DEFINISI-DEFINISI DASAR

2.1. TEORI BAG

Teori bag merupakan perluasan yang murni. dari teori himpunan.

Bag merupakansekumpulanelemen dari domain tertentu. Tidak sepertihimpunan, bag membolehkankemunculanyang lebih dari sekali dari setiapelemennya.

Contoh :

B1 = {a, b, c}

B2 = {a}

B3 = {a, p, c, c}

B4 = {a, a, a}D ra a, a, a, b, b, c, c, d, d, d, d} -- --

Konsep dasar dari teori bag adalah fungsi jumlah kemunculan,sedangkan pada teori himpunan,konsep dasarnya adalah hubungan "adalahanggota dan"'.

Fungsi jumlah I;cemunculanmendefinisikan jumlah kemunculan darisuatu elemen yang berada dalarn suatu bag. Untuk suatu elemen 'X darisuatu bag B, di notasikan jumlah kemunculan x di B sebagai # (x, B), diucapkan sebagai jumlah x di B.

Dengan basis konseptual ini, kita mendefinisikan dasar-dasar dariteori bag.

2.1.1 Keanggotaan

Fungsi # (x, B) mendefinisikanjumlah kemunculan dari suatu elemenx di bag B. Karenanya, # (x, B) ~ 0 untuk semua x dan B. Suatu elemenx merupakan anggota dari suatu bag B jika # (x, B) > O. Hal ini' dinotasikan sebagai x E B. -Dengancara yang sarnajika # (x, B) =0, makax E B.

Didefinisikan suatu bag kosong atau { } atau 0 dimana untuk semuax, # (x, 0 ) = O.

8

2.1.2 Cardinality

Cardinality IB Idari suatu bag B adalah jumlah ~e.munculantotal darielemen-elemen dalam bag tersebut, sehingga :

I B I =L #(x,B)x

2.1.3 Inclusion dan Kesamaan Bag

Suatubag A adalahsub bag dari suatubag B jika setiapelemendariA juga merupakanelemendari B, palingsedikitbeberapakali :

A c B jika dan hanya jika #(x, A) ::;;#(x, B) untuk semua x(A =B) jikaJUx...A1-= # (x..B) untuls;semua x.

Dari kedua definisi diatas, dapat diperoleh :

A = B, jika dan hanya jika A c B dan B c A

o c B untuk semua bag B

Jika A =B maka IAI+ IBI

Jika A c B maka IAI ::;;IBI

Suatu bag A disebut Strictly Contained pada suatu bag B (A. c B)jika A c B dan A * B.

Ingat bahwa jika # (x, A) < # (x, B) tidak selalu A c B, walaupunIAI< IBI

2.1.4 Operasi - operasi

Empat jenis operasi yang di detinisikan pada bag. Untuk bag A danB, di detinisikan :

a. Gabungan , dinotasikan sebagai A u B

#(x, u B) = max (# (x, A), # (x, B))

9

b. Irisan, dinotasikan sebagai A (1 B

#(x, A (1 B) =min (# (x, A), # (x, B»

c. Penambahan, dinotasikan sebagai (A + B)

# (x, A + B) = # (x, A) + # (x, B)

d. Selisih, dinotasikan sebagai (A - B)

# (x, A - B) =# (x, A) - # (x, B).

Operasi-operasi gabungan, irjsan, dan penambahan adalah komutatifdan asosiatif. Pada operasi penambahan dapat disimpulkan :

A(1BcAcAuB

A-BcAcAcA+B

Perbedaan ant3!a ~perasi gabungan dan operasi penambahan secarajelas dinyatakanberikutini.

I Au BI S; IAI +olBI

IA + BI = IAI + IBI

2.1.5. Ruang Dimensi dari Bag

Di definisikan suatu Domain D sebagai himpunan dari elemen-elemendalam mana bag-bag dibentuk. Ruang dari bag Dn adalah himpunan darisemua bag yang seluruh elemennya ada di D demikian sehingga tidak

terdapat elemen yang muncullebih dari n kali. Jadi, untuk semua B E Do;a. Jika x E B maka xED

b. # (x, B) S; n untuk semua x.

10

Himpunan D- adalah himpunan dari semua bag atau suatu domain Ddimana tidak terdapat batas jumIah kemunculan dari suatu elemen yangberada dalam suatu bag.

2.1.6. Pemetaan Parikh

Untuk suatu domain sehingga D = {d" ~, , dn}, terdapat suatukorespondensidiantarasetiapbag B atasD dan n -vektor,f =( fl' f2, ,fn) yang di definisikan oleh

f. =#(d.,B)I I

Vektor ini dikenal sebagai pemetaan Parikh.

Contoh

Ambil D = {a, b, c, d} sebagai suatu domain maka dari bag-bagberikut ini :

A= {a, b}

B = {a, a, b, c}

C = {a, a, a, c, c}

diperoleh :

IAI=2

ICI =3

A u B = { a, a, b, c}

A u C = {a, a, a, b, c, c}

A f1 C = {a}

Bf1C= {a,a,c}

11

A + B ={a, a, a, b, b, c}

A-B=0

C - A = {a, a, c, c}

C-B={a,c}

2.2.STRUKTUR JARINGAN PETRI

JaringanPetri terdiri dari 4 bagian, yaitu : himpunan dari place-placeP, himpunan dari transisi-transisi T, fungsi input I, dan fungsi output O.

Fungsi - fungsi input dan output menghubungkantransisi-transisidan place-place. Fungsi input I merupakan pemetaan dari transisi tj ke sekumpulanplaces I(tj), yang di kenai sebagai input places dari transisi. Fungsi outputo memetakan suatu transisi tj ke sekumpulan places O(tj) yang di kenaisebagai output places dari transisi.

Struktur dari suatu Jaringan Petri di definisikan oleh places, transisi,fungsi input dan fungsi output adaIah berikut ini :

Def;n;s; 2.1

Struktur laringan Petri, C, merupakan 4 - tupple C =(P, T, I, 0),

dimana:

P = {P\P2""'Pn} merupakan himpunan berhingga dari place-place, n ;;::0;

T = {tl' tz, tm} merupakan himpunan berhingga dari transisi-transisi,m;;::O;

Himpunan dari place-place dan transisi-transisi adalah disjoint atauP (\ T =0.

I: T ~ P- adaIahfungsi input, pemetaan dari transisi-transisi ke bags dariplace-place.

o : T ~ P- adaIah fungsi output, pemetaan dari transisi-transisi ke bagsdari places.

12

Kardinalitas dari himpunan P adalah n dan kardinalitas dari himpunanT adalahm. Notasidari satuelemeIidari P adalahPi' i =1, 2, , n dansatu elemen dari T adalah t., j =1, ...,m.J

Contoh dari struktur J aringan Petri :

a)

c = {P, T, I, O}

P = {Pl'P2,P3,P4'PS}

T = {tl't2,t3,t4}

l(t1) = {PI}

l(t2) = {P2,P3'PS}

1(t3) = {P3}

1(t4) = {P4}

b)

0(t1) = { P2,P3'PS}

0(t2) = {Ps}

0(t3) = {P4}

0(t4) = {P2,P3}

c = {P,T, I, O}

P = {Pl'P2,P3,P4PS,P6}

T = {tl't2,t3,t4,tS}

I(tI) = {PI}

I(~) = {P3}

l(t3) = {P2'p3}

1(t4) = {p 4Ps,PS'Ps}

l(ts) = {P2}

O(tI) = { P2,P3}

0(t2) = {P3,P3'PS}

0(t3) ={P2'P4}

0(t4) = {P4}

O(ts) = {P6}

13

Suatu place Pi adalah suatu Place Input dari suatu transisi tj jika PiE I(tj); Pi adalah suatu Place Output jika pi E O(tj). Input dan output darisuatu transisi merupakan bags dari place-place. Bag adalah generalisasidari himpunanyang memperkenankanbanyak kemunculandari satu elemendalam suatu bag.

Place Piadalah inputplace dari transisi tjjika PiE O(tj). Place Piadalahoutput place dari transisi tjjika Pi E O(tj). pemakaian bag untuk input danoutput dari suatu transisi memperkenankan suatu place menjadi multipleinput atau multiple output dari suatu transisi. Multiplicity dari suatu inputplace Piuntuk suatu transisi tj adalahjumlah kemunculan dari place tersebutpada input bag dari transisi atau # (Pi' I(tj)). Demikian juga untuk multi-plicity dan suatu output place Pi untuk suatu transisi tj. # (Pi' O(tj)).

Fungsi-fungsi input dan output dapat diperluas.yang bermanfaat untukmemetakanplace-placeke bag-bagdari transisi-transisi.Kita tentukanbahwa

suatu transisi tj menjadi input dari suatu place Pijika Pi merupakan outputdari tj' Transisi tj adalah output dari place Pi jika Pi merupakan inputdari tj'

Definisi 2.2.

Perluasandari fungsi inputI dan fungsi output0 adalahsebagaiberikut:

demikian sehingga

#(tj. I(p)) =# (Pi' O(tj))

#(tj. O(p)) =# (Pi' I(tj))

14

Contoh : Diberikan suatu struktur jaringan petri

C = {P, T, I, O}

P = {PI'PZ,P3,P4PS,P6}

T = {tl'tZ,t3,t4,tS}

l(t)) = {PI}

l(tz) = {P3}

l(t3) = {PZP3}

l(t4) = {P4Ps,Ps'ps}

l(ts) = {pz}

OCt)) = { PZ,P3}

O(tZ) = {P3,P3'PS}

0(t3) = {PZ,P4}

0(t4) = {P4}

O(tS) = {P6)

. KarenaPI E I (tl), maka pI adalah input place dari transisi t\.

. Karena Pz, P4 E 0 (tz), maka Pz dan P4 adalah output place daritransisi tz.

. # (Ps'l(t4)= 3,artinyajumlahkemunculandariplacePspadainputbagdari transisi t4 =3

. # (Ps' O(tz)) =2, artinyajumlah kemunculan dari place Ps pada outputbag dari transisi tz =2.

. Perluasandari fungsiinput I dan fungsioutput0 adalah :

1(t1)= {}

l(Pz) = {t I't3}

1(P3)={tl ,t2}

]](t4) = {tZt4}

l(ps) = {tz,tz}

1(P6)= {ts}

O(PI) = { tl}

O(Pz) = {t3,tS}

0(P3) ={tz,t3}0(P4) :: {t4)

O(ps) = {t4,ti4}

O(p~ = {}

15

2.3. GRAPH DARI JARINGAN PETRI

Representasi grafik suatu struktur Jaringan Petri sangat bermanfaatuntuk mengilustrasikan konsep-konsep dari teori Jaringan Petri. Grafiksuatu Jaringan Petri merupakan representasi suatu struktur Jaringan Petrisebagai suatu multigrafberarahbipartit.Struktursuatu Jadngan Petri terdiridari himpunan place-place dan himpunan transisi-transisi. Bersesuaiandengan hal ini maka grafik suatu Jaringan Petri memiliki 2 jenis node :

a. Lingkaran 0 menyatakan suatu place;

b. gads vertikal I menyatakan suatu transisi.

Arkus-arkus berarah yang menghubungkan place-place dan transisi-transisi, dimana beberapa arkus berarah dad place-place ke transisi-transisidan arkus-arkus berarah lainnya dari transisi-transisi ke place-place. Satuarkus berarah dari place pi ke transisi tj menyatakan bahwa place tersebutmerupakan input dari transisi tj"

Banyaknya input ke satu transisi ditunjukkan dengan banyaknya arkusdad suatu input place ke transisi tersebut. Satu output place ditunjukkanoleh satu arkus dad transisi ke place. Banyaknya output dinyatakan denganbanyaknya arkus.

Jadngan Petri merupakan multi graph karena diperkenankan.terdapatbanyak arkus dad satu node pada grafik ke node lainnya. Selain itu, karenaarkus-arkus tersebut berarah maka disebut sebagai multi graph berarah.Karena node-node dad graph tersebut dapat dipartisi menjadi 2 himpunan(place-place dah transisi-transisi) demikian sehingga setiap arkus berarahdad satu elemen yang merupakananggotadad himpunanplace atau transisike suatu elemen yang menjadi anggota himpunan lainnya maka graphtersebut disebut sebagai multigraph berarah bifartit. Untuk singkatnyadisebut Graph Jaringan Petri

16

Definisi 2.3

Graph Jaringan Petri G adalah multigraph berarah bipartit, G =(V, A),dimana V ={vI' v2' Vs) adalah himpunan verteks dan A ={al' ~, ar)

adalah bag dari arkus-arkus berarah, aj = (vj, vk) dengan vj' VI' E V.Himpunan V dapat dipartisi menjadi 2 himpunan saling lepas P dan Tdemikian sehingga V =PuT, P (J T =0, dan untuk setiap arkus berarah,

aj E A, jika aj = (vj, vk) maka vj E P dan vk E T atau Vj E Tdan vk E P.

Contoh :

Diberikan struktur suatu Jaringan Petri :

C = (P, T, I, 0)

P = {PI' P2' P3' P4' PS' P6' P7' Pg, P9}

T ={tt' S' S, t4, ts' t6}

I(tt) = {Pt}

I(S) ={Pg}

I(t3) = {P2' Ps}

I(t4)={P3}

I(ts) = {P6' P7}

I(t6)={P4'P9}

O(tt) = {P2' P3}

0(t2) = {PI' P7}

0(t3) = {P6)

0(t4) = {P4)

O(ts) = {P9}

0(t6) = {Ps' Pg }

a. Perluasan dari fungsi input I dan furtgsi output 0 adalah :

I(pt) =={S}

I(P2)= {tt}

O(pt) = {tl}

0(P2) = {S}

17

I(P3) = {t1}

I(P4) = {t4}

I(ps) = {t6}

I(P6) = {S}

I(P7) = {S}

I(ps) = {t6}

I(P9) = {ts}

0(P3) = {t4}

0(P4) = {t6}

O(PS) = {S}

0(P6) = {tS}

0(P7) = {tS}

O(PS) = {S}

0(P9) = {t6}

b. Graph dari Jaringan Petri-nya digambarkan pada gambar 2-1. berikut1m.

Gambar 2.1. Contoh penggambaran suatu Graph Jaringan Petri

Definisi 2.4

Ditentukan V =PuT. A adalah suatu bag dari arkus-arkus berarah

demikiansehinggauntuksemuap1 E P dan ~E T

# ((Pi' tj), A)

# ((tj, Pi)' A)

=# (Pi' l(tj»

=# (Pi' 0(9)

18

G =(V, A) adalah graph Jaringan Petri yang ekivalen dengan strukturJaringanPetri C =(P, T, I, 0).

Dual dari suatu Jaringan Petri C =(P, T, I, 0) adalah Jaringan Petri.C =(T, P, I, 0) yangmerupakanhasildarisalingmenukarkanplace-placedan transisi-transisi.

Contoh : Diberikan suatu struktur Jaringan Petri :

C =(P, T, I, 0)

I(tt) = {Pt}

1(12) = {Pz' P3' Ps}

I(S) ={P3}

l(t4) = {p4}

P = {pI, Pz, P3' P4' Ps}

T = {tl' 12, S, t4}

O(tt) = {pz, P3' Ps}

O(tz) = {Ps}

0(t3) = {P4)

0(t4) = {p2, p3)

a. Dual dari Jaringan Petri dari C =(P, T, I, 0) nya adalah :

C =(T, P, I, 0)

T ={tl' 12,S, t4, ts}

P = {PI' Pz, P3' P4}

I(pt) = {tt} O(Pt) = {1:z,t3, ts}

I(pz) = {1:z,S, ts} O(Pz) = {ts}

I(P3)= {S} 0(P3) = {t4)

l(p4) = {t4} 0(P4) = {1:z,S)

19

b. Graph Jaringan Petri-nya digambarkan pada gambar 2-2, berikut ini.

Pl

Gambar 2-2. Graph dari Jaringan Petri contoh.

c. Graph dual Jaringan Petri-nya adalah mengganti place menjadi transisidan transisi menjadi place digambarkan pada gambar 2-3.

Gambar 2-3. Graph Dual Jaringan Petri dari contoh.

20

Inverse Jaringan Petri, - C, untuk suatu Jaringan Petri C =(P, T, I, 0)di detinisikan dengan saling menukarkan fungsi-fungsi input dan outputnya,- C =(P, T, 0, I)

d. Inverse Jaringan Petri dari contoh

O(tl) = {PI}

0(t2) = {P2' P3' Ps}

0(t3) = {P3}

0(t4) = {P4}

I(tl) ={P2' P3' Ps}

I(t2) = Ips}

I(t3) = {P4)

l(t4) = {P2' P3)

2.4. MARKING JARINGAN PETRI

Marking Jl adalah pemberian token-token ke place-place dari suatuJaringan Petri. Jumlah dan posisi dari token-token dapat berubah selamaeksekusi terhadap suatu Jaringan Petri. Token-token ini digunakan untukmendetinisikan eksekusi dari suatu Jaringan Petri.

Definisi 2-5

Suatu markingJl dari suatu JaringanPetri C =(P, T, I, 0) adalahfungsi dari himpunan place-place P ke bilangan Integer non negatif N.

Jl:P-7N

Marking Jl juga dapat didetinisikan sebagai suatu N-vektor, atau Jl =(Jll' ~, , Jln),dimana n = IPIatau setiap JliE N, i =1,2,3, , n. Jumlahtoken dalam place Pi adalah ~,

21

i =1,2, ..., n. Definisi dari suatu marking sebagai suatu fungsi dan sebagaisuatu vektor dihubungkansecarajelas denganJ.l(Pi)= J.lj.

Suatu JaringanPetri bertandaM =(c, J.l)adalah suatu struktur JaringanPetri C =(P,T, I, 0) dengansuatumarkingJ.l,dan ditulissebagaiM =(P,T, I, 0,. J.l).

Pada graph suatu Jaringan Petri, token-token dinyatakan sebagai titik-titik yang berada dalam lingkaran-lingkaranyang menyatakan place-placedari suatu Jaringan Petri.

Karena jumlah token yang dapat diberikan ke suatu place adalah takterbatas maka terdapat suatu sifat ketidak berhinggaan dari marking-mark-ing untuk suatu Jaringan Petri. Himpunan dari semua marking-markinguntuk suatu Jaringan Petri dengan n place secara mudah dapat dinyatakansebagai himpunan semua n-vektor, atau N°.

Contoh : Suatu jaringan petri bertanda M =(P, T, I, 0, J.l)

C =(P, T, I, 0)

P = {PI' P2' P3' P4' ps}

T= {tl' S' t3, t4}

I(ti) = {Pi}

I(S) = {P2' P3' Ps}

I(S) = {P3}

l(t4) = {P4}

O(ti) = {P2' P3' Ps}

0(t2) = {Ps}

O(S) = lp4)

0(t4) = {P2' P3)

Representasi graph dari Jaringan Petri bertanda ini digambarkan padagambar 2-4 berikut ini

22

Gambar 2-4. Graph dari suatu Jaringan Petri bertanda.

Representasi graph dari suatu Jaringan Petri.untuk menyatakan :

. Jumlah arkus berarah dari suatu transisi ke suatu place atau sebaliknya,jika banyak dapat dinyatakan seperti gambar 2-5 berikut ini.

Gambar 2-5. Gambar untukmerepresentasikanjumlah arkusyang banyakpada suatu Jaringan Petri

. Jumlah token yang terdapat pada suatu place jika banyak dapatdinyatakansepertigambar2-6, berikutini.

Gambar 2-6. Gambar untuk merepresentasikan jumlah token yangbanyak, misal n = 100. .

23

2.5.ATURAN-ATURAN EKSEKUSI JARINGAN PETRI

Eksekusi dari suatu Jaringan Petri dikontrol oleh jumlah dan distribusidari token-token yang terdapat pada Jaringan Petri tersebut. Suatu JaringanPetri melakukan eksekusi dengan menembak (firing) transisi-transisi dariJaringan Petri tersebut. Penembakan (firing) suatu transisi adalah' dengancara "memindahkan" token-token dari place-place input dan "membuat"token-token bam yang disebarkan ke place-place outputnya.

Suatu transisi dapat ditembak jika transisi tersebut Enabled. Suatutransisi adalah enabled jika setiap place inputnya paling sedikit mernilikitoken yang sarna banyaknya dengan arkus dari place ke transisi tersebut.

Contoh :

Jika input place ke transisi t4 adalah place-place PI dan P2 maka t4dikatakan enabled apabila PI paling sedikit merniliki satu token dan palingsedikit P2 juga merniliki satu token, untuk transisi t7 dengan input bag{P6,P6,P6} maka place P6 paling sedikit hams merniliki 3 token untukmembuat transisi t1 enabled.

Definisi 2 - 6

Suatu transisi tj E T pada suatu Jaringan Petri bertanda M =(P, T, I,0, Jl) adalah enabled jika untuk semua Pi E P.

Jl (pi) ( # (pi, I(tj»

Token-token pada place-place input yang membuat suatu transisi ena-bled disebut sebagai enabling token.

Suatu transisi ditembak dengan melakukan "pernindahan" token-tokenenabling dari place-place input dan kemudian mendepositokan ke setiapplace output satu token untuk setiap arkus dari transisi tersebut ke place.

24

Contoh :

Suatu transisi Sdengan l(t3) = {P2} dan 0(t3) = tJJ7'P13}adalah enablebilamana terdapat paling sedikit satu token di place P2' Transisi t3 ditembakdengan melakukan pemindahan satu token dari place P2,dan mendepositokansatu token di place P7 dan satu token di place P13'

Suatu transisi t2 dengan l(t2)=P21,P23}dan O(t2)=P23,P2S,P2S}ditembakdengan melakukan pemindahan satu token dari P21 dan satu token dari P23dan kemudian mendepositokan satu token ke P23 dan dua token ke P2S'

Penembakan suatu transisi secara umum akan merubah marking J.1 dariJaringan Petri ke suatu marking barn, J.1'.

Definisi 2 - 7

Suatu transisi tj pada suatu Jaringan Petri bertanda dengan marking J.1

dapat ditembak jika transisi tersebut enabled. Penembakan suatu transisiyang enabled t. mengakibatkan suatu marking barn J.1'yang didefinisikanJoleh.

J.1'(pi) = J.1(pi)- # (pi, I(tj» + # (pi, O(tj»

Ilustrasi bagaimana marking dari suatu place berubah bila suatu transisi t.o J

ditembak digambarkan pada gambar 2-6..

25

81l'(PI) = Il(PI)

Gambar 2-6. I1ustrasi tentang perubahan marking dari suatu .place bilasuatu transisi ditembak.

Terdapat 3 transisi yang enabled, yaitu tl' ~ dan t4. Transisi S tidakenabled karena tidak terdapat token pada place-place P2 dan P3' padahalI(S) ={P2' P3' P4}' Salah satu dari transisi yang enabled tl' t3 dan t4 dapatditembak. Misalkan transisi t4ditembak maka dilakukan pemindahan satutoken di place Ps dan mendepositokan satu token ke place P3 dan satutoken ke place P4sehingga menjadi 3 buah token. Jadi, marking barn yangmerupakan hasil penembakan transisi t4 adalah J.l' = (1, 0, 1, 3, 0).Refresentasi graph dari Jaringan Petri bertanda dengan marking yang barnmenunjukan bahwa hanya transisi-transisi tl dan ~ yang enabled. Denganmelakukan penembakan transisi tl' misalnya, maka akan diperoleh mark-ing terbarn J.l"=(0, 1, 2, 5, 0).

Penembakan terhadap transisi-transisi dapat dilanjutkan terus selamamasih terdapat paling sedikit satu transisi yang enabled. Bila sudah tidakada transisi yang enabled maka eksekusi dihentikan.

26

2.6. RUANG STATA DARI JARINGAN PETRI

Stata dari suatu Jaringan Petri ditentukan oleh marking dari JaringanPetri tersebut. Penembakan terhadap suatu transisi menyatakan satuperubahan pada stata dari Jaringan Petri tersebut dengan adanya perubahanmarking dari Jaringan Petri. Ruang Stata dari suatu Jaringan Petri dengann place adalah himpunan dari semua marking, yaitu Nn. Perubahan Statayang diakibatkan oleh penembakan suatu transisi didefinisikan oleh suatufungsi perubah yang disebut flmgsi next-stata, yaitu N1.

Biladiaplikasikanke suatumarking(stata)J.1 dan suatutransisit.makaJfungsi menghasilkan marking (stata) barn akibat dari penembakan transisitj pada marking J.1.Karena tj' hanya dapat ditembak jika transisi tersebutenabled maka (J.1, 9 =J.1',dimana J.1'adalah marking yang merupakan hasilpemindahan token-token dari place input t. dan penambahan token-tokenJke place-place output tj'

Definisi 2 - 8

Fungsinext-stataa: N°X T ~ N° untuk suatu Jaringan Petri C =(P,

T, I, 0) dengan marking J.1 dan transisi tj ( T terdefinisi jika dan hanya jika

untuk semua Pi ( P. Jika 8(J.1,9 terdefinisi maka 8(J.1, tj) =J.1' dimana

untuk semua Pi E P.

Diberikan suatu Jaringan Petri C =(P, T, I, 0) dan suatu marking awalJ.10 maka Jaringan Petri tersebut dapat dieksekusi dengan melakukan

27

penembakan terhadap transisi-transisi yang enabled. Penembakan suatu

transisi yang enabled tj pada penandaanawal Jlo menghasilkansuatupenandaan barn Jl2=qJl', ~). Padamarkingyangbarnini,dapatdilakukanpenembakan terhadap suatu transisi yang baru dan enabled, sebut tk'menghasilkansuatumarkingbarnJl1 =0 (Jl0, 9 Hal ini berlangsungternshingga tidak terdapat sarna sekali transisi yang enabled pada marking yangterbarn.

Terdapat dua barisanyang mernpakanhasil dari eksekusi suatu JaringanPetri, yaitu :

a) barisan dari marking-marking (Jlo,Jll, Jl2,...)dan

b) barisan dari transisi-transisi yang ditembak (tjO' ~l' tj2,... ).

Kedua barisan dikaitkan dengan hubungan a(Jlk, tjk) =Jl k+1 untukk =0,1,2, ...

Dengan diketahui suatu barisan transisi yang ditembak dan markingawal Jlo maka dapat dicari barisan marking untuk eksekusi dari JaringanPetri tersebut.

Definisi 2 - 9

Untuk suatu Jaringan Petri bertanda M =(P, T, I, 0, Jl), suatu marking

Jll segera dapat dicapai dari Jl jika terdapat suatu transisi tj E T demikiansehingga d (Jl, tj) =Jl1.

Jika Jl1segera dapat dicapai dari Jl dan Jl" segera dapat di capai dariJl1maka Jl" dapat dicapai dari Jl.

Suatu marking Jl1 E R(C, Jl) jika terdapat sebarisan transisi yangditembak yang akan mengubah marking Jl menjadi marking Jl1.

Definisi 2 - 10

Himpunan ke-marnpu-capaian R(C, Jl) untuk suatu jaringan petri

28

bertanda M =(P, T, I, 0, J.l)adalah himpunan terkecil dari marking-marking yang didetinisikan oleh :

1) J.l ( R(C, J.l)

2) Jika J.l1E R(C, J.l)dan J.l"=OXJ.ll' tj) untUk tj E T, maka J.l"E R(C,J.l)

Contoh representasi graph suatu Jaringan Petri bertanda, gambar 2-7..

{. '0PI

Gambar 2-7. Representasi Graph suatu Jaringan Petri Bertanda.

Marking awalnya adalah J.l = (1, 0, 0). Terdapat 2 transisi yang

dapat ditembak, yaitu t1 dan tr Dengan melakukan penembakanterhadap transisi t1 diperoleh marking (1, 0, 1). Jika t2 ditembakdiperoleh marking (0, 1, 0).

Pada marking (0, 1, 0) tidak terdapat transisi yang enabled,karenanya tidak ada marking yang dapat dicapai. Pada marking (1, 0,1) terdapat transisi t1dan t2yang dapat ditembak, yang secara berturut-turut menghasilkan marking (1, 0, 2) dan (0, 1, 1). Hal ini dapat dilanjutkan terus dengan menggunakan tehnik pohon ke-mampu-capaianakan diperoleh himpunan kemampu-capaian R(C, J.l)yaitu : R(C, J.l)= {(1, 0, n), (0, 1, n) I ~ n ( O}

Untuk sebarisan transisi t'l,t'2,t'3'''. .dan marking J.lmaka markingJ.l1=J(J.l, t'l't'2,t'3'''' ) merupfuc~n hasil penembakan secara ber-turut-

d,JJ.l. ..

turut an tranSlsl-tranSlSl tjl'tj2'tj3'....

29

Definisi 2 - 11

Fungsi Next-Stata yang diperluas yang didefinisikan untuk suatumarkingf.1 dan sebarisantransisicrE T adalah

E (f.1, tj cr) = a( a(f.1,tj), cr )a(f.1,A) = f.1

30