De Cuong Giai Tich Ngau Nhien

Vitsit me at http://Pdanghai.blogspot.com/ 1

CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT

1. Một số khái niệm

Thí nghiệm (phép thử) ngẫu nhiên là thí nghiệm có nhiều kết quả mà ta không thể đoán trước

kết quả nào sẽ xảy ra. Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của thí nghiệm được gọi là không gian

mẫu và được kí hiệu là . Mỗi tập con A được gọi là một biến cố.

Một họ các biến cố A được gọi là - đại số nếu:

(i) A chứa không gian mẫu, tức là, A .

(ii) A kín đối với phép lấy phần bù, tức là AA thì cA A , ở đó cA \ A .

(iii) A kín đối với phép lấy hợp đếm được, tức là nếu

nA , n 1,2, A thì nn 1

A

A

Chú ý. Cho nA là dãy các tập con của . Ký hiệu

n k n kn nn 1 k n n 1 k nlimsup A A , liminf A A

Khi là không gian metric E, thì ta ký hiệu B(E) là đại số sinh từ các tập mở, và gọi

B(E) là đại số Borel của E.

Ta hiểu độ đo trên đại số A là ánh xạ : [0, ) A sao cho tồn tại AA với

A và nếunA n 1,2,, A là dãy các tập rời nhau từng cặp thì

n nn 1 n 1

A A

Xác suất P là độ đo chuẩn hóa, tức là P 1 . Trong trường hợp đó, bộ ba , , P A được

gọi là không gian xác suất.

Xác suất có điều kiện được định nghĩa theo công thức

P A B

P A B , P B 0P B

Biến ngẫu nhiên là ánh xạ X : sao cho

X x X x , x A

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X được xác định theo công thức

F x P X x , x

Hàm số này có các tính chất (cần và đủ) sau:

(i) không giảm,


(ii) liên tục bên phải,

(iii) x xlim F x 0, lim F x 1

.

Biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc nếu tập tất cả các giá trị của nó là hữu hạn hay đếm

được. Ký hiệu 1 2x , x , là tập các giá trị của x.

Ta đặt n np P X x , n 1,2, và gọi np là dãy phân phối xác suất của X.

Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu hàm phân phối xác suất của nó có đạo hàm. Trong

trường hợp này ta gọi f x F x , x là hàm mật độ.

2. Kỳ vọng và phương sai

Trường hợp rời rạc

Kỳ vọng của X là số thực xác định theo công thức

n n n nn n

EX x p x P X x

nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối.

Kì vọng có điều kiện của X khi biến cố B đã cho là số thực xác định theo công thức

n nn

E X B x P X x B

Phương sai của X là số thực không âm xác định theo công thức

2

2 22 2n n n n

n n

DX E X EX EX EX p x p x

Phương sai có điều kiện của X khi biến cố B đã cho là số thực xác định theo công thức

2 22D X B E X E X B B E X B E X B

Trường hợp liên tục

Kỳ vọng của X là số thực xác định theo công thức

EX xf (x)dx

Phương sai của X là số thực không âm xác định theo công thức

2

2 22 2DX E X EX EX EX x f (x)dx xf (x)dx

Định nghĩa tổng quát của kì vọng có điều kiện đối với - đại số

Giả sử , , P A là không gian xác suất và F là - đại số con của A.

Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X 0 đối với F là biến ngẫu nhiên suy rộng không

âm


E X : 0, F

sao cho

(i) E XF là F- đo được,

(ii) với mọi AF

A A

XdP E X dP F

Phương sai có điều kiện được định nghĩa theo công thức

2D X E X E X F F F

Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện:

1. Nếu X là F- đo được thì E X XF . Đặc biệt, nếu C là hằng số thì E C CF .

2. Nếu X Y thì E X E YF F . Đặc biệt ta có bất đẳng thức

E X E XF F

3. Nếu a, b thì E aX bY aE X bE Y F F F .

4. E E X EX F .

5. Nếu X và F độc lập thì E X EXF . Đặc biệt nếu X, Y độc lập thì

E X Y EX .

6. Nếu 1 2F F thì

2 1 1 2 1E E X E E X E X F F F F F .

7. Nếu Y là F- đo được thì

E XY YE XF F .

3. Một số phân phối quan trọng

a. Phân phối nhị thức B(n, p)

n kk knX ~ B(n, p) p X k C .p 1 p , k 0, , n

X là số lần biến cố A xuất hiện trong dãy n phép thử chỉ có hai biến cố A, cA xuất hiện.

b. Phân phối Poisson P

X là số lần biến cố A xuất hiện trong 1 khoảng thời gian t cố định thì X có phân phối Poisson

tham số , tức


k .e

P x k , k 0,1,k!

k

n

.eX ~ B n,p lim P X k

k!

, với np .

X ~ P EX , DX .

c. Phân phối mũ Exp

x

X

.eX ~ Exp f x

0

2

1 1EX , DX

d. Phân phối chuẩn 2N a,

Nếu 2X ~ N a, thì:

+ Hàm mật độ: 2

2

x a

2X 2

1f x .e , x

2

.

+ X aZ ~ N 0,1

+ 2EX a, DX

Khi a = 0, 1 thì X có phân phối chuẩn tắc N(0, 1) với hàm mật độ

2x

2X

1f x .e

2

4. Một số bất đẳng thức cần nhớ

Bất đẳng thức Holder

Nếur sX L , Y L , trong đó r, s là các số sao cho 1 1

1 r , 1r s

thì

1 r 1/sr sE XY E X . E Y

F F F

Bất đẳng thức Minkowski

Nếu rX,Y L ,1 r thì

1 r 1 rr r rE X Y E X E Y F F F

Bất đẳng thức Jensen

Nếu g : là hàm lồi, tức là

g ax by ag(x) bg y , 0 a,b 1, x, y

khi x 0

khi x < 0


thì

g E X E g XF F .

CHƯƠNG 2. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN

Cho không gian xác suất ( , , P) F .

+ X :[0, ) được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếu t 0 thì tX là F- đo được.

+ Dãy - đại số con nF của F được gọi là một lọc nếu n m , n m F F .

+ tX được gọi là tương thích với lọc tF nếu tX là tF - đo được với mọi t 0 .

+ Cố định w thì

t

X w : 0,T

t X w

được gọi là quĩ đạo của thông tin.

+ X được gọi là quá trình ngẫu nhiên liên tục nếu

tP w : t X w liên tuc 1 .

+ X được gọi là liên tục phải (trái) nếu với hầu chắc chắn (h.c.c) mọi w thì tt X w liên

tục phải (trái).

+ X được gọi là có giới hạn phải (trái) nếu với h.c.c mọi w thì

0 0

t 0 t 0t t t tlim X w , t 0 lim X w , t 0 .

+ Với mọi A 2 thì ta đặt

*P (A) : inf P B : B , B A F

A được gọi là tập không (null set) nếu *P (A) 0

+ Lọc t t 0)( F được gọi là thỏa mãn điều kiện thông thường nếu

(i) tF liên tục phải:s t

s tF F .

(ii) tF chứa tất cả các tập không với mọi t.

+ X, Y là hai quá trình ngẫu nhiên.

X và Y được gọi là bất khả phân biệt nếu

t tP w : t : X (w) Y (w) 1 .

X được gọi là bản sao của Y nếu

t tP w : X (w) Y (w) 1, t 0 .


Nhận xét. Nếu X và Y là bất khả phân biệt thì X là bản sao của Y. Chiều ngược lại chưa chắc

đúng.

CHƯƠNG 3. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP

Câu 1. Định nghĩa chuyển động Brown. Chứng minh một quá trình ngẫu nhiên là một quá trình

Brown.

Trả lời

a. Định nghĩa. Cho không gian xác suất ( , , P) F . Quá trình ngẫu nhiên B :[0, )

được gọi là chuyển động Brown (quá trình Wiener) nếu

(i) 0B 0 h.c.c,

(ii) t st s : B B ~ N 0, t s (có số gia dương)

(iii) Với mọi t thì tB là tF - đo được,

(iv) t st s : B B độc lập vớisF (có số gia độc lập)

(v) tB có quĩ đạo liên tục h.c.c.

b. Ví dụ chứng minh một quá trình ngẫu nhiên là chuyển động Brown

Cho B là chuyển động Brown và a 0 . Khi đó

2t t aX a.B

cũng là chuyển động Brown.

Thật vậy,

(i) 0 0X B 0 .

(ii) 2 2t s t a s at s : X X a B B , nhưng do B là chuyển động Brown nên

2 2 2t a s a

t sB B ~ N 0,

a

Do đó

t sX X ~ N 0, t s .

(iii) Gọi sF là lọc tự nhiên sinh bởi quá trình ngẫu nhiên B. Đặt

2s s aG F

Khi đó 2 2t tt a t aX a.B ~ F G - đo được.

(iv) t s :

2 2t s t a s aX X a B B độc lập với 2 ss a

F G , tức là X có số gia độc lập.


(v) Cố định w thì 2t t at X w a.B liên tục.

Câu 2. Định nghĩa Martingale liên tục. Chứng minh một quá trình cho trước là martingale.

Trả lời

a. Định nghĩa. Giả sử tF là một lọc, không nhất thiết phải thỏa mãn điều kiện thông thường.

Quá trình ngẫu nhiên t t 0M

được gọi là một martingale thời gian liên tục ứng với lọc tF và

độ đo xác suất P nếu:

1. tE M với mọi t;

2. tM là tF - đo được với mọi t;

3. t s sE M M F h.c.c với mọi t s .

Nếu điều kiện thứ ba được thay bởi t s sE M M F h.c.c với mọi t s thì tM được gọi là

martingale dưới. tM được gọi là martingale trên nếu tM là martingale dưới (hoặc thay bởi

t s sE M M F ).

b. Các ví dụ về chứng minh một quá trình cho trước là martingale

Ví dụ 1. Giả sử X là một biến ngẫu nhiên khả tích, tF là một lọc. Đặt t tX E X F . Khi đó

tX là một martingale và được gọi là martingale chính quy.

Ví dụ 2. Giả sử tW là chuyển động Brown. Khi đó các quá trình sau đều là martigale:

1. t tM W .

2. 2t tM W t .

3.2

ta t

a.W2

tM e

.

4.T

3t t s

0

M W 3 W ds .

Giải

2. Với t > s ta có

2

t s t s s sE W E W W W F F

2 2t s s t s s s s sE W W 2E W W .W E W F F F

2 2t s s t s s sE W W 2W .E W W W F (do t sW W độc lập với sF )

2st s 0 W (do 2t s t sW W ~ N 0, t s E W W t s )


Do đó

2 2t s s t s sE W t s W E W t W s F F h.c.c


2 2

tt

a t a ta.W aW2 2

t s s sE M E e e .E e

F F F

2 2

t s s t s s

2

s t s

a t a ta (W W ) aW a(W W ) aW2 2

s s

a taW a(W W )2

s

e .E e e .E e .e

e .e .E e

F F

F2

s t s

a taW a(W W )2e .e .Ee

(do t sW W độc lập với sF )

2 2 2

ss

a t a (t s) aaW .saW2 2 2

se .e .e e M

.


t s t

3 3 3 3t s s t s u u s t s u s

0 0 s

E M M E W W 3 W du W du E W W 3 W du

F F F

t

3 3t s s s s u s

s

E W W W W 3E W du

F F

t

3 2 2t s s t s s s t s s s u s

s

E W W 3E W W .W 3E W W .W 3 E W du F F F F

t

3 2 2t s s t s s t s s

s

E W W 3W .E W W 3W E W W 3 W .du

2s s s0 3W . t s 3W .0 3W . t s 0 ,

ở đó 3t sE W W 0 . Thật vậy, ta đặt t sX W W thì X ~ N 0, t s và

2

2

x

2 t s3 3 3X

1EX x .f x .dx x . .e .dx 0

2 t s

(do hàm số dưới dấu tích phân là hàm lẻ)

Do đó

t s s t s sE M M 0 E M M F F

Ví dụ 3. Cho tW là chuyển động Brown. Chứng minh rằng

t 2t tX e .cos W

là martingale.

Chú ý. Sử dụng công thức vi phân Itô và tính chất sau :


“Giả sử f t là quá trình ngẫu nhiên tương thích với lọc tF và

t

t s

0

M f (s).dB , 0 t T .

Nếut

2

0

E f (s)ds

thì t t 0 t T

M ,

F là martingale.

Nếut

2

0

P f (s)ds 1

thì t t 0 t T

M ,

F là martingale địa phương ”.

Giải

Ta có: t tdW 0.dt 1.dW a 0, b 1 .

Xét hàm t 2F x, t e .cos x thì

2t 2 t 2 t 2

2

F 1 F Fe .cos x; e .s inx; e .cos x

t 2 x x

Khi đó

t 2 t 2 t 2 t 2t t t t t t t

1 1dX e .cos W e .cos W .dt e .sin W .dW e .sin W .dW

2 2

ts 2

t s s

0

X 1 e .sin W .dW .

Ta có

t 1

2s 2 ss

0 0

E e .sin W .ds E e .ds e 1

ts 2

s s

0 0 t 1

e .sin W .dW

là martingale.

Gọi s uW , 0 u s F thì với t s 0 :

t

u 2t s u u s

0

E X E 1 e .sin W .dW

F F

t su 2 u 2

u u s u u s

0 0

1 E e .sin W .dW 1 e .sin W .dW X

F .

Vậy t t 0 t 1X ,

F là martingale.

Câu 3. Phát biểu khai triển Doob – Meyer. Chứng minh tính duy nhất của khai triển.

Trả lời

Trước tiên ta đề cập đến một số định nghĩa và mệnh đề sau.

Định nghĩa. Quá trình ngẫu nhiên t t 0A

được gọi là


+ tăng nếu 0A 0 và ánh xạ tt A là liên tục phải và tăng h.c.c.

+ khả tích nếu tE A với mọi t 0 .

+ tự nhiên nếu với mọi martingale bị chặn t t 0m

, ta có

t t

s s s s

0 0

E m dA E m .dA , t 0

,

trong đó tích phân trong dấu kì vọng được hiểu theo nghĩa Lebesgue-Stieltjes và s tt sm lim m .

Mệnh đề. Giả sử t t 0A

là quá trình tăng và khả tích. Khi đó t t 0

A

là tự nhiên nếu với mọi

martingale bị chặn t t 0m

đẳng thức

t

t t s s

0

E m A E m .dA

được nghiệm đúng với mọi t 0 .

(Tức là cần phải chứng minh t

t t s s

0

E m A E m dA

.

a. Định nghĩa. Kí hiệu TS là tập các thời điểm dừng bị chặn bởi T 0 . Martingale dưới t t 0X

được gọi là thuộc lớp (DL) nếu họ các biến ngẫu nhiên TX : S là khả tích đều với mọi

T 0 .

b. Định lí (Khai triển Doob - Meyer). Giả sử t t 0X

là martingale dưới thuộc lớp (DL). Khi

đó tX có biểu diễn duy nhất dạng

t t tX M A ,

trong đó t t 0A

là quá trình tăng, khả tích và tự nhiên và t t 0

M

là martingale.

Chứng minh

Ta chỉ chứng minh tính duy nhất của khai triển.

Giả sử tX có hai khai triển thỏa mãn điều kiện của định lí

t t t t tX M A M A

Với mọi martingale bị chặn t t 0m

, ta có:

t

t t t s s s

0

E m A A E m d A A

n 1

kt n (k 1)t n (k 1)t n kt n kt nnk 0

lim E m A A A A


n 1

kt n (k 1)t n (k 1)t n kt n kt nnk 0

lim E m M M M M

n 1

kt n (k 1)t n (k 1)t n kt n kt n kt nnk 0

lim E m E M M M M

F

Áp dụng tính chất martingale của M và M ta được

(k 1)t n (k 1)t n kt n kt n kt nE M M M M F

nên

t t tE m A A 0

Với mỗi biến ngẫu nhiên bị chặn bất kì, t tm E F là martingale bị chặn. Do đó:

t t t t t0 E E F A A E A A .

Vậy nên với mỗit tt 0, A A h.c.c. Do A là liên tục phải nên

t tA A với mọi t 0 h.c.c và

t tM M với mọi t 0 h.c.c.

Câu 4. Định nghĩa martingale địa phương. Chứng minh rằng một martingale địa phương bị chặn

là một martingale.

Trả lời

a. Định nghĩa. Quá trình ngẫu nhiên t t 0M

được gọi là một martingale địa phương nếu tồn tại

một dãy các thời điểm dừng n n 0 tăng tới h.c.c sao cho với mọi n 0 , quá trình ngẫu

nhiênn

nt tM M là martingale.

Martingale địa phương t t 0M

được gọi là martingale bình phương khả tích địa phương nếu

2ntE M với mọi n 1 , mọi t 0 .

b. Chứng minh: Một martingale địa phương bị chặn là một martingale.

Câu 5. Trình bày cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên đơn giản.

Chứng minh tính chất đẳng cự.

Trả lời

a. Xây dựng vi phân ngẫu nhiên. Kí hiệu 0L là tập tất cả các quá trình ngẫu nhiên đơn giản tf

có dạng

j j 1

n 1

t j ( t ,t ]j 1

f w f w .1 t

,


trong đó 0 n0 t t và jf là biến ngẫu nhiênjtF - đo được.

Giả sử ta cố định một quá trình ngẫu nhiên 2,cMM . Với 0f L , ta xác định tích phân Itô

như sau

j 1 j

n 1

s s j t tj 1

I f f dM f M M

b. Tính chất đẳng cự

Định lí. Với mọi 0f L , ta có:

s sE f dM 0

và

22

s s s sE f dM E f d M

Chứng minh

Đẳng thức thứ nhất suy ra từ

j 1 j j 1 j

n 1 n 1

s s j t t j t tj 1 j 1

E f .dM E f M M E f M M

j 1 j j

n 1

j t t tj 1

E f .E M M 0

F

Để chứng minh đẳng thức thứ hai ta chú ý rằng:

j 1 j j 1 j k 1 k

n 12 22

s s j t t j k t t t tj 1 0 j k n 1

f .dM f M M 2 f f M M M M

1 2I I .

Ta có:

j 1 j j 1 j

n 1 n 12 22 2

1 j t t j t tj 1 j 1

E I E f M M E f M M

j 1 j j

n 1 22j t t t

j 1

E f E M M

F

Ta thấy:

2 2 2t s s t t s s sE M M E M 2M .M M F F

2 2t s s t s sE M 2M .E M M F F


2 2 2s s s st s

E M M M 2M M F

st sE M M F .

Do đó:

j 1 j

n 12

1 j st t sj 1

E I E f M M E f .d M

Mặt khác:

j 1 j k 1 k k2 j k t t t t t0 j k n 1

E I 2 E f f M M .E M M 0

F

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Câu 6. Phát biểu công thức vi phân Itô cho semimartingale liên tục và chứng minh cho trường

hợp 1 chiều.

Trả lời

Định nghĩa. Quá trình ngẫu nhiên d- chiều t t 0X

được gọi là semi-martingale liên tục nếu

t 0 t tX X M A ,

trong đó 1 dM , ,M là các martingale địa phương liên tục và 1 dA , ,A là các quá trình liên tục

có biến phân hữu hạn.

a. Định lí (Công thức vi phân Itô). Giả sử X là semi-martingale liên tục d- chiều và

2 dF C . Khi đó

d dd d d

i i 2 i jt 0 i s s i s s ij s s

i 1 i 1 i, j 10 0

1F X F X F X dM F X dA F X d M , M

2

(1)

b. Chứng minh

Ta chứng minh cho trường hợp d 1 .

Đặt

0

n

t 0t t

0 if X n

inf t : M n or Var A n or M n if X n

với tVar A là biến phân toàn phần của A trên đoạn 0, t . Rõ ràng n h.c.c. Ta chỉ cần

chứng minh (1) với t được thay bởint , sau đó cho n . Vì vậy, ta có thể giả sử rằng

0 t tX , M ,Var A và

tM là các quá trình bị chặn bởi một hằng số K và 2 d

0F C . Ở đây

2 d0C là tập các hàm khả vi đến cấp hai và có giá trị compact trong d .

Đặt it it n với i 0,1, Khi đó áp dụng công thức khai triển Taylor,


i i 1

n

t 0 t ti 1

F X F X F X F X

i 1 i i 1 i i 1

n n

t t t i t ti 1 i 1

n n1 2

1F X X X F X X

2

I I

với i nằm giữai 1tX

vàit

X .

Khi n :

i 1 i i 1 i 1 i i 1

t tn nn1 t t t t t t s s s s

i 1 i 1 0 0

I F X M M F X A A F X dM F X dA

(2)

Mặt khác:

i i 1 i i 1 i i 1 i i 1

n n n2 2n2 i t t i t t t t i t t

i 1 i 1 i 1

n n n21 22 23

2I F M M 2 F M M A A F A A

I I I

Do tA liên tục và có biến phân hữu hạn và M là liên tục nên:

j j 1 i i 1 j j 1

nn23 t t t t t t t 0

1 j n 1 j ni 1

I F sup A A A A F sup A A . A A 0

j j 1

n22 t t t 0

1 j nI F sup M M A A 0

h.c.c

Đặt

i i 1

k 2nk t t

i 1

V M M , k 1, , n

Khi đó:

i i 1 j j 1 i i 1

n 24 22nn t t t t t t

i 1 1 i j n

E V E M M 2 E M M . M M

i i 1 j j 1 j 1 i i 1

n 24 2

t t t t t t ti 1 1 i j n

E M M 2 E E M M . M M

F

i i 1 i i 1j j 1

n 2 22t t t tt t

i 1 1 i j n

4K E M M 2 E M M . M M

i i 1

22 nn t t

1 i n

4K .E V 2K. E M M

2 nn4K 2K .E V

22 nn4K 2K . E V

Do đó:


2 2n 2nE V 4K 2K

Đặt

i 1 i i 1 i 1 i i 1

n n 22n n3 t t t 4 t t t

i 1 i 1

I F X M M , I F X M M

Ta có:

i 1

2 2 2n n n3 21 i t n

1 i nE I I E max F F X .E V 0

(3)

và

t

n4 s s

0

I F X d M h.c.c (4)

Mặt khác:

i 1 i i 1 i i 1

n 222n n 23 4 t t t t t

i 1

E I I E F X M M M M

i i 1 i i 1

n 24

t t t ti 1

F .E M M M M 0

Kết hợp khẳng định trên với (3) và (4) ta được:

t

n21 s s

0

I F X d M

Lại kết hợp với (2) ta được điều phải chứng minh (1).

Chú ý. Với d = 1 và

t u t tX X M A

vớitA là biến phân bị chặn, 2,c

t loct 0M

M và 2F C . Khi đó:

t t t

t u s s s s s su u u

1F X F X F X dM F X dA F X d M

2

Câu 7. Giả sử M là martingale bình phương khả tích. Chứng m inh rằng biến phân bậc hai của M

trùng với quá trình Meyer của nó.

Trả lời

a. Một số định nghĩa:

+ Với các quá trình ngẫu nhiên t 0 t TX

. Biến phân bậc hai của X được xác định như sau

i i 1

n

t tt ni 1

X lim X X


+ Giả sử t t 0M

là martingale bình phương khả tích và có quĩ đạo liên tục phải. Khi đó tồn tại

duy nhất một quá trình tăng, tự nhiên,tA sao cho 2

t tM A là martingale. Ta kí hiệut t

A M

và gọi M là đặc trưng hay quá trình Meyer của martingale tM .

b. Chứng minh biến phân bậc hai của M trùng với quá trình Meyer của nó.

Giả sử 2,clocMM . Giả sử n

i 0 i nt

là dãy thỏa mãn n n n

0 1 n0 t t t t và

n nj j 1

1 j nmax t t 0

khi n .

Khi đó

n nj j 1

n 2

tt tnj 1

lim M M M

.

Chứng minh

Đặt nj 1

nt t jt

X M M , t t

.

Áp dụng công thức vi phân Itô với d = 1 cho 2F x x ta được:

n n nj 1j 1 j 1 j 1

n nj 1 j 1

t t2n

t s t s st t tt t

M M M M 2 M M dM d M

nnj 1 j 1j 1

nj 1

t2n

t s t s t ttt

M M 2 M M dM M M

Do đó

nj

n nn n nj j 1j j 1 j 1

nj 1

tn n2

s s t tt t tj 1 j 1 t

M M 2 M M dM M M

nj

nj 1

nj 1

tt n

s s s t 0tj 10 t

2 M dM 2 M dM M M

n n nj 1 j j 1

t n

s s tt t tj 10

2 M dM 2 M M M M

n

tM ,

vì theo định nghĩa tích phân ngẫu nhiên, n n nj 1 j j 1

tn

s st t tj 1 0

M M M M dM

.

Vậy ttM M .

Câu 8. Phát biểu và chứng minh công thức đặc trưng Levy cho chuyển động Brown.

Trả lời

Gọi * là chuyển vị của vectơ hay ma trận và jk ( j k)I là kí hiệu delta Kronecker.


Định lí (Đặc trưng Levy). Giả sử *1 dt t tX X , ,X thỏa mãn j 2,c

loc 0X , X 0 M và

j kjkt

X ,X t, j, k 1, ,d

Khi đó tX là chuyển động Brown d- chiều.

Chứng minh

Giả sử d . Áp dụng công thức Itô cho hàm *i xF e ta có với mọi t s 0 ,

* *t si X i X

t se e F X F X

t t t

u u u u u us s s

1F X .dM F X .dA F X d M

2

t t

u u u us s

1F X dX F X d X

2

* *u u

t t2i X i X*

u

s s

1i e dX .e du

2 .

Lấy kì vọng điều kiện hai vế với sF , ta được:

* * * *t s u u

t t2i X i X i X i X*

s u s s

s s

1E e e E i e dX E e

2

F F F

*u

t2 i X

s

s

1E e du

2 F

Chia hai vế cho*

si Xe ta được:

* *t s u s

t2i (X X ) i (X X )

s s

s

1E e 1 E e du

2 F F

Đặt *u si (X X )

u sm E e F với u s thì sm 1 và:

t2

t u

s

1m 1 m .du

2

21.t2 2t t 2

t tt

dm dm1 1.m .dt m c.e

dt 2 m 2

Do sm 1 nên 21. t s

2tm e

, tức là

2*

t s

1. t si (X X ) 2

sE e e F

Theo tính chất của hàm đặc trưng thì t sX X độc lập với sF và t sX X có phân phối chuẩn

dN 0, t s I . Vậy nên tX là chuyển động Brown d- chiều.


Câu 9. Phát biểu và chứng minh công thức tính biểu diễn martingale địa phương bình phương

khả tích bởi tích phân ngẫu nhiên ứng với chuyển động Brown.

Trả lời

Định nghĩa.

+ Martingale t t 0M

được gọi là martingale bình phương khả tích, kí hiệu 2MM , nếu

2tE M , t 0

Nếu M liên tục, ta kí hiệu 2,cMM .

+ Giả sử L là họ tất cả các ánh xạ đo được

X : , , B F B ,

sao cho với mọi t 0 , tX : là tF - đo được và với mỗi w , ánh xạ tt X w là liên

tục trái. Đặt

1X B : B , X L P B ,

trong đó

1tX B t, w : X w B

.

Có thể hiểu P là - đại số bé nhất trên , B F sao cho với mọi X L , ánh xạ

X : , , P B là đo được.

Quá trình ngẫu nhiên tX X w là khả báo nếu ánh xạ X : , , P B là đo

được.

a. Định lí. Giả sử i 2,cM , i 1, ,d M . Giả sử ij : , i, j 1, d là các quá trình

khả báo thỏa mãn

t d

i jik jkt

k 10

M , M s s ds

Nếu det s 0 h.c.c với mọi s thì tồn tại chuyển động Brown d- chiều tB sao cho

td

i kt ik s

k 1 0

M s dB

Chứng minh

Với mỗi N > 0 đặt

1

ij1 i , j d

Nmax (s) N

s 1

,

trong đó 1 là ma trận nghịch đảo của .

Đặt


td

i,N 1 kt N sik

k 1 0

B s . s .dM , i 1,2, ,d

.

Khi đó i,N 2,cB M và

td d

i,N j,N 1 1N km lmt ik jl

k,l 1 m 10

B ,B s . s . s . s . s .ds

td

im jm Nm 1 0

s .ds

t

ij N

0

s .ds .

Áp dụng bất đẳng thức Doob, ta có:

T

2 N,Ni,N i,Nt t N N

0 t T 0

E sup B B 4E s s .ds 0

.

Suy ra i,NB là dãy Cauchy nên i,NB hội tụ trong 2,cM tới iB nào đó, theo nghĩa

2i,N i

0 t TE sup B B 0

khi N 0 và

i jijt

B ,B t .

Theo định lí đặc trưng Levy, 1 dt t tB B , ,B là chuyển động Brown d- chiều.

Mà

t td

k,N iik s N s

k 1 0 0

s .dB s .dM

Cho N thì N s 1 nên

td

i kt ik s

k 1 0

M s dB

.

Câu 10. Phát biểu và chứng minh định lí duy nhất nghiệm của phương trình vi phân.

Trả lời

Định nghĩa (Nghiệm mạnh). Quá trình ngẫu nhiên t t 0X X

xác định trên không gian xác

suất , , P F được gọi là nghiệm mạnh của phương trình vi phân ngẫu nhiên

t t t tdX a t,X dt t,X dW , (*)

với điều kiện ban đầu nếu


1. X tương thích với lọc t t 0F ;

2. 0P X 1 ;

3. với mọi 1 i d, 1 j r , ta có:

t

2s ij s

0

P a x,X s,X ds 1

4. biểu diễn dưới dạng tích phân của (*) là:

t t

t 0 s s s

0 0

X X a s, X ds s, X dW , 0 t

hoặc tương đương là

t r

i i jt 0 i s ij s s

j 10

X X a s,X ds s,X dW , 0 t ,1 i d

,

nghiệm đúng hầu chắc chắn.

a. Định lí. (Xét trường hợp d = r =1)

Giả sử hai điều kiện sau được thỏa mãn

A1 (Điều kiện đo được). a và là đo được từ 0,T .

A2 (Điều kiện Lipschitz). Tồn tại hằng số K > 0 sao cho

a t, x a t, y t, x t, y K x y , với mọi t 0,T , x, y

thì phương trình vi phân ngẫu nhiên

t t t tdX a t,X dt t,X dW , (*)

với điều kiện ban đầu có tính duy nhất nghiệm

b. Chứng minh

Giả sử t t 0,TX

và t

t 0,TX

là hai nghiệm của phương trình (*) với quĩ đạo liên tục hầu chắc

chắn, tức là:

t t

t s s s

0 0

X a s,X .ds s,X .dW

t t

t s s s

0 0

X a s,X .ds s,X .dW

Với mỗi N > 0, xét

Nt

1I w

0

Ta có NtI là tF - đo được và N N N

t t sI I I với mọi t s 0 . Đặt N Nt t t tZ I X X , ta có

nếu u uX w X w N, u 0, t

trong các trường hợp khác


Khi đó

t t

N N Nt t t t t s s s s s

0 0

Z I X X I a s,X a s,X .ds s,X s,X .dW

t t

N N Nt s s s s s s s

0 0

I I a s,X a s,X ds I s,X s,X .dW

Áp dụng điều kiện Lipschitz A2, ta có với mọi s 0, t thì

N N Ns s s s s s s s sI a s, X a s, X I s, X s, X K.I X X 2KN (**)

Do đó áp dụng tính chất đẳng cự của tích phân Itô ta được

2 2t t

2N N Nt s s s s s s s

0 0

E Z 2E I a s, X a s, X ds 2E I s, X s, X dW

2t t2

N Ns s s s s s

0 0

2T.E I a s,X a s,X .ds 2E I s,X s,X .ds

t t

2 2N N2 2s s s s s s

0 0

2T.E I K . X X .ds 2E I K X X .ds

t

2N2s s s

0

2K T 1 E I X X .ds

t

2N2s

0

2K T 1 E Z .ds

Do đó

t

2 2N Nt s

0

E Z L E Z ds, t 0,T ,

với 2L 2 T 1 K . Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta được:

22N N N N

t t t t t t t tE Z E I X X 0 I X I X h.c.c, t 0,T , N

Do quĩ đạo của X và X là liên tục nên nó bị chặn h.c.c, do đó xác suất:

Nt t

0 t T 0 t TP I 1, t 0,T P sup X N P sup X N 0

khi N ,

tức là NtI 1 h.c.c.

Do đó với mỗi t cố định, ta có: t tX X h.c.c, hay t tP X X 1 . Suy ra:

t tP X X , t 0,T 1


Thật vậy, đặt t t tA w : X X thì

t t tt 0,T

X X , t 0,T A

Ta có

t tt 0,T t 0,T

tt 0,T

P \ A P \ A

P \ A 0

t t

t 0,Tt 0,T

P \ A 0 P A 1

.

Để kết thúc chứng minh ta sẽ chứng minh t t t tX X , t 0,T X X , t 0,T .

Thế thì:

t t t tP X X , t 0,T P X X , t 0,T 1 ,

tức là t tX X h.c.c với mọi t 0,T .

Thật vậy, giả sử

t tA X X , t 0,T và t tB X X , t 0,T .

Rõ ràng A B .

Mặt khác với mọi w B thì t tX w X w , t 0,T .

Xét t 0,T bất kì, tồn tại n n 1t 0,T

sao cho nn

lim t t

.

Do t tX ,X là các quá trình ngẫu nhiên liên tục và

n nt tX w X w . Cho n ta được

t tX w X w w A B A . Vậy A = B. Định lí được chứng minh.

CHƯƠNG 4. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬPBài 1. Tính vi phân Itô của

a. 3t tX W .

b. t tX t.W .

c.2tW t

tX e .

Giải


Ta thấy trong cả ba trường hợp a, b, c thì t tdW 0.dt 1.dW a(t) 0, (t) 1 .

a. Xét 3F(t, x) x thì2

22

F F F3x , 6x, 0

x x t

nên

3 2t t t tdW 3W dt 3W .dW

b. Tương tự trên với hàm F(t, x) t.x ta được:

t t td t.W W .dt t.dW

c. Tương tự với hàm2x tF(t, x) e ta được:

2 2 2t t tW t W t W t2

t t td e 2.W .e .dt 2W .e .dW

Bài 2.

a. Cho tX thỏa mãn t t t tdX X .dt 2.X .dW

Tính vi phân Itô của t tY ln X . Từ đó tìm tX .

b. Câu hỏi tương tự phần a, vớit t tdX X .dt dW và t

t tY e .X .

Giải

a. Tương tự bài 1, ta được:

t tdY dt 2dW

Do đó:t t t

t 0 s s t

0 0 0

Y Y dY ds 2 dW t 2W

t2W tt 0 t t 0ln(X ) ln(X ) 2W t X X .e .

b. Tương tự phần a, ta có:t

t tdY e .dW

t ts

t 0 s s

0 0

Y Y dY e .dW t t

t s t st 0 s t 0 s

0 0

e .X X e .dW X e X e .dW

Chú ý. Trường hợp d = 1:

t tdX a(t).dt (t).dW

t tY F t,X với 2F C2

2t t t t t t2

t t t

F F 1 F FdY (t,X ) a(t). (t,X ) (t). (t,X ) .dt (t). (t,X ).dW

t X 2 X X


Bài 3. Giải các phương trình vi phân sau:

a. t t t t 0dX 2X .dt t.X .dW , X 1 .

b. t t t 0dX 3X .dt dW ,X 1 .

Giải

a. Nhận xét. Từ tt t t t t

t

dXdX 2X .dt t.X .dW 2dt t.dW

X (dạng giống bài 2a) nên xét hàm

t tY ln X . Từ đó tính được:

2

t t

tdY 2 dt t.dW

2

Tương tự bà i 2, suy ra

t3

s

0

12t t s.dW

6

tX e

b. Chọn hàm 3tt tY e .X thì

3tt tdY e .dW

Do đót t

3t 3s 3t 3st 0 s t 0 s

0 0

e .X X e .dW X e X e .dW

Bài 4 (Bài thi điều kiện môn GTNN). Giả sử tW là chuyển động Brown một chiều. Sử dụng

công thức vi phân Itô tìm ngiệm của phương trình sau:

a. t t t t 0dY 2Y dY 3dW ,Y 1 .

b. t t t t 0dX 2X dt 3X .dW ,X 2 . Tính kì vọng và phương sai củatX

Gợi ý

a. Xét hàm 2tt tZ e .Y .

b. Xét hàm t tY ln X .

Để tính kì vọng và phương sai củatX ta sử dụng một số tính chất sau:

(i) tW là chuyển động Brown nên t sW W ~ N 0, t s .

(ii) 2

22 2tDX EX EX x f (x)dx xf (x)dx

.

Bài 5. Cho

s

t

0

X t.dW


Tính hàm đặc trưng của X. Từ đó xác định phân phối của biến ngẫu nhiên X.

Giải

Để tính hàm đặc trưng của X, tức là tính siuXE e ta sẽ tính siuXd e .

Từs

t

0

X t.dW suy ra s sdX s.dW a(s) 0, (s) s .

Bằng cách xét hàm iuxF s, x e , ta tính được:

s s siuX iuX iuX2 2s

1d e s u e .ds ius.e .dW

2

s t t

s siuX iuX iuX2 2

t

0 0

1e 1 t .u .e .dt iut.e .dW

2 (*)

Ta có:

t

1 1 22iuX 2 2

0 0

uE iut.e .dt E u .t .dt

3

Do đó t

siuX

t

0

iut.e .dW là martingale nên t

siuX

t

0

E iut.e .dW 0

.

Lấy kì vọng hai vế của (*) ta được:

s t t

s siuX iuX iuX2 2 2 2

0 0

1 1E e 1 E t .u .e .dt t .u .E e .dt

2 2

Đặt tiuXf (t) E e thì

s

2 2

0

1f (s) 1 t .u .f t .dt

2

2 2 2 2df 1 df 1s .u .f s s .u .ds

ds 2 f 2

t

2 2 3 2

0

1 1ln f t ln f 0 s .u .ds .t .u

2 6

2 3u t

6f (t) e

.

Do đó:

2 3 2

t

u t uiuX iuX6 6E e e E e e X ~ N 0,3

.

Documents

De Cuong Giai Tich Ngau Nhien