Números Racionales www.crisol.tk 0.1 Definición. Los Números Racionales ( ) son todos aquellos que se pueden escribir como fracciones.

{ / , , 0}a a b bb

= ∈ ≠

Todo número racional siempre se puede escribir o como fracción o como decimal

Racional

Fracción

Decimal

Propia

Impropia

Mixta

Finito

InfinitoPeriódoco

Semiperiódico

{ {{ {

0.2 Fracción propia: Es aquella en que el numerador es menor que el denominador Ejemplo:

7 ; 15 ; 3 ; 10 8 20 4 13

0.3 Fracción impropia Es aquella en que el numerador es mayor que el denominador. Ejemplo :

8 ; 20 ; 4 ; 13 7 15 3 10

0.4 Fracción mixta Es aquella que se presenta como una combinación de un número entero con una fracción. Una fracción mixta NO es una multiplicación.

Ep

q

:

:

E Número enterop Número racionalq

Podemos transformar esta fracción mixta a fracción común de la siguiente forma:

1

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Ep

q = Eq + p

q Ejemplo:

4 3·5 + 4 15 + 4 193 = = = 5 5 5 5

0.5 Decimal Finito.

Es aquel decimal que tiene un número finito de cifras. Ejemplo: 0,324 ; 14,32 ; 6,1 0.6 Decimal periódico Es aquel decimal infinito que después de la coma decimal posee un número que se repite infinitas veces. A este número le llamaremos período y lo denotaremos con una línea horizontal sobre el número a repetir. Ejemplo:

0,383838383838 ... = 0, 38

0.6666666............. = 0,6

13,11111............... = 13, 1

0.7 Decimal semiperiódico. Es aquel decimal infinito que entre la coma decimal y el período (cifra que se repite) tiene un número que no se repite, a este número le llamaremos anteperíodo. Ejemplo:

0,316 = 0,31616161616..... Como se ha señalado, todo racional puede escribirse o como fracción o como decimal, esto significa que podemos transformar cualquier fracción a número racional y viceversa. 0.8 Transformaciones de Fracción a Decimal Consiste en dividir el numerador por el denominador Ejemplo:

3 = 3 : 4 = 0,754

2

Números Racionales www.crisol.tk 0.9 Transformaciones de Decimal a Fracción. Para efectuar esta operación diferenciaremos el tipo de decimal del que se trata. 1. Transformación de Decimal Finito a Fracción.

Como numerador escribiremos el número completo y como denominador un 1(uno) seguido de tantos ceros como cifras tenga el decimal.

Ejemplo:

970,97 10031860,3186

100004000,400

10001540215, 402 10006786,78 100

=

=

=

=

=

0.10 Transformaciones de Decimal Periódico a Fracción. Como numerador escribiremos el número completo, restándole todo el número que está delante del período y como denominador tantos nueves ( 9 ) como cifras tenga el período Ejemplo:

3280,328 = 999150,15 = 991376 - 13 136313,76 = =

99 99

0.11 Transformaciones de Decimal Semiperiódico a Fracción. Como numerador escribiremos todo el número, restándole todo el número que está delante del período y como denominador escribiremos tantos nueves ( 9 ) como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros ( 0 ) como cifras tenga el anteperíodo. Ejemplo:

3

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345 - 3 3420,345 990 99024213 - 24 241890,24213

99900 999001243 - 124 111912,43

90 90

= =

= =

= =

0.12 Operatoria de Fracciones 1. Suma:

a c ad + + = bcb d bd

Ejemplo :

3 6 3· 5 6·4 39 4 5 4 · 5 20

++ = =

Si es que al sumar dos fracciones, éstas tienen igual denominador, entonces se procede de la siguiente forma:

a c a + + = cb b b

es decir , conservamos el denominador y sumamos los denominadores Ejemplo:

8 15 8 + 15 23+ = = 7 7 7 7

Si los denominadores tienen factores en común, entonces se calcula el M.C.M de ellos Ejemplo :

5 13 3·5 2·13 41 12 18 36 36

++ = =

0.13 Resta. Se desarrolla igual que una suma pero conservando el signo de resta.

- -

- -

a c a bb d bda c a cb b b

=

=

4

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7 3 7·8 - 5·3 4 - 5 8 5· 8 417 3 17 - 3 14 - 9 9 9 9

= =

= =

10

0.14 Multiplicación. La multiplicación se define como:

. a c a cb d b d

⋅=

⋅

Es decir, se multiplican los numeradores y se divide por la multiplicación de los denominadores. Ejemplo:

8 6 8 · 6 48. = = 3 9 3 · 9 27

1.15 División. La división se define como:

a c a d a · : = . = db d b c b · c

Es decir, se invierte la segunda fracción (inverso multiplicativo) y se transforma la operación en una multiplicación de fracciones. Ejemplo:

3 7 3 5 15: = . = 2 5 2 7 14

0.16 Simplificación de fracciones Simplificar una fracción consiste en dividir el numerador y el denominador por el mismo número.

a a = : mb b m

Ejemplo:

5

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15 15 : 5 3 = = 20 20 : 5 4

0.17 Amplificación de Fracciones Amplificar una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número.

a a · m = b b · m

Ejemplo: 3 3 · 4 12 = = 7 7 · 4 28

0.18 Comparación de Fracciones: Determinar qué fracción es mayor cuando tenemos que ordenarlas no es algo que uno pueda realizar a simple vista. Si comparamos dos números enteros, nos resulta evidente determinar al mayor, pero con fracciones esto no es tan claro. 1º Dadas las fracciones

a cyb d

Para determinar cuál es la mayor, multiplicaremos cruzado en forma ascendente.

a · d b · c

a c b d

Los números ad y bc son enteros, por lo tanto es posible compararlos fácilmente. Luego,

,

,

,

a cSi ad bc entoncesb d

a cSi ad bc entoncesb d

a cSi ad bc entoncesb d

> >

< <

= =

En este último caso diremos que las fracciones son equivalentes.

6

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5 3 > pues 7 · 5 > 4 · 34 7

6 4 < pues 6 · 5 < 8 · 48 5

2º Cuando tengamos que comparar más de dos fracciones es conveniente igualar los denominadores y para ello deberemos calcular el M.C.M. de éstos y luego amplificarlos. Ejemplo: Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones.

3 7 6 ; ; ; 4 5 4

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el M.C.M. es 20, luego amplificaremos por 5 la 1era y 3era fracciones y por 4 la segunda y 4ta fracción, el resultado es

3 · 5 7 · 4 6 · 5 8 · 4 ; ; ; 4 · 5 5 · 4 4 · 5 5 · 4

15 28 30 32 ; ; ; 20 20 20 20

Ahora basta con comparar los numeradores,

32 30 28 15> > > y por tanto el orden es:

8 6 7 5 4 5

> > >34

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