Fleksija i torzija - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG/T04_Fleksija... · Fleksija i torzija Neka je r : I !R3 regularna prostorna krivulja. Uoµcimo

Fleksija i torzija

Jelena Sedlar

Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije

Jelena Sedlar (FGAG) Fleksija i torzija 1 / 41

Fleksija i torzija

Uocimo da zakrivljenost osim smjera ima i intenzitet (manja i vecazakrivljenost) koji se moze mjeriti brojem!

Pitanje. Kako matematicki modelirati intenzitet zakrivljenosti?


Fleksija i torzija

Uocimo da zakrivljenost osim smjera ima i intenzitet

(manja i vecazakrivljenost) koji se moze mjeriti brojem!



Fleksija i torzija

Uocimo da zakrivljenost osim smjera ima i intenzitet (manja i vecazakrivljenost)

koji se moze mjeriti brojem!



Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija


Pitanje.

Kako matematicki modelirati intenzitet zakrivljenosti?


Fleksija i torzija




Fleksija i torzija

Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja.

Uocimo da vektor ∆t(t)daje i smjer zakrivljenosti i intenzitet.

Napomena. Da bi mjerenje bilo valjano, potrebno je da duljina luka ∆snakon koje se mjeri zakrivljenost bude jednaka.


Fleksija i torzija

Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Uocimo da vektor ∆t(t)daje

i smjer zakrivljenosti i intenzitet.



Fleksija i torzija

Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Uocimo da vektor ∆t(t)daje i smjer zakrivljenosti

i intenzitet.



Fleksija i torzija

Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Uocimo da vektor ∆t(t)daje i smjer zakrivljenosti i intenzitet.



Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija


Napomena.

Da bi mjerenje bilo valjano, potrebno je da duljina luka ∆snakon koje se mjeri zakrivljenost bude jednaka.


Fleksija i torzija


Napomena. Da bi mjerenje bilo valjano,

potrebno je da duljina luka ∆snakon koje se mjeri zakrivljenost bude jednaka.


Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija




Fleksija i torzija

Uz oznaku v(t) = |r(t)| za skalarnu brzinu,

zakrivljenost dobivamoformulom

lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

.

Ovime smo pokazali geometrijsku motivaciju za sljedecu definiciju.

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja i v(t) = |r(t)|njena skalarna brzina. Funkcija κ : I → R definirana pravilom

κ(t) = |t(t)|v(t)

naziva se fleksija ili zakrivljenost krivulje r.

Napomena. Zakrivljenost u svakoj tocki je pozitivna po definiciji.


Fleksija i torzija

Uz oznaku v(t) = |r(t)| za skalarnu brzinu, zakrivljenost dobivamoformulom

lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

.



κ(t) = |t(t)|v(t)




Fleksija i torzija


lim∆s→0

∆t(t)∆s

=

lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

.



κ(t) = |t(t)|v(t)




Fleksija i torzija


lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=

t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

.



κ(t) = |t(t)|v(t)




Fleksija i torzija


lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=

t(t)v(t)

.



κ(t) = |t(t)|v(t)




Fleksija i torzija


lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

.



κ(t) = |t(t)|v(t)




Fleksija i torzija


lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

.



κ(t) = |t(t)|v(t)




Fleksija i torzija


lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

.


Definicija.

Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja i v(t) = |r(t)|njena skalarna brzina. Funkcija κ : I → R definirana pravilom

κ(t) = |t(t)|v(t)




Fleksija i torzija


lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

.


Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja

i v(t) = |r(t)|njena skalarna brzina. Funkcija κ : I → R definirana pravilom

κ(t) = |t(t)|v(t)




Fleksija i torzija


lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

.


Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja i v(t) = |r(t)|njena skalarna brzina.

Funkcija κ : I → R definirana pravilom

κ(t) = |t(t)|v(t)




Fleksija i torzija


lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

.


Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja i v(t) = |r(t)|njena skalarna brzina. Funkcija κ : I → R

definirana pravilom

κ(t) = |t(t)|v(t)




Fleksija i torzija


lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

.



κ(t) = |t(t)|v(t)




Fleksija i torzija


lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

.



κ(t) = |t(t)|v(t)




Fleksija i torzija


lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

.



κ(t) = |t(t)|v(t)


Napomena.

Zakrivljenost u svakoj tocki je pozitivna po definiciji.


Fleksija i torzija


lim∆s→0

∆t(t)∆s

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)s ′(t)

=t(t)v(t)

.



κ(t) = |t(t)|v(t)




Fleksija i torzija

Definicija.

Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja iv(t) = |r(t)| njena skalarna brzina. Torzija ili sukanje krivulje r je funkcijaτ : I → R definirana pravilom

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:

b(t) = t(t)× n(t) ⇒ b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t)} == t(t)× n(t) = {n(t)⊥n(t)} = λn(t),

ϕ = ](n(t), b(t)) ⇒ n(t) · b(t) = |n(t)|∣∣b(t)∣∣ cos ϕ = {ϕ = 0 ili π} =

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja

iv(t) = |r(t)| njena skalarna brzina. Torzija ili sukanje krivulje r je funkcijaτ : I → R definirana pravilom

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:



= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja iv(t) = |r(t)| njena skalarna brzina.

Torzija ili sukanje krivulje r je funkcijaτ : I → R definirana pravilom

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:



= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja iv(t) = |r(t)| njena skalarna brzina. Torzija ili sukanje krivulje r

je funkcijaτ : I → R definirana pravilom

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:



= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja iv(t) = |r(t)| njena skalarna brzina. Torzija ili sukanje krivulje r je funkcijaτ : I → R

definirana pravilom

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:



= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja iv(t) = |r(t)| njena skalarna brzina. Torzija ili sukanje krivulje r je funkcijaτ : I → R definirana pravilom

τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:



= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:



= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:

b(t) = t(t)× n(t)

⇒ b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t)} == t(t)× n(t) = {n(t)⊥n(t)} = λn(t),


= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:

b(t) = t(t)× n(t) ⇒ b(t) =

t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t)} == t(t)× n(t) = {n(t)⊥n(t)} = λn(t),


= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:

b(t) = t(t)× n(t) ⇒ b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) =

{t(t)‖n(t)} == t(t)× n(t) = {n(t)⊥n(t)} = λn(t),


= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:

b(t) = t(t)× n(t) ⇒ b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t)} =

= t(t)× n(t) = {n(t)⊥n(t)} = λn(t),ϕ = ](n(t), b(t)) ⇒ n(t) · b(t) = |n(t)|

∣∣b(t)∣∣ cos ϕ = {ϕ = 0 ili π} == ±

∣∣b(t)∣∣ ,pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:

b(t) = t(t)× n(t) ⇒ b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t)} == t(t)× n(t) =

{n(t)⊥n(t)} = λn(t),ϕ = ](n(t), b(t)) ⇒ n(t) · b(t) = |n(t)|

∣∣b(t)∣∣ cos ϕ = {ϕ = 0 ili π} == ±


|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:

b(t) = t(t)× n(t) ⇒ b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t)} == t(t)× n(t) = {n(t)⊥n(t)} =

λn(t),ϕ = ](n(t), b(t)) ⇒ n(t) · b(t) = |n(t)|

∣∣b(t)∣∣ cos ϕ = {ϕ = 0 ili π} == ±


|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:



= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:


ϕ = ](n(t), b(t)) ⇒

n(t) · b(t) = |n(t)|∣∣b(t)∣∣ cos ϕ = {ϕ = 0 ili π} =

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:


ϕ = ](n(t), b(t)) ⇒ n(t) · b(t) =

|n(t)|∣∣b(t)∣∣ cos ϕ = {ϕ = 0 ili π} =

= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:


ϕ = ](n(t), b(t)) ⇒ n(t) · b(t) = |n(t)|∣∣b(t)∣∣ cos ϕ =

{ϕ = 0 ili π} == ±


|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:



= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:



= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:



= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =

∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:



= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =

∣∣n(t) · b(t)∣∣v(t)

=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:



= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija


τ(t) = −n(t) · b(t)v(t)

.

Uocimo da vrijedi:



= ±∣∣b(t)∣∣ ,

pa je

|τ(t)| =∣∣∣∣−n(t) · b(t)v(t)

∣∣∣∣ =∣∣n(t) · b(t)∣∣

v(t)=

∣∣b(t)∣∣v(t)

.


Fleksija i torzija

Dakle, torzija mjeri zakretanje vektora binormale

(tj. oskulacijske ravnine)na slican nacin kao što fleksija mjeri zakretanje tangente.

Neformalnije izreceno, mozemo zakljuciti da:

fleksija mjeri odstupanje krivulje od pravca,torzija mjeri odstupanje krivulje od ravnine.


Fleksija i torzija

Dakle, torzija mjeri zakretanje vektora binormale (tj. oskulacijske ravnine)

na slican nacin kao što fleksija mjeri zakretanje tangente.




Fleksija i torzija

Dakle, torzija mjeri zakretanje vektora binormale (tj. oskulacijske ravnine)na slican nacin kao što fleksija mjeri zakretanje tangente.




Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija



fleksija mjeri odstupanje krivulje od pravca,

torzija mjeri odstupanje krivulje od ravnine.


Fleksija i torzija





Fleksija i torzija

Propozicija.

Fleksija i torzija ne ovise o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r reparametrizacija od r. Vrijedi

~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)⇒ | ˙r(t)| = |r(ϕ(t))| ϕ(t)⇒⇒ v(t) = v(ϕ(t))ϕ(t)

~t(t) = t(ϕ(t)) ⇒ ˙t(t) = t(ϕ(t))ϕ(t)~b(t) = b(ϕ(t)) ⇒ ˙b(t) = b(ϕ(t))ϕ(t)

Sada iz ϕ(t) > 0 slijedi

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

v(ϕ(t))ϕ(t)= τ(ϕ(t)). QED


Fleksija i torzija

Propozicija. Fleksija i torzija ne ovise o reparametrizaciji.

Dokaz. Neka je~r reparametrizacija od r. Vrijedi




κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)



Fleksija i torzija

Propozicija. Fleksija i torzija ne ovise o reparametrizaciji.Dokaz.

Neka je~r reparametrizacija od r. Vrijedi




κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)



Fleksija i torzija

Propozicija. Fleksija i torzija ne ovise o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r reparametrizacija od r.

Vrijedi




κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)



Fleksija i torzija

Propozicija. Fleksija i torzija ne ovise o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r reparametrizacija od r. Vrijedi

~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒

˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)⇒ | ˙r(t)| = |r(ϕ(t))| ϕ(t)⇒⇒ v(t) = v(ϕ(t))ϕ(t)



κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)



Fleksija i torzija


~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)⇒

| ˙r(t)| = |r(ϕ(t))| ϕ(t)⇒⇒ v(t) = v(ϕ(t))ϕ(t)



κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)



Fleksija i torzija


~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)⇒ | ˙r(t)| = |r(ϕ(t))| ϕ(t)⇒

⇒ v(t) = v(ϕ(t))ϕ(t)~t(t) = t(ϕ(t)) ⇒ ˙t(t) = t(ϕ(t))ϕ(t)~b(t) = b(ϕ(t)) ⇒ ˙b(t) = b(ϕ(t))ϕ(t)


κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)



Fleksija i torzija





κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)



Fleksija i torzija



~t(t) = t(ϕ(t)) ⇒

˙t(t) = t(ϕ(t))ϕ(t)~b(t) = b(ϕ(t)) ⇒ ˙b(t) = b(ϕ(t))ϕ(t)


κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)



Fleksija i torzija



~t(t) = t(ϕ(t)) ⇒ ˙t(t) = t(ϕ(t))ϕ(t)

~b(t) = b(ϕ(t)) ⇒ ˙b(t) = b(ϕ(t))ϕ(t)


κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)



Fleksija i torzija



~t(t) = t(ϕ(t)) ⇒ ˙t(t) = t(ϕ(t))ϕ(t)~b(t) = b(ϕ(t)) ⇒

˙b(t) = b(ϕ(t))ϕ(t)


κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)



Fleksija i torzija





κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)



Fleksija i torzija





κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=

|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)



Fleksija i torzija





κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=

|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)



Fleksija i torzija





κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

=

κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)



Fleksija i torzija





κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)



Fleksija i torzija





κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)=

− n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

= τ(ϕ(t)). QED


Fleksija i torzija





κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

v(ϕ(t))ϕ(t)=

τ(ϕ(t)). QED


Fleksija i torzija





κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

v(ϕ(t))ϕ(t)= τ(ϕ(t)).

QED


Fleksija i torzija





κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣v(t)

=|t(ϕ(t))| ϕ(t)v(ϕ(t))ϕ(t)

=|t(ϕ(t))|v(ϕ(t))

= κ(ϕ(t)),

τ(t) = −~n(t) ·˙b(t)

v(t)= − n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)



Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

neprakticne: one iz definicije κ(t) = |t(t)|v (t) i τ(t) = −n(t)·b(t)v (t) ,

prakticne: ovise samo o r (i o derivacijama od r)!Cilj nam je izvesti prakticne formule za fleksiju i torziju.

Propozicija. Neka je r : I → R3 (bi)regularna prostorna krivuljaparametrizirana prirodnim parametrom s. Tada je

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:

neprakticne:

one iz definicije κ(t) = |t(t)|v (t) i τ(t) = −n(t)·b(t)v (t) ,



κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:




κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:


prakticne:

ovise samo o r (i o derivacijama od r)!Cilj nam je izvesti prakticne formule za fleksiju i torziju.


κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:


prakticne: ovise samo o r (i o derivacijama od r)!

Cilj nam je izvesti prakticne formule za fleksiju i torziju.


κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:




κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:



Propozicija.

Neka je r : I → R3 (bi)regularna prostorna krivuljaparametrizirana prirodnim parametrom s. Tada je

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:



Propozicija. Neka je r : I → R3 (bi)regularna prostorna krivulja

parametrizirana prirodnim parametrom s. Tada je

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:



Propozicija. Neka je r : I → R3 (bi)regularna prostorna krivuljaparametrizirana prirodnim parametrom s.

Tada je

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:




κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:




κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:




κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz.

Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:




κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

=

{v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:




κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} =

|t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:




κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =

∣∣r′′(s)∣∣ ,τ(s) = −n(s) · b(s)

v(s)= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:




κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:




κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

=

{v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:




κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} =

− n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:




κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s).

QED


Fleksija i torzija

Formule mogu biti:




κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Imamo

κ(s) =|t(s)|v(s)

= {v(s) = 1} = |t(s)| =∣∣r′′(s)∣∣ ,

τ(s) = −n(s) · b(s)v(s)

= {v(s) = 1} = − n(s) · b′(s). QED


Fleksija i torzija

Propozicija.

Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivuljaparametrizirana opcenitim parametrom. Tada vrijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.

Dokaz. Iz t(t) = r(t)|r(t)| =

r(t)v (t) slijedi

r(t) = v(t)t(t),r(t) = v ′(t)t(t) + v(t)t(t) = v ′(t)t(t) + v(t) |t(t)| n(t) =

= v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) = v3(t)κ(t)b(t),|r(t)× r(t)| = v3(t)κ(t) |b(t)| = v3(t)κ(t).Dobivamo

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija

Propozicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja

parametrizirana opcenitim parametrom. Tada vrijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi



κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija

Propozicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivuljaparametrizirana opcenitim parametrom.

Tada vrijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi



κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija

Propozicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivuljaparametrizirana opcenitim parametrom. Tada vrijedi

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi



κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.

Dokaz.

Iz t(t) = r(t)|r(t)| =

r(t)v (t) slijedi



κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi



κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t)

slijedi



κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi



κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi

r(t) = v(t)t(t),

r(t) = v ′(t)t(t) + v(t)t(t) = v ′(t)t(t) + v(t) |t(t)| n(t) == v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),

r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) = v3(t)κ(t)b(t),|r(t)× r(t)| = v3(t)κ(t) |b(t)| = v3(t)κ(t).Dobivamo

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi

r(t) = v(t)t(t),r(t) =

v ′(t)t(t) + v(t)t(t) = v ′(t)t(t) + v(t) |t(t)| n(t) == v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),


κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi

r(t) = v(t)t(t),r(t) = v ′(t)t(t) + v(t)t(t) =

v ′(t)t(t) + v(t) |t(t)| n(t) == v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),


κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi



κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi


= v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),


κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi


= v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),r(t)× r(t) =

v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) = v3(t)κ(t)b(t),|r(t)× r(t)| = v3(t)κ(t) |b(t)| = v3(t)κ(t).Dobivamo

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi


= v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) =

v3(t)κ(t)b(t),|r(t)× r(t)| = v3(t)κ(t) |b(t)| = v3(t)κ(t).Dobivamo

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi


= v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) = v3(t)κ(t)b(t),

|r(t)× r(t)| = v3(t)κ(t) |b(t)| = v3(t)κ(t).Dobivamo

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi


= v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) = v3(t)κ(t)b(t),|r(t)× r(t)| =

v3(t)κ(t) |b(t)| = v3(t)κ(t).Dobivamo

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi


= v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) = v3(t)κ(t)b(t),|r(t)× r(t)| = v3(t)κ(t) |b(t)| =

v3(t)κ(t).Dobivamo

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi


= v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) = v3(t)κ(t)b(t),|r(t)× r(t)| = v3(t)κ(t) |b(t)| = v3(t)κ(t).

Dobivamo

κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi



κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=

|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi



κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

.

QED


Fleksija i torzija


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

.


r(t)v (t) slijedi



κ(t) = |r(t)× r(t)|v3(t)

=|r(t)× r(t)||r(t)|3

. QED


Fleksija i torzija

Propozicija.

Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivuljaparametrizirana opcenitim parametrom. Tada vrijedi

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.

Dokaz. Imali smo vec r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)b(t) i

r(t) = v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t)...r (t) = v ′′(t)t(t) + v ′(t)t(t) + (v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t) =

= v ′′(t)t(t) + v ′(t) |t(t)| n(t) + (v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t),

Sada je

(r(t)× r(t))...r (t) = v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = {b(t)n(t) = 0/′} == −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = v6(t)κ2(t)τ(t) == |r(t)× r(t)|2 τ(t)⇒ τ(t) = (r(t)×r(t))·...r (t)

|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija

Propozicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja

parametrizirana opcenitim parametrom. Tada vrijedi

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.




Sada je


|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija

Propozicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivuljaparametrizirana opcenitim parametrom.

Tada vrijedi

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.




Sada je


|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija

Propozicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivuljaparametrizirana opcenitim parametrom. Tada vrijedi

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.




Sada je


|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.

Dokaz.

Imali smo vec r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)b(t) i



Sada je


|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.

Dokaz. Imali smo vec r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)b(t)

i



Sada je


|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.


r(t) = v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t)

...r (t) = v ′′(t)t(t) + v ′(t)t(t) + (v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t) =


Sada je


|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.


r(t) = v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t)...r (t) =

v ′′(t)t(t) + v ′(t)t(t) + (v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t) == v ′′(t)t(t) + v ′(t) |t(t)| n(t) + (v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t),

Sada je


|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.


r(t) = v ′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t)...r (t) = v ′′(t)t(t) + v ′(t)t(t) +

(v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t) == v ′′(t)t(t) + v ′(t) |t(t)| n(t) + (v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t),

Sada je


|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.




Sada je


|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.



= v ′′(t)t(t) + v ′(t) |t(t)| n(t) +

(v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t),

Sada je


|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.




Sada je


|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.




Sada je

(r(t)× r(t))...r (t) =

v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = {b(t)n(t) = 0/′} == −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = v6(t)κ2(t)τ(t) == |r(t)× r(t)|2 τ(t)⇒ τ(t) = (r(t)×r(t))·...r (t)

|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.




Sada je

(r(t)× r(t))...r (t) = v5(t)κ2(t)b(t)n(t) =

{b(t)n(t) = 0/′} == −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = v6(t)κ2(t)τ(t) == |r(t)× r(t)|2 τ(t)⇒ τ(t) = (r(t)×r(t))·...r (t)

|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.




Sada je

(r(t)× r(t))...r (t) = v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = {b(t)n(t) = 0/′} =

= −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = v6(t)κ2(t)τ(t) == |r(t)× r(t)|2 τ(t)⇒ τ(t) = (r(t)×r(t))·...r (t)

|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.




Sada je

(r(t)× r(t))...r (t) = v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = {b(t)n(t) = 0/′} == −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) =

v6(t)κ2(t)τ(t) == |r(t)× r(t)|2 τ(t)⇒ τ(t) = (r(t)×r(t))·...r (t)

|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.




Sada je

(r(t)× r(t))...r (t) = v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = {b(t)n(t) = 0/′} == −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = v6(t)κ2(t)τ(t) =

= |r(t)× r(t)|2 τ(t)⇒ τ(t) = (r(t)×r(t))·...r (t)|r(t)×r(t)|2

. QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.




Sada je

(r(t)× r(t))...r (t) = v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = {b(t)n(t) = 0/′} == −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = v6(t)κ2(t)τ(t) == |r(t)× r(t)|2 τ(t)

⇒ τ(t) = (r(t)×r(t))·...r (t)|r(t)×r(t)|2

. QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.




Sada je

(r(t)× r(t))...r (t) = v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = {b(t)n(t) = 0/′} == −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = v6(t)κ2(t)τ(t) == |r(t)× r(t)|2 τ(t)⇒ τ(t) =

(r(t)×r(t))·...r (t)|r(t)×r(t)|2

. QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.




Sada je


|r(t)×r(t)|2.

QED


Fleksija i torzija


τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)|r(t)× r(t)|2

.




Sada je


|r(t)×r(t)|2. QED


Fleksija i torzija

Zelimo pokazati kako kruznica aproksimira zakrivljenost krivulje!

Podsjetimo se: neka je s ∈ R3, neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori,te neka je a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definirana sa

r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s razapeta vektorima r1 i r2.


Fleksija i torzija


Podsjetimo se:

neka je s ∈ R3, neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori,te neka je a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definirana sa



Fleksija i torzija


Podsjetimo se: neka je s ∈ R3,

neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori,te neka je a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definirana sa



Fleksija i torzija


Podsjetimo se: neka je s ∈ R3, neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori,

te neka je a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definirana sa



Fleksija i torzija


Podsjetimo se: neka je s ∈ R3, neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori,te neka je a > 0.

Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definirana sa



Fleksija i torzija


Podsjetimo se: neka je s ∈ R3, neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori,te neka je a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3

definirana sa



Fleksija i torzija



r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2

kruznica radijusa a sa središtem u s razapeta vektorima r1 i r2.


Fleksija i torzija



r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a

sa središtem u s razapeta vektorima r1 i r2.


Fleksija i torzija



r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s

razapeta vektorima r1 i r2.


Fleksija i torzija





Fleksija i torzija





Fleksija i torzija

Propozicija.

Zakrivljenost kruznice je konstantna i obrnuto jeproporcionalna radijusu kruznice.Dokaz. Jednadzba kruznice je

r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 ⇒{r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2r(t) = − a cos t · r1 − a sin t · r2

Sada iz r1⊥r2 slijedir(t)× r(t) = a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) = a2 · (r1 × r2),|r(t)× r(t)| = a2 · |r1 × r2| = a2,

|r(t)|2 = r(t) · r(t) == a2 sin t |r1|2 − 2a2 sin t cos t(r1 · r2) + a2 cos2 t · |r2|2 = a2.

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija

Propozicija. Zakrivljenost kruznice je konstantna

i obrnuto jeproporcionalna radijusu kruznice.Dokaz. Jednadzba kruznice je




Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija

Propozicija. Zakrivljenost kruznice je konstantna i obrnuto jeproporcionalna radijusu kruznice.

Dokaz. Jednadzba kruznice je




Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija

Propozicija. Zakrivljenost kruznice je konstantna i obrnuto jeproporcionalna radijusu kruznice.Dokaz.

Jednadzba kruznice je




Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija

Propozicija. Zakrivljenost kruznice je konstantna i obrnuto jeproporcionalna radijusu kruznice.Dokaz. Jednadzba kruznice je

r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2

⇒{r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2r(t) = − a cos t · r1 − a sin t · r2



Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija


r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 ⇒{r(t) =

− a sin t · r1 + a cos t · r2r(t) = − a cos t · r1 − a sin t · r2



Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija


r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 ⇒{r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2

r(t) = − a cos t · r1 − a sin t · r2Sada iz r1⊥r2 slijedir(t)× r(t) = a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) = a2 · (r1 × r2),|r(t)× r(t)| = a2 · |r1 × r2| = a2,


Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija


r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 ⇒{r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2r(t) =

− a cos t · r1 − a sin t · r2Sada iz r1⊥r2 slijedir(t)× r(t) = a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) = a2 · (r1 × r2),|r(t)× r(t)| = a2 · |r1 × r2| = a2,


Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija





Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija



Sada iz r1⊥r2 slijedir(t)× r(t) =

a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) = a2 · (r1 × r2),|r(t)× r(t)| = a2 · |r1 × r2| = a2,


Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija



Sada iz r1⊥r2 slijedir(t)× r(t) = a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) =

a2 · (r1 × r2),|r(t)× r(t)| = a2 · |r1 × r2| = a2,


Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija



Sada iz r1⊥r2 slijedir(t)× r(t) = a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) = a2 · (r1 × r2),

|r(t)× r(t)| = a2 · |r1 × r2| = a2,|r(t)|2 = r(t) · r(t) =

= a2 sin t |r1|2 − 2a2 sin t cos t(r1 · r2) + a2 cos2 t · |r2|2 = a2.Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija



Sada iz r1⊥r2 slijedir(t)× r(t) = a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) = a2 · (r1 × r2),|r(t)× r(t)| =

a2 · |r1 × r2| = a2,|r(t)|2 = r(t) · r(t) =


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija



Sada iz r1⊥r2 slijedir(t)× r(t) = a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) = a2 · (r1 × r2),|r(t)× r(t)| = a2 · |r1 × r2| =

a2,


Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija





Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija




|r(t)|2 = r(t) · r(t) =


κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija




|r(t)|2 = r(t) · r(t) == a2 sin t |r1|2 − 2a2 sin t cos t(r1 · r2) + a2 cos2 t · |r2|2 =

a2.

Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija





Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija





Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=

a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija





Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=

1a. QED


Fleksija i torzija





Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a.

QED


Fleksija i torzija





Zakljucujemo da je

κ(t) = |r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=1a. QED


Fleksija i torzija

Propozicija. Zakrivljenost kruznice je konstantna i obrnuto jeproporcionalna radijusu kruznice.


Fleksija i torzija

Definicija.

Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Ako jeκ(t) 6= 0 onda se ρ(t) = 1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti, as(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenosti krivulje r u tockit ∈ I .Napomena. Uocimo da s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) lezi u oskulacijskojravnini.


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja.

Ako jeκ(t) 6= 0 onda se ρ(t) = 1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti, as(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenosti krivulje r u tockit ∈ I .Napomena. Uocimo da s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) lezi u oskulacijskojravnini.


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Ako jeκ(t) 6= 0

onda se ρ(t) = 1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti, as(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenosti krivulje r u tockit ∈ I .Napomena. Uocimo da s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) lezi u oskulacijskojravnini.


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Ako jeκ(t) 6= 0 onda se ρ(t) = 1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti,

as(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenosti krivulje r u tockit ∈ I .Napomena. Uocimo da s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) lezi u oskulacijskojravnini.


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Ako jeκ(t) 6= 0 onda se ρ(t) = 1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti, as(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenosti

krivulje r u tockit ∈ I .Napomena. Uocimo da s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) lezi u oskulacijskojravnini.


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Ako jeκ(t) 6= 0 onda se ρ(t) = 1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti, as(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenosti krivulje r u tockit ∈ I .

Napomena. Uocimo da s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) lezi u oskulacijskojravnini.


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Ako jeκ(t) 6= 0 onda se ρ(t) = 1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti, as(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenosti krivulje r u tockit ∈ I .Napomena.

Uocimo da s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) lezi u oskulacijskojravnini.


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Ako jeκ(t) 6= 0 onda se ρ(t) = 1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti, as(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenosti krivulje r u tockit ∈ I .Napomena. Uocimo da s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) lezi u oskulacijskojravnini.


Fleksija i torzija



Fleksija i torzija



Fleksija i torzija



Fleksija i torzija



Fleksija i torzija



Fleksija i torzija

Definicija.

Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ Iproizvoljan. Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti, a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t), razapetavektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.

Za fiksni t ∈ I , jednadzba oskulacijske kruznice je

rt (p) = s(t)− ρ(t) cos p · n(t) + ρ(t) sin p · t(t),rt (p) = ρ(t) sin p · n(t) + ρ(t) cos p · t(t),

pa imamo

rt (0) = s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t) + ρ(t) · n(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja

i t ∈ Iproizvoljan. Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti, a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t), razapetavektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.



pa imamo


rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ Iproizvoljan.

Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti, a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t), razapetavektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.



pa imamo


rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ Iproizvoljan. Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti,

a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t), razapetavektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.



pa imamo


rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ Iproizvoljan. Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti, a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t.

Kruznica sa središtem u s(t), razapetavektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.



pa imamo


rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ Iproizvoljan. Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti, a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t),

razapetavektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.



pa imamo


rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ Iproizvoljan. Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti, a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t), razapetavektorima t(t) i n(t),

radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.



pa imamo


rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ Iproizvoljan. Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti, a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t), razapetavektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t)

naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.



pa imamo


rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija

Definicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ Iproizvoljan. Neka je ρ(t) radijus zakrivljenosti, a s(t) središtezakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t), razapetavektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivuljer u tocki t.



pa imamo


rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija


Za fiksni t ∈ I ,

jednadzba oskulacijske kruznice je


pa imamo


rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija




pa imamo


rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija



rt (p) = s(t)− ρ(t) cos p · n(t) + ρ(t) sin p · t(t),

rt (p) = ρ(t) sin p · n(t) + ρ(t) cos p · t(t),

pa imamo


rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija



rt (p) = s(t)− ρ(t) cos p · n(t) + ρ(t) sin p · t(t),rt (p) =

ρ(t) sin p · n(t) + ρ(t) cos p · t(t),

pa imamo


rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija




pa imamo


rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija




pa imamo

rt (0) =

s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t) + ρ(t) · n(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija




pa imamo

rt (0) = s(t)− ρ(t) · n(t) =

r(t) + ρ(t) · n(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija




pa imamo

rt (0) = s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t) + ρ(t) · n(t)− ρ(t) · n(t) =

r(t),

rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija




pa imamo


rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija




pa imamo


rt (0) =

ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija




pa imamo


rt (0) = ρ(0) · t(t) =

1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija




pa imamo


rt (0) = ρ(0) · t(t) = 1κ(t)t(t).


Fleksija i torzija

Oskulacijska kruznica rt (p) = s(t)− ρ(t) cos p · n(t) + ρ(t) sin p · t(t)

lezi u oskulacijskoj ravnini,prolazi tockom r(t), jer je rt (0) = s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),tangira krivulju r u tocki r(t), jer je rt (0) = 1

κ(t)t(t),

ima zakrivljenost κ(t), jer je κt (t) = 1ρ(t) = κ(t).


Fleksija i torzija



κ(t)t(t),



Fleksija i torzija



κ(t)t(t),



Fleksija i torzija



κ(t)t(t),



Fleksija i torzija


lezi u oskulacijskoj ravnini,

prolazi tockom r(t), jer je rt (0) = s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),tangira krivulju r u tocki r(t), jer je rt (0) = 1

κ(t)t(t),



Fleksija i torzija


lezi u oskulacijskoj ravnini,prolazi tockom r(t),

jer je rt (0) = s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),tangira krivulju r u tocki r(t), jer je rt (0) = 1

κ(t)t(t),



Fleksija i torzija


lezi u oskulacijskoj ravnini,prolazi tockom r(t), jer je rt (0) = s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),

tangira krivulju r u tocki r(t), jer je rt (0) = 1κ(t)t(t),



Fleksija i torzija






Fleksija i torzija






Fleksija i torzija






Fleksija i torzija






Fleksija i torzija


lezi u oskulacijskoj ravnini,prolazi tockom r(t), jer je rt (0) = s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),tangira krivulju r u tocki r(t),

jer je rt (0) = 1κ(t)t(t),



Fleksija i torzija



κ(t)t(t),



Fleksija i torzija



κ(t)t(t),



Fleksija i torzija



κ(t)t(t),

ima zakrivljenost κ(t),

jer je κt (t) = 1ρ(t) = κ(t).


Fleksija i torzija



κ(t)t(t),



Fleksija i torzija

Uocimo da vrijedi:

t(t),n(t),b(t) ortonormirani ⇒ {t(t),n(t),b(t)} je baza prostora V 3

⇒ a = αt(t) + βn(t) + γb(t) za ∀a ∈ V 3

⇒t(t)n(t)b(t)

= αt(t) + βn(t) + γb(t).

Formule koje daju prikaz vektora t(t), n(t) i b(t) u bazi {t(t),n(t),b(t)}zovu se Frenetove formule.


Fleksija i torzija

Uocimo da vrijedi:

t(t),n(t),b(t) ortonormirani ⇒

{t(t),n(t),b(t)} je baza prostora V 3

⇒ a = αt(t) + βn(t) + γb(t) za ∀a ∈ V 3

⇒t(t)n(t)b(t)

= αt(t) + βn(t) + γb(t).



Fleksija i torzija

Uocimo da vrijedi:


⇒ a = αt(t) + βn(t) + γb(t) za ∀a ∈ V 3

⇒t(t)n(t)b(t)

= αt(t) + βn(t) + γb(t).



Fleksija i torzija

Uocimo da vrijedi:


⇒ a = αt(t) + βn(t) + γb(t) za ∀a ∈ V 3

⇒t(t)n(t)b(t)

= αt(t) + βn(t) + γb(t).



Fleksija i torzija

Uocimo da vrijedi:


⇒ a = αt(t) + βn(t) + γb(t) za ∀a ∈ V 3

⇒t(t)n(t)b(t)

= αt(t) + βn(t) + γb(t).



Fleksija i torzija

Uocimo da vrijedi:


⇒ a = αt(t) + βn(t) + γb(t) za ∀a ∈ V 3

⇒t(t)n(t)b(t)

= αt(t) + βn(t) + γb(t).

Formule koje daju prikaz vektora t(t), n(t) i b(t) u bazi {t(t),n(t),b(t)}

zovu se Frenetove formule.


Fleksija i torzija

Uocimo da vrijedi:


⇒ a = αt(t) + βn(t) + γb(t) za ∀a ∈ V 3

⇒t(t)n(t)b(t)

= αt(t) + βn(t) + γb(t).



Fleksija i torzija

Teorem (Frenetove formule).

Neka je r : I → R3 biregularna prostornakrivulja i v(t) = |r(t)| njena skalarna brzina. Tada vrijedi

t(t) = v(t)κ(t)n(t), n(t) = −v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t),b(t) = −v(t)τ(t)n(t).

Dokaz. Dokazimo najprije tvrdnju za t(t). Uocimo da vrijedi

n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

v(t)

}= v(t)κ(t)n(t).


Fleksija i torzija

Teorem (Frenetove formule). Neka je r : I → R3 biregularna prostornakrivulja

i v(t) = |r(t)| njena skalarna brzina. Tada vrijedi



n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

v(t)

}= v(t)κ(t)n(t).


Fleksija i torzija

Teorem (Frenetove formule). Neka je r : I → R3 biregularna prostornakrivulja i v(t) = |r(t)| njena skalarna brzina.

Tada vrijedi



n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

v(t)

}= v(t)κ(t)n(t).


Fleksija i torzija

Teorem (Frenetove formule). Neka je r : I → R3 biregularna prostornakrivulja i v(t) = |r(t)| njena skalarna brzina. Tada vrijedi

t(t) = v(t)κ(t)n(t),

n(t) = −v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t),b(t) = −v(t)τ(t)n(t).


n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

v(t)

}= v(t)κ(t)n(t).


Fleksija i torzija


t(t) = v(t)κ(t)n(t), n(t) = −v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t),

b(t) = −v(t)τ(t)n(t).


n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

v(t)

}= v(t)κ(t)n(t).


Fleksija i torzija




n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

v(t)

}= v(t)κ(t)n(t).


Fleksija i torzija



Dokaz.

Dokazimo najprije tvrdnju za t(t). Uocimo da vrijedi

n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

v(t)

}= v(t)κ(t)n(t).


Fleksija i torzija



Dokaz. Dokazimo najprije tvrdnju za t(t).

Uocimo da vrijedi

n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

v(t)

}= v(t)κ(t)n(t).


Fleksija i torzija




n(t) =t(t)|t(t)|

⇒ t(t) = |t(t)| n(t) ={κ(t) = |t(t)|

v(t)

}= v(t)κ(t)n(t).


Fleksija i torzija




n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) =

|t(t)| n(t) ={κ(t) = |t(t)|

v(t)

}= v(t)κ(t)n(t).


Fleksija i torzija




n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

v(t)

}= v(t)κ(t)n(t).


Fleksija i torzija




n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

v(t)

}=

v(t)κ(t)n(t).


Fleksija i torzija




n(t) =t(t)|t(t)| ⇒ t(t) = |t(t)| n(t) =

{κ(t) = |t(t)|

v(t)

}= v(t)κ(t)n(t).


Fleksija i torzija



Dokaz. Dokazimo sada tvrdnju za n(t).

Vrijedi

{t(t),n(t),b(t)} baza ⇒ n(t) = αt(t) + βn(t) + γb(t) / · t,n,b

⇒

n(t) · t(t) = αn(t) · n(t) = βn(t) · b(t) = γ

α = n(t) · t(t) = {n(t) · t(t) = 0/ ddt } = − n(t) · t(t) = −

t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),


Fleksija i torzija



Dokaz. Dokazimo sada tvrdnju za n(t). Vrijedi

{t(t),n(t),b(t)} baza ⇒ n(t) = αt(t) + βn(t) + γb(t)

/ · t,n,b

⇒



t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),


Fleksija i torzija





⇒



t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),


Fleksija i torzija





⇒

n(t) · t(t) = α

n(t) · n(t) = βn(t) · b(t) = γ


t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),


Fleksija i torzija





⇒

n(t) · t(t) = αn(t) · n(t) = β

n(t) · b(t) = γ


t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),


Fleksija i torzija





⇒



t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),


Fleksija i torzija





⇒


α = n(t) · t(t) =

{n(t) · t(t) = 0/ ddt } = − n(t) · t(t) = −

t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),


Fleksija i torzija





⇒


α = n(t) · t(t) = {n(t) · t(t) = 0/ ddt } =

− n(t) · t(t) = − t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),


Fleksija i torzija





⇒


α = n(t) · t(t) = {n(t) · t(t) = 0/ ddt } = − n(t) · t(t) =

− t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),


Fleksija i torzija





⇒



t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),


Fleksija i torzija





⇒



t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| =

− v(t)κ(t),


Fleksija i torzija





⇒



t(t)|t(t)| · t(t) =

= − |t(t)| = − v(t)κ(t),


Fleksija i torzija





⇒


β = n(t) · n(t) =

{n(t) · n(t) = 1/ ddt } = 0,


Fleksija i torzija





⇒


β = n(t) · n(t) = {n(t) · n(t) = 1/ ddt } =

0,


Fleksija i torzija





⇒


β = n(t) · n(t) = {n(t) · n(t) = 1/ ddt } = 0,


Fleksija i torzija





⇒


γ = n(t) · b(t) =

{n(t) · b(t) = 0/ ddt } = − n(t) · b(t) =

={

τ(t) = −n(t)·b(t)v (t)

}= v(t)τ(t).


Fleksija i torzija





⇒


γ = n(t) · b(t) = {n(t) · b(t) = 0/ ddt } =

− n(t) · b(t) =

={

τ(t) = −n(t)·b(t)v (t)

}= v(t)τ(t).


Fleksija i torzija





⇒


γ = n(t) · b(t) = {n(t) · b(t) = 0/ ddt } = − n(t) · b(t) =

={

τ(t) = −n(t)·b(t)v (t)

}= v(t)τ(t).


Fleksija i torzija





⇒



={

τ(t) = −n(t)·b(t)v (t)

}=

v(t)τ(t).


Fleksija i torzija





⇒



={

τ(t) = −n(t)·b(t)v (t)

}= v(t)τ(t).


Fleksija i torzija



Dokaz. Dokazimo konacno i tvrdnju za b(t).

Iz b(t) = t(t)× n(t) slijedi

b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t) = t(t)|t(t)|} =

= t(t)× n(t) == t(t)× (− v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t)) == v(t)τ(t) · (t(t)× b(t)) = − v(t)τ(t)n(t). QED


Fleksija i torzija



Dokaz. Dokazimo konacno i tvrdnju za b(t). Iz b(t) = t(t)× n(t)

slijedi




Fleksija i torzija



Dokaz. Dokazimo konacno i tvrdnju za b(t). Iz b(t) = t(t)× n(t) slijedi

b(t) =

t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t) = t(t)|t(t)|} =



Fleksija i torzija




b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) =

{t(t)‖n(t) = t(t)|t(t)|} =



Fleksija i torzija







Fleksija i torzija





= t(t)× n(t) =

= t(t)× (− v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t)) == v(t)τ(t) · (t(t)× b(t)) = − v(t)τ(t)n(t). QED


Fleksija i torzija





= t(t)× n(t) == t(t)× (− v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t)) =

= v(t)τ(t) · (t(t)× b(t)) = − v(t)τ(t)n(t). QED


Fleksija i torzija





= t(t)× n(t) == t(t)× (− v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t)) == v(t)τ(t) · (t(t)× b(t)) =

− v(t)τ(t)n(t). QED


Fleksija i torzija





= t(t)× n(t) == t(t)× (− v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t)) == v(t)τ(t) · (t(t)× b(t)) = − v(t)τ(t)n(t).

QED


Fleksija i torzija







Fleksija i torzija



Napomena.

Uocimo da se Frenetove formule mogu matricno zapisati kao t(t)n(t)b(t)

= 0 v(t)κ(t) 0−v(t)κ(t) 0 v(t)τ(t)

0 −v(t)τ(t) 0

t(t)n(t)b(t)

.


Fleksija i torzija



Napomena. Uocimo da se Frenetove formule mogu matricno zapisati kao t(t)n(t)b(t)

= 0 v(t)κ(t) 0−v(t)κ(t) 0 v(t)τ(t)

0 −v(t)τ(t) 0

t(t)n(t)b(t)

.


Fundamentalni teorem teorije krivulja

Podsjetimo se:

Pitanje. Moze li se krivulja rekonstruirati iz poznate fleksije i torzije (dona polozaj u prostoru)?



Podsjetimo se:




Podsjetimo se:




Podsjetimo se:




Podsjetimo se:




Podsjetimo se:




Podsjetimo se:




Podsjetimo se:




Podsjetimo se:




Podsjetimo se:




Podsjetimo se:




Podsjetimo se:

Pitanje.

Moze li se krivulja rekonstruirati iz poznate fleksije i torzije (dona polozaj u prostoru)?



Podsjetimo se:

Pitanje. Moze li se krivulja rekonstruirati iz poznate fleksije i torzije

(dona polozaj u prostoru)?



Podsjetimo se:




Pokazat cemo:κ τ

pravac ⇒ 0 0 ⇒ pravackruznica ⇒ const 0 ⇒ kruznica

ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)



Pokazat cemo:κ τ

pravac ⇒

0 0 ⇒ pravackruznica ⇒ const 0 ⇒ kruznica




Pokazat cemo:κ τ

pravac ⇒ 0 0

⇒ pravackruznica ⇒ const 0 ⇒ kruznica




Pokazat cemo:κ τ

pravac ⇒ 0 0 ⇒ pravac

kruznica ⇒ const 0 ⇒ kruznicaravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivulja

kruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)



Pokazat cemo:κ τ

pravac ⇒ 0 0 ⇒ pravackruznica ⇒

const 0 ⇒ kruznicaravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivulja




Pokazat cemo:κ τ

pravac ⇒ 0 0 ⇒ pravackruznica ⇒ const 0

⇒ kruznicaravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivulja




Pokazat cemo:κ τ





Pokazat cemo:κ τ


ravninska krivulja ⇒

κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)



Pokazat cemo:κ τ


ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0

⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)



Pokazat cemo:κ τ


ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivulja




Pokazat cemo:κ τ


ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒

const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)



Pokazat cemo:κ τ


ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const

⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)



Pokazat cemo:κ τ


ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnica

opca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)



Pokazat cemo:κ τ


ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒

κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)



Pokazat cemo:κ τ


ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t)

⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)



Pokazat cemo:κ τ


ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnica

krivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)



Pokazat cemo:κ τ


ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒

κ(t) τ(t) ⇒ krivulja r = r(t)



Pokazat cemo:κ τ


ravninska krivulja ⇒ κ(t) 0 ⇒ ravninska krivuljakruzna cil. zavojnica ⇒ const const ⇒ kruzna cil. zavojnicaopca cil. zavojnica ⇒ κ(t) const ·κ(t) ⇒ opca cil. zavojnicakrivulja r = r(t) ⇒ κ(t) τ(t)

⇒ krivulja r = r(t)



Pokazat cemo:κ τ




Fundamentalni teorem teorije krivuljaPravac

Teorem. Neka je r : I → R3 regularna krivulja. Krivulja r je pravac ili diopravca ako i samo ako je κ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka je r pravac. Dakle,

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

⇐ Neka je κ = 0. Sada imamo

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED



Teorem.

Neka je r : I → R3 regularna krivulja. Krivulja r je pravac ili diopravca ako i samo ako je κ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka je r pravac. Dakle,

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0


κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED



Teorem. Neka je r : I → R3 regularna krivulja.

Krivulja r je pravac ili diopravca ako i samo ako je κ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka je r pravac. Dakle,

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0


κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED



Teorem. Neka je r : I → R3 regularna krivulja. Krivulja r je pravac ili diopravca ako i samo ako je κ(t) = 0 za svaki t ∈ I .

Dokaz.⇒ Neka je r pravac. Dakle,

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0


κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED



Teorem. Neka je r : I → R3 regularna krivulja. Krivulja r je pravac ili diopravca ako i samo ako je κ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.

⇒ Neka je r pravac. Dakle,

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0


κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED



Teorem. Neka je r : I → R3 regularna krivulja. Krivulja r je pravac ili diopravca ako i samo ako je κ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒

Neka je r pravac. Dakle,

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0


κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED



Teorem. Neka je r : I → R3 regularna krivulja. Krivulja r je pravac ili diopravca ako i samo ako je κ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka je r pravac.

Dakle,

r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0


κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED




r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3)

⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0


κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED




r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0

⇒ κ = 0


κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED




r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0


κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED




r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

⇐

Neka je κ = 0. Sada imamo

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED




r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0

⇐ Neka je κ = 0.

Sada imamo

κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED




r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0


κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0

⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED




r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0


κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED




r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0


κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3)

QED




r(t) = a+ tb (a,b ∈ R3) ⇒ r(t) = b, r(t) = 0 ⇒ κ = 0


κ(s) =∣∣r′′(s)∣∣ = 0 ⇒ r′(s) = b (b ∈ R3)

⇒ r(s) = a+ sb (a ∈ R3) QED


Fundamentalni teorem teorije krivuljaRavninska krivulja

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka r lezi u ravnini (ravnina (r− p) · q = 0 kroz tocku p ∈ R3 svektorom normale q ∈ R3). Dakle,

(r(s)− p) · q = 0 ⇒ r′(s) · q = 0 i r′′(s) · q = 0⇒ b(s) je kolinearan vektoru q

⇒ b(s) = ± q|q| (konstanta)

⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0



Teorem.

Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka r lezi u ravnini (ravnina (r− p) · q = 0 kroz tocku p ∈ R3 svektorom normale q ∈ R3). Dakle,



⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja.

Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka r lezi u ravnini (ravnina (r− p) · q = 0 kroz tocku p ∈ R3 svektorom normale q ∈ R3). Dakle,



⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .

Dokaz.⇒ Neka r lezi u ravnini (ravnina (r− p) · q = 0 kroz tocku p ∈ R3 svektorom normale q ∈ R3). Dakle,



⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.

⇒ Neka r lezi u ravnini (ravnina (r− p) · q = 0 kroz tocku p ∈ R3 svektorom normale q ∈ R3). Dakle,



⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒

Neka r lezi u ravnini (ravnina (r− p) · q = 0 kroz tocku p ∈ R3 svektorom normale q ∈ R3). Dakle,



⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka r lezi u ravnini

(ravnina (r− p) · q = 0 kroz tocku p ∈ R3 svektorom normale q ∈ R3). Dakle,



⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka r lezi u ravnini (ravnina (r− p) · q = 0 kroz tocku p ∈ R3 svektorom normale q ∈ R3).

Dakle,



⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0




(r(s)− p) · q = 0

⇒ r′(s) · q = 0 i r′′(s) · q = 0⇒ b(s) je kolinearan vektoru q


⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0




(r(s)− p) · q = 0 ⇒ r′(s) · q = 0 i r′′(s) · q = 0

⇒ b(s) je kolinearan vektoru q


⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0






⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0






⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0






⇒ b′(s) = 0

⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0






⇒ b′(s) = 0⇒ τ(s) = −n(s) · b′(s) = 0



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇐

Neka je τ = 0. Sada imamo

b′(s) = −τ(s)n(s)τ(s)=0= 0⇒ b(s) = const ozn= b

Promotrimo funkciju

f (s) = (r(s)− r(s0)) · b ⇒ f ′(s) = r′(s) · b = t(s) · b = 0⇒ funkcija f mora biti konstantna

{f (s0) = 0} ⇒ f (s) = 0 za svaki s ∈ I⇒ (r(s)− r(s0)) · b = 0 za svaki s ∈ I

Dakle, krivulja r lezi u ravnini kroz tocku r(s0), s vektorom normale b(dakle, u oskulacijskoj ravnini). QED



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇐ Neka je τ = 0.

Sada imamo


Promotrimo funkciju






Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravniniako i samo ako je τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇐ Neka je τ = 0. Sada imamo

b′(s) = −τ(s)n(s)

τ(s)=0= 0⇒ b(s) = const ozn= b

Promotrimo funkciju







b′(s) = −τ(s)n(s)τ(s)=0=

0⇒ b(s) = const ozn= b

Promotrimo funkciju







b′(s) = −τ(s)n(s)τ(s)=0= 0

⇒ b(s) = const ozn= b

Promotrimo funkciju








Promotrimo funkciju








Promotrimo funkciju

f (s) = (r(s)− r(s0)) · b

⇒ f ′(s) = r′(s) · b = t(s) · b = 0⇒ funkcija f mora biti konstantna







Promotrimo funkciju

f (s) = (r(s)− r(s0)) · b ⇒ f ′(s) =

r′(s) · b = t(s) · b = 0⇒ funkcija f mora biti konstantna







Promotrimo funkciju

f (s) = (r(s)− r(s0)) · b ⇒ f ′(s) = r′(s) · b =

t(s) · b = 0⇒ funkcija f mora biti konstantna







Promotrimo funkciju

f (s) = (r(s)− r(s0)) · b ⇒ f ′(s) = r′(s) · b = t(s) · b =

0

⇒ funkcija f mora biti konstantna







Promotrimo funkciju

f (s) = (r(s)− r(s0)) · b ⇒ f ′(s) = r′(s) · b = t(s) · b = 0

⇒ funkcija f mora biti konstantna







Promotrimo funkciju








Promotrimo funkciju


{f (s0) = 0} ⇒

f (s) = 0 za svaki s ∈ I⇒ (r(s)− r(s0)) · b = 0 za svaki s ∈ I






Promotrimo funkciju


{f (s0) = 0} ⇒ f (s) = 0 za svaki s ∈ I

⇒ (r(s)− r(s0)) · b = 0 za svaki s ∈ I






Promotrimo funkciju








Promotrimo funkciju



Dakle, krivulja r lezi u ravnini

kroz tocku r(s0), s vektorom normale b(dakle, u oskulacijskoj ravnini). QED





Promotrimo funkciju



Dakle, krivulja r lezi u ravnini kroz tocku r(s0),

s vektorom normale b(dakle, u oskulacijskoj ravnini). QED





Promotrimo funkciju



Dakle, krivulja r lezi u ravnini kroz tocku r(s0), s vektorom normale b

(dakle, u oskulacijskoj ravnini). QED





Promotrimo funkciju



Dakle, krivulja r lezi u ravnini kroz tocku r(s0), s vektorom normale b(dakle, u oskulacijskoj ravnini).

QED





Promotrimo funkciju






Teorem.

Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka je krivulja r kruznica.

r kruznica radijusa a ⇒ κ(t) = 1a6= 0

kruznica r ravninska ⇒ τ(t) = 0



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .

Dokaz.⇒ Neka je krivulja r kruznica.





Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.

⇒ Neka je krivulja r kruznica.





Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒

Neka je krivulja r kruznica.





Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇒ Neka je krivulja r kruznica.






r kruznica radijusa a

⇒ κ(t) = 1a6= 0





r kruznica radijusa a ⇒ κ(t) =

1a6= 0





r kruznica radijusa a ⇒ κ(t) = 1a

6= 0kruznica r ravninska ⇒ τ(t) = 0










kruznica r ravninska

⇒ τ(t) = 0





kruznica r ravninska ⇒ τ(t) =

0








Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇐

Neka je κ 6= 0 konstantna i τ ≡ 0. Definiramoa(s) = r(s) + n(s)/κ. Vrijedi

a′(s) = r′(s) + n′(s)/κ = t(s) + (−κt(s) + τb(s)) /κ = 0.

To znaci da je vektor a(s) konstantan, pa mozemo pisati a(s) = s ∈ R3.Dakle,

|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.

Dakle, sve tocke r(s) na krivulji r jednako su udaljene od fiksne tocke s.To znaci da krivulja r lezi na sferi sa središtem u s radijusa 1/κ.

No, obzirom da je τ = 0 slijedi da krivulja r mora biti ravninska, pa r morabiti kruznica ili dio kruznice (presjek ravnine i sfere). QED



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇐ Neka je κ 6= 0 konstantna i τ ≡ 0.

Definiramoa(s) = r(s) + n(s)/κ. Vrijedi



|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.





Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇐ Neka je κ 6= 0 konstantna i τ ≡ 0. Definiramoa(s) = r(s) + n(s)/κ.

Vrijedi



|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.





Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ilidio kruznice ako i samo ako je κ(t) = c 6= 0 i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.⇐ Neka je κ 6= 0 konstantna i τ ≡ 0. Definiramoa(s) = r(s) + n(s)/κ. Vrijedi

a′(s) =

r′(s) + n′(s)/κ = t(s) + (−κt(s) + τb(s)) /κ = 0.


|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.






a′(s) = r′(s) + n′(s)/κ =

t(s) + (−κt(s) + τb(s)) /κ = 0.


|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.






a′(s) = r′(s) + n′(s)/κ = t(s) + (−κt(s) + τb(s)) /κ =

0.


|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.








|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.







To znaci da je vektor a(s) konstantan,

pa mozemo pisati a(s) = s ∈ R3.Dakle,

|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.







To znaci da je vektor a(s) konstantan, pa mozemo pisati a(s) = s ∈ R3.

Dakle,|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.








|r(s)− s| =

|r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.








|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| =

|n(s)/κ| = 1/κ.








|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| =

1/κ.








|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.








|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.

Dakle, sve tocke r(s) na krivulji r jednako su udaljene od fiksne tocke s.

To znaci da krivulja r lezi na sferi sa središtem u s radijusa 1/κ.







|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.








|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.


No, obzirom da je τ = 0 slijedi da krivulja r mora biti ravninska,

pa r morabiti kruznica ili dio kruznice (presjek ravnine i sfere). QED






|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.


No, obzirom da je τ = 0 slijedi da krivulja r mora biti ravninska, pa r morabiti kruznica ili dio kruznice (presjek ravnine i sfere).

QED






|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |n(s)/κ| = 1/κ.




Fundamentalni teorem teorije krivuljaKruzna cilindricna spirala

Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja za kojuje κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je kruzna cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je κ(t) = c1 = 0 i τ(t) = c2 6= 0 zasvaki t ∈ I .Dokaz.Zainteresirani ga mogu pronaci u literaturi. QED



Teorem.

Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja za kojuje κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je kruzna cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je κ(t) = c1 = 0 i τ(t) = c2 6= 0 zasvaki t ∈ I .Dokaz.Zainteresirani ga mogu pronaci u literaturi. QED



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja za kojuje κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I .

Krivulja r je kruzna cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je κ(t) = c1 = 0 i τ(t) = c2 6= 0 zasvaki t ∈ I .Dokaz.Zainteresirani ga mogu pronaci u literaturi. QED



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja za kojuje κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je kruzna cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je κ(t) = c1 = 0 i τ(t) = c2 6= 0 zasvaki t ∈ I .

Dokaz.Zainteresirani ga mogu pronaci u literaturi. QED



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja za kojuje κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je kruzna cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je κ(t) = c1 = 0 i τ(t) = c2 6= 0 zasvaki t ∈ I .Dokaz.

Zainteresirani ga mogu pronaci u literaturi. QED



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja za kojuje κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je kruzna cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je κ(t) = c1 = 0 i τ(t) = c2 6= 0 zasvaki t ∈ I .Dokaz.Zainteresirani ga mogu pronaci u literaturi.

QED



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja za kojuje κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je kruzna cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je κ(t) = c1 = 0 i τ(t) = c2 6= 0 zasvaki t ∈ I .Dokaz.Zainteresirani ga mogu pronaci u literaturi. QED


Fundamentalni teorem teorije krivuljaOpca cilindricna spirala

Definicija. Za krivulju r : I → R3 kazemo da je opca cilindricna spiralaako postoji vektor a ∈ R3 (a 6= 0) takav da vektori t(t) i a zatvarajukonstantan kut.

Uocimo da vrijedi:

cos](t(t), a) = t(t) · a|t(t)| |a| = const ⇒

{|t(t)| = 1|a| = const

}⇒ t(t) ·a = const



Definicija.

Za krivulju r : I → R3 kazemo da je opca cilindricna spiralaako postoji vektor a ∈ R3 (a 6= 0) takav da vektori t(t) i a zatvarajukonstantan kut.

Uocimo da vrijedi:


{|t(t)| = 1|a| = const




Definicija. Za krivulju r : I → R3 kazemo da je opca cilindricna spirala

ako postoji vektor a ∈ R3 (a 6= 0) takav da vektori t(t) i a zatvarajukonstantan kut.

Uocimo da vrijedi:


{|t(t)| = 1|a| = const




Definicija. Za krivulju r : I → R3 kazemo da je opca cilindricna spiralaako postoji vektor a ∈ R3 (a 6= 0)

takav da vektori t(t) i a zatvarajukonstantan kut.

Uocimo da vrijedi:


{|t(t)| = 1|a| = const





Uocimo da vrijedi:


{|t(t)| = 1|a| = const





Uocimo da vrijedi:


{|t(t)| = 1|a| = const





Uocimo da vrijedi:

cos](t(t), a) =

t(t) · a|t(t)| |a| = const ⇒

{|t(t)| = 1|a| = const





Uocimo da vrijedi:

cos](t(t), a) = t(t) · a|t(t)| |a| =

const ⇒{|t(t)| = 1|a| = const





Uocimo da vrijedi:

cos](t(t), a) = t(t) · a|t(t)| |a| = const

⇒{|t(t)| = 1|a| = const





Uocimo da vrijedi:


{|t(t)| = 1|a| = const





Uocimo da vrijedi:


{|t(t)| = 1

|a| = const





Uocimo da vrijedi:


{|t(t)| = 1|a| = const





Uocimo da vrijedi:


{|t(t)| = 1|a| = const

}⇒

t(t) ·a = const




Uocimo da vrijedi:


{|t(t)| = 1|a| = const





Geometrijska interpretacija:












































Definicija.

Kazemo da je opca cilindricna spirala izogonalna trajektorijaizvodnica cilindricne plohe. Posebno, ako opca cilindricna spirala sijeceizvodnice cilindricne plohe pod pravim kutem, onda je nazivamoortogonalnom trajektorijom.




Definicija. Kazemo da je opca cilindricna spirala izogonalna trajektorijaizvodnica cilindricne plohe.

Posebno, ako opca cilindricna spirala sijeceizvodnice cilindricne plohe pod pravim kutem, onda je nazivamoortogonalnom trajektorijom.




Definicija. Kazemo da je opca cilindricna spirala izogonalna trajektorijaizvodnica cilindricne plohe. Posebno, ako opca cilindricna spirala sijeceizvodnice cilindricne plohe pod pravim kutem, onda je nazivamoortogonalnom trajektorijom.



Primjer.

Kruzna cilindricna spirala definirana pravilomr(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3 pri cemu su a, b ∈ R, s ∈ R3,te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori je opca cilindricna spirala.Dokaz. Dovoljno je pokazati

ϕ = ](t(t), r3) = ](r(t), r3) = const.Imamo

r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2 + b · r3,r(t) · r3 = b(r3 · r3) = b |r3|2 = b,|r(t)| =

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED



Primjer. Kruzna cilindricna spirala definirana pravilomr(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3

pri cemu su a, b ∈ R, s ∈ R3,te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori je opca cilindricna spirala.Dokaz. Dovoljno je pokazati



√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED



Primjer. Kruzna cilindricna spirala definirana pravilomr(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3 pri cemu su a, b ∈ R,

s ∈ R3,te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori je opca cilindricna spirala.Dokaz. Dovoljno je pokazati



√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED



Primjer. Kruzna cilindricna spirala definirana pravilomr(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3 pri cemu su a, b ∈ R, s ∈ R3,

te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori je opca cilindricna spirala.Dokaz. Dovoljno je pokazati



√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED



Primjer. Kruzna cilindricna spirala definirana pravilomr(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3 pri cemu su a, b ∈ R, s ∈ R3,te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori

je opca cilindricna spirala.Dokaz. Dovoljno je pokazati



√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED



Primjer. Kruzna cilindricna spirala definirana pravilomr(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3 pri cemu su a, b ∈ R, s ∈ R3,te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori je opca cilindricna spirala.

Dokaz. Dovoljno je pokazati



√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED



Primjer. Kruzna cilindricna spirala definirana pravilomr(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3 pri cemu su a, b ∈ R, s ∈ R3,te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori je opca cilindricna spirala.Dokaz.

Dovoljno je pokazati



√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED



Primjer. Kruzna cilindricna spirala definirana pravilomr(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3 pri cemu su a, b ∈ R, s ∈ R3,te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori je opca cilindricna spirala.Dokaz. Dovoljno je pokazati

ϕ = ](t(t), r3) =

](r(t), r3) = const.Imamo


√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED




ϕ = ](t(t), r3) = ](r(t), r3) =

const.

Imamo


√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED




ϕ = ](t(t), r3) = ](r(t), r3) = const.

Imamo


√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED





r(t) =

− a sin t · r1 + a cos t · r2 + b · r3,r(t) · r3 = b(r3 · r3) = b |r3|2 = b,|r(t)| =

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED





r(t) = − a sin t · r1 +

a cos t · r2 + b · r3,r(t) · r3 = b(r3 · r3) = b |r3|2 = b,|r(t)| =

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED





r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2 +

b · r3,r(t) · r3 = b(r3 · r3) = b |r3|2 = b,|r(t)| =

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED





r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2 + b · r3,

r(t) · r3 = b(r3 · r3) = b |r3|2 = b,|r(t)| =

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED





r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2 + b · r3,r(t) · r3 =

b(r3 · r3) = b |r3|2 = b,|r(t)| =

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED





r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2 + b · r3,r(t) · r3 = b(r3 · r3) =

b |r3|2 = b,|r(t)| =

√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED





r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2 + b · r3,r(t) · r3 = b(r3 · r3) = b |r3|2 =

b,

|r(t)| =√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED





r(t) = − a sin t · r1 + a cos t · r2 + b · r3,r(t) · r3 = b(r3 · r3) = b |r3|2 = b,

|r(t)| =√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED






√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED






√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED






√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED






√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED






√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=

b√a2 + b2

= const. QED






√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2=

const. QED






√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const.

QED






√a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1.

Sada je

cos ϕ =r(t) · r3|r(t)| |r3|

=b√

a2 + b2= const. QED



Teorem.

Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja sasvojstvom κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je opca cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je τ(t)

κ(t) = c 6= 0 za svaki t ∈ I .Dokaz. ⇒ Neka je r opca cilindricna spirala. Dakle, t(s) · a = const zaneki a ∈ R3.

−κ(s)t(s)+ τ(s)b(s) = n′(s) /·a⇒ −κ(s)t(s) ·a+ τ(s)b(s) ·a = n′(s) ·a

Sada imamo:

t(s) · a = const /′ ⇒ t′(s) · a = 0 Fr .⇒ κ(s)n(s) · a = 0 κ(s) 6=0⇒

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja

sasvojstvom κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je opca cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je τ(t)



Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja sasvojstvom κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I .

Krivulja r je opca cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je τ(t)



Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja sasvojstvom κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je opca cilindricnaspirala ili njen dio

ako i samo ako je τ(t)κ(t) = c 6= 0 za svaki t ∈ I .

Dokaz. ⇒ Neka je r opca cilindricna spirala. Dakle, t(s) · a = const zaneki a ∈ R3.


Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0



Teorem. Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja sasvojstvom κ(t) 6= 0 i τ(t) 6= 0 za svaki t ∈ I . Krivulja r je opca cilindricnaspirala ili njen dio ako i samo ako je τ(t)

κ(t) = c 6= 0 za svaki t ∈ I .

Dokaz. ⇒ Neka je r opca cilindricna spirala. Dakle, t(s) · a = const zaneki a ∈ R3.


Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0




κ(t) = c 6= 0 za svaki t ∈ I .Dokaz.

⇒ Neka je r opca cilindricna spirala. Dakle, t(s) · a = const zaneki a ∈ R3.


Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0




κ(t) = c 6= 0 za svaki t ∈ I .Dokaz. ⇒ Neka je r opca cilindricna spirala.

Dakle, t(s) · a = const zaneki a ∈ R3.


Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0






Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0





−κ(s)t(s)+ τ(s)b(s) = n′(s) /·a⇒

−κ(s)t(s) ·a+ τ(s)b(s) ·a = n′(s) ·a

Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0






Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0






Sada imamo:

t(s) · a = const

/′ ⇒ t′(s) · a = 0 Fr .⇒ κ(s)n(s) · a = 0 κ(s) 6=0⇒

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0






Sada imamo:

t(s) · a = const /′ ⇒

t′(s) · a = 0 Fr .⇒ κ(s)n(s) · a = 0 κ(s) 6=0⇒

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0






Sada imamo:

t(s) · a = const /′ ⇒ t′(s) · a = 0

Fr .⇒ κ(s)n(s) · a = 0 κ(s) 6=0⇒

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0






Sada imamo:

t(s) · a = const /′ ⇒ t′(s) · a = 0 Fr .⇒

κ(s)n(s) · a = 0 κ(s) 6=0⇒

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0






Sada imamo:

t(s) · a = const /′ ⇒ t′(s) · a = 0 Fr .⇒ κ(s)n(s) · a = 0

κ(s) 6=0⇒

⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0






Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0






Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0

Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0






Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒

− 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0






Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0






Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0

∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0






Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒

b(s) · a = constn(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0






Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0






Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0

/′ ⇒ n′(s) · a = 0






Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒

n′(s) · a = 0






Sada imamo:


⇒ n(s) · a = 0 Fr .⇒ − 1τ(s)

b′(s) · a = 0⇒

⇒ b′(s) · a = 0∫⇒ b(s) · a = const

n(s) · a = 0 /′ ⇒ n′(s) · a = 0





−κ(s)t(s)+ τ(s)b(s) = n′(s) /·a⇒ −κ(s)t(s) · a︸︷︷︸=const

+ τ(s)b(s) · a︸︷︷︸=const

= n′(s) · a︸︷︷︸=0

Sada je

τ(s)b(s) · a︸︷︷︸=const

= κ(s)t(s) · a︸︷︷︸=const

⇒ τ(s)κ(s) =

t(s) · ab(s) · a = const.







= n′(s) · a︸︷︷︸=0

Sada je



⇒ τ(s)κ(s) =








= n′(s) · a︸︷︷︸=0

Sada je



⇒ τ(s)κ(s) =





κ(t) = c 6= 0 za svaki t ∈ I .Dokaz. ⇐ Neka je τ

κ konstanta.

Sada imamo

t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)

κ(s)t(s) + b(s) = constozn.= a / · t(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const

}⇒ a · t(s) = const. QED





κ konstanta. Sada imamo

t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒

1κ(s)t

′(s) +1

τ(s)b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)


⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const







t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0

/ · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)


⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const







t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)


⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const







t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0

/∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)


⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const







t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)


⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const







t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒

τ(s)κ(s)t(s) + b(s) = const

ozn.= a / · t(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const







t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)

κ(s)t(s) + b(s) = const

ozn.= a / · t(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const







t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)

κ(s)t(s) + b(s) = constozn.= a

/ · t(s)

⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const







t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)


⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const







t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)


⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s)

{τ(s)κ(s) = const







t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)


⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const

}⇒

a · t(s) = const. QED






t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)


⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const

}⇒ a · t(s) = const.

QED






t′(s) = κ(s)n(s)b′(s) = −τ(s)n(s)

}⇒ 1

κ(s)t′(s) +

1τ(s)

b′(s) = 0 / · τ(s)

⇒ τ(s)κ(s)t

′(s) + b′(s) = 0 /∫

{τ(s)κ(s) = const

}⇒ τ(s)


⇒ τ(s)κ(s) = a · t(s){

τ(s)κ(s) = const



Fundamentalni teorem teorije krivuljaOpcenita krivulja

Definicija. Preslikavanje f : R3 → R3 koje je kompozicija translacije irotacije naziva se izometrija.

Preslikavanje prostora f : R3 → R3 ne mijenja udaljenost tocaka ako je

d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:

translacija ne mijenja udaljenost tocaka,

rotacija ne mijenja udaljenost tocaka.

Zakljucujemo da vrijedi:

izometrija ne mijenja udaljenost tocaka.



Definicija.

Preslikavanje f : R3 → R3 koje je kompozicija translacije irotacije naziva se izometrija.


d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:









d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:








Preslikavanje prostora f : R3 → R3 ne mijenja udaljenost tocaka

ako je

d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:









d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:









d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:









d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:

translacija

ne mijenja udaljenost tocaka,








d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:









d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:


rotacija

ne mijenja udaljenost tocaka.







d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:









d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:









d(T1,T2) = d(f (T1), f (T2)).

Uocimo da vrijedi:







Definicija.

Kazemo da su krivulje r1, r2 : I → R3 kongruentne ako postojiizometrija f : R3 → R3 takva da je f (r1(t)) = r2(t) za svaki t ∈ I .



Definicija. Kazemo da su krivulje r1, r2 : I → R3 kongruentne

ako postojiizometrija f : R3 → R3 takva da je f (r1(t)) = r2(t) za svaki t ∈ I .



Definicija. Kazemo da su krivulje r1, r2 : I → R3 kongruentne ako postojiizometrija f : R3 → R3 takva da je f (r1(t)) = r2(t) za svaki t ∈ I .



























Teorem (Fundamentalni teorem teorije krivulja).

1) Neka su r1, r2 : I → R3 dvije regularne prostorne krivulje. Akokrivulje r1 i r2 imaju istu fleksiju i torziju u svakoj tocki, onda su onekongruentne.

2) Ako su κ, τ : I → R glatke funkcije, pri cemu je κ(t) > 0 za svakit ∈ I , onda postoji krivulja r : I → R3 parametrizirana duljinom luka,takva da su κ i τ fleksija i torzija od r.

Dokaz.Dokaz je slozen, pa ga izostavljamo. QED

Definicija. Neka je r biregularna prostorna krivulja parametriziranaprirodnim parametrom s. Jednadzbe κ = κ(s) i τ = τ(s) nazivaju seprirodnim jednadzbama krivulje r.




1) Neka su r1, r2 : I → R3 dvije regularne prostorne krivulje.

Akokrivulje r1 i r2 imaju istu fleksiju i torziju u svakoj tocki, onda su onekongruentne.







1) Neka su r1, r2 : I → R3 dvije regularne prostorne krivulje. Akokrivulje r1 i r2 imaju istu fleksiju i torziju u svakoj tocki,

onda su onekongruentne.















2) Ako su κ, τ : I → R glatke funkcije,

pri cemu je κ(t) > 0 za svakit ∈ I , onda postoji krivulja r : I → R3 parametrizirana duljinom luka,takva da su κ i τ fleksija i torzija od r.







2) Ako su κ, τ : I → R glatke funkcije, pri cemu je κ(t) > 0 za svakit ∈ I ,

onda postoji krivulja r : I → R3 parametrizirana duljinom luka,takva da su κ i τ fleksija i torzija od r.







2) Ako su κ, τ : I → R glatke funkcije, pri cemu je κ(t) > 0 za svakit ∈ I , onda postoji krivulja r : I → R3 parametrizirana duljinom luka,

takva da su κ i τ fleksija i torzija od r.















Dokaz.

Dokaz je slozen, pa ga izostavljamo. QED







Dokaz.Dokaz je slozen, pa ga izostavljamo.

QED















Definicija.

Neka je r biregularna prostorna krivulja parametriziranaprirodnim parametrom s. Jednadzbe κ = κ(s) i τ = τ(s) nazivaju seprirodnim jednadzbama krivulje r.







Definicija. Neka je r biregularna prostorna krivulja parametriziranaprirodnim parametrom s.

Jednadzbe κ = κ(s) i τ = τ(s) nazivaju seprirodnim jednadzbama krivulje r.









Documents

Fleksija i torzija - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG/T04_Fleksija... · Fleksija i torzija Neka je r : I !R3 regularna prostorna krivulja. Uoµcimo