deoma-cmd.ru...1 Игорю Федоровичу Шарыгину, известному любителю геометрии посвящаю Углублённая геометрия

1

Игорю Федоровичу Шарыгину,известному любителю геометрии

посвящаю

Углублённая геометрия (планиметрия)

2. Конфигурации с окружностью или кривой

Интерактивный тематический комплект создан для тех, кто заинтересовался чистой и светлойнаукой геометрией, кому не хватает школьного материала, кто готовится к олимпиадам ивступительным экзаменам в МГУ, МФТИ, СПбГУ или вузы близкого уровня. Учитель можетиспользовать комплект на уроках в школе, в кабинете с интерактивной доской либо с мультимедиапроектором, в компьютерном классе. Ученик с его помощью может самостоятельно изучить тему,подготовиться к олимпиадам, экзаменам в вуз, конкурсам.

В этом разделе рассмотрены окружности и кривые и их свойства, а также конфигурации,содержащие кривые. Решения даны в текстовой форме и в виде интерактивных GInMA файлов спошаговым решением задачи, интерактивной графикой. Особенность комплекта состоит в том, чтощелкнув по рисунку из текста, Вы попадаете в живой чертеж. Изучайте геометрию наглядно,образно, в движении, понимая суть происходящего, а не просто заучивая формулы и теоремы.

Чтобы рисунки из комплекта ожили, установите на Вашем компьютере программу GInMA cсайта http://deoma−cmd.ru/Products/Geometry/GInMA.aspx

Бесплатная базовая версия комплекта позволяет ознакомиться с большинством файлов.

Чтобы научиться управлять рисунком, пользуйтесь Руководством для пользователя комплектаСмотрите видео Как преобразовать рисунки из текста в интерактивные рисунки Видео некоторых решений смотрите на Youtube, канал пользователя Vladimir Shelomovskii Посмотрите пример методики применения комплекта Построение сечения в G I nMA

Оглавление1 Окружность и прямые............................................................................................................................14

1.1 Определения и основы.....................................................................................................................141.1.1 Центральный угол...................................................................................................................141.1.2 Вписанный угол.......................................................................................................................151.1.3 Угол с вершиной внутри круга...............................................................................................151.1.4 Угол с вершиной вне круга.....................................................................................................161.1.5 Угол с между касательной и хордой......................................................................................161.1.6 Угол, опирающийся на диаметр.............................................................................................171.1.7 Диаметр, проходящий через середину хорды.......................................................................17

1.1.7.a Теорема о диаметре и хорде............................................................................................171.1.8 Теорема о диаметре и хорде...................................................................................................181.1.9 Касательные.............................................................................................................................181.1.10 Касательная и секущая..........................................................................................................191.1.11 Пересекающиеся хорды........................................................................................................191.1.12 Построение хорды.................................................................................................................19

1.2 Доказательства.................................................................................................................................201.2.1 Расстояния до касательной.....................................................................................................20

© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2015.© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2015. http://www.deoma –cmd.ru/

http://www.deoma/

http://www.youtube.com/watch?v=z9IDctiHR-M



https://www.youtube.com/user/vvsss51/videos

https://www.youtube.com/user/vvsss51/videos

http://www.youtube.com/watch?v=VrgWxzStUNE

http://www.deoma-cmd.ru/files/documents/GInMA/GInMA,%20%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B5%20%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8F.pdf

http://deoma-cmd.ru/Products/Geometry/GInMA.aspx

http://www.deoma-cmd.ru/

2

1.2.2 Отрезки прямой, соединяющей основания высот................................................................201.2.3 Пропорции для касательных..................................................................................................211.2.4 Окружность через центр окружности................................................................................21

2 Окружность и треугольник....................................................................................................................222.1 Принятые обозначения...................................................................................................................222.2 Основные соотношения..................................................................................................................22

2.2.1 Теорема синусов для треугольника........................................................................................222.2.2 Формулы проекций для треугольника...................................................................................222.2.3 Теорема косинусов для треугольника....................................................................................222.2.4 Площадь треугольника............................................................................................................222.2.5 Теорема Карно.........................................................................................................................222.2.6 Соотношения в треугольнике.................................................................................................232.2.7 Высоты и ортоцентр................................................................................................................232.2.8 Двойственность........................................................................................................................242.2.9 Медианы и центроид M (G)....................................................................................................25

2.2.9.a Медианы и окружность..................................................................................................262.2.10 Симедианы.............................................................................................................................272.2.11 Описанная вокруг треугольника окружность.....................................................................272.2.12 Биссектрисы и вписанная окружность..............................................................................28

2.2.12.a Окружность, концентричная вписанной (1998/99 – 3 – 11)......................................292.2.12.b Окружность (2010/11 – 5 – 11)......................................................................................30

2.2.13 Вневписанные окружности...................................................................................................312.2.14 Прямоугольный треугольник................................................................................................322.2.15Тангенциальный треугольник (2010/11– 3 – 11)...................................................................332.2.16 Треугольник с углом 60 ......................................................................................................34

2.2.16.a Положение центров........................................................................................................342.2.16.b Положение центров.......................................................................................................342.2.16.c Сумма отрезков...............................................................................................................342.2.16.d Биссектрисы...................................................................................................................342.2.16.e Описанные окружности.................................................................................................352.2.16.f Срединные перпендикуляры.........................................................................................352.2.16.g Точка Ферма–Торричелли.............................................................................................352.2.16.h Окружности пересекаются под углом 60 ..................................................................36

2.2.17 Треугольник с углом 120 ....................................................................................................372.2.17.a Углы между биссектрисами..........................................................................................372.2.17.b Симметрия......................................................................................................................372.2.17.c Производный треугольник............................................................................................37

2.2.18 Биссектрисы и угол...............................................................................................................382.2.19 Пара вписанных окружностей..............................................................................................392.2.20 Важное свойство биссектрисы.............................................................................................392.2.21 Дуализм биссектрис и высот вписанного треугольника....................................................40

2.2.21.a Дуализм высот и биссектрис вписанного треугольника............................................402.2.21.b Углы и биссектрисы.......................................................................................................40

2.2.22 Касательная к описанной окружности в вершине треугольника......................................41


http://www.deoma/


3

2.2.23 Теорема Паскаля для треугольника. Прямая Паскаля........................................................412.2.24 Окружность, содержащая центр вписанной окружности..................................................42

2.2.24.a Окружность, содержащая центр вписанной окружности..........................................422.2.25 Пересекающиеся окружности в треугольнике....................................................................422.2.26 Срединный перпендикуляр...................................................................................................43

3 Окружность и четырёхугольник...........................................................................................................443.1 Вписанный четырёхугольник..........................................................................................................44

3.1.1 Определение.............................................................................................................................443.1.1.a Сумма углов......................................................................................................................443.1.1.b Критерий...........................................................................................................................443.1.1.c Признак.............................................................................................................................443.1.1.d Признак.............................................................................................................................44

3.1.2 Центры дуг вписанного четырёхугольника..........................................................................453.1.3 Точки пересечения биссектрис...............................................................................................45

3.1.3.a Точки пересечения биссектрис внешних углов.............................................................453.1.4 Прямоугольник и медианы (2010/11 - 3 - 11).........................................................................463.1.5 Вписанный четырёхугольник (2009/10 – 3 – 11)...................................................................473.1.6 Симметрии вписанного четырёхугольника (2008/09 – 3 – 11)............................................48

3.2 Описанный четырёхугольник.........................................................................................................493.2.1 Определение.............................................................................................................................49

3.2.1.a Критерий...........................................................................................................................493.2.1.b Критерий...........................................................................................................................49

3.2.2 Невыпуклый четырехугольник, ассоциированный с описанным четырехугольником... .503.2.3 Общие секущие пары окружностей.......................................................................................503.2.4 Теорема Ньютона.....................................................................................................................513.2.5 Сумма углов.............................................................................................................................513.2.6 Расстояния между основаниями перпендикуляров..............................................................52

3.2.6.a Из основания высоты на стороны в треугольнике........................................................523.2.6.b Связь с описанной окружностью...................................................................................523.2.6.c Из основания высоты на стороны в четырёхугольнике................................................523.2.6.d Связь с описанной окружностью...................................................................................52

3.2.7 Полезные свойства..................................................................................................................523.2.8 Перпендикулярность диагоналей...........................................................................................533.2.9 Отношение расстояний...........................................................................................................533.2.10 Вписанно−описанный четырёхугольник..............................................................................543.2.11 Вписанно−описанная трапеция (МГУ, 2013)......................................................................553.2.12 Вписанный четырёхугольник и касательные......................................................................55

3.2.12.a 2011-2012 - 11.................................................................................................................554 Окружность и многоугольник...............................................................................................................56

4.1 Правильный пятиугольник..............................................................................................................564.1.1 Золотое отношение................................................................................................................564.1.2 Перпендикулярные диаметры................................................................................................564.1.3 Полуправильный шестиугольник............................................................................................56

5 Несколько окружностей.........................................................................................................................57


http://www.deoma/


4

5.1 Общая касательная.........................................................................................................................575.1.1 Внешняя касательная..............................................................................................................575.1.2 Внутренняя касательная........................................................................................................575.1.3 Общая касательная, угол.........................................................................................................57

5.1.3.a Общая касательная касающихся окружностей..............................................................585.1.4 Отрезки общих касательных.................................................................................................585.1.5 Внутреннее касание.................................................................................................................595.1.6 Общая секущая трёх окружностей........................................................................................595.1.7 Равные окружности.................................................................................................................605.1.8 Равные окружности ([1], 1.61)..............................................................................................60

5.1.8.a Равные окружности........................................................................................................615.1.9 Разные окружности [1],1.71..................................................................................................625.1.10 Разные окружности [1],1.73................................................................................................625.1.11 Множество точек постоянного угла..................................................................................635.1.12 Фиксированная точка............................................................................................................645.1.13 Равные хорды.........................................................................................................................645.1.14 Построение............................................................................................................................655.1.15 Окружность, вписанная в сегмент.....................................................................................655.1.16 Четыре пересекающиеся прямые........................................................................................665.1.17 Теорема о бабочке..................................................................................................................665.1.18 Окружности Данделена........................................................................................................67

6 Степень точки, радикальная ось и центр..............................................................................................686.1 Основы..............................................................................................................................................686.2 Ортоцентр и радикальная ось........................................................................................................70

6.2.1 Касающиеся окружности.......................................................................................................716.2.1.a Три попарно касающиеся окружности...........................................................................71

6.2.2 Касающиеся окружности внутри полукруга........................................................................726.2.3 Касающиеся внешним образом окружности........................................................................73

7 Замечательные точки и прямые треугольника...................................................................................747.1 Замечательные точки треугольника............................................................................................74

7.1.1 Центр вписанной окружности (инцентр)............................................................................747.1.2 Центроид..................................................................................................................................757.1.3 Центр описанной окружности..............................................................................................767.1.4 Ортоцентр...............................................................................................................................777.1.5 Центр окружности девяти точек (NINE-POINT CENTER)..................................................787.1.6 Точка Лемуана (Гребе) SYMMEDIAN POINT (LEMOINE POINT, GREBE POINT)............79

7.2 Симедианы и точка Лемуана.........................................................................................................817.2.1 Симедиана, определение и основные свойства....................................................................817.2.2 Антипараллель и симедиана...................................................................................................827.2.3 Антипараллель, симедиана и средняя линия.........................................................................827.2.4 Антипараллель и перпендикулярные биссектрисы..............................................................837.2.5 Антипараллель и описанная окружность.............................................................................847.2.6Антипараллель и параллель....................................................................................................847.2.7 Касательные в точках пересечения симедианы и описанной окружности.......................85


http://www.deoma/


5

7.2.8 Биссектрисы и симедиана......................................................................................................857.2.9 Окружность концов антипараллелей...................................................................................867.2.10Описанная окружность и симедианы...................................................................................867.2.11 Точка Лемуана (Гребе), свойства.........................................................................................877.2.12 Окружность Брокара...........................................................................................................877.2.13 Точки Аполлония.....................................................................................................................887.2.14 Прямые, параллельные прямой Эйлера...............................................................................897.2.15 Педальные треугольники точек Аполлония........................................................................897.2.16 Прямые, содержащие центроид..........................................................................................907.2.17 Инверсный правильный треугольник...................................................................................907.2.18 Окружность 9 точек (окружность Эйлера, окружность Фейербаха)..........................917.2.19 Использование свойств окружности Фейербаха................................................................927.2.20 Треугольник, разное...............................................................................................................927.2.21 Свойства конфигурации Штейнера–Сейфрейда...............................................................93

8 Литература.............................................................................................................................................94Окружность и прямые


http://www.deoma/


6


http://www.deoma/


7

Окружность и треугольник


http://www.deoma/


ginma:0;42,306

8

5 Несколько окружностей


http://www.deoma/


9

Окружность и четырёхугольник


http://www.deoma/


10

Окружность и многоугольник


http://www.deoma/


ginma:0;42,799

11

Несколько окружностей


http://www.deoma/


12

Радикальная ось и центр


http://www.deoma/


13


http://www.deoma/


14

1 Окружность и прямые

1.1 Определения и основыОкружность – это замкнутая плоская кривая, состоящая из всех точек плоскости, удаленных

от данной точки O, называемой центром окружности, на данное расстояние R.Круг – это фигура, ограниченная окружностью. Расстояние от любой точки круга до центра

меньше, чем радиус.Радиус окружности – это любой отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на

окружности (или длина такого отрезка). Радиус принято обозначать буквой R. Радиусом круганазывают радиус соответствующей окружности.

Диаметр окружности – это любой отрезок, соединяющий две точки окружности ипроходящий через центр окружности (или длина такого отрезка). Диаметр принято обозначатьбуквой D.

Отрезок, соединяющий произвольные не совпадающие точки окружности, называетсяхордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Хордой круганазывают хорду соответствующей окружности. Диаметром круга называют диаметрсоответствующей окружности.

Дуга окружности – это часть окружности, расположенная между двумя точками окружности.Сектор круга – это часть круга, расположенная между двумя радиусами соответствующей

окружности.

1.1.1 Центральный угол

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным по отношению к этойокружности. Каждый центральный угол окружности определяет дугу окружности, которая состоитиз точек окружности, принадлежащих этому углу. На рисунке показан центральный угол (синяядужка) и соответствующая дуга окружности. Записаны значения угловой меры угла и дуги,выраженные в градусах. Сравните их величины и установите связь между ними. Нужно лидоказывать полученное соотношение?

Рис. 1.1. Центральный угол (синяя дужка) и соответствующая дуга окружности.

Равенство значений угловой меры угла и угловой меры дуги следует из определения и нетребует доказательства.


http://www.deoma/


ginma:0;42,700

15

1.1.2 Вписанный угол

Вписанным углом, опирающимся на дугу АВ, называется угол АСВ, вершина C котороголежит на окружности, но не на дуге АВ. На рисунке показан центральный угол (синяя дужка) исоответствующая дуга окружности. Записаны значения угловой меры угла и дуги, выраженные вградусах. Сравните их величины и установите связь между ними. Нужно ли доказыватьполученное соотношение?

Рис. 1.2. Центральный угол, вписанный угол и дуга окружности.Во всех рассмотренных случаях, вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального,то есть: 2∠АСВ = ∠AOB. Утверждение, не следующее из определения, требует доказательства.

1.1.3 Угол с вершиной внутри круга

Пусть точка Е расположена внутри круга, причём в этой точке пересекаются хорды BС и AD.Обозначим дуги α=∪AB ,β =∪CD . Найдите соотношение, связывающее угловые значенияэтих дуг и AED . Нужно ли доказывать полученное соотношение?

Рис. 1.3. Угол с вершиной внутри окружности и дуги окружности, на которые он опирается.Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, одна из которых находится

внутри этого угла, а другая – внутри угла, вертикального к данному,

AEB=α +β

2, гдеα =∪AB ,β =∪CD .


http://www.deoma/


ginma:0;42,700

ginma:0;42,700,3

16

1.1.4 Угол с вершиной вне круга

Пусть точка F расположена внутри круга, причём в этой точке пересекаются секущие BС иAD. Обозначим дуги α=∪AB ,β =∪CD . Найдите соотношение, связывающее угловые значенияэтих дуг и AFD .

Рис. 1.4. Угол с вершиной вне окружности и дуги окружности, которые он высекает.

Угол с вершиной вне круга каждая из сторон которого пересекает окружность в двух точках,измеряется полуразностью дуг, заключённых внутри этого угла.

AFB=|α−β |

2, гдеα=∪AB ,β =∪CD .

1.1.5 Угол с между касательной и хордой

Пусть прямая A'B – это касательная к окружности в точке В. Обозначим дугу α=∪AB .Найдите соотношение, связывающее угловые значения этой дуги и A ' BA .

Рис. 1.5. Угол между касательной и хордой.

Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания,измеряется половиной дуги, заключённой внутри этого угла ABA'=α

2, гдеα=∪AB .


http://www.deoma/


ginma:0;42,700,4

ginma:0;42,700,5

17

1.1.6 Угол, опирающийся на диаметр

Пусть AС – это диаметр окружности, а В – точка этой же окружности, отличная от A и С.Тогда ABС=90 . Это утверждение нужно доказать.

Рис. 1.6. Угол, опирающийся на диаметр окружности.

1.1.7 Диаметр, проходящий через середину хорды

Пусть AС – это диаметр окружности, а ВB' – хорда этой же окружности, отличная от AС,причём диаметр проходит через середину хорды точку М. Тогда диаметр перпендикулярен хорде.Это утверждение нужно доказать.

Пусть AС – это диаметр окружности, а ВB' – хорда этой же окружности, причём диаметрперпендикулярен хорде. Тогда диаметр пересекает хорду в её середине.

1.1.7.a Теорема о диаметре и хорде

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду этой окружности, делит эту хордупополам.Отрезок, соединяющий середину хорды, отличной от диаметра, с центром окружности,перпендикулярен хорде.

Доказательство:Рассмотрим хорду АС и отрезок ОВ, как элементы равнобедренного треугольника АОС (АО =

СО). Все утверждения следуют из свойств медианы – высоты ОВ этого треугольника.

Рис. 1.7. Угол между диаметром и хордой.


http://www.deoma/


ginma:0;42,700,6

ginma:0;42,700,7

18

1.1.8 Теорема о диаметре и хорде

Из концов диаметра АВ на прямую, содержащую хорду CD опущены перпендикуляры AA' и BB'. Докажите, что A'D = B'C.

Доказательство: Пусть OO' перпендикуляр, опущенный из О на CD. Тогда O'C = O'D, O'A' = O'B'. A'D = O'D − O'A = O'C − O'B' = B'C. ■

Рис. 1.8. Симметричные хорды

1.1.9 Касательные

Касательной называют прямую, имеющую ровно одну общую точку с окружностью. Точкойкасания называют единственную общую точку касательной и окружности. Через любую точку,лежащую вне окружности, можно провести к этой окружности ровно две касательные.Касательной из данной точки называют отрезок, соединяющий данную точку с точкой касанияпрямой, проходящей через эту точку, и окружности. Исследуйте связь между отрезкамикасательных АВ и АС, проведенных из точки А к окружности.

Рис. 1.8. Касательные к окружности.Отрезки касательных АВ и АС, проведенных из точки А к окружности, равны между собой.


http://www.deoma/


ginma:0;42,912

ginma:0;42,701

19

1.1.10 Касательная и секущая

Секущей называют прямую, имеющую ровно две общие точки с окружностью. Отрезкамисекущей называют отрезки от данной точки (А), расположенной вне окружности, до точекпересечения секущей и окружности. Записаны длины отрезков касательной (АВ) и секущей (АС иAD). Установите связь между ними.

Рис. 1.9. Касательная к окружности и секущая.Произведение отрезков секущей АD и АС, проведенных из точки А к окружности, равно

квадрату касательной АВ AB 2=AC⋅AD=OA2

−R2.

1.1.11 Пересекающиеся хорды

Хордами называют отрезки, концы которых расположены на окружности. Пусть хордыпересекаются в данной точке (А), расположенной внутри окружности. Записаны длины отрезковхорд (АВ, АС, AD и AE). Установите связь между ними.

Рис. 1.10. Пересекающиеся хорды окружности.Произведение отрезков хорд – это постоянная для заданной окружности и заданной точки

величина AB⋅AC=AD⋅AE=R2−OA2.

1.1.12 Построение хорды

Дана точка В, расположенная внутри заданной окружности с центром в точке О. Постройтехорду АС этой окружности, для которой точка В является серединой.


http://www.deoma/


ginma:0;42,701,2

ginma:0;42,701,3

20

1.2 Доказательства

1.2.1 Расстояния до касательной

Докажите, что расстояние от точки окружности до хорды этой окружности есть среднее геометрическое расстояний концов хорды до касательной к окружности в этой точке.

Рис. 1.11. Решение в интерактивном файле

1.2.2 Отрезки прямой, соединяющей основания высот

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AA1 и BB1. Пусть D и E – проекции А и В на прямую A1B1. Докажите, что A1E = B1D.

Доказательство. Известно, что СA1B1 = СAВ = A, СB1A1 = CВА = В, например, как углы внутренний и внешний вписанного в полуокружность четырёхугольника АВA1B1.

DB1А = СB1A1 = В, EA1В = СА1В1 = A, как вертикальные.DB1

EA1

=AB1 sin B

BA1sin A=

AB sin A sin BBAsin B sin A

=1. ■

Рис. 1.12. Отрезки прямой, соединяющей основания высот


http://www.deoma/


ginma:0;42,796

ginma:0;42,872

21

1.2.3 Пропорции для касательных

AE и BF – касательные к окружности АВС. Докажите, что EG : FG = AE : BF.

1.13. Пропорции для касательных

1.2.4 Окружность через центр окружности

Окружность с центром О вписана в угол, равный α = 60°. Окружность большего радиуса сцентром О' также вписана в этот угол и проходит через точку О. Найдите отношение радиусов r'/rи длину общей хорды этих окружностей.

Исследование. На интерактивном рисунке построена конфигурация. Управляющие точки О,А и r. Задайте вершину угла точкой А, окружность точками О и r.

Решение. Построим радиусы OB и O'B' в точки касания и проведём OE||AB, точка Е нарадиусе O'B'. Ищем связь r' и r.

Угол OEO' = 90° по свойству радиуса, проведенного в точку касания.В прямоугольном треугольнике OEO' известны EОO' = α, ОO' = r', EO' = r' – r.

r '−rr '

=sinα⇒r ' =r

1−sin α. Если α = 60°, r' = 2r.

Ищем CD.В равнобедренном треугольнике OCO' известны OO' = CO' = r', CO = r.CD = 2CF, где CF высота к боковой стороне.

Площадь треугольника COO' СF × OO' = CO × h, где h=√r ' 2−

r 2

4высота из O'

CD=2 CF =2CO hOO'

=

2 r √r ' 2−

r 2

4r '

=2 r √1−r 2

4 r ' 2 =r √3+2 sinα−sin2α .


http://www.deoma/


ginma:0;42,800

ginma:0;42,940

22

2 Окружность и треугольник

2.1 Принятые обозначенияРассматриваем треугольник ABC со сторонами АВ = c, BC = a, AC = b и углами А, В, С. Высоты треугольника ha = AA1, hb = BB1, hc = CC1, пересекаются в ортоцентре Н.Медианы треугольника ma = AA2, mb = BB2, mc = CC2, пересекаются в точке M (G).Биссектрисы треугольника la = AA3, lb = BB3, lc = CC3, пересекаются в точке I.p – полупериметр треугольника ABC, 2p = a + b + c. S – площадь треугольника ABC.Описанная окружность треугольника (O,R) с центром в точке O и радиусом R.Вписанная окружность треугольника (I,r) с центром в точке I и радиусом r.

2.2 Основные соотношения2.2.1 Теорема синусов для треугольника

Каждая сторона треугольника равна диаметру описанной около него окружности, умноженному на синус угла, противолежащего этой стороне

BCsin A

=AC

sin B=

ABsin C

=2 R .

2.2.2 Формулы проекций для треугольникаАВ=BC cos B+AC cos A .

2.2.3 Теорема косинусов для треугольника

АВ 2=BC 2

+ AC 2−2 BC⋅AC cosC . 2 B⃗C⋅A⃗C cosC=BC 2

+ AC 2−АВ2 .

cos2 A+cos2 B+cos2 C+2cos A cos B cosC=1.

2.2.4 Площадь треугольника

S=a ha

2=

ab sin C2

= p r=a bc4 R

, S=√ p( p−a)( p−b)( p−c) ,

S=R2

2(sin 2 A+sin 2 B+sin 2C ) , S=

R2

(a cos A+b cos B+c cosC ) ,

S= p( p−a) tgA2

, S=( p−b)( p−c)ctgA2

, 4 S tgA2=a2

−(b−c )2 ,

S=c2

2sin A⋅sin B

sin C, S=2 R2sin A⋅sin B⋅sin C , S=

a2 sin 2 B+b2sin 2 A4

,

S= p2 tgA2⋅tg

B2⋅tg

C2

, S=R r (sin A+sin B+sin C) , S=4 R r cosA2⋅cos

B2⋅cos

C2

,

S 2=a b c p sin

A2⋅sin

B2⋅sin

C2

, S=p2

ctgA2

+ctgB2

+ctgC2

,

4 S 2=C⃗A2

⋅C⃗B2−(C⃗A⋅C⃗B)

2 , 16 S 2=a2(b2+c2−a2)+b2(a2+c2−b2)+c2(a2+b2−c2).

2.2.5 Теорема Карно cos A+cos B+cos C=1+rR

.


http://www.deoma/


23

2.2.6 Соотношения в треугольнике

a2=b2

+c2−4 S ctg A , a2

=(b+c)2−4S ctg

A2

, a2=(b−c)2

+4S tgA2

.

На стороне AB треугольника ABC в одной полуплоскости с ним построен правильный треугольник ABC1. Тогда 2CC 1

2=a2

+b2+c2

−4S √3 .

2.2.7 Высоты и ортоцентр

Высоты треугольника ha = AA1, hb = BB1, hc = CC1, пересекаются в ортоцентре Н.Треугольник A1B1C1, вершинами которого являются основания высот треугольника АВС

называют ортотреугольником АВС.Теорема. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Она

называется ортоцентром треугольника.Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон и середин сторон,

лежат на описанной около треугольника окружности. AH · HA1 = BH · HB1 = CH · HC1 = 4R2|cos A cos B cos C|.

Окружности, описанные около треугольников АВС, ABH, BCH, CAH, равны.Для непрямоугольного треугольника ABC каждая из четырех точек A, B, C, H является

ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками.

Рис.2.1. Точки, симметричные ортоцентру Рис.2.2. Окружности АВС, ABH, BCH, CAH

Высота AA1 = BA1 ·tg B = A1C ·tg С. Основание A1 высоты AA1 делит сторону BC в отношенииtg C : tg B, считая от вершины B, то есть BA1 : A1C = tg C : tg B.

Ортоцентр треугольника АВС делит высоту в отношении CHHC1

=cosC

cos A cos B.

Прямые A1С1 , Н1Н3 и касательная к описанной окружности в вершине В параллельны.


http://www.deoma/


ginma:0;42,306

ginma:0;42,306,5

24

2.2.8 Двойственность

Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортотреугольникa, то естьтреугольника, вершинами которого являются основания высот. Они пересекаются в центревписанной в ортотреугольник окружности.

Подобны треугольники DАВС ~ DАB1C1 ~ DА1BС1 ~ DА1B1C. Коэффициент подобия всоотношении DАB1C1 ~ DАВС равен АB1 : AB = cos C. A1B1 = AB |cosC|.

Рис.2.3. Биссектриса, радиус, высота Рис.2.4. Подобные треугольники Рис.2.5. Дуализм О и Н

Расстояние от вершины C до ортоцентра H равно:СН = 2R|cos C| = AB |ctg C|, a2

+ AH 2=b2

+BH 2=c2

+CH 2=4 R2 .

CHR

=a2

+b2−c2

ab=2 |cosC | , OH 2

+a2+b2

+c2=9 R2. a2 A⃗A1+b2 B⃗B1+c2 ⃗CC 1= 0⃗ .

tg A⋅H⃗A+ tg B⋅H⃗B+tg C⋅H⃗C=0⃗ . 2BС3 · АВ = |a² + c² − b²|.В остроугольном треугольнике ABC: AH + BH + CH = 2(R + r), 2(AH · АA1 + BH · ВB1 + CH · СC1) = a2 + b2 + c2.

AH · HA1 = BH · HB1 = CH · HC1. a2 A⃗A1+b2 B⃗B1+c2 ⃗CC 1= 0⃗ .

tg A⋅H⃗A+ tg B⋅H⃗B+tg C⋅H⃗C=0⃗ . 2BС3 · АВ = |a² + c² − b²|.В остроугольном треугольнике ABC:

AH + BH + CH = 2(R + r), 2(AH · АA1 + BH · ВB1 + CH · СC1) = a2 + b2 + c2.


http://www.deoma/


ginma:0;42,295

ginma:0;42,295,4

ginma:0;42,255

25

2.2.9 Медианы и центроид M (G)

Медианы треугольника ma = AA2, mb = BB2, mc = CC2, пересекаются в точке M (или G),которую называют центроидом треугольника.

Теорема. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Характеристическое свойство центроида М треугольника ABC:M⃗ = A⃗+ B⃗+C⃗ , M⃗A+M⃗B+M⃗C=0, A⃗A2+ B⃗B2+ ⃗CC 2= 0⃗ .

Лемма. Для того, чтобы точка Р принадлежала прямой, содержащей медиану AA2

треугольника ABC, необходимо и достаточно, чтобы треугольники AРB и AРC были равновелики ипротивоположно ориентированы (то есть если обход вершин АРВ выполняем по часовой стрелке,то обход вершин АРС выполняем против часовой стрелки).

mc2=

2 a2+2 b2

−c2

4, ma

2+mb

2+mc

2=

34(a2

+b2+c2

) , OM 2+

a2+b2

+c2

9=R2 .

Формула Лейбница. Для произвольной точки Р плоскости3 PM 2

+MA2+MB2

+MC2=PA2

+ PB2+PC 2.

Медиана делит угол при вершине так, что произведение длины стороны и синуса угла между

стороной и медианой постоянное: AC sin ACC 2=BC sin BCC 2 ,sin ACC 2

sin BCC 2

=BCAC

.


http://www.deoma/


26

2.2.9.a Медианы и окружность

Медианы треугольника AA2, BB2 и CC2 пересекаются в точке M, причём четырёхугольникAС2МB2 вписанный. Найдите АМ, если ВС = а.

Размышляем. В правильном треугольнике АВС четырёхугольник AС2МB2 вписанный,

медианы равны a √32

, AM =23

AA2=a

√3. Ответ задачи должен быть именно таким.

Решение. СМ · СC2 = СВ2 · АC по теореме о секущих, 6МC22 = 2АВ2

2, AB2

MC 2

=√3 .

Пусть K – точка пересечения B2C2 и АМ.

Заметим, что AKKC 2

=AA2

2:

B2C2

2=

3 AM4

:B2C2

2=

32

AMB2C 2

.

В треугольнике AKC2 AKKC 2

=sin AC 2 K

sin KAC2

=32

AMB2 C2

.

Отношение хорд окружности равно отношению синусов углов, которые на них опираются:AB2

MC 2

=sin AC 2 K

sin KAC 2

=32

AMB2 C2

=√3⇒ AM =2 B2 C2

√3=

a√3

. Учтено, что B2C2 = а/2, как средняя линия.

Ответ: a

√3.


http://www.deoma/


ginma:0;42,961

27

2.2.10 Симедианы

Симедиана треугольника симметрична медиане относительно биссектрисы того же угла.Симедиана делит угол при вершине так, что отношение длины стороны к синусу угла между

стороной и медианой постоянное.Симедиана содержит центр поворотной гомотетии, переводящей друг в друга стороны

треугольника, выходящие из вершины симедианы.Симедиана делит сторону треугольника в отношении, равном квадрату отношения

прилежащих сторон. Симедианы пересекаются в точке Лемуана.

2.2.11 Описанная вокруг треугольника окружность

Срединные перпендикуляры к сторонам треугольника ОA2, ОВ2 и ОС2 пересекаются в однойточке О, которая равноудалена от трех вершин треугольника и является центром описанной вокругтреугольника окружности.

O⃗H=O⃗A+O⃗B+O⃗C , OH 2=R2

(1−8cos Acos B cosC ) ,sin 2 A⋅O⃗A+sin 2 B⋅O⃗A+sin 2C⋅O⃗C= 0⃗ .

2 R ha = b c, OA2

bc+

OB2

a c+

OC 2

a b=1.

Пусть точка Р симметрична центру O описанной около треугольника ABC окружностиотносительно прямой АВ. Тогда четырехугольник СOРH – параллелограмм,

CP2=a2

+b2−c2

+R2 .Центр описанной около треугольника окружности является ортоцентром треугольника с

вершинами в серединах сторон данного треугольника.


http://www.deoma/


28

2.2.12 Биссектрисы и вписанная окружность

Биссектрисы треугольника la = AA3, lb = BB3, lc = CC3, пересекаются в точке I.Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке I, которая равноудалена от трех

сторон треугольника и является центром вписанной в треугольник окружности.

Точка пересечения делит биссектрису в отношении AIIA3

=b+c

a.

Биссектриса делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой,выходящими из одной вершины этого треугольника. Диаметр описанной около треугольникаокружности и его высота, выходящие из одной вершины этого треугольника, симметричныотносительно биссектрисы, выходящей из той же вершины.

Характеристическое свойство центра I треугольника ABC:

I⃗ =a A⃗+b B⃗+c C⃗

a+b+c, a I⃗A+b I⃗B+c I⃗C=0, a (b+c) A⃗A3+b(a+c) B⃗B3+c(a+b) ⃗CC 3= 0⃗ .

CI 2+4 R r=ab , IA · IB · IC = 4Rr2, 9 I M 2

+16 R r=p2+5 r2 .

ar=ctg

B2+ctg

C2

=

cosA2

sinB2

sinC2

, p−b=r ctgB2

,

Длина биссектрисы треугольника l с=

2ab cosC2

a+b, l с=

4a b p( p−c)

(a+b)2 .

Ортогональная проекция биссектрисы lc = CC3 на сторону CB имеет длину 2 p ( p−c )

a+b.

Формула Эйлера для расстояния между точками O и I : OI 2=R2

−2 R r .

a2 + b2 + c2 = 2p2 − 2r2 − 8Rr, r=4 R sinA2⋅sin

B2⋅sin

C2

.


http://www.deoma/


29

2.2.12.a Окружность, концентричная вписанной (1998/99 – 3 – 11)

Вписанная окружность ω треугольника ABC с центром I касается сторон в точках А5, В5 и С5. Вторая окружность – также с центром I, пересекает все прямые, содержащие стороны треугольника ABC. Пусть E и E' – соответственно ее точки пересечения с BC и AB, ближайшие к вершине B; D и D' – точки ее пересечения со стороной AC, причем D – ближе к A. Докажите, что точки B, В5 и точка F пересечения отрезков DE и D'E' лежат на одной прямой.

Доказательство. Равны отрезки С5E' = A5E = B5D = B5D', квадрат каждого из которых равен разности квадратов радиусов окружностей. Равны отрезки BE' = BE (A5B = BC5).

В треугольниках BFE и B5FD равны вертикальные углы BFE и B5FD, а углы BEF и FDB5

дополнительны до 180º, так как СD = СE. Значит, BFFB5

=BEDB5

.

Аналогично, в треугольниках BF'E' и B5F'D', где F' – точка пересечения E'D' и BB5, не обязательно совпадающая с F, равны вертикальные углы BFE' и B5FD', а углы BE'F и FD'B5

дополнительны до 180º, так как AD' = AE'. Значит, BF '

F ' B5

=BE '

D ' B5

=BEDB5

=BFFB5

.

Точки F' и F совпадают.


http://www.deoma/


ginma:0;42,604

30

2.2.12.b Окружность (2010/11 – 5 – 11)

Дан неравнобедренный треугольник ABC. Пусть N середина дуги BAC его описаннойокружности, а M середина стороны BC. Обозначим через D и E центры вписанных окружностейтреугольников ABM и ACM соответственно. Докажите, что точки D, E, A, N лежат на однойокружности.

Доказательство: Пусть точка E' симметрична E относмтельно MN. Угол DME прямой,значит, лучи МЕ и MD симметричны относительно биссектрисы угла BMN.

∠CBE' + ∠CBD = CBE' + BCE = 0.5( ABC + ACB) = 90° – BAC/2 = 90° – BNC/2 =∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠NBC, значит, лучи ∠ BE' и BD симметричны относительно биссектрисы угла АВС.

Точки E' и D изогонально сопряжены относительно треугольника BMN., так как онисимметричны относительно двух его биссектрис. Значит, они симметричны и относительнотретьей биссектрисы.

∠DNE = ∠DNM +∠MNE' = 2 ∠MNG = ∠BNM = ∠BAC/2 = ∠DAE.

Углы, опирающиеся на отрезок DE равны, четыре точки D, E, N, A на окружности.


http://www.deoma/


ginma:0;42,231

31

2.2.13 Вневписанные окружности

Биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежногос этими двумя внешними, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности,касающейся одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Такую окружностьназывают вневписанной. Всего существует три вневписанные окружности треугольника,соответствующие трем его сторонам.

Обозначим центр окружности, которая касается стороны а = ВС как I1, а её радиус r1, это окружность (I1, r1). Аналогично, окружность, которая касается стороны b = AС обозначим (I2, r2), окружность, которая касается стороны c = AB обозначим (I3, r3). Тогда

Треугольник ABC является ортотреугольником треугольника I1I2I3.Описанная около треугольника ABC окружность делит пополам каждый из трех отрезков,

соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей.Две вершины треугольника, центр вписанной окружности и центр вневписанной

окружности, соответствующей третьей вершине, лежат на одной окружности.

2.5. Треугольник ABC является ортотреугольником треугольника I1I2I3.

S = r1(p − a) = r2(p − b) = r3(p − c),1r=

1r 1

+1r2

+1r3

, 4R + r = r1 + r2 + r3 .

2ha

=1r 2

+1r 3

,1ha

+1hb

+1hc

=1r1

+1r2

+1r3

, r 1r 2+r 2 r3+r1 r 3=p2 .

Для произвольной точки P: P⃗I 1=b P⃗B+c P⃗C−a P⃗A

b+c−a.

Формула Эйлера для вневписанных окружностей OI i2=R2

+2 R ri ,i=1,2,3 .r1 r2 = p(p − c), rr1 = (p − b)(p − c), r1 r2 r3 = pS.r r1 r2 r3 = S2, I1I2 = 4Rcos C/2 , AI · AI1 = AI2 · AI3.AI · II1 = 4Rr, r1 + r2 = 4Rcos2 C, r + r1 + r2 − r3 = 4Rcos C.II1 · II2 · II3 = 4rR2, II1 : II2 : II3 = sin A/2 : sin B/2 : sin C/2.

В треугольник ABC вписана окружность радиуса r. Тогда площадь треугольника с вершинамив точках касания равна pr2/2R.


http://www.deoma/


ginma:0;42,820

32

Через центр вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, параллельная AB.

Отрезок этой прямой, отсекаемый сторонами треугольника, равен (a+b)ca+b+с

.

Если внутри выпуклого четырехугольника ABCD существует точка Р такая, что треугольникиРAB, РBC, РCD, РDA равновелики, то одна из диагоналей делит другую пополам.

Диаметр описанной около треугольника ABC окружности, проведенный через вершину A, делит сторону BC в отношении sin 2C : sin 2B, считая от вершины B.

2.2.14 Прямоугольный треугольник

Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняягеометрическая величина отрезков, на которые он делит гипотенузу.

Катет есть средняя геометрическая величина гипотенузы и проекции этого катета нагипотенузу.

Квадрат отношения произведения биссектрис острых углов прямоугольного треугольника кпроизведению радиусов его описанной и вписанной окружностей равен 32.

В прямоугольном треугольнике центр вписанной окружности, середина катета и точкакасания другого катета с вневписанной окружностью лежат на одной прямой.


http://www.deoma/


33

2.2.15 Тангенциальный треугольник (2010/11– 3 – 11)

Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведенныечерез точки B и C, пересекают касательную к ω, проведенную через точку A, в точках K и Lсоответственно. Прямая, проведенная через K параллельно AB, пересекается с прямой,проведенной через L параллельно AC, в точке P. Докажите, что BP = CP.

Размышляем. Треугольник KLM, образованный касательными к описанной окружности,проведенными в вершинах данного треугольника АВС, называют тангенциальным. Его вершинылежат на срединных перпендикулярах к сторонам АВС, в частности, М лежит на срединномперпендикуляре ВС.

Доказательство. Прямые, параллельные сторонам треугольника АВС суть биссектрисы(внутренние или внешние) треугольника KLM. На рисунке равны углы LAC = LCA = PLA.

Точка Р лежит на пересечении пары биссектрис (возможно, внешних), проведенных извершин K и L. Она является центром вписанной (или вневписанной) окружности треугольникаKLM, то есть РМ это биссектриса угла М.

Любая точка биссектрисы МР равноудалена от симметрично расположенных относительноэтой биссектрисы точек, в частности, от В и С.


http://www.deoma/


ginma:0;42,227

34

2.2.16 Треугольник с углом 602.2.16.a Положение центров

Угол А треугольника АВС равен 60. Тогда центр вписанной окружности равноудален отцентра описанной окружности и ортоцентра IO = IH.

2.2.16.b Положение центров

Угол А треугольника АВС равен 60. Тогда центр вневписанной окружности, касающейся ВС, равноудален от центра описанной окружности и ортоцентра I1O = I1H.

2.2.16.c Сумма отрезков

В равнобедренном треугольнике ABC A = B = ∠ ∠ 40, AB = c, AA3 – биссектриса. Найдите сумму AD + CD.

Рис.2.6. IO = IH, I1O = I1H. Рис.2.7. A = B = ∠ ∠ 40.2.2.16.d Биссектрисы

Угол А треугольника АВС равен 60, BB3 и CC3 – биссектрисы. Тогда центр вписаннойокружности равноудален от оснований биссектрис В3 и С3. Точка, симметричная вершине Aотносительно прямой B3C3 , лежит на стороне BC.

Рис.2.8. Точка, симметричная вершине A


http://www.deoma/


ginma:0;42,821

ginma:0;42,797

ginma:0;42,760

35

2.2.16.e Описанные окружностиОписанные окружности треугольников AВВ3 и АСС3 пересекаются в точке, лежащей на

стороне ВC. Тогда угол А равен 60.

2.2.16.f Срединные перпендикуляры

Угол А треугольника АВС равен 60. Пусть Р и К – точки пересечения срединныхперпендикуляров к отрезкам ВН и СН со сторонами АВ и АС, соответственно. Тогда точки Н, К, Ои Р лежат на одной прямой.

2.2.16.g Точка Ферма–Торричелли

На сторонах AB, AC треугольника ABC построены наружу равносторонние треугольники ABDи ACE, соответственно. Прямые CD и BE пересекают стороны AB, AC в точках D' и E'соответственно и пересекаются в точке F. Известно, что площади треугольника BCF ичетырехугольника AD'FE' равны. Найдите угол BAC.

Размышляем: Площади четырёхугольника и треугольника сравнивать неудобно, поэтомучасто добавляют к обоим фигурам поровну, чтобы перейти к одинаковым фигурам. В данномслучае удобно добавить один из белых треугольников.

Доказательство: Площадь треугольника ACD' больше, чем площадь четырехугольникаAD'FE' на площадь треугольника CE'F.

Площадь треугольника BCE' больше, чем площадь треугольника BCF также на площадьтреугольника CE'F.

Значит S ACD '

S ABC

=S BCE '

S ABC

⇒AD 'AB

=CE 'AC

.

Подобны треугольники ADD' и CЕE' так как равны углы DAD' = ECE' = 60 и

пропорциональны содержащие их стороны AD'AD

=CE 'CE

. Значит, AD'D = CE'E.

Четырехугольник AD'FE' вписанный: AE'F + AD'F = CE'E + (180 – AD'D) = 180.Известно, что F – точка Ферма–Торричелли, DFE = 120, значит, ВАС = 60.


http://www.deoma/


ginma:0;42,913

36

2.2.16.h Окружности пересекаются под углом 60Две окружности пересекаются в точках В и D. Хорда АВ первой окружности касается второй

окружности, хорда ВС второй окружности касается первой окружности. Найдите BD, угол ADВ иплощадь треугольника АВС, если угол АВС равен 60, AD = a, СD = b.

Исследование: На интерактивном рисунке указаны длины отрезков AD, BD и CD. Найдитесвязь между ними.

Пользуйтесь активными точками А, В и D. Устанавливайте длины отрезков, близкие к целым.Результат исследования: Можно заметить, что AD · CD = BD2. Вывод: Полученное соотношение подсказывает, что треугольники BAD и CBD подобны.Решение: Угол между касательной АВ к синей окружности и её хордой ВС равен 60.Дуга BDC вдвое больше угла АВС и равна 120.Вторая дуга ВС дополняет дугу BDC до окружности. Она равна 360 12– 0 = 240.Угол BDC, опирающийся на дугу ВС, равен 120.Аналогично, угол АDВ равен 120. Угол АDC в сумме с углами АDВ и ВDС равен полному углу 360. Он тоже равен 120.Угол BAD измеряется половиной дуги BD фиолетовой окружности, как вписанный.Угол CBD измеряется половиной дуги BD фиолетовой окружности, как угол между

касательной и хордой.Углы BAD = CBD равны между собой.Треугольники BAD и CBD подобны по двум углам.Из пропорции соответственных сторон AD : BD = BD : CD получаем BD2 = AD · CD.Площадь треугольника со сторонами х и у и углом между ними 120 равна

s=x y sin 120

2=

√32

xy.

Треугольник АВС состоит из трёх треугольников ABD, BCD, ACD с углами 120 и сторонами

a ,√ab , √ab , b , a ,b , соответственно. Его площадь равна √32

(ab+(a+b)√ab).

Рис.2.9. Окружности пересекаются под углом 60


http://www.deoma/


ginma:0;42,836

37

2.2.17 Треугольник с углом 1202.2.17.a Углы между биссектрисами

Угол А треугольника АВС равен 120. Биссектрисы треугольника AA3, BB3, CC3. Тогда угол B3A3C3 прямой, углы A3C3С и A3В3В равны 30.

Рис.2.9. Поиск углов

2.2.17.b Симметрия

Угол А треугольника АВС равен 120. Тогда центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относительно биссектрисы внешнего угла А.

2.2.17.c Производный треугольник

Угол А треугольника АВС равен 120. Тогда из отрезков длиной a, b, b+c можно составить треугольник.


http://www.deoma/


ginma:0;42,822

38

2.2.18 Биссектрисы и угол

В треугольнике АВС проведены биссектрисы AA3, BB3, CC3, причём ∠AС3B3 = ∠AA3C. Найдите угол A3С3В3.

Решение. Пусть D – основание внешней биссектрисы, то есть точка пересечения внешнейбиссектрисы угла А AD⊥AA3 и прямой, содержащей противолежащую сторону ВС.

По свойствам биссектрис, находим, что AB3

CB3

=ABBC

,BC 3

AC 3

=BCAC

,DCBD

=ACAB

.

Точки D, B3 и C3 лежат на одной прямой так как AB3

CB3

⋅BС 3

AС 3

⋅DCBD

=1 . Это следует из

теоремы Менелая для треугольника ABC (см. Википедия, Теорема Менелая или Прасолов В.В.,Задачи по планиметрии, Глава 5, §7, Теорема Менелая).

Четырёхугольник ADLN вписанный так как равны углы ∠AС3B3 = ∠AA3C, опирающихся надугу AD.

Углы DAА3 = 90° и DС3А3 опираются на одну дугу, значит они равны и оба прямые.

Рис.2.10. Поиск угла


http://www.deoma/


ginma:0;42,750

39

2.2.19 Пара вписанных окружностей

Вписанная окружность ω с центром I касается АВ и ВС в точках E и F. J – центр вписаннойокружности Ω треугольника BEF. Докажите, что точка J лежит на окружности ω.

Доказательство. Пусть D точка касания Ω и EF, IBF=β . Треугольник ВEF равнобедренный (касательные ВE и ВF равны). Биссектриса BD является высотой треугольника ВEF. Точки I и J лежат на биссектрисе угла В, значит, точки B, I, D и J лежат на одной прямой,

перпендикулярной EF. IBF= IFD=β , как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

Расстояние от J до стороны BF равно JD, значит,

BD=JD+ JB=JD(1+1

sin β)=BI−ID=

IFsinβ

−IF sin β =IF1−sin2 β

sin β.

Значит, JDIF

=1−sin β , IJ =ID+ JD= IF sin β + IF (1−sin β )=IF .

Рис. 2.11. Пара вписанных окружностей

2.2.20 Важное свойство биссектрисы

Биссектрисы углов А и C треугольника ABC пересекаются в точке I. Биссектриса угла Cвторично пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке C'. Докажите, чтоAC' = C'I = BC'.

Рис. 2.12. Три равных отрезка


http://www.deoma/


ginma:0;42,775

ginma:0;42,778,3

40

2.2.21 Дуализм биссектрис и высот вписанного треугольника

Около треугольника ABC описана окружность ω. Биссектрисы углов A, B, C пересекают ω соответственно в точках A', B', C'. Докажите, что прямая AA' перпендикулярна B'C'.

2.2.21.a Дуализм высот и биссектрис вписанного треугольника

Прямые AA', BB', CC', содержащие высоты остроугольного треугольника ABC, пересекают описанную около него окружность в точках A', B', C'. Докажите, что эти прямые содержат биссектрисы углов треугольника AA', BB', CC'.

Рис. 2.13. Дуализм биссектрис и высот вписанного треугольника2.2.21.b Углы и биссектрисы

В треугольнике АВС проведены биссектрисы AL, BM и CN, причём ANM = ALC. Найдитерадиус окружности, описанной около треугольника LMN, две стороны которого равны 3 и 4.

Решение.


http://www.deoma/


ginma:0;42,778

41

2.2.22 Касательная к описанной окружности в вершине треугольника

Касательная к окружности, описанной около неравнобедренного треугольника, в его вершинеделит противоположную сторону внешним образом в отношении квадратов прилежащих сторон.

Касательная к окружности, описанной около неравнобедренного треугольника, в его вершинепересекает продолжение противоположной стороны в середине отрезка, концы которогосовпадают с основаниями биссектрис внутреннего и внешнего углов при этой вершине.

Рис.2.14. Касательная в вершине треугольника

2.2.23 Теорема Паскаля для треугольника. Прямая Паскаля

Касательные в вершинах неравнобедренного треугольника к описанной около негоокружности пересекают прямые, содержащие противоположные стороны этого треугольника, втрех точках, лежащих на одной прямой.

Рис.2.15. Прямая Паскаля


http://www.deoma/


ginma:0;42,784

ginma:0;42,794

42

2.2.24 Окружность, содержащая центр вписанной окружности

Через две вершины треугольника и центр вписанной в него окружности проведенаокружность. Отрезок касательной, проведенной к этой окружности из третьей вершины, естьсредняя геометрическая величина между сторонами треугольника, сходящимися в этой вершине.

2.2.24.a Окружность, содержащая центр вписанной окружности

Произведение расстояний от вершины треугольника до центра вписанной окружности и доцентра соответствующей этой вершине вневписанной окружности равно произведению сторонтреугольника, сходящихся в этой вершине.

2.2.25 Пересекающиеся окружности в треугольнике

Точки D, E и F расположены на сторонах АВ, АС и ВС треугольника АВС. Докажите, что окружности ADE, BDF и CEF имеют общую точку.

Доказательство. Пусть Р – точка пересечения окружностей ADE и CEF. DPE = DAE = A, FPE = FCE = C, как углы, опирающиеся на равные дуги для

случая, показанного на рисунке. DPF + DBF = DPE + FPE + (180° – A – C) = 180°, значит, точка Р лежит на

окружности DBF.■

Рис.2.16. Пересекающиеся окружности в треугольнике


http://www.deoma/


ginma:0;42,871

43

2.2.26 Срединный перпендикуляр

Пусть DEF − это срединный перпендикуляр к стороне АС треугольника АВС, причём D, E и Fлежат на прямых ВС, АВ и АС, соответственно. Докажите, что радиусы окружностей АВС и BDE вточке В перпендикулярны.

Доказательство: Пусть Н − середина BD. Центр описанной окружности треугольника BDE точка Q расположена на срединном перпендикуляре, QH⊥BC.

BED вписанный, измеряемый половиной дуги BD.

BQH равен половине центрального угла и измеряем половиной дуги BD, BQH = BED.

В прямоугольном треугольнике AEF BAC =EAF = 90°−AEF.

В прямоугольном треугольнике QBH QBH = 90°−BQH= 90°−AEF.

Значит, QBH = BAC.

Пусть G − середина АВ. Центр описанной окружности треугольника ABC точка Oрасположена на срединном перпендикуляре, OG⊥AB.

BOG = ACB (ACB вписанный, измеряемый половиной дуги BD, BOG − половинацентрального).

CBE = BAC + BCA, как внешний для треугольника АВС.

Значит QBE = ACB = BOG.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике OBG равна 90°.

Значит, QBO = 180°−QBE −OBG = 180°− 90° = 90°.■

Рис.2.17. Перпендикулярные окружности в треугольнике


http://www.deoma/


ginma:0;42,766

44

3 Окружность и четырёхугольник

3.1 Вписанный четырёхугольник3.1.1 Определение

Четырёхугольник называют вписанным, если все его вершины лежат на окружности.Четырёхугольник называют выпуклым, если все его углы меньше, чем 180 .

3.1.1.a Сумма углов

Пусть точки А, В, С и D расположены на окружности в указанном порядке. В этом случаеполучаем четырёхугольник без самопересечения сторон. Такой четырёхугольник называютпростым. Записаны угловые меры углов ВAD и ВСD. Установите связь между ними. Убедитесь,что сумма противолежащих углов вписанного выпуклого четырёхугольника равнаBAD+BAD=180 . Докажите.

3.1.1.b Критерий

Для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо идостаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна 180.

3.1.1.c Признак

Для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо идостаточно, чтобы серединные перпендикуляры к трем его сторонам пересекались в одной точке.

Рис. 3.1. Вписанный четырёхугольник.3.1.1.d Признак

Для того, чтобы точки A, B, C, D лежали на одной окружности, необходимо и достаточно,чтобы углы BAD и BCD (или же углы ABC и ADC) в сумме составляли 180 или же эти углы былиравны.


http://www.deoma/


ginma:0;42,702

45

3.1.2 Центры дуг вписанного четырёхугольника

В окружность вписан четырехугольник ABCD. Точки A', B', C', D' являются соответственносерединами дуг AD, AB, BC, CD. Докажите, что прямые A'C' и B'D' перпендикулярны.

Заметим, что сумма дуг, на которые опираются вертикальные углы A'ED' и B'EC' равнаполовине суммы всех дуг, составляющих окружность.

Рис. 3.2. Свойства середин дуг

3.1.3 Точки пересечения биссектрис

Биссектрисы углов четырёхугольника ABCD попарно пересекаются в точках K, L, M, N.Докажите, что четырёхугольник KLMN вписанный.

Доказательство: В треугольнике AKD ∠AKD = π − ∠A/2 − ∠D/2, причём ∠LKN = ∠AKD.Аналогично найдём ∠LMN и получим, что ∠LKN + ∠LMN = 2π − (∠A + ∠B + ∠C + ∠D)/2 = π.

3.1.3.a Точки пересечения биссектрис внешних угловБиссектрисы внешних углов четырёхугольника ABCD попарно пересекаются в точках K', L',

M', N'. Докажите, что четырёхугольник K'L'M'N' вписанный.


http://www.deoma/


ginma:0;42,702,2

ginma:0;42,304,3

46

3.1.4 Прямоугольник и медианы (2010/11 - 3 - 11)

На окружности, описанной около прямоугольника ABCD, выбрана точка K. Оказалось, чтопрямая CK пересекает отрезок AD в точке Е такой, что AЕ : ЕD = 2. Пусть O центрпрямоугольника. Докажите, что точка М пересечения медиан треугольника OKD лежит наокружности, описанной около треугольника COD.

Размышляем. Если М лежит на окружности OCD, то равны углы ОМС и ODС, подобнытреугольники OМG и CDG, где G – середина ОD, центроид М лежит на прямой СЕ.

Доказательство. Пусть диагональ BOD (BO = OD) пересекает СЕ в точке G. Тогда изподобия треугольников DEG и ВСG следует, что BG : DG = BC : DE = AD : DE = 3, или 2DG = DO.

Поскольку G это середина OD, то KG это медиана и точка М лежит на СK.

Прямая МО параллельна KB, так как KG : GM = BG : OG = 2.

Равны углы BKG и BDC, опирающиеся на дугу ВС, и углы BKG и ОМG при параллельныхпрямых.

Утверждение задачи следует из равенства углов BDC и ОМС.


http://www.deoma/


ginma:0;42,228

47

3.1.5 Вписанный четырёхугольник (2009/10 – 3 – 11)

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AC. Точки K и M проекциивершин A и C соответственно на прямую BD. Через точку K проведена прямая, параллельная BC ипересекающая AC в точке P. Докажите, что угол KPM прямой.

Размышляем. Доказательства часто основаны на равенстве углов, которые следуют изсвойств вписанных четырёхугольников. Проверим, лежит ли точка Р на описанных окружностяхкаких–либо треугольников.

Возможный способ доказательства перпендикулярности основан на доказательстве равенствасуммы двух углов некоторого треугольника 90°.

Решение. Равны углы CAD и CBD, так как они опираются на дугу CD окружности АВС.

Равны углы PKD и CBD по свойствам углов при параллельных прямых (углы помеченыкрасными дужками).

Значит, равны углы PKD и PAD, четырёхугольник AKPD вписан в окружность с диаметромAD.

Прямые углы APD, AKD и CMD, значит, четырёхугольник CPMD вписан в окружность сдиаметром CD.

Равны углы PCD и PMK по свойству противолежащих внутреннего и внешнего угловвписанного четырёхугольника CPMD.

Суммы углов PKD и PMK а также PAD и PCD равны 90°, значит,

PKM =180°– PMK – PKM = 90°.


http://www.deoma/


ginma:0;42,229

48

3.1.6 Симметрии вписанного четырёхугольника (2008/09 – 3 – 11)

Точка D на стороне BC остроугольного треугольника ABC такова, что AB = AD. Окружность,описанная около треугольника ABD, пересекает сторону AC в точках A и K. Прямая DK пересекаетперпендикуляр, опущенный из B на AC, в точке L. Докажите, что CL = BC.

Доказательство. AKDB вписанный четырёхугольник, значит равны углы ABD, AKL, AKB иABD. Значит, AK это биссектриса треугольника BKL.

По условию, это высота треугольника BKL. Значит, точки L и В симметричны относительнопрямой AK. Отсюда LC = BC.


http://www.deoma/


ginma:0;42,230

49

3.2 Описанный четырёхугольник3.2.1 Определение

Четырёхугольник называют описанным, если все его стороны касаются данной окружностив своих внутренних точках. Пусть касательные в точках А, В, С и D попарно пересекаются вточках E, F, G и H причём четырёхугольник EFGH – описанный. Записаны суммы егопротивоположных сторон. Установите связь между ними. Проверьте, что суммы противолежащихсторон описанного четырёхугольника равны между собой EF+GH =EH + FG .

3.2.1.a Критерий

Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимои достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны.

3.2.1.b Критерий

Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимои достаточно, чтобы биссектрисы трех его углов пересекались в одной точке.

Рис.3.3. Описанный четырёхугольник


http://www.deoma/


ginma:0;42,777

50

3.2.2 Невыпуклый четырехугольник, ассоциированный с описанным четырехугольником

Пусть AC – внешняя диагональ невыпуклого четырехугольника ABCD, причём егопротивоположные стороны пересекаются в точках C1 и D1. Для того, чтобы в четырехугольникBC1DD1 можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно издвух условий:1) суммы противоположных сторон четырехугольника ABCD равны,2) AD1 + CD1 = AC1 + CC1.

Рис.3.4. Ассоциированный с описанным четырёхугольникИзвестны противолежащие углы

Прямые, содержащие стороны четырехугольника ABCD, касаются некоторой окружности.Найти её радиус, если AB=a, BC=b, АВС = π/3, АDС = 2π/3. ∠ ∠

3.2.3 Общие секущие пары окружностей

Через точки A и B пересечения двух окружностей проведены произвольные секущие DAD' иCBC' (точки C и D лежат на одной окружности, а C' и D' – на другой). Доказать, что прямые CD иC'D' параллельны.

Рис.3.5. Общие секущие пары окружностей


http://www.deoma/


ginma:0;42,534

ginma:0;42,817

51

3.2.4 Теорема Ньютона

Доказать, что в описанном четырехугольнике середины диагоналей лежат на одной прямой с центром его вписанной окружности.

Рис.3.6. Теорема Ньютона

3.2.5 Сумма углов

Докажите, что в описанном четырехугольнике равны суммы углов, под которыми видны изцентра вписанной окружности противоположные стороны.

Доказательство Пусть четырёхугольник EFGH описан вокруг окружности с центром О.Сумма углов треугольника EFO равна 180, значит,

EFO+ FOE+OEF=180 ,GHO+ HOG+OGH=180 .Отрезки EO, FO, GO, HO – биссектрисы углов четырёхугольника EFGH, значит,

FEO= E2

, EFO= F2

, OGH = G2

, OHG= H2

. Сумма углов четырёхугольника

EFGH равна 360, сумма половин этих углов равна 180, значит, EOF +GOH=180 .

Рис. 3.7. Сумма углов


http://www.deoma/


ginma:0;42,777,3

ginma:0;42,777,2

52

3.2.6 Расстояния между основаниями перпендикуляров

3.2.6.a Из основания высоты на стороны в треугольникеДокажите, что расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных на две стороны

треугольника из основания высоты, проведенной к третьей стороне, не зависит от выбора высоты.

3.2.6.b Связь с описанной окружностьюДокажите, что расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных к двум

сторонам треугольника из основания высоты, опущенной на третью сторону, равно SR

, S –

площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.3.2.6.c Из основания высоты на стороны в четырёхугольнике

Докажите, что расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из какой–либо вершины вписанного в окружность четырехугольника к двум его сторонам, не зависит отвыбора вершины.

3.2.6.d Связь с описанной окружностью

Докажите, что расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из какой–

либо вершины вписанного в окружность четырехугольника к двум его сторонам, равно d 1 d 2

R, d

– диагональ четырёхугольника, R – радиус описанной окружности.

Рис. 3.8. Расстояние между основаниями перпендикуляров

3.2.7 Полезные свойства

3.2.7.1. В четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Докажите, что окружности,вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются.

3.2.7.2. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB и AC в точках D и E. Докажите, что точки пересечения прямой DE с биссектрисами углов B и C лежат на одной окружности с точками B и C.

3.2.7.3. Биссектрисы углов, образованных противоположными сторонами выпуклого четырехугольника, перпендикулярны. Докажите, что около этого четырехугольника можно описать


http://www.deoma/


ginma:0;42,307

ginma:0;42,307,4

53

окружность.3.2.7.4. В треугольник ABC вписана окружность и к ней проведена касательная, параллельная

стороне AB. Найдите длину отрезка, отсекаемого на этой касательной сторонами треугольника, если известны длины a, b, c сторон данного треугольника.

3.2.8 Перпендикулярность диагоналей

В четырехугольнике ABCD сумма углов BAC и ACD равна сумме углов BCA и CAD и равна90. Докажите, что диагонали четырехугольника перпендикулярны.

(Этот четырёхугольник вписанный)Диагонали АС и BD вписанного четырёхугольника перпендикулярны и пересекаются в точке

Е. Прямая проходит через Е и перпендикулярна АВ. Докажите, что она делит CD пополам.Докажите, что прямая, которая делит CD пополам, перпендикулярна АВ.

3.2.9 Отношение расстояний

Докажите, что квадраты расстояний от центра окружности, вписанной в четырехугольник, додвух его противоположных вершин относятся как произведения сторон, сходящихся в этихвершинах.Доказательство. Пусть четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности с центром О.

Требуется доказать, что AO2

CO2 =AB⋅ADBC⋅CD

.

Пользуемся тем, что в любых треугольниках с вершиной О одинаковая высота из вершины О,равная радиусу окружности. Заменим отношение произведений сторон отношением произведений

площадей треугольников AB⋅ADBC⋅CD

=

AB⋅R2

⋅AD⋅R

2BC⋅R

2⋅

CD⋅R2

=S ABO⋅S ADO

S BCO⋅S CDO

.

Вычислим это произведение другим способом.

S ABO⋅S ADO

S BCO⋅SCDO

=

AO⋅BOsin AOB2

⋅AO⋅DO sin AOD

2CO⋅BO sin BOC

2⋅

CO⋅DO sin COD2

=AO2

CO2⋅

sin AOB⋅sin AODsin BOC⋅sin DOC

.

Так как AOB+СOD=180 , то sin AOB=sin СOD .Аналогично, sin AOD=sin BOС .

Значит, AO2

CO2⋅sin AOB⋅sin AODsin BOC⋅sin DOC

=AO2

CO2и AO2

CO2 =AB⋅ADBC⋅CD

.


http://www.deoma/


54

3.2.10 Вписанно−описанный четырёхугольник

Четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности с центром О. Из вершин В и D опущеныперпендикуляры ВЕ и DЕ' на прямую АО, BF и DF' на СО, соответственно. Докажите, чточетырёхугольник ЕFЕ'F' вписанный и BF⋅DF '=BE⋅DE ' .

Доказательство. Известно, что AO2

CO2 =AB⋅ADBC⋅CD

.

Пользуемся тем, что в любых треугольниках с вершиной О одинаковая высота из вершины О,равная радиусу окружности. Заменим отношение произведений сторон отношением произведений площадей треугольников

AB⋅ADBC⋅CD

=

AB⋅R2

⋅AD⋅R

2BC⋅R

2⋅

CD⋅R2

=S ABO⋅S ADO

S BCO⋅S CDO

.

Вычислим это произведение, рассматривая АО и СО, как основания треугольников. Так как расстояние от В до прямой АО равно ВЕ, до прямой СO равно BE', расстояние от D допрямой АО равно ВF, до прямой СO равно BF', получаем:

S ABO⋅S ADO

S BCO⋅SCDO

=

AO⋅BE2

⋅AO⋅DE '

2CO⋅BF

2⋅

CO⋅DF '2

=AO2

CO2⋅BE⋅DE 'BF⋅DF '

. Значит, BE⋅DE 'BF⋅DF '

=1,BEBF

=DF 'BE '

.

Треугольники BFE и DE'F' подобны, так как у них пропорциональны стороны содержащие равныеуглы FBE и F'DE'. Значит, равны углы BFЕ и DE'F'. Следовательно, равны углы OFЕ и OE'F', дополняющие равные углы до прямых. Эти углыопираются на отрезок EF', значит, четырёхугольник ЕFЕ'F' вписанный.

Рис.3.9. Вписанно−описанные четырёхугольники


http://www.deoma/


ginma:0;42,776

ginma:0;42,776,3

55

3.2.11 Вписанно−описанная трапеция (МГУ, 2013)

Трапеция ABCD (AD||BC, AD > BC) вписана в окружность радиуса R и описана вокругокружности радиуса r, причём известно отношение радиусов k = r/R. Найдите среднюю линиютрапеции, если её диагональ равна L.

Размышляем: очевидный подход — обозначить половины оснований трапеции через a и b ирешить возникшую систему уравнений и выразить среднюю линию, как сумму a + b плох тем, чторешение сводится к уравнению четвёртой степени. Поэтому нужно искать именно сумму a + b.

Решение: Вписанная трапеция равнобедренная, суммы пар противолежащих сторонописанного четырёхугольника равны, значит, средняя линия равна боковой стороне трапеции.

Обозначим угол A через α, искомую среднюю линию через х.

Высота трапеции, равна 2r = x sin α.

Угол между радиусами описанной окружности АО и ОС равен 2α, значит, AC = 2R sin α = L.

Следовательно, 2 r=k⋅2 R=k Lsinα

→ sin2α=kLx

.

Пусть C' – проекция С на AD. Тогда по теореме Пифагора для треугольника ACC' (AC = L,

CC' = 2r, AC' = x) получим: x2 + x2 sin2 α = L2 , x2 + kLx = L2 , x=L(√ k2

4+1−

k2).

Ответ: L(√ k2

4+1−

k2).

3.2.12 Вписанный четырёхугольник и касательные

В окружность вписан четырехугольник ABCD такой, что касательные к окружности ввершинах A и C пересекаются на прямой BD. Докажите, что касательные в вершинах B и Dпересекаются на прямой AC, биссектрисы углов A и C пересекаются на прямой BD, биссектрисыуглов B и D пересекаются на прямой AC. Докажите, что этим же свойством обладают биссектрисывнешних углов при противоположных вершинах четырехугольника.

Рис.3.11. Вписанный четырёхугольник и касательные3.2.12.a 2011-2012 - 11

Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что AB⋅CD=AD⋅BC . Докажите, что ∠BAC+∠CBD+∠DCA+∠ADB = 180 (GinMA 799)


http://www.deoma/


ginma:0;42,799

56

4 Окружность и многоугольник

4.1 Правильный пятиугольник

4.1.1 Золотое отношение

Золотое отношение для отрезков диагоналей правильного пятиугольника и его сторон.

Рис. 4.1. Золотое сечение в правильном пятиугольнике

4.1.2 Перпендикулярные диаметры

В окружности с центром O проведены два перпендикулярных диаметра AB и CD. Точка E−середина радиуса OA. На луче EB отложен отрезок EK, равный отрезку CE. Докажите, чтоотрезок KC равен стороне правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность.

4.1.3 Полуправильный шестиугольник

Построен шестиугольник вписанный в окружность в котором параллельны парыпротиволежащих сторон и диагонали, соединяющие вершины, не принадлежащие этим сторонам.

Пусть построены две оси симметрии, перпендикулярные АВ и ВС. Отсчитываем угол отнаправления OR. Пусть в точке А угол равен − α, в точке В он равен α, угол между осями равен ψ.

Выполним поочерёдно симметрии относительно осей. A → B→C→D→E→F→A. Из условиязамыкания найдём, что ψ = 60º, АОС = АОE =BОF =BОD =120º. Если α = 30º, тошестиугольник правильный.

В рассматриваемом шестиугольнике противолежащие стороныпопарно равны, три диагонали равны между собой и равноудалены отцентра круга.


http://www.deoma/


ginma:0;42,819

ginma:0;42,926

57

5 Несколько окружностей

5.1 Общая касательная5.1.1 Внешняя касательная

Постройте общую внешнюю касательную к двум данным окружностям.

5.1.2 Внутренняя касательная

Постройте общую внутреннюю касательную к двум данным окружностям.

Рис. 5.1. Построение общих касательных

5.1.3 Общая касательная, угол

Окружности касаются внешне в точке А, CD – общая внешняя касательная. Докажите, что CAD = 90∠ .

Рис. 5.2. Общая касательная, построение и свойство


http://www.deoma/


ginma:0;42,789

ginma:0;42,98

58

5.1.3.a Общая касательная касающихся окружностей

Две окружности касаются внешним образом. Отрезок общей внешней касательной к ним,соединяющий точки ее касания, есть среднее геометрическое диаметров окружностей.

5.1.4 Отрезки общих касательных

К окружностям и ' с центрами А и В проведены общие внешние касательные CE (точка С на ) и C'E' (точка С' на ') и общая внутренняя касательная EE' касающаяся в точке D и ' в точке D'. Докажите, что CE = DE =C'E' = D'E'.

Доказательство. Пусть точки F и F' симметричны точкам С и C', соответственно, относительно АВ.Из симметрии относительно АВ, CF' = C'F.ED' = EF', E'D = FE', CE = DE, C'E' = D'E' как отрезки касательных.CF' = CE + EF' = CE + ED' = CE + ED + DD' = 2ED + DD';C'F = C'E' + E'F = C'E' + E'D = C'E' + D'E' + DD' = 2E'D' + DD'. ED = E'D'.


http://www.deoma/


ginma:0;42,910

59

5.1.5 Внутреннее касание

Окружности касаются внутренним образом в точке А. Хорда CD внешней касаетсявнутренней окружности в точке В. Докажите, что ∠BAC = ∠BAD.

Рис. 5.3. Внутреннее касание окружностей

5.1.6 Общая секущая трёх окружностей

Три окружности имеют две общие точки. Через одну из них проведена секущая,пересекающая эти окружности вторично в трех точках. Докажите, что отношение этих трех точекне зависит от выбора секущей. Отношением трех точек A, B, C прямой называется число AB : CB.

Решение: На общую секущую опущены перпендикуляры OE, O'F, OG. Очевидно, чтоотношение EF : FG = OO' : O'Q не зависит от выбора секущей.

EF = (AD − BD)/2, FG = (CD + BD)/2, следовательно, AB : BC = (AD − BD) : (BD + CD) = OO' : O'Q.

Рис. 5.4. Общая секущая трёх окружностей


http://www.deoma/


ginma:0;42,774

ginma:0;42,816

60

5.1.7 Равные окружности

Две окружности ω и ω' радиуса R c центрами в точках О и Q пересекаются в точках А и В.Точки С и D этих окружностей принадлежат ОQ и находятся в одной полуплоскости от прямой AB.Докажем, что AB2 + CD2 = 4R2.

Доказательство: Выполним перенос окружности ω на вектор CD Точка С совместится с D,окружности симметричны относительно OQ, их радиусы равны, значит, результат переносасовпадёт с ω'.

Точка А переместится в точку A' на окружности ω', причём AA' = CD и AA'||CD.ABOQ, CD лежит на OQ, значит, ABAA'.Прямой угол BAA' опирается на A'B, значит, A'B – диаметр окружности ω', равный 2R.По теореме Пифагора для треугольника AA'В, AB2 + CD2 = 4R2.

Рис.5.5. Перенос для равных окружностей

5.1.8 Равные окружности ([1], 1.61)

Две окружности ω и ω' радиуса R c центрами в точках О и Q касаются внешним образом вточке E. Хорды EF и EG этих окружностей перпендикулярны. Найдите FG.

Решение: Выполним перенос окружности ω на вектор ОQ. Точка E совместится сдиаметрально противоположной ей точкой E', окружность ω в результате переноса совпадёт с ω'.

Точка F переместится в точку F' на окружности ω', причём FF' = EE' и FF'||EE', FE = F'E'.В параллелограмме EFF'E' равны треугольники EF'E' и F'EF.EF'E' = 90, значит, F'EF' = 90.Хорда ЕF' перпендикулярна ЕF, значит, она совпадает с EG.FG = FF' = EE' = 2R.Ответ: 2R.

Рис.5.6. Перенос для равных окружностей


http://www.deoma/


ginma:0;42,840

ginma:0;42,840,3

61

5.1.8.a Равные окружности

Три окружности ω1, ω2, ω3 радиуса r проходят через точку S и касаются внутренним образомокружности ω радиуса R (R > r) в точках T1, T2, T3 соответственно. Докажите, что прямая T1T2

проходит через вторую (отличную от S) точку пересечения окружностей ω1 и ω2.

Решение: Любая пара окружностей из ω1, ω2, ω3 одинакового радиуса r симметричнаотносительно прямой OS, где О — центр окружности ω, так как по трём сторонам равнытреугольники OSOi, где Оi — центр окружности ωi. Если ось OS единственная, то две окружностииз трёх совпадают.

Значит, OS не единственная, то есть точки O и S совпадают, R = 2r.

Задача упростилась: Две окружности радиуса r касаются внутренним образом окружностирадиуса 2r c центром Q в точках A, A' и проходят через точку F. Докажите, что прямая AA' проходитчерез F.

Доказательство: Пара окружностей радиуса r симметрична относительно прямой FQ.Середина отрезка AA', суть основание высоты треугольника AA'Q, лежит на обеих окружностях, тоесть совпадает с F.


http://www.deoma/


ginma:0;42,774,3

62

5.1.9 Разные окружности [1],1.71.

Даны две окружности ω и c центрами в точках О и Q и прямая l, не параллельная и неперпендикулярная ОQ. Постройте прямую, параллельную l так, чтобы окружности высекали наней равные хорды.

Построение: Пусть проекция точки О на прямую l суть точка А, проекция Q на прямую l –точка B.

Выполним перенос окружности ω на вектор AB. Обозначим ω' результат переноса.Пусть точки С' и D' суть образы точек С и D.Выберем точки С' и D' в точках пересечения ω' и .Тогда С'D' = С'D, прямая С'D'СD параллельна прямой l.

Рис.5.7. Перенос для построения равных хорд

5.1.10 Разные окружности [1],1.73.

Постройте окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой l и данной окружности.Построение: Пусть ω = (Q,QB) произвольная окружность данного радиуса QB, касающаяся

прямой l, а ω' = (Q',QB) – искомая, полученная путём переноса ω на вектор QQ'.Тогда расстояние между центрами окружностей ОQ' = R = r + QB.Чтобы построить точки Q' нужно найти точки пересечения прямых, параллельных данной

прямой l и удалённых от неё на заданное расстояние QB и окружности с центром О и радиусом R.

Рис.5.8. Перенос для построения касающейся окружности


http://www.deoma/


ginma:0;42,841

63

5.1.11 Множество точек постоянного угла

Найдите геометрическое место точек В таких, что АВС = φ, где А и С – данные точки.Построение: Пусть M – середина отрезка AC, который размещен вертикально, МO –

срединный перпендикуляр этого отрезка.Рассмотрим случай φ < 90. Пусть О – такая точка срединного перпендикуляра, что угол

АОM = φ, причём точка О расположена левее, чем М. Тогда дуга окружности ω = (Q,QА) от А до С, лежащая слева от АС, содержит все точки

искомого ГМТ в левой полуплоскости прямой АС. Для точек D круга с центром О углы АDС > φ. Для точек D расположенных вне круга с центром О углы АDС < φ.Рассмотрим случай φ > 90. Пусть О – такая точка срединного перпендикуляра, что угол

АОM = 90 – φ, причём точка О расположена правее, чем М. Вновь дуга окружности ω = (Q,QА)от А до С, лежащая слева от АС, содержит все точки искомого ГМТ в левой полуплоскости прямойАС.

Решение в правой полуплоскости прямой АС симметрично найденному относительнопрямой АС.

Доказательство: Центральный угол АОС равен 2φ, значит, вписанный в окружность сцентром О угол АВС равен половине центрального, то есть φ.

Пусть точка D лежит вне круга и выше прямой МО в этой полуплоскости. Отрезок ADпересечёт дугу АС в некоторой точке В. Для треугольника BCD внутренний угол D меньшевнешнего АВС, то есть меньше, чем φ.

Пусть точка D лежит внутри круга. Прямая AD пересечёт дугу АС в некоторой точке В. Длятреугольника ВСD внутренний угол В меньше внешнего АDС, то есть АDС > φ.

Докажем уть половина искомого ГМТ. Вторая половина симметрична первой относительнопрямой АС либо относительно точки М.

Рис. 5.9. Геометрическое место точек из которых данный отрезок виден под данным углом.


http://www.deoma/


ginma:0;42,845

64

5.1.12 Фиксированная точка

Дана окружность и точки A и P вне ее. Через точку A проведена секущая к окружности w,пересекающая ее в точках B и C. Докажите, что вторая точка пересечения прямой AP сокружностью, проходящей через точки B, C и P, не зависит от выбора секущей AB.

Рис. 5.10. Решение в интерактивном файле

5.1.13 Равные хорды

В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках A и B, адругая в точках C и D. Докажите, что на прямой AC эти окружности отсекают равные хорды.

Рис. 5.11. Равные хорды в двух окружностях


http://www.deoma/


ginma:0;42,787

ginma:0;42,783

65

5.1.14 Построение

Постройте окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся заданной прямой.

Рис.5.12. Построение окружности

5.1.15 Окружность, вписанная в сегмент

Хорда АВ разбивает окружность на две дуги. Окружность касается хорды АВ и одной издуг. Е − середина второй дуги. ЕА = 5. Найдите длину касательной, проведенной из Е к .

Рис.5.13. Окружность вписана в сегмент


http://www.deoma/


ginma:0;42,788

ginma:0;42,802

66

5.1.16 Четыре пересекающиеся прямые

Даны четыре прямые, никакие три из которых не проходят через одну точку. Доказать, чтоокружности, описанные около четырех треугольников, образованных этими прямыми, имеютобщую точку.

Рис.5.14. Четыре пересекающиеся прямые

5.1.17 Теорема о бабочке

Пусть Е – середина хорды АВ окружности ω с центром О. Точки C и D лежат на меньшейдуге АВ. Хорды CL и DK проходят через Е, хорды CK и DL пересекают АВ в точках F и F₀.Докажите, что EF = EF .₀

Рис.5.15. Теорема о бабочке


http://www.deoma/


ginma:0;42,817,3

ginma:0;42,191

67

5.1.18 Окружности Данделена

Окружности Данделена заданы отрезком AA' с центром О, точками касания F и F', лежащимина отрезке AA' и параметром α. AA' моделирует ось эллипса, F и F' — фокусы.


http://www.deoma/


68

6 Степень точки, радикальная ось и центр

6.1 ОсновыПусть через внешнюю относительно окружности (O, R) точку Р, расположенную на

расстоянии L от центра окружности точки О, L = PO, проведена произвольная секущая,пересекающая эту окружность в точках A и B, и касательная РС. Тогда произведение РА РВ = L2 –R2 = PC2 и не зависит от выбора секущей и равно квадрату касательной. Чтобы доказать этот факт,пользуйтесь подобием треугольников РВС и РАС где С точка касания прямой из Р.

Если точка Р лежит внутри окружности (O, R), то проведем через нее две хорды–произвольную хорду AB и хорду CD, перпендикулярную OР. Тогда произведение РА РВ = |L2 – R2|

Наконец, в случае, когда точка Р лежит на окружности (O, R), то L2 – R2 = 0.Величина РА РВ, взятая со знаком плюс для точки Р вне окружности и со знаком минус для

точки Р внутри окружности, называется степенью точки Р относительно окружности (O, R).

Теорема. Пусть на плоскости даны две неконцентрические окружности S1 и S2, расстояние между центрами которых равно 2а. Тогда геометрическим местом точек, для которых степень относительно S1 равна степени относительно S2, является прямая.

Эту прямую называют радикальной осью окружностей. Радикальная ось перпендикулярна линии центров окружностей.Теорему удобно доказать методом координат, поместив начало координат на середину

отрезка, соединяющего центры окружностей. В результате находим x=R2

−r 2

4 a.

Радикальная ось двух пересекающихся окружностей проходит через точки их пересечения. Это следует из того, что степени точки Р относительно обеих точек пересечения равны, то есть этиточки лежат на радикальной оси, а через две точки можно провести ровно одну прямую.

Радикальная ось двух касающихся окружностей проходит через точку их касания.

Если окружности лежат одна вне другой, не касаясь, то середина их общей касательнойимеет равные степени относительно их и потому принадлежит радикальной оси.

Понятие радикальной оси двух окружностей остается в силе и в том случае, когда одна изних вырождается в точку–«нулевую окружность». При R = 0 степень точки P относительно такойокружности будет равна O2P2. Поэтому радикальная ось окружности (O1, R1) и точки O2 естьмножество точек, степень каждой из которых относительно этой окружности равна квадратурасстояния ее до точки O2.

Две пересекающиеся окружности называются ортогональными, если касательные к ним в ихобщей точке перпендикулярны. Центр каждой из двух ортогональных окружностей лежит накасательной к другой в их общей точке.

Внешние относительно каждой из двух данных окружностей точки их радикальной оси


http://www.deoma/


69

являются центрами окружностей, каждая из которых ортогональна обеим данным окружностям.Обратно, если окружность ортогональна двум данным окружностям, то ее центр

принадлежит их радикальной оси.Внутренние относительно каждой из двух данных окружностей точки их радикальной оси

являются центрами окружностей, каждая из которых делится пополам обеими данными окружностями.

Обратно, если две данные окружности делят пополам третью окружность, то ее центр лежит на радикальной оси этих окружностей.

Рис. 6.1. Свойства точки на радикальной оси

Пусть на плоскости даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Тогдавсе три радикальные оси для каждой пары этих окружностей пересекаются в одной точке,называемой радикальным центром трех окружностей. Действительно, точка пересечения двухосей имеет равную степень относительно двух окружностей, значит, и относительно третьей.

Пусть на плоскости даны три попарно касающиеся окружности, центры которых не лежат наодной прямой. Тогда радикальный центр есть центр окружности, вписанной в треугольник,образованный центрами трёх исходных окружностей. Действительно, это точка пересеченияравных касательных к окружностям через точки касания – её степень относительно любой из трёхначальных окружностей это радиус вписанной окружности.


http://www.deoma/


ginma:0;42,814

ginma:0;42,814,3

70

6.2 Ортоцентр и радикальная осьДаны треугольник АВС и точка D, A' и B' – точки пересечения AD c BC и BD c AC. Тогда

радикальная ось окружностей с диаметрами AA' и BB' содержит ортоцентр треугольника АВС.

Рис. 6.2. Ортоцентр и радикальная ось


http://www.deoma/


ginma:0;42,518

71

6.2.1 Касающиеся окружности

Две окружности (Q,r) и (O,R) радиусов r и R (r < R) касаются друг друга внешним образом.Третья окружность с центром Р касается их внешним образом в точках А и A'. Общая внешняякасательная касается первых двух окружностей в точках B и B'. Прямые АA' и BB' пересекаются вточке С. Найти длину касательной, проведенной из точки С к третьей окружности.

Рис. 6.2. Касающиеся окружностиРешение: Радикальный центр трёх касающихся окружностей есть центр окружности, вписанной в

треугольник, образованный центрами трёх исходных окружностей, значит, окружность AA'Eвписана в треугольник POQ.

Пусть С' – точка пересечения AA' и линии центров QO. По теореме Менелая длятреугольника QРO находим CQ · A'P · OA = CO · A'Q · AP. Так как AР = A'P, находим

COCQ

=AO

A ' Q=

Rr=

OBQB'

, то есть BB' пересекает QO в той же точке, C' = C.

AA' – радикальная ось окружности с центром Р и окружности AA'E, значит, CD = CE.

Из подобия треугольников OBC и QB'C: COCQ

=CE+ RCE−r

=Rr

⇒CD=CE=2 R rR−r

.

6.2.1.a Три попарно касающиеся окружности

Пусть на плоскости даны три попарно касающиеся окружности, центры которых не лежат наодной прямой. Тогда расстояние от точки пересечения касательных С к двум из них до точки ихкасания Е равно длине касательной к третьей окружности СK.

Решение: Если А, В и Е – точки касания, то CE2 = CB CA = CK2.


http://www.deoma/


ginma:0;42,812

72

6.2.2 Касающиеся окружности внутри полукруга

В полукруг помещены две окружности с диаметрами 2r и 2R (r < R) так, что каждая из нихкасается дуги и диаметра полукруга, а так же другой окружности. Через центры окружностейпроведена прямая, пересекающая продолжение диаметра полукруга в точке B. Найти длинукасательной, проведенной из точки B к дуге полукруга.

Решение: Из подобия треугольников BOG и BQH: BOBQ

=BD−rBD+R

=rR

⇒ BD=2 R rR−r

.

Радиус полукруга AP

√R r=

2 R r (R2+r2

−2√2 R r )R4

−6 R2 r2+r4 .

Как и ранее доказываем, что искомое расстояние СК равно расстоянию от точки касанияокружностей до точки пересечения линии их центров с касательными CE.

Рис. 6.3. Касающиеся окружности внутри полукруга


http://www.deoma/


ginma:0;42,254

73

6.2.3 Касающиеся внешним образом окружности

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Прямая, проходящая черезA, пересекает первую окружность в точке B, а вторую – в точке C. Касательная к первойокружности, проходящая через B, пересекает вторую окружность в точках D и E (D между B и E).Найти CE и расстояние от A до центра O окружности, вневписанной в угол E треугольника ADE,если AB = b, BC = a.

Рис. 6.4. Касающиеся окружности и общая секущая

Решение: Доказываем подобие треугольников АЕС и ЕВС. Угол С у них общий. Дуги АВпервой окружности и АС второй равны (ОАВ = QАС как вертикальные, треугольники ОАВ иQАС равнобедренные значит, равны центральные углы, соответствующие этим дугам. АВЕизмеряется половиной дуги АВ как угол между касательной и хордой. АЕС измеряетсяполовиной дуги АС – как вписанный, опирающийся на дугу АС. В треугольниках АЕС и ЕВС подва равных угла. Из подобия СЕ : ВС = AC : CE CE2 = AC ВС = ab.

Доказываем, что АВ есть биссектриса внешнего угла А треугольника АЕС. DАВ = DЕС,так как четырёхугольник АDЕС вписанный. ЕАС = DЕС, как углы подобных треугольниковАЕС и ЕВС. Значит, равны углы между продолжением ЕА и АВ и между АВ и АD. Центрвневписанной окружности лежит на АВ, как на биссектрисе внешнего угла.

Находим отношение ВD : AD из подобных треугольников ВАD и ВEС (угол B у них общий,

DАВ = BEС). ADBD

=CEBC

=√ab

a=√ b

a.

Центр вневписанной окружности лежит на биссектрисе угла D, то есть он делит отрезок АВ =a – b в отношении АD : ВD.


http://www.deoma/


ginma:0;42,823

74

7 Замечательные точки и прямые треугольника

7.1 Замечательные точки треугольника7.1.1 Центр вписанной окружности (инцентр)

Инцентр это точка пересечения биссектрис. Она является первой точкой в стандартнойклассификации по Кимберлингу (Encyclopedia of Triangle Centers – ETC, Clark Kimberling, X1). Еёпринято обозначать I. Она равноудалена от сторон треугольника.

Трилинейные координаты инцентра 1:1:1. Барицентрические a :b :c .

Декартовы координаты I =A a+B b+C c

a+b+c,a=| BC | , b=| AC | , c=| AB | .

Три другие точки, равноудаленные от прямых, содержащих стороны треугольника имеюттрилинейные координаты –1:1:1, 1:–1:1, 1:1:–1.

Точка пересечения делит биссектрису AA3 в отношении AIIA3

=b+c

a.

Инцентр принадлежит прямой Нагеля (X2 X8), прямой (X6 X9), прямой (X5 X11).

Инцентр принадлежит кубикам Thomson, Darboux, Napoleon, Neuberg

Инцентр изогонально сопряжен с собой.

Инцентр изотомически сопряжен с X75

X(1) = cyclocevian conjugate of X(1029)

X(1) = inverse-in-circumcircle of X(36)

X(1) = inverse-in-Fuhrmann-circle of X(80)

X(1) = inverse-in-Bevan-circle of X(484)

Инцентр является дополнением (complement of) точки Нагеля X8

X(1) = anticomplement of X(10)

X(1) = anticomplementary conjugate of X(1330)

X(1) = complementary conjugate at X(1329)

X(1) = eigencenter of cevian triangle of X(I) for I = 1, 88, 162

X(1) = eigencenter of anticevian triangle of X(I) for I = 1, 44, 513


http://www.deoma/


75

7.1.2 Центроид

Центроид это точка пересечения медиан. Он является второй точкой в стандартнойклассификации по Кимберлингу (Encyclopedia of Triangle Centers – ETC, Clark Kimberling, X2). Еёпринято обозначать M или G.

Трилинейные координаты центроида 1/a : 1/b : 1/c = bc : ca : ab. Барицентрические 1 : 1 : 1.

Декартовы координаты M =A+B+C

3.

Пусть L это произвольная прямая плоскости ABC. Тогда расстояние от центроида до L равносреднему арифметическому расстояний от A, B, C до L.

Треугольники BХC, CХA, AХB имеют равную площадь тогда и только тогда, когда X = X2.

Физический треугольник окажется в равновесии, если его подвесить в точке центроида илиположить на острие ножа, проходящее через центроид.

Центроид принадлежит прямой Нагеля (X1 X8), прямой Эйлера (X3 X4), прямым (X7 X9),(X13 X16), (X14 X15).

Центроид принадлежит кубике Thomson.

Центроид изогонально сопряжен с X6 .

Центроид cyclocevian conjugate of X(4)

Центроид при инверсии относительно описанной окружности переходит в точку X23.

Центроид при инверсии относительно окружности Фейербаха переходит в точку X858.

Центроид при инверсии относительно окружности Брокара переходит в точку X110.

X(2) = complement of X(2)

X(2) = anticomplement of X(2)

X(2) = anticomplementary conjugate of X(69)

X(2) = complementary conjugate of X(141).


http://www.deoma/


76

7.1.3 Центр описанной окружности

Центр описанной окружности это точка пересечения срединных перпендикуляров ксторонам треугольника. Он является третьей точкой в стандартной классификации поКимберлингу (Encyclopedia of Triangle Centers – ETC, Clark Kimberling, X3). Его принятообозначать О. Он равноудален от вершин треугольника.

Трилинейные координаты центра cos A : cos B : cos C = = a(b2 + с2 – a2 ) : b(с2 + a2 – b2) : с2(a2 + b2 – с2).

Барицентрические sin 2A : sin 2B : sin 2C == a2(b2 + с2 – a2 ) : b2(с2 + a2 – b2) : с2(a2 + b2 – с2) = k1 : k2 : k3.

Декартовы координаты O=k1 A+k2 B+k 3C

k 1+k 2+k3

.

Отрезки BХ, CХ, AХ имеют равную длину тогда и только тогда, когда X = X3.

Центр принадлежит прямой Эйлера (X2 X4), прямым (X1 X35), (X6 X15), (X13 X17), (X14 X18).

Центр принадлежит кубикам Thomson, Darboux, Napoleon, Neuberg

Центр изогонально сопряжен с X4 .

Центр изотомически сопряжен с X264

Центр при инверсии относительно ортоцентроидальной окружности (окружности с диаметром MH) переходит в X5

X(3) = complement of X(4)X(3) = anticomplement of X(5)X(3) = complementary conjugate of X(5)X(3) = anticomplementary conjugate of X(2888)X(3) = eigencenter of the medial triangleX(3) = eigencenter of the tangential triangle


http://www.deoma/


77

7.1.4 Ортоцентр

Ортоцентр это точка пересечения высот треугольника. Он является четвёртой точкой встандартной классификации по Кимберлингу (Encyclopedia of Triangle Centers – ETC, ClarkKimberling, X4). Его принято обозначать Н.

Трилинейные координаты ортоцентра sec A : sec B : sec C . Барицентрические tg A : tg B : tg C.Декартовы координаты H=3⋅M −2⋅O .

Отрезки BХ, CХ, AХ имеют равную длину тогда и только тогда, когда X = X3.


Центр принадлежит кубикам Thomson, Darboux, Napoleon, Neuberg

Центр изогонально сопряжен с X4 .

Ортоцентр и вершины треугольника A, B и C формируют ортоцентрическую систему четырёхточек, каждая из которых суть ортоцентр треугольника, образованного тремя оставшимися.Аналогичную систему образуют центр вписанной окуружности и центры вневписанныхокружностей.

Ортоцентр принадлежит прямой Эйлера (X2 X3), прямым (X1 X33), (X9 X10), (X15 X17), (X16 X18).

Ортоцентр принадлежит кубикам Thomson, Darboux, Napoleon, Neuberg.

Ортоцентр изогонально сопряжен с X3.

Ортоцентр изотомически сопряжен с X69

Центр при инверсии относительно описанной окружности переходит в X186

X(4) = cyclocevian conjugate of X(2)X(4) = inverse-in-nine-point-circle of X(403)X(4) = complement of X(20)X(4) = anticomplement of X(3)X(4) = complementary conjugate of X(2883)X(4) = anticomplementary conjugate of X(20)

Suppose P is not on a sideline of ABC. Let A'B'C' be the cevian triangle of P. Let D,E,F be thecircles having diameters AA', BB',CC'. The radical center of D,E,F is X(4). (Floor van Lamoen, Hyacinthos #214, Jan. 24, 2000.)


http://www.deoma/


78

7.1.5 Центр окружности девяти точек (NINE-POINT CENTER)

Окружность девяти точек проходит через середины сторон треугольника, основаниявысот и середины отрезков, соединяющих вершины и ортоцентр. Её центр это пятая точка встандартной классификации по Кимберлингу (Encyclopedia of Triangle Centers – ETC, ClarkKimberling, X5). Её принято обозначать Е.

Трилинейные координаты центра cos(B – C) : cos(C – A) : cos(A – B) =

= h(a,b,c) : h(b,c,a) : h(c,a,b), where h(a,b,c) = bc[a2(b2 + c2) – (b2 – c2)2].

Барицентрические h(a,b,c) : h(b,c,a) : h(c,a,b), where h(a,b,c) = a2(b2 + c2) – (b2 – c2)2

Центр принадлежит кубике Napoleon.


Центр является центроидом четырёхугольника {ABCН} (Randy Hutson, August 23, 2011)

Ортоцентр изогонально сопряжен с X54.

Ортоцентр изотомически сопряжен с X95

Центр при инверсии относительно ортоцентроидальной окружности (окружности с диаметром MH) переходит в X3.

X(5) = complement of X(3)X(5) = anticomplement of X(140)X(5) = complementary conjugate of X(3)X(5) = eigencenter of anticevian triangle of X(523)


http://www.deoma/


79

7.1.6 Точка Лемуана (Гребе) SYMMEDIAN POINT (LEMOINE POINT, GREBE POINT)

Точка Лемуана это точка пересечения симедиан. Она является шестой точкой в стандартнойклассификации (X6). Её принято обозначать L. Впервые точку Лемуана обнаружил в 1809 гшвейцарский геометр и тополог Симон Антуан Жан Люилье. Этой точке было посвященоисследование Эрнста Вильгельма Гребе, в честь которого в Германии её называют точкой Гребе1847 г. Французский геометр Эмил ь Лемуан опубликовал доказательство существования точки в1873 году.

Трилинейные координаты точки Лемуана a:b:c. Барицентрические a2 :b2 :c2 .

Декартовы координаты точки Лемуана L=Aa2

+B b2+C c2

a2+b2

+c2 , a=| BC | ,b=| AC | ,c=| AB | .

Эти утверждения следуют из свойств пересекающихся отрезков один конец каждого изкоторых расположен в вершине, а другой конец делит противолежащую сторону в заданномотношении.

Точка Лемуана изогонально сопряжена с центроидом треугольника.

Сумма квадратов расстояний от точки на плоскости до сторон треугольника минимальна,когда эта точка является точкой Лемуана.

Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон.Точка Лемуана является точкой пересечения медиан треугольника, образованного

проекциями точки Лемуана на стороны. Более того, такая точка единственна.Точка Лемуана является точкой Жергонна треугольника, образованного касательными к

описанной окружности в вершинах треугольника.

Точка Лемуана является антиперспектором описанной окружности.

Трилинейные поляры точек описанной окружности проходят через точку Лемуана.

При проективных преобразованиях, сохраняющих описанную окружность треугольника,точка Лемуана будет переходить в точку Лемуана образа этого треугольника.

Пусть A'B'C' это педальный треугольник произвольной точки X. Тогда векторная сумма XA' +XB' + XC' равна нулю тогда и только тогда, когда X = X6.

Первая окружность Лемуана содержит шесть точек пересечения со сторонами треугольникапрямых, проходящих через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника.

Вторая окружность Лемуана (cosine circle) содержит шесть точек пересечения со сторонамитреугольника прямых, проходящих через точку Лемуана антипараллельно сторонам треугольника.

X(6) is the radical trace of the 1st and 2nd Lemoine circles. (Peter J. C. Moses, 8/24/03)

X(6) is the perspector of ABC and the medial triangle of the orthic triangle of ABC. (Randy Hutson, 8/23/2011) ортотреугольник срединный треугольник


http://www.deoma/

http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%B0%D0%BD,_%D0%AD%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C&action=edit&redlink=1



http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%93%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5,_%D0%AD%D1%80%D0%BD%D1%81%D1%82_%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC&action=edit&redlink=1

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%8E%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B5,_%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%BD


80


http://www.deoma/


81

7.2 Симедианы и точка Лемуана7.2.1 Симедиана, определение и основные свойства

Пусть точка М – центроид треугольника АВС. Луч, симметричный лучу BМ относительнобиссектрисы BI угла B, пересекает сторону AС в точке B5.

Симедианой угла B треугольника АВС называем отрезок BB5, либо луч BB5, реже прямую BB5.Лемма Пусть прямые BD и BE симметричны относительно биссектрисы ВВ3 и точки D и E

лежат на ВС. Тогда BD⋅BECD⋅CE

=AB2

AC 2 . Утверждение следует из теоремы синусов.

Симедиана BB5 делит AС на части, пропорциональные квадратам прилежащих сторонAB5

CB5

=AB2

BC 2 . Следует из предыдущего, с учётом равенства BE = CE для медианы АЕ.

Рис. 7.1. Симедиана AA5


http://www.deoma/


ginma:0;42,301

82

7.2.2 Антипараллель и симедиана

Антипараллелью к отрезку ВС называют отрезок DF, такой , что точка D лежит на луче АB, точка F лежит на луче АC и ABC = AFD, ACB = ADF.

Симедиана АЕ делит пополам любой отрезок, антипараллельный ВС. Следует из симметрии относительно биссектрисы.

Рис. 7.2. Симедиана AL и антипараллель DFДоказательство: Выполним симметрию относительно биссектрисы AI. Отрезок DF перейдёт

в отрезок D'E', параллельный АВ и гомотетичный ему с центром гомотетии в точке А. Прямая АЕперейдёт в прямую АМ, содержащую медиану. Эта прямая делит ВС и любой гомотетичный емуотрезок пополам. Равенство образов соответствует равенству прообразов, то есть DE = EF.■

7.2.3 Антипараллель, симедиана и средняя линия

Антипараллель CD треугольника АВС пересекает симедиану BE в точке G. Докажите, что Gпринадлежит средней линии А1В1, параллельной АВ.

Рис. 7.3. Симедиана и антипараллель DС


http://www.deoma/


ginma:0;42,895

ginma:0;42,929,1

83

7.2.4 Антипараллель и перпендикулярные биссектрисы

Пусть CD – антипараллель треугольника АВС. Докажите, что биссектрисы углов АВС и ACDперпендикулярны и пересекаются в точке Q средней линии А₁B , причём 2₁ QA = ₁ BC.

Доказательство: Прямые AC и CD симметричны относительно биссектрисы CQ.

Прямая, параллельная CD, симметрична АС относительно биссектрисы ВQ.

Оси симметрии двух прямых перпендикулярны.

В прямоугольном треугольнике BCQ вершина Q удалена от середины гипотенузы наполовину гипотенузы.

Доказательство 2: Если углы треугольника АВС равны 2α, 2β, 2γ, то α +β + γ = π/2.

CBQ = β, BCQ = BCD + DCQ = 2α + (2γ – 2α )/2 = α + γ

BQC = π – (α + γ + β) = π/2.

Рис. 7.4. Симедиана и биссектрисы BQ, CQ.


http://www.deoma/


ginma:0;42,929,3

84

7.2.5 Антипараллель и описанная окружность

Антипараллель CD пересекает медиану BВ1 треугольника АВС в точке F, а симедиану BE вточке G. Докажите, что четырёхугольник EGFB вписанный.₁

Доказательство: Прямые AC и CD симметричны относительно биссектрисы CQ.

Прямые BЕ и BВ1 симметричны относительно биссектрисы CQ.

BFC = BEA, в силу симметрии их сторон относительно CQ.

Четырёхугольник EGFB вписанный по свойству противолежащих углов.₁

Рис. 7.5. Симедиана и окружность EGFB .₁

7.2.6 Антипараллель и параллель

Антипараллель CD пересекает медиану BB треугольника ₁ АВС в точке F. BE симедиана.Докажите, что EF параллельна BС.

Рис. 7.6. Симедиана и параллель


http://www.deoma/


ginma:0;42,929,4

ginma:0;42,929,5

85

7.2.7 Касательные в точках пересечения симедианы и описанной окружности

Касательная в точке А к описанной окружности АВС пересекает прямую ВС в точке Р. PG –вторая касательная из Р к окружности АВС. Докажите, что AG это симедиана.

Касательные в точках С и В к описанной окружности АВС пересекаются в точке Н. Докажите,что прямая AН содержит симедиану угла А треугольника АВС.

Рис. 7.2. Симедиана и касательные

7.2.8 Биссектрисы и симедиана

Биссектрисы внутреннего и внешнего угла А треугольника АВС пересекают прямую ВС вточках J и K. Окружность с диаметром JK пересекает описанную окружность АВС в точках А и N.Докажите, что AN это симедиана треугольника АВС.

Рис. 7.3. Симедиана и биссектрисы


http://www.deoma/


ginma:0;42,895,4

ginma:0;42,895,3

ginma:0;42,895,5

86

7.2.9 Окружность концов антипараллелей

Если провести через точку Лемуана отрезки, антипараллельные сторонам треугольника, сконцами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности. Точка Лемуанабудет её центром.

7.2.10 Описанная окружность и симедианы

Симедианы треугольника АВС пересекают описанную окружность АВС в точках D, E, F.Докажите, что L это общая точка Лемуана треугольников АВС и DЕF.

Докажите, что прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединамисоответствующих высот пересекаются в точке Лемуана.

Рис. 7.4. Симедиана и описанная окружность


http://www.deoma/


ginma:0;42,895,2

ginma:0;42,256

87

7.2.11 Точка Лемуана (Гребе), свойства

Сумма квадратов расстояний от точки на плоскости до сторон треугольника минимальна,когда эта точка является точкой Лемуана.

Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон.Точка Лемуана является точкой пересечения медиан треугольника, образованного

проекциями точки Лемуана на стороны. Более того, такая точка единственна.Точка Лемуана является точкой Жергонна треугольника, образованного касательными к

описанной окружности в вершинах треугольника.

Точка Лемуана является антиперспектором описанной окружности.

Трилинейные поляры точек описанной окружности проходят через точку Лемуана.

При проективных преобразованиях, сохраняющих описанную окружность треугольника,точка Лемуана будет переходить в точку Лемуана образа этого треугольника.

7.2.12 Окружность Брокара

Окружность, построенная на отрезке, соединяющем центр описанной окружности О и точкуЛемуана L, как на диаметре, содержит точки Брокара. Эта окружность называется окружностьюБрокара.


http://www.deoma/


88

7.2.13 Точки Аполлония

Точки Аполлония (изодинамические центры X15 и Х16) – это две точки, расстояние от которыхдо вершин треугольника обратно пропорциональны сторонам, которые противолежат этимвершинам. Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли.

Окружности, построенные как на диаметре на отрезке, соединяющем основания внутреннейи внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.

Точки Аполлония лежат на оси Брокара, соединяющей центр описанной окружности с точкой Лемуана и изогонально сопряжённой с гиперболой Киперта.

Соотношения для точек Аполлония:

(L−X )2

(O−X )2+(O−L)

2

R2=1, X 15=

L+O s1+s

, X 16=L−O s1−s

, s=√1−OL2

R2.

Если углы треугольника α, β, γ, то:

X 15=A d A+B d B+C d C

d A+d B+d C

, d A=a sin (α+ π3) , d B=b sin(β+ π

3) , d C=c sin (γ+ π

3).

X 16=A d A+B d B+C d C

d A+d B+d C

, d A=a sin(α−π3) , d B=b sin (β−π

3) , d C=c sin(γ−π

3).

Точки Аполлония и прямая БрокараThe isodynamic points of a triangle are points associated with the triangle, with the properties that an inversion centered at one of these points transforms the given triangle into an equilateral triangle, and that the distances from the isodynamic point to thetriangle vertices are inversely proportional to the opposite side lengths of the triangle. Triangles that are similarto each other have isodynamic points in corresponding locations in the plane, so the isodynamic points are triangle centers, and unlike other triangle centers the isodynamic points are also invariant under Möbius transformations. A triangle that is itself equilateral has a unique isodynamic point, at its centroid; every non–equilateral triangle has two isodynamic points. Isodynamic points were first studied and named by Joseph Neuberg.


http://www.deoma/

http://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Jean_Baptiste_Neuberg

http://en.wikipedia.org/wiki/Centroid

http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation

http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_center

http://en.wikipedia.org/wiki/Similarity_(geometry)

http://en.wikipedia.org/wiki/Equilateral_triangle

http://en.wikipedia.org/wiki/Inversive_geometry


ginma:0;42,890

89

7.2.14 Прямые, параллельные прямой Эйлера

Построена пара точек Ферма–Торричелли X и X и прямая Эйлера ОМ. Три прямые ₁₃ ₁₄Эйлера и X X и X X параллельны.₁₃ ₁₅ ₁₄ ₁₆

Прямые, параллельные прямой Эйлера

7.2.15 Педальные треугольники точек Аполлония

Построены педальные треугольники точек Аполлония X и X DD D и EE E . Оба₁₅ ₁₆ ₁ ₂ ₁ ₂треугольника правильные.

The pedal triangle of an isodynamic point, the triangle formed by dropping perpendiculars from X and X to each of the₁₅ ₁₆three sides of triangle ABC, is equilateral, as is the triangle formed by reflecting X and X across each side of the triangle.₁₅ ₁₆Among all the equilateral triangles inscribed in triangle ABC, the pedal triangle of the first isodynamic point is the one withminimum area.


http://www.deoma/

http://en.wikipedia.org/wiki/Pedal_triangle


90

7.2.16 Прямые, содержащие центроид

Построены прямые X X₁₃ 16 и X X . Они пересекаются в центроиде М.₁₄ ₁₅

7.2.17 Инверсный правильный треугольник

Точки A', B' и C' инверсны точкам АВС относительно окружности ω с центром в точке X .₁₅Треугольник A'B'C' правильный. Окружность АВС инверсна окружности A'B'C' относительноокружности ω.


http://www.deoma/


91

7.2.18 Окружность 9 точек (окружность Эйлера, окружность Фейербаха)

Доказываем, что во всяком треугольнике АВС середины сторон, основания высот и серединыотрезков, соединяющих ортоцентр Н с вершинами, лежат на одной окружности . Её центр этосередина отрезка OH. где О – центр окружности АВС. Её радиус равен половине радиусаописанной окружности АВС.

Доказательство 1. Рассмотрим окружность , содержащую основания H1, H2, H3 высоттреугольника ABC.

Известно, точки, симметричные ортоцентру H треугольника относительно его сторон, лежатна описанной окружности. Значит, окружность есть образ описанной окружности при гомотетиис центром H и коэффициентом k = 1/2.

Поэтому ее центром является середина отрезка OH, а радиус равен 0.5R, где R – радиусописанной окружности.

Образы вершин A, B, C треугольника ABC при гомотетии с центром H и коэффициентом k = 1/2 это точки K1, K2, K3 Эти точки суть середины отрезков HA, HB, HC, соединяющих ортоцентр H с вершинами A, B, C. Они лежат на окружности .

Известно, точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин его сторон,лежат на описанной около него окружности. Поэтому середины A1, B1, C1 сторон лежат на .

Окружность имеет множество названий – окружность девяти точек, окружность Эйлера,окружность Фейербаха.

Доказательство 2. Рассмотрим окружность , содержащую середины A1, B1, C1 сторонтреугольника ABC.

По свойству медиан треугольник ABC гомотетичен треугольнику A₁B₁C с вершинами₁относительно точки М пересечения медиан, k = −1/2.

По свойству двойственности, центр O описанной около треугольника ABC окружностиявляется ортоцентром треугольника A₁B₁C .₁

Гомотетия сохраняет величину угла, значит, высоты AH , ₁ BН , ₂ CН треугольника ₃ ABCуказанной гомотетией отображаются на высоты OA , ₁ OB , ₁ OC треугольника ₁ A₁B₁C . ₁

Гомотетия точку H пересечения высот треугольника ABC переводит в точку O пересечениявысот треугольника A₁B₁C . Поэтому точки₁ H и O лежат на одной прямой с центром М гомотетии,MH = 2 OM. Отсюда ОЕ = ЕН.


http://www.deoma/


ginma:0;42,813

92

7.2.19 Использование свойств окружности Фейербаха

Дан вписанный четырехугольник ABСD. Лучи AB и DС пересекаются в точке K. Точки B, D, исередины отрезков AC и KC лежат на одной окружности. Найдите угол ADC.

Размышление. Дано несколько середин отрезков, требуется найти угол. Велика вероятность,что используются свойства окружности Эйлера, которая проходит через середины сторон.

Решение. По свойству секущих KC ⋅ KD = KB ⋅ KA.

Пусть C' – середина AK. Тогда KC = 2 KA', 2 KC' = KA, значит, KA' ⋅ KD = KB ⋅ KC'.

По свойству секущих, точка C' лежит на окружности A'BK'.

Окружность A'C'K' суть окружность Эйлера – Фейербаха треугольника ACK.

D – вторая точка пересечения окружности и прямой, содержащей сторону CK, значит, AD –высота, перпендикулярная CK. Угол ADC прямой.

Ответ: 90°.

7.2.20 Треугольник, разное

В ΔАВС cо сторонами a,b,c проведена высота СC3. Через точку C3 проведена прямая,отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону ВС в точке P.Найдите C3 P.


http://www.deoma/


ginma:0;42,916

93

7.2.21 Свойства конфигурации Штейнера–Сейфрейда

Конфигурация Штейнера–Сейфрейда содержит окружность ω, содержащую точки K, K , M,₁M , L, L ₁ ₁ и, прямую, содержащую точки А, В и С, причем коллинеарны группы точек AL L, AM K,₁ ₁AK M, BL M, BM L, BK K, CL K, CM M, CK L. ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ На интерактивном рисунке конфигурацию задаютточки A, B, C, O и L.

Окружности с центрами в точках А, В и С, перпендикулярные окружности Сейфрейда,пересекаются в одной точке, положение которой не зависит от радиуса ω. Проекция этой точки ицентра Сейфрейдовой окружности на прямую АВ совпадает с точкой Лемуана вырожденноготреугольника АВС.

Поляра точки С содержит точки пересечения пар касательных из точек А и В и пар прямыхAL и ВK, AK и ВM, АM и BL, всего пять точек. Аналогично на полярах точек А и B лежат парыпересечения прямых AM и CK, AK и CL, AL и CM, BL и CK, BM и CL, BK и CM.


http://www.deoma/


ginma:0;42,924,2

ginma:0;42,924,3

94

8 Литература1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия. Т.1. – М.: МЦНМО, 2004. – 312 с.

2. И. Ф. Шарыгин. Геометрия 7–9 классы. – М.: Дрофа, 2002. – 368 с.

3. В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии – М.: МЦНМО, 2000. – 584 с.

4. И. Ф. Шарыгин. Геометрия 9–11 классы. От учебной задачи к творческой. – М.: Дрофа, 1996. – 398 с.


http://www.deoma/


Documents

deoma-cmd.ru...1 Игорю Федоровичу Шарыгину, известному любителю геометрии посвящаю Углублённая геометрия