCEPTUAL.

PROCESAL

METACOGNITIVO

Interpretar información.

Modelar, simular sistemas

complejos.

Analizar problemas y sistemas

complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

5%

5%

25%

5%

100%

ESCALA DE VALORACIÓN 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable


Nivel ponderado de aspiración y

alcance

8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable


VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS



COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE

HORAS

AUTÓNO

MAS

INSTRUCCIONES

RECURSOS

PRODUCTO

T P

Identificar los términos básicos

utilizados durante el desarrollo del


Consulte información en el

internet y textos

especializados los

conceptos de números

reales, presentar en

organizadores gráficos.

Prueba

Libros.

Copias

Documentos en pdf.

Descarga de documentos de

la web.

Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números

reales.

2 4

Diferenciar los conceptos básicos

utilizados para el desarrollo de


Consulta sobre la definición

de un monomio y

polinomio.

Grado de un polinomio y su

ordenamiento

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Identifica los tipos de polinomios 2 4


matemáticas para el desarrollo del

razonamiento lógico matemático.

Distinguir plenamente

entre expresiones

racionales e irracionales

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Distinguir plenamente entre expresiones racionales

e irracionales

3 6

Plantear alternativas mediante la

aplicación de la matemática que

permitan dar solución a los

problemas planteados

Dar solución a ecuaciones

de primer grado

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6


Argumentar el planteamiento que

dará solución a los problemas

planteados.

Identificar los tipos de

soluciones que pueden

presentarse en la solución

de expresiones

cuadráticas.

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Identificar los tipos de soluciones que pueden

presentarse en la solución de expresiones cuadráticas

3 6

Construir expresiones algebraicas

que contribuyan a la solución de

problemas del entorno.

3 6

PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )

TOTAL

16 32

CRÉDITOS

1 2

3


VII. Bibliografía.

BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda

edición: México

COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición:

Madrid España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

Sánchez A. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición

Primera, Ecuador.

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm. Recuperado: Septiembre 2012.

Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DOCENTES:

Firma:

Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes Ing.

ENTREGADO: Marzo 2013

http://www.sectormatematica.cl/

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado
























Deber número 5 Nombre Sexo Edad Fecha de compra Fecha actual Dias Transcurridos Años Transcurridos

Dayana F 18 20/03/1998 29/07/2013 5610,00 15,37

Salma F 22 01/01/2010 29/07/2013 1305,00 3,58

Cinthya F 18 30/06/2009 29/07/2013 1490,00 4,08

Brayan M 19 01/12/2011 29/07/2013 606,00 1,66

Miguel M 19 15/04/2012 29/07/2013 470,00 1,29

Adriana F 19 18/10/2007 29/07/2013 2841,00 7,78

Geovanny M 19 01/01/1996 29/07/2013 6419,00 17,59

Jonathan M 18 29/07/2000 29/07/2013 4748,00 13,01

Cristina F 20 01/01/2010 29/07/2013 1305,00 3,58

Diana m F 18 10/09/2004 29/07/2013 3244,00 8,89

Karen F 20 28/11/2000 29/07/2013 4626,00 12,67

Patricia F 19 01/01/2011 29/07/2013 575,00 1,58

Kepler M 21 14/02/2010 29/07/2013 1271,00 3,45

Erick M 21 01/01/2012 29/07/2013 575,00 1,58

Jacob M 20 30/03/2011 29/07/2013 852,00 2,33

Oscar M 21 01/01/1994 29/07/2013 7149,00 19,59

Diana p F 21 17/08/2009 29/07/2013 1442,00 3,95

Diego M 23 23/12/2011 29/07/2013 584,00 1,6

Tania F 20 12/05/2012 29/07/2013 443,00 1,21

Lenin M 24 01/01/2011 29/07/2013 940,00 2,58




FRACCIONES ALGEBRAICAS

NOMBRE: DAYANA CALI VILLARREAL

CURSO: 1 “B”

Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son

polinomios.

Son fracciones algebraicas:

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.

El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una

misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.

Por ejemplo:

Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los

errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.

Operaciones con fracciones algebraicas


Simplificar fracciones algebraicas

La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual

que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces,

la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador

y denominador.

Por ejemplo, simplificar:

Otro ejemplo, simplificar la fracción

Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar

Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente

cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).

Suma y resta de fracciones algebraicas

Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números

enteros, reduciendo primero acomún denominador.

Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas

puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.

Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador

Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:

Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como

numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y

restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no

confundir luego los signos.

Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis

hay un signo menos (−), y nos queda

Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Veamos el siguiente ejemplo:


Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común

múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones

equivalentes con denominador común.

Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mínimo

común denominador (m.c.d.).

Para calcular el m.c.m. factorizamos

5ab a2 15b

2 a

5b a 15b2 a

5b 1 15b2 b

5 1 15b b

5 1 15 5

1 1 3 3

1 1 1

Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a2 • b

2 • 15 que es lo mismo que 15a

2b

2 y es el

mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.

Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:

Previamente, dividimos el denominador común (15a2b

2) por cada uno de los denominadores individuales,

para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:

Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la

siguiente:

Encontrado el m.c.d. (15a2b

2) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los

términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:

Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.

Un ejemplo más:


Sumar

El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)

Hacemos

¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:

Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones,

multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si

se puede.

Veamos qué significa esto:

Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra ,

entonces:

Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas

Multiplicar

Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:

Simplificamos antes de efectuar el producto:

Ahora, podemos multiplicar los factores finales:

Ejemplos desarrollados


a)

b)

c)

Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la

factorización de productos notables.

Cociente o división de fracciones algebraicas

Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el

producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si

se puede.

Veamos, ahora qué significa esto:

Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:

Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas

Dividir

Anotamos haciendo el producto cruzado:

Simplificamos y finalmente multiplicamos:

Ejemplos desarrollados

a)

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraProductosnotables.htm


b)

c)

Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones

participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al

signo igual (=).

d)

Fracciones algebraicas compuestas

En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones

compuestas.

Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o

denominador.

La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones

simples que la componen.

Ejemplos:

1)


2)

3)


UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI

NOMBRE: DAYANA CALI VILLARREAL CURSO: 1 “B”



Resolución de ecuaciones lineales En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: 1º Quitar paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro. 4º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita. Ejemplos de ecuaciones lineales

Despejamos la incógnita:

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:


Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:



Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Quitamos corchete:


Quitamos denominadores:


Agrupamos términos:

Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9


Resolver el siguiente sistema:

Solución: Observar bien las operaciones en cada paso

El sistema equivalente total es:

y por lo tanto la solución del sistema es la tripleta (2, 0, -1)


UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

Nombre: Dayana Cali Villarreal Curso: 1”B”

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0.

Resolución de ecuaciones de segundo grado

Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos la siguiente

fórmula:


Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

DEFINICION:

Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática o resolvente es una

ecuación polinomica donde el mayor exponente es igual a dos.

Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una

incógnita y que se expresa en la forma canónica:

ax^2 + bx + c = 0,


Donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre

distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término

independiente.

Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en

x^n,

Es de la forma:

ax^{2n}+bx^n+c=0 ,

Con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta

ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.

La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que

junto con las ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de

relaciones y leyes.




Ecuaciones Cuadráticas

Por: Melissa Murrias

Revisado por: Dra. Luz M. Rivera

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2

+ bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Ejemplo:

9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2

+ 10 a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple

2. Completando el Cuadrado

3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación


x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8

(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2

4 · -2 = -8

x + 4 = 0 x – 2 = 0

x + 4 = 0 x – 2 = 0

x = 0 – 4 x = 0 + 2

x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:


4x2 + 12x – 8 = 0

4 4 4 4

x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo:

x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]

x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1 = 8 + 1

x2 + 2x + 1 = 9

( ) ( ) = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9

(x + 1)2 = 9

(x + 1) = ±


x + 1 = ± 3

x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3 x = -1 – 3

x = 2 x = -4

Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

Ejemplo:

X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8


x = -2 ± 6

2

X = -2 + 6 x = -2 - 6

2 2

x = 4 x = -8

2 2

x = 2 x = - 4



UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL

DEL CARCHI

Nombre: Dayana Cali Villarreal

Curso: 1 “B”


REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Recordarás que cuando nos referimos a las ecuaciones de primer grado las representábamos por medio de una recta: Ejemplo:

Tienes la ecuación si das un valor a x obtienes otro para y, este valor lo llevábamos al eje de coordenadas y fijábamos un punto. Dábamos otro valor a x y obteníamos el correspondiente a y .Con estos dos valores conseguíamos el segundo punto. Al unir los dos puntos determinábamos la recta. Todos los puntos de la recta son respuestas de la ecuación.

En el caso de las ecuaciones de 2º grado su representación gráfica es muy diferente.

Supongamos una ecuación de 2º grado (el exponente de x debe ser

2):

Vamos a dar valores a la variable independiente x y conseguiremos que la variable dependiente y tome los suyos:

En primer lugar damos a x el valor 3, luego 2, después 0, seguidamente – 2 y por fin, – 3. La variable dependiente y recibirá los valores: 9,4,0, 4 y 9


Podemos escribir:

Colocamos en el eje de coordenadas los puntos:

y luego, unimos esos puntos tal como lo ves en la figura siguiente:

13.82 Representa gráficamente la ecuación de 2º grado:

Respuesta:


Solución

Dando valores a x : 2, 1, 0, -1 y -2 obtenemos los de y en la ecuación de 2º

grado:

Fijados los puntos, los unimos y obtendremos la parábola.

¿Por qué los puntos no los unimos con rectas?

Porque si en la ecuación de 2º grado diéramos a x los valores que indicamos a continuación los correspondientes al eje y serían::


Estos valores obtenidos los llevamos al eje de coordenadas para crear los puntos y obtendríamos algo parecido a:

Por la colocación de los puntos, sin necesidad de unirlos puedes ver el resultado.


Vértice de la parábola Si te has fijado bien, en todas las figuras referidas a la parábola has visto, por un lado, el eje de coordenadas y por otro, la parábola.

Llamamos vértice de la parábola al punto común de la parábola con el eje vertical de la misma o su eje de simetría. No se trata del eje vertical o de ordenadas de un eje de coordenadas. Nos referimos al eje de la parábola.

El eje de la parábola es un eje de simetría que divide a la parábola en dos curvas iguales. Cada una de estas curvas se llaman ramas o brazos de la parábola.

¿Qué es un eje de simetría en una parábola? Es una línea de modo que si doblásemos el papel por dicha línea, las ramas de la parábola coincidirían. Todas las figuras que has visto hasta ahora, el vértice lo tienen en el punto (0.0). En todos los casos que vamos estudiando, el eje de la parábola coincide con el eje coordenadas, pero esto no es siempre así como veremos más adelante.

Vamos a dibujar una parábola cuyo vértice se encuentre en el punto (0,1). En primer lugar debemos conocer la ecuación de 2º grado, supongamos que se trata de:

El vértice se hallará en el punto (0,1). Veamos porqué.

Si a "x" le das el valor cero en esta ecuación, comprobarás que el valor de y es 1. Luego, parax=0; y=1.

Fijamos este punto (color rojo) en el eje de coordenadas. El resto de los puntos (en color verde), y obtenemos la parábola:


En el caso de que representásemos gráficamente la

ecuación:

Para x=0 y=-2 La parábola sería:


En el caso de que la ecuación fuese el vértice estaría situado en el punto (0,2):

Si a x le das el valor 0 en la ecuación propuesta, y valdrá 2.

13.82(a) Representa gráficamente la ecuación:

13.83 Representa gráficamente la ecuación:

Respuesta:


Solución Los puntos que hemos tomado han sido:

El vértice de la parábola lo tenemos en el punto (0,-1)

¿Qué sucede con las coordenadas del vértice en el caso de la

representación gráfica de una ecuación de 2º grado del tipo

Cuando la ecuación de 2º grado es del tipo el vértice se traslada hacia laderecha tantas unidades como vale m.

En el caso de se traslada hacia la izquierda tantas unidades como vale m.


Ejemplo:

En este caso a vale 1.

Llevamos algunos de estos valores sobre el eje de coordenadas

Cuando x = 2; el valor de y = 0. Este es el punto común de la parábola y su eje. Si doblásemos el papel por el eje de la parábola, las dos ramas o brazos coincidirían.

13.84 ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola

correspondiente a la ecuación

Respuesta: el punto (1,0)




Respuesta: el punto (-3,0)



Respuesta: el punto (0,7)



Respuesta: el punto (0,-7)

Función Cuadrática

Decimos que una función es cuadrática si se puede expresar de la forma

f(x)= ax2+bx+c

donde a,b y c son constantes y a # 0

La gráfica de una fución cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los númeos reales. Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo.

A continuación se muestran tres funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones cuadràticas.


http://1.bp.blogspot.com/_1kgQYMN3Io4/TLFmZEjfg6I/AAAAAAAAAEU/SK7Y7L3KueE/s1600/10-10-2010+1.10.44+52.jpg





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Dayana Cali Villarreal