DENETİM / VERGİ / DANIŞMANLIK

DENETİM / VERGİ / DANIŞMANLIK

Veri Analizi ve İstatistik

Veri Analizi ve İstatistik

1

SUNUM PLANI:

İç Denetimin Temel İlkeleri İstatistik Veri Toplama Temel İstatistik Teknikleri Nicel Verilerde Konum Ölçüleri Önemli Kesikli Dağılımlar (Olasılık Dağılımları) Önemli Sürekli Dağılımlar Yakınsamalar

Veri Analizinde İstatistik

2

İÇ DENETİM-YÖNETİM GÜVENCESİ:

Ürün veya hizmetin kalite için belirlenen istekleri karşılamak amacıyla, yeterli güveni sağlaması için gereken planlı ve sistematik faaliyetlerin tümüdür.

ÖZETLE:

İYİ YÖNETİMDİR.ÖNLEMEDİR.

PLANLAMADIR.

HERKESİN İŞİDİR.


3

İÇ DENETİM:

OPERASYONELFAALİYETLER

İÇ KONTROLFAALİYETLERİ

DENETİM

ORGANİZASYONDAKİ FAALİYETLERİN

NİTELİKLERİNİN GERÇEKÇİ TESBİT EDİLMESİ.

ORGANİZASYONDAKİ FAALİYETLERİN ÜST YÖNETİMİN

BELİRLEDİĞİ POLİTİKA VE STRATEJİLERE UYGUNLUĞU.


4

ULUSLAR ARASI İÇ DENETİM TEMEL İLKELERİ: Müşteri Odaklılık, Üst yönetimin denetimde öncülük yapma sorumluluğu, Sürekli öğrenme, yenilikçilik, ve iyileştirme, Veriye veya istatistiksel düşünmeye dayalı yönetim ve karar verme, Grup(takım) çalışması, Sürekli eğitim ve öğrenme, Çalışanların yetkilendirilmesi ve katılımı, İşbirliklerinin geliştirilmesi, Liderlik ve amacın tutarlılığı, Sonuçlara yönlendirme toplumsal sorumluluk.


5

İÇ DENETİMİN TEMEL İLKELERİ:

MÜŞTERİ ODAKLILIK:

Ürün ve hizmet kalitesini en son noktadaDeğerlendirecek olan müşteridir.

Müşteri bağlılığını sağlamanın, müşteriyi eldeTutmanın ve pazar payı elde etmenin en iyi yolu

Mevcut ve potansiyel müşterilerinGereksinimlerine net bir biçimde

Odaklanabilmektir.


6


SÜREKLİ ÖĞRENME, YENİLİKÇİLİK VE İYİLEŞTİRME:

Organizasyonun performansı; bilgi birikimi, sürekli bir öğrenme, yenilikçilik ve iyileştirme kültürü içinde

paylaşılırsa en üst noktasına çıkar.

Günümüzde yüksek rekabet gücüne sahip kuruluşlarda risk odaklı iç denetim yönetiminin temeli Sürekli profesyonel gelişmeye dayanır.

Orjinal fikirler ve yaratıcılık özendirilmeli ve desteklenmelidir.


7


ÇALIŞANLARIN KATILIMI:

Çalışanların potansiyeli; kuruluşun değerleri, güven ve yetkilendirmeye dayalı bir kurum

kültürüyle ortaya çıkarılır.

“Bir işi en iyi o işi yapan bilir” temel prensibi esas alınarak iş süreçlerinin iyileştirilmesinde

bizzat o işi yapanların katılımı sağlanır.


8


SÜREÇLER VE VERİLERLE YÖNETİM:

Bütün faaliyetler sistematik olarak süreçlerle yönetilmektedir.

Süreçler anlaşılmış ve sahipleri belirlenmiş olmalıdır.Önlemeye yönelik iyileştirme faaliyetleri ile ölçüm ve istatistik tüm çalışanların günlük yaşamına entegre

olmalıdır.Yönetim sisteminin temelini veriler, ölçüm ve bilgi sistemi

oluşturmalıdır.


9


LİDERLİK VE AMACIN TUTARLILIĞI:

Kurum kültürünü liderler geliştirmektedir.Her düzeyde yönetim örnek liderlik davranışları

sergilemelidir.Organizasyon politika ve stratejileri sistematik ve yapısal araçlarla yaygınlaştırılmalı ve tüm

faaliyetlerle uyum sağlanmalıdır.Liderlerin davranışları; amacın berraklığını, birliğini sağlar ve hem kuruluşun hem de

çalışanların mükemmele ulaşabilecekleri bir ortam yaratır.


10


İŞBİRLİKLERİNİN GELİŞTİRİLMESİ:

Bir kuruluşun en iyi performansını ortaya koyması iş birliği yaptığı

kuruluşlarla güvene, bilgi birikiminin paylaşılmasına ve bütünleşmeye dayalı,

karşılıklı yarar sağlayan ilişkiler kurmasına bağlıdır.


11


SONUÇLARA YÖNLENDİRME:

Sürekli başarının sağlanması, paydaşların tatminine ve menfaatlerin dengelenmesine bağlıdır.

Sonuçta tüm paydaşlar için katma değer yaratılarak, uzun dönemli başarılar elde edilmesi

hedeflenmektedir.Mükemmellik ilgili tüm paydaşların gereksinimlerinin

dengelenmesine ve karşılanmasına bağlıdır.


12


TOPLUMSAL SORUMLULUK:

Kuruluş ve çalışanlar topluma karşı, düzenleyici ve yasal gereklerinde ötesine geçecek örnek bir sorumluluk bilinci ve iyi bir ahlaki yaklaşım

sergilemelidir.Kuruluşun ve çalışanlarının uzun vadeli çıkarlarının

korunması etik bir yaklaşım benimsenmesine ve genelde toplumun beklentilerinin ve var olan

düzenlemelerin aşılmasına bağlıdır.


13

İSTATİSTİK:

Çeşitli karakterlere sahip problemlere uygun çözümler bulmak amacıyla geliştirilmiş yöntemler topluluğudur.

HER KONUDAKİ SAYISAL BİLGİYE DENİR.Yapılacak tahminler ve varılacak sonuçlardaki hata

olasılığını matematik olasılığa dayanarak ve tümevarım yolu ile değerlendirmekle, nicel veri ve bilginin

toplanması, sınıflandırılması ve değerlendirilmesinde en etkin yöntemlerin geliştirilme ve uygulanması sanatı

ve bilimidir.


14

İSTATİSTİK:

Tesadüfi etkenlerin etkisi altında bulunan olayların

gözlenmesi ve belirli kuram, araç, yöntem ve tekniklerin

yardımı ile bu olaylar hakkında sistematik biçimde

bilgilerin toplanması ve incelenmesi sonunda belirli

duyarlıkta tahmin ve yorumlar yapılmasını sağlayan

bilim dalıdır.


15

İSTATİSTİKSEL KONTROL:

Üretim işleminin normal koşullar altında kurulmasını ve yürütülmesini sağlamada çok önemli rol oynayan, bir aksaklık veya özel bir nedenle üretimin kontrol dışına çıkması halinde bu durumu hemen ortaya çıkartarak gerekli tedbirlerin zamanında alınmasını sağlayan metotların uygulanmasıdır.

İstatistiksel Kalite Kontrolü

16

Bir ürünün en ekonomik ve yararlı tarzda üretilmesini sağlamak amacıyla, istatistik prensip ve tekniklerinin üretimin tüm aşamalarında kullanılmasıdır.

Üretimin önceden belirlenmiş kalite spesifikasyonlarına uygunluğunu sağlayan, standartlara bağlılığı hedef alan, kusurlu ürün üretimini en aza indirmekte kullanılan bir araçtır.

İstatistiksel Kalite Kontrolü(İKK):

17

İKK, basit bir muayene ve kontrol işlemi olmayıp, amacı

sadece kusurluları yakalamak değil, aynı zamanda

kusurlu ürün üretimini engellemektir(taguchi felsefesi).

İstatistik, kalite kontrolde yaygın bir şekilde

kullanılmaktadır. Japon mucizesinin temelinde bu yatar.


18

Çağdaş kalite anlayışının ana ilkesi, bir ürün üzerinde olabilecek hatalara tepki göstermek yerine, problemleri oluşmadan engelleme yönünde önlemlerin belirlenmesidir. Üretim gerçekleştikten sonra üretilen ürünlerden kusurlu olanların kontrol sonucu ayıklanması işletmeye maliyet yüklemektedir. İdeal olan üretim aşamasında ve öncesinde çeşitli önlemler alarak hatalı ürün daha üretilmeden engellemektir.


19

SONUÇ OLARAK İKK;

Ürün kalitesi ile ilgili olarak karşımıza çıkacak bütün sorulara cevap veren ve istatistiki metotlar yardımı ile ürün kalitesini yüksek tutmaya hedef alan bütün ölçme ve kontrol işlemlerinin, sürekli bir “bilgi alma, değerlendirme, karar alma/verme, müdahale” programına göre, sistem içinde yürütülmesini sağlayan bir faaliyettir.


20

İKK TEKNİKLERİNİN YARARLARI:

Daha iyi planlama ve denetim nedeniyle daha etkili muayene,

Yüksek düzeyde daha düzgün kalite, Tamir ve hatalı ürünlerde azalmalar nedeniyle kayıpların minimize edilmesi, Daha iyi planlama ve denetim nedeniyle daha etkili muayene, İşçi ve makina saat başına artan üretim hızı, Tasarım toleranslarında iyileşme, Faaliyetler arasında eşgüdüm sağlanması nedeniyle daha ahenkli insan ilişkileri


21

İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLERİN KULLANIMINDA SORUNLAR:

Yanlış veya gerçeklerle bağdaşmayan veriler,

Yetersiz veri toplama yöntemleri,

Veri iletiminden doğan hatalar ve hatalı matematiksel işlemler,

Anormal değerlerin kullanılıp, kullanılmaması,

Uygun istatistiksel yöntemlerin belirlenmemesi,

Deneyimsiz kişilerin yaptıkları yanlış uygulamalar.

VERİ ANALİZİ

22

VERİ TOPLAMA:

Kalite sorunu ile ilgili olarak istatistiksel tekniklerin kullanılmadan önce verilerin doğru olarak toplanması gerekmektedir. Gerçek verilere dayanmayan fikirler ve kişisel görüşler kaliteli bir iç denetimin geliştirilmesinde bir başlangıç noktası olarak kullanılamazlar.

Bir karar aşaması öncesinde verilerin toplanması gerekmektedir.

VERİ ANALİZİ

23

VERİ TOPLAMA TEKNİKLERİ:

Grup Görüşmesi Telefon Görüşmesi Anket Uygulaması Alış-veriş Görüşmesi Form Doldurtmak Gözlem yapmak Örnekleme yapmak

VERİ ANALİZİ

24

VERİ TOPLAMA:

ÖLÇEREK

SAYARAK

SIRALAYARAK

OKUYARAK

VERİ ANALİZİ

25

VERİLERNİTEL

NİCEL

VERİ ANALİZİ

26

TEMEL İSTATİSTİK TEKNİKLERİ:

Çetele diyagramı (Frekans Dağılımı) Histogram (Sütun Grafiği) Pareto Analizi Sebep-Sonuç İlişkisi (Balık Kılçığı) Tabakalama (Gruplandırma) Serpilme (Dağılma) Diyagramı Kontrol Grafikleri

VERİ ANALİZİ

27

VERİLERİN TOPLANMASI

VERİLERİN SINIFLANDIRILMASI

GRAFİĞİN ÇİZİLMESİ

VERİ ANALİZİ

28

ÇETELE DİYAGRAMI (FREKANS DAĞILIMI)

Herhangi bir incelemeye tabi olan test verilerinin kaydedilmesidir.

1. Buna yapılacak ilk düzenleme verilerin sıraya dizilmesidir.

2.Yayılma bandının (ranj) tespit edilmesi.

3.Yayılma bandının aralıklara bölünmesi (sınıflı seri).

Ranj (Range): Maksimum değer ile minimum değer arasındaki fark.

4.Her aralıkta bulunan değer sayısının tespit edilmesi

(sıklık sayısı)

VERİ ANALİZİ

29


Örnek : 30 adet borunun et kalınlıkları mm olarak ölçülmüş sırasıyla aşağıdaki değerler bulunmuştur .

4,45 4,65 4,84 4,85 4,95 4,95 5,05 5,05 5,05 5,24 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,35 5,44 5,44 5,44 5,44 5,55 5,55 5,55 5,55 5,65 5,65 5,75 5,85 6,15 6,25

R= 6,25 - 4,45 = 1,8

C(sınıf aralığı): = = 0,18 ~ 0.20 1,8

10

R

k

VERİ ANALİZİ

30


SINIFLAR

ALT SINIR ÜST SINIR 4,454,654,855,055,255,454,655,856,056,25

6,644,845,045,245,444,645,846,046,246,44

SINIF ORTA NOKTASI

4,5454,7454,9455,1455,3455,5455,7455,9456,1456,345

ÇETELE

/////////

///////////

//////////30

FREKANS

1233

114311130

VERİ ANALİZİ

31

HİSTOGRAM:

Yatay eksende değişkenin aldığı değerlerin, düşey eksende sıklıkların bulunduğu, her aralığın sıklığı ile orantılı boydaki dikdörtgenlerle gösterildiği yoğunluk grafiğidir.

Histogramlar, genellikle bir olayın oluş sıklığını göstermek ve belirlenen zaman aralığında tanımlanan problemin daha sık meydana gelip gelmediğini hesaplamak ve ortaya çıkan dağılımın şeklini bilinen bir dağılım ile karşılaştırmak amacıyla kullanılmaktadır. Her histogram yalnızca tek bir özelliği ölçmektedir.

Çıkacak şekle bakılarak yapılacak yorumların gerçeği yansıtabilmesi için 50-100 arasında değişen veri ile çalışılmalıdır.

Histogramlar, dağılımın büyüklüğünü, simetri ve asimetri durumunu ve şeklini yansıtırlar. Bunları izlemek suretiyle mevcut ve muhtemel sorunların yapısıyla ilgili önemli ipuçları elde edebiliriz.

VERİ ANALİZİ

32

HİSTOGRAM:FR

EKA

NS

FREK

AN

S

ÖLÇÜLEN DEĞİŞKENÖLÇÜLEN DEĞİŞKEN

VERİ ANALİZİ

33

DEĞİŞKEN DEĞİŞKEN DEĞİŞKEN

SİMETRİK HİSTOGRAM SAĞA ASİMETRİK HİSTOGRAM

SOLA ASİMETRİK HİSTOGRAM

HİSTOGRAM:

Histogramlar; spesifikasyon ve sonuç arasındaki ilişkilerin araştırılmasında, normal olmayan verilerin belirlenmesinde, malzeme ve değişik verileri sınıflandırarak bir operasyonel-finansal sürecin içerisinde değişikliklere neden olan faktörlerin gözden geçirilmesinde kullanılmaktadır.

FREKANS

FREKANS

FREKANS

VERİ ANALİZİ

34

HİSTOGRAM-ÖRNEK:

MATEMATİK DERSİ SINAV SONUÇLARI

AA : 90-100 0

BA : 80-90 2

BB : 70- 80 2

CB : 60-70 10

F : 0- 60 6

20

15

10

5

050 60 70 80 90 100

VERİ ANALİZİ

35

PARETO ANALİZİ:

Bir sonuç elde edilmesinde çeşitli faktörler tarafından oynanan rollerin tespit edilmesi için kullanılan bir araçtır.

Özellikle finansal ve operasyonel süreç iyileştirmede ve geliştirmede önemli bir araç olan pareto analizi hata ve maliyet analizleri için kullanılan basit bir yöntemdir.

Yöneticilere kritik noktaları tespit edip, gerekli müdahaleleri yapmasına imkan veren bir yardımcı araçtır.

VERİ ANALİZİ

36

PARETO ANALİZİ:

Bir sorunu oluşturan nedenleri önem sırasına göre sıralayarak, önemlileri önemsizlerden ayırt etmeye ve dikkatleri önemli nedenler üzerinde toplamaya yaramaktadır.

Değişik sayıdaki önemli nedenleri daha az önemde olan nedenlerden ayırmak için kullanılan bir metottur.

VERİ ANALİZİ

37

PARETO ANALİZİ:

Problemlerin hangisinin öncelikle ele alınması gerektiğini göstermektedir. Bu analiz, iç denetçilerin “erken uyarı” mekanizması olarak değerlendirilebilir. icracı birimler tarafından çabaları en verimli alanlara yöneltmek ve doğru kararlar verebilmek için kullanılır.

Çeşitli olaylara ilişkin sonuçların %80’nin, %20’lik sebeplerden kaynaklandığını varsayımına dayanarak, etkiliği ve verimliliği etkilediği düşünülen tüm unsurların değerlendirilmesi amacıyla yapılır.

VERİ ANALİZİ

38

PARETO ANALİZİ(DİYAGRAMI):

SORUNA ETKİ EDEN FAKTÖRLERSORUNA ETKİ EDEN FAKTÖRLER

ÖN

EMÖ

NEM

DER

ECES

İD

EREC

ESİ

VERİ ANALİZİ

39

PARETO ANALİZİ-ÖRNEK-1:

GIDA SEKTÖRÜNDEKİ VERİMSİZLİĞİN NEDENLERİ NELERDİR?

Personelbilgisiz

KrediKartı

UygulamasıYok

Barcodsistemi

yok

Düzensiziş dağılımı

var

Tertipdüzen

uygunsuz

Hijyenkurallarınauyulmuyor

Oy sayısı: 10 8 6 4 2 1

VERİ ANALİZİ

40

PARETO ANALİZİ-ÖRNEK-2:

Bir metal malzemenin üzerine bir tür yapışkan sürülüp, bir kalıp içerisine yerleştiriliyor ve üzerine de plastik enjekte ediliyor. Bu süreç esnasındaki problemler ve önem derecesi aşağıdaki tablodadır.

HATA SEBEPLERİ

NO KUSUR KUSUR SAYISI % % KUMULATİF MALİYETİ

1 AZ YAPIŞMA 128 40,76 40,76 20

2 KÖTÜ PLASTİK 91 28,98 69,74 6

3 BOŞLUKLAR 36 11,46 81,2 3

4 KESİKLER 23 7,32 88,52 2

5 KİRLİLİKLER 15 4,78 93,3 2

6 KIRIKLAR 9 2,87 96,17 1,5

7 DİĞER 12 3,83 100 1,8

TOPLAM: 314 100

VERİ ANALİZİ

41

PARETO ANALİZİ-ÖRNEK-1 (Devamı):HATA SEBEPLERİ

NO KUSUR MALİYETİ KUSUR SAYISI % % KUMULATİF

1 AZ YAPIŞMA 128 40,76 40,76 20

2 KÖTÜ PLASTİK 91 28,98 69,74 6

3 BOŞLUKLAR 36 11,46 81,2 3

4 KESİKLER 23 7,32 88,52 2

5 KİRLİLİKLER 15 4,78 93,3 2

6 KIRIKLAR 9 2,87 96,17 1,5

7 DİĞER 12 3,83 100 1,8

TOPLAM: 314 100

KUSUR

YÜZDESİ

HATA TÜRLERİ

VERİ ANALİZİ

42

SEBEP-SONUÇ ANALİZİ:

Bir sorunun nedenlerini ortaya koymak maksadıyla, bireylerin beyin fırtınası yöntemini kullanarak mümkün olan tüm nedenleri düzenlemek ve bilgi toplamak amacıyla oluşturulmuş sebep-sonuç ilişkisidir.

VERİ ANALİZİ

43

SEBEP-SONUÇ ANALİZİ:

TESPİT EDİLEN PROBLEM

ANA ETKEN

BİRİNCİ DERECEDE

ETKEN

İKİNCİ DERECEDE

ETKEN

ÜÇÜNCÜ DERECEDE

ETKEN

İKİNCİ DERECEDE

ETKEN

BİRİNCİ DERECEDE

ETKEN

ANA ETKEN

ANA ETKENANA ETKEN

S E B E P L E R SONUÇ

VERİ ANALİZİ

44

SEBEP-SONUÇ ANALİZİ-ÖRNEK:

GIDA SEKTÖRÜ HİZMETLERİNDE AKSAKLIK VAR

Barcod sistemi yok

Malzemenin fiyatı bilinmiyor

Personel hijyen

kurallarına uymuyor

Personel bilgisiz

İnsan

Malzeme stok yapılmıyor

Malzeme

Metot Çevre

Düzensiz iş dağılımı var

Kredi kartı uygulaması yok

Tertipdüzen

uygunsuz

Ortam çekici değil

S E B E P L E R SONUÇ

VERİ ANALİZİ

45

SEBEP-SONUÇ ANALİZİNİN YARARLARI:

Sorunların üzerine giden aktif bir yönetim geliştirir. Herkesin dikkatinin bir noktaya toplanmasını sağlar. Herkesin bilgisini geliştirir. Konuya bilimsel biçimde yaklaşmayı sağlar. Konuya hakimiyeti sınar. Tüm sorunlara uygulanabilir. Sorun için bütün bilinenlerin ortaya konulmasını sağlar.

VERİ ANALİZİ

46

GRUPLANDIRMA:

Bir sorunu parçalara ayırıp, her parçayı tek tek inceleme sürecidir. Belli kategorilere ve özelliklere göre bilgilerin sınıflandırılması sürecidir. Bilgiler belli sınıflara ayrılarak, daha kolay karşılaştırılabilmekte ve değerlendirilebilmektedir. Sorunların kaynaklarının belirlenmesinde, olumlu değişkenlerin nedenlerini incelemekte yararlı bir araçtır.

VERİ ANALİZİ

47

GRUPLANDIRMA-ÖRNEK:

İmalattaki a, b, c, d hata tiplerinin hata türüne, vardiyaya ve güne göre gruplandırılmasından çıkan sonuç nedir?

HATA TÜRÜNE GÖRE GRUPLANDIRMA

HATA TÜRÜ

GÜNDÜZ VARDYS

GECE VARD.

TOPLAM %

ABCD

10

15

14

16

30

15

20

20

4030

34

36

28,6

21,4

24,3

25,7

TOPLAM 55 85 140 100

VERİ ANALİZİ

48



HATA TÜRÜ GÜNDÜZ VARD.

GECE VARD. TOPLAM %

PAZARTESİSALI

ÇARŞAMBAPERŞEMBE

CUMA

1310101111

1515201817

2825

302928

2017,921,420,720

TOPLAM 55 85 140 100

VERİ ANALİZİ

49



VARDİYA TÜRÜNE GÖRE GRUPLANDIRMA

VARDİYA TÜRÜ

HATA ADEDİ

HATA ORANI

KUMULATİF %

GECE

GÜNDÜZ

85

55

60,7

39,3

60,7

100

TOPLAM 140 100

VERİ ANALİZİ

50

SERPİLME DİYAGRAMI:

Üretilen ürünün kalitesini etkileyen herhangi iki özellik arasında ilişki olup olmadığını belirlemek üzere kullanılan bir yöntemdir.

KORELASYON

REGRESYON

ANALİZLERİ YARDIMI İLE BULUNUR.

VERİ ANALİZİ

51

KONTROL ŞEMALARI:

Ürünün gerçek kalite spesifikasyonlarını, geçmiş tecrübelere dayanarak belirlenen limitlere göre karşılaştırmaya yarayan grafiklerdir.

Kontrol şemaları bir sorunun varlığını gösterir, sorun hakkında ip uçları verir, ancak sorunun nedenini gösteremez.

VERİ ANALİZİ

52

KONTROL ŞEMALARININ KULLANIMI:

1. Kontrol edilecek özelliklerin belirlenmesini,

2. Arzulanan bir ortalama(hedef) değerin saptanmasını ve bu değerin altında ve üstündeki sapmaların ne ölçüde kabul edilebilir olduğunun kararlaştırılması,

3.Operasyonel-finansal sürecin bu sınırlar arasında yürütülmesini ekonomik açıdan gerçekleştirilebilir olduğunun görülmesini gerektirir.

İSTATİSTİKSEL ÖLÇÜ BİRİMLERİ

53

2. NİCEL VERİLERDE KONUM ÖLÇÜLERİ:

ORTALAMA

MEDYAN

MOD

3. ÖNEMLİ KESİKLİ DAĞILIMLAR:

HİPERGEOMETRİK DAĞILIM BİNOM DAĞILIM

POİSSON DAĞILIMI

PASCAL DAĞILIMI

İSTATİSTİKSEL DAĞILIM

54

3. ÖNEMLİ KESİKLİ DAĞILIMLAR (OLASILIK DAĞILIMLARI):

HİPERGEOMETRİK DAĞILIM- ÖRNEK

İçinde 10 sağlam ve 4 arızalı mal bulunan bir topluluktan 5 mal alınmıştır. Bunlardan üçünün sağlam çıkma olasılığı nedir?

N=14

A=10

n= 5

x= 3 P(X=3) = --------------------------10c3 . 14-10c5-3

14c5= 0,3596

P(X=x) = --------------------------Acx . N-Acn-x

Ncn


55


BİNOM DAĞILIMI- ÖRNEK

Bir fabrikada üretim yapan makinalardan birinin ürettiği ürünlerin 0,09’u kusurlu olarak üretilmiş bulunmaktadır. Bu ürünlerden 4 adedi rastgele seçilmiştir. Hiç özürlü ürün seçilmemiş olma olasılığı nedir?

P(k;n;p) = ---------n!

k!(n-k)!

p k.q n-k

P(0;4;0,09) =---------4!

0!(4-0)!

0,09 0 . 0,91 4-0 = 0,6857


56


POISSON DAĞILIMI- ÖRNEK

Bir fabrikada üretilen ürünler 0,001 olaslıkla bozuktur. Rastgele örnekleme ile 2000 adet alınmıştır. 4 adet ürünün bozuk olma olasılığı nedir?

= n. p = E(x)= V(X) =

P(x=k) = e --------- k

k!

= 2000. 0,001 = 2

P(x=4) = e -------- = 0,09- 2 2 4

4!


57


PASCAL(NEGATİF BİNOM) DAĞILIMI- ÖRNEK

Bir imalat hattında kusurlu parça oranı 0,6 olarak bilinmektedir. 5. Parça üretildiğinde 3. Kusurlu parçanın ortaya çıkma olasılığı nedir?

P(x)= X-1Ck-1 . p . qk x-k

X=5

K=3P(5)= 5-1C3-1 . 0,6 . 0,4

3 5-3= 0,2074


58

4. ÖNEMLİ SÜREKLİ DAĞILIMLAR:

NORMAL DAĞILIM

ÜSTEL DAĞILIM

GAMA DAĞILIMI

WEIBULL DAĞILIMI


59


ÜSTEL DAĞILIM

Elektronik cihazların ömür ve güvenirlik (reliability) hesaplamalarında çok kullanılan bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiğinin şekli aşağıdadır. Bu dağılımı tanımlayan en önemli özellik arıza oranıdır().

X

f(x)

0,2

0,16

0,12

0,08

0,04

0 0 20 40 60 80 100

= 5

= 10= 15


60


ÜSTEL DAĞILIM

ÜSTEL DAĞILIM OLASILIK FONKSİYONU:

f(x) = e- x

X > 0

ÜSTEL DAĞILIM ORTALAMASI:

ÜSTEL DAĞILIM VARYANSI:

= 2 1

2

: SİSTEMDEKİ ARIZA ORANI ( >0)

: SİSTEMDEKİ ARIZA ZAMANI ORTALAMASI

BİRİKİMLİ ÜSTEL DAĞILIM FONKSİYONU:

F(a) = P(x<a) = 1- e-a

a > 0

ZAMANA BAĞLI ALET GÜVENİRLİĞİ:

R(t) = e-t

= 1


61


ÜSTEL DAĞILIM-ÖRNEK-1

Hava radar sistemindeki bir elektronik eşya üstel dağılım ile ömür devri hesaplanmaya çalışılacaktır. Bu parçanın arıza oranı 10-4/saat olarak tespit edilmiştir. Beklenilen ömür devrinden önce arızalanma olasılığı nedir?

= 10-4 =0,0001

= = 10.000 saat1

10-4

F(a) = P(x<a) = 1- e-a

F(a) = P(x< ) = 1- e-1

1

= 1- e- 1 = 0,63212


62



Bir aygıtın yararlı ömrü 1000 saat olarak bilinmektedir. Sabit arıza oranı belirli koşullar altında =0,0001 olduğu takdirde bu 1000 saat içinde ilk 10 saatlik ve ilk 100 saat içinde alet güvenirliği ne olur?

63

R(t) = e-t

R(10) = e = 0,999

-(0,0001) (10)

R(100) = e = 0,99

-(0,0001) (100)

HERHANGİ BİR MALZEMENİN KULLANILMA SÜRESİ UZADIKÇA ARIZALANMASI OLASILIĞI ARTAR.


63



Seri üretim yapan bir fabrikadaki kusurlu mamullerin saat başına =1/4 parametreli bir poisson sürecine uygun olduğu belirlenmiştir. İç denetçinin saha çalışması için üretim sisteminin başına saat 10:00’ da geldiği varsayıldığında;

A. İlk kusurlu ürünün ortaya çıkmasının beklenen zamanını,

B.İlk kusurlu ürünün en erken sat 11:00’de üretilmesi olasılığını,C.İlk kusurlu ürünün en geç saat 14:00’de üretilmesi olasılığını bulunuz.

c. P(X=4) = 1-e =1-e = 1-e =1- 0.36788 = 0.63212

= 1

1

1/4

b. P(X1) = = e = e = 0.2212R(t) = e-t - 0.25t - 0.25(1)

a. E(X) = = = 4 saat

-t -0.25(4) -1


64


GAMA DAĞILIMI

X

f(x)

0,2

0,16

0,12

0,08

0,04

0 0 20 40 60 80 100

= 1; r=1= 1; r=2= 1; r=3


65


GAMA DAĞILIMI

f(x) =

r(r)(x) e

-xr-1 X > 0 ; r >O ; >O

GAMA DAĞILIMI OLASILIK FONKSİYONU:

GAMA DAĞILIMI ORTALAMASI:

= r

GAMA DAĞILIMI VARYANSI:

= 2 r

2

BİRİKİMLİ GAMA DAĞILIMI FONKSİYONU:

F(a) = 1- 000

(t)r-1 e - t dt F(a) =1- e

r-1

k=0 - a k! ( a)

k

r(r)

Olasılık Kuramı ve İstatistik bilim dallarında Weibull dağılımı (Waloodi Weibull anısına isimlendirilmiş) bir sürekli olasılık dağılımı olup olasılık yoğunluk fonksiyonu ise :

Burada x ≥ 0 ve x < 0 için f(x; k, λ) = 0. k > 0 şekil parametresi ve λ > 0 Ölçek parametresi olurlar.Weibull dağılımı için Yığmalı(Cumulative) olasılık Fonksiyonu bir gerlmiş üstel (stretched) fonksiyondur.

Yaşama, hayatta kalım ve yetmezlikle yıkım süreçlerini inceleyen verilerin analizi alanında Weibull dağılımı çok elastik olup kolayca değiştirilebildiği için çok kullanılmaktadır. Değişik parametre değerleri kullanılarak normal dağılım, üstel dağılım gibi çok popüler diğer istatistiksel dağılımların davranışların Weibull dağılımı kullanarak aynen taklid etme imkânı bulunmaktadır.

Eğer k = 3.4 ise, Weibull dağılımı Normal Dağılım’ına benzerlik gösterir. Eğer k = 1 ise o zaman Weibull dağılımı Üstel Dağılımı’na dönüşür.


66


WEIBULL DAĞILIMI

İSTATİSTİKSEL YAKINSAMA

67

5. YAKINSAMALAR:

POİSSON DAĞILIMININ BİNOMA YAKINSAMASI POİSSON DAĞILIMININ p PARAMETRESİNİN SIFIRA VEYA 1 YAKIN OLMASI DURMUNDA POİSSON DAĞILIMININ BİNOM DAĞILIMINA YAKINSAMASI UYGUN OLMAKTADIR. ÖRNEĞİN p < 0,05 VE n >20 İSE BU YAKLAŞIKLIK KALİTE KONTROL UYGULAMALARI AÇISINDAN TATMİNKAR SAYILMAKTADIR.

BİNOM POİSSON

n= 5, p= 0,2 n= 20 , p=0,05 =np=1 0,328

0,410

0,205

0,051

0,359

0,377

0,189

0,060

0,368

0,368

0,184

0,061

X

0

1

2

3

İSTATİSTİKSEL YAKINSAMAİSTATİSTİKSEL YAKINSAMA

5. YAKINSAMALAR:

POİSSON DAĞILIMININ NORMAL DAĞILIMA YAKINSAMASI N YETERİ KADAR BÜYÜK OLMASI DURUMUNDA BİNOM KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENİ X’İN DAĞILIMI, YAKLAŞIK OLARAK ORTALAMASI np, VARYANSI npq OLAN BİR NORMAL DAĞILIMA YAKLAŞIR. AYRICA p OLASILIK DEĞERİNİN 0.5’YE YAKLAŞTIĞI BÜTÜN DURUMLARDA DA, BİNOM DAĞILIMI YERİNE NORMAL DAĞILIM KULLANILABİLİR. n VE OLASILIK DEĞERİNE BAĞLI OLARAK BİNOM DAĞILIMININ NORMAL DAĞILIMA YAKLAŞMASI KOŞULLARI;

n 30 , np 5 ve p=0.50 BU DURUMDA;

E(X)= = np ve VARYANS = npq

z = = X - npq

X - np

68


69

5. YAKINSAMALAR:

ANCAK BİNOM DAĞILIMININ X RASSAL DEĞİŞKENİ KESİKLİ OLMASINA RAĞMEN, z STANDART NORMAL DEĞİŞKENİ SÜREKLİDİR. O HALDE X KESİKLİ DEĞİŞKENİ SÜREKLİ HALE GETİRİLMESİ GEREKİR. BU DA;

z = = X -

(X+0,5) - npnpq


70

5. YAKINSAMALAR:

BİNOM DAĞILIMININ NORMAL DAĞILIMA YAKINSAMASI-ÖRNEK-1

BÜYÜK BİR ŞİRKETTE ÇALIŞAN PERSONELİN % 40’ KADINDIR. ÇALIŞANLAR ARASINDAN RASSAL OLARAK 150 KİŞİ SEÇİLMİŞTİR. SEÇİLEN KİŞİLER İÇİNDE KADINLARIN SAYISININ 56 VE 70 ARASINDA BULUNMASI OLASILIĞI NEDİR?

n = 150 30p = 0,40 ~0,50np = 60 5

BU KOŞULLARDA BİNOM NORMAL DAĞILIMA YAKINLAŞACAĞINDAN;

z = X - np

=np=(150)(0,40)=60

= =npq

= = 636

150 (0,40) (0,60)

npq


71

5. YAKINSAMALAR:

BİNOM DAĞILIMININ NORMAL DAĞILIMA YAKINSAMASI-ÖRNEK DEVAM

Z1= = - 0,75(56-0,5) - 60

6 TABLODAN 0,2734

Z2= = 1,75(70+0,5) -60

6TABLODAN 0,4599

+

0,7333

SEÇİLEN KİŞİLER ARASINDA KADINLARIN SAYISININ 56 VE 70 ARASINDA OLMASI OLASILIĞI %73.33’TÜR.


72

5. YAKINSAMALAR:

P(x=k) = e --------- k

k!FORMÜLÜ YERİNE;

X -

=X -

z =

POİSSON DAĞILIMININ NORMAL DAĞILIMA YAKINSAMASI

POİSSON DAĞILIMINDA PARAMETRESİNİN, =np 10 EŞİTLİĞİNE UYGUN OLMASI DURUMUNDA POİSSON DAĞILIMI NORMAL DAĞILIMA YAKLAŞMAKTADIR. BU DURUMDA OLASILIKLARIN HESAPLANMASINDA;

= 2 = EŞİTLİĞİNDEN YARARLANARAK


73

5. YAKINSAMALAR:

POİSSON DAĞILIMININ NORMAL DAĞILIMA YAKINSAMASI-ÖRNEK

BİR HASTALIĞIN İYİLEŞTİRİLMESİ İÇİN GELİŞTİRİLEN YENİ BİR İLAÇ 20000 HASTA ÜZERİNE UYGULANMIŞTIR. BU İLACIN HASTALAR ÜZERİNDE YAN ETKİSİNİN OLMASI OLASILIĞI 0,002’DİR. BUNA GÖRE, İLACIN VERİLDİĞİ HASTALARDA YAN ETKİSİ GÖRÜLENLERİN SAYISININ 36 VE 60 ARASINDA OLMASI OLASILIĞI NEDİR?

n= 20000

p= 0,002= =np=20000(0,002)=40 5 OLDUĞUNDAN POİSSON DAĞILIMI NORMAL DAĞILIMA YAKLAŞIR

V(X)= = 40

z1 = = 36 - 4040

= = - 0,1 0,0398

X -

60 - 4040

= = 0,5z2= +

0,1915

0,2313

X -

X -

EĞİTİM

KPMG International bir İsviçre kuruluşudur. KPMG bağımsız şirketler ağının üye firmaları KPMG International’a bağlıdır. KPMG International müşterilere herhangi bir hizmet sunmamaktadır. Hiçbir üye firmanın KPMG International’ı veya bir başka üye firmayı üçüncü şahıslar ile karşı karşıya getirecek zorlayıcı yada bağlayıcı hiçbir yetkisi bulunmamaktadır. KPMG International’ında, aynı şekilde üye firmalar üzerinde zorlayıcı yada bağlayıcı hiçbir yetkisi yoktur. Akis Bağımsız Denetim ve Serbest Muhasebe Mali Müşavirlik A.Ş., KPMG International'ın üyesi bir Türk şirketidir.

Bu dökümanda yer alan bilgiler genel içeriklidir ve herhangi bir gerçek veya tüzel kişinin özel durumuna hitap etmemektedir. Sürekli doğru ve güncel bilgi sunumuna özen gösterilmesine karşın, bu bilgiler her zaman her durumda doğru olmayabilir. Hiç kimse, özel durumlarına uygun bir uzman görüşü almaksızın, bu dökümanda yer alan bilgilere dayanarak hareket etmemelidir.

Ek : İletişim Bilgileri

1456 Sokak No:10/1 Punta İş Merkezi Kat:11 Alsancak - İZMİR

Sezer Bozkuş, CIA, CFE, CFSA, SMMMKıdemli Müdürİç Denetim, Risk ve Mevzuat Uyum Hizmetleri

Tel. +90(232) 421 26 00 - 146Fax +90(232) 421 26 01Mobile 0530 519 95 18E-mail [email protected]

Documents

DENETİM / VERGİ / DANIŞMANLIK