De Cuong Toan 10 Tap i Le Van Doan 7824

Ths. LThs. LThs. LThs. Lêêêê VVVVăăăăn n n n ĐĐĐĐoànoànoànoàn

MỤC LỤC Trang

PHẦN I – ĐẠI SỐ

CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP -------------------------------------------------------------------- 1

A – MỆNH ĐỀ --------------------------------------------------------------------------------------------- 1

B – TẬP HỢP ---------------------------------------------------------------------------------------------- 6

CHƯƠNG II – HÀM SỐ BẬC NHẤT & BẬC HAI ----------------------------------------------------- 12

A – ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ ------------------------------------------------------------------------ 12

Dạng toán 1. Tìm tập xác định của hàm số ------------------------------------------------------ 13

Dạng toán 2. Tính đơn điệu của hàm số --------------------------------------------------------- 16

Dạng toán 3. Xét tính chẳn lẻ của hàm số ------------------------------------------------------- 18

B – HÀM SỐ BẬC NHẤT ------------------------------------------------------------------------------- 20

C – HÀM SỐ BẬC HAI ---------------------------------------------------------------------------------- 25

CHƯƠNG III – PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH ---------------------------------------- 36

A – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ------------------------------------------------------------- 36

B – PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ------------------------------------------------------------------- 38

C – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ---------------------------------------------------------------------- 43

Dạng toán 1. Giải và biện luận phương trình bậc hai ------------------------------------------ 43

Dạng toán 2. Dấu của số nghiệm phương trình bậc hai ---------------------------------------- 44

Dạng toán 3. Những bài toán liên quan đến định lí Viét --------------------------------------- 47

Dạng toán 4. Phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai ----------------------------- 52

Dạng toán 5. Phương trình chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối ------------------------------------ 57

Dạng toán 6. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ---------------------------------------------- 59

D – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN ----------------------------------------------- 73

E – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN SỐ -------------------------------------------------- 80

CHƯƠNG IV – BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH ------------------------------------- 106

A – BẤT ĐẲNG THỨC --------------------------------------------------------------------------------- 106

Dạng toán 1. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất ---------------------------- 108

Dạng toán 2. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy ---------------------------------------- 113

Dạng toán 3. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki -------------------------------- 122

Dạng toán 4. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz ----------------------------- 125

Dạng toán 5. Chứng minh BĐT dựa vào phương pháp tọa độ véctơ ------------------------ 126

Dạng toán 6. Ứng dụng BĐT để giải phương trình --------------------------------------------- 127

PHẦN II – HÌNH HỌC

CHƯƠNG I – VÉCTƠ & PHÉP TOÁN ------------------------------------------------------------------- 141

A – VÉCTƠ & CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VÉCTƠ ------------------------------------------------- 141

Dạng toán 1. Đại cương về véctơ ----------------------------------------------------------------- 143

Dạng toán 2. Chứng minh một đẳng thức véctơ ------------------------------------------------ 147

Dạng toán 3. Xác định điểm thỏa đẳng thức véctơ --------------------------------------------- 156

Dạng toán 4. Phân tích véctơ – Chứng minh thẳng hàng – Song song ---------------------- 164

Dạng toán 5. Tìm môđun – Quỹ tích điểm – Điểm cố định ----------------------------------- 177

B – HỆ TRỤC TỌA ĐỘ --------------------------------------------------------------------------------- 180

Dạng toán 1. Tọa độ véctơ – Biểu diễn véctơ --------------------------------------------------- 181

Dạng toán 2. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước ----------------------------------- 183

Dạng toán 3. Véctơ cùng phương và ứng dụng ------------------------------------------------- 185

CHƯƠNG II – TÍCH VÔ HƯỚNG & ỨNG DỤNG ---------------------------------------------------- 190

A – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG GÓC BẤT KÌ --------------------------------- 190

B – TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ ---------------------------------------------------------- 194

Dạng toán 1. Tích vô hướng – Tính góc – Chứng minh và thiết lập vuông góc ----------- 195

Dạng toán 2. Chứng minh đẳng thức – Bài toán cực trị --------------------------------------- 201

C – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ------------------------------------------------------- 207

PHẦN I

ĐẠI SỐ

Đề cương học tập môn Toán 10 tập I Ths. Lê Văn Đoàn

"Cần cù bù thông minh…………" Page - 1 -

Chương

��

�� Mệnh đề

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

�� Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P.

Mệnh đề "không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P .

Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng.

�� Mệnh đề kéo theo

Cho mệnh đề P và Q. Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là: P ⇒ Q. Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. � Lưu ý rằng: Các định lí toán học thường có dạng P ⇒ Q. Khi đó:

� P là giả thiết, Q là kết luận. � P là điều kiện đủ để có Q. � Q là điều kiện cần để có P.

�� Mệnh đề đảo

Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

�� Mệnh đề tương đương

Cho mệnh đề P và Q. Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q. Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng. � Lưu ý rằng: Nếu mệnh đề P ⇔ Q là 1 định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.

Mệnh đề chứa biến

Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.

Kí hiệu ∀∀∀∀ và ∃∃∃∃

"∀x ∈ X, P(x)". "∃x ∈ X, P(x)".

Mệnh đề phủ định của mệnh đề "∀x ∈ X, P(x)" là "∃x ∈ X, P(x) ".

Mệnh đề phủ định của mệnh đề "∃x ∈ X, P(x)" là "∀x ∈ X, P(x) ".

�� Phép chứng minh phản chứng

Giả sử ta cần chứng minh định lí: A ⇒ B Cách 1. Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết

chứng minh B đúng. Cách 2. (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A

sai. Do A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng.

A – MỆNH ĐỀ

MỆNHĐỀMỆNHĐỀMỆNHĐỀMỆNHĐỀ––––TẬPHỢPTẬPHỢPTẬPHỢPTẬPHỢP1

Ths. Lê Văn Đoàn Phần Đại Số

Page - 2 - "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"

BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài1.Bài1.Bài1.Bài1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến ?

a/ Số 11 là số chẵn. b/ Bạn có chăm học không ? c/ Huế là một thành phố của Việt Nam. d/ 2x 3+ là một số nguyên dương.

e/ 2 5 0− < . f/ 4 x 3+ = . g/ Hãy trả lời câu hỏi này !. h/ Paris là thủ đô nước Ý.

i/ Phương trình 2x x 1 0− + = có nghiệm. k/ 13 là một số nguyên tố.

Bài2.Bài2.Bài2.Bài2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ?

a/ Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. b/ Nếu a b≥ thì 2 2a b≥ . c/ Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6. d/ Số π lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4. e/ 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. f/ 81 là một số chính phương. g/ 5 > 3 hoặc 5 < 3. h/ Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5.

Bài3.Bài3.Bài3.Bài3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ?

a/ Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. b/ Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau. c/ Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có

một góc bằng 600. d/ Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại. e/ Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng. f/ Hình chữ nhật có hai trục đối xứng. g/ Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. h/ Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông.

Bài4.Bài4.Bài4.Bài4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? Phát biểu các mệnh đề đó thành lời ?

a/ 2x ,x 0∀ ∈ >� . b/ 2x ,x x∃ ∈ >� .

c/ 2x , 4x 1 0∃ ∈ − =� . d/ 2n ,n n∀ ∈ >� .

e) 2x ,x x 1 0∀ ∈ − = >� . f/ 2x ,x 9 x 3∀ ∈ > ⇒ >� .

g/ 2x ,x 3 x 9∀ ∈ > ⇒ >� . h/ 2x ,x 5 x 5∀ ∈ < ⇒ <� .

i/ 2x ,5x 3x 1∃ ∈ − ≤� . k/ 2x ,x 2x 5∃ ∈ + +� là hợp số.

l/ 2n ,n 1∀ ∈ +� không chia hết cho 3. m/ *n ,n(n 1)∀ ∈ +� là số lẻ.

n/ *n ,n(n 1)(n 2)∀ ∈ + +� chia hết cho 6. o/ *n ,∀ ∈ � 3n 11n+ chia hết cho 6.

Bài5.Bài5.Bài5.Bài5. Điền vào chỗ trống từ nối "và" hay "hoặc" để được mệnh đề đúng ?

a/ 4............ 5π< π> . b/ ab 0 khi a 0............b 0= = = .

c/ ab 0 khi a 0............b 0≠ ≠ ≠ .

d/ ab 0 khi a 0............ b 0............a 0............b 0> > > < < .

e/ Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 ……… cho 3. f/ Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0 ……… bằng 5.

Bài6.Bài6.Bài6.Bài6. Cho mệnh đề chứa biến ( )P x , với x ∈ � . Tìm x để ( )P x là mệnh đề đúng ?

a/ ( ) x2P x : " x 5 4 0 "− + = . b/ ( ) 2P x : " x 5x 6 0 "− + = .



c/ ( ) 2P x : " x 3x 0 "− > . d/ ( )P x : " x x "≥ .

e/ ( )P x : "2x 3 7 "+ ≤ . f/ ( ) 2P x : " x x 1 0 "+ + > .

Bài7.Bài7.Bài7.Bài7. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a/ Số tự nhiên n chia hết cho 2 và cho 3. b/ Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5. c/ Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau. d/ Số tự nhiên n có ước số bằng 1 và bằng n.

Bài8.Bài8.Bài8.Bài8. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a/ 2x : x 0∀ ∈ >� b/ 2x : x x∃ ∈ >� .

c/ 2x : 4x 1 0∃ ∈ − =� . d/ 2x : x x 7 0∀ ∈ − + >� .

e/ 2x : x x 2 0∀ ∈ − − <� . f/ 2x : x 3∃ ∈ =� .

g/ 2n ,n 1∀ ∈ +� không chia hết cho 3. h/ 2n ,n 2n 5∀ ∈ + +� là số nguyên tố.

i/ 2n ,n n∀ ∈ +� chia hết cho 2. k/ 2n ,n 1∀ ∈ −� là số lẻ.

Bài9.Bài9.Bài9.Bài9. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ":

a/ Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. b/ Nếu a b 0+ > thì một trong hai số a và b phải dương. c/ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. d/ Nếu a b= thì 2 2a b= . e/ Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a b+ chia hết cho c.

Bài10.Bài10.Bài10.Bài10. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ":

a/ Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau. b/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. c/ Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. d/ Nếu tứ giác H là một hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông. e/ Nếu tam giác K đều thì nó có hai góc bằng nhau.

Bài11.Bài11.Bài11.Bài11. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ":

a/ Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. b/ Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. c/ Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau. d/ Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3. e/ Số tự nhiên n là số lẻ khi và chỉ khi n2 là số lẻ.

Bài12.Bài12.Bài12.Bài12. Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng:

a/ Nếu a b 2+ < thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1. b/ Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn 600. c/ Nếu x 1≠ và y 1≠ thì x y xy 1+ + ≠ . d/ Nếu bình phương của một số tự nhiên n là một số chẵn thì n cũng là một số chẵn. e/ Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn. f/ Nếu 1 tứ giác có tổng các góc đối diện bằng 2 góc vuông thì tứ giác nội tiếp được đường tròn.

g/ Nếu 2 2x y 0+ = thì x 0= và y 0= .



BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài13.Bài13.Bài13.Bài13. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào không là mệnh đề ? Nếu là mệnh đề thì nó là

mệnh đề đúng hay sai ?

a/ Các em có vui không ? b/ Cấm học sinh nói chuyện trong giờ học ! c/ Phương trình 2x x 0+ = có hai nghiệm dương phân biệt. d/ 52 1− là một số nguyên tố.

e/ 2 là một số vô tỉ. f/ Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của nước Việt Nam. g/ Một số tự nhiên chia hết cho 2 và 4 thì số đó chia hết cho 8. h/ Nếu 20032 1− là số nguyên tố thì 16 là số chính phương.

Bài14.Bài14.Bài14.Bài14. Viết mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai ?

a/ 3,15π < . b/ 125 0− ≤ .

c/ 3 là số nguyên tố. d/ 7 không chia hết cho 5. e/ π là số hữu tỉ. f/ 1794 chia hết cho 3.

g/ 2 là số hữu tỉ. h/ Tổng 2 cạnh 1 ∆ lớn hơn cạnh thứ 3.

Bài15.Bài15.Bài15.Bài15. Phát biểu thành lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của các mệnh đề đó:

a/ 2x ,x 0∀ ∈ >� . b/ 2n ,n n∃ ∈ =� . c/ n ,n 2n∃ ∈ ≤� . d/ x ,x 0∃ ∈ <� .

e/ x , 1,2 x 2,1∀ ∈ < <� . f/ 2n ,n 1∀ ∈ +� chia hết cho 3.

Bài16.Bài16.Bài16.Bài16. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai ? Giải thích ? Viết mệnh đề phủ định của chúng ?

a/ 2n ,n 2∃ ∈ =� . b/ 2x ,x x∀ ∈ >� .

c/ 2x , x x∃ ∈ >� . d/ 2n ,n n∀ ∈ ≥� .

e/ 2n ,n n∃ ∈ ≥� . f/ 2x , x x 1 0∀ ∈ − + >� .

g/ 2x , x x 1 0∃ ∈ − + >� h/ 2n ,n 1∀ ∈ +� không chia hết cho 3.

i/ 2n ,n 1∃ ∈ +� không chia hết cho 3. j/ 2n ,n 1∃ ∈ +� chia hết cho 4.

Bài17.Bài17.Bài17.Bài17. Cho mệnh đề chứa biến ( ) 2P x : " x x "= . Xác định tính đúng – sai của các mệnh đề sau:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P 0 ; P 1 ; P 1 ; " x ,P x "; " x ,P x "− ∃ ∈ ∀ ∈� � .

Bài18.Bài18.Bài18.Bài18. Cho mệnh đề chứa biến ( ) 3P x : " x 2x 0 "− = . Xác định tính đúng – sai của các mệnh đề sau:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P 0 ; P 2 ; P 2 ; " x ,P x "; " x ,P x "∃ ∈ ∀ ∈� � .

Bài19.Bài19.Bài19.Bài19. Các mệnh đề sau đúng hay sai ? Nếu sai hãy sửa lại để có một mệnh đề đúng ?

a/ 2x 1 x 1= ⇔ = . b/ 2001 là số nguyên tố.

c/ 2x , x x∀ ∈ >� . d/ 2 2x , x y 2xy∀ ∈ + ≤� .

e/ 2x ,x x∃ ∈ ≤� . f/ 2n ,n n 1 7∃ ∈ + +� � b/ ABCD là hình vuông ⇒ ABCD là hình bình hành. c/ ABCD là hình thoi ⇒ ABCD là hình chữ nhật. d/ Tứ giác MNPQ là hình vuông ⇔ Hai đường chéo MP và NQ bằng nhau. e/ Hai tam giác bằng nhau ⇔ Chúng có diện tích bằng nhau.



Bài20.Bài20.Bài20.Bài20. Dùng bảng chân trị hãy chứng minh:

a/ ( ) ( )A B A B⇒ = ∨ . b/ ( )A B A A ⇒ ∧ = .

c/ ( ) ( ) ( )A B A B B A⇒ = ∨ = ⇒ . d/ ( ) ( )A B B A B ⇒ ⇒ = ∨ .

e/ ( ) ( )A B A B∨ = ∧ . f/ ( ) ( )A B A B∧ = ∨ .

i/ ( ) ( ) ( )A B C A B A C ⇒ ∧ = ⇒ ∧ ⇒ . j/ ( ) ( )A B C A B C

∧ ⇒ = ∨ ∨

.

Bài21.Bài21.Bài21.Bài21. Với n là số tự nhiên lẻ, xét định lí: " Nếu n là số tự nhiên lẻ thì 2n 1− chia hết cho 8". Định lí

trên được viết dưới dạng ( ) ( )P n Q n⇒ .

a/ Hãy xác định mệnh đề ( )P n và ( )Q n .

b/ Phát biểu định lí trên bằng cách sử dụng thuật ngữ "điều kiện đủ" và " điều kiện cần". Bài22.Bài22.Bài22.Bài22. Cho định lí: " Nếu n là số tự nhiên thì 3n n− chia hết cho 3". Định lí trên được viết dưới dạng

( ) ( )P n Q n⇒ .

a/ Hãy xác định mệnh đề ( )P n và ( )Q n .

b/ Phát biểu định lí trên bằng cách sử dụng thuật ngữ "điều kiện đủ" và " điều kiện cần". c/ Chứng minh định lí trên.

Bài23.Bài23.Bài23.Bài23. Sử dụng thuật ngữ "điều kiện đủ" để phát biểu các định lí sau:

a/ Nếu một tứ giác là hình bình hành thì nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b/ Nếu một hình thoi có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình vuông.

c/ Nếu ( )2ax bx c 0, a 0+ + = ≠ có 2b 4ac 0− > thì phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt.

d/ Nếu x 2> thì 2x 4> .

Bài24.Bài24.Bài24.Bài24. Sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần" để phát biểu các định lí sau:

a/ Nếu x 5> thì 2x 25> . b/ Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau. c/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau. d/ Nếu a là số tự nhiên và a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 3.

Bài25.Bài25.Bài25.Bài25. Cho hai mệnh đề, mệnh đề A: "a và b là hai số tự nhiên lẻ" và mệnh đề B: "a b+ là số chẵn".

a/ Phát biểu mệnh đề A B⇒ . Mệnh đề này đúng hay sai ? b/ Phát biểu mệnh đề B A⇒ . Mệnh đề này đúng hay sai ?

Bài26.Bài26.Bài26.Bài26. Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng.

a/ Nếu tổng của 99 số bằng 100 thì có ít nhất một số lớn hơn 1. b/ Nếu a và b là các số tự nhiên với tích a.b lẻ thì a và b là các số tự nhiên lẻ. c/ Cho a,b, c ∈ � . Có ít nhất một trong ba đẳng thức sau là đúng:

2 2 2 2 2 2a b 2bc; b c 2ac; c a 2ab+ ≥ + ≥ + ≥ .

d/ Với các số tự nhiên a và b, nếu 2 2a b+ chia hết cho 8 thì a và b không thể đồng thời là số lẻ. e/ Nếu nhốt 25 con thỏ vào trong 6 cái chuồng thì có ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.

Bài27.Bài27.Bài27.Bài27. Cho định lí: " Nếu a và b là hai số nguyên dương và mỗi số đều chia hết cho 3 thì 2 2a b+ cũng chia hết cho 3". Hãy phát biểu và chứng minh định lí đảo của định lí trên (nếu có), rồi dùng thuật ngữ "điều kiện cần và đủ" để gộp cả hai định lí thuận và đảo.



(////////// //////////

+∞ – ∞

�� Tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. Cách xác định tập hợp.

+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { … }. + Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu ∅.

�� Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau

Tập hợp con: ( )A B x A x B⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ .

+ A A, A⊂ ∀ .

+ A, A∅⊂ ∀ .

+ A B,B C A C⊂ ⊂ ⇒ ⊂ .

Tập hợp bằng nhau: A B

A BB A

⊂= ⇔ ⊂

. Nếu tập hợp có n phần tử n2⇒ tập hợp con.

�� Một số tập hợp con của tập hợp số thực �

Tập hợp con của � : * ⊂ ⊂ ⊂ ⊂� � � � � .

Khoảng:

+ ( ) { }a;b x / a x b= ∈ < <�

+ ( ) { }a; x / a x+∞ = ∈ <�

+ ( ) { };b x / x b−∞ = ∈ <�

Đoạn: { }a;b x / a x b = ∈ ≤ ≤ �

Nửa khoảng:

+ ) { }a;b x / a x b = ∈ ≤ < �

+ ( { }a;b x / a x b = ∈ < ≤�

+ ) { }a; x / a x +∞ = ∈ ≤�

+ ( { };b x / x b−∞ = ∈ ≤ �

�� Các phép toán tập hợp

Giao của hai tập hợp: A B∩ ⇔{ x x A∈ và x B∈ }.

Hợp của hai tập hợp: A B∪ ⇔{ x x A∈ hoặc x B∈ }.

Hiệu của hai tập hợp: A \ B ⇔ { x x A∈ và x B∉ }.

Phần bù: Cho B A⊂ thì \A

C B A B= .

A B

( )////////// ////////// a b

+∞ – ∞

)////////// //////////

a b +∞ – ∞

– ∞ +∞ //////////(

– ∞ +∞ //////////[

////////// //////////

+∞ – ∞

– ∞ +∞ ) //////////

– ∞ +∞ ] //////////

A B

DA

B

A B

B – TẬP HỢP



BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài28.Bài28.Bài28.Bài28. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó.

a/ ( )( ){ }2 2A x 2x 5x 3 x 4x 3 0= ∈ − + − + =� .

b/ ( )( ){ }2 3B x x 10x 21 x x 0= ∈ − + − =� .

c/ ( )( ){ }2 2C x 6x 7x 1 x 5x 6 0= ∈ − + − + =� .

d/ { }2D x 2x 5x 3 0= ∈ − + =� .

e/ { }E x x 3 4 2x ; 5x 3 4x 1= ∈ + < + − < −� .

f/ { }F x x 2 1= ∈ + ≤� .

g/ { }G x x 5= ∈ <� .

h/ { }2H x x x 3 0= ∈ + + =� .

i/ a

1 1K x Q x ,a N

322

= ∈ = ≤ ∈

.

Bài29.Bài29.Bài29.Bài29. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó:

a/ { } A 0; 1; 2; 3; 4= . b/ { } B 0; 4; 8; 12; 16= .

c/ { } C 3 ; 9; 27; 81= − − . d/ { } D 9; 36; 81; 144= .

e/ { } E 2; 3; 5; 7; 11= . f/ { } F 3; 6; 9; 12; 15= .

g/ { }G 0;3;8;15;24;35;48;63= . h/ 1 1 1 1 1

H 1; ; ; ; ;3 9 27 81 234

=

.

i/ 1 1 1 1 1

I ; ; ; ;2 6 12 20 30

=

. j/ 2 3 4 5 6

J ; ; ; ;3 8 15 24 35

=

.

k/ { }K 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4;5= − − − − . l/ { }L 3,8,15,24,35,48,63= .

m/ 2 3 4 5 6 7 8

M 1, , , , , , ,3 5 7 9 11 13 15

=

. n/ { }N 3,4,7,12,19,28,39,52= .

o/ { }O 0, 3,2 2, 15,2 6, 35,4 3, 63= . p/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P 0, , , , , , , , ,2 3 4 5 6 7 8 9 10

=

.

q/ Q = Tập tất cả các điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. r/ R = Tập tất cả các điểm thuộc đường tròn tâm I cho trước và có bán kính bằng 5. Bài30.Bài30.Bài30.Bài30. Trong các tập hợp sau đây, tập nào là tập rỗng ?

a/ { }A x x 1= ∈ <� . b/ { }2B x x x 1 0= ∈ − + =� .

c/ { }2C x x 4x 2 0= ∈ − + =� . d/ { }2D x x 2 0= ∈ − =� .

e/ { }2E x x 7x 12 0= ∈ + + =� . f/ { }2F x x 4x 2 0= ∈ − + =� .

Bài31.Bài31.Bài31.Bài31. Tìm tất cả các tập con, các tập con gồm hai phần tử của các tập hợp sau:

a/ { }A 1;2= . b/ { } B 1; 2; 3= .



c/ { }2C x 2x 5x 2 0= ∈ − + =� . d/ { }2D x x 4x 2 0= ∈ − + =� .

Bài32.Bài32.Bài32.Bài32. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập con của tập nào ?

a/ { } { } ( ) { } 2A 1; 2; 3 , B x x 4 , C 0; , D x 2x 7x 3 0= = ∈ < = +∞ = ∈ − + =� � .

b/ A=Tập các ước số tự nhiên của 6; B =Tập các ước số tự nhiên của 12. c/ A=Tập các hình bình hành; B=Tập các hình chữ nhật;

C=Tập các hình thoi; D=Tập các hình vuông. d/ A=Tập các tam giác cân; B=Tập các tam giác đều;

C= Tập các tam giác vuông; D=Tập các tam giác vuông cân.

Bài33.Bài33.Bài33.Bài33. Tìm A B; A B; A \B; B\A∩ ∪ với:

a/ { } { } A 2,4,7, 8,9,12 ; B 2,8,9,12= = .

b/ { } { } A 2,4,6,9 ; B 1,2, 3, 4= = .

c/ { } { } 2A x 2x 3x 1 0 ; B x 2x 1 1= ∈ − + = = ∈ − =� � .

d/ A= Tập các ước số của 12 ; B = Tập các ước số của 18.

e/ ( )( )( ){ }2A x x 1 x 2 x 8x 15 0= ∈ + − − + =� ; B =Tập các số nguyên tố có 1 chữ số.

f/ { } ( )( ){ } 2 2 2A x x 4 ; B x 5x 3x x 2x 3 0= ∈ < = ∈ − − − =� � .

g/ A= ( )( ){ }x2 2x x 9 x 5 6 0∈ − − − =� ; B ={x ∈ � /x là số nguyên tố, x ≤ 5}.

Bài34.Bài34.Bài34.Bài34. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho:

a/ { } { }1,2 X 1,2, 3, 4,5⊂ ⊂ .

b/ { } { }1,2 X 1,2, 3, 4∪ = .

c/ { } { }X 1,2, 3, 4 ,X 0,2, 4,6, 8⊂ ⊂ .

Bài35.Bài35.Bài35.Bài35. Xác định các tập hợp A, B sao cho:

a/ { } { } { }; A B 0,1,2, 3, 4 A \ B 3, 2 ; B \ A 6,9,10∩ = = − − = .

b/ { } { } { }; A B 1,2, 3 A \ B 4,5 ; B \ A 6,9∩ = = = .

Bài36.Bài36.Bài36.Bài36. Xác định A B; A B; A \B; B\A∩ ∪ và biểu diễn chúng trên trục số, với:

a/ A 4;4 , B 1;7 = − = . b/ ( A 4; 2 , B 3;7 = − − =

.

c/ ( ) A 4; 2 , B 3;7 = − − = . d/ ( ) A ; 2 , B 3; = −∞ − = +∞

.

e/ ) ( ) A 3; , B 0;4= +∞ =. f/ ( ) ( ) A 1;4 , B 2;6= = .

Bài37.Bài37.Bài37.Bài37. Xác định A B C; A B C∪ ∪ ∩ ∩ và biểu diễn chúng trên trục số, với:

a/ ( ) ( ) A 1;4 , B 2;6 , C 1;2 = = = . b/ ( ) ( ) A ; 2 , B 3; , C 0;4 = −∞− = +∞ =

.

c/ ( ) ( A 0;4 , B 1,5 , C 3;1 = = = − . d/ ( ) ( ) A ; 2 , B 2; , C 0;3 = −∞− = +∞ =

.

e/ ( ) ( ) A 5;1 , B 3; , C ; 2 = − = +∞ = −∞ − . f/ ( ( ) ) A 2;5 , B 0;9 , C ;6 = − = = −∞

.

Bài38.Bài38.Bài38.Bài38. Chứng minh rằng:

a/ Nếu A B⊂ thì A B A∩ = . b/ Nếu A C⊂ và B C⊂ thì ( )A B C∪ ⊂ .

c/ Nếu A B A B∪ = ∩ thì A B= . d/ Nếu A B⊂ và A C⊂ thì ( )A B C⊂ ∩ .

Bài39.Bài39.Bài39.Bài39. Mỗi học sinh lớp 10A1 đều chơi bóng đá hoặc bóng chuyền. Biết rằng có 25 bạn chơi bóng đá,



20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả hai môn thể thao này. Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu học sinh ?

Bài40.Bài40.Bài40.Bài40. Trong một trường THPT, khối 10 có: 160 em học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, 140 tham gia câu lạc bộ Tin, 50 em tham gia cả hai câu lạc bộ. Hỏi khối 10 có bao nhiêu học sinh ?

Bài41.Bài41.Bài41.Bài41. Một lớp có 40 HS, đăng ký chơi ít nhất một trong hai môn thể thao: bóng đá và cầu lông. Có 30 em đăng ký môn bóng đá, 25 em đăng ký môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký cả hai môn thể thao ?

Bài42.Bài42.Bài42.Bài42. Cho các tập hợp { } { } { } A a,b, c,d ; B b,d, e ; C a,b, e= = = . Chứng minh các hệ thức

a/ ( ) ( ) ( )A B \C A B \ A C∩ = ∩ ∩ . b/ ( ) ( ) ( )A \ B C A \ B A \C∩ = ∩ .

Bài43.Bài43.Bài43.Bài43. Tìm các tập hợp A và B. Biết rằng: { }A \ B 1,5,7, 8= ; { }A B 3,6,9∩ = và

{ }A B x 0 x 10∪ = ∈ < ≤� .

Bài44.Bài44.Bài44.Bài44. Cho các tập hợp: { } { } { } A 1,2,3,4,5,6,7, 8,9 ; B 1,2,3, 4 ; C 2, 4,6, 8= = = . Hãy xác định:

( ) A A A

C B, C C, C B C∪ .

Bài45.Bài45.Bài45.Bài45. Cho các tập hợp { } { } A x 3 x 2 , B x 0 x 7= ∈ − ≤ ≤ = ∈ < ≤� � { } , C x x 1= ∈ < −�

và { }D x x 5= ∈ ≥� .

a/ Dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng để viết lại các tập hợp trên. b/ Biểu diễn các tập hợp A, B, C và D trên trục số. Chỉ rõ nó thuộc phần nào trên trục số.

Bài46.Bài46.Bài46.Bài46. Xác định mỗi tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số

a/ ( ) ( )5;3 0;7− ∩ . b/ ( ) ( )1;5 3;7− ∪ .

c/ ( )\ 0;+∞� . d/ \ 0;1

� .

e/ ( ) ( ); 3 2;−∞ ∩ − +∞ . f/ ( )1;3 0;5 − ∪ .

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài47.Bài47.Bài47.Bài47. Viết các tập hợp sau bằng phương pháp liệt kê

a/ ( )( ){ }2 2A x / 2x x 2x 3x 2 0= ∈ − − − =� b/ { }2B n / 3 n 30= ∈ < <� .

c/ { }4 2C x / x 5x 6 0= ∈ − + =� . d/ { }2D n / 0 n 30= ∈ < <� .

Bài48.Bài48.Bài48.Bài48. Viết các tập sau bằng phương pháp nêu ra tính chất đặc trưng

a/ { }A 1,2, 3, 4,5,6,7, 8,9= . b/ { }A 0,2, 4,6, 8,10= .

c/ { }A 3, 2, 1, 0,1,2, 3= − − − . d/ { }A 1,4,7,10,13,16,19= .

e/ { }A 1,2,4, 8,16,32,64,128,256,512= . f/ Tập hợp các số chẵn.

g/ Tập hợp các số lẻ. h/ Đường phân giác trong của �ABC . i/ Đường tròn tâm I, bán kính R. j/ Đường tròn đường kính AB.

k/ { }A 2,1,6,13,22, 33, 46,61= − . l/ { }A 3,8,24,35,48,63,80,99= .

m/ 1 2 3 4 5 6

A 0, , , , , ,3 9 19 33 73 99

=

. n/ 2 10 17 26 37 10

A ,1, , , , ,3 7 9 11 13 3

=

.

Bài49.Bài49.Bài49.Bài49. Cho tập hợp { }A 1,2, 3, 4= .



a/ Liệt kê tất cả các tập hợp con có 3 phần tử của A. b/ Liệt kê tất cả tập con có 2 phần tử của A. c/ Liệt kê tất cả các tập con của A.

Bài50.Bài50.Bài50.Bài50. Biểu diễn các tập hợp sau thành các khoảng

a/ { }A x / 2 x 3= ∈ < <� . b/ { }B x / x 4= ∈ ≥� .

c/ 2

C x / 3x 1

= ∈ ≥ +

� . d/ 5

D x / 4x 7

= ∈ ≤ +

� .

Bài51.Bài51.Bài51.Bài51. Xét các quan hệ " "⊂ giữa các tập hợp sau

a/ { }A 1,2,3, 4,5= và { }B n / 0 n 5= ∈ ≤ ≤� .

b/ ( )( ){ }2A x / x x 2 x 1 0= ∈ − − − =� và { }2B x / x x 2 0= ∈ + − =� .

c/ { }A x / 2 x 4= ∈ − < <� và { }B x / 4 x 3= ∈ − < <� .

Bài52.Bài52.Bài52.Bài52. Cho { }A 1,2,3, 4,5= và { }B 1,3,5,7,9,11= . Hãy tìm:

a/ C A B= ∪ . b/ C A B= ∩ .

c/ ( ) ( )C A B \ A B= ∪ ∩ . d/ ( ) ( )C A \ B B \ A= ∪ .

Bài53.Bài53.Bài53.Bài53. Cho { }A x / 1 x 5= ∈ − < ≤� và { }B x / 0 x 7= ∈ ≤ <� . Hãy tìm tìm hợp C thỏa:

a/ C A B= ∪ . b/ C A B= ∩ .

c/ ( ) ( )C A B \ A B= ∪ ∩ . d/ ( ) ( )C A \ B B \ A= ∪ .

Bài54.Bài54.Bài54.Bài54. Cho { }A x / 3 x 3= ∈ − < <� , { }B x / 2 x 3= ∈ − < ≤� và { }C x / 0 x 4= ∈ ≤ ≤� .

Hãy tìm tập hợp D thỏa:

a/ ( )D A B C= ∪ ∪ . b/ ( )D A B C= ∪ ∩ .

c/ ( )D A B C= ∩ ∩ . d/ ( )D A B C= ∩ ∪ .

e/ ( )D A B \C= ∩ . f/ ( ) ( )D A \ B A \C= ∪ .

g/ ( ) ( )D B \ A C \ A= ∪ . h/ ( )D B \ A \C= .

i/ ( )D B \ A C= ∪ . j/ ( )D B C \ A= ∪ .

Bài55.Bài55.Bài55.Bài55. Cho { } A x / 5 x hay x 5= ∈ − ≤ ≥� , { }B x / 10 x 4= ∈ − < <� và

{ }C x / 1 x 9= ∈ < ≤� . Hãy tìm tập hợp D thỏa:

a/ ( )D A B C= ∪ ∪ . b/ ( )D A B C= ∪ ∩ .

c/ ( )D A B C= ∩ ∩ . d/ ( )D A B C= ∩ ∪ .

e/ ( )D A B \C= ∩ . f/ ( ) ( )D A \ B A \C= ∪ .

g/ ( ) ( )D B \ A C \ A= ∪ . h/ ( )D B \ A \C= .

i/ ( )D B \ A C= ∪ . j/ ( )D B C \ A= ∪ .

Bài56.Bài56.Bài56.Bài56. Cho 1

A x / 2x 2

= ∈ > −

� và { }B x / x 1 1= ∈ − <� . Hãy tìm các tập hợp:

( ) ( ) A B, A B, A \ B B \ A∪ ∩ ∪ .



Bài57.Bài57.Bài57.Bài57. Chứng minh rằng

a/ A B C⊂ ∪ . b/ B A C⊂ ∪ .

c/ A B B A∪ = ∪ . d/ ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ .

e/ A B B A B∪ = ⇔ ⊂ . f/ A B A∩ ⊂ . g/ A B B∩ ⊂ . h/ A B B A∩ = ∩ .

i/ ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩ . j/ A B B B A∩ = ⇔ ⊂ .

k/ A\B A⊂ . l/ B\A B⊂ .

m/ A B A B∩ ⊂ ∪ . n/ ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ .

o/ ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∪ . p/ ( )A \ B A \ A B= ∩ .

r/ A\B A B=∅⇔ ⊂ . s/ Nếu A B⊂ thì A B A∩ = .

Bài58.Bài58.Bài58.Bài58. Xác định mỗi tập hợp số sau và biểu diễn chúng trên trục số

a/ ( ) ( )3;3 1;0− ∪ − . b/ ( ) ( );0 0;1−∞ ∩ .

c/ ( )2;2 1;3 − ∩ . d/ ( ) ( )3;3 \ 0;5− .

e/ ( ) ( )5;5 \ 3;3− − . f/ ( ) ( )2;3 \ 3;3− − .

g/ { }A x x 3= ∈ >� . h/ { }B x x 5= ∈ <� .

Bài59.Bài59.Bài59.Bài59. Xác định các tạp hợp A B, A B∪ ∩ và biểu diễn chúng trên trục số

a/ ( ) ( ) A 1;5 , B 3;2 3;7 = = − ∪ . b/ ( ) ( ) ( ) ( ) A 5;0 3;5 , B 1;2 4;6= − ∪ = − ∪ .

c/ { } { } A x x 1 2 , B x x 1 3= ∈ − < = ∈ + <� � .

Bài60.Bài60.Bài60.Bài60. Cho hai tập hợp A và B. Biết tập hợp B khác rỗng, số phần tử của tập B gấp đôi số phần tử của tập A B∩ và A B∪ có 10 phần tử. Hỏi tập A và B có bao nhiêu phần tử. Hãy xét các trường hợp xảy ra và dùng biểu đồ Ven minh họa.

Bài61.Bài61.Bài61.Bài61. Trong 100 học sinh lớp 10, có 70 học sinh nói được tiếng Anh, 45 học sinh nói được tiếng Pháp và 23 học sinh nói được cả hai tiếng Anh và Pháp. Hỏi có bao nhiêu học sinh không nói được hai tiếng Anh và Pháp.

Bài62.Bài62.Bài62.Bài62. Tìm phần bù của tập hợp các số tự nhiên trong tập hợp các số nguyên ?



Chương

��

BA DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

DẠNG 1. Tìm tập xác định của hàm số.

DẠNG 2. Xét tính đơn điệu của hàm số.

DẠNG 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số.

A – ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ

�� Định nghĩa

Cho D ,D⊂ ≠ ∅� . Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x D∈ với một và chỉ một số y ∈ � .

x được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: ( )y f x= .

D được gọi là tập xác định của hàm số.

( ){ }T y f x x D= = ∈ được gọi là tập giá trị của hàm số.

�� Cách cho hàm số

Cho bằng bảng. Cho bằng biểu đồ.

Cho bằng công thức ( )y f x= .

Tập xác định của hàm số ( )y f x= là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức ( )f x có

nghĩa.

�� Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số ( )y f x= xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm ( )( )M x;f x trên

mặt phẳng toạ độ với mọi x D∈ .

Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số ( )y f x= là một đường. Khi đó ta nói ( )y f x= là

phương trình của đường đó.

�� Tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số ( )y f x= có tập xác định D.

Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu x D∀ ∈ thì x D− ∈ và ( ) ( )f x f x− = .

Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu x D∀ ∈ thì x D− ∈ và ( ) ( )f x f x− = − .

Lưu ý:

+ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng.

HÀMSỐBẬCNHẤTHÀMSỐBẬCNHẤTHÀMSỐBẬCNHẤTHÀMSỐBẬCNHẤTVÀBẬCHAIVÀBẬCHAIVÀBẬCHAIVÀBẬCHAI2




Bài64.Bài64.Bài64.Bài64. Tình giá trị của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra

a/ ( )f x 5x= − . Tính ( ) ( ) ( ) ( ) f 0 , f 2 , f 2 , f 3− .

b/ ( ) 2

x 1f x

2x 3x 1

−=

− +. Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f 2 , f 0 , f 2 , f 3 , f 2− .

c/ ( )f x 2 x 1 3 x 2= − + − . Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f 1

f 2 , f 0 , f 2 , f 3 , , f 3 , f 1 22

− + .

d/ ( )

2

2khi x 0

x 1f x x 1 khi 0 x 2

x 1 khi x 2

< −= + ≤ ≤ − >

. Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f 2 , f 0 , f 2 , f 3 , f 2− .

Bài65.Bài65.Bài65.Bài65. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a/ y 2 4x= − . b/ 2y x 4x 15= + + . c/ 32x 3x 1

y2013

− += .

d/ 2x 1

y3x 2

+=

+. e/

x 3y

5 2x

−=

−. f/

4y

x 4=

+.

g/ 2

xy

x 3x 2=

− +. h/

2

x 1y

2x 5x 2

−=

− +. i/

2

3xy

x x 1=

+ +.

j/ 3

x 1y

x 1

−=

+. k/

( )( )2

2x 1y

x 2 x 4x 3

+=

− − +. l/

4 2

1y

x 2x 3=

+ −.


Dạng toán 1. Tìm tập xác định của hàm số

Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho biểu

thức f(x) có nghĩa: D= { ( )x f x∈ � } có nghĩa.

Ba trường hợp thường gặp khi tìm tập xác định

+ Hàm số ( )( )

P x

yQ x

= → Điều kiện xác định ( )Q x 0≠ .

+ Hàm số ( ) y P x= → Điều kiện xác định ( )P x 0≥ .

+ Hàm số ( )

( )

P xy

Q x= → Điều kiện xác định ( )Q x 0> .

Lưu ý + Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau. + Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A D⊂ .

+ A 0

A.B 0B 0

≠≠ ⇔ ≠



a/ y 2x 3= − . b/ y 2x 3= − . c/ y 4 x x 1= − + + .

d/ 1

y x 1x 3

= − +−

. e/ ( )

1y

x 2 x 1=

+ −. f/ y x 3 2 x 2= + − + .

g/ ( )

5 2xy

x 2 x 1

−=

− −. h/

1y 2x 1

3 x= − +

−. i/

2

1y x 3

x 4= + +

−.

Bài67.Bài67.Bài67.Bài67. Tìm tham số m để hàm số xác định trên tập D đã được chỉ ra

a/ trên 2

2x 1y , D

x 6x m 2

+= =

− + −� .

b/ trên 2

3x 1y , D

x 2mx 4

+= =

− +� .

c/ ( ) trên y x m 2x m 1, D 0;= − + − − = +∞ .

d/ ( ) trên x m

y 2x 3m 4 , D 0;x m 1

−= − + + = +∞

+ −.

e/ ( ) trên x 2m

y , D 1;0x m 1

+= = −

− +.

f/ ( ) trên 1

y x 2m 6, D 1;0x m

= + − + + = −−

.

g/ ( ) trên 1

y 2x m 1 , D 1;x m

= + + + = +∞−

.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN


a/ y x 3= + . b/ 2y x 4=− − .

c/ 3 2y x 3x 4x 5= + + + . d/ 22x 3x 1

y5

− += .

e/ 2x 3x 6

y2

− + −=

−. f/ y x 11= − + .

g/ y 9x 40 23x 13= − + − . h/ y x 1 x 3 100 41x= − + − + − .


a/ 2x x 1

yx

+ += . b/

x 2y

x 1

+=

−. c/

x 3y

x 1

+=

+.

d/ 3x 5

y3x 2

+=

− +. e/

x 1y

2x 1

−=

−. f/

1y

2x 2=

+.

g/ x 3

yx 7

−=

+. h/

2y x 2

x 9= − +

−. i/

3y x 1

x 1= + +

−.



j/ 2x 3x 1

y2x 1

+ −=

−. k/

1 xy

2x 11 1 x= +

+ −. l/

1 1y

2x 1 6x 2= +

+ +.

m/ 10 11

y13 9x 6x 7

= −− +

. n/ ( )( )

2xy

2 x 3 x=

+ +. o/

( )( )

22x 4x 7y

2 3x 2 4x

+ −=

− −.

p/ 1 1

y .32x 0,25 25 0,5x

=+ −

. q/ 2

5y

x 6x 25=

− +. r/

2

3y

14x 49 x

−=

− −.

s/ 2

x 2y

x 2x 3

−=

− −. t/

2

x 2012y

2x 6x 4

+=

− +. u/

2

xy

x 4x 5=

− − +.

v/ ( )( )2

2x 1y

x 1 2x 3x 1

−=

− − +. x/

2

4 2

3x x 1y

x x 6

+ +=

− −. y/

2

4 2

3x 1y

x 9x 8

−=

− +.


a/ y x= . b/ 2y x= . c/ y x 1= − .

d/ y 4 3x= + . e/ y x 10= − + . f/ y 2x 9= − − .

g/ 3y 0,1x 5= + . h/ 3y 2,6x 3,14= − − . i/ 3y x 2= − + .

j/ y 1 x 1 x= − + + . k/ y 2x 1 1 2x= − + − . l/ y 15x 3= − .

m/ y 3x 25 x 1= − + − + . n/ y 13 4x 7x 22= − + − − . o/ 33 2y x x= − + − .

p/ 3 32 3y 1 x x x= − + − − . q/ 1

yx

= . r/ 3x

yx 1

=−

.

s/ 1 2x

y4x 8

−=

− −. t/

x 1y

3x 10 10 3x= −

− −. u/

4x xy

7x 1 3 4 28x= −

− −.

v/ 1 2

y2 x 3x 18

= +− −

. w/ 0,2x 25

y0,7x 0,7 8 0,8x

= −− +

. x/ 33 2

1 1y

x 1x= +

−.

y/ 3 32 2

x 10xy

x 1 x 4

−= −

− −. z/

2

1y

x x 1=

+ +. α/

2

2xy

4x 8x 120=

+ +.

Bài71.Bài71.Bài71.Bài71. Giải các phương trình và các bất phương trình sau

a/ 2x 6x 8 0− + = . b/ 2x x 1 0− + = .

c/ 2x 5x 14 0− + + ≠ . d/ 23x 4x 1 0− + − ≠ .

e/ ( )2

3x 2 5− ≠ . f/ ( )2

0,5x 1 1− + ≠ .

g/ x 1 2 2x 0− + − = . h/ 1 x 2x 2 0− + − ≠ .

i/ x 3 2x 1 0+ + + = . j/ ( )( )2 6x 3x 5 3x 1 0− − + − = .

k/ 2 24x 11x 7 19x 36x 77 0− + − + − + − ≠ . l/ 2 29x 6x 1 4 10x 25x 0− + + − + ≠ .

m/ x 3 2x 1 0+ + − ≠ . n/ x x 0+ − ≠ .

o/ ( )2x x 2 1x 0+ − ≠ . p/ 4 2x 3x x 0+ − + ≠ .

q/ 36 3 2x x 11x 0− − − ≠ . r/ 2x 1 x+ ≠ .




Bài72.Bài72.Bài72.Bài72. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra

a/ y 2x 3 trên= + � . b/ y x 5 trên=− + � .

c/ ( ) 2y x 10x 9 trên 5;= + + − +∞ . d/ ( ) 2y x 2x 1 trên 1;= − + + +∞ .

e/ ( ) ( ) 2y x 4x trên ;2 , 2;= − −∞ +∞ . f/ ( ) ( ) 2y x 6x 8 trên 10; 2 , 3;5=− + + − − .

g/ ( ) ( ) 2y 2x 4x 1 trên ;1 , 1;= + + −∞ +∞ . h/ ( ) ( ) 4

y trên ; 1 , 1;x 1

= −∞ − − +∞+

.

i/ ( ) ( ) 3

y trên ;2 , 2;2 x

= −∞ +∞−

. j/ ( ) 1 x

y trên ;11 x

+= −∞

−.

k/ ( ) ( ) x

y trên ;7 , 7;x 7

= −∞ +∞−

. l/ f

y x 1 trên D= − .

m/ f

y x 3 trên D= − . n/ f

y x 3 trên D= − .

o/ f

y 2 x 1 trên D= − + . p/ ( ) ( ) 2

xy trên 0;1 , 1;

x 1= +∞

+.

Bài73.Bài73.Bài73.Bài73. Với giá trị nào của m thì các hàm số sau đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

a/ ( )y m 2 x 5= − + . b/ ( )y m 1 x m 2= + + − .

c/ m

yx 2

=−

. d/ m 1

yx

+= .

Dạng toán 2. Xét chiều biến thiên của hàm số (Tính đơn điệu hàm số)

Cho hàm số ( )f x xác định trên K.

Hàm số ( )y f x= đồng biến trên ( ) ( )1 2 1 2 1 2K x , x K : x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ <

( ) ( )2 1

1 2 1 2

2 1

f x f xx ,x K : x x 0

x x

−⇔ ∀ ∈ ≠ ⇒ >

−.

Hàm số ( )y f x= nghịch biến trên ( ) ( )1 2 1 2 1 2K x , x K : x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ >

( ) ( )2 1

1 2 1 2

2 1

f x f xx ,x K : x x 0

x x

−⇔ ∀ ∈ ≠ ⇒ <

−.

� Lưu ý: Một số trường hợp, ta có thể lập tỉ số ( )( )

1

2

f x

f x để so sánh với số 1, nhằm đưa về kết quả

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1

f x f x hay f x f x< <

Documents

De Cuong Toan 10 Tap i Le Van Doan 7824