De Broglie Ketidakpastian Edit

Gelombang de Broglie

Di sekitar kita, kita telah terbiasa untuk menganggap benda seperti bola kasti

sebagai partikel dan sesuatu seperti gelombang suara sebagai bentuk dari gerakan

gelombang. Setiap pengamatan berskala besar dapat diinterpretasikan dengan penjelasan

gelombang atau penjelasan partikel, tetapi dalam dunia foton dan electron, perbedaan

nyata tersebut tidak lagi digambarkan dengan jelas. Namun, ada sebuah fakta yang lebih

membingungkan lagi, yaitu dalam kondisi tertentu, benda yang biasa kita sebut

“partikel” memiliki karakteristik seperti gelombang!

Setelah ditemukannya sifat partikel dari gelombang elektromagnetik, pada tahun

1924 seorang berkebangsaan Perancis yang bernama Louis Victor prince de Broglie

(1892-1987) menyampaikan hipotesis tentang adanya sifat gelombang dari suatu

partikel. Alasan teoritisnya yaitu analog dengan foton yang panjang gelombangnya λ

memiliki momentum p (sifat partikel) sebesar p=hλ

, maka de Broglie menyatakan

hipotesisnya bahwa sebuah partikel yang memiliki momentum p akan memperlihatkan

sifat gelombangnya dengan memiliki panjang gelombang λ sebesar,

λ=hp

(1.1)

Sehingga berdasarkan hipotesis diatas, untuk partikel bermassa m dengan

kecepatan ν memiliki panjang gelombang de Broglie sebesar,

λ=h

mv(1.2)

λmerupakan panjang gelombang partikel atau panjang gelombang de Broglie.

Makin besar momentum atau kecepatan partikel, maka panjang gelombang de Broglie

akan semakin pendek.

Selebihnya, dalam analogi foton, de Broglie menyimpulkan bahwa partikel akan

memenuhi hubungan Einstein E=hf , dimana E adalah energy total partikel. Sehingga

dapat kita tulis bahwa frekuensi partikelnya sebesar

f=Eh

(1.3)

Gelombang de Broglie dan Ketidakpastian Heisenberg

Dua sifat alami dari bahan adalah nyata dalam tiga persamaan tersebut karena

setiap persamaan mengandung konsep partikel (mv dan E) dan konsep gelombang (λ dan

f).

Contoh 1

Hitunglah panjang gelombang de Broglie untuk sebuah electron (m= 9,11 x 10-31

kg) yang bergerak pada 1,00 x 107 m/s!

Diketahui :

m = 9,11 x 10-31 kg

v = 1,00 x 107 m/s

Ditanyakan : panjang gelombang de Broglie (λ)?

Dijawab :

Berdasarkan persamaan (1.2), kita dapat menentukan panjang gelombang de

Broglie,

λ=h

m× v= 6,63 ×10−34 J . s

( 9,11×10−31kg )(1,00 ×107 m /s)

= 7,28 x 10-11 m

Proposal de Broglie pada tahun 1923 yang menyimpulkan bahwa materi

menunjukkan sifat gelombang dan partikel, dianggap sebagai spekulasi murni. Jika

partikel seperti electron memiliki sifat gelombang, maka dalam kondisi tertentu electron

akan membuktikan adanya efek difraksi. Tiga tahun kemudian, C. V. Davisson (1881-

1958) dan L. H. Germer (1896-1971) berhasil mengukur panjang gelombang electron.

Penemuan penting ini memberikan bukti eksperimen dari gelombang materi yang telah

disimpulkan oleh de Broglie.

Hal yang menarik dari eksperimen ini adalah eksperimen Davisson-Germer

awalnya dilakukan bukan untuk membuktikan hipotesis de Broglie. Faktanya, penemuan

mereka dilakukan secara tidak sengaja. Eksperimen ini melibatkan penyebaran electron

berenergi rendah dari suatu sasaran nikel dalam sebuah ruang hampa udara. Selama

eksperimen, permukaan nikelnya telah teroksidasi karena terjadi kebocoran yang tidak

disengaja dalam system ruang hampa udaranya. Setelah permukaan tersebut dipanaskan


dalam sebuah aliran hydrogen untuk menghilangkan oksidasinya, electron yang

disebarkannya ternyata menunjukkan intensitas maksimal dan minimal pada sudut-sudut

yang spesifik. Mereka akhirnya menyadari bahwa nikel telah membentuk daerah kristalin

luas selama proses pemanasan dan atom dalam daerah ini akan berperilaku sebagai kisi

difraksi untuk gelombang bahan electron.

Beberapa waktu kemudian, Davisson dan Garmer melakukan pengukuran difraksi

pada electron yang disebarkan oleh sasaran yang berbentuk kristal tunggal. Suatu berkas

electron berenergi 54 eV dikenakan pada permukaan kristal Ni dengan membentuk sudut

650 terhadap suatu bidang Brag dengan jarak bidang Brag adalah 0,91A0 dan orde

difraksinya 1. Jika electron tersebut kita tinjau sebagai gelombang, dengan

menggunakan rumusan difraksi Brag bahwa difraksi maksimum terjadi bila memenuhi

nλ=2dsinθ (1.4)

dengan n adalah orde difraksi, d adalah jarak bidang Brag, dan θ adalah sudut

difraksi, maka akan diperoleh nilai panjang gelombang sebagai berikut:

λ=2d sinθn

=2 ×0,91 ×10−10m ×sin 65 °1

=1,649× 10−10 m=0,1649 nm

Sedangkan jika electron ditinjau sebagai partikel, dengan energy kinetic 54 eV, maka

momentumnya dapat diketahui dengan p=mv=√2mK

p=√2 × ( 9,1× 10−31 kg ) × (54 eV ×1,6 ×10−19 J /eV )= 4,0 x 10-24kgm/s

dengan demikian, electron tersebut memiliki panjang gelombang de Broglie sebesar,

λ= hp= 6,63 ×10−34 Js

4,0× 10−24 kgm /s = 1,657 x 10-10 m=0,1657 nm

Hasil pengukuran ini menunjukkan bahwa sifat gelombang dari electron dan

hubungan de Broglie λ=hp

adalah benar. Pada tahun yang sama, G. P. Thompson (1892-

1975) juga meneliti pola difraksi electron dengan cara melewatkan electron melalui

lapisan-lapisan emas yang sangat tipis. Pola difraksi dalam penyebaran atom helium,

atom hydrogen, dan neutron juga telah diteliti. Oleh karena itu, sifat alami universal dari

gelombang materi telah dibuktikan dengan berbagai cara.


Contoh 2

Sebuah electron memiliki energy kinetic 3,00 eV. Carilah panjang gelombang

electron tersebut!

Diketahui:

K = 3,00 eV

m = 9,11 x 10-31 kg

Ditanyakan: panjang gelombang electron(λ)?

Dijawab:

Dengan menjabarkan rumus λ=hp

sebagai berikut,

λ= hp

¿ hmv

¿ h

√m2 v2

¿ h

√2 m ×12

m v2

¿ h

√2 mK

maka,

λ= 6,63 × 10−34 Js

√2 × ( 9,11×10−31kg )× 3,00 eV ×(1,6× 10−19 J /eV )=0,709 ×10−9m=0,709 nm

Contoh 3

Sebuah foton memiliki energy yang setara dengan energy kinetic partikel yang

bergerak dengan kelajuan 0,900c. hitunglah rasio panjang gelombang foton terhadap

panjang gelombang partikel!

Diketahui:


Misalkan Ef adalah energy foton, K adalah energy kinetic, λ f adalah panjang

gelombang foton, dan λb adalah panjang gelombang partikel, maka

Ef = K

c=0,900c

Ditanyakan: rasio panjang gelombang foton terhadap panjang gelombang

partikel?

Dijawab:

Ef =Khcλ f

= h2

2m λb2

0,900 cλ f

= h

2 m λb2

λ f ×h=0,900 c×(2 m λb2)

λ f

λb2 =

1,8 c× mh

λ f

λb2 =

1,8× (3 ×108 m /s ) ×(9 ×10−31kg)6 ×10−34 J s

λ f

λb2 =81 ×1012

√ λ f2=√¿¿

λ f

λb

=9× 106

Ketidakpastian Heisenberg

Kapanpun kita mengukur posisi atau kecepatan dari suatu partikel pada waktu

tertentu, sudah pastilah terdapat ketidakpastian eksperimental dalam pengukuran

tersebut. Berdasarkan mekanika klasik, tidak terdapat batasan fundamental pada

perbaikan maksimum dari sebuah prosedur eksperimental. Dengan kata lain, secara

prinsip adalah mungkin bagi kita untuk melakukan pengukuran dengan ketidakpastian


yang sangat kecil. Akan tetapi, teori kuantum memprediksi bahwa secara fundamental

adalah mustahil untuk mengukur posisi partikel dan momentum pada waktu yang

bersamaan dengan akurat yang tinggi.

Pada tahun 1972, Weinner Heisenberg (1901-1976) kali pertama mengenalkan

gagasan bahwa tidak mungkin untuk menentukan posisi dan kecepatan partikel secara

simultan dengan presisi yang tinggi. Prinsip ketidakpastian tersebut dapat dinyatakan

sebagai berikut,

Δ x Δ px ≥ℏ2

, dimana ℏ= h2 π

=1,054 ×10−34 Js (1.5)

Dapat dikatakan bahwa, jika sebuah pengukuran dari posisi partikel dilakukan dengan

ketidakpastian Δ x dan sebuah pengukuran yang bersamaan dari komponen x dari

momentumnya juga dilakukan dengan ketidakpastian Δ px, maka hasil kali dari dua

ketidakpastian tersebut tidak mungkin lebih kecil dari ℏ2

.

Contoh 4

Sebuah electron (me=9,11× 10−31 kg) dan sebuah peluru (m p=0,0200 kg) sama-

sama memiliki kecepatan 500 m/s, dengan akurasi 0,0100%. Berada dalam batas

berapakah kita dapat menentukan posisi benda di sepanjang arah kecepatan?

Diketahui:

me=9,11× 10−31 kg

m p=0,0200 kg

v=500 m /s

akurasi = 0,0100%

Ditanyakan: posisi benda di sepanjang arah kecepatan?

Dijawab:

Asumsikan bahwa electron dan peluru bergerak di sepanjang sumbu x, maka

a. Posisi elektron


pex=me v x pex

=(9,11×10−31kg)×500m / s

pex=4,56×10−31kgm /s

Ketidakpastian dalam pe x adalah 0,0100% dari nilai pe x

, sehingga

∆ pex=0,0100 %× 4,56 ×10−31kgm /s

∆ pex=4,56 ×10−35kgm / s

Lalu, ketidakpastian posisi electron dengan menggunakan nilai ∆ pexmenurut

persamaan (1.4) adalah

Δ x Δ px ≥ℏ2

Δ xe Δ pex≥ℏ2

Δ xe ≥ℏ

2 Δ pex

Δ xe=1,05 ×10−34 Js

2×(4,56 ×10−35kgm / s)

Δ xe=1,15 m

b. Posisi peluru

ppx=m p vx ppx

=(0,0200 kg )×500m / s ppx=10 kgm /s

Ketidakpastian dalam ppx adalah 0,0100% dari nilai ppx

, sehingga

∆ pp x=0,0100 %× 10 kgm /s

∆ pp x=1,0×10−3kgm / s

Lalu, ketidakpastian posisi peluru dengan menggunakan nilai ∆ pp xmenurut

persamaan (1.4) adalah

Δ x Δ px ≥ℏ2

Δ x p Δ pp x≥ℏ2


Δ x p ≥ℏ

2 Δ pp x

Δ x p=1,05 ×10−34 Js

2 ×(1,0 ×10−3 kgm / s)

Δ x p=5,25× 10−32 m

Heisenberg dengan cermat menunjukkan bahwa ketidakpastian Δ x dan Δ px,

tidak berasal dari instrument pengukuran yang tidak sempurna. Namun, ketidakpastian

tersebut muncul dari struktur kuantum materi itu sendiri, misalnya dari pengaruh

sebagaimana pada pantulan yang tidak dapat diprediksikan pada sebuah electron ketika

ditumbuk oleh foton atau difraksi cahaya ataupun difraksi electron melalui celah sempit.

Untuk memahami prinsip ketidakpastian, kita dapat meninjau pemikiran

eksperimen yang dikenalkan oleh Heisenberg. Hal tersebut dapat kita lakukan dengan

menganalisis tumbukan antara foton dan electron dalam pengukuran posisi dan

momentum sebuah electron yang seakurat mungkin menggunakan mikroskop. Perlu

diperhatikan bahwa foton datang memiliki momentum hλ

sebagai hasil dari tumbukan

tersebut, foton mentransfer sebagian atau seluruh momentumnya kepada electron. Jadi,

ketidakpastian momentum electron setelah tumbukan akan sebesar momentum foton

yang datang, yaitu Δ p=hλ

. Karena cahaya mempunyai sifat gelombang, maka posisi

electron akan menghasilkan suatu kisaran sepanjang satu panjang gelombang cahaya

yang digunakan untuk mengamatinya. Sehingga dapat dikatakan bahwa Δ x=λ. Dengan

mengalikan kedua ketidakpastian tersebut, maka diperoleh

Δ x Δ px=λ ( hλ)

Δ x Δ px=h

Persamaan diatas menyatakan perkalian ketidakpastian minimum. Karena ketidakpastian

selalu lebih besar dari nilai minimum tersebut, maka dapat kita nyatakan sebagai berikut

Δ x Δ px ≥ h (1.6)


Selain prinsip diatas, prinsip ketidakpastian juga didapatkan pada pengukuran

energy dan waktu. Prinsip ketidakpastian energy dan waktu dapat dinyatakan sebagai

berikut,

Δ E Δt ≥ℏ2

, dimana Δ E=h Δ f (1.7)

Persamaan (1.7) tersebut menyimpulkan bahwa kekekalan energy akan tampak dilanggar

oleh suatu nilai Δ E selama dalam rentang waktu Δt yang sangat singkat konsisten

terhadap persamaan tersebut.

Contoh 5

Ketika sebuah atom mengalami transisi, energy akan dipancarkan dalam bentuk

sebuah foton. Meskipun atom yang tereksitasi dapat memancarkan foton pada waktu t=0

hingga t=∞, rentang waktu rata-rata setelah eksitasi dimana atom memancarkan foton

disebut waktu hidup (τ ). Jika τ=1,0 ×10−8 s, dengan menggunakan prinsip

ketidakpastian hitunglah (a) lebar garis Δ f yang dihasilkan oleh waktu hidup yang

terbatas ini! (b) jika panjang gelombang spectrum garis yang berkaitan dengan proses ini

500 nm, tentukanlah fraksi pelebaran Δ f / f !

Diketahui :

τ=Δt=1,0 ×10−8 s

λsg=500 nm=5,00 ×10−7 m

Ditanyakan : (a) lebar garis Δ f ?

(b) Δ f / f , untuk λsg=500 nm?

Dijawab :

(a) Untuk menentukan lebar garis Δ f , kita dapat menggunakan persamaan

(1.6)

Δ E Δt ≥ℏ2

, dimana Δ E=h Δ f , sehingga

∆ f = Δ Eh

∆ f = ℏ2 h Δt ∆ f =

h2 π

2 h Δt∆ f = 1

4 π ∆ t∆ f = 1

4 π (1,0 ×10−8 s)∆ f =8,0× 106 Hz


(b) jika panjang gelombang spectrum garis yang berkaitan dengan proses

tersebut sebesar 500 nm, maka f dapat kita ketahui dengan

c= λf f = cλ

f = 3 ×108m / s5,00× 10−7 m

f =6,0 ×1016 Hz

Sehingga,

Δ ff

= 8,0 ×106 Hz6,0 ×1016 Hz

Δ ff

=1,3× 10−10

Latihan Soal

1. Jika kita ingin mengamati sebuah objek berukuran 2,5Ao , berapakah energy

minimum foton yang digunakan?

Penyelesaian

Diketahui : λ=

2,5 Ao

Ditanya : energy minimum yang diperlukan?

Dijawab :

Emin=hvmin=hcλmin

=12 , 40×103 eVA °2,5 A °

=4 ,96×103 eV

Jadi, energy minimum foton yang digunakan adalah 4 , 96×103 eV

2. Sebuah berkas neutron 0,083 eV terhambur dari suatu sampel yang tak diketahui dan

memiliki puncak refleksi Bragg yang terpusat pada 22o. Berapakah jarak bidang

Braggnya?

Penyelesaian

Diketahui : K = 0,083 eV

θ=22°

Ditanya : jarak bidang Bragg (d) ?

Dijawab :

Panjang gelombang berkas neutron diperoleh dari,


λ=hp

λ=h√2mK

λ=hc

√2(mc2 )K

λ=12 , 40×103eVA °

√2(940×106eV )(0 , 083 eV )λ=0 ,993 A °

Dengan mengasumsikan punxak tersebut, bersesuaian dengan difraksi orede

pertama (n=1), kita dapat memperoleh,

d=λ2sin θ

d=0 , 093 A °2sin 22 °

d=1,33 A °

Jadi, jarak bidang Braggnya adalah 1 ,33 A ° .

3. Berapakah ketidakpastian minimum untuk keadaan energy dari suatu atom jika satu

elektronnya menetap dalam keadaan ini selama 10-8s?

Penyelesaian

Diketahui : Δt=10−8 s

Ditanya : Ketidakpastian energy (ΔE )?

Dijawab :

Waktu yang tersedia adalah 10-8s, oleh karena itu, dari ΔEΔt≥h/ 4π kita dapat

memperoleh,

ΔE≥h4 πΔt

ΔE=hc4 πcΔt

ΔE=12 , 4×103 eVA °

4 π (3×108 ms)(10−8s )(1010 A °

m)

ΔE=0 ,329×10−7 eV


Jadi, ketidakpastian minimum energy untuk keadaan tersebut adalah 0 ,329×10−7 eV


Documents

De Broglie Ketidakpastian Edit