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Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio 2 - 31
Concepto clave
La derivada de una función se define principalmente de dos maneras:
1. Como el límite del cociente de Fermat
( ) ( )
(́ )x a
f x f af a lím
x a
2. Como el límite del cociente de incrementos
0
( ) ( )(́ )
x
f x x f xf x lím
x
Conocida también como la regla de los cuatro pasos.
Tanto una como otra definición permiten obtener la derivada de una función.
A lo largo de esta sección aplicaremos la primera definición para obtener la derivada de funciones polinomiales y en la siguiente sección utilizaremos la segunda definición, con la finalidad de comparar los dos procedimientos.
El procedimiento consiste principalmente en obtener en primer lugar el
cociente ( ) ( )f x f a
x a
y posteriormente calcular el límite cuando x tiende al valor a.
Antes de calcular el límite es conveniente eliminar el factor x-a del denominador
Haremos primeramente un repaso de operaciones algebraicas que serán necesarias para realizar simplificaciones al obtener la derivada de funciones polinomiales.
Algunas factorizaciones importantes son la diferencia de cuadrados o diferencia de cubos, que se muestran enseguida.
Diferencia de cuadrados 2 2 ( )( )x y x y x y
Un caso más general 4 4 2 2 2 2 2 2( )( ) ( )( )( )x y x y x y x y x y x y
Diferencia de cubos 3 3 2 2( )( )x y x y x xy y
En general se puede realizar la factorización de una diferencia de la manera siguiente:
1 2 3 2 2 3 2 1( )( ....... )n n n n n n n nx y x y x x y x y x y xy y
2 - 32 Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio
Por ejemplo 5 5 4 3 2 2 3 4( )( )x y x y x x y x y xy y
Como también
1 1
2 22 2
1 1
3 33 3
( ) ( )
( ) ( )
x y x y
x y x y
y aplicar las reglas anteriores, de ser necesario.
Veamos algunos ejemplos
Solución
1. Obtenemos el cociente
( ) ( ) (7 9) (7 9) 7 9 7 9 7( )7
f x f a x a x a x a
x a x a x a x a
2. Calculamos el límite ( ) ( )
(́ ) 7 7x a x a
f x f af a lím lím
x a
Por consiguiente,
(́ ) 7f a y en general f´(x)= 7
Solución
1. Obtenemos el cociente
2 2 2 2( ) ( ) ( 3 9 3) ( 3 9 3) 3 9 3 3 9 3f x f a x x a a x x a a
x a x a x a
Ejemplo 2.8
Calcula la derivada de la función f(x)= 7x –9
Ejemplo 2.9 Calcula la derivada de 2( ) 3 9 3f x x x
Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio 2 - 33
Se cancelan los números 3 y podemos agrupar los términos de segundo grado y de primer grado.
2 23( ) 9( ) 3( )( ) 9( )x a x a x a x a x a
x a x a
,
Y simplificamos utilizando la factorización de una diferencia de cuadrados, obteniendo 3( ) 9x a .
2. Aplicamos finalmente el límite
(́ ) lim 3( ) 9 3(2 ) 9 6 9x a
f a x a a a
Por lo tanto, (́ ) 6 9f a a y en general (́ ) 6 9f x x
Solución
1. Obtenemos el cociente
3 32 5 2 510 10
3 2 3 2x x a a
x a
Se cancelan los números 10 y se agrupan por un lado, los términos de tercer grado y por otro los de primer grado.
3 32 5( ) ( )
3 2x a x a
x a
aplicamos la factorización de diferencia de cubos, lo
cual nos permitirá simplificar el factor (x – a), entonces tendremos
2 2
2 2
2 5( )( ) ( )
2 53 2 ( )3 2
x a x xa a x a
x ax ax a
2. Finalmente aplicamos el límite
2 2 2 22 5 2 5 5( ) (3 ) 2
3 2 3 2 2x alím x xa a a a
Ejemplo 2.10 Calcula la derivada de
32 5( ) 10
3 2f x x x
2 - 34 Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio
Y , en general 2 5(́ ) 2
2f x x
Solución
1. Obtenemos el cociente
4 3 2 4 3 2(2 4 5) (2 4 5)x x x a a a
x a
Se eliminan los 5 y se agrupan por potencias los términos en x y en a.
4 4 3 3 2 22( ) ( ) 4( ) 7( )x a x a x a x a
x a
Se factorizan las diferencias de cuadrados y cubos para simplificar
2 2 2 22( )( )( ) ( )( ) 4( )( ) 7( )x a x a x a x a x ax a x a x a x a
x a
Dividiendo cada término entre (x - a), obtenemos
2 2 2 22( )( ) ( ) 4( ) 7x a x a x ax a x a
2. Aplicamos el límite 2 2 2 2 2 22( )( ) ( ) 4( ) 7 2(2 )(2 ) 3 4(2 ) 7
x alím x a x a x ax a x a a a a a
= 3 28 3 8 7a a a
Por lo tanto 3 2(́ ) 8 3 8 7f x x x x
Ejemplo 2.11 Obtén la derivada de la
función 4 3 2( ) 2 4 7 5f x x x x x
Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio 2 - 35
En este caso el límite de Fermat se puede escribir como
limx a
x a
x a
Hay dos posibilidades para obtener este límite, una es considerando x – a
como una diferencia de cuadrados y aplicando la factorización correspondiente.
Veamos esta posibilidad
1.
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 22 2 2 2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( )( ) ( )
x a x a x a
x ax a x a x a x a
Simplificamos términos iguales y aplicamos el límite
2. 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 1 1(́ ) lim
2( ) 2
x af a
ax a a a a
Por lo tanto 1
(́ )2
f xx
Otra posibilidad para obtener la derivada es racionalizando el numerador de la fracción
Recordemos que para racionalizar el numerador o denominador de una fracción que contiene una suma o diferencia de radicales, hay que multiplicar tanto numerador y denominador de la fracción por el binomio conjugado.
Por ejemplo, para racionalizar el numerador de la siguiente fraccióna b
b
Se multiplican numerador y denominador por el binomio conjugado del
numerador, que en este caso es la suma de radicales a b
Considerando la fracción a b
b
, si queremos racionalizar el numerador,
multiplicamos numerador y denominador por a b
Ejemplo 2.12 También es posible obtener, utilizando este límite, la derivada de funciones
como ( )f x x
2 - 36 Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio
( )
a b a b a b
b a b b a b
Calculemos de esta manera la derivada de ( )f x x
Obtenemos el cociente y racionalizamos el denominador
1. ( )( )
x a x a x a x a
x a x a x a x a x a
Simplificamos x – a y aplicamos el límite cuando x tiende al valor a
2. 1 1 1
( ) 2x alím
x a a a a
Y obviamente obtuvimos el mismo resultado que antes.
1. Obtenemos el cociente
( ) ( ) 2 3 5 2 3 5f x f a x a
x a x a
Racionalizamos el denominador
( ) ( ) 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 4(3 5) 4(3 5)
2 3 5 2 3 5 ( )(2 3 5 2 3 5)
f x f a x a x a x a
x a x a x a x a x a
12 20 12 20 12( ) 12
( )(2 3 5 2 3 5) ( )(2 3 5 2 3 5) (2 3 5 2 3 5)
x a x a
x a x a x a x a x a
2.Aplicamos el límite
Ejemplo 2.13
Obtén la derivada de la función ( ) 2 3 5f x x
Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio 2 - 37
12 12 3
(2 3 5 2 3 5) 4 3 5 3 5x alím
x a a a
Por lo tanto ´ 3( )
3 5f x
x
1. ( ) 6 11f x x
2. 2( ) 5 11 1f x x x
3. 21 3 1( )
2 4 3f x x x
4. 4 3( ) 5 7f x x x
5. 4 23( ) 3 13
4f x x x x
6. 2 3( ) 2 3 4 5f x x x x
7. 5 3( ) 2 6f x x x
8. 2 3 4( ) 6 8 2f x x x x
9. ( ) 5 8f x x
10. 6 4 2( ) 3 11 7f x x x x x
Ejercicio 2.3
Obtén la derivada de cada una de las siguientes funciones usando el límite del cociente de Fermat