Rappel...

• Matrices bloc.

• Décomposition des matrices:- décomposition LU - application: réseau de résistances

Aujourd’hui

• Solution itérative de systèmes linéaires.

– Méthode de Jacoby

– Méthode de Gauss-Seidel

• Application à l’infographie.

6. Solution itérative de systèmes linéaires

• Solutions d’un système linéaire

– méthodes directes (triangularisation,…)– méthodes itératives (approchent

numériquement la solution)

Pourquoi les méthodes itératives?

• Si la matrice est grande et avec beaucoup d’entrées nulles (« sparse »), le calcul itératif peut s’avérer beaucoup plus efficace.

Problème à résoudre

• On veut résoudre:

Ax = b

• On pose:

A = M - N

• On a alors:

(M - N)x = b

Mx - Nx = b

Mx = Nx + b

Récurrence

• De façon générale, on cherche à calculer:

Mx(k+1) = Nx(k) + b, k = 0, 1, 2,…

avec A = M - N

Récurrence (suite)

• On veut avoir:

x(k+1) x* (la solution)

• Il faut choisir M afin que x(k+1) soit facile à calculer.

Méthode de Jacoby

• On suppose que la diagonale de A n’a pas d’éléments nuls.

• Soit D la matrice diagonale formée à partir de la diagonale de A.

• M = D, N = D - A

Méthode de Jacoby (suite)

Dx(k+1) = (D - A)x(k) + b, k = 0, 1, 2,…

• On pose x(0) = 0.

– En pratique, on peut utiliser autre chose selon les informations disponibles.

Méthode de Gauss-Seidel

• On pose M = partie triangulaire inférieure de A.

Mx(k+1) = (M - A)x(k) + b, k = 0, 1, 2,…

Jacoby c. Gauss-Seidel

• Jacoby est quelques fois plus rapide que Gauss-Seidel, mais en général, c’est le contraire.

• Traitement parallèle: Jacoby est plus rapide.

Convergence

• Parfois, l’une ou les deux méthodes ne convergent pas.

• Une condition permet de garantir la convergence:– la valeur absolue d’un élément de la diagonale est

plus grande que la somme des valeurs absolues des autres éléments de la ligne correspondante.

Calcul manuel

• Pour le calcul manuel, il est plus simple d’utiliser la récursion:

x(k+1) = M-1Nx(k) + M-1b, k = 0, 1, 2,…

• On évite ainsi d’avoir à résoudre en système n n à chaque itération.

Calcul manuel (suite)

• La façon la plus rapide de calculer M-1N etM-1b est de faire:

[ M N b] ~ [I M-1 N M-1b]

7. Application à l’infographie

• On retrouve un peu partout des applications de l’infographie:– jeux sur ordinateurs– effets spéciaux au cinéma– logiciel de dessin

• On représente parfois, de façon simplifiée, des figures par un ensemble de lignes: « wire frame »

Exemple: canette

Exemple 2D

• La lettre N peut être représentée par deux vecteurs de coordonnées:

x = [0.0 0.5 6.0 5.5 0.5 0.0 5.5 6.0]

y = [0.0 0.0 0.0 1.58 6.42 8.0 8.0 8.0]

• Il faut aussi spécifier les lignes entre les points.

Transformations linéaires

• La transformation linéaire d’un segment donne un autre segment.

• On peut effectuer des opérations sur les figures en multipliant les coordonnées par une matrice 2 2.

Coordonnées homogènes

• Avec les matrices 2 2, on ne peut pas faire de translation.

• Solution: coordonnées homogènes.

Coordonnées homogènes (suite)

• À chaque point (x, y) dans R2, on peut faire correspondre un point (x, y, 1) dans R3.

• Ces coordonnées peuvent être modifiées par une matrice 3 3.

Rotations

y

x

(cos(), sin())

(-sin(), cos())

x

z

y(0.866, 0, -0.5)

(0, 1.0, 0)

(0.5, 0, 0.866)

Rotation de 30o autour de l’axe y

z

x

y

0

(x*, y*, 0)

(x, y, z)

(0, 0, d)

z0

d - z

x

x*

Projection de (x, y, z) sur (x*, y*, 0)

Projection en perspective

• (x, y, z) (x*, y*, 0).

• x*/d = x/(d - z) x* = x/(1 - z/d)

• y*/d = y/(d - z) y* = y/(1 - z/d)

Projection en perspective (suite)

• La projection transforme

(x, y, z, 1) (x/(1 - z/d), y/(1 - z/d) , 0, 1)

• Si on multiplie par (1 - z/d):

(x, y, z, 1) (x, y , 0, 1 - z/d )

Applets Java

• http://www.gel.ulaval.ca/~fortier/MAT19961/Demo/lettre/

• http://www.gel.ulaval.ca/~fortier/MAT19961/Demo/homog/

Prochain cours...

• Sous-espaces de Rn

– Définition– Sous-espaces associés à une matrice– Bases– Coordonnées– Dimension– Rang