De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija

Definicija plohe

Jelena Sedlar

Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije

Jelena Sedlar (FGAG) Definicija plohe 1 / 28

Parametrizirana ploha

Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.

Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.

Geometrijska interpretacija:



Definicija.

Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.





Definicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3

pricemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini.











Definicija.

Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.





Definicija. Slika parametrizirane plohe r : U → R3

je skup r(U) ⊆ R3.













































Plohu r : U → R3 zadajemo pomocu:

vektorske jednadzbe

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =

= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,

parametarske jednadzbe

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).





vektorske jednadzbe

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =

= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,


x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).





vektorske jednadzbe

r(u, v) =

(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =

= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,


x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).





vektorske jednadzbe

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =

= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,


x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).





vektorske jednadzbe

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =

= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,


x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).





vektorske jednadzbe

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =

= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,


x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).





vektorske jednadzbe

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =

= x(u, v) · i+ y(u, v) · j+ z(u, v) · k,


x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).



Za plohur(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

derivacije prvog reda su:

∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),

derivacije drugog reda su:

∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) =

r′u(u, v) =(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) =

r′v (u, v) =(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) =

r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =

(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) =

r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =

(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) =

r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =

(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).





∂r∂u(u, v) = r′u(u, v) =

(x ′u(u, v), y

′u(u, v), z

′u(u, v)

),

∂r∂v(u, v) = r′v (u, v) =

(x ′v (u, v), y

′v (u, v), z

′v (u, v)

),


∂2r∂u2

(u, v) = r′′uu(u, v) =(x ′′uu(u, v), y

′′uu(u, v), z

′′uu(u, v)

),

∂2r∂u∂v

(u, v) = r′′uv (u, v) =(x ′′uv (u, v), y

′′uv (u, v), z

′′uv (u, v)

),

∂2r∂v2

(u, v) = r′′vv (u, v) =(x ′′vv (u, v), y

′′vv (u, v), z

′′vv (u, v)

).



Neka je r : U → R3 ploha.

Za konstantne u0 i v0, krivulja:

ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.

Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.

Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja

ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),

b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).



Neka je r : U → R3 ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:




ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),





ρ(u) = r(u, v0)

naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.



ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),





ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,

ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.


ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),





ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(u0, v)

naziva se v−krivulja plohe r.Za u−krivulje i v−krivulje kazemo joši da su koordinatne krivulje.


ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),








ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),








ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),







Primjer.

Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja

ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),







Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:

a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja

ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),







Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,

b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja

ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),







Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.

Rješenje. Trazena krivulja je:a) krivulja

ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),







Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje.

Trazena krivulja je:

a) krivuljaρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),







Primjer. Za plohu r(u, v) = (u + v , u − v , uv) odredi:a) u−krivulju za v = 3,b) v−krivulju za u = −1.Rješenje. Trazena krivulja je:

a) krivuljaρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),








ρ(u) =

r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),








ρ(u) = r(u, 3) =

(u + 3, u − 3, 3u),








ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),








ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),

b) krivuljaρ(v) =

r(−1, v) = (−1+ v ,−1− v ,−v).







ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),

b) krivuljaρ(v) = r(−1, v) =

(−1+ v ,−1− v ,−v).







ρ(u) = r(u, 3) = (u + 3, u − 3, 3u),
































































Primjer.

Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom

r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)

je sfera x2 + y2 + z2 = 1.



Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3

zadanepravilom


je sfera x2 + y2 + z2 = 1.



Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,π]× [−π,π]→ R3 zadanepravilom


je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.





je sfera x2 + y2 + z2 = 1.



Primjer.

Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom

r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)

je konus x2 + y2 = z2.



Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3

zadanepravilom





Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom




































































































Primjer.

Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom

r(u, v) =(u cos v , u sin v , u2

)je elipticki paraboloid z = x2 + y2.



Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3

zadanepravilom





Primjer. Slika parametrizirane plohe r : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3 zadanepravilom


)

je elipticki paraboloid z = x2 + y2.



















































































Primjer.

Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadanepravilom

r(u, v) = (cos v , sin v , u)

je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.



Primjer. Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3

zadanepravilom









































































































Primjer.

Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom

r(u, v) = r0 + us1 + vs2

je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2.

Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.



Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3,

pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom

r(u, v) = r0 + us1 + vs2





Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.

Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom

r(u, v) = r0 + us1 + vs2





Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3

zadane pravilom

r(u, v) = r0 + us1 + vs2





Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 nekolinearni.Slika parametrizirane plohe r : R×R→ R3 zadane pravilom

r(u, v) = r0 + us1 + vs2






r(u, v) = r0 + us1 + vs2

je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3

razapeta vektorima s1 i s2.





r(u, v) = r0 + us1 + vs2






r(u, v) = r0 + us1 + vs2






r(u, v) = r0 + us1 + vs2






r(u, v) = r0 + us1 + vs2






r(u, v) = r0 + us1 + vs2






r(u, v) = r0 + us1 + vs2






r(u, v) = r0 + us1 + vs2






r(u, v) = r0 + us1 + vs2






r(u, v) = r0 + us1 + vs2






r(u, v) = r0 + us1 + vs2






r(u, v) = r0 + us1 + vs2






r(u, v) = r0 + us1 + vs2






r(u, v) = r0 + us1 + vs2


Napomena.

Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani, onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.




r(u, v) = r0 + us1 + vs2


Napomena. Ako su vektori s1 i s2 ortonormirani,

onda mozemo reci da jeravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama sa središtem u r0.




r(u, v) = r0 + us1 + vs2





Primjer.

Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom

r(u, v) = r0 + u cos vs1 + u sin vs2

je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.



Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3,

pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom





Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.

Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom





Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3

zadane pravilom





Primjer. Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani.Slika parametrizirane plohe r : R× [0, 2π]→ R3 zadane pravilom







je ravnina π kroz tocku r0 ∈ R3 razapeta vektorima s1 i s2

parametrizirana polarnim koordinatama sa središtem u r0.



















































































Primjer.

Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom

r(u, v) = (u sin v , u cos v , f (u))

parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi z .

P(0, u, f (u))⇒ P ′(u sin v , u cos v , f (u))



Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini

definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom






Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I .

Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom






Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3

definirana pravilom






Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom







































P(0, u, f (u))⇒

P ′(u sin v , u cos v , f (u))






P(0, u, f (u))⇒

P ′(u sin v , u cos v , f (u))









Primjer.

Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom

r(u, v) = (f (u) sin v , u, f (u) cos v)

parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f (y) oko osi y .

P(0, u, f (u))⇒ P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)



Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini

definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom






Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I .

Tada je r : I × [0, 2π]→ R3 definirana pravilom






Primjer. Neka je z = f (y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana naintervalu I . Tada je r : I × [0, 2π]→ R3

definirana pravilom













































P(0, u, f (u))⇒

P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)






P(0, u, f (u))⇒

P ′(f (u) sin v , u, f (u) cos v)









Podsjetimo se: za plohu r : U → R3 krivulja:

ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.

Uocimo da je:

r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).




ρ(u) = r(u,C ) naziva se u−krivulja plohe r,

ρ(v) = r(C , v) naziva se v−krivulja plohe r.Uocimo da je:






Uocimo da je:






Uocimo da je:






Uocimo da je:

r′u(u, v) tangentni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),

r′v (u, v) tangentni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).





Uocimo da je:






Uocimo da je:






Uocimo da je:






Uocimo da je:




Uocimo:

ako su vektori r′u(u, v) i r′v (u, v) nekolinearni vektori (tj.r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0), onda se u tocki (u, v) moze postavititangencijalna ravnina na plohu.



Uocimo: ako su vektori r′u(u, v) i r′v (u, v) nekolinearni vektori

(tj.r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0), onda se u tocki (u, v) moze postavititangencijalna ravnina na plohu.



Uocimo: ako su vektori r′u(u, v) i r′v (u, v) nekolinearni vektori (tj.r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0),

onda se u tocki (u, v) moze postavititangencijalna ravnina na plohu.



Uocimo: ako su vektori r′u(u, v) i r′v (u, v) nekolinearni vektori (tj.r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0), onda se u tocki (u, v) moze postavititangencijalna ravnina na plohu.









Definicija.

Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.

Obzirom da za krivulju r = (x , y , z) vrijedi

r′u × r′v =

∣∣∣∣∣∣i j kx ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v

∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[

x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v

]ima puni rang (tj. rang 2).



Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ U

ako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.


r′u × r′v =







Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0,

u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.


r′u × r′v =







Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U.

Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.


r′u × r′v =







Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna

ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.


r′u × r′v =







Definicija. Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ Uako vrijedi r′u(u, v)× r′v (u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha rsingularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je ploha r regularna ako jeregularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.


r′u × r′v =









r′u × r′v =


∣∣∣∣∣∣ ,

uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v






r′u × r′v =


∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0

ekvivalentan je uvjetu da matrica[x ′u y ′u z ′ux ′v y ′v z ′v






r′u × r′v =




]

ima puni rang (tj. rang 2).





r′u × r′v =







Napomena.

Vazno je uociti da vrijedi:

u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu,

u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postavititangencijalnu ravninu na plohu.

Naime, singularitet moze biti svojstven:

parametrizaciji, pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,

samoj plohi (tj. slici), pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.



Napomena. Vazno je uociti da vrijedi:




































parametrizaciji,

pa odabirom neke druge parametrizacije singularitetnestaje,

















samoj plohi (tj. slici),

pa ce svaka parametrizacija te plohe imatisingularitet u toj tocki.











Primjer.

Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Imamo:

sferakonus



Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije:

a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Imamo:

sferakonus



Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1,

b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Imamo:

sferakonus



Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.

Rješenje. Imamo:

sferakonus



Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje.

Imamo:

sferakonus



Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Imamo:

sfera

konus



Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Imamo:

sferakonus



Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi:


r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k

cos u cos v cos u sin v − sin u− sin u sin v sin u cos v 0

∣∣∣∣∣∣ == sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.

Sada je:

(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0

⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]

⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .




r(u, v) =

(sin u cos v , sin u sin v , cos u)


(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k



Sada je:


⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]

⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .






(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k



Sada je:


⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]

⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .





r′u(u, v) =

(cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k



Sada je:


⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]

⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .





r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)

r′v (u, v) = (− sin u sin v , sin u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k



Sada je:


⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]

⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .





r′u(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v ,− sin u)r′v (u, v) =

(− sin u sin v , sin u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k



Sada je:


⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]

⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .






(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k



Sada je:


⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]

⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .






(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k



Sada je:


⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]

⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .






(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k


∣∣∣∣∣∣ =

= sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j+ cos u sin u · k.Sada je:


⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]

⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .






(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k



Sada je:


⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]

⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .






(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k



Sada je:

(r′u × r′v )(u, v) = 0

⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cos u sin u = 0

⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]

⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .






(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k



Sada je:


⇔

sin u = 0v ∈ [−π,π]

⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .






(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k



Sada je:


⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]

⇔

u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .






(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k



Sada je:


⇔ sin u = 0v ∈ [−π,π]

⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π,π] .



Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] .

Uocimo da vrijedi:

r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol



Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za sferu vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) i (π, v) zav ∈ [−π,π] . Uocimo da vrijedi:





r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒

{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol




r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) =

(0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol




r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1)

- sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol




r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni pol

r(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol




r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) =

(0, 0,−1) - juzni pol




r(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)⇒{r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni polr(π, v) = (0, 0,−1)

- juzni pol











Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi:


r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)

r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k

cos v sin v 1−u sin v u cos v 0

∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.Sada je:

(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0

u = 0⇔ u = 0,

v ∈ [0, 2π]




r(u, v) =

(u cos v , u sin v , u)

r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)

r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k




u = 0⇔ u = 0,

v ∈ [0, 2π]





r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)

r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k




u = 0⇔ u = 0,

v ∈ [0, 2π]





r′u(u, v) =

(cos v , sin v , 1)

r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k




u = 0⇔ u = 0,

v ∈ [0, 2π]





r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)

r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k




u = 0⇔ u = 0,

v ∈ [0, 2π]





r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)

r′v (u, v) =

(−u sin v , u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k




u = 0⇔ u = 0,

v ∈ [0, 2π]





r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)

r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k




u = 0⇔ u = 0,

v ∈ [0, 2π]





r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)

r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k




u = 0⇔ u = 0,

v ∈ [0, 2π]





r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)

r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k


∣∣∣∣∣∣ =

− u cos v · i− u sin v · j+ u · k.

Sada je:


u = 0⇔ u = 0,

v ∈ [0, 2π]





r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)

r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k


∣∣∣∣∣∣ = − u cos v · i− u sin v · j+ u · k.

Sada je:


u = 0⇔ u = 0,

v ∈ [0, 2π]





r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)

r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k



(r′u × r′v )(u, v) = 0⇔

−u cos v = 0−u sin v = 0

u = 0⇔ u = 0,

v ∈ [0, 2π]





r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)

r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k




u = 0⇔

u = 0,v ∈ [0, 2π]





r′u(u, v) = (cos v , sin v , 1)

r′v (u, v) = (−u sin v , u cos v , 0)

(r′u × r′v )(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k




u = 0⇔ u = 0,

v ∈ [0, 2π]



Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) za v ∈ [0, 2π] .

Uocimo da vrijedi:

r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒ r(0, v) = (0, 0, 0) - vrh stošca



Primjer. Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sferex2 + y2 + z2 = 1, b) konusa x2 + y2 = z2.Rješenje. Za konus vrijedi: singulariteti su tocke (0, v) za v ∈ [0, 2π] .Uocimo da vrijedi:





r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒

r(0, v) = (0, 0, 0) - vrh stošca




r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒ r(0, v) =

(0, 0, 0) - vrh stošca




r(u, v) = (u cos v , u sin v , u)⇒ r(0, v) = (0, 0, 0)

- vrh stošca











Definicija.

Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)

v ′a(a, b) v ′b(a, b)

∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.

Pitanje. Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?



Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.

Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)

v ′a(a, b) v ′b(a, b)





Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne,

ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)

v ′a(a, b) v ′b(a, b)





Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U,

ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)v ′a(a, b) v ′b(a, b)





Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b))

takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)v ′a(a, b) v ′b(a, b)





Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b))

i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)v ′a(a, b) v ′b(a, b)





Definicija. Neka su r : U → R3 i~r : V → R3 parametrizirane plohe.Kazemo da su r i~r ekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcijaϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva da je~r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)

v ′a(a, b) v ′b(a, b)

∣∣∣∣ > 0

za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.





v ′a(a, b) v ′b(a, b)

∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V .

Ako su~r i r ekvivalentne, onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.





v ′a(a, b) v ′b(a, b)

∣∣∣∣ > 0za svaki (a, b) ∈ V . Ako su~r i r ekvivalentne,

onda kazemo joši da jeploha~r reparametrizacija plohe r.





v ′a(a, b) v ′b(a, b)






v ′a(a, b) v ′b(a, b)


Pitanje.

Što geometrijski znaci uvjet determinante iz definicije?




v ′a(a, b) v ′b(a, b)





Uocimo da vrijedi:

~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r

′u · u′b + r′v · v ′b

⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )

⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b

∣∣∣∣ (r′u × r′v )Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′b

v ′a v ′b

∣∣∣∣ > 0⇔ vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije



Uocimo da vrijedi:

~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒

{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r

′u · u′b + r′v · v ′b


⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b


v ′a v ′b




Uocimo da vrijedi:

~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a =

r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b = r

′u · u′b + r′v · v ′b


⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b


v ′a v ′b




Uocimo da vrijedi:

~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a

~r′b = r′u · u′b + r′v · v ′b


⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b


v ′a v ′b




Uocimo da vrijedi:

~r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) ⇒{~r′a = r′u · u′a + r′v · v ′a~r′b =

r′u · u′b + r′v · v ′b⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )

⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b


v ′a v ′b




Uocimo da vrijedi:


′u · u′b + r′v · v ′b


⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b


v ′a v ′b




Uocimo da vrijedi:


′u · u′b + r′v · v ′b

⇒ ~r′a ×~r′b =

u′av′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)

⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )

⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b


v ′a v ′b




Uocimo da vrijedi:


′u · u′b + r′v · v ′b

⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)

⇒ ~r′a ×~r′b = (u′av ′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )

⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b


v ′a v ′b




Uocimo da vrijedi:


′u · u′b + r′v · v ′b

⇒ ~r′a ×~r′b = u′av ′b(r′u × r′v ) + u′bv ′a(r′v × r′u)⇒ ~r′a ×~r′b =

(u′av′b − u′bv ′a)(r′u × r′v )

⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b


v ′a v ′b




Uocimo da vrijedi:


′u · u′b + r′v · v ′b


⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b


v ′a v ′b




Uocimo da vrijedi:


′u · u′b + r′v · v ′b


⇒ ~r′a ×~r′b =

∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b


v ′a v ′b




Uocimo da vrijedi:


′u · u′b + r′v · v ′b


⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b

∣∣∣∣ (r′u × r′v )

Dakle, vrijedi:∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b




Uocimo da vrijedi:


′u · u′b + r′v · v ′b


⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b


v ′a v ′b

∣∣∣∣ > 0⇔

vektori (~r′a ×~r′b) i (r′u × r′v ) su iste orijentacije



Uocimo da vrijedi:


′u · u′b + r′v · v ′b


⇒ ~r′a ×~r′b =∣∣∣∣u′a u′bv ′a v ′b


v ′a v ′b



Eksplicitno zadana ploha

Neka je f : U → R glatka funkcija,

pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini. Tada:

eksplicitno zadana ploha je skup

S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,

eksplicitna jednadzba plohe S je z = f (x , y).

Uocimo da vrijedi S = r(U) za parametrizaciju

r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,

pa je r(u, v) globalna parametrizacija plohe S .



Neka je f : U → R glatka funkcija, pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini.

Tada:


S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,



r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,




Neka je f : U → R glatka funkcija, pri cemu je U ⊆ R2 podrucje uravnini. Tada:


S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,



r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,






S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,



r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,






S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,



r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,






S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,



r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,






S = {(x , y , z) : z = f (x , y)} ,



r(u, v) = (u, v , f (u, v)), (u, v) ∈ U,



Implicitno zadana ploha

Neka je F : V → R glatka funkcija,

pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:

implicitno zadana ploha je skup

S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,

implicitna jednadzba plohe S je jednadzba F (x , y , z) = 0.

Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :

lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .



Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru.

Tada:


S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,






Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje uprostoru. Tada:


S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,








S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,








S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,








S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,


Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha

i S implicitno zadana ploha.Kazemo da je ploha r :






S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,


Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha.

Kazemo da je ploha r :






S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,








S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,



lokalna parametrizacija od S ,

ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .





S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,



lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,

globalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) = S .





S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,



lokalna parametrizacija od S , ako vrijedi r(U) ⊆ S ,globalna parametrizacija od S ,

ako vrijedi r(U) = S .





S = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0} ,






Teorem.

Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0.Ako u tocki P ∈ S vrijedi

gradF (P) 6= 0,

onda postoji otvorena okolina W tocke P i regularna parametriziranaploha r : U → R3 takva da je r(U) = W ∩ S .



Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0.

Ako u tocki P ∈ S vrijedi

gradF (P) 6= 0,




Teorem. Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x , y , z) = 0.Ako u tocki P ∈ S vrijedi

gradF (P) 6= 0,





gradF (P) 6= 0,

onda postoji otvorena okolina W tocke P

i regularna parametriziranaploha r : U → R3 takva da je r(U) = W ∩ S .




gradF (P) 6= 0,

onda postoji otvorena okolina W tocke P i regularna parametriziranaploha r : U → R3

takva da je r(U) = W ∩ S .




gradF (P) 6= 0,



Documents

De–nicija plohegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Parametrizirana ploha De–nicija. Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija