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Les Dossiers du CSTC – No 4/2010 – Cahier no 2 – page 1

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Corrigé le 11 août 2011

Etats limites de service du béton armé

Partie 1 – Contrôle des flèches suivant l’Eurocode 2

Parmi les critères utilisés pour concevoir, dimension-ner et réaliser des ouvrages en béton toujours plus élancés, les critères dits ‘de service’ prennent une part prépondérante face aux critères de ‘rupture’. Ces don-nées font partie de la philosophie du dimensionnement aux états limites selon les Eurocodes (NBN EN 199x), les normes actuelles de calcul des constructions.

✍ B. Parmentier, ir., chef de la division Structures G. Zarmati, ir., chef de projet, laboratoire Structures

1 INTRODUCTION

Tandis que les états limites ultimes (de rupture) concernent la sécurité des personnes et/ou de la structure, les états limites de service portent sur la perte de fonctionnalité, de confort, voire d’esthétique de l’ouvrage ou d’une partie de celui-ci. Il y a donc lieu, dans de nombreux cas, de limiter l’amplitude des flèches, celle-ci étant l’un des principaux critères d’aptitude au service.

L’objet de cet article est de présenter l’ap-proche utilisée dans l’Eurocode 2 (EC2 ou NBN EN 1992-1-1) [3] pour limiter les flèches d’un élément en béton armé ou précontraint (1). On verra qu’une certaine rigueur prévaut pour calculer ces flèches, mais qu’en plus de calculs détaillés, la commission de normalisation a re-tenu une méthode pragmatique, rapide et gé-néralement satisfaisante.

Au-delà du contrôle de l’élément lui-même, la vérification de la flèche d’une structure en bé-ton se révèle primordiale pour ce qui concerne le second œuvre également. Dans le cas d’un plancher en béton, cela permet, par exemple, de réduire le risque de fissuration ou de décol-lement des finitions rapportées.

2 ETATS LIMITES DE SERVICE

Nous avons vu que les états limites de service (ELS) concernaient la perte de fonctionna-lité, de confort ou d’esthétique d’un élément de construction. Certains problèmes sont liés soit à la durée de la sollicitation, soit à son impact – réversible ou irréversible – sur la structure. Ainsi, par exemple, le fluage (2) peut être induit par des charges de longue durée.

(1) Dans la suite de cet article, nous entendons par ‘béton armé’ à la fois le béton armé traditionnel et le béton précontraint.(2) Pour rappel, le fluage est une déformation croissante sous chargement constant.

La fissuration, quant à elle, est un processus irréversible (indépendamment de certains phé-nomènes d’autoréparation).

C’est pour tenir compte de ces conséquences que la norme NBN EN 1990 [2] (Eurocode 0 ou EC0) préconise de définir des combinai-sons de charges différentes [6], à savoir :• une combinaison caractéristique, également

qualifiée de ‘rare’, associée aux consé-quences irréversibles :

k, j k,1 0, i k, ij i

G + P + Q + .Q≥1 >1∑ ∑ Ψ

• une combinaison fréquente, utilisée pour les effets réversibles :

k, j 1, 1 k, 1 2, i k, i

j 1 i>1G + P + .Q + .Q

≥∑ Ψ ∑Ψ

• et une combinaison quasi permanente pour les conséquences réversibles ayant une in-fluence importante sur l’aspect et la durabi-lité de la structure à long terme :

≥1 ≥1∑ ∑ Ψk, j 2, i k, ij i

G + P + .Q

Dans ces trois expressions, on a :• G

k,j : la valeur caractéristique de l’action

permanente j• Q

k,1 : la valeur caractéristique de l’action

variable dominante• Q

k,i : la valeur caractéristique de l’action

variable i• P : la valeur représentative de l’action de

précontrainte• ψ

0,i : un facteur applicable à la valeur de

combinaison de l’action variable i• ψ

1,1 : un facteur applicable à la valeur fré-

quente de l’action variable dominante• ψ

2,i : un facteur applicable à la valeur quasi

permanente de l’action variable i.

La valeur des facteurs ψ est précisée dans la norme NBN EN 1990 en fonction de la classe d’utilisation du bâtiment (bureaux, salle de ci-néma, etc.).

Pour se prémunir d’effets irréversibles, on dé-termine les charges à l’aide de la combinaison caractéristique, qui représente la somme des actions dont l’occurrence est rare pendant la durée d’utilisation prévue de l’ouvrage. Les

charges qui découlent de cette combinaison sont plus importantes que pour les deux autres combinaisons puisque leur occurrence est moins fréquente.

Ces combinaisons de charges permettent de calculer un effet particulier (E

d) dans l’ou-

vrage – fissuration, flèche, etc. – que l’on com-pare ensuite à un critère d’aptitude limite C

d.

Ces critères, qui sont liés à l’ouvrage solli-cité au cours de sa durée d’utilisation prévue, concernent une limitation :• des contraintes• des flèches• des ouvertures de fissure• des vibrations.

Le présent article est consacré spécifiquement au contrôle des flèches.

3 CONTRÔLE DES FLÈCHES

La limitation de la flèche d’un plancher ou d’une poutre en béton armé vise à contrôler la fonctionnalité et l’aspect de l’ouvrage. Elle permet également de s’assurer que la défor-mation d’un élément de l’ouvrage en béton est en adéquation avec les finitions prévues (car-relage, cloisons, etc.). Celles-ci seront en effet plus ou moins sensibles aux déformations ul-térieures du support.

Alors que la fonctionnalité et l’aspect d’un élément en béton sont traités au § 7.4 de l’EC2, les déformations admissibles eu égard aux finitions sont couvertes par la norme NBN B 03-003 [1].

Notons que les déformations admissibles ne sont pas inhérentes au matériau constitu-tif de la structure. Par conséquent, tous les Eurocodes (liés à un matériau) et leur annexe nationale (ANB) proposent des critères de déformation maximale propres aux éléments mêmes, mais renvoient à la norme belge pour le contrôle des déformations admissibles qui concernent le second œuvre. Plusieurs sché-mas de fissuration sont présentés au tableau 1 et à la figure 1 (p. 2).


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3.1 CalCul des flèChes

Comme précisé en introduction, les flèches d’une dalle ou d’une poutre peuvent s’avérer préjudiciables au-delà d’une certaine limite. Les effets négatifs s’entendent en termes de fonctionnalité pour l’élément de structure lui-même (par exemple, poutre d’un pont roulant) ou pour les finitions qui lui seront rappor-tées. Dans une certaine mesure, l’esthétique ou, du moins, un sentiment d’insécurité ont également conduit à l’élaboration de valeurs limites.

Le contrôle de la flèche des éléments en béton d’un bâtiment, tel qu’il est actuellement pré-senté dans la norme NBN EN 1992-1-1, peut être réalisé de deux manières différentes.

La première approche est basée sur une mé-thode simplifiée, conservative, qui consiste à limiter le rapport portée/hauteur utile de l’élé-ment. La seconde est le fruit de modèles ana-lytiques étayés par l’expérience et peut, à son tour, être appliquée dans une version détaillée ou une version plus simple.

Tandis que la première méthode est d’appli-cation aisée, la seconde nécessite davantage de temps et peut solliciter des moyens numé-riques plus ou moins importants selon le degré de simplification choisi.

L’application de méthodes détaillées (expli-cites) pourrait donner le sentiment d’un ré-sultat plus rigoureux, voire d’un calcul par-ticulièrement précis des flèches. L’utilisateur averti sera toutefois conscient qu’étant donné le nombre de paramètres intervenant dans le calcul, il serait illusoire de compter sur une très grande précision de ces méthodes. La pré-cision des résultats sera discutée plus loin dans cet article.

Enfin, une variante aux deux méthodes pré-citées réside dans l’utilisation de solutions numériques de type ‘éléments finis’. De nom-breux outils de calcul permettent actuellement de tenir compte de manière rigoureuse des phénomènes complexes non linéaires et d’évi-ter des opérations manuelles parfois fasti-dieuses dans le cas de géométries particulières (par exemple, dalles non rectangulaires telles représentées à la figure 2, p. 3).

3.1.1 Méthodes simplifiées

3.1.1.1 Relation élastique linéaire

Le premier réflexe de l’ingénieur amené à contrôler la flèche d d’un élément en béton sera de réaliser un calcul élastique, en considérant la section de béton non fissurée et les charges de service. Si la contrainte de traction dans le béton ne dépasse pas la résistance moyenne en traction f

ctm du matériau, cette hypothèse est

Cause de la fissuration Forme de fissuration possible

Le plancher de l’étage inférieur se déforme davantage que celui de l’étage supérieur.

Le plancher de l’étage supérieur se déforme davantage que celui de l’étage inférieur.

Les déformations des planchers des deux étages sont d’une amplitude similaire.

La présence d’ouvertures dans la cloison influence la forme des fissures.

Tableau 1 Schémas de fissuration potentielle produits par une flexion exces-sive du plancher dans une cloison constituée de blocs.

Fig. 1 Cloisons fissurées à la suite d’une déformation excessive du plancher.

Fissuration au départ d’une porteFissuration au bas de la cloison


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Fig. 2 Flèches d’une dalle appuyée sur les bords et sur des colonnes cen-trales (calcul au moyen d’un logiciel d’analyse aux ‘éléments finis’).

Configuration Flèches

Uz-min [mm]

N6

N8

N5

5464

N4

N3

N7 N11N12

N1 N2

N9

6324

4539

7961

0.0

-0.1

-0.1

-0.2

-0.2

-0.3

-0.4

-0.4

-0.5

-0.5

-0.6

-0.7

-0.7

-0.8

-0.9

valable et le résultat sera théoriquement cor-rect; il prendra la forme suivante :

( )2= kL 1 /δ ρ (1)

dans laquelle :• k : une constante dépendant de la géomé-

trie de la section et du type de sollici-tation

• L : la portée de l’élément [m]• 1/ρ : la courbure; celle-ci vaut M/EI, avec :

– M : le moment de flexion sollicitant – E : le module d’élasticité du béton – I : l’inertie non fissurée I

n-f de

la section de béton; pour une section rectangulaire, l’inertie I = b.h³/12, avec b et h respecti-vement la largeur et la hauteur de la section.

Les formules exactes de la flèche maximale, en phase élastique, d’un certain nombre de structures traditionnelles sont rappelées dans l’encadré A (p. 9).

Pour tenir compte des effets de fluage, il y aura lieu de considérer une réduction du mo-dule d’élasticité à long terme en utilisant un module d’élasticité effectif (réduit) E

c,eff. Nous

y reviendrons plus loin.

Si, par contre, la résistance du béton est dé-passée, ce calcul sous-estime la flèche réelle.

L’erreur sera d’autant plus grande que la contrainte réelle dépasse la résistance en trac-tion. Dans ce cas, on aura recours à un calcul non linéaire, en considérant une certaine pro-portion de sections fissurées sur la longueur de l’élément calculé (voir plus loin).

3.1.1.2 Rapport L/d

Il est facile de démontrer théoriquement que la limitation de la flèche d peut résulter directe-ment de la réduction du rapport portée/hauteur utile (3) (L/d) de l’élément de structure (4) [5]. La méthode simplifiée de l’EC2 (§ 7.4.2) re-pose sur ce principe.

Le tableau 2 (p. 4) présente le rapport (L/d)max

permettant de garantir une flèche inférieure à L/250. Etant donné que ce rapport dépend des armatures et du type de plancher ou de poutre, le tableau indique la valeur de (L/d)

max

en fonction de ces deux paramètres. Comme il ne fournit d’informations que pour des valeurs ponctuelles de (L/d)

max, on a élargi le résultat à

d’autres types de bétons et d’autres taux d’ar-matures à la figure 3 (p. 4). Cette figure a été réalisée pour K = 1 (5).

Pour d’autres types de structures (K ≠ 1), il faudra multiplier le résultat par la valeur de K du tableau 2. Pour d’autres valeurs de

(3) La hauteur utile d représente la distance entre le centre de gravité des armatures de traction et la fibre la plus comprimée du béton.(4) Etant donné la relation d/L = C.(L/h), où C est une constante et h la hauteur totale de la section [2]. Cette relation, déterminée sur la base de l’équivalence

entre le moment élastique et la contrainte maximale, d’un côté, et le moment élastique et la flèche, de l’autre, permet de mettre en évidence que, si on limite le rapport L/h, on limitera inévitablement le rapport d/L et donc la flèche d pour une portée donnée.

(5) K est un coefficient qui tient compte du type d’élément et du type de sollicitation.

contrainte dans l’armature σs, il y aura lieu

également de multiplier le résultat par 310/σs.

Il existe enfin des modifications supplémen-taires pour les poutres en T et pour des travées excédant 7 mètres de long.

Si le rapport L/d d’un élément en béton armé ne satisfait pas au critère du tableau 2 ou de la figure 3, cela n’implique pas forcément que les flèches seront excessives (étant donné le ca-ractère conservateur de la méthode). Dans le cas contraire, cela indique seulement que l’on peut se passer d’un calcul explicite des flèches pour vérifier le critère de service.

3.1.2 Méthodes détaillées

3.1.2.1 Evaluation ponctuelle basée sur une proportion de sections fissurées et non fissurées

Afin d’intégrer la fissuration dans le calcul des flèches, l’EC2 préconise d’utiliser une relation intégrant le fait qu’une certaine proportion de sections de l’élément seront fissurées sur sa longueur. Si on prend l’exemple d’une poutre isostatique sollicitée uniformément par une charge linéaire q, on calculera d’abord la flèche maximale (à mi-travée) à l’état non fissuré :

4

ncnc

5qL=

384EIδ (2).

Ensuite, on calculera la même flèche, mais en considérant la section complètement fis-surée :

4

cc

5qL=

384EIδ (3).

Cette dernière relation n’a évidemment de sens que si la résistance en traction du béton est dé-passée. Comme on l’aura constaté, seule l’iner-tie de la section est différente dans la formule : on passe d’une inertie non fissurée I

nc à une

inertie fissurée Ic. Cette dernière tient compte

du fait que le béton fissuré en traction ne peut plus reprendre d’efforts et que la position d’équilibre des efforts normaux dans la section (axe neutre) est différente pour contrebalancer les efforts de compression et de traction.

Entre les sections fissurées, le béton peut ce-pendant reprendre certains efforts de traction. On définira dès lors un coefficient de distri-bution ζ qui permettra de déterminer la pro-portion de sections fissurées et non fissurées. Ce coefficient peut être calculé à l’aide de la relation suivante :

σ

ζ β σ

2s,r

s= 1- (4)


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Tableau 2 Rapport maximal portée/hauteur utile (L/d) en flexion et coefficient K pour un béton C30/37 et une contrainte dans l’acier en service σs de 310 MPa.

Système structural K

Taux d’arma-tures de traction

élevé, ρs = 1,5 %

Taux d’arma-tures de traction

faible, ρs = 0,5 %

Poutre sur appuis simples, dalle sur appuis simples portant dans une ou deux directions

1,0 14 20

Travée de rive d’une poutre continue, d’une dalle continue portant dans une direction ou d’une dalle continue le long d’un grand côté et portant dans deux directions

1,3 18 26

Travée intermédiaire d’une poutre ou d’une dalle portant dans une ou deux directions

1,5 20 30

Dalle sans nervures sur poteaux (plan-cher-dalle), pour la portée la plus longue

1,2 17 24

Console 0,4 6 8

Fig. 3 Rapport maximal portée/hauteur utile L/d en fonction du taux d’armatures de traction (K = 1, σs = 310 MPa et ρs = As/bd pour une section rectangulaire, avec b la largeur de l’élément et d la hauteur utile) (6).

60

50

40

30

20

10

00 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

C50/C60

C40/C50

C35/C45

C30/C37

C25/C30

C20/C25

Taux d’armatures de traction ρs [%]

(6) Le graphique ne tient pas compte d’une éventuelle contre-flèche.

Rap

port

por

tée/

haut

eur

utile

L/d

[-]

dans laquelle :• β : un coefficient qui tient compte de la

durée de la charge et d’effets de fa-tigue. Ce coefficient vaut 1 pour des charges de courte durée et 0,5 pour un chargement de longue durée ou des charges cycliques

• σs,r

: la valeur de la contrainte de traction dans l’armature, calculée pour une section fissurée sous charge de pre-mière fissuration (P

c,mean, voir figure 5,

p. 7), c’est-à-dire lorsque la contrainte dans la fibre de béton la plus tendue vaut f

ctm

• σs : la valeur de la contrainte de traction

dans l’armature, calculée pour une section fissurée et la combinaison de charges à l’état limite de service envi-sagé.

En flexion simple, on remplace souvent par commodité le rapport σ

s,r/σ

s par le rapport

équivalent Mc/M. Tandis que le calcul de M

repose sur les charges de service appropriées, le moment de fissuration M

c est déterminé

d’après la résistance à la traction du béton et la section fissurée.

Enfin, on pourra calculer la flèche totale par la relation :

( )tot c nc+ 1-δ = ζδ ζ δ (5).

Notons deux points importants pour réaliser un calcul correct :• les propriétés du béton (résistance à la trac-

tion, module d’élasticité) à utiliser dans le calcul sont les valeurs moyennes, qui reflè-tent mieux le comportement réel de l’élé-ment en béton

• les charges (et donc les moments de flexion) à prendre en compte dans les différentes re-

lations sont les charges appropriées pour la vérification à l’état limite de service (voir le type de combinaison au § 2, p. 1).

3.1.2.2 Intégration complète sur la longueur de l’élément

La méthode précédente est fondée sur la déter-mination d’une proportion de sections fissu-rées et non fissurées (via le coefficient ζ). Ce point soulève régulièrement de nombreuses questions dans le monde académique. Les relations proposées pour calculer ζ reposent dans une certaine mesure sur l’expérience et sur une simplification des phénomènes phy-siques liés à la fissuration. Si l’on veut se dé-faire de ce problème, il sera nécessaire d’ap-pliquer une méthode ‘intégrale’. Le principe de celle-ci est présenté brièvement ci-après.

La méthode la plus rigoureuse pour calculer une flèche consiste à intégrer la courbure en chaque section de l’élément calculé. Cette méthode, quoique plus complexe que la pré-cédente, peut néanmoins être implémentée aisément dans un outil numérique courant (tableur, par exemple). Ainsi, on va discrétiser l’élément en un certain nombre de sections le long de sa portée.

En chacune de ces sections, on vérifiera d’abord si la section est fissurée (suivant le moment de flexion à cet endroit), ce qui per-mettra d’associer une inertie fissurée ou non fissurée à cette section. Ensuite, la courbure sera calculée en cette section i à l’aide de la relation suivante :

i

i

i

M1=

EI

ρ

(6).

C50/60

C20/25


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La flèche sera finalement calculée au moyen d’une double intégration de la courbure en chacune des sections prises en compte. La pré-cision de la méthode sera tributaire du nombre de sections retenues dans le calcul. En général, l’utilisation d’une dizaine de sections garantit une précision suffisante.

3.1.3 Prise en compte du retrait

Nous savons que le béton est susceptible, de par ses constituants, de subir un certain nombre de déformations différées. L’une de celles-ci est le retrait, c’est-à-dire une contrac-tion volumique résultant des réactions d’hy-dratation et du séchage du béton. Les arma-tures vont empêcher cette déformation dans une certaine mesure.

Par ailleurs, dans une poutre ou une dalle, les armatures sont rarement symétriques par rapport au centre de gravité de la section : on en place évidemment davantage dans la zone sollicitée en traction (zone inférieure en cas de flexion positive). Cette inégalité entraîne une restreinte différentielle des déformations du béton et, par conséquent, une courbure sup-plémentaire de la section.

Cette courbure de retrait (1/ρ)cs peut être esti-

mée au moyen de la relation suivante :

cscs

e1 S

I

= ε ρ

α

(7)

dans laquelle :• ε

cs : la valeur du retrait libre du bé-

ton [mm/mm]• a

e : le rapport entre les modules de l’arma-

ture Es et du béton E

c,eff [–]

• S : le moment statique de la section d’ar-mature par rapport au centre de gravité de la section [mm³]

• I : le moment d’inertie de la section [mm4].

Il est à noter que les valeurs de S et I doi-vent être calculées pour l’état fissuré et non fissuré. La valeur finale de la flèche peut être obtenue au moyen des expressions (1) et (5). Cette flèche complémentaire due au retrait peut parfois représenter 15 à 20 % de la flèche totale en présence d’un taux d’armatures élevé (> 1,5 %). Nous verrons en détail, dans l’exemple de l’encadré B (p. 10), l’influence des différents paramètres (dont le retrait) sur la valeur finale de la flèche.

Pour terminer, soulignons que ce type de calcul peut être appliqué au gradient provoqué par des températures, éventuellement différen-tielles (par exemple, pour un plancher séparant deux volumes chauffés ou isolés différem-ment). Pour ce faire, il faudra remplacer, dans l’expression (7), la déformation de retrait par celle due à la température.

3.1.4 Contre-flèche

Différents types d’éléments de structure, sou-vent préfabriqués, intègrent une contre-flèche pour se prémunir d’une flèche excessive ulté-rieure. Cette contre-flèche peut être réalisée au moyen du coffrage ou par précontrainte. Dans les deux cas, on ne pourra dépasser une valeur de L/250.

Alors que la contre-flèche n’est pas prise en compte dans la méthode simplifiée présentée au § 3.1.1.2 (p. 3), elle peut être intégrée au calcul détaillé destiné à vérifier la flèche d

a

sous la combinaison de charges quasi perma-nentes (voir § 3.5, p. 7).

3.2 Prise en ComPte du fluage – CalCul d’un module d’élastiCité effeCtif

Comme précité, des charges de longue durée génèrent des effets différés dans les structures en béton. L’un de ces effets, le fluage, est un phénomène relativement complexe, mais qui peut être appréhendé via l’EC2 de manière simplifiée. Pour ce faire, on évalue un mo-dule d’élasticité effectif (‘réduit’) du béton au moyen de la relation suivante :

( )cm

c,eff0

EE =

1+ t, tϕ (8)

dans laquelle :• E

cm : le module d’élasticité du béton (mo-

dule sécant à 28 jours)• t,t

0 : l’âge pour lequel on calcule le

fluage et l’âge de mise en charge• ϕ(t,t

0) : le coefficient de fluage du béton.

Le coefficient ϕ permet de calculer la partie différée d’une flèche. Lors du calcul de la flèche à long terme, on remplacera E

cm par

Ec,eff

.

La difficulté résidera dans l’évaluation du coefficient de fluage ϕ. Celui-ci varie généra-lement entre 1,5 et 3,0. Comme on l’a vu plus haut dans les différentes formules permettant de calculer les flèches, celles-ci sont inverse-ment proportionnelles au module d’élasticité. Il n’est donc pas rare d’obtenir par calcul des flèches à long terme entre deux et trois fois supérieures à la flèche instantanée d’un élé-ment en béton. Remarquons que le coefficient de fluage se calcule pour chacune des solli-citations, si celles-ci sont appliquées à des moments (t

0) différents. Chaque sollicitation

provoquera donc des effets différés distincts qui devront par la suite être cumulés.

Pour un calcul détaillé du coefficient de fluage, nous renvoyons le lecteur à l’Annexe B de l’EC2 ou, pour le principe, à l’article [8] cité en bibliographie. La figure 4 (p. 6) permet de calculer le coefficient de fluage pour une humidité relative ambiante de 50 et 80 %.

Nous verrons plus loin comment tenir compte non seulement du fluage mais aussi, et surtout, de la fissuration. En effet, plus l’élément de structure est fissuré (c’est-à-dire que la sollici-tation réelle est proche de la résistance ultime de l’élément) et plus l’impact de la fissuration sur la valeur de la flèche sera prépondérant face aux effets de fluage.

Notons enfin que les valeurs de Ecm

énoncées dans l’EC2 en fonction de la classe de résis-tance du béton sont données pour des granu-lats de quartzite. Pour des granulats calcaires ou en provenance de grès, on réduira la valeur de E

cm respectivement de 10 % et 30 %. Pour

des granulats de basalte, on augmentera par contre cette valeur de 20 %. Signalons cepen-dant que ce facteur est rarement connu par le concepteur a priori.

3.3 Cas PartiCulier des dalles

Le calcul des dalles repose souvent sur un cer-tain nombre de simplifications. Le tableau 2 et la figure 3 (p. 4) s’appliquent au calcul sim-plifié du rapport L/d. En ce qui concerne les autres formulations, basées sur la théorie de l’élasticité, il existe différents cas de figure en fonction du type de dalle.

Les dalles isostatiques portant sur deux appuis continus peuvent être traitées de façon simi-laire aux poutres isostatiques, en considérant une largeur unitaire. Ces dalles présentent un comportement unidirectionnel, c’est-à-dire que les charges se transmettent de préférence dans une direction.

En réalité, les dalles sont plus rigides, puisque la déformation latérale est empêchée. Ainsi, en toute rigueur, il faudrait multiplier les for-mules de flèche des poutres par le facteur (1-ν²), c’est-à-dire par 0,96 pour le béton non fissuré. En pratique, le fait de négliger cette raideur sup-plémentaire entraîne une surestimation (sécuri-taire) des flèches.

En ce qui concerne les dalles continues sup-portées par plusieurs appuis (dalles hypersta-tiques), l’évaluation des sollicitations (pour le calcul des flèches) est fondée sur l’absence de redistribution des moments de flexion. En réali-té, de par la fissuration au droit des appuis et en travée, une certaine redistribution des moments sera observée. En pratique, la simplification consistant à négliger cette redistribution ne por-tera pas préjudice au calcul des déformations.

Pour le calcul détaillé de dalles bidirection-nelles, nous renvoyons le lecteur à des for-mulaires disponibles dans la littérature spé-cialisée et permettant d’évaluer les flèches élastiques en fonction, notamment, du rapport longueur/largeur de la dalle et des conditions d’appui [4].


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Fig. 4 Méthode de détermination du coefficient de fluage du béton dans des conditions d’environnement normales (les courbes S, N et R représentent respectivement des ciments lents, normaux ou rapides) (cf. EC2, § 3.1.4(5)).

a. environnement intérieur – RH = 50 %

B. environnement extérieur – RH = 80 %

t 0 (jo

urs)

1

2

3

5

10

20

30

50

1007,0 6,0 5,0 4,0 3,6 3,0 2,0 1,0 0 100 300 500 700 900 1100 1300 1500

h0 (mm)ϕ(∞, t0)

S

N R

②

①

③

1 Note : - le point d’intersection des droites 4 et 5 peut égale-

ment se situer en dessous du point 1- pour t0 > 100, il est suffisamment précis de supposer

t0 = 100 (et d’utiliser la tangente).

100 300 500 700 900 1100 1300 15006,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0

ϕ(∞, t0) h0 (mm)

1

2

3

5

10

20

30

50

100

Données : poutre en béton C30/37 de 150 x 300 mm² décoffrée à 5 jours, humidité relative proche de 50 %. Calcul du coefficient de fluage pour le poids propre.

① Décoffrage à 5 jours => t0 = 5 (*). A partir de ce moment, le poids propre sollicite la poutre.

② Tracer la courbe bleue passant par ϕ = 0 et la valeur de la courbe N (à supposer qu’on utilise un ciment normal) pour t0 = 5.

③ Considérons un séchage uniforme, sauf sur le bord supérieur → h0 = 2Ac/u = 2bh/(b+2h) = 120 mm (avec Ac la section de béton et u le périmètre de la section soumis au séchage).

④ Basculement sur la courbe bleue.

⑤ Détermination de ϕ sur l’axe horizontal : ϕ(∞,5) = 3,6.

(*) Dans le présent exemple, un décoffrage après 10 jours entraînerait un coefficient ϕ d’environ 3,1, ce qui signifie une réduction de 14 % de la partie différée de la flèche due au poids propre.

④

⑤

C20/25C25/30

C30/37

C35/45C40/50C45/55C50/60

C55/67

C70/85C90/105

t 0

S

N R

C20/25C25/30C30/37C35/45C40/50

C45/55C50/60 C55/67C60/75

C70/85C80/95 C90/105

①

③

④

⑤②

C80/95C60/75


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Enfin, dans certains cas particuliers (forme spéciale de dalles, par exemple), le recours à la méthode des éléments finis s’avérera sou-vent nécessaire.

3.4 PréCision des méthodes de CalCul

On estime que la part d’erreur du calcul théo-rique tourne autour de 20 % dans des condi-tions maîtrisées (essais en laboratoire) [5].

Etant donné la variabilité importante de la résistance en traction expérimentale du béton (pouvant atteindre 30 %) et l’incertitude sur la valeur réelle de celle-ci dans l’ouvrage réa-lisé, l’impact sur les flèches calculées peut être important. Ce problème est illustré qualitati-vement à la figure 5 où sont étudiées les deux limites caractéristiques (fractiles 5 et 95 %) de la résistance en traction du béton (f

ct) servant

au modèle. On constate que, pour une sollici-tation de service proche de celle amenant la première fissuration (charge P

ELS proche de

Pc,mean

), la différence entre les flèches calculées au moyen des limites théoriques de f

ct (d*

inf et

d*sup

) peut atteindre plus de 100 %. Cepen-dant, en raison des résistances, la charge aux ELS est souvent plus importante.

Au final, l’estimation de la flèche sera d’autant plus mauvaise que :• le moment de flexion est proche du moment

de fissuration• le pourcentage d’armatures de traction est

faible• la résistance en traction du béton reste théo-

rique.

3.5 Critères de déformation admissiBle

Une fois la flèche maximale d’un élément en béton calculée, il est nécessaire de la compa-rer à un critère de déformation admissible. En l’occurrence, l’EC2 retient deux critères de dimensionnement :• la valeur de L/250 pour la combinaison qua-

si permanente de charges• la valeur de L/x en fonction du parachève-

ment retenu.

Notons pour ce deuxième critère que c’est la norme belge NBN B 03-003 concernant les déformations admissibles qui détermine la valeur de x (entre 125 et 1000). Cette norme décrit en détail les critères d’acceptation des flèches en fonction du type d’élément (sur deux appuis ou en encorbellement) et du type de parachèvement, quel que soit le matériau constitutif de l’élément porteur. Les sym-boles utilisés par la norme sont illustrés à la figure 6. Certaines valeurs de déformation

admissible sont, quant à elles, illustrées au tableau 3 (voir p. 8).

A la figure 6, on distingue :• la ligne théorique (1)• la ligne initiale (2)• les lignes (3) représentant les flèches• la contre-flèche d

1 éventuelle

• la flèche da instantanée et différée (7) par-

tielle, après application de toutes les actions qui s’exercent avant le placement de l’élé-ment de construction dont les déformations doivent être limitées

• l’accroissement db de la flèche (instantanée et

différée) produit par l’élément de construc-tion (par exemple : pour un plancher, le car-

Charge P

Flèche dd*

infd*

sup

Limite supérie

ure

Limite inférieurePrédiction basée su

r la ré

sistance en

traction m

oyenne du béton (f ctm)

Pc,sup

PELS

Pc,mean

Pc,inf

Fig. 5 Ecart entre des flèches calculées pour deux valeurs de résis-tance à la traction.

Fig. 6 Flèches admissibles : représentation des symboles et notions.

L

(2)

(1)

(3a)

(3b)

(3c)

dabc

d d1

da

db

dc

relage) et par les autres parachèvements ul-térieurs (par exemple : des cloisons et autres parties fixes de la construction), augmenté de la partie de la flèche différée due aux charges déjà présentes avant l’exécution des parachèvements et survenant après celle-ci (poids propre de l’élément de plancher, par exemple)

• l’accroissement maximal instantané (8) et différé d

c de la flèche, produit par les

combinaisons d’actions variables (charges d’exploitation, vent, neige, tempéra-ture, etc.).

Remarque : lorsque db ou d

b + d

c doit être limi-

té, l’effet instantané du poids propre de l’élé-

(7) Flèche due aux effets différés sur le béton : fluage, retrait, ...(8) Accroissement statique et dynamique.


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ment de construction ajouté peut être négligé si cette déformation n’est pas dommageable (par exemple, mur maçonné ou carrelage en-tièrement posé avant durcissement du liant uti-lisé pour leur mise en œuvre).

Pour résumer, les flèches db et d

c représentent

les effets instantanés et différés respective-ment des charges permanentes présentes après la réalisation de l’élément de structure et des charges variables.

Notons que c’est toujours la combinaison de charges rare qui doit être utilisée, sauf dans trois cas :• pour le contrôle de la résistance des parois

verticales et l’épaufrement ou la fissuration des parois servant d’appui (combinaison quasi permanente)

• pour l’aspect esthétique (combinaison fré-quente).

Pour illustrer ses différentes composantes, l’évolution de la flèche d’un plancher est re-présentée à la figure 7.

A partir de l’évolution décrite à la figure 7, on peut déterminer :• d

a = d

a,0 + d’

a, c’est-à-dire la flèche instanta-

née due au poids propre de l’élément ainsi que son effet différé jusqu’à la mise en place du parachèvement

• db = d

b,0 + d’

a+b, c’est-à-dire la flèche instan-

tanée due au parachèvement ainsi que l’effet différé (après placement du parachèvement) du parachèvement et des charges déjà pré-sentes

• dc = (d

c1,0 + Σd

ci,0) + d’

c1, c’est-à-dire la

somme des flèches instantanées dues aux actions variables, majorée de l’effet différé

Exigence de performance pour laquelle la déformation est limitéeCombinaison de charges

Déformation admissible

Cd = (db + dc)max

Résistance du plafond (fissuration, écaillement) :• plafond enduit• plafond non enduit, plafond suspendu

rare L/350L/250

Résistance du revêtement de sol :• de grandes dimensions ou fixé rigidement• de petites dimensions ou fixé de façon telle que la déformation

du support n’est pas intégralement transmise au revêtement (1)• revêtement souple

rare

L/500 (2)

L/350 (3)

L/250 (2)

(1) Joint souple, couche de glissement, colle durablement plastique, etc.(2) Ce critère ne tient pas compte de la rotation à l’appui, pour laquelle des dispositions constructives appropriées doivent être adoptées.(3) Valeur indicative à vérifier en fonction de la nature des matériaux de revêtement et de leur mode de pose.

Tableau 3 Déformation admissible d’une poutre de plancher ou de toiture reposant sur deux appuis et servant de sup-port à un plafond et un revêtement de sol [1].

Fig. 7 Schéma type de l’évolution de la flèche d’une dalle en béton.

de ces dernières (en général, il s’agit uni-quement des charges de longue durée, re-présentées ici par l’indice 0).

4 Comment évaluer CorreCtement et limiter les flèChes d’un élément en Béton lors de l’exéCution

Plusieurs règles simples peuvent être appli-quées pour garantir une maîtrise des flèches affectant les éléments en béton armé (et leurs conséquences éventuelles). Elles sont résu-

mées ci-dessous :• lors de la conception :

– bonne connaissance des matériaux utili-sés (résistance à la traction du béton et en particulier module d’élasticité) en fonc-tion de l’âge

– prise en compte des effets différés (fluage, retrait, etc.)

– prise en compte de la fissuration éven-tuelle

– bonne connaissance de l’historique de chargement

– bonne analyse du système structural

Neige, par exemple

dci,0

Flèche d

Décoffrage et/ou retrait des étais

Mise en place du parachèvement

Actions variables (charges d’exploitation, vent, neige, etc.)

Temps

d’a+b+c1

dc1,0

d’a+b

db,0

d’a

da,0


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• lors de l’exécution : – décoffrage et enlèvement des étançons en temps opportun, c’est-à-dire en adé-quation avec le contrôle des flèches

– application de charges (lourdes) le plus tard possible

– limitation du retrait du béton (voir à ce sujet [7])

– si possible, utilisation d’un ciment rapide pour limiter le fluage au cas où le décof-frage devrait avoir lieu dans les 10 jours qui suivent le coulage du béton

– soin à la mise en œuvre au droit des ap-puis.

Il est vivement recommandé que l’entrepre-neur communique au plus tôt avec le bureau d’étude quant aux méthodes d’exécution qu’il compte utiliser pour réaliser l’ouvrage. Ceci devrait permettre au concepteur d’évaluer leur impact (phasage, etc.) sur les flèches et de ga-rantir la limitation de celles-ci au regard des exigences formulées dans cet article.

5 ConClusion

L’Eurocode 2 (et son application en Belgique par le biais de son annexe nationale) a réservé une bonne part d’outils pratiques pour maîtri-ser les états limites de service du béton armé. En particulier, une méthode simplifiée a été re-tenue pour contrôler les flèches des éléments de structure sur la base du rapport portée/hau-teur utile (L/d). Cette méthode permet d’éva-cuer rapidement toute question relative à des flèches excessives de la structure.

Néanmoins, le recours à une méthode détaillée permettant de quantifier l’amplitude des flèches sera nécessaire pour comparer celles-ci aux li-mites acceptables mentionnées pour les para-chèvements dans la norme NBN B 03-003 [1]. Cette méthode s’avère plus laborieuse, mais permet des gains économiques indéniables dans le cas d’éléments élancés. Son application peut être optimisée au moyen de feuilles de calcul ou d’outils de type ‘éléments finis’.

Il n’en demeure pas moins que les méthodes détaillées peuvent paraître de prime abord très rigoureuses et fausser quelquefois la perception du résultat. Celui-ci, comme on l’a montré dans cet article, conserve une certaine part d’incer-titude liée principalement à la méconnaissance des propriétés du béton dans l’ouvrage (résis-tance à la traction, par exemple) et au processus de fissuration du béton armé sous sollicitation mécanique. n

i Antenne NormesLe présent article a été élaboré dans le cadre de l’Antenne Normes ‘Euro-codes’ subsidiée par le SPF Economie (www.normes.be/eurocodes).

PP

q

q1

A

A

A

q

A B

B

B

B

B

B

L/2 L/2

L/2 L/2

L

Formules de calcul des flèches élastiques pour des cas courants

P

A

A

P

41

max(mi-travée)q L

=120EI

δ

4

max(mi travée) = 5 qL

384 EI−δ

3

max(mi travée)PL48EI−δ =

2 2max(mi travée)

Pa(3L 4a )

24EI−δ = −

4

max(B)qL8EI

δ =

3

max(B)PL3EI

δ =

A

L

a aL-2a

L


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Exemple de calcul de la flèche d’une dalle unidirectionnelle isostatique

1. DONNÉES DE BASE

1.1 sChéma de la dalle de Béton

1.2 CaraCtéristiques de la dalle

•Dalle coulée en place•Hauteur h = 220 mm•Armatures principales (inférieures) : As = ∅14 tous les 200 mm, soit 770 mm²/m’ (ρs = 0,42 %)•Béton C30/37 → fck = 30 MPa; fctm = 2,9 MPa•Fluage global estimé : ϕ(∞) = 2,0•Retrait des étançons : 10 jours•Usage normal : 28 jours•Charges permanentes : Gk = Gk,1 (poids propre dalle) + Gk,2 (revêtement de sol) = (0,22 x 25 kN/m³) + 1,5 kN/m² = 7 kN/m2

•Charges d’exploitation : Qk = Qk,1 = 3 kN/m² (bureaux)•Enrobage nominal c = 30 mm → d = h – c – ∅/2 = 183 mm•Module d’élasticité du béton :

– Ecm,st (court terme) = 32837 MPa (NBN EN 1992-1-1) – Ecm,lt (long terme) = 32837/(1+ϕ) = 10946 MPa

•Module d’élasticité de l’acier : Es = 200 GPa

1.3 CalCul de l’inertie non fissurée Inc :

( ) ( )

( ) ( )s s2 2

ncs

2

s2

+ - 1 A d + A dx =

bh + -

bh

1 A2

+ A

α

α

( ) ( ) ( ) ( )3

2 2 2nc nc s nc s2 nc 2

bh= + bh h / 2 - x + - 1 A d - x + A x - d

12α

I

avec•xnc : la distance entre le centre de gravité de la section non fissurée et la fibre la plus comprimée•b : la largeur• a : le rapport entre les modules E de l’acier et du béton•As2 : la section d’armatures en compression•d2 : la distance entre ces armatures et la face du béton comprimée (d2 = c + ∅/2).

1.4 CalCul de l’inertie fissurée IC

( )( ) ( )( ) ( )( )αα α α α α2s s2 s s2 2 s s2

c

A + A - 1 + 2b A d + A d - 1 - A + A - 1x =

b

32 2c

c s c s2 2 cbx

= + A (d - x ) + ( -1)A (d - x )3

α αI

avec xc la distance entre le centre de gravité de la section fissurée et la fibre la plus comprimée.

L = 6 m

b = 4 m

B


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1.5 valeurs de la flèChe de la dalle Considérée dans l’exemPle

Tableau 4 Caractéristiques de la section de la dalle considérée dans l’exemple.

DalleSans fluage

(court terme : ϕ = 0)Avec fluage moyen (long terme : ϕ = 2)

Section non fissuréexnc [mm] 111,5 114,4

Inc [mm4] 911,794.106 957,777.106

Section fissuréexc [mm] 37 59

Ic [mm4] 116,813.106 284,707.106

2. MÉTHODE SIMPLIFIÉE

Calculons d’abord la valeur de L/d : L/d = 6000/183 = 33.

Le coefficient (L/d)max pour une dalle présentant un ratio d’armatures ρs = 0,42 % vaut environ 24,7 < 33 (voir figure 3, p. 4). Il faut dès lors réaliser un calcul explicite des flèches.

NotePour tenir compte de la valeur réelle de la contrainte dans l’armature, évaluons celle-ci sous sollicitation de service : Qqp résultant de la combinaison d’actions quasi permanentes :

qp k 2 kQ = 1,0.G + .Qψ

avec ψ2 = 0,3 pour les bureaux (cf. NBN EN 1990 + ANB)→ Qqp = 7,0 + 0,3 . 3 kN/m² = 7,9 kN/m²→ Mqp = Qqp . L²/8 = 35,6 kNm/m’ (moment de flexion).

( ) ( )I

ασ c

s 6qp

c

M d - x 18.35,6. 183 - 59= = = 283 MPa

284,707.10

Il faut donc multiplier la valeur de (L/d)max par 310/283, ce qui donne 27 < 33.

De plus, dans le cas qui nous occupe, les hypothèses de calcul ayant permis d’établir la figure 3 ne sont pas satisfaites (50 % de charges permanentes, par exemple). Bref, un calcul explicite de la flèche est nécessaire.

Par ailleurs, comme on l’aura remarqué, le calcul de la contrainte dans l’armature nécessite de déterminer les caractéristiques de la section fissurée. La méthode perd par conséquent en simplicité.

3. CALCUL ÉLASTIQUE

Nous déterminons tout d’abord la sollicitation qui doit être prise en compte pour la vérification des flèches. Prenons le cas de base caractérisé par la vérification des flèches (L/250) pour la sollicitation Qqp.

Etant donné que nous évaluons la situation pour les sollicitations quasi permanentes, c’est le module d’élasticité à long terme Ecm,LT qui doit être utilisé pour le calcul de la flèche.

En ce qui concerne l’inertie, utilisons dans un premier temps la formule ‘classique’ d’une section rectangulaire, sans tenir compte des armatures (I = b.h³/12), soit :

δ4 4

nc (mi-travée) 3 6cm,LT

5 7,9.6 5 7,9.6= = = mm

384 384E .(b.h / 12) 10946 .887,333 1013,7

Cette valeur correspond à L/437 et est inférieure au critère de L/250 donné dans l’EC2.

Note En utilisant la formule correcte de l’inertie I = Inc, on calcule dmax = 12,7 mm (soit une correction de -8 %). Pour rappel, ce résultat ne tient pas compte de l’éventuelle fissuration du plancher.

4. MÉTHODE DÉTAILLÉE

Comme expliqué précédemment, un simple calcul élastique est basé sur l’hypothèse d’une section non fissurée. Vérifions rapidement si cette hypothèse se confirme. Alors que le moment sous sollicitations quasi permanentes atteint Mqp = 35,6 kNm/m’, un calcul du moment de fissuration Mc nous donne :

⇒


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Puisque le moment de fissuration est inférieur au moment sous sollicitations quasi permanentes, la section centrale de la dalle est fissurée, indiquant que le calcul élastique sous-estime la flèche réelle. L’utilisation du calcul simplifié étant inacceptable dans la situation présente, un recours à la méthode explicite est nécessaire. Le résultat de celle-ci est présenté ci-après.

L’application de la méthode détaillée proposée au § 3.1.2.1 (p. 3) passe par le calcul de la flèche non fissurée dnc (réalisé plus haut), de la flèche fissurée dc et du facteur permettant de prendre en considération le raidissement en traction (tension stiffening) dans l’élément de structure fléchi. Pour rappel, celui-ci permet de tenir compte d’une proportion de sections fissurées le long de l’élément au moyen du coefficient ζ, soit :→ dnc = 12,7 mm (voir ci-avant)→ dc = 42,8 mm (voir formule (3), p. 3).

Comme β = 0,5 pour des charges de longue durée et étant donné que

σ

σs,r c

s qp

M 26,3= = = 0,74

M 35,6

la formule (4) conduit au résultat suivant :2

s,r 2

s= 1- = 1- 0,5.0,74 = 0,73

σ ζ β σ

Ceci nous permet de calculer la flèche totale à mi-travée par l’application de la formule (5) :

( ) ( )δ ζδ ζ δtot c nc = 0,73.42,8 + 1- 0,73 .12,7 == + 1 m- m34,6

5. MÉTHODE DÉTAILLÉE – INTÉGRATION COMPLÈTE SUR LA LONGUEUR DE LA POUTRE

Dans le paragraphe précédent, nous avons réalisé un contrôle de la flèche dans la section centrale de la dalle. Comme expliqué au § 3.1.2.2 (p. 4), la relation empirique basée sur le calcul d’un coefficient de distribution de la fissuration ζ n’est pas la panacée, mais cette formulation revêt un caractère conservateur.

Une méthodologie plus rigoureuse consiste à calculer la courbure en chaque section de la dalle le long de sa portée et à intégrer (dou-blement) les valeurs de cette courbure pour calculer les flèches. Pour des raisons pratiques, on utilise généralement de 10 à 20 sections réparties de manière uniforme sur la longueur de l’élément.

Pour l’exemple discuté, on obtient le tableau 5 (p. 13), dont les valeurs ont été calculées dans un tableur classique. Dans ce tableau, les variables suivantes sont calculées :•colonne 1 : abscisse des sections sur la portée de l’élément•colonne 2 : effort tranchant (sous charges quasi permanentes)•colonne 3 : moment de flexion (sous charges quasi permanentes)•colonne 4 : courbure au stade non fissuré (voir formule (6) avec I

nc)

•colonne 5 : courbure au stade fissuré (formule (6) avec Ic)

•colonne 6 : prise en compte du raidissement en traction (formule (4))•colonne 7 : courbure pondérée (formule (5))•colonne 8 : courbure due au retrait (formule (7))•colonne 9 : courbure totale pondérée avec retrait•colonne 10 : première intégration de la courbure totale, soit :

∫i+1 = ∫i + (xi+1-xi) . (ρi+1 + ρi)/2•colonne 11 : seconde intégration de la courbure totale, soit :

∫∫i+1 = ∫∫i + (xi+1-xi) . (∫i+1+∫i)/2•colonne 12 : flèche dans la section.

Ce dernier point recèle une petite subtilité. En effet, les courbures sont calculées, via l’intégration, par rapport à la tangente du support de gauche. Il faut donc, pour obtenir la flèche (colonne 12) de la section i+1, réduire le résultat de la double intégration (∫∫i+1) par le fac-teur ∫∫n.xi+1/L, où ∫∫n est la valeur de la double intégration à l’appui de droite (xi = L).

Les rangées en rouge du tableau 5 indiquent que la section est théoriquement fissurée. La valeur de la courbure au stade 2 n’a pas de sens physique dans ces sections. En utilisant cette méthode d’intégration et en additionnant les courbures dues à un retrait final de 0,3 mm/m, par exemple, on obtient une flèche totale de 35,4 mm.

Si l’on souhaitait comparer cette flèche avec le résultat de la méthode directe présentée au paragraphe précédent, on calculerait une flèche dans la section centrale de dtot = 30,4 mm sans prise en compte du retrait, ce qui représente une réduction de 12 % de la flèche calculée sans l’intégration, démontrant le caractère conservateur de la précédente méthode. Une intégration sur 11 sections au lieu de 21 conduirait à un résultat relativement proche de dtot = 37,7 mm.

Notons enfin que la valeur de 35,4 mm représente un rapport de L/169, soit une valeur inacceptable selon l’Eurocode 2. Un calcul com-plémentaire démontrerait qu’il faut passer à une épaisseur h de 250 mm pour satisfaire le critère de L/250 en ce qui concerne les charges utilisées dans l’exemple.

Un calcul économique ne serait alors pas superflu pour étudier le caractère opportun de ce type de section. En effet, augmenter la hauteur de la section de béton entraîne une augmentation de la raideur flexionnelle, mais aussi du poids propre et donc de la sollicitation.


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6 CONCLUSIONS

Les valeurs des flèches calculées suivant les différentes méthodes sont reprises au tableau 6. A l’observation de celui-ci, on constate :•que le calcul élastique sous-estime fortement le comportement réel de la structure (-61 %)•qu’un calcul détaillé par intégration n’apporte, dans le cas étudié, que peu de précision par rapport au calcul détaillé sans intégration

(+12 %)•que l’application de la méthode simplifiée a révélé un éventuel problème de conception lié aux flèches.

Remarque : on pourrait encore affiner les résultats en calculant des coefficients de fluage distincts en fonction du phasage des travaux.

Tableau 5 Résultats de l’intégration des courbures sur 21 sections de la dalle (∆x = 300 mm).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

[mm]

V

[kN]

M

[kN.m]

Stade 1

1/ρ1

Stade 2

1/ρ2ζ 1/ρm

Retrait

1/ρms1/ρtot 1e int 2e int

Flèche

[mm]

0 23,7 0,0 0,00E+00 0,00E+00 0,00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00 0,00 0,0

300 21,3 6,8 6,44E-07 2,17E-06 0,00 6,44E-07 3,02E-07 9,47E-07 0,00 0,02 5,1

600 19,0 12,8 1,22E-06 4,11E-06 0,00 1,22E-06 3,02E-07 1,52E-06 0,00 0,12 10,2

900 16,6 18,1 1,73E-06 5,82E-06 0,00 1,73E-06 3,02E-07 2,03E-06 0,00 0,35 15,1

1200 14,2 22,8 2,17E-06 7,30E-06 0,00 2,17E-06 3,02E-07 2,47E-06 0,00 0,77 19,8

1500 11,9 26,7 2,54E-06 8,56E-06 0,51 5,64E-06 1,09E-06 6,73E-06 0,00 1,49 24,2

1800 9,5 29,9 2,85E-06 9,58E-06 0,61 6,98E-06 1,24E-06 8,22E-06 0,01 2,76 28,1

2100 7,1 32,4 3,09E-06 1,04E-05 0,67 7,98E-06 1,33E-06 9,31E-06 0,01 4,76 31,2

2400 4,7 34,1 3,26E-06 1,10E-05 0,70 8,67E-06 1,38E-06 1,01E-05 0,01 7,58 33,5

2700 2,4 35,2 3,36E-06 1,13E-05 0,72 9,08E-06 1,41E-06 1,05E-05 0,01 11,31 34,9

3000 0,0 35,6 3,39E-06 1,14E-05 0,73 9,22E-06 1,42E-06 1,06E-05 0,02 15,97 35,4

3300 -2,4 35,2 3,36E-06 1,13E-05 0,72 9,08E-06 1,41E-06 1,05E-05 0,02 21,59 34,9

3600 -4,7 34,1 3,26E-06 1,10E-05 0,70 8,67E-06 1,38E-06 1,01E-05 0,02 28,14 33,5

3900 -7,1 32,4 3,09E-06 1,04E-05 0,67 7,98E-06 1,33E-06 9,31E-06 0,03 35,59 31,2

4200 -9,5 29,9 2,85E-06 9,58E-06 0,61 6,98E-06 1,24E-06 8,22E-06 0,03 43,87 28,1

4500 -11,9 26,7 2,54E-06 8,56E-06 0,51 5,64E-06 1,09E-06 6,73E-06 0,03 52,88 24,2

4800 -14,2 22,8 2,17E-06 7,30E-06 0,00 2,17E-06 3,02E-07 2,47E-06 0,03 62,43 19,8

5100 -16,6 18,1 1,73E-06 5,82E-06 0,00 1,73E-06 3,02E-07 2,03E-06 0,03 72,30 15,1

5400 -19,0 12,8 1,22E-06 4,11E-06 0,00 1,22E-06 3,02E-07 1,52E-06 0,03 82,34 10,2

5700 -21,3 6,8 6,44E-07 2,17E-06 0,00 6,44E-07 3,02E-07 9,47E-07 0,03 92,52 5,1

6000 -23,7 0,0 0,00E+00 0,00E+00 0,00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,03 102,78 0,0

Tableau 6 Résultats du calcul de la flèche par différentes méthodes.

Méthode § Flèche d [mm]Rapport portée/

hauteur utile

Méthode simplifiée selon l’EC2 1Le résultat n’est pas satisfaisant; un calcul explicite détaillé est nécessaire.

–

Calcul élastique (sans retrait ni fissuration) (*) 2 13,7 (-61 %) L/437

Calcul détaillé (sans retrait) 3 34,6 (-2 %) L/174

Intégration (11 sections), avec retrait

4

37,7 (+6 %) L/159

Intégration (21 sections), sans retrait 30,4 (-14 %) L/197

Intégration (21 sections), avec retrait 35,4 L/169

(*) Cet exemple est seulement didactique, parce que la dalle est fissurée. La méthode n’est donc pas applicable.

NoteUn calcul aux états limites ultimes permet de constater que la section était légèrement sous-dimensionnée (MRd = 58 kNm/m’ < 63 = MSd, ELU).


CT GROS ŒUVRE


t BiBliographie

1. Bureau de normalisation NBN B 03-003 Déformations des structures. Valeurs limites de déformation. Bâtiments. Bruxelles, NBN, 2003.

2. Bureau de normalisation NBN EN 1990 Eurocodes structuraux. Eurocodes : bases de calcul des structures. Bruxelles, NBN, 2002.

3. Bureau de normalisation NBN EN 1992-1-1 Eurocode 2 : calcul des structures en béton. Partie 1-1 : règles générales et règles pour les bâtiments. Bruxelles, NBN, 2004.

4. Courbon J. et Theillout J.-N. Résistance des matériaux. Formulaire. Paris, Techniques de l’Ingénieur, Formulaire, Form. C 2 060, 2001.

5. Fédération internationale du béton Structural Concrete. Textbook on behaviour, design and performance. Lausanne, FIB, Bulletin n° 52, Volume 2, 2010.

6. Parmentier B. et Delincé D. Conception et dimensionnement des structures selon l’Eurocode 0 (EN 1990). Bruxelles, CSTC-Magazine, n° 4, 2003.

7. Parmentier B., Pollet V. et Zarmati G. Le retrait empêché du béton. Prédiction selon l’Eurocode 2 et maîtrise via les techniques d’exécution. Bruxelles, Les Dossiers du CSTC, n° 2, Cahier 3, 2009.

8. Pollet V. et Vyncke J. Valeurs de retrait et de fluage du béton. Calcul selon la norme NBN B 15-002. Bruxelles, CSTC-Magazine, n° 2, 1996.

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