Embed Size (px)
Citation preview
1
Đletişim Sistemleri Lab. Notları (Arş.Gör.Koray GÜRKAN [email protected])
Deney-1
“Analog Filtreler ” Đletişim sistemlerinde, örneğin FM bandında 100 MHz’de yayın yapacak olan bir radyo vericisinde modülasyon sonrası ortaya çıkan temel frekansın tek ya da çift katları olan harmoniklerdeki (200, 200, 250, 300 MHz... gibi) işaretlerin hem yasal şekilde frekans bandının kullanımı hem de güç verimlili ği açısından vericiden yayınlanmaması ve dinleyiciye ulaşmaması gerekir. Burada 100 MHz merkez frekansında belirli bir bant genişliğine sahip pasif, bant geçiren (Band Pass) bir filtre gereklidir. Başka bir örnek olarak, evlerinizde kullandığınız “ADSL Splitter” elemanı aslında bir filtredir. Hat üzerinde taşınan ses (< 10kHz) ve veri işaretleri alçak geçiren (Low Pass) ve yüksek geçiren (High Pass) pasif filtre elemanlarıyla telefona ve ADSL modeme iletilecek olan işaretler şeklinde birbirlerinden ayrılır. Şebeke hattındaki 50 Hz frekansındaki yüksek gerilim herhangi bir ölçüm sonucu aldığınız veri işaretinizi kirletmiş olabilir. Burada size, sadece 50 Hz’lik işareti zayıflatan diğer frekanslardaki işaretlerin genliğine dokunmayan bir filtre gereklidir. Bu filtre de bant söndüren (Band Reject) ya da çentik (notch) filtre olarak adlandırılır.
Herhangi bir filtre tasarlayacağınızda hangi filtre yapısını kullanacağınızı (BP, LP, HP, pasif, aktif, SCF (Switched Capacitor Filter), SAW (Surface Acoustic Wave) ve filtreyi nasıl kontrol edeceğinizi kendinize şu soruları sorarak belirleyebilirsiniz;
- Filtrede hangi frekansları hangi oranda zayıflatmak ya da zayıflatmadan geçirmek istiyorsunuz? (Filtre türü, filtre derecesi, transfer fonksiyonu)
- Geçici halde filtre çıkışındaki işarette herhangi bir osilasyon var mı? (Sönüm (damping), aşım (overshoot), birim basamak cevabı)
- Filtre diğer frekanslardaki işaretlerin fazlarını kaç derece kaydırıyor? (Faz Cevabı) - Filtre hangi frekans bölgesinde çalışacak (LF, HF, RF) ? - Filtre hangi gerilimlerde çalışacak? - Filtre için merkez frekansın değişimi gibi bir ayar gerekli mi ? - Filtre aynı zamanda gerilim kazancı sağlasın mı? - Frekans ayarının sayısal olarak yapılması gerekli mi (Switch Capacitor Filter) ? - Bu filtreyle aynı işi gören seramik ya da diğer malzeme yapısında bir hazır filtre var mı? (SAW
Filtre)
Transfer Fonksiyonu Yandaki devrenin transfer fonksiyonu Vo(s)/Vi(s) olarak tanımlanır ve H(s) olarak gösterilir;
Şekil 1
2
RCs
RCsRC
sCR
sCsVi
sVosH
1
1
1
11
1
)(
)()(
+=
+=
+== (1)
Burada ‘s’ Laplace düzlemindeki karmaşık düzlemdir. Devrenin zaman sabiti τ=RC, transfer fonksiyonun kutbunun yerini belirler. Vi gerilimi olarak dürtü fonksiyonu devre girişine uygulanırsa devre çıkışında transfer fonskiyonu H(s)’in ters Laplace dönüşümü olan işaret görülecektir. Dolayısıyla transfer fonskiyonun ters Laplace dönüşümü devrenin dürtü cevabıdır. (Impulse Response). Genlik Cevabı
Devrenin genlik ve faz cevabını bulabilmek için H(s) ifadesinde s yerine s=jw yazılırsa;
jwRCRC
jw
RCjwVi
jwVojwH
+=
+==
1
11
1
)(
)()( (2)
olur. Burada H(jw) hala karmaşık sayılı bir ifadedir. Genlik cevabı H(jw)’nın mutlak değeri
(absolute value, ABS) alınarak bulunur. Genlik cevabı |H(jw)|’dır.
2)(1
1
1
1
)(
)(|)(|
wRCjwRCjwVi
jwVojwH
+=
+== (3)
Buradan devrenin genlik cevabını kabaca kestirebiliriz. R ve C sabitler, açısal frekans w=2πf
değişken olduğuna göre f frekansındaki bir işaretin devreden ne kadar oranda zayıflayarak çıkacağını bulabiliriz.
f=0 için (1V, 9V gibi DC işaretler) w=0 olur, |H(jw)|=1 ‘dir. (Devre DC işaretleri aynen geçirir.)
fsonsuz için (çok yüksek frekanslı işaretler) w=sonsuz olur, |H(jw)|=0 ‘dır. (Devre yüksek frekanslı işaretleri zayıflatır.)
Dolayısıyla bu devre alçak geçiren (alçak frekanslı işaretleri geçiren) bir filtredir.
Dikkat: Devre sadece pasif R ve C elemanlarından oluştuğundan kazanç ya da genlik cevabı 1’den büyük olamaz!) Genlik cevabı doğrusal olarak bulunabileceği gibi dB cinsinden de hesaplanabilir. Genlik cevabının dB cinsinden değeri de GdB(jw) ile gösterilir.
3
( )
+==
2)(1
1log.20|)(|log.20)(
wRCjwHjwGdB (4)
(4) eşitli ğinde
f=0 için w=0 olur, |H(jw)|=1 GdB(jw)= 0 dB ‘dir. Frekans arttıkça |H(jw)| 1’den 0’ a yaklaşır. GdB(jw) da 0 ‘dan negatif değerlere doğru -20 dB/dekadlık eğimle gider. (Dekad f10f100f şeklinde 10 kat artış) Soru: Filtrenin genlik cevabı herhangi bir frekansta -40dB ise bu frekansta |Vi|=10V olan devreye giren işaret genliği devre çıkışında kaç olur? Cevap: GdB(jw)=20.log(|H(jw)|) = -40 dB log(|H(jw)|) = -2 |(H(jw)|=10-2 = 0.01 Yani bu frekans için devrenin kazancı 0.01’dir. Devre girişindeki işaret 1/100 oranında zayıflar. |Vo|=(10V).(0.01)=0.1 V olur. Bu şekilde bu frekanstaki işaret devre tarafından zayıflatılmıştır. Genlik cevabının -3 dB olduğu frekans devrenin kesim frekansıdır. Burada devre alçak geçiren filtre olduğundan devrenin alt kesim frekansı yoktur. Filtrenin genlik cevabı -3 dB ise bu |H(jw)|=1/karekök(2)= 0.707 olması demektir. Devrenin genlik cevabını bu değere eşitlersek;
2
1
)(1
1|)(|
2=
+=
wRCjwH (5)
Denklemin çözümü wRC=1 olmasını gerektirir. Dolayısıyla üst kesim frekansı
RCfdaya
RCw dBdB π
== −− 2
1133 (6)
Eşitli ğiyle bulunabilir. R ve C değerleri arttıkça üst kesim frekansı azalır. Bu değerler ile devrenin kesim frekansı ya da geçirme bandı ayarlanabilir. Deneysel olarak bir alçak geçiren filtrenin kesim frekansını bulmak istenirse fonksiyon üretecinden filtre girişine genliği A olan 0.1 Hz civarında düşük frekanslı sinusoidal işaret uygularız (Sinusoidal işaret seçmemizin nedeni (eğer ideale yakınsa) tek frekanslı işaretten oluşmasıdır. Kare ve üçgen dalga temel ve harmonik frekanslı işaretler içerdiğinden tek bir frekanslı işaretten oluşmazlar). Fonksiyon üretecinden uyguladığımız işaretin frekansını arttırdıkça filtre çıkışındaki işaretin genliği azalmaya başlayacaktır. Đşaret genliğinin 0.707*A ‘ya eşit olduğu frekans devrenin kesim frekansı olacaktır.
4
Faz Cevabı Şekil-1’deki devrenin faz cevabı, (2) ifadesinde verilen H(jw)’nın fazıdır. Pay ve paydaki kompleks sayıların fazları hesaplanarak birbirinden çıkartılır.
)arctan()arctan(0)1
arctan()1
0arctan()()( wRCwRC
wRCjwjwH o −=−=−=φ=∠ (7)
Sonuç Derece, Radyan ya da Grad cinsinden bulunabilir. Çıkan sonuç bir açı olacaktır. Düşük frekanslı işaretler
f0 için wRC0 ve arctan(wRC)0 olur. (Faz kayması yok)
Kesim frekansındaki işaret f = f-3dB =1/2πRC için wRC=1 ve -arctan(1)=-π/4 radyan ya da -45 o olur. Yüksek frekanslı işaretler f sonsuz için wRC sonsuz -arctan(sonsuz)=-π/2 ya da -90o olur. Birim Basamak ve Dürtü Cevabı Şekil-1’deki devrenin girişine dürtü fonksiyonu δ(t) uygulandığında devre çıkışındaki işaret, devrenin transfer fonksiyonunun ters Laplace dönüşümü ile bulunabilir. Dürtü fonksiyonu;
∆>
∆<<∆=δ
t
tt
,0
0,1
)(
ile tanımlanır. Pratik olarak çok kısa bir süre için t=0 anında ani bir gerilim yükselmesini ve tekrar aniden düşmesini temsil eder. Birim basamak fonksiyonu (step) u(t) ise ;
><
=0,1
0,0)(
t
ttu
Şeklinde tanımlanır. Bu işaret ise t=0 anında gerilimin 1V’a çıkması ve o şekilde kalması
şeklinde yorumlanabilir. Görüldüğü gibi dürtü işareti 0’dan sonsuza kadar toplanırsa u(t) işareti elde edilir. Matematiksel olarak ifade edersek;
5
∫∞
δ=0
)()( dtttu (8)
Laplace dönüşümünün özelliğinden faydalanarak devrenin dürtü ve birim basamak fonksiyonlarına cevaplarının Laplace dönüşümleri
s
sHdtthtu
sHtht
LCevap
LCevap
)()()(
)()()(
0
→ →
→ →δ
∫∞ (9)
şeklinde bulunabilir. Dolayısyla Şekil-1’deki devrenin dürtü cevabı, transfer fonksiyonun ters Laplace dönüşümü ile elde edilir.
RC
t
eRC
RCs
RCLsHLth−−− =
+== 1
1
1
)()( 11 (10)
Birim basamak cevabının Laplace dönüşümü, transfer fonksiyonunun s’e bölünmesiyle bulunur.
RCsss
RCs
RCs
sHsS
1111
.1
1)(
)(+
−=+
== (11)
Oluşan ifadenin ters Laplace dönüşümü devrenin birim basamak cevabını verecektir.
RC
t
etu
RCss
LsSLts−−− −=
+−== )(
111
)()( 11 (12)
Görüldüğü gibi Şekil-1’deki gibi 1.dereceden bir filtrenin zaman sabiti arttıkça dürtü ve birim basamak cevabı yavaşlamaktadır. Dolayısıyla üst kesim frekansı yüksek filtrelerin dürtü ve basamak cevabı, düşük olan filtrelere göre daha hızlıdır. R=1 kΩ ve C=1µF değerleri için
6
Devrenin transfer fonksiyonu ve dürtü cevabı;
1000
1000)(
+=
ssH tesHLth 10001 1000)()( −− == (13)
Devrenin birim basamak fonksiyonuna cevabı t>0 için;
tess
LsSLts 100011 11000
11)()( −−− −=
+−==
(14)
şeklinde bulunur.
Şekil 2
H(s) fonksiyonunun kutbu s=-1000’dedir ve sanal kısmı sıfırdır. Kutupları negatif ve sadece reel olduğundan dürtü fonksiyonuna cevapları azalan fonksiyonlardır. Bu nedenle devre kararlıdır ve kutuplarının sanal kısmı sıfır olduğundan devre çıkışında osilasyonlar gözlenmez. Şekil-1’deki gibi 1.derece filtre yapısındaki devre için birim basamak cevabında osilasyonlar gözlenebilir mi? Bu sorunun cevabı için bazı Laplace dönüşümlerini hatırlayalım;
22
22
cos
sin
ws
swt
ws
wwt
L
L
+→
+→
(15)
7
Bu fonksiyonların Laplace düzlemindeki kutupları bulunursa
jws
jws
wjwwsws
−=+=
=−=−==+
2
1
2222 ||..10
(16)
Dolayısıyla sinusoidal bir işaretin açısal frekansı w ise Laplace düzleminde –jw ve +jw olmak üzere sanal kökleri bulunur. Osilasyonlar sinusoidal (sin, cos) işaretlerden oluştuğuna göre dürtü cevabında osilasyonların gözlenebilmesi için transfer fonksiyonunun sanal kutuplarının olması gerekir. Gerçekten de bir sinus osilatör yapmak isterseniz transfer fonskiyonunuzu tamamen sanal kutuplardan oluşması gerekir. Eğer reel kutbunuz olursa bu kutbun yerine gore osilasyonlar ya söner ya da artarak devrenin çıkışını doyuma götürür. Örneğin transfer fonksiyonunuzun kutupları aşağıdaki gibi olsun. Devrenin dürtü cevabını kabaca tahmin edelim:
Şekil 3
Kutuplar s1=-2-3j ve s2=-2+3j (Kompleks kutup varsa mutlaka konjugesi de olur!!) Kutupların reel kısmı -2’dir. Bu da sönümlü bir yapı demektir. e-2t gibi... Kutupların sanal kısmı vardır ve 3’tür. Bu da w=3 frekansında salınım yapan bir işarete dönüşür. Sin(3t) gibi. Dolayısıyla dürtü cevabı, w=3 açısal frekanslı ve e-2t zarfında sönümlenen bir sinusoidal bir işaret olmalıdır. Şimdi transfer fonksiyonunu bularak ters Laplace dönüşümünden dürtü cevabını elde edelim.
9)2(
1
32
1.
32
1)(
2 ++=
−+++=
sjsjssH (17)
Laplace dönüşüm tablosundan
8
teth t 3sin.3
1)( 2−= (18)
şeklinde bulunur. Dürtü cevabı w=3 frekansında salınım yaparak sönen bir işarettir.
Dolayısıyla bir devrenin dürtü cevabında osilasyonlar görülebilmesi için devrenin transfer fonksiyonun sanal kutupları bulunmalı, her sanal kutbun bir konjugesi de olacağından transfer fonksiyonu en az 2.dereceden olmalıdır. Şekil-1’deki devrenin transfer fonksiyonu 1.derecedendir ve bu nedenle dürtü ve birim basamak cevabı hiçbir zaman sinusoidal bir işaret içeremez. R ve C her zaman pozitif olduğundan kutupları reel ve negatiftir. Dolayısıyla dürtü cevabı e-at şeklinde sıfıra yaklaşırken, basamak cevabı da 1-e-at şeklinde 1’e yaklaşır. Şimdi başka bir filtre devresini inceleyelim.
Şekil 4
Devrenin transfer fonksiyonu
22222 2
2.
Q
Q1
)(oo
o
oo
o
wsws
ws
wsw
s
ws
LCRC
ss
RC
s
sH+ξ+
ξ=
++=
++= (19)
şeklindedir. Electronics Workbench programında R=1kΩ, C=1nF ve L=1mH için çizdirilen Bode eğrisi aşağıda görülmektedir. Devre bant geçiren bir filtredir.
Şekil 5
9
Devrenin transfer fonksiyonunun kutupları;
2
2
2,1 1o
o wjws
α−±α−= (20)
şeklindedir. Burada
(21)
olup kutbun reel kısmını belirler. R ve C her zaman pozitif olduğundan kutbun reel kısmı negatiftir. Dolayısıyla dürtü cevabı sönümlüdür. wo ise rad/sn cinsinden band geçiren filtrenin merkez frekansıdır.
(22)
Kutupların sanal kısmını ξ=α/wo oranı belirler. Dolayısıyla dürtü cevabında osilasyonların olup olmaması bu orana bağlıdır. ξ <1 ya da α2<wo
2 durumunda kutbun sanal kısmı da olur. Dürtü cevabı sönen bir sinusoidal işarettir. ξ =1 ya da α2=wo
2 durumunda kutbun sanal kısmı sıfırdır. Dürtü cevabı sönümlü bir e-at işaretidir. ξ >1 ya da α2>wo
2 durumunda kutbun sanal kısım sıfırdır. Dürtü cevabı e-at’den daha hızlı sönen bir işarettir. Bu filtrenin bant genişliği ve kalite faktörü aşağıdaki eşitlikle hesaplanır.
RCff
f
RCf o
o π=∆
=π
=∆ 2Q2
1 (23)
Kalite faktörü band geçiren bir filtre için geçirme kalitesinin ölçüsüdür. Sadece fo frekansındaki işareti geçirmek istiyorsanız filtrenin kalite faktörünü artırmalısınız. Yani bant genişliğini azaltmak zorundasınız. Bu da, L ve C elemanları fo merkez frekansını belirlediğinden, sadece R’yi artırarak mümkündür. Ancak RC çarpanı aynı zamanda transfer fonksiyonun kutuplarının yerini de belirlediğinden dürtü ve birim basamak cevaplarının süresi de buna bağlı olarak uzayacaktır. Yani frekans alanında dar bir filtre yaptım diye düşünürken aslında zaman alanında kötüleştiniz ve basamak cevabı daha uzun süren bir filtre yapmış oldunuz.
RC2
1=α
LCwo
1=
10
R=1kΩ, C=1nF, L=1mH için;
=π
=LC
fo2
1159154 Hz Hz
RCf 159154
2
1 =π
=∆ Q=1
snradRC
/10.52
1 5==α snradLC
wo /101 6== ξ = 0.5
552
2
2,1 10.66,810.51 jw
jwso
o ±−=α−±α−=
MATLAB yardımıyla bulunan birim dürtü cevabı şekilde verilmiştir.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x 10-5
-4
-2
0
2
4
6
8
10x 10
5Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
Şekil 6
Şimdi R’yi artırarak etkisini gözleyelim. Bu şekilde bant genişliği daralacak ve kalite faktörü artacaktır. Fakat dürtü cevabı acaba nasıl değişecek? R=100 kΩ, C=1nF, L=1mH için;
=π
=LC
fo2
1159154 Hz Hz
RCf 54.1591
2
1 =π
=∆ Q=100
snradRC
/10.52
1 3==α snradLC
wo /101 6== ξ = 0.005
11
532
2
2,1 10.99,910.51 jw
jwso
o ±−=α−±α−=
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x 10-3
-1
-0.5
0
0.5
1x 10
4Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
Şekil 7
Görüldüğü gibi daha önce Q=1 durumu için dürtü cevabı 10 µs sonunda sıfır olmuştu. Bant genişliğini azalttığımızda Q=100 yaparak (oldukça seçici bir filtre) frekans alanında oldukça dar bir filtre yapıyoruz ancak dürtü cevabımız neredeyse 1 ms kadar süren osilasyonlar içeriyor. Bu şekilde bir filtre pratikte filtreye DC gerilim uygulanması sonucu oluşacak geçici hallerin uzamasına yol açar. Bu nedenle dar bantlı filtreler uzun süren geçici hale sahiptir diyebiliriz. Aktif Filtreler Şekil-1’deki 1.derece alçak geçiren filtrenin Bode eğiminin -20dB/dekad olduğunu söylemiştik. Filtrenin derecesinin yükselmesi durumunda bu eğim artar. Filtre dereceleri yükselitilerek ideal filtrenin genlik cevabına yaklaşılabilir. Şekil-1’deki devreye R direnci yerine bobin elemanı bağlanırsa devre 2.dereceden alçak geçiren bir filtre olur. Pratikte bobinler gerçeklemesi zor, yer kaplayan ve mekanik gürültüden etkilenen elemanlardır. Bu nedenle 2.derece bir filtre aktif bir eleman olan işlemsel kuvvetlendirici, direnç ve kondansatör kullanılarak gerçekleştirilebilir. Bu tür filtreler aktif filtrelerdir. Aktif filtreler için çeşitli devre topolojileri mevcuttur.
- Sallen-Key - MFB (Multiple Feed Back) - State Variable
12
bunların başlıcalarıdır.
Şekil 10 - 2.derece „State Variable“ filtre
Aktif filtreler ile seçilen filtre türüne göre (Butterworth, Chebyshev, Bessel, Eliptik) direnç ve kondansatör değerleri hesaplanarak istenilen frekans cevabı elde edilir. Bu hesaplamaların yapılmasını kolaylaşıtıran aktif filtre tasarım programları mevcuttur.
Şekil 8 - 2.derece Alçak Geçiren (sol) ve Yüksek Geçiren Sallen-Key filtreler
Şekil 9 - 2.derece Alçak Geçiren (sol) ve Yüksek Geçiren MFB filtreler
13
Şekil 11 Texas Instruments firmasının aktif filtre tasarım programı: FilterPro
SORULAR
1) Alt kesim frekansı 10 kHz olan 1.derece yüksek geçiren filteyi bobin kullanarak gerçekleyiniz. Bu devrenin Bode eğrilerini (Faz, genlik), transfer fonksiyonun kutuplarını, dürtü ve birim basamak cevabını MATLAB ile çizdiriniz.
2) Şekil-4’teki devre için L=1mH, C=1nF durumları için ξ=1 olabilmesi için gereken R=Rx
değerini hesaplayınız. R=(0.01)Rx, R=Rx, R=100.Rx için devrenin dürtü cevaplarını çizdirerek yorumlayınız.
3) Filter Pro programını
http://focus.ti.com/docs/toolsw/folders/print/filterpro.html?DCMP=hpa_tools&HQS=Tools+PR+filterpro-pr adresinden indiriniz (Kayıt olmanız gerekebilir). Bu programı kullanarak Sallen-Key yapısında, Butterworth ve Bessel türünde üst kesim frekansı 1 kHz olan 4. derece alçak geçiren aktif filtre tasarlayiniz (Direnç ve kondansatörler için E12 serisini kullanınız). Tasarladığınız filtrelerin Bode eğrilerini (genlik ve faz) Electronics Workbench programında çizdirerek kıyaslayınız. Filtrelerin birim basamak cevaplarının aynı programda simulasyonunu yapınız. 4) SCF ve SAW filtreler ne işe yarar? Araştırınız. Üretici firmalardan örnekler veriniz.
