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DE LOS NMEROS NATURALES A LOS REALESAl iniciar el estudio de los conjuntos numricos, se presenta una idea simple, pero fundamental : contar. Ligado a esta idea existe un universo numrico llamado nmeros naturales, que se designan con la letra IN: IN " # $ % & ' ( ) * Todo nmero natural tiene un sucesor, por ejemplo : el sucesor de 23 es 24 Todo nmero natural excepto el 1 tiene antecesor , por ejemplo : el antecesor de 108 es 107 Entre dos nmeros naturales consecutivos no existe otro nmero natural, por ejemplo: entre el 13 y 14 no existe otro nmero natural. Avanzando un poco ms y reconociendo la importancia del cero como nmero, "se agrega" este elemento al conjunto , formando un nuevo conjunto de nmeros llamado Cardinales, IN! IN! ! " # $ % & ' ( ) * Al efectuar operaciones de suma aadicinb o multiplicacin entre elementos de estos conjuntos se ve fcilmente que no hay dificultad : Si sumamos dos nmeros naturales el resultado es un nmero natural, por ejemplo & ( "# Si multiplicamos dos nmeros naturales el resultado es un nmero natural, por ejemplo 4 6 24 Sin embargo la resta de dos nmeros naturales en algunos casos no est definida, por ejemplo ") ' "# anmero naturalb pero ' ") ? Para enfrentar situaciones como esta ltima, el hombre "inventa" nuevos nmeros que le permitan seguir avanzando en su conocimento. As crea los nmeros enteros : % $ # " ! " # $ % Todo nmero entero situado a la derecha de otro es mayor que l a b Por ejemplo : # es mayor que % ! es mayor que & a # %b
a ! &b
El inverso aditivo del entero "+" es " + " por ejemplo : el inverso aditivo de el inverso aditivo de % es % "! es "!
Para sumar dos nmeros enteros de igual signo se suman sus valores y se conserva el signo de ellos, por ejemplo: a %b a "!b "% a 'b a )b "%
Para sumar dos nmeros enteros de distinto signo se restan sus valores y se conserva el signo del mayor de ellos, por ejemplo: a %b a #!b "'
a "#b a $!b ") La resta de dos nmeros enteros "+" y "," es igual a la suma de "+" y el inverso aditivo de ",", es decir : + , + a ,b, por ejemplo:
a &b a %b a & b a % b "
a 'b a "#b a 'b a "#b ") a $b a "&b a $b a "&b "# Para la multiplicacin de nmeros enteros, es necesario tener presente que: abab abab abab abab
Regla de los signos
La multiplicacin de nmeros enteros da como resultado tambin un nmero entero, por ejemplo: a &b a %b #! a "#b a %b %) a 'b a "#b (#
Ejercicios Propuestos 1.+ , - . Obtenga el resultado de: a #b a $ b a ) b a'b a $b a "!b a #b a $ b a ' b a&b a %b a"#b
2.+ , - .
Obtenga el resultado de: $ # a &b
( ! a# %b
") #& a "#b & a )b ' a& a# a "bbb
Soluciones 1.2.a) "$ a)* b)#" b)#$% c)"$ c) %# d) ( d)$$
Al plantear la necesidad de dividir nmeros enteros surge un problema : el cuociente de dos nmeros enteros no siempre es otro nmero entero. 84 52 ) # % & ... # # pertenece & no pertenece #
Para dar solucin al problema, se "ampli" el conjunto de los enteros formndose as un nuevo conjunto; el de los nmeros racionales .
es el conjunto de los nmeros de la forma nmero natural + + y , IN ,
+ siendo + un nmero entero y , un ,
+ se llama numerador , se llama denominador
Ejemplos: " $ & % ( ) #& $ $ "!!! " # ) $
Por supuesto, los nmeros enteros estn includos en . As, el nmero entero $ puede $ ' * tomar la forma racional o bien etc. " # $ Al efectuar la divisin entre dos nmeros enteros, se obtiene un "desarrollo decimal". Por ejemplo para obtener el desarrollo decimal correspondiente a " basta efectuar la ( divisin 1 7. Los desarrollos decimales pueden ser: a) Finitos Por ejemplo # # "! ! # "! " " ) ! "#& ) b) Peridicos Por ejemplo ( ( * ! (((( ! ( aperodo 7b * c) Semiperidicos Por ejemplo $&) 358 15 23,8666 23,86 aanteperodo 8, perodo 6b "& Indique el tipo de desarrollo decimal que se obtiene en: + $ "" , "#% "#& - $ %
Cuando el numerador y el denominador de una fraccin se multiplican por un mismo nmero se obtiene otra fraccin equivalente, esto se llama amplificar la fraccin, por ejemplo: # amplificada por $ es igual $ # $ ' $ $ *
Cuando el numerador y el denominador de una fraccin se dividen por un mismo nmero se obtiene otra fraccin equivalente, esto se llama simplificar la fraccin, por ejemplo: * * $ $ simplificada por $ es igual #% #% $ ) Suma y resta de fracciones Al sumar o restar fracciones de distinto denominador, estos se deben convertir a un mismo denominador llamado mnimo comn mltiplo aMCMb. Esto se logra amplificando cada fraccin por un nmero adecuado. Entonces al quedar las fracciones con el mismo denominador, ste se conserva y se suman o restan los denominadores, por ejemplo: + $ " % & en este caso el MCM entre 4 y 5 es 20, luego la primera fraccin la amplificamos por 5 y la segunda por 4.
$ " $& "% "& % "* % & %& &% #! #! #! " $ # $ "& &
,
en este caso el MCM entre $ "5 y 5 es 15, luego la primera fraccin la amplificamos por 5 , la segunda por 1 y la tercera por 3.
" $ # "& $" #$ & $ ' & a $b ' ) $ "& & $ & "& " & $ "& "& "& "& "& " ( " (# " "% " "& # " # "# # # # #
-
(
Efecte las siguientes operaciones: + - " $ " # % & #& ( & "# % $ , . " $ " & ( # "& " % % #
/
& $ $ ' % Soluciones
+
" #!
,
"* (!
- "$ '
$ . %
"( / "#
Multiplicacin de fracciones. Para multiplicar dos o mas fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores entre s, por ejemplo: + , & " &" & % $ %$ "# ) $ # ) $ # ) a $b a # b %) "# % & " % & "%& #! &
Divisin de fracciones. En el conjunto , cada nmero fraccionario aexceptuando el cerob tiene un inverso multiplicativo, tal que el producto de ambos es uno aelemento neutrob. Por ejemplo & $ & $ &$ "& y son inversos multiplicativos, ya que " $ & $ & $& "&
En es posible la divisin, excepto por el racional cero, ya que ste no tiene inverso multiplicativo. Dividir por un nmero racional diferente de cero, equivale a multiplicar por su inverso multiplicativo. Por ejemplo a) b) $ & $ ( #" % ( % & #! & " # "! & "! # " "
Ejercicios Propuestos 1 Obtenga el inverso multiplicativo de los siguientes racionales: " " + # $ , $ ( & "! - $ " ) %
2 Obtenga el resultado de las siguientes operaciones: $ " # + & # ( . $ # % , " ) $ ) " % $ "# % -) $ & % " " # $
/
0
Soluciones 1 # +) ' & $ $& ,"! , $ % - -$! ) & . $ ) / "' 0 $ #
+
El conjunto de los nmeros irracionales corresponde a aquellos cuyo desarrollo decimal no es peridico: BB tiene un desarrollo decimal no peridico Por ejemplo $ " ($#!&!)! & # #$'!'(*( #* & $)&"'%)!( 1 $ "%"&...
Nmeros Reales. Se estableci la existencia de desarrollos decimales peridicos y no peridicos. Ambos casos corresponden a nmeros racionales e irracionales respectivamente. Todos los nmeros estudiados dse caracterizan por tener un desarrollo decimal, sea peridico o no peridico. Se forma as un importante conjunto numrico: Los Nmeros Reales IR.
El conjunto IR de los nmeros reales es , entonces, el conjunto de todos los desarrollos decimales.
Ejercicios Propuestos 1. Ubique los siguiente nmeros en la recta numrica y luego ordnelos de mayor a menor. # % & $ # ! "! ! #& ! ( 1 % ) 2 + , - . / 0 1 Resuelva " #
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