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Décomposition en éléments simples d'une fractionrationnelleCentre d'intérêt : Automatique

En algèbre, la décomposition en fractions partielles ou en éléments simples d'une fonction rationnelle estson expression sous une somme de fractions ayant pour dénominateurs des puissances de polynômesirréductibles et pour numérateurs un polynôme de degré inférieur au polynôme irréductible dudénominateur. Les fractions partielles sont utilisées dans le calcul intégral pour faciliter la recherche deprimitives. Elles sont aussi utilisées pour calculer l'inverse des transformées de Laplace.

Sommaire

1 Cas 11.1 Exemple

1.1.1 Détermination de A,B et C par identification1.1.2 Détermination de A,B et C par passage à la limite

2 Cas 22.1 Exemple

3 Réferences externes

Cas 1

Soit F(p) une fonction rationnelle définie par :

F(p) =P(p)Q(p) =

P(p)(p a1)(p a2)......(p an 1)(p an)

où P et Q sont deux fonctions polynômes.

F(p) peut se mettre sous la forme :

F(p) =A1

p a1+

A2

p a2+ ...... . +

An

p an

Exemple

Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle - WikiM... http://wikimeca.org/index.php?title=Décomposition_en_éléments_sim...

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On veut décomposer F(p) =5p2 3p 11

(p 1)(p + 2)(p 3)

F(p) peut se mettre sous la forme :A

p 1+

Bp + 2

+C

p 3

Détermination de A, B et C par identification

On réduit la décomposition au même dénominateur :

F(p) =A(p + 2)(p 3) + B(p 3)(p 1) + C(p 1)(p + 2)

(p 1)(p + 2)(p 3)

F(p) =A(p2 p 6) + B(p2 4p + 3) + C(p2 + p 2)

(p 1)(p + 2)(p 3)

F(p) =p2(A + B + C) + p( A 4B + C) + ( 6A + 3B 2C)

(p 1)(p + 2)(p 3)

par identification

A + B + C = 5A 4B + C 36A + 3B 2C 11

A =32

B = 1

C =52

Détermination de A, B et C par passage à la limite

Pour déterminer Ai, on multiplie tous les termes par le dénominateur du terme en Ai et on prend la limtepour laquelle dénominateur du terme en Ai s'annule :

détermination de A (en multipliant par (p 1) et p tend vers 1) :

limp 1

5p2 3p 11(p + 2)(p 3) = lim

p 1A +

B(p 1)p + 2

+C(p 1)

p 3

32

= A

détermination de B (en multipliant par (p + 2) et p tend vers 2) :

limp 2

5p2 3p 11(p 1)(p 3) = lim

p 2

A(p + 2)p 1

+ B +C(p + 2)

p 3

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1 = B

détermination de C (en multipliant par (p 3) et p tend vers 3) :

limp 3

5p2 3p 11(p 1)(p + 2) = lim

p 3

A(p 3)p 1

+B(p 3)

p + 2+ C

52

= C

Cas 2

Soit F(p) une fonction rationnelle définie par :

F(p) =P(p)Q(p) =

P(p)(p a1) p1 (p a2) p2 ......(p an 1) pn 1 (p an) pn

où P et Q sont deux fonctions polynômes.

F(p) peut se mettre sous la forme :

F(p) =A1,1

(p a1)1 +A1,2

(p a1)2 + ...... . +A1, p1

(p a1) p1

+A2,1

(p a2)1 +A2,2

(p a2)2 + ...... . +A2, p2

(p a2) p2

...... . .

+An,1

(p an)1 +An,2

(p an)2 + ...... . +An, p2

(p a2) pn

Exemple

Soit F(p) =7p2 + 1

(p + 3)(p 1)2

et sa décomposition en éléments simples : F(p) =A

p + 3+

Bp 1

+C

(p 1)2

Attention : ne pas oublier le terme B

p 1 ! !

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Par identification on obtient aisement : A = 4, B = 3 et C = 2 .

En utilisant le passage à la limite, les termes en A et C sont déterminés de la même manière que pour lecas 1 ci dessus.

Pour le terme en B, il faut faire tendre p vers l'infini :

limp

7p2 + 1(p + 3)(p 1) = lim

p

A(p 1)p + 3

+ B +C

p 1

7 = A + B + 0 A = 4

Réferences externes

Pour un aspect plus mathématique de la méthode, voir l'article Wikipédia (http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_%C3%A9l%C3%A9ments_simples) .

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