Embed Size (px)
Citation preview
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Hng yªn
®Ò chÝnh thøc
(§Ò thi cã 01 trang)
kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt chuyªn N¨m häc 2013 - 2014
M«n thi: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
(Dµnh cho thÝ sinh thi vµo c¸c líp chuyªn: To¸n, Tin)
Bµi 1: (2,0 ®iÓm)
a) Cho 2 3 5 13 48
A6 2
, chøng minh A lµ mét sè nguyªn.
b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2
2
x 12y 62y x 1
Bµi 2: (2,0 ®iÓm)
a) Cho parabol (P): 21y x3
vµ ®êng th¼ng (d): 4y x3
. Gäi A, B lµ giao ®iÓm
cña ®êng th¼ng (d) vµ parabol (P), t×m ®iÓm M trªn trôc tung sao cho ®é dµi MA + MB
nhá nhÊt.
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 3 2x 5x 8 3 2x 5x 7x 6 .
Bµi 3: (2,0 ®iÓm) a) Cho f x lµ mét ®a thøc víi hÖ sè nguyªn. BiÕt f 1 .f 2 2013 , chøng minh
ph¬ng tr×nh f x 0 kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
b) Cho p lµ mét sè nguyªn tè. T×m p ®Ó tæng c¸c íc nguyªn d¬ng cña 4p lµ mét
sè chÝnh ph¬ng. Bµi 4: (3,0 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän (AB < AC) néi tiÕp ®êng trßn t©m
O. §êng trßn (K) ®êng kÝnh BC c¾t c¸c c¹nh AB, AC lÇn lît t¹i E vµ F. Gäi H lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE.
a) Chøng minh AE.AB = AF.AC. b) Chøng minh OA vu«ng gãc víi EF.
c) Tõ A dùng c¸c tiÕp tuyÕn AM, AN ®Õn ®êng trßn (K) víi M, N lµ c¸c tiÕp ®iÓm. Chøng minh ba ®iÓm M, H, N th¼ng hµng. Bµi 5: (1,0 ®iÓm) Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n ®iÒu kiÖn: ac bd 1 . Chøng minh r»ng:
2 2 2 2a b c d ad bc 3
------------ HÕt ------------
ThÝ sinh kh«ng sö dông tµi liÖu; c¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.
Hä vµ tªn thÝ sinh:........................................................... Ch÷ ký cña gi¸m thÞ:......................................................
Sè b¸o danh:.................Phßng thi sè:......................
®Ò chÝnh thøc
Híng dÉn chÊm thi (Híng dÉn chÊm thi gåm 04 trang)
I. Híng dÉn chung
1) Híng dÉn chÊm thi nµy chØ tr×nh bµy c¸c bíc chÝnh cña lêi gi¶i hoÆc nªu kÕt qu¶. Trong bµi lµm, thÝ sinh ph¶i tr×nh bµy lËp luËn ®Çy ®ñ.
2) NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× cho ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh híng dÉn quy ®Þnh.
3) ViÖc chi tiÕt ho¸ thang ®iÓm (nÕu cã) so víi thang ®iÓm trong híng dÉn ph¶i ®¶m b¶o kh«ng sai lÖch víi híng dÉn chÊm vµ ®îc thèng nhÊt thùc hiÖn trong Héi ®ång chÊm thi.
4) C¸c ®iÓm thµnh phÇn vµ ®iÓm céng toµn bµi ph¶i gi÷ nguyªn kh«ng ®îc lµm trßn.
II. §¸p ¸n vµ thang ®iÓm
Bµi 1: (2,0 ®iÓm)
a) Chøng minh A lµ mét sè nguyªn. 1,0 ®
Ta cã: 2
2 3 5 2 3 12 3 5 13 48A
6 2 6 2
0,25 ®
2
2 3 3 12 3 4 2 36 2 6 2
0,25 ®
2 2 3 4 2 3
6 2 3 1
0,25 ®
2
3 11
3 1
VËy A lµ mét sè nguyªn.
0,25 ®
b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2
2
12 6 (1)2 1 (2)
x yy x
1,0 ®
2 22 2
2 2
x 12y 6 x 12y 6x 4y 12y 2x 8
2y x 1 4y 2x 2
0,25 ®
2 2 x 2y 2x 1 2y 3
x 2y 4
0,25 ®
Víi x = 2y + 2, thay vµo ph¬ng tr×nh (2) ta cã: 22y 2y 1 0
1 3y2
1 3y2
0,25 ®
HÖ ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: 1 3 1 33 3; ; 3 3;
2 2
Víi x = - 2y - 4, thay vµo ph¬ng tr×nh (2) ta cã: 22y 2y 5 0 (v« nghiÖm)
VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm. 0,25 ®
Bµi 2: (2,0 ®iÓm)
a) Cho parabol (P): 213
y x vµ ®êng th¼ng (d): 43
y x . Gäi A, B lµ
giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d) vµ parabol (P), t×m ®iÓm M trªn trôc tung sao cho ®é dµi MA + MB nhá nhÊt.
1,0 ®
Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ: 2 x 11 4x xx 43 3
0,25 ®
Täa ®é hai giao ®iÓm lµ: 1 16A 1; ;B 4;3 3
NhËn xÐt: A, B n»m vÒ hai phÝa so víi trôc tung.
0,25 ®
Suy ra MA + MB nhá nhÊt khi M lµ giao ®iÓm cña AB víi trôc tung. 0,25 ®
Täa ®é M lµ: 4M 0;3
0,25 ®
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 3 25 8 3 2 5 7 6 x x x x x . 1,0 ®
NhËn xÐt: 3 2 22x 5x 7x 6 2x 3 x x 2
§iÒu kiÖn: 2x3
2 21 x x 2 2 2x 3 3 2x 3 x x 2
0,25 ®
§Æt:
2x x 2 a a 0
2x 3 b b 0
.
Ph¬ng tr×nh trë thµnh: 2 2 a ba 3ab 2b 0
a 2b
0,25 ®
Víi a = b, trë l¹i phÐp ®Æt ta cã: 2 2x x 2 2x 3 x x 1 0
Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: 1 5 1 5x TM ;x TM2 2
0,25 ®
Víi a = 2b, trë l¹i phÐp ®Æt ta cã: 2 2x x 2 2 2x 3 x 7x 10 0
Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: 7 89 7 89x TM ;x (L)2 2
0,25 ®
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm:1 5 1 5 7 89x ;x ;x
2 2 2
.
Bµi 3: (2,0 ®iÓm)
a) Cho f x lµ mét ®a thøc víi hÖ sè nguyªn. BiÕt 1 . 2 2013f f ,
chøng minh ph¬ng tr×nh 0f x kh«ng cã nghiÖm nguyªn. 1,0 ®
Gi¶ sö ph¬ng tr×nh f x 0 cã nghiÖm nguyªn x = a
Suy ra: f x x a .g x víi g x lµ mét ®a thøc víi hÖ sè nguyªn 0,25 ®
Ta cã: f 1 1 a .g 1 ;f 2 2 a .g 2
Suy ra f 1 .f 2 1 a . 2 a .g 1 .g 2 2013 0,25 ®
Do 1 - a vµ 2 - a lµ hai sè nguyªn liªn tiÕp nªn f 1 .f 2 lµ sè nguyªn ch½n 0,25 ®
Mµ 2013 lµ mét sè lÎ suy ra v« lý VËy ph¬ng tr×nh f x 0 kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
0,25 ®
b) Cho p lµ mét sè nguyªn tè. T×m p ®Ó tæng c¸c íc nguyªn d¬ng cña 4p lµ
mét sè chÝnh ph¬ng. 1,0 ®
Do p lµ sè nguyªn tè nªn c¸c íc sè nguyªn d¬ng cña p4 lµ: 1; p; p2; p3; p4 0,25 ®
§Æt S = 1+ p + p2 + p3 + p4 Gi¶ sö S = n2 2 4 3 24n 4p 4p 4p 4p 4 1 n
0,25 ®
Ta cã: 24 3 2 4 2 3 24p 4p p 2n 4p p 4 4p 8p 4p
2 222 22p p 2n 2p p 2 0,25 ®
22 24n 2p p 1 2
Tõ (1) vµ (2) suy ra 2p 2p 3 0 p 3
Thö l¹i víi p = 3 tháa m·n. VËy sè nguyªn tè cÇn t×m lµ: p = 3.
0,25 ®
Bµi 4: (3,0 ®iÓm)
x
S K
OH
NF
E
M
CB
A
a) Chøng minh AE.AB = AF.AC. 1,0 ®
Ta cã: 0BEC BFC 90 (gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn) Nªn 0AFB AEC 90
0,5 ®
XÐt hai tam gi¸c AEC, AFB vu«ng t¹i E vµ F cã: AF AEcosBACAB AC
AE.AB AF.AC (®pcm)
0,5 ®
b) Chøng minh OA vu«ng gãc víi EF. 1,0 ®
Dùng tiÕp tuyÕn Ax cña ®êng trßn t©m (O) t¹i A OA Ax (1) 0,25 ®
BCA BAx (gãc néi tiÕp vµ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung) 0,25 ®
Mµ BCA FEA (cïng bï víi BEF ) nªn BAx FEA 0,25 ®
Suy ra EF // Ax (hai gãc so le trong b»ng nhau) (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: OA vu«ng gãc víi EF (®pcm) 0,25 ®
c) Tõ A dùng c¸c tiÕp tuyÕn AM, AN ®Õn ®êng trßn (K) víi M, N lµ c¸c tiÕp ®iÓm. Chøng minh ba ®iÓm M, H, N th¼ng hµng.
1,0 ®
Ta cã: CE AB;BF AC nªn H lµ trùc t©m tam gi¸c ABC
Gäi S lµ giao ®iÓm cña AH vµ BC. Suy ra: 0AMK ASK ANK 90 Do ®ã: M, S, N cïng thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AK: ANM ASM AMN 3
0,25 ®
AFN, ANC ®ång d¹ng (g.g) 2AF AN AN AF.ACAN AC
0,25 ®
AF AScosSAC AF.AC AH.ASAH AC
2 AN ASAN AH.ASAH AN
0,25 ®
Do ®ã: ANH, ASN ®ång d¹ng ANH ASN AMN 4
Tõ (3) vµ (4) ta cã: ANH ANM . VËy M, H, N th¼ng hµng (®pcm). 0,25 ®
Bµi 5: (1,0 ®iÓm) Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n ®iÒu kiÖn: 1 ac bd . Chøng minh r»ng:
2 2 2 2 3 a b c d ad bc 1,0 ®
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã:
2 2 2 2 2 2 2 2a b c d ad bc 2 a b c d ad bc 0,25 ®
2 2 22 ad bc ac bd ad bc 2 ad bc 1 ad bc 1 0,25 ®
§Æt ad bc x , ta chøng minh: 2S 2 x 1 x 3 víi mäi x.
ThËt vËy, do 22 x 1 x 0 víi mäi x nªn:
22 2 2 2 2S 4x 4x x 1 x 1 3 2x x 1 3
0,25 ®
Suy ra: 2S 3 S 3 2 .
Tõ (1) vµ (2) ta cã: 2 2 2 2a b c d ad bc 3 (®pcm) 0,25 ®
------------ HÕt ------------
