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uresAndice de figurasList of TablesAndice de cuadrosIndexAndice alfabA cticopAginavA casevA casetambiA cnDemostraciA3nContentsAndice

*spanishcaptionsspanishstringprocess PrefacioReferencesReferenciasAbstractResumenBibliografaCaptuloAppendixApendiceList

of FiguresIndice de figurasList of TablesIndice de cuadrosIndexIndice alfabeticoFigureFiguraTableCuadroPartParteAdjuntoCopiaaApaginaveasevease tambienDemostracionGlosarioContentsIndice *spanishdate

month1nameenero,febrero,marzo,abril,mayo,junio,julio,agosto,septiembre,octubre,noviembre,diciembreucmonth1nameEnero,Febrero,Marzo,Abril,Mayo,Junio,Julio,Agosto,Septiembre,Octubre,Noviembre,DiciembreJune 11, 2015

1

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2/DCE.JPG

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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

EJERCICIOS DE APLICACION

Docente: Ing.Joe Garca

Nombres : Dayana Mendoza S.

Fecha: 12/06/2015

Nrc:1536

Ecuaciones diferenciales de orden superior

1. Reducir el grado de las siguientes ecuaciones:

Ejercicio 0.1.

3) y y y +2y 2y = 3y y 2

Solucin

y = py = p ypp +2p2p = 3yp 2

Ejercicio 0.2.

4) y2(y y 2y 2)= 1

Solucin

y = p y = pp y = p p2+p 2p

y2(p(p p2+p 2p)2p 2p2)= 1

y2(p p3+p 2p22p 2p2)= 1

y2(p p3p 2p2)= 1

y2p2(p pp 2)= 1

sp2(p p 2)= 1

Ejercicio 0.3.

6)(y y 3y 2) y = y 5

Solucin

y = p y = pp y = p p2+p 2p[y(p p2+p 2p)3(pp )2] y = p5

y2p p2+ y2p 2p3yp2p 2 = p5z = p pf(y,p,p ,p

)= en zdz f (y,1,z,z2+ z )y2(z2+ z )+ y2z23yz2 = 1

y2z +2y2z23yz2 = 1z +(2 3y

)z2 = 1

y2

1

Ejercicio 0.4.

12) y y 2+ y 3+ y 4 = 0

Solucin

y = py = ppy = p2p+p2p

yp2+ (pp)3+ (p2p+p2p)4 = 0yp2+p3p+p4(pp+p2)= 0p2[y +pp+p2(pp+p2)]= 0

s+pp+p2(pp+p2)= 0Ejercicio 0.5.

33) xy y 2y = e y

Solucin

y = py = p xp p 2p = ep

2

Ejercicio 0.6.

34) y y y 2 y y 1+x2

= 0

Solucin

y = yzy = y z+ yzy = yz2+ yz = y(z2+ z)

y2(z2+ z) y2z2 y2zp

1+x2= 0

z2+ z z2 zp1+x2

z zp1+x2 = 0

dz

z=

dxp1+x2

lnz = ln|x+p1+x2|+ lnc1

lnz = ln|c1(x+p1+x2 )|

z = c1(x+

p1+x2

); z = y y

y y = c1

(x+

p1+x2

)

dy

y= c1 (

x+1+x2

)dx

lny = c1xdx+ c1

p1+x2dx

lny

c2= c1 x

2

2+ c1(x

2

1+x2+ 1

2ln|x+

1+x2|

)

y = c2ec1

(x2

2+ x2

1+x2+ 1

2ln|x+

1+x2|

)

3

Ejercicio 0.7.

35) y y y 2 xy y 1+x2 = 0

Solucin

f (x, y, y , y )= f (x,1,z,z2+ z )

z2+ z z2 xz1+x2 = 0

z = xz1+x2

dzdx = xz1+x2dzz = xdx1+x2

lnz = 12 ln(1+x2)+ lnC1

z =C1(1+x2)1/2

y y =C1

(1+x2)1/2

ln y =C1 (

1+x2)1/2dxln y2 =C1

(x(1+x2)1/2+ ln(x+ (1+x2)1/2))+2C2

y2 =(x+ (1+x2)1/2)eC1x(1+x2)1/2+C2

Ejercicio 0.8.36) x2y y (y xy )2 = 0

Solucin

y = yz

y = z2y + yz

x2y(z2y + yz ) [y x(zy)2]= 0x2y2z2+ z x2y2 y2+2xy2zx2y2z2 = 0

z x2+2xz = 1

z + 2zx = 1x2

u = e2 1

x dx

u = 1x2

v = dxv = xz = (x+C1) 1x2y y = 1x + C1x2

lny = lnx C1x +C2

4

Ejercicio 0.9.

37) xy y y (y +xy )= 0Solucin

y = yz,y = y z+ yz y = yz2+ yz

xy(yz2+ yz ) yz (y +xyz)= 0

xy2z2+xy2z y2zxy2z2 = 0xz z = 0dzdx zx = 0dzz = dxxlnz = lnx+ lnC1z = xC1y y = xC1dydx = yxC1 dy

y =xC1dx

ln y =C1 x22 + lnC2

ln yC2 =C1x2

yC2= eC1x2

y =C2eC1x2

Ejercicio 0.10.

38) xy y xy 2+ y y = 0

Solucin

f (x, y, y , y )= f (x,1,z,z2+ z )

x2(z + z2) (1+xz)2 = 0

x2z +xz212xzx2z2 = 0

z 2zx = 1x2

v = e 2dx

x = x2

v = dxx4= 1

3x3+ c1

z = 13x +x2c1

5

y = ezdx

y = e 1

3x +x2c1

y = e lnx3 + x3c13 +c2

y = x 13 +e x3c13 +c2

y = x 13 +e x3c13 c2

Ejercicio 0.11.

39) xy y xy 2+ y y = 0

Solucin

y = ezdx y = ze

zdx

y = (z2+ z )ezdx

xezdx (z2+ z )e

zdx x(ze

zdx )2+e

zdxze

zdx = 0

z = xz2zx z2

dzz = dxxln(z)1 = ln(c1x)

z = 1c1x

y = e 1

c1x + c2

y = c1px+ c2

6

Ejercicio 0.12.

40) x2(y y y 2)+xy y yy2+x2y 2 = 0

Solucin

Sea y = yz y = yz2+ z y

x2(y(yz2+ z y) y2z2)+xzy2 y2y2+x2y2z2 = 0

x2(y2z2+ z y2 y2z2)+xzy2 y2p1+x2z2 = 0

x2(z )+xzp1+x2z2 = 0

u = xzux = zz = uxu

x2

x2(uxux2

)+x(ux )=p1+u2

uxu+u =p1+u2

ux =p1u2

dup1+u2 =

dxx

ln(u+pu2+1)= lnx+ c1

px2z2+1= xc1xz

x2z2+1= x2c12x2zc1+x2z2

2x2zc1 = x2c11

z = x2c112x2c1

y =zdx

y = 12c1 x2

c 11 x2

y = 1c1(c1 1x2 )dx

y =x+ 1c1x +c2

7

Ejercicio 0.13.

41) x2(y y y 2)+xy y yy2+x2y 2 = 0

Solucin

f (x, y, y , y )= 0

f (x,1,z,z + z2)= 0

x2(z + z2 z2)+xz+p1x2z2 = 0

x2z +xz+p1x2z2 = 0

u = xzu = z+xz z = uxu

x2

x2z +xz+p1x2z2 = 0

uxu+u+p1u2 = 0

ux =p1u2

x dudx =p1u2

dup1u2 =

dxx

arcsenu = lnx+ lnC1

xz = sen[ln|xC1|)]

z = sen[ln(|xC1|]xy = e

zdx

y = e sen[ln(|xC1 |]x dx

w = ln|xC1| dw = C1dxxC1y = ecos(ln|xC1|) +lnC2

y =C2ecos(ln|xC1|)

8

Ejercicio 0.14.

44) y2y 3y y y +2y 23y2y +3y y 2+2y2y xy3 = 0

Solucin

y = 1y = zy = z + z2, y = z +3z z+ z3

z +3zz + z33zz 3z3+2z33z 3z2+2zx = 0

z 3z +2zx = 0

r 23r +2= xr1= 2r2= 1

zh = c1e2x + c2ex

zp = ax+bz p = az p = 0

03a+2ax+2b = 0

a = 12b = 34zp = x2 + 34z = c1e2x + c2ex + x2 + 34z = c1e2x2 + c2ex + x

2

4 + 3x4 + c3

y = c3e c1e2x2 +c2ex+ x

24 + 3x4

9

Ejercicio 0.15.

60) (1+x2)2y +x(1+x2)y + (1x2)y = 0

Solucin

Si: y = (1+x2)2

d(y )= y

Se reduce a: (x, y, y )= (1+x2)2y +1(x, y)

x(1+x2)y + (1x2)y =1x +1y y

1y y

= x(1+x2)dy1y = xy

(1+x2)

1(x, y)= xy(1+x2)+2(x)

(1+x2)2y +xy (1+x2)=C1y + x

1+x2 y =C1

10

Ejercicio 0.16.

67) xy + (3x2y ) y 2xy y 4y 2 = 0Solucin

y = py = p y = p

xp + (3x2p )p 2xpp 4p2 = 0

xp +3p x2p 22xpp 4p2 = 0

xp + (3x2p 2xp)p4p2 = 0

11

Ejercicio 0.17.

76) xy y 2xy 2 y y x3y2 = 0

Solucin

xy y xy 2 y y xy 2x3y2 = 0

xy y xy 2 y y x(y 2+x2y2)= 0

xy y xy 2 y y x(y 2+x2y2)= 0xy y xy 2y y

y 2+x2y2 x = 0xy y xy 2y y

x2 y2

y 2

x2y2+1

x = 0

z = y xyz (x)= xy y xy 2y y

x2y2

z (x)z2+1 = 0

arctan(z) x22 = c1

arctan( y

xy ) x2

2 = c1

y tan( x22 + c1)xy = 0dyy = x tan( x

2

2 + c1)dx dyy =x tan(

x2

2+ c1)dx

y = c2sec(x2

2+ c1)

12

Ejercicio 0.18.

79) x2(2y y y 2)+2xy y = 1

Solucin

2x2y y +2xy y 2x2y 31= 02x2y y y +2xy y 3x2y 4y

y2= 0

y(2x2y y +2xy 2)(x2y 3+1)y y2

= 0

z = x2y 2+1yz (x)= y(2x2y y +2xy 2)(x2y 2+1)y

y2

z (x)= 0

z = c1x2y 2+1

y = c1

dypc1y1

= dxx

dyc1y 1

=

dx

x

2c1y 1= c1 ln(c2x)

13

Ejercicio 0.19.

83) y y +3y y = 0 y = 1; y = 0; y = 0; x = 1

Solucin

y = p

y = p p

y = pp 2+p2p

Reemplazamos :y(p 2p+p p2)+3p2p = 0

yp 2p+ yp p2+3p2p = 0

Uti l i zamos

f (y,p,p ,p )= f (y,1,z,z + z2)

donde :p = e

zd y

Reemplazamos :

yz2+ y(z + z2)+3z = 0

yz +2yz2+3z = 0

z + 3y z =2z2

w = z1

Reemplazamos :w 3yw = 2

w 3yw = 2

v = e3 dy

y

v = y3

u = 2 dyy3

u =y2+C1

w = (y2+C1)y3

z = 1C1y3y

zd y = dyy(C1y21)

14

zd y = ( 1y + C1yC1y21 )dyzd y =Ln(y)+ Ln(y2C11)2 +C2

p = eLn(y)+ Ln(y2C11)2 +C2

y = C2p

y2C11y yd yp

y2C11=C2dx

py2C11C1

=C2x+C3

Paray = 1,x = 1 :pC11C1

C2 =C3

Paray = 0,x = 1 :

C2pC11= 0

Donde

C2 = 0

C11= 0

C1 = 1

C3 = 0

Entonces

y21= 0

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Ejercicio 0.20.

84) xy + (x1)y = 0

y = 0,

y = 0

y = 0

x = 0

Solucin

y = z

y = z

xz + (x1)z = 0 dz

z = (1x)dx

x

lnz = lnC1xx

C1z = xex

C1y = xex

C1y y =e .x (x+1)+C2

C1y2 = ex (x+2)+C2x+C3

y = 0; y = 0, ; y = 0at x = 0

y =C1(x2+ (2+x)ex )

16

Ejercicio 0.21.

87) y(y 2x)2y(y x2)= 0 y = 1 y = 1 x = 1

Solucin

yp2yp = 0

yp = 2yp

p = 2dpdxdpp = dx2ln|p| = 12x+C1

p = e x2+ln C1

y x2 =C1 e x2

y = e x2 C1dx+ x2dxu = x2 ,du = dx2y = 2 (eu C1du)+ x33y = 2C1e x2 + x33 +C2

y =C1 e x2 +x21=C1e 12 +1

C1 = 0

y = 2C1e x2 + x33 +C2

1= 2(0)e 12 + 13 +C2C2 = 23y = x33 + 23

17

Ejercicio 0.22.

91) (1+ex )y 2y ex y = 0

Solucin

Aplicando el mtodo de Abel, obtenemos Y2 con la siguiente frmula:

Y2 = (ex 1)

e 2

1+ex

ex 12 (1)

La pr imera integral tenemos :

I = 21+ex dxI = 2 ex1+ex +1dxI = 2(ln(1+ex )+x)

I = ln(1+ex )2+2x

Reemplazando I en Y2 obtenemos :

Y2 = (ex 1) e ln(1+ex )2 e2x

(ex1)2

Y2 = (ex 1) e2x

(ex+1)2(ex1)2 dx

Y2 = ex1e2x1

Simpli f i cando

Y = (ex 1)C1 C2ex+1

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Ejercicio 0.24.

93) x2(2x1)y + (4x3)xy 2xy +2y = 0, y1 = x, y2 = 1x

Solucin

y = x zdxy = xz+ zdxy = 2z+xz

y = 3z +xz

x3(2x1)z +x2(10x6)z +6x(x1)z = 0

(2x4x3)z + (10x36x2)z + (6x26x)z = ddx

(x,z,z )

z = 2x4x3

(x,z,z )= (2x4x3)z +2(x,z)

Entonces :

(2x33x2)z + (6x26x)z = ddx

2(x,z)

2z = (2x33x2)

2(x,z)= (2x33x2)z+3(x)

3(x)= k1

Reemplazando en(x,z,z )

(2x4x3)z + (2x33x2)z = k1

z + 2x3x(2x1) z = k1x3(2x1)v = e

2x3x(2x1)dx

v = e(3ln |x|+2ln |2x1|)

v = (2x1)2x3

u = k1(2x1)3 dx

u = k14(2x1)2 +k2

z = (2x1)2x3

( k14(2x1)2 +k2)

y = x ( k1x3+) k2(2x1)2

x3

y = x(k12x2

+k2(4ln |x|+ 4x 12x2 )+k3)

y = k12x +4k2x ln |x|+4k2 k22x +k3x)

y =C1x1+C2(x ln |x|+1)+C3x

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