Departamento de Engenharia Civil - feb.unesp. · PDF file1.7.1 Sapata Rígida Sob Carga Uniforme ... Figura 1.4 – Sapata de fundação com a armadura principal. 1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP

FACULDADE DE ENGENHARIA

Departamento de Engenharia Civil

Disciplina: 2133 - ESTRUTURAS DE CONCRETO III

NOTAS DE AULA

SAPATAS DE FUNDAÇÃO

Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS

(wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

Bauru/SP

Dezembro/2016

APRESENTAÇÃO

Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina

2133 – Estruturas de Concreto III, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da

Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru.

O texto apresenta o dimensionamento das sapatas de fundação, conforme os procedimentos

contidos na NBR 6118/2014 - “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”. São estudados os

seguintes tipos de sapatas: isoladas, corridas, com viga de equilíbrio e associadas. E segundo a

classificação de rígidas ou flexíveis.

Agradecimentos ao técnico Tiago Duarte de Mattos, pela confecção dos desenhos, e ao aluno

Lucas F. Sciacca, pelo auxílio na digitação do texto.

Críticas e sugestões serão bem-vindas.

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 .............................................................................................................................................................. 3

1. SAPATAS DE FUNDAÇÃO .................................................................................................................................. 3

1.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................................... 3 1.2 DEFINIÇÕES ....................................................................................................................................................... 4 1.3 TIPOS DE SAPATAS .............................................................................................................................................. 6

1.3.1 Sapata Isolada ........................................................................................................................................... 6 1.3.2 Sapata Corrida ........................................................................................................................................... 8 1.3.3 Sapata Associada ...................................................................................................................................... 9 1.3.4 Sapata com Viga Alavanca ou de Equilíbrio ............................................................................................ 10

1.4 CLASSIFICAÇÃO RELATIVA À RIGIDEZ ..................................................................................................................... 11 1.5 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO .................................................................................................................... 12 1.6 PROJETO DE SAPATAS ISOLADAS .......................................................................................................................... 14

1.6.1 Comportamento Estrutural ..................................................................................................................... 14 1.6.1.1 Sapatas Rígidas ................................................................................................................................................ 15 1.6.1.2 Sapatas Flexíveis .............................................................................................................................................. 17

1.6.2 Detalhes Construtivos .............................................................................................................................. 20 1.6.3 Estimativa das Dimensões de Sapatas com Carga Centrada .................................................................. 21

1.6.3.1 Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções........................................................................................................ 22 1.6.3.2 Balanços Não Iguais nas Duas Direções ........................................................................................................... 22

1.6.4 Verificação à Punção ............................................................................................................................... 23 1.6.4.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante em Pilar Interno com Carregamento Simétrico ..................................... 24 1.6.4.2 Tensão de Cisalhamento Solicitante em Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado ................................... 24 1.6.4.3 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na Superfície Crítica C ................... 25 1.6.4.4 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos sem Armadura de Punção 26

1.6.5 Projeto com Considerações do CEB-70 .................................................................................................... 28 1.6.5.1 Dimensionamento e Disposições das Armaduras de Flexão ........................................................................... 28 1.6.5.2 Verificação da Força Cortante ......................................................................................................................... 32 1.6.5.3 Exemplo 1 – Sapata Isolada Rígida Sob Carga Centrada .................................................................................. 33 1.6.5.4 Exercícios Propostos ........................................................................................................................................ 38

1.6.6 Projeto Conforme o Método das Bielas ................................................................................................... 39 1.6.6.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida Sob Carga Centrada – Método das Bielas ................................................. 43

1.6.7 Sapatas Sob Ações Excêntricas ................................................................................................................ 44 1.6.7.1 Excentricidade em Uma Direção ..................................................................................................................... 45 1.6.7.2 Excentricidade nas Duas Direções ................................................................................................................... 47 1.6.7.3 Exemplo 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor ............................................................ 51 1.6.7.4 Exemplo 4 – Sapata Isolada Sob Flexão Oblíqua ............................................................................................. 58

1.6.8 Sapata Flexível Sob Carga Centrada ........................................................................................................ 62 1.6.8.1 Verificação de Sapata Flexível à Força Cortante quando bW 5d ................................................................... 65 1.6.8.2 Exemplo 5 – Sapata Flexível ............................................................................................................................ 66

1.7 SAPATA CORRIDA ............................................................................................................................................. 71 1.7.1 Sapata Rígida Sob Carga Uniforme ......................................................................................................... 72 1.7.2 Sapata Flexível Sob Carga Uniforme ....................................................................................................... 73 1.7.3 Exemplo 6 – Sapata Corrida Rígida Sob Carga Centrada ........................................................................ 75 1.7.4 Exercício Proposto ................................................................................................................................... 77 1.7.5 Exemplo 7 – Sapata Corrida Flexível Sob Carga Centrada....................................................................... 77 1.7.6 Exercício Proposto ................................................................................................................................... 79

1.8 VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DE SAPATAS .......................................................................................................... 80 1.9 VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO EM SAPATAS ............................................................. 81

1.10 SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO ......................................................................................................... 82 1.10.1 Roteiro de Cálculo ............................................................................................................................... 84 1.10.2 Esforços Solicitantes na Viga de Equilíbrio .......................................................................................... 84 1.10.3 Recomendações para o Pré-dimensionamento de Viga de Equilíbrio ................................................. 87 1.10.4 Dimensionamento da Sapata da Divisa .............................................................................................. 87 1.10.5 Exemplo 8 – Sapata na Divisa com Viga Alavanca ............................................................................. 89 1.10.6 Atividade ............................................................................................................................................. 94 1.10.7 Viga Alavanca Não Normal à Divisa ................................................................................................... 95 1.10.8 Exercício Proposto ............................................................................................................................... 95

1.11 SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA ........................................................................................................................... 96 1.12 SAPATA ASSOCIADA ........................................................................................................................................ 100

1.12.1 Sapata com Base Retangular ............................................................................................................ 100 1.12.2 Verificações e Dimensionamento ...................................................................................................... 102 1.12.3 Sapata Trapezoidal ........................................................................................................................... 104 1.12.4 Sapata Associada com Viga de Rigidez ............................................................................................. 105 1.12.5 Exemplo 9 – Sapata Associada.......................................................................................................... 105

QUESTIONÁRIO ........................................................................................................................................................... 114 REFERÊNCIAS .............................................................................................................................................................. 115

UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 3

CAPÍTULO 1

1. SAPATAS DE FUNDAÇÃO

1.1 Introdução

A subestrutura, ou fundação, é a parte de uma estrutura composta por elementos estruturais,

geralmente construídos abaixo do nível final do terreno, e que são os responsáveis por transmitir ao solo

todas as ações (cargas verticais, forças do vento, etc.) que atuam na edificação.

A estrutura posicionada acima e que se apoia na subestrutura é chamada superestrutura. As ações

que atuam na superestrutura das edificações são transferidas na direção vertical geralmente por pilares ou

paredes de concreto. Como o solo geralmente tem resistência muito inferior à do concreto do pilar, é

necessário projetar algum outro tipo de elemento estrutural com a função de transmitir as ações ao solo. Os

elementos mais comuns para cumprir essa função são as sapatas e os blocos, sendo que os blocos atuam

como elementos de transição das ações, dos pilares para as estacas ou tubulões (Figura 1.1).

SUPERESTRUTURAVIGA

PILAR

LAJE

SAPATABLOCO BLOCO

SUB ESTRUTURA

TUBULÃO

ESTACAS

Figura 1.1 – Exemplos de elementos de fundação.


1.2 Definições

A fundação superficial, também chamada fundação rasa ou direta, é definida no item 3.1 da NBR

6122[1]1 como o “elemento de fundação em que a carga é transmitida ao terreno pelas tensões distribuídas

sob a base da fundação, e a profundidade de assentamento em relação ao terreno adjacente à fundação é

inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação.” O elemento de fundação superficial mais comum é a

sapata, que pela área de contato base-solo transmite as cargas verticais e demais ações para o solo,

diretamente, conforme ilustrado na Figura 1.2, onde B é a menor dimensão em planta.

Existe também o elemento de fundação profunda (Figura 1.3), definido na NBR 6122 (item 3.7)

como o “elemento de fundação que transmite a carga ao terreno ou pela base (resistência de ponta) ou por

sua superfície lateral (resistência de fuste) ou por uma combinação das duas, devendo sua ponta ou base

estar assente em profundidade superior ao dobro de sua menor dimensão em planta, e no mínimo 3,0 m.

Neste tipo de fundação incluem-se as estacas e os tubulões.”2

< 2B

B

B = menor dimensão da sapata em planta.

> 2D e > 3m

D

Figura 1.2 – Sapata de fundação e a condição

geométrica para a fundação superficial.

Figura 1.3 – Condição geométrica para a

fundação profunda.

A sapata é definida na NBR 6122 (item 3.2) como o “elemento de fundação superficial, de concreto

armado, dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo emprego de

armadura especialmente disposta para esse fim.” Na NBR 6118[2]3 (item 22.6.1), sapata é definida como as

“estruturas de volume usadas para transmitir ao terreno as cargas de fundação, no caso de fundação

direta.”

Na superfície correspondente à base da sapata atua a máxima tensão de tração, que supera a

resistência do concreto à tração, de modo que torna-se necessário dispor uma armadura resistente (Figura

1.4).

As

Figura 1.4 – Sapata de fundação com a armadura principal.

1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de fundações. NBR 6122, ABNT, 2010, 91p. 2 Os tubulões serão estudados no Capítulo “Blocos de fundação”. 3 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. NBR 6118, ABNT,

2014, 238p.


Quando o elemento é projetado com grande altura e a tensão de tração máxima diminui e pode ser

resistida apenas pelo concreto, sem necessidade de acrescentar armadura, o elemento é chamado bloco de

fundação direta, definido na NBR 6122 (item 3.3) com o “elemento de fundação superficial de concreto,

dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo concreto, sem

necessidade de armadura.”

Para que as tensões de tração sejam resistidas pelo concreto, elas precisam ser baixas, de modo que a

altura do bloco necessita ser relativamente grande. O bloco assim trabalhará preponderantemente à

compressão. Para economia de concreto, os blocos têm geralmente a forma de pedestal, ou as superfícies

laterais inclinadas (Figura 1.5).

PILAR

BLOCO

REAÇÃO

DO

SOLO

Figura 1.5 – Bloco de fundação superficial.

A NBR 6122 (7.8.2) estabelece que o ângulo β (Figura 1.6), expresso em radianos, satisfaça a:

tg β

β≥

σadm

fct+1

onde: adm = tensão admissível do terreno, em MPa;

fct = 0,4fctk ≤ 0,8 MPa, onde fct é a tensão de tração no concreto;

fctk = resistência característica à tração do concreto.

Figura 1.6 – Ângulo β nos blocos de fundação superficial.

Um outro elemento, muito aplicado em edificações residenciais de pequeno porte em conjuntos

habitacionais, é o radier, definido na NBR 6122 (3.4) como o “elemento de fundação superficial que abrange

parte ou todos os pilares de uma estrutura, distribuindo os carregamentos.”

Quanto ao dimensionamento, as fundações superficiais devem ser definidas por meio de

dimensionamento geométrico e de cálculo estrutural.


1.3 Tipos de Sapatas

Dentre todos os elementos de fundação superficial, a sapata é o mais comum, e devido à grande

variabilidade existente na configuração e forma dos elementos estruturais que nela se apoiam, existem

diversos tipos de sapatas, como isolada, corrida, associada, de divisa, com viga de equilíbrio, etc.

1.3.1 Sapata Isolada

A sapata isolada é a mais comum nas edificações, sendo aquela que transmite ao solo as ações de

um único pilar. As formas que a sapata isolada pode ter, em planta, são muito variadas, mas a retangular é a

mais comum, devido aos pilares retangulares. (Figura 1.7).

N

Figura 1.7 – Sapata isolada.

As ações que comumente ocorrem nas sapatas são a força normal (N), os momentos fletores, em uma

ou em duas direções (Mx e My), e a força horizontal (H), Figura 1.8.

N

HM

PILAR

ELEMENTO DE

FUNDAÇÃO

(SAPATA)

REAÇÃO

DO

SOLO

Figura 1.8 – Sapata isolada de fundação superficial.

Um limite para a sapata retangular é que a dimensão maior da base não supere cinco vezes a largura

(A ≤ 5B)[3], Figura 1.9. Quando A > 5B, é chamada sapata corrida.

h=cte h = var


B

A < 5B

Figura 1.9 – Limite para a sapata retangular (A ≤ 5B).

Para sapata sob pilar de edifício de pavimentos existe a recomendação de que a dimensão mínima em

planta seja de 80 cm.[3] Para a NBR 6122 (7.7.1), a menor dimensão não deve ser inferior a 60 cm.

O centro de gravidade (CG) do pilar deve coincidir com o centro de gravidade da base da sapata,

para qualquer forma do pilar (Figura 1.10 e Figura 1.11).

CG

B2

B2

A2

A2

B

ABA

A/2

A/2

B/2 B/2

CGPILAR

Figura 1.10 – Sapatas isoladas com o CG do pilar coincidente com o CG da sapata.

B

A

A/2

A/2

B/2 B/2

CGPILAR

Figura 1.11 – Sapata isolada com o CG do pilar coincidente com o CG da sapata.


Para o dimensionamento econômico é indicado que os balanços da sapata nas duas direções, as

dimensões cA e cB , sejam iguais ou aproximadamente iguais (Figura 1.12).

B

A

bp

ap

CB

CACA

CB

Figura 1.12 – Sapata com balanços iguais (cA = cB).

No caso de sapata isolada sob pilar de divisa, e quando não se faz a ligação da sapata com um pilar

interno, com viga de equilíbrio por exemplo, a flexão devido à excentricidade do pilar deve ser combatida

pela própria sapata em conjunto com o solo. São encontradas em muros de arrimo, pontes, pontes rolantes,

etc. (Figura 1.13).

N

e

div

isa

Figura 1.13 – Sapata isolada de divisa.

1.3.2 Sapata Corrida

Conforme a NBR 6122 (3.6), sapata corrida é aquela “sujeita à ação de uma carga distribuída

linearmente ou de pilares ao longo de um mesmo alinhamento.”, Figura 1.14 e Figura 1.15.

As sapatas corridas são comuns em construções de pequeno porte, como casas e edificações de baixa

altura, galpões, muros de divisa e de arrimo, em paredes de reservatórios e piscinas, etc. Constituem uma

solução economicamente muito viável quando o solo apresenta a necessária capacidade de suporte em baixa

profundidade.

parede

sapata

PLANTA

ou

Figura 1.14 – Sapata corrida para apoio de parede.


A > 5B

BPILARES

Figura 1.15 – Sapata corrida para apoio de pilares alinhados.

Para diferenciar a sapata corrida da sapata isolada retangular, a sapata corrida é aquela com

comprimento maior que cinco vezes a largura (A > 5B)[3], Figura 1.16.

B

PAREDE

PILARES

A > 5B

Figura 1.16 – Comprimento A mínimo para configurar a sapata corrida.

1.3.3 Sapata Associada

Conforme a NBR 6122 (3.5), sapata associada é aquela “comum a mais de um pilar”. Também é

chamada sapata combinada ou conjunta. Geralmente ocorre quando, devido à proximidade entre os pilares,

não é possível projetar uma sapata isolada para cada pilar. Neste caso, uma única sapata pode ser projetada

como a fundação para dois ou mais pilares.

A sapata associada pode ser projetada com ou sem uma viga de rigidez, como indicada na Figura

1.17 e na Figura 1.18.

P1 P2

A

B

N1 N2

p

l1 lcc l2

div

isa

h

Figura 1.17 – Sapata associada sem viga de rigidez.


PLANTA

VR

A

A

P1 P2

ELEVAÇÃO CORTE A

Figura 1.18 – Sapata associada com viga de rigidez (VR).

1.3.4 Sapata com Viga Alavanca ou de Equilíbrio

Segundo a NBR 6122 (3.3.6), viga alavanca ou de viga de equilíbrio é o “elemento estrutural que

recebe as cargas de um ou dois pilares (ou pontos de carga) e é dimensionado de modo a transmiti-las

centradas às fundações. Da utilização de viga de equilíbrio resultam cargas nas fundações diferentes das

cargas dos pilares nelas atuantes.”

A viga alavanca é de aplicação comum no caso de pilar posicionado na divisa de terreno, onde

ocorre uma excentricidade (e) entre o ponto de aplicação de carga do pilar (N) e o centro geométrico da

sapata. O momento fletor resultante da excentricidade é equilibrado e resistido pela viga alavanca, que na

outra extremidade é geralmente vinculada a um pilar interno da edificação, ou no caso de ausência deste,

vinculada a um elemento que fixe a extremidade da viga no solo (Figura 1.19).

Figura 1.19 – Pilar de divisa sobre sapata combinada com viga alavanca (VA).

sapata 2

VA

Viga alavanca (VA)

sapata 1


1.4 Classificação Relativa à Rigidez

A classificação das sapatas relativamente à rigidez é muito importante, porque direciona a forma

como a distribuição de tensões na interface base da sapata/solo deve ser considerada, bem como o

procedimento ou método adotado no dimensionamento estrutural.

A NBR 6118 (item 22.6.1) classifica as sapatas como rígidas ou flexíveis, sendo rígida a que atende

a equação:

3

a -A h

p 1.1

onde: h = altura da sapata (Figura 1.20);

A = dimensão da sapata em uma determinada direção;

ap = dimensão do pilar na mesma direção.

A Eq. 1.1 deve também ser verificada relativamente às dimensões B e bp da outra direção da sapata,

sendo que para ser classificada como rígida a equação deve ser atendida em ambas as direções. No caso da

equação não se verificar para as duas direções, a sapata será considerada flexível.

h

A

apPilar

B

A

bp

ap

CB

CACA

CB

Figura 1.20 – Dimensões da sapata.

As sapatas rígidas têm a preferência no projeto de fundações, por serem menos deformáveis, menos

sujeitas à ruptura por punção4 e mais seguras.

As sapatas flexíveis são caracterizadas pela altura “pequena”, e segundo a NBR 6118 (item

22.6.2.3): “Embora de uso mais raro, essas sapatas são utilizadas para fundação de cargas pequenas e solos

relativamente fracos.”

Segundo Montoya[4], é difícil estabelecer um limite para a classificação das sapatas, e de qual método

deve-se empregar no projeto. Ele, por exemplo, classifica como sapata rígida aquela onde o ângulo β é igual

ou superior a 45° (β ≥ 45°, ver Figura 1.21). Em caso contrário a sapata é tratada como flexível (β < 45°).

Uma norma que pode ser considerada no projeto de sapatas é a do CEB de 1970 (CEB-70[5]), que

utiliza um critério diferente e considera como sapata rígida quando o ângulo β (tg β = h/c) fica

compreendido entre os limites:

0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 (26,6° ≤ β ≤ 56,3) 1.2

Se tg β < 0,5 a sapata é considerada flexível, e se tg β > 1,5 não é sapata, e sim bloco de fundação

direta (aquele que dispensa armadura de flexão porque o concreto resiste à tensão de tração máxima existente

na base do bloco).

4 A punção está apresentada no item 1.6.4, sendo importante no projeto de sapatas flexíveis e principalmente nas lajes lisas e

cogumelos.


h

apPilar

C

Balanço

Figura 1.21 – Ângulo e balanço c.

1.5 Distribuição de Tensões no Solo

A tensão ou pressão de apoio que a área da base de uma sapata exerce no solo é o fator mais

importante relativo à interface base-solo. Diversos estudos analíticos e de campo indicaram que a pressão

exercida no solo não é necessariamente distribuída uniformemente, e depende de vários fatores, como:[6]

- existência de excentricidade do carregamento aplicado;

- intensidade de possíveis momentos fletores aplicados;

- rigidez da fundação;

- propriedades do solo;

- rugosidade da base da fundação.

A Figura 1.22 e a Figura 1.23 mostram a distribuição de pressão no solo aplicada na base de uma

sapata, carregada concentricamente, em função do tipo de solo e da rigidez, se rígida ou flexível. Sapatas

perfeitamente flexíveis curvam-se e mantém a pressão uniforme no solo. Sapatas perfeitamente rígidas não

se curvam, e o recalque, se ocorrer, é uniforme, porém, a pressão no solo não é uniforme.

Devido à complexidade da análise ao se considerar a pressão como não uniforme, é comum assumir-

se a uniformidade sob carregamentos concêntricos, como mostrado na Figura 1.22e, e adicionalmente porque

o erro cometido com a simplificação não é significativo.[6]

Sapatas apoiadas sobre solos granulares, como areia, a pressão é maior no centro e decresce em

direção às bordas da sapata. No caso de solos argilosos, ao contrário, a pressão é maior nas proximidades das

bordas e menor no centro. Essas características de não uniformidade da pressão no solo são comumente

ignoradas porque sua consideração numérica é incerta e muito variável, dependendo do tipo de solo, e

porque a influência sobre a intensidade dos momentos fletores e forças cortantes na sapata é relativamente

pequena.[7]

No caso de radier5, que é comumente flexível quando comparado às sapatas, devem ter uma

avaliação das tensões de flexão e da distribuição da pressão no solo de maneira mais cuidadosa.

A NBR 6118 (item 22.6.1) permite que, no caso de sapata rígida, se possa “admitir plana a

distribuição de tensões normais no contato sapata-terreno, caso não se disponha de informações mais

detalhadas a respeito. Para sapatas flexíveis ou em casos extremos de fundação em rocha, mesmo com

sapata rígida, essa hipótese deve ser revista.” E no item 22.6.2.3 relativo às sapatas flexíveis: “A

distribuição plana de tensões no contato sapata-solo deve ser verificada.”

A NBR 6122 (7.6.1) recomenda que a “área da fundação solicitada por cargas centradas deve ser

tal que as tensões transmitidas ao terreno, admitidas uniformemente distribuídas, sejam menores ou iguais à

tensão admissível ou tensão resistente de projeto do solo de apoio.” No item 7.8.1: “As sapatas devem ser

calculadas considerando-se diagramas de tensão na base representativos e que são função das

características do solo (ou rocha).”

5 Segundo a NBR 6122 (3.4), o radier é um “elemento de fundação superficial que abrange parte ou todos os pilares de

uma estrutura, distribuindo os carregamentos.”


Figura 1.22 – Distribuição de pressão no solo em sapata sob carga centrada: a) sapata flexível sobre argila;

b) sapata flexível sobre areia; c) sapata rígida sobre argila; d) sapata flexível sobre areia;

e) distribuição simplificada. [6]

SUPERFÍCIE DE

RUPTURA

d2

d2

RÍGIDA

(ARGILA)

RÍGIDA

(AREIA)

(ARGILA)

FLEXÍVEL

(AREIA)

FLEXÍVEL

Figura 1.23 – Distribuição de pressão no solo em sapata sob carga centrada: a) sapata flexível sobre argila;


Como se observou, a distribuição real não é uniforme, mas por simplicidade, na maioria dos casos,

admite-se a distribuição uniforme, o que geralmente resulta esforços solicitantes maiores (Figura 1.24).

Rígida

Areia

Flexível

Areia

Figura 1.24 – Distribuição de tensões no solo.

1.6 Projeto de Sapatas Isoladas

Neste item será estudado o dimensionamento estrutural de sapatas isoladas, com maior ênfase às

sapatas rígidas, para as solicitações de carga centrada e carga excêntrica (com um ou dois momentos fletores

solicitantes independentes), de base retangular ou quadrada, e com o centro de gravidade da sapata

coincidente com o centro de gravidade do pilar. Os métodos de projeto abordados são o do CEB[5] de 1970,

do ACI 318[8] e o tradicional “Método das Bielas”, de Blévot.

Os procedimentos de projeto de sapatas isoladas são largamente baseados nos resultados de

investigações experimentais de Talbot[9] e Richart[10], e eles vêm sendo reavaliados em mais recentes

pesquisas, com interesse nos efeitos da força cortante e da tração diagonal.[7]

O trabalho de Talbot em 1913, com ensaio experimental de 197 sapatas, representou o primeiro

avanço para o entendimento do comportamento estrutural de sapatas, dos mecanismos de ruptura, e

ressaltaram a importância da força cortante nas sapatas.[6] Richart apresentou em 1948 resultados de ensaios

de 156 sapatas de várias formas e detalhes construtivos.

O relatório do ACI-ASCE[11] de 1962 apresentou uma síntese dos diversos dados experimentais e o

desenvolvimento de análise e projeto de sapatas atualmente utilizadas nos Estados Unidos. Os modelos são

simplificações do comportamento das sapatas, porém, são conservativos e seguros, sendo por isso utilizados

até os dias de hoje, com várias justificativas, conforme apresentadas por Coduto.[6]

O projeto da sapata isolada tem as seguintes fases: estimativa das dimensões da sapata,

dimensionamento das armaduras de flexão, e as verificações: das tensões de compressão diagonais, da

punção (para as sapatas flexíveis), da aderência da armadura de flexão e do equilíbrio referente ao

tombamento e ao deslizamento.

1.6.1 Comportamento Estrutural

A sapata isolada pode ser representada como tendo volumes de concreto em balanço que se projetam

da seção transversal do pilar em ambas as direções, e submetidos à pressão do solo de baixo para cima.

Assim, a sapata pode ser comparada a uma laje lisa invertida, em balanço ao redor do pilar, onde se apoia

diretamente, e submetida aos esforços solicitantes internos de momento fletor e força cortante. (Figura 1.25).

PILAR DE

APOIO

LAJE LISA

SUPERFÍCIE DE

RUPTURA

PILAR

SAPATASUPERFÍCIE DE

RUPTURA

REAÇÃO DO SOLO

a) laje lisa; b) sapata de fundação.

Figura 1.25 – Analogia entre laje lisa e sapata.


O mecanismo de ruptura da sapata por efeito de força cortante é semelhante ao da laje lisa, e a

resistência da sapata é maior que a resistência de vigas, desde que a característica tridimensional da sapata

contribui para esse fenômeno. A sapata sujeita a elevadas cargas verticais tem o projeto direcionado mais

pela força cortante do que pelo momento fletor.[12] No entanto, há a observar que a verificação da sapata à

força cortante e à punção é muito importante no caso das sapatas flexíveis, conforme indicado pela NBR

6118 e apresentado no próximo item.

Segundo o item 22.6.2 da NBR 6118, se eliminada a complexidade da interação solo-estrutura, o

comportamento estrutural das sapatas pode ser analisado segundo a rigidez da sapata, se rígida ou flexível.

1.6.1.1 Sapatas Rígidas

Conforme o item 22.6.2.2 da NBR 6118, o comportamento estrutural das sapatas rígidas pode ser

descrito como:

“a) trabalho à flexão nas duas direções, admitindo-se que, para cada uma delas, a tração na flexão seja

uniformemente distribuída na largura correspondente da sapata. Essa hipótese não se aplica à compressão

na flexão, que se concentra mais na região do pilar que se apoia na sapata e não se aplica também ao caso

de sapatas muito alongadas em relação à forma do pilar; (Figura 1.26)

b) trabalho ao cisalhamento também em duas direções, não apresentando ruptura por tração diagonal, e

sim por compressão diagonal verificada conforme 19.5.3.1. Isso ocorre porque a sapata rígida fica

inteiramente dentro do cone hipotético de punção, não havendo, portanto, possibilidade física de punção.”

A admissão da uniformidade da tensão de tração ao longo da largura da sapata, em cada direção, faz

com que a armadura de flexão As,B , por exemplo, paralela à dimensão B da sapata, seja disposta constante ao

longo de toda a dimensão A da sapata, e de modo semelhante quanto à armadura As,A na outra direção. As

duas armaduras são perpendiculares e formam uma malha, posicionadas próximas à superfície da base da

sapata (Figura 1.27).

COMPRESSÃO

TRAÇÃO

REAÇÃO DO

SOLO

TENSÃO DE TRAÇÃO

( )ct,f

Figura 1.26 – Trajetórias das tensões principais e tensão de tração uniforme na sapata rígida não alongada.


B

A

AS,A

AS,B

B

ct,f

ct,f

AS,B

AS,A

A

h

TENSÃO DE TRAÇÃO

AO LONGO DE B

Figura 1.27 – Armaduras positivas de flexão de sapata isolada.

No caso de sapatas alongadas, ou seja, onde a dimensão A é muito superior à dimensão B, a tração

uniforme não deve ser admitida, e neste caso, o critério do CEB-70 pode ser aplicado como solução para a

distribuição da armadura, o que será mostrado na Figura 1.55 e Figura 1.56.

A possível ruptura devido às tensões de compressão diagonais (σII), deve ser verificada nas seções

correspondentes ao perímetro do pilar (superfície crítica C conforme o item 19.5.3.1 da NBR 6118 (Figura

1.28).

Seção a ter compressão

verificada (item 19.5.3.1

da NBR6118)I

II

Figura 1.28 – Tensões principais na sapata isolada.

O caso mais típico de possibilidade de ruptura por efeito de punção é aquele existente na ligação da

laje lisa com o pilar de apoio (Figura 1.29). A sapata rígida, devido às dimensões em planta e à altura, não

rompe por punção por estar inteiramente dentro do cone de punção (Figura 1.30).


30°-35º

CONE DE

PUNÇÃO

PILARFISSURA POR

PUÇÃO

LAJE

Figura 1.29 – Laje apoiada diretamente em pilar (laje lisa).

AS,A

AS,B

B

LIMITE DO CONE

DE PUNÇÃO

SAPATA

PILAR

POSSÍVEIS SUPERFÍCIES DE

RUPTURA POR PUNÇÃO

h

Figura 1.30 – Sapata rígida e o cone de punção.

1.6.1.2 Sapatas Flexíveis

Segundo a NBR 6118 (item 22.6.2.3), o comportamento estrutural das sapatas flexíveis pode ser

descrito como:

“a) trabalho à flexão nas duas direções, não sendo possível admitir tração na flexão uniformemente

distribuída na largura correspondente da sapata. A concentração de flexão junto ao pilar deve ser, em

princípio, avaliada;

b) trabalho ao cisalhamento que pode ser descrito pelo fenômeno da punção (ver 19.5).

A distribuição plana de tensões no contato sapata-solo deve ser verificada.”

A Figura 1.31 apresenta o diagrama de momentos fletores, que variam ao longo das sapatas flexíveis.

A sapata flexível deve ter o comportamento à punção verificado, porque, devido à pequena altura h

relativamente às dimensões da sapata em planta, há a possibilidade de ruptura por punção (Figura 1.30).

N

p

M

(variável)

Figura 1.31 – Momento fletor na sapata flexível.


Possível superfície de ruptura por punção

h

Figura 1.32 – Sapata flexível e possível superfície de ruptura por punção.

A sapata pode romper por efeito de força cortante como uma viga larga (Figura 1.33a e Figura 1.34a)

ou por puncionamento (Figura 1.33b, Figura 1.34b e Figura 1.35).

SAPATASUPERFÍCIE DE

RUPTURA

d

d

AS

SUPERFÍCIE DE

RUPTURA

d2

d2

d2

d2

d

AS

a) análise como viga; b) análise à punção.

Figura 1.33 – Seções críticas na análise da sapata à força cortante.[13]

a) superfície de ruptura por efeito de

força cortante, como viga;

b) superfície de ruptura por punção.

Figura 1.34 – Possíveis superfícies de ruptura de sapatas flexíveis.[13]


Figura 1.35 – Superfície de ruptura por punção nas sapatas flexíveis.[13]

Nos Estados Unidos, os métodos normalizados para o projeto de sapatas enfatizam a possibilidade de

ruptura por dois modos: por efeito de força cortante e por flexão. A Figura 1.36 mostra a ruptura por força

cortante, considerada uma combinação de tensões inclinadas de tração com força cortante, evitada

principalmente pela adequada altura da sapata. A ruptura por flexão (Figura 1.37) pode ser evitada pela

adequada armadura de flexão, posicionada próxima à base da sapata.

Figura 1.36 – Ruptura de sapata por efeito de força cortante. [6]

Figura 1.37 – Ruptura de sapata por flexão. [6]


1.6.2 Detalhes Construtivos

A NBR 6122 (item 7.7.3) estabelece que “Todas as partes da fundação superficial (rasa ou direta)

em contato com o solo (sapatas, vigas de equilíbrio, etc.) devem ser concretadas sobre um lastro de concreto

não estrutural com no mínimo 5 cm de espessura, a ser lançado sobre toda a superfície de contato solo-

fundação. No caso de rocha, esse lastro deve servir para regularização da superfície e, portanto, pode ter

espessura variável, no entanto observado um mínimo de 5 cm.”

Segundo a NBR 6122 (item 7.7.2), “Nas divisas com terrenos vizinhos, salvo quando a fundação for

assente sobre rocha, tal profundidade não deve ser inferior a 1,5 m. Em casos de obras cujas sapatas ou

blocos estejam majoritariamente previstas com dimensões inferiores a 1,0 m, essa profundidade mínima

pode ser reduzida.” O Anexo A da NBR 6122 apresenta procedimentos executivos relativos às fundações

superficiais.

A superfície de topo da sapata deve ter um plano horizontal (mesa) maior que a seção transversal do

pilar, com pelo menos 2,5 ou 3 cm, que facilita a montagem e apoio da fôrma do pilar (Figura 1.38).

Para evitar a possível ruptura nos lados da sapata é importante executar as faces extremas em

superfície vertical, com a sugestão para ho :[14]

cm15

3/hho 1.3

lastro de concreto simples

(> 5 cm, > )fck

> 3

0 c

m

solo, rocha

h

h0

2,5 a 10 cm

Figura 1.38 – Detalhes construtivos para a sapata.

O ângulo , de inclinação da sapata, deve ser preferencialmente igual ou menor que 30, que é

ângulo do talude natural do concreto fresco, a fim de evitar a necessidade de fôrma na construção da sapata.6

O posicionamento de outros elementos em relação à sapata pode variar caso a caso, como as vigas

por exemplo, conforme a Figura 1.39.

6 O ângulo depende da consistência do concreto. Para concreto autoadensável, por exemplo, será necessário fazer a fôrma para

proporcionar a superfície inclinada da sapata.


VB

VB

Viga

baldrame

(VB)

Figura 1.39 – Posicionamento de viga em relação à sapata.

1.6.3 Estimativa das Dimensões de Sapatas com Carga Centrada

Observe na Figura 1.40 que cA e cB são distâncias da face do pilar à extremidade da sapata, em cada

direção. Para obtenção de momentos fletores solicitantes e armaduras de flexão não muito diferentes nas

duas direções da sapata, procura-se determinar as dimensões A e B de modo que os balanços sejam iguais ou

semelhantes (cA cB).

B

A

bp

ap

CB

CACA

CB

Figura 1.40 – Notações para as dimensões da sapata isolada.

Fazendo cA = cB tem-se:

A – ap = B – bp 1.4

A – B = ap – bp 1.5

e consequentemente, As,A As,B .

A área de apoio ou da base da sapata pode ser determinada como:

adm

qkgkmajsap

NNKS

1.6


onde: Ngk = carga vertical devida às ações permanentes, valor característico;

Nqk = carga vertical devida às ações variáveis, valor característico;

Kmaj = coeficiente majorador da carga vertical das ações permanentes;

σadm = tensão admissível do solo.

O coeficiente Kmaj tem a finalidade de estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata. A

NBR 6122 (item 5.6) recomenda considerar o peso próprio da sapata como no mínimo 5 % da carga vertical

permanente. Para Kmaj Campos[15] recomenda 1,05 para sapatas flexíveis e de 1,05 a 1,10 para sapatas rígidas,

e quando as parcelas relativas às ações permanentes e variáveis (cargas acidentais sobre as lajes, etc.) não

forem conhecidas, adotar 1,05 como fator multiplicador da carga total:

adm

k,qgsap

N05,1S

1.7

1.6.3.1 Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções

A área da base da sapata também pode ser definida por BASsap , e:

B

SA

sap 1.8

Com balanços iguais (cA = cB) e considerando as Eq. 1.5 e 1.8, fica:

A – B = ap – bp ppsap

baBB

S

Multiplicando por B e resolvendo a equação do segundo grau tem-se:

Ssap – B2 = (ap – bp) B

sap2

pppp Sab4

1ab

2

1B 1.9

com Ssap definida pela Eq. 1.6 ou 1.7.

Os lados A e B devem ser preferencialmente múltiplos de 5 cm, por questões práticas. No caso de

sapata sob pilar de edifício, a recomendação é de que a dimensão mínima em planta seja de 80 cm.[3] Para a

NBR 6122 (7.7.1), a menor dimensão não deve ser inferior a 60 cm.

1.6.3.2 Balanços Não Iguais nas Duas Direções

Neste caso, onde cA cB (Figura 1.41), recomenda-se a seguinte relação entre os lados:

0,3B

A

Considerando R como a relação entre os lados tem-se:

RBARB

A

Ssap = A . B Ssap = B . R . B


R

SB

sap 1.10

Deve-se definir um valor para R entre 1 e 3, e calcular a área da sapata (Ssap) com a Eq. 1.6 ou 1.7.

Os lados A e B devem ser preferencialmente múltiplos de 5 cm.

B

A

bp

ap

CB

CA CA

CB

Figura 1.41 – Sapata isolada com balanços não iguais nas duas direções.

1.6.4 Verificação à Punção

A verificação das sapatas à punção se faz conforme o item 19.5 da NBR 6118 - “Dimensionamento

de lajes à punção”. A superfície de ruptura por punção está indicada na Figura 1.42.

x

dtg , fazendo = 27

d251,0

dx

x

dº27tg

superfície de ruptura de

uma laje por efeito de

punção

= 25º a 30º

d

As

x

pilar

-

laje

Figura 1.42 – Superfície de ruptura de uma laje por efeito de punção.

“O modelo de cálculo corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies

críticas definidas no entorno de forças concentradas. Na primeira superfície crítica (contorno C), do pilar

ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto,

através da tensão de cisalhamento.” (NBR 6118, 19.5.1). A Figura 1.43 ilustra as superfícies críticas C e C’.


C

C'

C

C'

C

C

C'

C'

2d 2d 2d

Bo

rda

liv

re

B.

livre 2

d

B. livre

Figura 1.43 – Superfícies críticas C e C’.

“Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou da carga concentrada, deve ser

verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência à tração diagonal. Essa verificação

também é feita através de uma tensão de cisalhamento, no contorno C’. Caso haja necessidade, a ligação

deve ser reforçada por armadura transversal. A terceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser

verificada quando for necessário colocar armadura transversal.” (NBR 6118, 19.5.1).

No estudo aqui apresentado de punção, aplicado às sapatas, serão apresentados somente os itens

relacionados à dispensa da armadura transversal.

A verificação é feita comparando a tensão de cisalhamento solicitante (τsd) nas superfícies críticas,

com a tensão de cisalhamento resistente (τRd2), dada pela NBR 6118 para cada superfície crítica. Dispensa-se

a armadura transversal para a punção quando τSd ≤ τRd2 .

1.6.4.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante em Pilar Interno com Carregamento Simétrico

A tensão de cisalhamento solicitante é (NBR 6118, 19.5.2.1):

du

FSdSd

1.11

onde:

2

ddd

yx = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’, externo ao contorno C da área de

aplicação da força e distante 2d no plano da laje;

dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais;

u = perímetro do contorno crítico C’;

u . d = área da superfície crítica;

FSd = força ou reação concentrada de cálculo.

No caso da superfície crítica C, u deve ser trocado por u0 (perímetro do contorno C). “A força de

punção FSd pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentro do contorno

considerado na verificação, C ou C’.”

1.6.4.2 Tensão de Cisalhamento Solicitante em Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado

“No caso em que, além da força vertical, existe transferência de momento da laje para o pilar, o

efeito de assimetria deve ser considerado,” e a tensão de cisalhamento solicitante é:

dW

MK

du

F

p

SdSdSd

1.12

sendo:

K = coeficiente que fornece a parcela do momento fletor MSd transmitida ao pilar por cisalhamento,

dependente da relação C1/C2 (ver Tabela 1.1);

C1 = dimensão do pilar paralela à excentricidade da força, indicado na Figura 1.44;


C2 = dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força.

Tabela 1.1 - Valores de K em função de C1 e C2 .

C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0

K 0,45 0,60 0,70 0,80

“Para pilares circulares internos, deve ser adotado o valor k = 0,6.”

Wp = módulo de resistência plástica do contorno C’. Pode “ser calculado desprezando a curvatura

dos cantos do perímetro crítico” por:

deWu

0

p 1.13

d = comprimento infinitesimal no perímetro crítico u;

e = distância de d ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento fletor MSd

12

221

21

p Cd2d16dC4CC2

CW (para pilar retangular) 1.14

Wp = (D + 4d)2 (para pilar circular; D = diâmetro) 1.15

Nota: para pilares de borda e de canto, ver a NBR 6118 (item 19.5.2.3 e 19.5.2.4).

C'

e

e1

2dc1

c2

dl

Msd

Fsd

Msd

Fsd

e1

Fsd

Figura 1.44 – Sapata submetida à força normal e momento fletor.

1.6.4.3 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na Superfície Crítica C

“Esta verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas à punção, com ou sem

armadura. Deve-se ter:” (NBR 6118, 19.5.3.1)

Sd Rd2 1.16

Rd2 = 0,27v fcd 1.17


onde

250

f1 ck

v , com fck em MPa.

“O valor de Rd2 pode ser ampliado de 20 % por efeito de estado múltiplo de tensões junto a um pilar

interno, quando os vãos que chegam a esse pilar não diferem mais de 50 % e não existem aberturas junto ao

pilar.”

A superfície crítica C corresponde ao contorno do pilar ou da carga concentrada, e por meio da

tensão de cisalhamento nela atuante verifica-se indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto

(Figura 1.45). A tensão de cisalhamento solicitante é:

du

F

o

SdSd 1.18

com: FSd = força solicitante de cálculo;

uo = perímetro de contorno crítico C;

uo = 2 (ap + bp)

uo d = área da superfície crítica C;

d = altura útil ao longo do contorno crítico C.

C

d

Fsd

sd

ap

bp

Figura 1.45 – Tensão de cisalhamento na sapata.

1.6.4.4 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos sem Armadura de Punção

“A verificação de tensões na superfície crítica C’ deve ser efetuada como a seguir:” (NBR 6118,

19.5.3.2)

Sd Rd1 1.19

cp3

1

ck1Rd 10,0f100d

20113,0

1.20

onde:

yx . ;


2

ddd

yx = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C da área de aplicação da força (cm);

= taxa geométrica de armadura de flexão aderente (armadura não aderente deve ser desprezada);

x e y = “taxas de armadura nas duas direções ortogonais assim calculadas;

- na largura igual à dimensão ou área carregada do pilar acrescida de 3d para cada um dos lados;

- no caso de proximidade da borda, prevalece a distância até a borda, quando menor que 3d.”

fck em MPa.

No caso de sapatas de fundação, a tensão de cisalhamento resistente é:

2cd3

ck1Rd f5,0*a

d2f100

d

20113,0

1.21

fcd2 = resistência de cálculo do concreto à compressão para regiões não fissuradas.

a* 2d

cdck

2cd f250

f16,0f

, com fck em MPa 1.22

u* = 2ap + 2bp + 2a* 1.23

Superfície C'

(perímetro = u*)

d

ap

a*

A

Figura 1.46 – Distância a*.

Para pilares com momento fletor solicitante, Sd é:

dW

MK

d*u

F

p

SdSdSd 1.24


1.6.5 Projeto com Considerações do CEB-70

O método proposto pelo CEB-70[5] para o cálculo de sapatas e blocos7 sobre estacas foi traduzido

pelo Professor Lauro Modesto dos Santos.[16] Para o método poder ser aplicado, as sapatas devem apresentar

as seguintes características geométricas (Figura 1.47):

h2c2

h (ou 2

h

c

2

1 ) 1.25

Se c > 2h, a sapata pode ser considerada como viga ou como placa, e calculada de acordo com a

teoria correspondente. Se o balanço (aba) for pequeno (c < h/2) em qualquer direção, é admitido que se trata

de bloco de fundação, e o método apresentado não é aplicável.

h

CC

Figura 1.47 – Balanço c na sapata isolada.

“Admite-se que o comportamento do solo seja elástico e que a estabilidade seja assegurada

unicamente pelas forças elásticas que ele transmite à sapata através da superfície de apoio.”[16] Portanto, a

distribuição das tensões devidas às reações do solo sobre a superfície de apoio da sapata é plana (Figura

1.48). Forças horizontais que atuem na sapata são equilibradas unicamente por forças de atrito desenvolvidas

entre a superfície de apoio da sapata e o solo, e as forças de atrito não podem ser consideradas para reduzir a

armadura principal.

N

M("pequeno")

(LN fora da

seção)

Superfície

plana

N

M("grande")

x

Distribuição admitida para

quando existirem tensões de

tração na base da sapata

Figura 1.48 – Distribuição da reação do solo na base da sapata.

1.6.5.1 Dimensionamento e Disposições das Armaduras de Flexão

As metodologias para projeto de sapatas diferem quanto à seção para consideração dos momentos

fletores.8 No caso do CEB-70, os momentos fletores são calculados, para cada direção, em relação a uma

seção de referência (S1A ou S1B) plana, perpendicular à superfície de apoio, ao longo da sapata e situada

internamente ao pilar, distante da face do pilar de 0,15ap , onde ap é a dimensão do pilar normal à seção de

referência (Figura 1.49).

A altura útil d da seção de referência é tomada na seção paralela à S1 e situada na face do pilar e não

deve exceder 1,5c. Para a sapata da Figura 1.49, d ≤ 1,5cA .

7 Os blocos sobre estacas são apresentados em outra apostila. 8 Alguns autores consideram as faces do pilar como as seções para determinação dos momentos fletores na sapata.


As,A

ap

0,15ap

cA

d S1A

A

Figura 1.49 – Seção de referência S1A , relativa à dimensão A da sapata.

O momento fletor relativo a uma seção de referência S1 é calculado considerando a reação do solo

que age na área da base da sapata, limitada pela seção S1 e a extremidade da sapata mais próxima de S1

(Figura 1.50). As duas direções devem ser consideradas, e o menor momento fletor deve ser pelo menos 1/5

do maior momento fletor, isto é, a relação entre a armadura de flexão menor e a maior na direção ortogonal

deve ser ≥ 1/5.

O cálculo da armadura de flexão que atravessa perpendicularmente a seção S1 é feito como nas vigas

à flexão simples, considerando as características geométricas da seção de referência S1 .

S1

1

2

Figura 1.50 – Diagrama para cálculo do momento fletor na seção de referência S1 .

Na avaliação dos momentos fletores não devem ser considerados o peso da sapata e do solo acima

dela, porque não causam flexão na sapata. Se o momento fletor que resultar for negativo, deverá existir uma

armadura negativa na parte superior da sapata.

Os momentos fletores são calculados nas seções de referência S1A e S1B , relativas respectivamente

aos lados A e B da sapata. Os balanços cA e cb , como indicados na Figura 1.51, são:

2

aAc

pA

;

2

bBc

pB

1.26

A pressão que a sapata exerce sobre o solo, e que corresponde à reação do solo, é:

B.A

Np k

onde, como já comentado, não é necessário considerar em Nk o peso próprio da sapata e do solo sobre a

sapata.

As distâncias xA e xB são:

xA = cA + 0,15ap

xB = cB + 0,15bp


p0

,15

ap

0,15ap

bp

S1A

S1B

CB

xB

B

CA xA

A

bp

N

S1A

Figura 1.51 – Notações e seções de referência S1A e S1B .

As áreas da base da sapata (Figura 1.52), a serem consideradas no cálculo dos momentos fletores

são:

A1A = xA B

A1B = xB A

B

A

xB

xA

A1A

A1B

Figura 1.52 – Áreas de referência no cálculo dos momentos fletores.

Considerando a pressão no solo, atuante em cada área de influência, pode-se determinar a força

resultante (Figura 1.53):


R1A = p . A1A = p . xA . B

R1B = p . A1B = p . xB . A

Os momentos fletores relativos às

seções de referência S1A e S1B são:

2

xRM A

A1A1 , e

2

xRM B

B1B1

xA

S1A

R1A

p

Figura 1.53 – Resultante da pressão no solo.

portanto:

B2

xpM

2A

A1

A2

xpM

2B

B1

1.27

Nas sapatas com superfícies superiores inclinadas, a seção comprimida de concreto (A’c) tem a

forma de um trapézio (Figura 1.54), e o cálculo exato das armaduras de flexão deve ter essa consideração.

Como uma alternativa simplificada, Machado[17 ] considera o cálculo admitindo uma seção retangular com

braço de alavanca z = 0,85d, e que neste caso o erro cometido não ultrapassa 10 %, e a área de armadura é:

yd

ds

f.d85,0

MA 1.28

As

A'c

LN

Figura 1.54 – Área comprimida pela flexão (A’c).

A fim de evitar possíveis problemas no preenchimento do concreto na fôrma e entre as barras, e

diminuir a possibilidade de fissuras, recomenda-se que o espaçamento entre as barras da armadura de flexão

esteja compreendido no intervalo de: 10 cm ≤ e ≤ 20 cm.

A armadura deve se estender, sem redução de seção, sobre toda a extensão da sapata, ou seja, de face

à face, e deve terminar com gancho nas extremidades. A NBR 6118 (22.6.4.1.1) diz: “A armadura de flexão

deve ser uniformemente distribuída ao longo da largura da sapata, estendendo-se integralmente de face a

face da sapata e terminando em gancho nas duas extremidades.”

Nas sapatas de base quadrada, a armadura de flexão pode ser uniformemente distribuída,

paralelamente aos lados da sapata. Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado maior, de

comprimento A, dever ser uniformemente distribuída sobre a largura B da sapata. No caso da armadura na

outra direção, aquela paralela ao lado menor (B), são dois os critérios de distribuição da armadura:

a) quando B ap + 2h (Figura 1.55):


Deve-se concentrar uma parcela da armadura total As na extensão B sob o pilar, segundo a fração:

sABA

B2

1.29

onde h é a altura da sapata. O restante da armadura deve ser distribuído nas duas faixas além da dimensão B.

B Armadura

B

A

ap

bp

Figura 1.55 – Distribuição de As quando B ap + 2h.

b) se B < ap + 2h (Figura 1.56):

Deve-se concentrar uma parcela da armadura total As na extensão ap + 2h sob o pilar, segundo a

fração:

s

p

pA

h2aA

h2a2

1.30

Do mesmo modo que o caso anterior, o restante da armadura deve ser distribuído nas duas faixas

além da dimensão ap + 2h.

Armadura

B

A

ap

bp

+ 2hap

Figura 1.56 – Distribuição de As quando B < ap + 2h.

1.6.5.2 Verificação da Força Cortante

O método do CEB-70[5] considera que a força cortante deve ser verificada nas duas direções da

sapata, atuantes em uma seção de referência (S2) distante d/2 da face do pilar, e que a força cortante atuante

deve ser menor que uma força cortante limite (máxima). Segundo Machado[17], a força cortante limite

preconizada pelo CEB-70 é muito baixa e, portanto, muito conservadora, de modo que não deve ser

considerada no projeto de sapatas rígidas. Nessas sapatas, a NBR 6118 (item 22.6.2.2) preconiza que não

ocorre ruptura por tração diagonal, e sim a possibilidade de ruptura da diagonal comprimida, de modo que


apenas a superfície crítica C necessita ser verificada (conforme 19.5.3.1). Portanto, a força cortante atuante

na sapata rígida não será verificada. No caso das sapatas flexíveis, tanto as forças cortantes atuantes quanto a

punção devem ser verificadas.

1.6.5.3 Exemplo 1 – Sapata Isolada Rígida Sob Carga Centrada

Dimensionar uma sapata de fundação superficial para um pilar com seção transversal 20 x 80 cm, que transfere

à sapata uma carga vertical centrada total de 1.250 kN (Nk = valor característico), com armadura vertical no pilar

composta por barras de 16 mm (,pil), tensão admissível do solo (σadm) de 0,26 MPa (2,6 kgf/cm2) e:

momentos fletores solicitantes externos inexistentes (Mx = My = 0);

coeficientes de ponderação da segurança: γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15;

materiais: concreto C25, aço CA-50 (fyd = 43,48 kN/cm2);

cobrimento de concreto: c = 4 cm.

Resolução

a) Dimensões da sapata

Estimativa das dimensões da sapata em planta (Figura 1.57), considerando o fator majorador de carga (Kmaj) de

1,1 a fim de levar em conta o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata9 (Eq. 1.6):

2

adm

kmajsap cm885.52

026,0

12501,1NKS

80

20B

A

bp

ap

cB

cB

cAcA

Figura 1.57 – Dimensões (cm) do pilar e notações da sapata.

Fazendo sapata com balanços iguais (cA = cB = c), a dimensão do menor lado da sapata em planta é (Eq. 1.9):

sap2

pppp S)ab(4

1)ab(

2

1B = 9,20152885)8020(

4

1)8020(

2

1 2 cm

como as dimensões devem ser preferencialmente valores múltiplos de 5 cm, adota-se 205 cm para B. Com cA = cB , o

lado maior da sapata é (Eq. 1.5):

A – B = ap – bp A – 205 = 80 – 20 A = 265 cm (ver Figura 1.59)

A área corrigida da base da sapata é:

Ssap = 265 . 205 = 54.325 cm2 > 52.885 cm2 ok!

9 Essas cargas verticais e porventura outras previstas que atuarem sobre a sapata, que aumentam a pressão no solo, devem ser

computadas no cálculo da área da base da sapata.


Os balanços, iguais nas duas direções, resultam (Eq. 1.26):

5,922

80265

2

aAcc

pBA

cm

A altura da sapata, supondo-a como rígida conforme a NBR 6118, deve atender10 (Eq. 1.1):

7,613

80265

3

aAh

p

cm

Para possibilitar a ancoragem da armadura longitudinal do pilar dentro do volume da sapata, a altura útil d

deve ser superior ao comprimento de ancoragem (b) da armadura do pilar: d > b (Error! Reference source not

found.). O comprimento de ancoragem, considerando região de boa aderência, concreto C25, ,pil = 16 mm e

ancoragem com gancho11, é b = 42 cm, conforme a Tabela A-7 anexa. Portanto, d > 42 cm.

Adotando h = 70 cm, a sapata é classificada como rígida (> 61,7 cm), e para a altura útil d pode-se considerar:

d = h – (c + 1) = h – (4,0 + 1,0) = h – 5 cm = 70 – 5 = 65 cm d = 65 cm > b = 42 cm ok!

Para a altura das faces verticais nas extremidades da sapata tem-se (Eq. 1.3):

cm15

cm3,233/703/hho ho = 25 cm (geralmente adota-se um valor múltiplo de 5 cm)

d > b

c

h

h

o

As,pil

b

Figura 1.58 – Altura útil mínima para a sapata e demais notações.

O ângulo da superfície inclinada da sapata é:

5,92

2570

c

hhtg o

= 25,9°

10 Sendo os balanços iguais, não é necessário verificar na direção do lado B da sapata. 11 Porque as barras, com ganchos na extremidade, são geralmente apoiadas sobre as armaduras da sapata.


S1A

80

20B

20

5 c

m

A

265 cm

92,5

92,5

92

,592

,5

bp

ap

cB

cB

cAcA

104,5xA

S1A

p

h =

70

d =

65

0,15 = 12,0ap

Figura 1.59 – Dimensões (cm) da sapata e seção de referência S1A .

b) Determinação dos momentos fletores internos solicitantes

Os esforços solicitantes atuantes na sapata podem ser computados em função da pressão no solo calculada

considerando as ações externas que atuam na sapata (forças e momentos fletores) já majoradas pelos coeficientes de

ponderação das ações. A pressão no solo assim calculada é fictícia e não deve ser comparada à tensão admissível do

solo. Isso permite que diferentes coeficientes de ponderação das ações (permanentes, variáveis, etc.) sejam considerados

diretamente. A pressão no solo será um valor de cálculo, de modo que os esforços solicitantes decorrentes serão

também valores de cálculo. As cargas relativas ao peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata não necessitam ser

consideradas no cálculo do momento fletor. Com f 1,4, a pressão no solo12 é:

03221,0205265

1250.4,1

BA

Np d

d

kN/cm2

Nota-se que os limites impostos na Eq. 1.25 para aplicar o processo do CEB-70 são atendidos13:

702c2

70h2c

2

h 35 < c = 92,5 cm < 140 cm ok!

As distâncias das seções de referência S1 às extremidades da sapata são:

xA = cA + 0,15ap = 92,5 + 0,15 . 80 = 104,5 cm

xB = cB + 0,15bp = 92,5 + 0,15 . 20 = 95,5 cm

12 A pressão no solo é uniforme porque a carga na sapata é centrada, devida unicamente a N. 13 No caso de balanços não iguais (cA ≠ cB), a verificação deve ser feita nas duas direções da sapata.


Cálculo dos momentos fletores nas seções de referência S1A e S1B (Eq. 1.27):

053.362052

5,10403221,0B

2

xpM

22A

dd,A1 kN.cm

924.382652

5,9503221,0A

2

xpM

22B

dd,B1 kN.cm

A Figura 1.60 ilustra os momentos fletores solicitantes na sapata.

M1

A,d 38924

36

05

3

M1B,d

A = 265B

= 2

05

S1A

M = 360531A,d

M = 389241B,d

Figura 1.60 – Momentos fletores atuantes na sapata.

As armaduras de flexão segundo os lados A e B da sapata, considerando γs = 1,15, e fyd = 50/1,15 = 43,48

kN/cm2 para o aço CA-50, são (Eq. 1.28):

2

yd

d,B1B,s

2

yd

d,A1A,s

cm20,1648,43.65.85,0

38924

f.d85,0

MA

cm01,1548,43.65.85,0

36053

f.d85,0

MA

A escolha das armaduras pode ser feita com auxílio da Tabela A-11 (ver anexo A) de armadura em cm2/m. É

necessário transformar a armadura de cm2 para cm2/m:

Na dimensão A14: 32,705,2

01,15 cm2/m na Tabela A-11: 10 mm c/10 cm (8,00 cm2/m)

Na dimensão B: 11,665,2


Para a armadura de flexão, na prática recomenda-se que o espaçamento entre as barras esteja compreendido

entre os valores: 10 cm ≤ e ≤ 20 cm.

“Para barras com ≥ 25 mm, deve ser verificado o fendilhamento em plano horizontal, uma vez que pode

ocorrer o destacamento de toda a malha de armadura.” (NBR 6118, 22.6.4.1.1). Esta verificação está apresentada no

item 1.9 desta apostila. Como o diâmetro das barras de flexão neste exemplo é 10 mm, essa verificação é necessária.

O detalhamento das armaduras está mostrado na Figura 1.62. A NBR 6118 não especifica uma armadura

mínima de flexão para as sapatas. Alguns autores aplicam a armadura mínima especificada pela norma para as vigas, o

que geralmente resulta armadura mínima maior que a calculada no caso das sapatas rígidas, devido à sua grande altura.

14 Observe na Eq. 1.27 que o momento fletor M1A,d é relativo à pressão do solo atuante ao longo do lado B da sapata, de modo que a

área As,A deve ser distribuída em B (205 cm).


Outros autores adotam a armadura mínima de lajes, de 0,0010bw d. O ACI 318 (item 10.5.1) recomenda a armadura

mínima especificada para os elementos fletidos, sendo que a armadura mínima especificada para as lajes com altura

uniforme pode ser muito pequena e insuficiente, e que não é uma boa situação na combinação de altas tensões de

cisalhamento e baixas taxas de armadura de flexão (). Desse modo, recomendam armaduras mínimas de 0,0018bw d ou

0,0020bw d, dependendo do tipo de aço.

No caso por exemplo de se utilizar a armadura mínima do ACI, de 0,0018bw d = 0,0018 . 205 . 65 = 23,99 cm2

(relativa ao lado A da sapata – momento fletor M1A,d), tem-se uma armadura mínima muito superior à armadura

calculada, de 15,01 cm2, pois é um valor muito conservador. Desse modo, não será aplicada a armadura mínima até que

a NBR 6118 defina o seu valor.

c) Verificação da diagonal comprimida

Como a sapata é rígida, não ocorre a ruptura por punção, por isso basta verificar a tensão na diagonal de

compressão, na superfície crítica C.

uo = 2 (20 + 80) = 200 cm (perímetro da superfície crítica C = perímetro do pilar - Figura 1.61)

Conforme o item 1.6.4, fazendo o cálculo da força FSd sem considerar a possível redução devida à reação de

baixo para cima na base da sapata, proveniente do solo:

FSd = NSd = γf N = 1,4 . 1250 = 1.750 kN

ap

bp

80

20

C

Figura 1.61 – Superfície crítica C – contorno do pilar.

Tensão de cisalhamento atuante (Eq. 1.18):

135,065200

1750

du

F

o

SdSd

kN/cm2 = 1,35 MPa

Tensão de cisalhamento resistente (Eq. 1.17):

43,04,1

5,2

250

25127,0f27,0 cdV2,Rd

kN/cm2 = 4,3 MPa

τSd = 1,35 MPa < τRd,2 = 4,3 MPa ok!

Portanto, não irá ocorrer o esmagamento do concreto na diagonal comprimida. Verifica-se que a sapata tem

uma grande folga neste quesito.

As sapatas devem ter o equilíbrio verificado, quanto à possibilidade de tombamento e escorregamento,

conforme apresentado no item 1.8. Essas verificações não estão apresentadas neste exemplo.

d) Detalhamento das armaduras (Figura 1.62)

A NBR 6118 (item 22.6.4.1.1) especifica que a armadura de flexão deve ser uniformemente distribuída ao

longo da largura da sapata (ver item 1.6.5.1 desta apostila), sem maiores detalhes. O ACI 318 e o CEB-70 apresentam

prescrições detalhadas quanto à distribuição da armadura, dependendo das dimensões dos lados A e B da sapata. No

item 1.6.5.1 está apresentado o procedimento do CEB-70. Nota-se que: ap + 2h = 80 + 2 . 70 = 220 cm, é maior que a

largura B (205 cm), e pelo CEB-70 a armadura deve ter uma parte concentrada sob o pilar. No entanto, neste exemplo, a

sapata não é muito retangular, sendo a diferença dos lados de apenas 29 % (265/205 = 1,29), o que justifica distribuir as

barras uniformemente na sapata, como preconizado pela NBR 6118. Na dúvida, pode-se seguir o recomendado pelo

ACI 318 ou pelo CEB-70.

Considerando 10 mm, C25, região de boa aderência e ancoragem sem gancho, o comprimento de ancoragem

(b) na Tabela A-7 é de 38 cm.

A NBR 6118 especifica que as barras das armaduras de flexão sejam estendidas até as faces nas extremidades

da sapata, e terminadas em gancho. A consideração aqui será de que as barras devem se estender com o comprimento de


ancoragem básico (b), a partir da extremidade da sapata. Como o cobrimento de concreto da armadura é de 4 cm e ho é

25 cm, pode-se considerar que o gancho vertical nas extremidades das barras seja: ho – 10 cm = 25 – 10 = 15 cm. O

comprimento do gancho inclinado então é a diferença entre o comprimento de ancoragem básico e o comprimento do

gancho vertical:15

gancho,incl = 38 – 15 = 23 cm

Portanto, pode-se arredondar gancho,incl para 25 cm (preferencialmente um valor múltiplo de 5 cm).

B

205

A = 265

20 N2 20 N1

25

N1

- 2

0 c

/10

(205 -

8)/

10 =

19,7

N2 - 20 c/13(265 - 8)/13 = 19,8

92,5

65

Øl,pil

N1 - 20 Ø10 C = 337

15

15257

N2

- 2

0 Ø

10

C =

27

71

97

15

15

As,B

As,A

23

As,A

As,B

25

25

25 25

Figura 1.62 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.

1.6.5.4 Exercícios Propostos

1o) Dimensionar e detalhar as armaduras da sapata isolada apresentada em Alonso[18] (pg. 14), para um pilar

de seção 30 x 100 cm, com carga vertical característica de 3.000 kN, com:

σadm = 0,3 MPa Mx = My = 0

C25 ,pilar = 22,5 mm

2o) Resolver o Exercício 1 fazendo o pilar circular com diâmetro de 60 cm, e com a sapata de base circular.

15 A NBR 6118 não especifica o gancho inclinado; informa apenas que a barra deve terminar em gancho nas duas

extremidades.


1.6.6 Projeto Conforme o Método das Bielas

O Método das Bielas para o projeto de sapatas foi proposto por Lebelle (1936, Figura 1.63), tendo

sido elaborado com base nos resultados de numerosos ensaios experimentais. Aplica-se às sapatas corridas

ou isoladas, com o seguinte limite para a altura útil:

4

aAd

p 1.31

Como a NBR 6118 classifica a sapata rígida conforme a relação h ≥ (A – ap)/3 - ver Eq. 1.1, nota-se

que o limite de Lebelle corresponde à sapata flexível para a NBR 6118, de modo que existe uma faixa de

valores para d que, se adotados, resultarão na sapata flexível segundo a NBR 6118.

A carga é transferida do pilar para a base da sapata por meio de bielas de concreto comprimido, que

induzem tensões de tração na base da sapata (Figura 1.64), que devem ser resistidas por armadura.

Segundo Gerrin[19] (1955), os ensaios mostram que não ocorre ruptura por compressão das bielas de

concreto, e sua verificação pode ser dispensada.

Figura 1.63 – Início do texto de Lebelle onde apresenta a teoria das bielas para sapatas corridas ou isoladas.


Biela de compressão

Armadura necessária pararesistir à força de tração

Figura 1.64 – Caminhamento da carga do pilar em direção à base da sapata.

A Figura 1.65 mostra as forças atuantes na sapata, de acordo com o método das bielas.

P

0

yx

AB

d0

dT x

d x

dy

dT

dN

dT y

p d dx y

Figura 1.65 – Esquema de forças segundo o método das bielas.

Considerando somente a direção x, como se fosse uma sapata corrida (Figura 1.66), tem-se as

equações para definição da força de tração na base da sapata (Tx):


ap

P

d

=

A

. d

(A -

)

d 0

dxAs

ap

d s

p

A2

A2

2dPd

dT

x

p d x = dP

d0

A

0

dN

dTdP

Figura 1.66 – Forças na direção x da sapata.

dT = dN cos α ; dP = dN sen α

0d

xdxp

tg

dPcos

sen

dPdT

22

px

22

0

2

A

x0

x

x4

A

dA

)aA(p

2

1T

x4

A

d

p

2

1dxx

d

pT

Para x = 0, Tx = Tmáx 4

A

dA

)aA(

A

P

2

1T

2p

x


d

)aA(

8

PT

px

1.32

De forma análoga para a direção 𝑦 da sapata isolada:

d

)bB(

8

PT

py

1.33

A tensão máxima na biela de compressão é obtida das relações:

s

cd

dN , onde

sen

dxds

A máxima compressão ocorre nas bielas mais inclinadas ( = o)(α = α0) e a tensão máxima ocorre

no ponto A, onde a seção da biela é a mínima. A tensão máxima resulta:

20

2p

pc

d4

aA1

a

P 1.34

A Figura 1.67 mostra as armaduras de flexão da sapata, conforme o Método das Bielas.

B

A

x

y

P

h

d 1 4

(A

-

)

ap

Asx ou As,A

P

Asy ou As,B

d 14

(B - )bp

ap

bp

Figura 1.67 – Armaduras de flexão da sapata.

As armaduras são:

yd

xdA,ssx

f

TAA 1.35


yd

ydB,ssy

f

TAA 1.36

Levando-se em consideração as duas direções, a tensão máxima na biela é:

20

2

2p

2p

ppmáx,c

d1

14

bBaA1

ba

p 1.37

onde B

b

A

aPp

(áreas hometéticas).

No caso particular de sapatas (e pilares) quadradas:

2

0

p

pmáx,c

d1

1

aA

2

11

aA

p 1.38

1.6.6.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida Sob Carga Centrada – Método das Bielas

Calcular as armaduras de flexão da sapata do Exemplo 1 pelo “Método das Bielas”. Os dados considerados do

Exemplo 1 são: ap = 80 cm, Nk = P = 1.250 kN, A = 265 cm, B = 205 cm (Figura 1.68).

92,5 92,5

92

,592

,5

80

20

B =

205

A = 265

bp

ap

cB

cB

cAcA

Figura 1.68 – Dimensões (cm) da sapata.

Resolução

No Exemplo 1 a sapata foi projetada como rígida conforme o critério da NBR 6118 (Eq. 1.1):

7,613

80265

3

aAh

p

cm

Pelo “Método das Bielas” deve-se ter (Eq. 1.31):

3,464

80265

4

aAd

p

cm


Considerando que a altura útil d é apenas um pouco inferior a h, nota-se que o valor limite da NBR 6118 para

sapata rígida sempre atenderá ao valor limite do “Método das Bielas”. A sapata foi considerada com altura de 70 cm, e

d = 65 cm > 46,3 cm, de modo que o método pode ser aplicado.

O ângulo β de inclinação da sapata é:

7027,0

)80265(2

1

65

)aA(2

1

dtg

p

β = 35,1°(16)

Forças de tração na base da sapata (Eq. 1.32 e 1.33):

7,44465

)80265(

8

1250

d

)aA(

8

PT

px

kN

7,44465

)20205(

8

1250

d

)bB(

8

PT

py

kN

Como a sapata tem balanços iguais (cA = cB), as forças de tração resultaram iguais (Tx = Ty), de modo que as

armaduras são também iguais nas duas direções: As,A = As,B . Com γf = 1,4 e Eq. 1.35 e 1.36:

32,14

15,1

50

7,4444,1

f

TAA

yd

xdB,sA,s

cm2

Com o “Método das Bielas” a armadura de flexão resultou um pouco inferior à calculada no Exemplo 1 (As,A =

15,01 e As,B = 16,20 cm2), conforme o método do CEB-70. A NBR 6118 recomenda verificar a tensão na diagonal

comprimida (item 19.5.3.1), como demonstrado no Exemplo 1.


conforme apresentado no item 1.8.

1.6.7 Sapatas Sob Ações Excêntricas

Excentricidades nas sapatas podem ser causadas pela existência de momentos fletores ou força

horizontal no pilar, como também pela carga vertical, quando aplicada fora do centro de gravidade da base

da sapata, como as sapatas de divisa (Figura 1.69 e Figura 1.70).

A

A/2 A/2

N e

div

isa

NH

M

Figura 1.69 – Sapatas isoladas sob ações excêntricas.

16 Montoya[4] recomenda que o ângulo seja igual ou superior a 45 para classificar a sapata como rígida.


N

MA

HA

A

BN

MB

HB

Figura 1.70 – Sapata isolada sob ações excêntricas.

1.6.7.1 Excentricidade em Uma Direção

a) Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia

6

Ae (Figura 1.71)

Ocorre quando 6

Ae . Tem-se:

I

yM

BA

N

A

e61

BA

Nmáx ;

A

e61

BA

Nmín 1.39

A

B

A6

B6

e

N

máx

mín

Nnúcleo

Figura 1.71 – Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia.


b) Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central

6

Ae (Figura 1.72)

BA

N2máx

1.40

A

A6

máx

N

Figura 1.72 – Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central.

c) Ponto de aplicação da força fora do núcleo central

6

Ae (Figura 1.73)

Parte da base da sapata (e solo) fica sob tensões de tração (mín < 0). Neste caso, um novo diagrama

triangular é adotado, excluindo-se a zona tracionada, e com o CG (CP) do triângulo coincidente com o limite

do novo núcleo central. A tensão de compressão máxima aumenta para:

e2

AB3

N2máx

1.41


A

A6

máx, 1

Ne

B

LNmín

6

A0

máx

LN

3(A/2 - e)

A0

Figura 1.73 – Ponto de aplicação da força fora do núcleo central.

1.6.7.2 Excentricidade nas Duas Direções

A Figura 1.74 mostra o desenho em planta de uma sapata com excentricidades nas duas direções.

y

xeB

eA

A

B

N

Figura 1.74 – Sapata com excentricidade nas duas direções.

O equilíbrio é obtido com as pressões atuando em apenas uma parte da área da base da sapata, e:

I

xM

I

yM

BA

N AB

1.42


N

MB

HB

B

N

MA

HA

A

Figura 1.75 – Forças e momentos fletores atuantes na sapata.

MA’base = MA + HA . h ; MB’base = MB + HB . h

N

Me A

A , N

Me B

B

a) Quando 6

1

B

e

A

e BA (Figura 1.76)

y

xeB

eA

A

B

N

CG

máx

mín

Figura 1.76 – Tensões na sapata para 6

1

B

e

A

e BA .

B

e6

A

e61

BA

N BAmáx ;

B

e6

A

e61

BA

N BAmín 1.43

(toda seção seta comprimida)


b) Quando 6

1

B

e

A

e BA (Figura 1.77)

y

x

eB

eA

A

B

N

2

1

4

3

máx

mín

seção

comprimida

Figura 1.77 – Tensões na sapata para6

1

B

e

A

e BA .

BAK

N

11máx

1.44

mín = 4 = K4 1 (fictício, não considerado) 1.45

mín = 4 < 0 1.46

K1 e K4 são determinadas no ábaco mostrado na Figura 1.78. Num ponto qualquer de coordenadas

(x, y) a tensão é:

tgA

B1

tgA

B

B

y

A

x

414mín 1.47


Figura 1.78 – Ábaco para determinação das tensões máximas nas sapatas retangulares rígidas para

ação com dupla excentricidade (Montoya[4]).


Notas:

- em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinação de carregamento mais desfavorável,

σmáx = 1,3σadm ;

- para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar inteiramente

comprimida, isto é:

6

1

B

e

A

e g,Bg,A 1.48

(G = peso próprio e solo sobre a sapata - Figura 1.79).

Gs2

Gb2

Gs1

Gb1

Figura 1.79 – Forças representativas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.

- Para garantir a segurança contra tombamento da sapata, na condição mais desfavorável, pelo menos a

metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue fazendo:

9

1

B

e

A

e2

B2

A

1.49

1.6.7.3 Exemplo 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor Para um pilar de 20 x 100 cm submetido a uma força de compressão (Nk) de 1.600 kN e um momento fletor

(Mk) de 10.000 kN.cm, atuando em torno do eixo paralelo ao menor lado do pilar (Figura 1.80), dimensionar a fundação

em sapata isolada, sendo conhecidos: concreto C25, aço CA-50 (fyd = 43,48 kN/cm2), σadm = 0,030 kN/cm² (0,30 MPa),

armadura longitudinal do pilar composta por barras de ,pil = 20 mm.

bp

ap

k

kN

100

20 B

A

M

Figura 1.80 – Notação das dimensões e ações aplicadas na sapata.

Resolução

1) Cálculo das dimensões (em planta) da sapata (sem considerar o efeito do momento fletor)

Área de apoio da sapata, considerando Kmaj = 1,05 como estimativa do peso próprio da sapata e do solo sobre a

sapata (Eq. 1.7):


000.56030,0

160005,1NKS

adm

majsap

cm2

Dimensão B da sapata em planta (Eq. 1.9), com balanços (c) iguais nas duas direções (Figura 1.81):

sap2

pppp Sab4

1ab

2

1B = 0,2005600010020

4

110020

2

1 2 cm

que já é um valor múltiplo de 5 cm, de modo que B = 200 cm. Para balanços iguais (cA = cB) tem-se (Eq. 1.5):

A – ap = B – bp

A = B – bp + ap = 200 – 20 + 100 = 280 cm

e a área da base da sapata passa a ser: Ssap = A . B = 280 . 200 = 56.000 cm2, que corresponde à área mínima para

atender a tensão admissível do solo.

B

20

0

A

280

20

100

bp

ap

Figura 1.81 – Dimensões da sapata (cm).

2) Verificação das tensões na base da sapata

O cálculo da tensão no solo será feito considerando a estimativa do peso próprio da sapata e do solo sobre a

sapata, pelo fator Kmaj de 1,05. Tensões na base da sapata (Figura 1.83):

I

yM

BA

N

2

Ay ;

12

ABI

3

95,5160005,1

10000

NK

Me

maj

cm ; 7,466

280

6

A cm

7,466

A95,5e cm a força N está aplicada dentro do núcleo central de inércia (ver Figura 1.71)

A tensão máxima é (Eq. 1.39):

A

e61

BA

Nmáx


0338,0280

95,561

200280

160005,1máx

kN/cm2 > σadm = 0,030 kN/cm2 não ok!

Neste caso deve-se aumentar a seção da base da sapata. Fazendo o lado A = 300 cm e com a Eq. 1.5 tem-se o

lado B e a nova área da base da sapata:

B = A – ap + bp = 300 – 100 + 20 = 220 cm

Ssap = A . B = 300 . 220 = 66.000 cm2

A excentricidade (e) não se altera, de modo que com as novas dimensões a tensão máxima é:

0285,0300

95,561

220300

160005,1máx

kN/cm2 < σadm = 0,030 kN/cm2 ok! a tensão admissível do solo

não foi ultrapassada.

3) Altura da sapata

Fazendo como sapata rígida, conforme o critério da NBR 6118 (Eq. 1.1):

7,663

100300

3

aAh

p

cm , e fazendo cA = cB , não é necessário verificar na direção do lado B.

É importante definir a altura da sapata também em função do comprimento de ancoragem da armadura

longitudinal do pilar ( 20 mm). Considerando situação de boa aderência, com gancho, C25, CA-50 (nervurado) tem-se

o comprimento de ancoragem b = 53 cm na Tabela A-7.

Adotando h = 80 cm tem-se a altura útil é:

d = h – 5 cm = 80 – 5 = 75 cm > b = 53 cm ok!

A altura da face vertical nas extremidades da sapata é (Eq. 1.3):

cm15

cm7,263

80

3

h

ho adotado ho = 30 cm

O balanço c da sapata, com balanços iguais (ver Figura 1.82), é (Eq. 1.26):

1002

100300

2

aAccc

pBA

cm

O ângulo da superfície inclinada da sapata é:

100

3080

c

hhtg o

= 26,6°


B

220

A

300

100

20

100

100

100

100

cB

cB

cA cA

bp

ap

Figura 1.82 – Dimensões e balanços da sapata (cm).

4) Cálculo dos momentos fletores segundo o CEB-70

Verificação se o processo do CEB-70 pode ser aplicado:

802c2

80h2c

2

h 40 c = 100 160 cm ok!

Para cálculo dos esforços solicitantes atuantes na sapata (V e M), não é necessário considerar o peso próprio da

sapata e do solo sobre a sapata, pois não influenciam nesses esforços solicitantes, de modo que o cálculo será refeito

desconsiderando o fator Kmaj = 1,05, e com as ações externas majoradas por coeficientes de ponderação, neste caso γf =

1,4:

25,61600.4,1

10000.4,1

N

Me

d

d cm

Tensão máxima teórica17 é (Eq. 1.39):

A

e61

BA

Nmáx

03818,0300

25,661

220300

1600.4,1d,máx

kN/cm2

02970,0300

25,661

220300

1600.4,1d,mín

kN/cm2 > 0 (como esperado, porque a força N aplicada está dentro

do núcleo central de inércia)

Conforme o CEB-70, o momento fletor M1A,d deve ser calculado na seção de referência S1A (Figura 1.84). O

cálculo deve compreender o diagrama de reações no solo compreendido entre a seção de referência e a extremidade da

sapata, onde ocorre a tensão máxima (0,03818 kN/cm2).

A distância entre a extremidade da sapata e a seção de referência S1A é:

xA = cA + 0,15ap = 100 + 0,15 . 100 = 115 cm

A tensão no solo na posição da seção de referência S1A é:

03493,0115300

02970,003818,003818,0p A,1

kN/cm2 (ver Figura 1.84)

17 A tensão máxima real aplicada no solo é de 0,0285 kN/cm2. O valor de 0,03818 kN/cm2 é teórico, serve apenas para

calcular os esforços solicitantes na sapata, e considera o coeficiente de ponderação majorador das ações.


100

20

22

0

300

N

M

M

0,038180,02970

Nd

A . B

M yd

I

Figura 1.83 – Dimensões da sapata e esquema de tensões do solo.

B

22

0

A

300

0,038180,02970

h 80 d 75

10

0

20

10

0

100

100

100

cB

cB

cA cA

bp

ap

S1A

p1,A

xa

115

0,15 = 15ap

p1,A

P1

P2

0,038180,03493

S1A 115

57,5

76,7 38,3

57,5

0,1

9

4,0

2

Figura 1.84 – Seção de referência S1A e valores das tensões do solo (kN/cm2).


As forças resultantes das tensões no solo, para o diagrama de tensões mostrado na Figura 1.84, são:

P1 = 0,03493 . 115 = 4,02 kN

P2 = (0,03818 – 0,03493) . 115/2 = 0,19 kN

M1A,d = (4,02 . 57,5 + 0,19 . 76,7) 220 = 54.059 kN.cm

Na dimensão B o momento fletor M1B,d deve ser calculado na seção de referência S1B (ver Figura 1.85).

Considerando a tensão média entre as tensões mínima e máxima tem-se:

03394,02

02970,003818,0pméd

kN/cm2

A distância entre a extremidade da sapata e a seção de referência S1B é:

xB = cB + 0,15bp = 100 + 0,15 . 20 = 103 cm

010.543002

10303394,0A

2

xpM

22B

médd,B1 kN.cm

0,02970

S 1A

S1B

p1A = 0,03493 0,03818

0,03818

0,03394

(valor médio)

0,02970

0,02970

Figura 1.85 – Esquema de reações do solo na base da sapata.

Armaduras de flexão (Eq. 1.28):

yd

ds

fd85,0

MA 50,19

48,437585,0

54059A A,s

cm2

Transformando a armadura em cm2/m:

86,8100220


49,1948,437585,0

54010A B,s

cm2

50,6100300


Para a armadura de flexão recomenda-se que o espaçamento entre as barras esteja compreendido entre os

valores: 10 cm ≤ e ≤ 20 cm.


5) Verificação da diagonal comprimida na superfície crítica C

O perímetro do pilar é:

uo = 2(ap + bp) = 2(20 + 100) = 240 cm (Figura 1.86)

100

ap

20bp

Figura 1.86 – Perímetro do pilar – superfície crítica C.

A força aplicada pelo pilar, sem considerar a possível redução devida à reação de baixo para cima na base da

sapata, proveniente do solo, é:

FSd = NSd = γf . N = 1,4 . 1600 = 2.240 kN

Tensão de cisalhamento atuante (Eq. 1.18):

124,075240

2240

du

F

o

SdSd

kN/cm2 = 1,24 MPa

Tensão de cisalhamento resistente (Eq. 1.17):

43,04,1

5,2

250

25127,0f27,0 cdv2,Rd

kN/cm2 = 4,3 MPa

τSd = 1,24 MPa < τRd,2 = 4,3 MPa ok!

Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas de concreto.



6) Detalhamento das armaduras (Figura 1.87)

As armaduras serão distribuídas uniformemente nas direções A e B, conforme a NBR 6118 (22.6.4.1.1), a qual

especifica que as barras das armaduras de flexão sejam estendidas até as faces das extremidades da sapata, e terminadas

em gancho. Como o cobrimento de concreto é 4 cm e ho é 30 cm, pode-se considerar que o gancho vertical nas

extremidades das barras seja: ho – 10 cm = 30 – 10 = 20 cm.

O comprimento de ancoragem das barras de flexão, considerando 10 mm, C25, boa aderência, sem gancho,

na Tabela A-7 é b = 38 cm. O comprimento do ganho inclinado então é a diferença entre o comprimento de ancoragem

(b) e o gancho vertical:

gancho,incl ≥ 38 – 20 ≥ 18 cm

Portanto, pode-se arredondar o gancho,incl para 20 cm.


20 20

20

20

8030

N1

- 2

4 c

/9

N2 - 24 c/12

100

ØlØ,pil

24 Ø10

24 Ø10

N1 - 24 Ø10 C = 372

20 20292

N2

- 2

4 Ø

10

C =

292

21

2

20

20

Figura 1.87 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.

1.6.7.4 Exemplo 4 – Sapata Isolada Sob Flexão Oblíqua (Exemplo de Edja L. Silva[20], Dissertação de Mestrado, 1988, EESC-USP, São Carlos/SP)

Dimensionar a sapata isolada de um pilar considerando:

- seção transversal do pilar: 40 x 60 cm ; ,pilar = 22 20 mm (parte tracionada);

- força normal característica Nk = N = 1.040 kN;

- concreto C20 ; aço CA-50 ; c = 4,5 cm;

- tensão admissível do solo σadm = 500 kN/m2;

- momentos fletores solicitantes característicos: Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m.

Resolução

a) Estimativa das dimensões da base da sapata

Considerando o fator Kmaj = 1,1 para estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre ela, bem como outras

eventuais cargas sobre o pavimento acima da sapata, tem-se:

288,2500

10401,1N1,1S

admsap

m2 = 22.880 cm2

Fazendo abas (balanços) iguais (cA = cB = c):

sap2

pppp Sab4

1ab

2

1B = m42,1288,26,04,0

4

16,04,0

2

1 2

adotado B = 140 cm.

A – ap = B – bp A = B – bp + ap = 140 – 40 + 60 = 160 cm (Figura 1.88)


A área da base da sapata é: Ssap = A . B = 160 . 140 = 22.400 cm2 ≥ 22.880 cm2 ok!

B

14

0cm

A

160cm

x

y

60

40

N

N

Mx

N

My

Figura 1.88 – Dimensões (cm) e esforços solicitantes na sapata.

b) Verificação das tensões na base da sapata

Em função da força normal e dos momentos fletores solicitantes:

N = 1.040 kN ; Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m

as excentricidades da força vertical são:

cm27m270,01040

280ex e cm3,18m183,0

1040

190ey

Cálculo da tensão máxima 1 com auxílio do ábaco da Figura 1.78:

13,0140

3,18

B

e

17,0160

0,27

A

e

yy

xx

ábaco (Figura 1.78) 1 = 0,34, zona C

6505003,13,1BA

Fadm

1

V1

kN/m2

Considerando o fator Kmaj = 1,1 para estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata, a tensão é:

502.14,16,134,0

10401,11

kN/m2 >> 1,3σadm = 650 kN/m2 não ok!

As dimensões da sapata devem ser aumentadas! Nova tentativa com A = 220 cm, B = 200 cm e cA = cB = c =

80 cm:


12,0220

0,27x ; 09,0

200

3,18y

Verifica-se que:

6

121,0

B

e

A

eyx

yx (há tração na base)

no ábaco (Figura 1.78): 1 = 0,44, = 36, 4 = 0,10 e zona C.

Tensões nos vértices da sapata (Figura 1.89):

5910.2.2,2.44,0

1040.1,11 kN/m2 < 1,3σadm = 650 kN/m2 ok!

σ4 = – λ4 σ1 = – 0,10 . 591 = – 59,1 kN/m2 (fictícia)

36cos36sen

36sen)1,59591(591

sensen

sen)(

4112

2 = 317,4 kN/m2

36cos36sen

36sen)1,59591(591

sensen

sen)(

4113

3 = 214,5 kN/m2

215

591

-59

317

LN

Figura 1.89 – Tensões nos vértices da sapata.

c) Verificação do tombamento da sapata

111,09

1

9

1

B

e

A

e 2

y

2

x

2y

2x

0,122 + 0,092 = 0,023 < 0,111 ok!

Deve ainda ser verificada a equação:


6

1

B

e

A

e g,yg,x

d) Determinação da altura da sapata como rígida

Pelo critério da NBR 6118:

3,533

60220

3

aAh

p

cm

Para a armadura do pilar (22 20 mm) será utilizado o gancho a fim de diminuir o comprimento de ancoragem

e a altura necessária para a sapata. Para 20, C20, boa aderência, com gancho, resulta b = 61 cm, e:

d > b = 61 cm

Será adotado h = 75 cm, e d = 75 – 5 = 70 cm > b = 61 cm ok!

cm35hadotado

cm15

cm253

75

3

h

h oo

e) Determinação dos momentos fletores conforme o CEB-70

Verificação: 752802

75h2c

2

h

37,5 ≤ c = 80 ≤ 150 cm ok! o método do CEB-70 pode ser aplicado.

As seções de referência S1 estão indicadas na Figura 1.90. Para simplificação pode-se admitir uma tensão

uniforme de referência como:

méd

máxref 3

2

Como simplificação a favor da segurança será considerada a maior tensão entre aquelas na metade dos lados A

e B.

Dimensão A (S1A): 0,22

89,00,454B

2

xpM

22A

A

0,4542

317591p

kN/m2

MA = 359,61 kN.m = 35.961 kN.cm

MA,d = 1,4 . 35961 = 50.346 kN.cm

Dimensão B (S1B): 2,22

86,00,403A

2

xpM

22B

B

0,4032

215591p

kN/m2

MB = 327,86 kN.m = 32.786 kN.cm

MB,d = 1,4 . 32786 = 45.901 kN.cm


215

591

-59

317

403 439E

FG

H

D

B

C

A

454

x B

86

B = 200165

xA89

A = 220

473

97

S1B

S 1A

302

Figura 1.90 – Tensões na base da sapata e seções de referência S1 .

Atividade: fazer os demais cálculos, verificações e o detalhamento final das armaduras.

1.6.8 Sapata Flexível Sob Carga Centrada

Segundo o critério da NBR 6118, sapatas flexíveis são aquelas que:

3

a -A <h

p 1.50

As sapatas flexíveis são menos utilizadas que as sapatas rígidas, e são indicadas para cargas verticais

baixas e solos relativamente fracos (NBR 6118, item 22.6.2.3). A verificação da punção é obrigatória, pois o

cone de punção pode ficar dentro da sapata.

Conforme Andrade[14], os momentos fletores e as forças cortantes podem ser calculados segundo dois

critérios:

a) “independentes” segundo cada direção, desprezando o fato que a sapata trabalha como laje armada em

cruz (Figura 1.91a);

b) segundo cada direção com um determinado quinhão de carga, determinados geometricamente e

empiricamente, repartindo-se a área da sapata em “áreas de influência”, que podem ser triangulares ou

trapezoidais (Figura 1.91b e Figura 1.91c).

Os momentos fletores são calculados segundo as duas direções da sapata, nas seções correspondentes

ao seu centro. As forças cortantes são calculadas nas seções de referência 1 e 2, nas faces do pilar, conforme

a Figura 1.91.

Os momentos fletores calculados com área triangular e trapezoidal são praticamente idênticos, e com

área retangular são mais elevados.


2 2

1

1

N2

N2

A2

A1

2 2

N4

1

1

A1

A3

A2

A4

N4

N4

1

2 2

A1

A3

A2

A4

N4

2 2

1

1

a) Primeiro critério: áreas

compostas por retângulos;

b) Segundo critério: áreas

compostas por triângulos;

c) Segundo critério: áreas composta

por trapézios.

Figura 1.91 – Áreas relativas aos quinhões de carga.

A tensão aplicada pela sapata no solo é: A

Np

A tensão atuante na área do pilar devida à força vertical centrada é: pp

pilba

Np

a) Áreas compostas por retângulos (Figura 1.92)

O momento fletor máximo relativo ao lado A (lado maior) da sapata é:

p

2p

pil

2

A b2

ap

2

1-B

2

Ap

2

1 = M

)a -(A 8

N = M pA 1.51

Analogamente para o lado B da sapata:

)b - (B 8

N = M pB 1.52

2 2

1

1

N2

N2

A2

A1

Figura 1.92 – Quinhões de carga por área retangular.

A força cortante para o lado A da sapata é:

pA a-Ap2

1 = V

A

a-1

2

N = V

pA 1.53


Analogamente para o lado B:

B

b-1

2

N = V

pB 1.54

b) Áreas compostas por triângulos (Figura 1.93)

Momento fletor máximo relativo ao lado A:

2

a

3

2

4

N-

2

A

3

2

4

N = M

pA

)a -(A 12

N = M pA 1.55

2 2

N4

1

1

A1

A3

A2

A4

N4

Figura 1.93 – Quinhões de carga por área triangular.

Força cortante relativo ao lado A:

)a -(A 2

1 )b + (B

2

1 p = V ppA

A

a1

B

b1

4

N = V

ppA 1.56

Analogamente para o lado B:

)b - (B 12

N = M pB

A

a1

B

b1

4

N = V

ppB

1.57

b) Áreas compostas por trapézios (Figura 1.94)

A carga N/4 é aplicada no centro de gravidade do trapézio, com:

p

ppCG

b + B

b + 2B

6

a -A = x 1.58


N4

1

2 2

A1

A3

A2

A4

N4

2 2

1

1

Figura 1.94 – Quinhões de carga por área trapezoidal.

O momento fletor no centro da sapata relativo ao lado A é:

2

a

3

2

4

N

2

a

bB

bB2

6

aA

4

N = M

pp

p

ppA

E finalmente, para os dois lados:

6

a

bB

bB2

6

aA

4

N = M

p

p

ppA

6

b

aA

aA2

6

bB

4

N = M

p

p

ppB

1.59

A força cortante na seção 1 relativo ao lado A é:

ppA aA2

1 bB

2

1p = V

E finalmente, para os dois lados:

A

a1

B

b1

4

N = V

ppA

A

a1

B

b1

4

N = V

ppB

1.60

1.6.8.1 Verificação de Sapata Flexível à Força Cortante quando bW 5d

A força cortante nas sapatas pode ser verificada como nas lajes quando bw 5d (NBR 6118, item

19.4), onde bw é a largura da sapata na direção considerada. As lajes não necessitam de armadura transversal

à força cortante quando:

VSd VRd1 1.61

com:

VRd1 = [τRd k(1,2 + 40ρ1) + 0,15σcp] bw d 1.62


onde: Rd = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento;

k = coeficiente igual a 1 para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio;

para os demais casos k = | 1,6 – d | > 1, com d em metros;

0,02 db

A =

w

s11 1.63

c

Sdcp

A

N = 1.64

NSd = força longitudinal na seção derivada à protensão ou carregamento (compressão positiva);

As1 = área da armadura de flexão que se estende pelo menos d + b,nec além da seção considerada.

1.6.8.2 Exemplo 5 – Sapata Flexível Resolver a sapata do Exemplo 3 fazendo a sapata como flexível.

Resolução

As dimensões da sapata em planta estão indicadas na Figura 1.95. Como apresentado na resolução do Exemplo

3, a sapata foi resolvida como rígida, com h = 80 cm. Pelo critério da NBR 6118 a sapata será flexível se h < 66,7 cm.

Como a armadura principal do pilar tem b = 53 cm, deve-se atender esse valor. A sapata será flexível adotando h = 60

cm, e:

d = h – 5 cm = 60 – 5 = 55 cm > b = 53 cm ok!

B

22

0

A

300

10

0

20

10

0

100

100

100

cB

cB

cA cA

bp

ap

Figura 1.95 – Dimensões da sapata (cm).

a) Momentos fletores e forças cortantes

a.1) Área por triângulos (Figura 1.97)

As fórmulas desenvolvidas são para sapata com carga centrada. Para aplicação neste exemplo, onde ocorre

momento fletor e a tensão no solo na base da sapata não é uniforme (Figura 1.96), é necessário adotar um critério de

modo a uniformizar a tensão. Um critério simples é:

03394,02

03818,002970,0

2

03054,003818,08,08,0

p

mínmáx

máx

d,based pd = 0,03394 kN/cm2 (ver Figura 1.97)


100

20

22

0

300

N

M

M

0,038180,02970

Nd

A . B

M yd

I

Figura 1.96 – Tensões (valores de cálculo) no solo na base da sapata.

2

3

100

p = 0,03394d

N4

100

ap

20

bpB

220

A

300

A2

0,03818 KNcm²

0,02970

Figura 1.97 – Área de um triangulo, dimensões da sapata e reação do solo.

Com pd pode-se determinar Nd :

BA

N = p d

d

Nd = pd . A . B = 0,03394 . 300 . 220 = 2.240 kN


Os momentos fletores são:

37.333 = 100) (30012

2240 = )aA (

12

N =M p

ddA, kN.cm

333.37)20220(12

2240)bB(

12

NM p

dd,B kN.cm

As forças cortantes atuantes são:

300

1001

220

201

4

2240

A

a1

B

b1

4

NVV

ppdd,Bd,A = 339,4 kN

A verificação da sapata à força cortante pode ser feita conforme indicado no item 1.6.8.1.

a.2) Área por trapézios (Figura 1.98)

Os momentos fletores são:

6

a

bB

bB2

6

aA

4

NM

p

p

ppdd,A =

6

100

20220

202202

6

100300

4

2240= 45.111 kN.cm

6

b

aA

aA2

6

bB

4

NM

p

p

ppdd,B = 533.34

6

20

100300

1003002

6

20220

4

2240

kN.cm

N4

100

ap

20

bpB

220

A

300

0,03394 KNcm²p =d

Figura 1.98 – Área de um trapézio e reação do solo.

As forças cortantes atuantes são (Figura 1.99):

kN4,339A

a1

B

b1

4

NVV

ppdd,Bd,A

(igual à área por triângulos)

MB

MA

B

A

Figura 1.99 – Indicação dos momentos fletores solicitantes.


b) Armaduras de flexão

Adotando os momentos fletores calculados para as áreas de trapézios, tem-se:

2

yd

dA,s cm18,22

5,435585,0

45111

fd85,0

MA

08,10100220

18,22 cm2/m na Tabela A-11: 10 c/8 cm (10,00 cm2/m)

2

B,s cm98,165,435585,0

34533A

66,5100300

98,16 cm2/m na Tabela A-11: 10 c/14 cm (5,71 cm2/m)

Taxas de armadura, considerando as armaduras efetivas:

01818,055100

00,10

d100

AsA

00104,055100

71,5

d100

AsB

c) Verificação da punção

c1)Verificação da superfície crítica C’ (Figura 1.100)

Os balanços da sapata são iguais, cB = cA = 100 cm.

2d = 2 . 55 = 110 cm > cA = cB = 100 cm. Se 2d > cA ou 2d > cB , deve-se adotar para a* o menor valor entre cA

e cB , portanto, neste caso a* = cB = cA = 100 cm.

B

220

A

300

a*

a*

C

C'

Figura 1.100 – Superfície critica C’ e distância a*.

Tensão de cisalhamento solicitante (τSd) para sapata com um momento fletor externo solicitante (Eq. 1.12 ou

Eq. 1.24):

dW

MK

d*u

F

p

SdSdSd

Área limitada pelo contorno C’:

Acont,C’ = ap . bp + 2a*ap + 2a* bp + (a*)2


Acont,C’ = 100 . 20 + 2 . 100 . 100 + 2 . 100 . 20 + (100)2 = 57.415 cm2

Com a tensão média na base da sapata de pd = 0,03394 kN/cm2, a força na área Acont, C’ devida à tensão (reação)

do solo é:

7,948.157415.03394,0ApF 'C,contdSd kN

Força sobre a sapata reduzida da reação do solo:

FSd,red = FSd – ∆FSd = (1,4 . 1600) – 1948,7 = 291,3 kN

Perímetro u* do contorno C’:

u* = 2ap + 2bp + 2a* u* = 2 . 100 + 2 . 20 + 2 . 100 = 868,3 cm

Parâmetro K, dependente de C1 e C2 (Figura 1.101):

C

a

C1

ap

C bC2

bp

e

N

e1

Msd

Figura 1.101 – Parâmetros C1 e C2 .

C1 = ap = 100 cm ; C2 = bp = 20 cm 520

100

C

C

2

1 na Tabela 1.1, K = 0,80

12

221

21

p Cd2 + 16d d4C CC 2

C W (para pilar retangular)

com d = a* = 100 cm:

0100102 + 01016 010024 02100 2

010 W 2

2

p = 237.830 cm2

25237830

)100004,1(8,0

253,868

3,291

dW

MK

du

F

p

Sd*Sd

Sd

= 0,0153 kN/cm2 = 0,153 MPa

onde d = h0 – 5 = 30 – 5 = 25 cm (d é a altura útil em C’).

Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’, com d = 25 cm (h0 – 5):

2cd3

ck1Rd f5,0*a

d2f100

d

20113,0

cd

ck2cd f

250

f16,05,0f5,0

4,1

5,2

250

2516,05,0

= 0,480 kN/cm2

0,5fcd2 = 4,82 MPa

169,0100

2522500104,0100

25

20113,0 3

1Rd

MPa (utiliza-se a menor taxa de armadura ρ)


τRd1 = 0,169 MPa ≤ 0,5fcd2 = 4,82 MPa ok!

Não é necessário colocar armadura para punção, pois:

τSd = 0,153 MPa < τRd1 = 0,169 MPa

Quando ocorre a necessidade geralmente aumenta-se a altura da sapata para eliminar tal necessidade, a fim de

simplificar a execução da sapata.

c2) Verificação da superfície crítica C

Não ocorrendo punção na superfície crítica C’, dificilmente ocorrerá problema na superfície C.

1.7 Sapata Corrida

Sapata corrida é aquela destinada a receber cargas lineares distribuídas, possuindo por isso uma

dimensão preponderante em relação às demais. Assim como as sapatas isoladas, as sapatas corridas são

classificadas em rígidas ou flexíveis, conforme o critério da NBR 6118 já apresentado.

Como as bielas de compressão são íngremes, surgem tensões de aderência elevadas na armadura

principal As (Figura 1.102), que provocam o risco de ruptura da aderência e ruptura do concreto de

cobrimento por fendilhamento, que pode ser evitada com diâmetro menores para as barras e espaçamentos

menores.

Nas sapatas corridas flexíveis, especialmente, a ruptura por punção deve ser obrigatoriamente

verificada. 45°

fissura

A

(principal)

Asbiela

comprida

armadura

secundária

Figura 1.102 – Armaduras, biela de compressão e fissuração na sapata corrida.

Recomenda-se adotar para a altura

(Figura 1.103):

h ≥ 15 cm (nas sapatas retangulares)

ho ≥ 10 ou 15 cm

hh

h0

Figura 1.103 – Altura h da sapata corrida.

A distribuição de pressão no solo depende principalmente da rigidez da sapata e do tipo de solo. No

cálculo prático são adotados diagramas simplificados, como os indicados na Figura 1.104:


N N NA) B) C)

Figura 1.104 – Distribuição de pressão no solo.

A indicação de Guerrin[19] é:

a) solos rochosos

- sapata rígida: diagrama bi triangular (a);

- sapata flexível: diagrama retangular (b);

b) solos coesivos: diagrama retangular (b) em todos os casos;

c) solos arenosos

- sapata rígida: diagrama retangular (b);

- sapata flexível: diagrama triangular (c).

1.7.1 Sapata Rígida Sob Carga Uniforme

As sapatas corridas rígidas são utilizadas geralmente sob muros ou paredes com cargas relativamente

altas e sobre solos com boa capacidade de suporte.

As sapatas corridas rígidas18 podem ter os momentos fletores (M) calculados na seção de referência

S1 , conforme o CEB-70. As verificações necessárias e o dimensionamento das armaduras pode ser feito de

modo semelhante às sapatas isoladas rígidas, fazendo B = 1 m.

O “Método das Bielas” também pode ser utilizado, em opção ao CEB-70, obedecido o limite para a

altura útil (Eq. 1.31):

4

aAd

p

aap

A

h

Figura 1.105 – Notação da sapata.

A armadura principal deve ser dimensionada para a força Tx (Figura 1.106):

d

aA

8

NT

px Txd = γf Tx 1.65

yd

xdA,ssx

f

TAA 1.66

18 Conforme a NBR 6118 a sapata é rígida quando h ≥ (A – ap)/3.


O fenômeno da punção não ocorre, porém, conforme a NBR 6118 (19.5.3.1), a tensão de compressão

na diagonal comprimida deve ser verificada na superfície crítica C (item 19.5.3.1).

aap

A

d

Tx

N

dd0

p

Figura 1.106 – Força Tx conforme o Método das Bielas.

1.7.2 Sapata Flexível Sob Carga Uniforme

A sapata tem duas armaduras, uma considerada principal, posicionada na direção do lado A, e outra

secundária ou de distribuição, perpendicular à principal e disposta ao longo do comprimento da sapata. A

armadura principal é dimensionada para o momento fletor solicitante máximo, na seção do eixo da parede

(Figura 1.107). A força cortante máxima é considerada atuando na seção correspondente à face da parede

apoiada na sapata. Esses esforços solicitantes são calculados sobre faixas unitárias (B = 1 m) ao longo do

comprimento da sapata.

hd

ØlØ , pilar

p

N

A

As,princA

hh0

As,secA

p

M

V

Figura 1.107 – Sapata corrida flexível.


Pressão no solo: A

Np

Pressão sob a parede: p

para

Np

Força cortante (máxima) na seção correspondente à face da parede:

paA2

1V p

A

a1

2

NV

p 1.67

Momento fletor (máximo) no centro da sapata:

8

a.p

8

pA

2

ap

2

1

2

Ap

2

1M

2ppar

22p

par

2

paA8

NM 1.68

A armadura secundária (As,sec), também chamada armadura de distribuição, deve ter área:

m/cm9,0

A5

1

A2

princ,ssec,s 1.69

As bordas da sapata (balanço) podem ser reforçadas com barras construtivas, como indicado na

Figura 1.108.

Øl

Figura 1.108 – Reforço das bordas com barras adicionais.

A punção, conforme já estudada, deve ser sempre verificada nas sapatas corridas flexíveis (Figura

1.109).

45°4

5°

superfície de ruptura por

punção, segundo Leonhardt

Figura 1.109 – Superfície de ruptura por punção na sapata flexível.


1.7.3 Exemplo 6 – Sapata Corrida Rígida Sob Carga Centrada Dimensionar a sapata rígida pelo “Método das Bielas” sob uma parede corrida de concreto de 20 cm de largura

com carga vertical N = 200 kN/m (20 tf/m). Dados:

C20; σadm = 1,1 kgf /cm2 = 11 tf /m2 = 0,011 kN /cm2 = 0,11 MPa

d = h – 5 cm ; CA-50 ; c = 4,5 cm ; kmaj = 1,05

a = 20ap

A

d

N

h

p

hh0

c

90

Figura 1.110 – Sapata corrida rígida.

Resolução

a) Largura da sapata

A área da base da sapata é: Ssap = A . B = (Kmaj . N)/adm . Considerando que a sapata seja calculada como faixa

de 1 m ao longo do comprimento da sapata, tem-se que B = 1 m = 100 cm e com N = 2,0 kN/cm:

011,0

0,205,1NK1.A

adm

maj

= 190,9 cm adotado A = 190 cm

Os balanços têm o valor:

852

20190

2

aAc

p

cm

b) Altura da sapata

- pelo critério da NBR 6118 (Eq. 1.1): cm56,73

20)(190

3

)a(Ah

p

- para aplicar o Método das Bielas no cálculo deve-se ter (Eq. 1.31):

5,424

20190

4

aAd

p

cm

Adotando h = 60 cm e d = h – 5 = 55 cm, verifica-se que o “Método das Bielas” pode ser aplicado e a sapata é

classificada como rígida conforme a NBR 6118, e considerando também que a altura da sapata possibilite a ancoragem

da armadura principal da parede

c) Armadura de flexão

Força de tração na armadura principal:


3,7755

20190

8

200

d

aA

8

NT

px

kN/m

com γf = 1,4 e CA-50 (fyd = 43,48 kN/cm2), a armadura principal é:

49,248,43

3,774,1

f

TAA

yd

xdA,sx,s

cm2/m = 0,0249 cm2/cm

para 8 mm (1 8 0,50 cm2) tem-se: 0249,0s

5,0 s = 20,1 cm

s = 20 cm 20 ou 25 cm (indicação prática como espaçamento máximo para as barras)

Como alternativa, considerando 6,3 mm (0,31 cm2):

4,120249,0

31,0s cm 20 cm ok!

Portanto:

As,A = As,princ : 8 c/20 cm (2,50 cm2) ou 6,3 c/12 cm (2,58 cm2)

Para a armadura de distribuição pode-se considerar:

m/cm9,0Am/cm50,0

5

49,2

m/cm9,0

A5

1

m/cm9,0

A 2distr,s2

2

princ,s

2

distr,s

5 c/20 cm (1,00 cm2/m)

sdist ≤ 33 cm, mas na prática: sdistr 20 ou 25 cm

Nota: conforme a NBR 6118, a superfície crítica C deve ter a tensão de compressão diagonal verificada (item 19.5.3.1).

d) Detalhamento

A ancoragem da armadura principal pode ser feita estendendo-se as barras às bordas da sapata, fazendo o

gancho vertical com ho – 10 cm.

cm20h

cm15

cm203

60

3

h

h oo

d =

55

h =

60

h = 20h0

Ø 6,3 c/12 Ø5 c/ 20

Figura 1.111 – Esquema indicativo do detalhamento das armaduras.




1.7.4 Exercício Proposto

Dimensionar a sapata corrida rígida para uma parede de largura 20 cm, com:

c = 4,0 cm ; N = 300 kN/m (30 tf/m); σadm = 2,0 kgf/cm2 ; C25 ; CA-50

1.7.5 Exemplo 7 – Sapata Corrida Flexível Sob Carga Centrada Dimensionar a sapata do Exemplo 6 como sapata flexível. Dados: a`p = 20 cm ; N = 200 kN/m ; C20 ;

σadm = 0,011 kN/cm2. São conhecidos: largura da sapata A = 190 cm, balanços c = 85 cm.

Resolução

a) Altura da sapata

Critério da NBR 6118 para sapata flexível:

cm7,563

)20190(

3

)aA(h

p

Será adotado h = 50 cm, considerando que esta altura seja suficiente para a ancoragem da armadura da parede.

b) Esforços solicitantes e armadura de flexão

5,89190

201

2

200

A

a1

2

NV

p

kN/m (V na face da parede)

250.4)20190(8

200)aA(

8

NM p kN.cm/m (M no centro da parede)

Os esforços solicitantes V e M ocorrem em 1 m de comprimento da sapata corrida.

Dimensionamento à flexão:

58,348,43.45.85,0

42504,1

fd85,0

MA

yd

ds

cm2/m

Na Tabela A-11 tem-se: 6,3 mm c/8 cm (3,94 cm2/m), ou 8 mm c/14 cm (3,57 cm2/m).

com s ≤ 20 ou 25 cm (valores da prática)

Armadura de distribuição:

m/cm72,05

58,3A

5

1

m/cm9,0

A2

princ,s

2

distr,s

As,distr = 0,90 cm2/m 5 c/20 cm (1,00 cm2/m)


h =

50

d =

45

a = 20ap

N

A = 190

h = 20h0

M

V

C

85

V

+100

20

C

Figura 1.112 – Dimensões e diagramas de esforços solicitantes na sapata.

d) Verificação da diagonal comprimida

Verificação da superfície crítica C, considerando 1 m de comprimento da sapata:

uo = 2 (20 + 100) = 240 cm

FSd = NSd = 1,4 . 200 = 280 kN/m (desprezando-se a ação contrária proporcionada pela reação do solo)

Tensão de cisalhamento atuante:

0259,045240

280

du

F

o

SdSd

kN/cm2/m

Tensão de cisalhamento resistente:

Rd2 = 0,27v fcd = 355,04,1

0,2

250

20127,0

kN/cm2

Sd = 0,259 MPa < Rd2 = 3,55 MPa ok!


e) Verificação da força cortante

A verificação da força cortante será feita como nas lajes maciças, conforme o critério da NBR 6118,

apresentado no item 1.6.8.1, com bw 5d (ver item 1.6.8.1 deste texto), onde bw é o comprimento da sapata paralelo à

parede. Deve-se ter VSd VRd1 para se dispensar a armadura transversal.

VRd1 = [Rd k (1,2 + 401) + 0,15cp] bw d

0008,045100

58,31

k = |1,6 – d| > 1 = |1,6 – 0,45| = 1,15 > 1

Rd = 0,25 fctd = 276,04,1

203,07,025,0

3 2

MPa

VRd1 = [0,0276 . 1,15 (1,2 + 40 . 0,0008)] 100 . 45

VRd1 = 175,9 kN/m

VSd = 1,4 . 89,5 = 125,3 kN/m < VRd1 = 175,9 kN/m

ok! não é necessário colocar armadura transversal.

Comparação com o Exemplo anterior (item 1.7.3):

Sapata rígida Sapata flexível

As 2,49 3,58

h 60 50

f) Detalhamento (Figura 1.113)

Ø6,3 c/ 8 Ø5 c/ 20

h =

50

d =

45

h = 20h0

Figura 1.113 – Detalhamento indicativo das armaduras.


conforme apresentado no item 1.8. No caso de armaduras de flexão compostas por barras de diâmetro 20 mm ou

superior é importante também verificar o possível descolamento ou escorregamento das armaduras, conforme

apresentado no item 1.9.


Projetar a sapata corrida para a fundação de um muro. São conhecidos:

- C25 ; CA-50 ; hmuro = 3,0 m ; σadm = 2,0 kgf/cm2

- emuro = largura do bloco de concreto de vedação = 19 cm (aparente, sem revestimento de argamassa);

- muro em alvenaria de blocos de concreto;

- blocos enrijecedores a cada 5 m, perpendiculares ao muro;

- considerar ação do vento para a cidade de São Paulo;

- fazer verificações da estabilidade da sapata;

- tipo de solo = argila rija.


3,0

m

mu

ro

Figura 1.114 – Sapata corrida sob muro.

1.8 Verificação da Estabilidade de Sapatas

Nas sapatas submetidas a forças horizontais e/ou momentos fletores é importante verificar as

possibilidades de escorregamento e tombamento.

a) Segurança ao tombamento

A verificação ao tombamento é feita comparando-se os momentos fletores, em torno de um ponto 1

(Figura 1.115).

P

N

M

FH

h

A2

A2

1

Figura 1.115 – Forças atuantes na sapata.

Momento de tombamento:

Mtomb = M + FH . h 1.70

Momento estabilizador:

Mestab = (N + P) A/2 1.71

O peso do solo sobre a sapata pode também ser considerado no Mestab . O coeficiente de segurança

deve ser 1,5:


5,1M

M

tomb

estabtomb 1.72

b) Segurança ao escorregamento (deslizamento)

A segurança é garantida quando a força de atrito entre a base da sapata e o solo supera a ação das

forças horizontais aplicadas.

O efeito favorável do empuxo passivo pode ser desprezado, por não se ter garantia de sua atuação

permanente. Da Figura 1.115 tem-se:

(N + P) tg φ = FH . γesc 1.73

onde: tg = = coeficiente de atrito;

φ = ângulo de atrito entre os dois materiais em contato (concreto x solo), não maior que o ângulo de

atrito interno do solo.

Um outro modelo que pode ser adotado é:

Festab = atrito + coesão

c

3

2A

3

2tgPNFestab 1.74

onde: = ângulo de atrito interno do solo;

c = coesão do solo;

A = dimensão da base em contato com o solo.

5,1F

F

H

estabesc 1.75

1.9 Verificação do Escorregamento da Armadura de Flexão em Sapatas

No caso de armadura, com barras de diâmetro 20 mm ou superior (25 mm segundo a NBR 6118), e

de feixes de barras, é importante verificar a aderência com o concreto, a fim de evitar o escorregamento.

O esquema de forças entre a armadura e o concreto é como indicado na Figura 1.116:

x

Rc

Rs

V

M zd

ØØl

Rc + Rc

Rs + Rs

C

M + M

Figura 1.116 – Esforços atuantes no elemento de comprimento x.

Tem-se que: M = Rs ∙ z = Rc ∙ z, daí:

z

MRs

ΔRs = fb ∙ u ∙Δx


onde: fb = resistência de aderência;

u = perímetro de l .

zufx

Mxuf

z

Mb

v

b

V = fb . u . z

tomando z 0,87d e fazendo valores de cálculo:

Vd ≈ 0,87fbd . u . d

fazendo o perímetro como u = n π l d, com n sendo o número de barras da armadura de flexão:

Vd = 0,87fbd . n 1 d 1.76

com: Vd = força cortante de cálculo nas seções de referência S1A e S1B, por unidade de largura.

Vd = V1dA na seção de referência S1A ;

Vd = V1dB na seção de referência S1B .

Se Vd for maior haverá o escorregamento.

1.10 Sapata na Divisa com Viga de Equilíbrio

A viga de equilíbrio (VE) também é comumente chamada “viga alavanca” (VA - Figura 1.117).

Os pilares posicionados na divisa do terreno ficam excêntricos em relação ao centro da sapata, o que

faz surgir um momento fletor, que pode ser absorvido por uma “viga de equilíbrio”, vinculada à sapata de

um outro pilar, interno à edificação. A viga também atua transferindo a carga do pilar para o centro da sapata

de divisa (Figura 1.118).

divisa

V. E.

Figura 1.117 – Sapata sob pilar de divisa e associada à viga de equilíbrio.


2,5cm

b aA

b

B

A

b

aA1

bw

ap

1

bp1

bp2

ap

2

A2

B2

N1

N2

VE

BB1

VE

R1

R2p1

p2

h

h

h

h0

h1h

v ee1

z

divisa

N1

N2

R2

R1

ee1

z

Figura 1.118 – Notações da sapata com viga de equilíbrio.

Área da sapata de divisa sob o pilar P1:

S1 = A1 . B1

Considerando o fator Kmaj para estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata:

adm

1maj1

RKS

Excentricidade e1 e reação R1:

M (N2) = 0 N1 z = R1 (z – e1)

1

11

ez

zNR

1.77

Da geometria da sapata de divisa:

2

b

2

Be

1p11 1.78


1.10.1 Roteiro de Cálculo

O roteiro tem a finalidade de estimar as dimensões A1 e B1 da sapata de divisa.

1) Assumir um valor para R1’:

R1’ = 1,2 N1

2) Calcular a área de apoio da sapata de divisa (1):

adm

1maj1

'RK'S

3) Escolher as dimensões da sapata de divisa:

3B

A

1

1

Adotando-se A1 = 2B1 e com S1’ = A1’ . B1’ tem-se:

S1’ = 2B1’ . B1’ 2

'S'B 1

1 adotar B1’ com valor inteiro e múltiplo de 5 cm.

4) Cálculo da excentricidade e1 :

2

b

2

'B'e

1p11

5) Cálculo do R1’’ :

'ez

zN''R

111

6) Comparar R1’ e R1’’

6.1) Se R1’ = R1’’, fazer R1 = R1’ B1 = B1’ e 1

11

B

'SA

6.2) Se 0,95R1’’ ≤ R1’ ≤1,05R1’’

B1 = B1’ 1

11

adm

1maj1

B

SA

''RKS

6.3) Se R1’ R1’’ e não atender a tolerância de 6.2:

Retornar ao item 2 fazendo R1’ = R1’’

1.10.2 Esforços Solicitantes na Viga de Equilíbrio

A Figura 1.119 mostra o esquema estático e os diagramas de esforços solicitantes (V e M) na viga de

equilíbrio.


N2

R2

p1

q1 (pilar 1)

bbp1

(1)

BB1

(2) (3)

-

V1L

M1L Vmáx

-

M2L

V2L

M

V

x

Figura 1.119 – Diagramas de esforços solicitantes na viga de equilíbrio e seções transversais de referência 1, 2, e 3.

A carga q1 aplicada pelo pilar de divisa, na sua largura, é:

1p

11

b

Nq

A reação da base da sapata de divisa é:

1

11

B

Rp com

1

11

ez

zNR

a) Para o trecho (0 ≤ x ≤ bp1) e considerando a seção 1 - Figura 1.120

p1

q1

V1

M1

q1x

x1x

Figura 1.120 – Trecho (0 ≤ x ≤ bp1) e seção 1.

Somatório de forças verticais:


Fv = 0

q1 x + V1 – p1 x = 0 V1 = x (p1 – q1)

Somatório de momentos fletores em torno da seção 1:

M = 0 02

xp

2

xqM

2

1

2

11

11

2

1 qp2

xM

para x = bp1 (limite do trecho):

V1L = bp1 (p1 – q1)

11

21p

L1 qp2

bM

b) Trecho considerando a seção 2 (bp1 ≤ x ≤ B1), Figura 1.121

V2

seção 2

p1

q1

bp1q1

M2

x

p . x1

Figura 1.121 – Trecho (bp1 ≤ x ≤ B1) e seção 2.

Fv = 0

V2 + q1 bp1 – p1 x = 0 V2 = p1 x – q1 bp1

para V2 = 0 1

1p1máx

p

bqx

, que mostra a posição onde ocorre o momento fletor máximo.


02

xp

2

bxbqM

2

11p

1p12

2

bxbq

2

xpM

1p1p1

2

12

no limite do trecho, com xmáx = x:

2

bxbq

2

xpM

1pmáx1p1

2máx

1máx


Para x = B1 tem-se V2L = p1 B1 – q1 – bp1

2

bBbq

2

BpM

1p11p1

21

1L2

c) Trecho

2

bzxB

1p1 e considerando a seção 3 - Figura 1.122

p1

q1

bbp1

B

x

B1

V3

M3

Figura 1.122 – Trecho

2

bzxB

1p1 e seção 3.

Fv = 0

V3 + q1 bp1 – p1 B1 = 0 V3 = p1 B1 – q1 bp1 = N = cte


2

bxbq

2

BxBpM

02

BxBp

2

bxbqM

1p1p1

1113

111

1p1p13

1.10.3 Recomendações para o Pré-dimensionamento de Viga de Equilíbrio

a) largura: bw ≥ ap1 + 5 cm;

b) altura: hv ≥ h1 (h1 = altura da sapata de divisa - 1);

dv > b (b = comprimento de ancoragem da armadura longitudinal do pilar).

Podem também serem deduzidas equações para bw em função de V1L e Mmáx .

1.10.4 Dimensionamento da Sapata da Divisa

Um modelo para cálculo dos esforços solicitantes na sapata de divisa é aquele proposto pelo CEB-

70, já apresentado.


a) Momento fletor na seção de referência S1A - Figura 1.123

AA1

bw

ap

1

bp1

0,1

5bb

wS1A

BB1

A

A

0,15bbw

d1

S1

A

bbw

aap1

h

h

h0

h1

hv

A1

xA

p

CORTE A

Figura 1.123 – Sapata sob o pilar da divisa e seções de referência S1 e S2 .

Resultante da reação do solo na base da sapata (F1A):

F1A = p1 B1 xA

sendo: 11

11

BA

Rp

ww1

A b15,02

bAx

Momento fletor:

2

xBpM

2

xFM

2A

11A1A

A1A1

b) Altura da sapata

Pode ser definida em função do critério da NBR 6118:

3

bAh w1

1

para sapata rígida;

d1 = h1 – 5 cm

c) Armadura à flexão

Armadura principal:

yd1

d,A1A1,s

fd85,0

MA

A armadura é disposta uniformemente distribuída na dimensão B1 .


Armadura de distribuição (paralela à dimensão B1):

m/cm9,0

A5

1

A2

A1,sdistr,s , com s ≤ 33 cm.

1.10.5 Exemplo 8 – Sapata na Divisa com Viga Alavanca (Exemplo de FERRO[21], N.C.P., Notas de Aula, 2005)

Dimensionar uma sapata para pilar de divisa, fazendo a viga de equilíbrio ou alavanca (Figura 1.124). Dados:

C20 ; CA-50 ; N1 = 550 kN ; N2 = 850 kN ; adm = 0,02 kN/cm2 ; c = 4,0 cm ; γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15

armadura longitudinal do pilar = 10 12,5 mm.

30

20

2,5

400cm

30

30

divisa

Figura 1.124 – Esquema dos pilares.

Resolução

1) Dimensionamento das dimensões em planta da sapata de divisa

1.1) Assumir um valor para R1’

R1’ = 1,2N1 = 1,2 . 550 = 660 kN

1.2) Área de apoio da sapata

Estimando em 10 % o peso da sapata e do solo sobre a sapata (Kmaj = 1,1):

2

adm

1maj1 cm300.36

02,0

6601,1

'RK'S

1.3) Largura da sapata

cm7,1342

36300

2

'S'B 1

1

Adotado B1’ = 135 cm

1.4) Excentricidade e1

cm505,22

30

2

135f

2

b

2

'B'e

1p11

f = distância da face do pilar à linha de divisa, geralmente em torno de 2,5 ou 3 cm.


1.5) Cálculo de R1’’

kN6,62850400

400550

'ez

zN''R

1

11

1.6) Comparação entre R1’ e R1’’

R1’ = 660 kN ≠ R1’’ = 628,6 kN

Verificação da tolerância: 0,95R1’’ ≤ R1’ ≤ 1,05R1’’

0,95 . 628,6 ≤ R1’ ≤ 1,05 . 628,6 597,1 ≤ R1’≤ 660 ok!

Se não atender a tolerância, refazer com R1’ = R1’’

Calcula-se a área da base da sapata de divisa, com R1’’:

2

adm

1maj1 cm573.34

02,0

6,6281,1

''RKS

Fazendo B1 = B1’ = 135 cm tem-se o comprimento da base da sapata:

cm1,256135

34573

B

SA

1

11 adotado A1 = 260 cm

Verifica-se que 293,1135

260

B

A

1

1

2) Esforços máximos na viga alavanca

2.1) Esforços solicitantes na seção x = bp1

V1L = bp1 (p1 – q1) ; )qp(2

bM 11

21p

L1 ; bp1 = 30 cm

656,4135

6,628

B

Rp

1

11 kN/cm

333,1830

550

b

Nq

1p

11 kN/cm

155.6333,18656,42

30M

2

L1 kN.cm

V1L = 30 (4,656 – 18,333) = – 410,3 kN

2.2) V2L e M2L (seção x = B1) e momento fletor máximo

V2L = p1 . B1 – q1 . bp1 = 4,656 . 135 – 18,333 . 30 = 78,6 kN

cm1,118656,4

30333,18

p

bqx

1

1p1máx

2

301,11830333,18

2

1,118656,4

2

bxbq

2

xpM

21p

máx1p1

2máx

1máx


Mmáx = – 24.234 kN.cm

2

bBbq

2

BpM

1p11p1

21

1L2

571.232

3013530333,18

2

135656,4M

2

L2

kN.cm

Diagrama de esforços solicitantes na viga alavanca (Figura 1.125):

xmáx

N2

R2

p1

q1

30

bp1

= 135B1

(3)

-

-

V (KN)

= 118,1

= 18,333 KNcm

= 4,656

410,3

78,6

6.155 24.234 23.571M ( KN

cm )

Figura 1.125 – Diagramas e esforços solicitantes na viga de equilíbrio.

3) Largura da viga alavanca

bw = ap1 + 5 cm = 20 + 5 = 25 cm será adotado bw = 35 cm (ver Figura 1.126)

4) Altura da sapata da divisa

Para sapata rígida:

NBR 6118 h1 (A1 – bw)/3 (260 – 35)/3 75 cm adotado h1 = 75 cm

5,1122

35260

2

bAc w1

A altura da viga alavanca será feita igual à da sapata: hv = h1 = 75 cm

d1 = dv = 75 – 5 = 70 cm

O pilar tem armadura 12,5 mm e considerando concreto C20, região de boa aderência, com gancho, na

Tabela A-7 tem-se o comprimento de ancoragem b = 38 cm, e:

d1 = 70 cm > b = 38 cm ok!


=

26

0A

1P1 P2

= 135B1

VE

h

= 75

h0

h1

C =

11

25

C =

11

25

sapata 2

sapata 1

hv

= 35bw

Figura 1.126 – Dimensões (cm) da sapata sob o pilar de divisa.

5) Dimensionamento da viga alavanca

A armadura longitudinal superior da viga alavanca na região da sapata de divisa pode ser calculada fazendo-se

a analogia da viga com um consolo curto, ou segundo a teoria de viga fletida.

5.1) Armadura de flexão no trecho da sapata de divisa (B1)

São conhecidos os valores: bw = 35 cm, hv = h1 = 75 cm, dv = d1 = 70 cm e Md,máx = 1,4 . 24234 = 33.928

kN.cm.

1,533928

7035

M

dbK

2

d

2

c

na Tabela A-1: x = 0,22 ≤ 0,45 (ok!), domínio 2 e Ks = 0,025

12,1270

33928025,0As cm2 6 16 mm (12,00 cm2)

Como esta armadura não é muito alta, ela pode ser estendida até o pilar P2, sem corte.

Armadura mínima (Tabela A-6, concreto C20): As,mín = 0,15 % bw hv = 0,0015 . 35 . 75 = 3,94 cm2

Para a armadura longitudinal inferior pode-se adotar a armadura mínima (2 16 ou 5 10 4,00 cm2).

5.2) Armadura transversal

No trecho da sapata de divisa (B1): Vk = V1L = 410,3 kN VSd = 1,4 . 410,3 = 574,4 kN

Para cálculo de Asw , conforme as equações simplificadas do Modelo de Cálculo I19, com concreto C20 e dv =

70 cm (ver Tabela A-4 anexa):

19 Ver BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante. Disciplina 2123 – Estruturas de Concreto

II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), abr/2015, 74p.

Acesso em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm


VRd2 = 0,35bw d = 0,35 . 35 . 70 = 857,5 kN > VSd ok!

VSd,mín = 0,101bw d = 0,101 . 35 . 70 = 247,5 kN < VSd

97,143517,070

4,57455,2b17,0

d

V55,2A w

Sdsw cm2/m

mcm09,3355010

)203,0(20b

f

f20A 2

3 2

wywk

m,ctmín,sw

Com Asw = 14,97 cm2/m, fazendo estribo com quatro ramos tem-se Asw,1,ramo = 14,97/4 = 3,74 cm2/m, e na

Tabela A-11 (ver tabela anexa), encontra-se: 8 mm c/13 cm (3,85 cm2/m).

Espaçamento máximo: 0,67VRd2 = 0,67 . 857,5 = 574,5 kN

s 0,6d 30 cm s 0,6 . 70 = 42 cm 30 cm

s 30 cm

0,2 VRd2 = 171,5 kN < VSd st 0,6d 35 cm

st 0,6 . 70 42 cm 35 cm ok!

No trecho da viga coincidente com a sapata de divisa (B1) convém colocar a armadura calculada para a força

cortante máxima. No trecho além da sapata, a armadura deve ser calculada para a menor seção transversal, 35 x 40 na

união com a sapata 2 (pilar interno):

VSd = 1,4 . 78,6 = 110,0 kN

VRd2 = 0,35bw d = 0,35 . 35 . 35 = 428,8 kN > VSd ok!

VSd,mín = 0,101bw d = 0,101 . 35 . 35 = 123,7 kN > VSd Asw,mín

mcm09,3355010

)203,0(20b

f

f20A 2

3 2

wywk

m,ctmín,sw

Na Tabela A-11 tem-se estribo 6,3 mm c/20 cm (1,58 cm2/m) com 2 ramos (2 . 1,58 = 3,16 cm2/m):

0,67VRd2 = 287,3 kN > VSd s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm

s = 0,6 ∙ 35 = 21 cm ≤ 30 smáx = 21 cm

0,2VRd2 = 85,8 kN < VSd st ≤ 0,6 d ≤ 35 cm st,máx = 21 cm

Para a viga com bw = 35 cm a largura do estribo com dois ramos resulta 26,4 cm (35-4,3-4,3), maior que o

valor st = 21 cm. Portanto, o estribo deve ter mais de dois ramos. Por exemplo, estribo com quatro ramos 5 mm:

0309,0s

20,04

s = 25,9 cm > smáx = 21 cm

Então: estribo 5 mm c/21 cm 4 ramos (3,81 cm2/m)

5.3 Armadura de pele

De acordo com a NBR 6118, é obrigatória a armadura de pele quando a altura da viga supera 60 cm (h > 60

cm):

Asp = 0,10% bw h = 0,0010 . 35 . 75 = 2,63 cm2 por face

5 8 mm (2,50 cm2) por face da viga, ao longo do comprimento.


5.4 Armadura de costura

A armadura de costura é colocada na extensão da largura da sapata de divisa (B1), abaixo da armadura

longitudinal negativa e ao longo da altura da viga, e tem a finalidade de aumentar a resistência e ductilidade da viga

alavanca.

Pode ser adotada como: As,cost = 0,4. As stcos,s A4,0A

As,cost = 0,4 . 12,12 = 4,85 cm2 10 8 mm (5,00 cm2)

6. Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (Figura 1.127)

N5 - 10 c/ 13 N6 - c/20

N1 - 6 Ø16A

AN3

N2N3

5N4

6N1

CORTE AA

N1 - 2 x 3 Ø16 C = (em laço)

N2 - 2 x 5 Ø8 C = (arm. costura - em laço)

N3 - 2 x 5 Ø8 C = VAR (arm. pele)

N4 - 5 Ø10 C =

3 laços (6N1)N5 - 10 x 2 Ø8 C =

N6 - x 2 Ø5 C = VAR.

Detalhe dos laços sob

o pilar P1

Figura 1.127 – Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (viga alavanca).

Notas: a) em distâncias pequenas entre os pilares a viga alavanca pode ser feita com altura constante;

b) a armadura N1 pode ter parte interrompida antes do pilar P2, conforme o diagrama de momentos fletores.

1.10.6 Atividade

a) Dimensionar e detalhar as armaduras da sapata sob o pilar P1;

b) Idem para a sapata isolada sob o pilar P2 ;

c) Se a sapata sob o pilar da divisa (P1) tiver a largura B1 diminuída e o comprimento A, aumentado, quais as

implicações que essas alterações resultam para a viga alavanca?


1.10.7 Viga Alavanca Não Normal à Divisa

a) O centro geométrico da sapata 1 deve estar sobre o eixo da viga alavanca;

b) As faces laterais da sapata devem ser paralelas ao eixo da viga alavanca para minimizar o efeito do

momento de torção;

c) Recomenda-se que as cotas sejam tomadas nas projeções (direção normal à divisa).

B 1

e 1

P1

P2

CGsap

e1h

B1R

div

isa

eixo da viga alavanca

Figura 1.128 – Viga alavanca não normal à divisa.

Área da Sapata Sob o Pilar Interno (P2)

Pode ser considerado parte do alívio proporcionado pelo pilar da divisa.

N1 N2

R2R1

P1 pilar P2

Figura 1.129 – Forças atuantes na viga alavanca não normal à divisa.

N1 + N2 = R1 + R2 → N2 – R2 = R1 – N1

R1 – N1 = ∆N

Ssap = 1,1 (N2 - ∆N/2)


Dimensionar e detalhar as armaduras das sapatas e da viga alavanca dos pilares P1 e P2, sendo

conhecidos: σadm = 0,018 kN/cm2 ; C20 ; CA-50 ; NP1 = 520 kN ; NP2 = 970 kN ; ,pil = 12,5

mm.


40

20

80

P1

P2

2,5 285

40

20

div

isa

Figura 1.130 – Dimensões a serem consideradas.

1.11 Sapata Excêntrica de Divisa

Quando a sapata de divisa não tem vinculação com um pilar interno, com viga de equilíbrio por

exemplo, a flexão devido à excentricidade do pilar deve ser combatida pela própria sapata em conjunto com

o solo. São encontradas em muros de arrimo, pontes, pontes rolantes, etc.

A reação do solo não é linear, mas por simplicidade pode-se adotar a distribuição linear na maioria

dos casos.

bp

B

Div

isa

não linear

N

Figura 1.131 – Sapata excêntrica sob pilar de divisa.

Para não ocorrer tração na base da sapata, a largura B deve ser escolhida de tal forma que:

B ≤ 1,5bp . Recomenda-se também que A ≤ 2B.

Em função do valor da excentricidade da força vertical N, os seguintes casos são considerados:

a) B < 1,5bp (e < B/6) - Figura 1.132

admmáx 3,1

B

e61

BA

Np

B

e61

BA

Npmín

1.79


bp

A6

B6e

A

B

pmín.

pmáx.

N

Figura 1.132 – Caso onde B < 1,5bp (e < B/6).

b) B = 1,5bp (e = B/6) - Figura 1.133

admmáx 3,1

BA

N2p

1.80

B6e

A

B

pmáx.

N

Figura 1.133 – Caso onde B = 1,5bp (e = B/6).

c) B > 1,5bp (e > B/6) - Figura 1.134

admmáx 3,1

e2

BA3

N2p

1.81


B6e

A

B

pmáx.

N

3 ( B 2 - e )

Figura 1.134 – Caso onde B > 1,5bp (e > B/6).

A sapata de divisa pode ter altura constante (geralmente para alturas baixas e cargas pequenas) ou

variável.

Para casos onde resulte A > 2B pode-se criar viga associada à sapata excêntrica de divisa, como

ilustrado nos exemplos mostrados na Figura 1.135 e Figura 1.136. Para não ocorrer torção na viga convém

coincidir o centro da viga com o centro do pilar. A viga pode ser projetada na direção perpendicular à divisa

(Figura 1.136).

N

div

isa

div

isa

viga

enrijecedora

Figura 1.135 – Sapata isolada sob pilar de divisa.


h

viga

Figura 1.136 – Sapata excêntrica na divisa com viga de reforço.

A estrutura deve oferecer uma reação horizontal, para equilibrar a excentricidade do pilar/sapata.

H

H

l

P

pilar

flexível

e

R

M H

H

P pilar

rígido

M

e R

Figura 1.137 – Estrutura para absorver forças horizontais.


1.12 Sapata Associada

As sapatas associadas são também chamadas conjuntas ou conjugadas. No projeto de fundações de

um edifício com sapatas, o projeto mais econômico é aquele com sapatas isoladas. Porém, quando as sapatas

de dois ou mais pilares superpõem-se, é necessário fazer a sapata associada.

Há várias possibilidades para a sapata associada, que pode receber carga de dois ou mais pilares, de

pilares alinhados ou não, com cargas iguais ou não, com um pilar na divisa, com desenho em planta

retangular, trapezoidal, etc.

Dependendo da capacidade de carga do solo e das cargas dos pilares, a sapata associada pode ter

uma viga unindo os pilares (viga de rigidez), sendo essa a sapata mais comum no Brasil.

1.12.1 Sapata com Base Retangular

O centro geométrico da sapata deve coincidir com o centro de carga dos pilares, e deste modo a

pressão no solo pode simplificadamente ser considerada uniforme.

A sapata pode ter a altura determinada segundo os critérios já mostrados e resultar flexível ou rígida.

Os seguintes casos podem ser considerados:

h

1 cc 2

c1

c2

P1 P2

B2

B2

A

B

N1 N2

c1 c2ap2ap1

xR

padm

q1 N1

ap1

q2 N2

ap2

p RA.B.

V

M

Figura 1.138 – Sapata conjunta.


a) N1 N2 e largura B previamente fixada

R = (N1 + N2) Kmaj

∑ M (N1) = 0

0xRN cc2

cc2

R

Nx

adm

RBA

As dimensões 1 e 2 podem ser deduzidas e:

cc2

adm1

R

N

B2

R

cc1

adm2

R

N

B2

R

A = 1 + cc + 2

Os esforços solicitantes são determinados de maneira semelhante à viga de equilíbrio das sapatas

com pilar de divisa, como já mostrado. Se o pilar estiver com a largura na direção da dimensão A, pode-se

simplificar fazendo-o apenas como um apoio pontual (carga N1 no centro de ap1 ao invés da carga q1 em ap1).

A sapata econômica será obtida fazendo o momento fletor negativo próximo do momento fletor

positivo.

b) N1 N2 e comprimento A previamente fixado

cc2

R

Nx ; R = Kmaj (N1 + N2)

x2

A1 ; )x(

2

Acc2

Largura da sapata: admA

RB

c) 2121 NNouNN e comprimento 1 fixado

Este caso geralmente ocorre com pilar de divisa. A sapata pode ser retangular quando N1 não é muito

diferente de N2 . O comprimento A da sapata deve se estender pelo menos até as faces externas dos pilares.

cc2

R

Nx

Comprimento da sapata: x2A 1

Largura da sapata:


admA

RB

1 cc 2

P1 P2

A

B

N1 N2

ap2ap1

xR

p

bp1

bp2

div

isa

h

Figura 1.139 – Sapata conjunta com pilar de divisa.

No caso de cargas dos pilares iguais ou muito próximas, e pilares não de divisa, o dimensionamento

econômico é conseguido com os balanços sendo A/5.

A5

35 A

A5

P1 P2

A

B

Figura 1.140 – Balanço econômico para a sapata conjunta.

1.12.2 Verificações e Dimensionamento

Punção: nas sapatas flexíveis a punção deve ser obrigatoriamente verificada. Nas sapatas rígidas

deve ser verificada a tensão de compressão diagonal, na superfície crítica C.

Força Cortante: as forças cortantes determinadas segundo a direção longitudinal devem ser

verificadas como laje se B ≥ 5d, e como viga se B < 5d. Estribos com 2, 4, 6, ou mais ramos podem ser

aplicados.

Momentos Fletores - Armaduras de flexão: na direção longitudinal a armadura de flexão deve ser

dimensionada conforme os momentos fletores solicitantes, e posicionadas de acordo com o sinal do

momento fletor, ou seja, onde ocorrem as tensões de tração oriundas dos momentos fletores. Na direção

transversal pode-se determinar uma viga sob cada pilar, com largura d/2 além das faces do pilar (Figura

1.141).


P1

P2

B bp1

bp2

h

ap1d

2d

2ap2d

2f

AI AIII

I II III IV

d

A

a + 0,5d + fap1 a + dap2

Figura 1.141 – Armaduras de flexão diferentes para as regiões I a IV.

f = distância da face do pilar P1 à face da sapata na extremidade relativa à divisa.

Nas regiões II e IV deve ser colocada a armadura mínima de viga, por metro:

AsII = AsIV = ρmín ∙ h (cm2/m)

Região I:

B

Nq 1

1

2

2

b-B

qM

2p1

11

yd

1fs

f0,85d

MA

;

As,mín = ρmín (f + ap1 + 0,5d) h ; h 0,5d)a(f

A

p1

s

ρ ≥ ρmín

Região III: os cálculos são semelhantes à região I, mas com a carga N2 , a largura ap2 + d e vão

B – bp2 . As armaduras das regiões I e III devem ser colocadas nas larguras (f + ap1 + 0,5d) e (ap2 + d),

respectivamente.


1.12.3 Sapata Trapezoidal

Quando a carga de um pilar é muito maior que a do outro pilar, utiliza-se a sapata com forma de

trapézio (Figura 1.142).

cc

pp2 B2

P1

ap1c

P2

B1

B2

N1 N2

A

x R

pp1 B1

Figura 1.142 – Sapata conjunta com planta em trapézio.

As dimensões A e c são adotadas, e:

R = Kmaj (N1 + N2)

adm

sap

RS

A2

BBS 21

sap

M (P1) = 0

N2 . cc – R . x

Coincidindo o centro de gravidade da sapata (trapézio) com o centro de carga (força R), tem-se:

21

211p

BB

B2B

3

Ac

2

ax

Com esta equações e a seguinte, determinam-se os lados B1 e B2 .

A2

BBS 21

sap


1.12.4 Sapata Associada com Viga de Rigidez

Nas sapatas associadas sob pilares com cargas elevadas é recomendável associar a sapata com uma

“viga de rigidez” (VR), que aumenta a segurança da sapata, diminui a possibilidade de punção, diminui a

deformabilidade da sapata, melhora a uniformidade das tensões no solo, enfim, aumenta a rigidez da sapata e

melhora seu comportamento global.

0,15bw

d

S1

bbw

h

CORTE A

dv

hv

As

psapata

V.R.

1m

B

A

A

A

P1 P2

N1 N2

As,distr

V.R.

0,15bw

d S1

bbw

h

CORTE A

dv

hv

As

psapata

V.R.

1m

B

A

A

A

P1 P2

N1 N2

As,distr

Figura 1.143 – Sapata conjunta com viga de rigidez.

BA

NNp 21

Os diagramas de momento fletor e força cortante são como aqueles da sapata associada sem viga de

rigidez. A viga de rigidez deve ter as armaduras dimensionadas para esses esforços, determinados segundo a

direção longitudinal da sapata (direção A).

cm5b

cm5bb

2p

1p

w (5 cm, valor mínimo)

dv > b,,pil ; hv h

A sapata é calculada considerando-se faixa de 1 m de largura, segundo a direção da largura B. Como

modelo de cálculo pode ser adotado aquele do CEB-70, ou o “Método das Bielas”. No caso do CEB-70

devem ser consideradas as seções de referência (S1 e S2) como indicadas na Figura 1.143. O

dimensionamento da sapata à flexão resultará na armadura principal As , que é paralela à dimensão B da

sapata. Nos balanços da sapata (c) são colocadas armaduras de distribuição, na direção A da sapata.

1.12.5 Exemplo 9 – Sapata Associada Projetar uma sapata associada para dois pilares (Figura 1.144), sendo: N1 = 900 kN ; N2 = 1.560 kN ; C20 ;

solo = 1.925 kgf/m3 (peso específico do solo) ; carga atuante de 500 kgf/m2 sobre o piso final acima da sapata ; ,pil =

12,5 mm ; c = 4,0 cm ; distância de 2,08 m entre a base inferior da sapata e o piso final ; σadm = 191,5 kPa = 0,1915

MPa ; coeficientes de ponderação: γf = γc = 1,4 , γs = 1,15.


30

45

div

isa

P1 P2

40

17,5cm 6.10m

Figura 1.144 – Medidas para a sapata associada do exemplo.

Resolução

Neste exemplo, a carga relativa ao peso próprio da sapata será considerada simplificadamente com o peso

específico do solo, e somada à carga atuante sobre o piso acima da sapata:

gtot = (gsolo + gsap) + gpiso = (2,08 . 1925) + 500 = 4.504 kgf/m2 = 45,04 kPa

a) Dimensões da sapata

Para fins de cálculo, a tensão admissível do solo será diminuída da carga total que atua sobre a sapata (gtot), de

modo que a tensão admissível líquida do solo é:

σadm,líq = σadm – gtot = 191,5 – 45,04 = 146,5 kPa = 146,5 kN/m2 = 0,1465 MPa

Área da sapata:

8,165,146

1560900NNS

líq,adm

21sap

m2

Centro de cargas: cc21

2

NN

Nx

; N1 + N2 = R

87,310,61560900

1560x

m

Comprimento da sapata: x2A 1

A = 2 (0,175 + 3,87) = 8,09 m 8,10 m (ver Figura 1.145)

Largura da sapata: A

SB

sap

07,210,8

8,16B m 2,10 m

A tensão aplicada pela sapata no solo, sem considerar o peso da sapata e do solo sobre a sapata, pois essas

cargas transferem-se diretamente sem causar flexão na sapata, é:

01446,0210810

1560900

BA

NNp 21

kN/cm2


Considerando a largura B da sapata:

pB = 0,01446 . 210 = 3,037 kN/cm

30

45

div

isa

P1 P2

17,5

A

1625

CP

x

387

223 1825

B

210

900 kN 1560 kN

610

3,037 KNcmpB

53,1

846,9 554,3

1005,7

(kN)Vk

(kN.cm)Mk

-

+

331

465

50575

117605

Figura 1.145 – Esforços solicitantes na sapata associada.

b) Altura da sapata

Conforme a NBR 6118, a sapata é rígida quando h (A – ap)/3. No caso de sapata isolada simétrica, tem-se

que A – ap = 2c. Para a sapata associada em questão, o maior balanço c ocorre no lado direito do pilar circular, onde c =

162,5 cm (Figura 1.145), e conforme o critério da norma:

3,1083

5,1622h

cm

Fazendo a sapata como rígida com h ≥ 108 cm não será necessário verificar a punção. No entanto, a fim de

exemplificar a verificação à punção, a altura da sapata será adotada de tal forma a resultar uma sapata flexível, com

h = 85 cm.

c) Armadura de flexão na direção longitudinal

c1) Momento fletor máximo negativo


M = 117.605 kN.cm Md = γf M = 1,4 ( 117.605) = 164.647 kN.cm

Para a altura útil será adotada: d = h – 5 cm = 80 cm

2,8164647

80210

M

dbK

2

d

2

c

Tabela A-1: x = 0,13 ≤ 0,45 (ok!), Ks = 0,024 e domínio 2.

39,4980

164647024,0

d

MKA d

ss cm2 17 20 mm (53,55 cm2), barras N4 na Figura 1.152.

Armadura mínima (Tabela A-6, concreto C20): As,mín = 0,15 % bw h = 0,0015 . 210 . 85 = 26,78 cm2

c2) Momento fletor máximo positivo

M = 50.575 kN.cm Md = γf M = 1,4 (50.575) = 70.805 kN.cm ; d = 80 cm

0,1970805

80210

M

dbK

2

d

2

c


24,2180

70805024,0

d

MKA d

ss cm2

As < As,mín As,mín = 26,78 cm2 22 12,5 mm (27,50 cm2), barras N8 na Figura 1.152.

d) Armadura de flexão na direção transversal (Figura 1.146)

30

=

45

div

isa

P1 P2

+ 0,5d + f

72,5 + d

120

1225

B =

210 c

m

bp

1

ap1

ap2ap1

40

ap2

85

f

Figura 1.146 – Regiões para a armadura de flexão.

d1) Região do pilar P1

A lagura da faixa a ser considerada existente uma flexão importante devida à carga do pilar P1 é:

ap1 + 0,5d + f = 30 + 0,5 . 80 + 2,5 = 72,5 cm

29,4210

900

B

Nq 1

1 kN/cm

600.142

2

45210

29,42

2

bB

qM

22

1p

11

kN.cm

M1d = γf M1 = 1,4 . 14600 = 20.440 kN.cm

7,2220440

805,72

M

dbK

2

d

2

c



88,580

20440023,0

d

MKA d

ss cm2

Armadura mínima (Tabela A-6): As,mín = 0,15 % bw h = 0,0015 . 72,5 . 85 = 9,24 cm2

As < As,mín As,mín = 9,24 cm2

74,121005,72

24,9 cm2/m

na Tabela A-11 resulta 12,5 c/9,5 cm (13,16 cm2/m), barras N1 na Figura 1.152.

d2) Região do pilar P2

A lagura da faixa de flexão do pilar P2 é:

ap2 + d = 40 + 80 = 120 cm

43,7210

1560

B

Nq 2

2 kN/cm

841.262

2

40210

43,72

2

bB

qM

22

2p

22

kN.cm

M2d = γf M2 = 1,4 . 26841 = 37.577 kN.cm

9,1937577

79120

M

dbK

2

d

2

c


94,1079

37577023,0

d

MKA d

ss cm2

Armadura mínima (Tabela A-6): As,mín = 0,15 % bw h = 0,0015 . 120 . 85 = 15,30 cm2

As < As,mín As,mín = 15,30 cm2

75,12100120

30,15 cm2/m

na Tabela A-11 resulta 12,5 c/9,5 cm (13,16 cm2/m), barras N1 na Figura 1.152.

e) Verificação da punção na superfície crítica C’

e1) Pilar circular P2 (Figura 1.147)

2d

160

40

2d

C'

Figura 1.147 – Superfície critica C’.

Tensão de cisalhamento solicitante (τSd):


du

FSdSd

Alturas úteis relativas às armaduras ortogonais, considerando que a armadura na direção y está posicionada

sobre a armadura na direção x, e com = 12,5 mm e c = 4,0 cm:

dx = h – c – /2 = 85 – 4,0 – 1,25/2 = 80,4 cm

dy = h – c – – /2 = 85 – 4,0 – 1,25 – 1,25/2 = 79,1 cm

8,792

1,794,80

2

ddd

yx

cm

A distância entre a face do pilar P2 e as extremidades laterais da sapata é de 85 cm, de modo que o limite

relativo à superfície crítica C’ (2d = 2 . 79,8 = 159,6 cm) estende-se além da sapata, Neste caso, deve ser considerada a

distância a* como limite para a superfície C’ (Figura 1.148).

a*

85

C'105

105

Figura 1.148 – Distância a*.

852

40210

2

a

2

B*a

2p

cm ; a* = 85 cm 2d 159,6 cm

u* = 2 r = 2 . 105 = 659,7 cm

Acont,C’ = D2/4 = 2102/4 = 34.635 cm2

Força de baixo para cima devida à reação do solo, atuante na área compreendida pela superfície crítica C’:20

FSd = γf (p . Acont,C’) = 1,0 (0,01446 . 34635) = 500,8 kN

Força reduzida: FSd,red = (γf N2) – FSd = (1,4 . 1560) – 500,8 = 1.683,2 kN


032,08,797,659

2,1683Sd

kN/cm2 = 0,32 MPa

As taxas de armadura x e y (Figura 1.149) devem ser determinadas na distância 3d além das faces do pilar.

Pelos cálculos já efetuados, observa-se que na direção do lado A (dir. x) a armadura de flexão resultou a mínima para o

momento fletor positivo, isto é, x = mín = 0,0015. Na direção do lado B (dir. y) também resultou armadura mínima

para o momento fletor transversal, de modo que y = mín = 0,0015. Portanto, = 0,0015.

yx

20 Neste caso, o coeficiente de ponderação γf deve ser adotado igual a 1,0 (Tabela 11.1 da NBR 6118), porque o efeito é

favorável, isto é, a reação do solo diminui a tensão atuante.


x y

Figura 1.149 – Taxas de armadura longitudinal nas duas direções.

Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’:

2cd3

ck1Rd f5,0*a

d2f100

d

20113,0

cd

ck2cd f

250

f16,05,0f5,0

=

4,1

0,2

250

2016,05,0

= 0,394 kN/cm2 = 3,94 MPa

85

802200015,0100

80

20113,0 3

1Rd

= 0,53 MPa = 0,053 kN/cm2 ≤ 0,394 kN/cm2 ok!

Portanto, τSd = 0,32 MPa < Rd1 = 0,53 MPa, o que significa que não ocorrerá ruptura da sapata por punção, na

posição do pilar P2.

e2) Pilar retangular P1 (Figura 1.150)

O momento fletor, que atua na direção do lado B da sapata e na faixa relativa ao pilar P1, será desprezado.

532

105

105

82

a*

82

a*

82

a*

45

5

55

5

82

a*

B =

21

0

Figura 1.150 – Distância a* no pilar da divisa.

Tensão de cisalhamento solicitante (τSd):

d*u

FSdSd ; FSd = 1,4 . 900 = 1.260 kN

d = 79,8 cm

Conforme observa-se na Figura 1.150, o perímetro do contorno C’ é:

u* = 32,5 + 32,5 + 45 + . 82,5 = 369,2 cm



0428,08,792,369

900.4,1Sd

kN/cm2 = 0,428 MPa

A taxa de armadura será calculada considerando a armadura longitudinal negativa na direção x e a armadura

transversal positiva na direção y (B), Figura 1.151.

As, cosntr.

85

d =

80

Ø12,5

17 Ø12,5

Figura 1.151 – Armaduras longitudinais da sapata sob o pilar de divisa.

Com a armadura composta por 17 20 (53,55 cm2) tem-se:

003,085210

55,53

A

A

c

sx

Na direção do lado B (dir. y) resultou a armadura mínima e y = mín = 0,0015.

A armadura construtiva inferior na direção x também auxilia na resistência à punção, mas não será

considerada.

00212,00015,0003,0yx

Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’:

2cd*3

ck1Rd f5,0a

d2f100

d

20113,0

5,82

8022000212,0100

80

20113,0 3

1Rd

= 0,612 MPa ≤ 3,94 MPa ok!

τSd = 0,428 MPa < Rd1 = 0,612 MPa ok! Não vai ocorrer punção na região do pilar P1.

f) Dimensionamento da armadura transversal segundo a direção longitudinal

Com a altura útil d = 80 cm tem-se que 5d = 5 . 80 = 400 cm. Verifica-se que bw = B = 210 cm < 5d = 400 cm,

o que significa que a verificação da força cortante na sapata deve ser considerando a sapata como uma viga, e não como

uma laje.

A verificação será feita para a força cortante máxima na sapata, atuante na posição do pilar P2:

VSd = γf Vk = 1,4 . 1005,7 = 1.408 kN

Para o concreto C20 e adotando o Modelo de Cálculo I, conforme a formulação apresentada em Bastos[22], a

força cortante máxima é (ver Tabela A-4 anexa):

VRd2 = 0,35 bw d = 0,35 . 210 . 80 = 5.880 kN

VSd = 1.408 kN < VRd2 ok!

A força cortante mínima, aquela correspondente à armadura transversal mínima, é:

VSd,mín = 0,101 bw d = 0,101 . 210 . 80 = 1.697 kN


VSd = 1.408 kN < VSd,mín = 1.697 kN Asw = Asw,mín

56,182105010

203,020

bf

f20A

3 2

wywk

m,ctmín,sw

cm2/m

Espaçamento máximo entre os estribos:

0,67VRd2 = 3.940 kN > VSd

s 0,6d 0,6 . 80 48 cm 30 cm smáx = 30 cm

Espaçamento máximo entre ramos verticais dos estribos:

0,2VRd2 = 1.176 kN < VSd

st 0,6d 48 cm 35 cm st,máx = 35 cm

Fazendo estribo 6,3 mm com 6 ramos (6 . 0,31 = 1,86 cm2):

1856,0s

86,1 s = 10 cm ≤ 30 cm ok!

O espaçamento entre os ramos verticais dos estribos resulta: st = 200/5 = 40 cm st,máx = 35 cm (como a

armadura transversal é a mínima, será aceito um espaçamento um pouco superior a st,máx).

g) Detalhamento das armaduras (Figura 1.152)

No detalhamento, as barras N5 e N7 formam armaduras construtivas, aplicadas para aumentar a segurança da

sapata, determinadas em função das dimensões da sapata e das armaduras principais de flexão (barras N4 e N8). As

barras N6 reforçam as faces laterais verticais da sapata. Os comprimentos das barras N7 e N8 devem ser determinados

em função do “cobrimento” do diagrama de momentos fletores, bem como das barras N4.

N1 - 84 c/9,5

75

75

200

N1 -

84 Ø

12,5

C =

350

75

75

4 N6

N2 - 80 c/10

N3 - 2 x 80 c/10

N4 - 17 Ø20 C = N5 - 10 Ø10

N6 - 2 x 4 Ø6,3 CORR

N7 - 10 Ø10 C = N8 - 22 Ø12,5 C =

75

75

202

77

N2 - 80 Ø6,3 C =

40

77

N3 - 160 Ø6,3

22 N8

4 N6

17 N4

Figura 1.152 – Esquema do detalhamento das armaduras da sapata.



conforme apresentado no item 1.8. No caso de armaduras de flexão compostas por barras de diâmetro 20 mm ou

superior é importante também verificar o possível descolamento ou escorregamento das armaduras, conforme

apresentado no item 1.9.

Atividade: alterar o projeto da sapata fazendo uma viga de rigidez entre os dois pilares. Comparar o

consumo de materiais (concreto e aço) entre as duas soluções. A altura da sapata (85 cm) pode ser alterada.

Questionário

1) Definir resumidamente: fundação superficial, sapata, sapata isolada, sapata corrida, sapata associada,

sapata com viga de equilíbrio, sapata excêntrica de divisa sem viga de equilíbrio. Exemplificar com

desenhos.

2) Por que a razão entre o lado maior e o lado menor de uma sapata isolada deve ser mantido até 2,5?

3) Por que é interessante fazer os balanços iguais nas sapatas isoladas? Isso é obrigatório?

4) Apresente o critério da NBR 6118 para a definição da rigidez da sapata. Compare com o critério do

CEB-70.

5) Estude e descreva o comportamento estrutural das sapatas rígidas e flexíveis.

6) Por que não ocorre ruptura por punção nas sapatas rígidas?

7) Em que situações a NBR 6118 indica a aplicação das sapatas flexíveis?

8) A distribuição das tensões da sapata no solo é um assunto complexo, e depende de diversos fatores.

Recomendo que seja estudada num livro de Fundações (Mecânica dos Solos). Procure saber as

simplificações que são feitas em função da sapata ser rígida ou flexível e das características do solo

(rocha, areia, argila, etc.).

9) Sobre o processo de cálculo do CEB-70, mostre como é calculado o momento fletor na sapata. Qual o

carregamento considerado? Analise os casos de sapata sem e com momentos fletores.

10) Descreva os processos para ancoragem da armadura positiva.

11) Sobre o processo de cálculo do CEB-70, mostre como é calculada a força cortante de referência.

12) Por que a NBR 6118 manda verificar a superfície crítica C? Quando?

13) Por que a NBR 6118 manda verificar a superfície crítica C’ ? Quando?

14) Explique resumidamente o método das bielas. Em que tipo de sapata pode ser aplicado?

15) Analise as diversas situações de tensão, diagrama de pressão no solo, etc., no caso de sapatas com

momentos fletores aplicados.

16) No caso de sapatas flexíveis, geralmente o cálculo é feito fazendo-se uma analogia com quais elementos

estruturais? Como são calculados os momentos fletores e forças cortantes?

17) Que verificação é extremamente importante de ser feita nas sapatas flexíveis? E nas sapatas corridas?

18) Quais processos de cálculo podem ser aplicados no dimensionamento das sapatas rígidas? E no caso das

sapatas flexíveis?

19) Como são consideradas as duas dimensões no cálculo das sapatas corridas? Qual é e como é disposta a

armadura principal? E a armadura secundária?

20) Quando é necessário verificar o equilíbrio das sapatas quanto ao tombamento e escorregamento? Não

esqueça de fazer essas verificações no exercício da sapata corrida da questão anterior.

21) Quando e como verificar o escorregamento das armaduras de flexão nas sapatas?

22) Por que fazer viga alavanca em pilar de divisa?

23) Como é feito o dimensionamento da viga alavanca?

24) No caso da sapata de divisa com viga alavanca, como é feito seu cálculo, em que direção?

25) Na sapata excêntrica de divisa sem viga alavanca, qual a largura máxima indicada? Quais os casos de

pressão no solo? Como a estrutura deve equilibrar a sapata?

26) Na sapata excêntrica de divisa sem viga alavanca, em quais casos pode ser recomendado colocar vigas

na sapata?

27) Quais as preocupações básicas no projeto de uma sapata associada?

28) É recomendado o projeto de uma viga de rigidez nas sapatas associadas? Por que?

29) Como é dimensionada a viga de rigidez nas sapatas associadas? E a sapata na direção normal à viga de

rigidez?


Referências 1.ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de fundações. NBR 6122, ABNT,

2010, 91p.

2.ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. NBR

6118, ABNT, 2014, 238p.

3.HACHICH, W. ; FALCONI, F.F. ; SAES, J.L. ; FROTA, R.G.Q. ; CARVALHO, C.S. ; NIYAMA, S. Fundações –

Teoria e prática. São Paulo, Ed. Pini, ABMS/ABEF, 2ª. ed., 2000, 751p.

4.MONTOYA, J. Hormigon armado, v.1-2. Barcelona, Ed. Gustavo Gili, 5a. ed., 1971.

5.COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON. Recommendations particulières au calcul et à l’exécution des

semelles de fondation. Bulletin d’Information n.73. Paris, 1970.

6.CODUTO, D.P. Foundation Design – Principles and Practices. Upper Saddle River, Prentice Hall, 2a ed., 2001,

883p.

7.NILSON, A.H. ; DARWIN, D. ; DOLAN, C.W. Design of concrete structures. 14ª ed., McGraw Hill Higher

Education, 2010, 795p.

8.AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building code requirements for structural concrete and Commentary. ACI

318-11, 2011, 503p.

9.TALBOT, A.N. ; ARTHUR, N. Reinforced concrete wall footings and column footings. Bulletin n. 67, University of

Illinois Engineering Experiment Station, Urbana, 1913.

10.RICHART, F.E. Reinforced concrete wall and column footings. Journal of the American Concrete Institute, v.20,

n.2, p.97-127, and v.20, n.3, p.237-260, 1948.

11.ACI-ASCE. Report of committee on shear and diagonal tension. Proceedings, American Concrete Institute, v.59,

n.1, 1962.

12.NAWY, E.G. Reinforced concrete – A fundamental approach. Upper Saddle River, Pearson Prentice Hall, 5a ed.

ACI 318-05 Code Edition, 2005, 824p.

13.McCORMAC, J.C. ; NELSON, J.K. Design of reinforced concrete – ACI 318-05 Code Edition. 7ª ed., John Wiley &

Sons, 2006, 721p.

14.ANDRADE, J.R.L. Fundações, blocos e vigas de transição. São Carlos, EESC/USP. Notas de aula, Estruturas

Correntes de Concreto Armado, 4a parte, 1989.

15.CAMPOS, J.C. Elementos de fundações em concreto. São Paulo, Ed. Oficina de Textos, 2015, 542p.

16.SANTOS, L.M. Edifícios de Concreto Armado – Fundações. São Paulo, FDTE, EPUSP, fev. 1984, p.10.1-10.16.

17.MACHADO, C.P. Edifícios de Concreto Armado – Fundações. São Paulo, FDTE, EPUSP, nov. 1985, p.11.31-

11.33.

18.ALONSO, U.R. Exercícios de fundações. São Paulo, Ed. Edgard Blücher, 1983.

19.GUERRIN, A. Tratado de Concreto Armado. v.2. São Paulo, Ed. Hemus, 1980.

20.SILVA, E.L. Análise dos métodos estruturais para a determinação dos esforços resistentes em sapatas isoladas.

Dissertação (Mestrado), São Carlos, EESC-USP, 1998.

21.FERRO, N.C.P. Concreto III – Notas de Aula. Departamento de Engenharia Civil, UNESP, Bauru, 2005.

22. BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante. Disciplina 2123 – Estruturas de

Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista

(UNESP), abr/2015, 74p. Acesso em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm


ANEXO A - TABELAS

Tabela A-1 – Valores de Kc e Ks para o aço CA-50 (para concretos do Grupo I de resistência –

fck ≤ 50 MPa, c = 1,4, γs = 1,15).

FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR - ARMADURA SIMPLES

d

xx

Kc (cm2/kN) Ks (cm2/kN) Dom.

C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA-50

0,01 137,8 103,4 82,7 68,9 59,1 51,7 45,9 41,3 0,023

2

0,02 69,2 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,023

0,03 46,3 34,7 27,8 23,2 19,8 17,4 15,4 13,9 0,023

0,04 34,9 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,023

0,05 28,0 21,0 16,8 14,0 12,0 10,5 9,3 8,4 0,023

0,06 23,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,024

0,07 20,2 15,1 12,1 10,1 8,6 7,6 6,7 6,1 0,024

0,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,024

0,09 15,8 11,9 9,5 7,9 6,8 5,9 5,3 4,7 0,024

0,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,024

0,11 13,1 9,8 7,8 6,5 5,6 4,9 4,4 3,9 0,024

0,12 12,0 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,024

0,13 11,1 8,4 6,7 5,6 4,8 4,2 3,7 3,3 0,024

0,14 10,4 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,024

0,15 9,7 7,3 5,8 4,9 4,2 3,7 3,2 2,9 0,024

0,16 9,2 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,025

0,17 8,7 6,5 5,2 4,3 3,7 3,2 2,9 2,6 0,025

0,18 8,2 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,025

0,19 7,8 5,9 4,7 3,9 3,4 2,9 2,6 2,3 0,025

0,20 7,5 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,025

0,21 7,1 5,4 4,3 3,6 3,1 2,7 2,4 2,1 0,025

0,22 6,8 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,025

0,23 6,6 4,9 3,9 3,3 2,8 2,5 2,2 2,0 0,025

0,24 6,3 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,025

0,25 6,1 4,6 3,7 3,1 2,6 2,3 2,0 1,8 0,026

0,26 5,9 4,4 3,5 2,9 2,5 2,2 2,0 1,8 0,026

0,27 5,7 4,3 3,4 2,8 2,4 2,1 1,9 1,7 0,026

3

0,28 5,5 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,026

0,29 5,4 4,0 3,2 2,7 2,3 2,0 1,8 1,6 0,026

0,30 5,2 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,026

0,31 5,1 3,8 3,0 2,5 2,2 1,9 1,7 1,5 0,026

0,32 4,9 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,026

0,33 4,8 3,6 2,9 2,4 2,1 1,8 1,6 1,4 0,026

0,34 4,7 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,027

0,35 4,6 3,4 2,7 2,3 2,0 1,7 1,5 1,4 0,027

0,36 4,5 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,027

0,37 4,4 3,3 2,6 2,2 1,9 1,6 1,5 1,3 0,027

0,38 4,3 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,027

0,40 4,1 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,027

0,42 3,9 2,9 2,4 2,0 1,7 1,5 1,3 1,2 0,028

0,44 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,028

0,45 3,7 2,8 2,2 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,028

0,46 3,7 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,028

0,48 3,5 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,028

0,50 3,4 2,6 2,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,029

0,52 3,3 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,029

0,54 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,029

0,56 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,9 0,030

0,58 3,1 2,3 1,8 1,5 1,3 1,2 1,0 0,9 0,030

0,60 3,0 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,030

0,62 2,9 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,031

0,63 2,9 2,2 1,7 1,5 1,2 1,1 1,0 0,9 0,031


Tabela A-2 – Área e massa linear de fios e barras de aço (NBR 7480).

Diâmetro (mm) Massa

(kg/m)

Área

(mm2)

Perímetro

(mm) Fios Barras

2,4 - 0,036 4,5 7,5

3,4 - 0,071 9,1 10,7

3,8 - 0,089 11,3 11,9

4,2 - 0,109 13,9 13,2

4,6 - 0,130 16,6 14,5

5 5 0,154 19,6 17,5

5,5 - 0,187 23,8 17,3

6 - 0,222 28,3 18,8

- 6,3 0,245 31,2 19,8

6,4 - 0,253 32,2 20,1

7 - 0,302 38,5 22,0

8 8 0,395 50,3 25,1

9,5 - 0,558 70,9 29,8

10 10 0,617 78,5 31,4

- 12,5 0,963 122,7 39,3

- 16 1,578 201,1 50,3

- 20 2,466 314,2 62,8

- 22 2,984 380,1 69,1

- 25 3,853 490,9 78,5

- 32 6,313 804,2 100,5

- 40 9,865 1256,6 125,7


Tabela A-3 – Área de aço e largura bw mínima.

Diâm. As (cm2) Número de barras

(mm) bw (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4,2

As 0,14 0,28 0,42 0,56 0,70 0,84 0,98 1,12 1,26 1,40

bw Br. 1 - 8 11 14 16 19 22 25 27 30

Br. 2 - 9 13 16 19 23 26 30 33 36

5

As 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00

bw Br. 1 - 9 11 14 17 20 22 25 28 31

Br. 2 - 9 13 16 20 23 27 30 34 37

6,3

As 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55 1,86 2,17 2,48 2,79 3,10

bw Br. 1 - 9 12 15 18 20 23 26 29 32

Br. 2 - 10 13 17 20 24 28 31 35 39

8

As 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

bw Br. 1 - 9 12 15 18 21 25 28 31 34

Br. 2 - 10 14 17 21 25 29 33 36 40

10

As 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,00

bw Br. 1 - 10 13 16 19 23 26 29 33 36

Br. 2 - 10 14 18 22 26 30 34 38 42

12,5

As 1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00 11,25 12,50

bw Br. 1 - 10 14 17 21 24 28 31 35 38

Br. 2 - 11 15 19 24 28 32 36 41 45

16

As 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00

bw Br. 1 - 11 15 19 22 26 30 34 38 42

Br. 2 - 11 16 21 25 30 34 39 44 48

20

As 3,15 6,30 9,45 12,60 15,75 18,90 22,05 25,20 28,35 31,50

bw Br. 1 - 12 16 20 24 29 33 37 42 46

Br. 2 - 12 17 22 27 32 37 42 47 52

22

As 3,80 7,60 11,40 15,20 19,00 22,80 26,60 30,40 34,20 38,00

bw Br. 1 - 12 16 21 25 30 34 39 43 48

Br. 2 - 13 18 23 28 33 39 44 49 54

25

As 4,90 9,80 14,70 19,60 24,50 29,40 34,30 39,20 44,10 49,00

bw Br. 1 - 13 18 23 28 33 38 43 48 53

Br. 2 - 13 19 24 30 35 41 46 52 57

32

As 8,05 16,10 24,15 32,20 40,25 48,30 56,35 64,40 72,45 80,50

bw Br. 1 - 15 21 28 34 40 47 53 60 66

Br. 2 - 15 21 28 34 40 47 53 60 66

40

As 12,60 25,20 37,80 50,40 63,00 75,60 88,20 100,80 113,40 126,00

bw Br. 1 - 17 25 33 41 49 57 65 73 81

Br. 2 - 17 25 33 41 49 57 65 73 81

largura bw mínima:

bw,mín = 2 (c + t) + no barras . + ah.mín (no barras – 1) Br. 1 = brita 1 (dmáx = 19 mm) ; Br. 2 = brita 2 (dmáx = 25 mm)

Valores adotados: t = 6,3 mm ; cnom = 2,0 cm

Para cnom 2,0 cm, aumentar bw,mín conforme:

cnom = 2,5 cm + 1,0 cm

cnom = 3,0 cm + 2,0 cm

cnom = 3,5 cm + 3,0 cm

cnom = 4,0 cm + 4,0 cm

agrmáx,

mín,h

1,2d

cm 2

a

w

h

v

Øt

Ø

c

b

a

a


Tabela A-4 – Equações simplificadas segundo o Modelo de Cálculo I para concretos do Grupo I.

Modelo de Cálculo I

(estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15, aços CA-50 e CA-60, flexão simples).

Concreto VRd2 (kN)

VSd,mín (kN)

Asw (cm2/m)

C20 db35,0 w db101,0 w wSd b17,0d

V55,2

C25 db43,0 w db117,0 w wSd b20,0d

V55,2

C30 db51,0 w db132,0 w wSd b22,0d

V55,2

C35 db58,0 w db147,0 w wSd b25,0d

V55,2

C40 db65,0 w db160,0 w wSd b27,0d

V55,2

C45 db71,0 w db173,0 w wSd b29,0d

V55,2

C50 db77,0 w db186,0 w wSd b31,0d

V55,2

bw = largura da viga, cm; VSd = força cortante de cálculo, kN; d = altura útil, cm;

Tabela A-5 – Equações simplificadas segundo Modelo de Cálculo II para concretos do Grupo I.

Modelo de Cálculo II

(estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15, aços CA-50 e CA-60, flexão simples)

Concreto VRd2

(kN) VSd,mín (kN)

Asw (cm2/m)

C20 cos.sen.d.b71,0 w 1cw Vgcot.d.b.035,0

d

VVtg55,2 1cSd







bw = largura da viga, cm; VSd = força cortante de cálculo, kN;

d = altura útil, cm; = ângulo de inclinação das bielas de compressão (); VC1 = força cortante proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça, kN;


Tabela A-6 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (Tabela 17.3 da NBR 6118).

Forma

da seção

Valores de mín(a) (%)

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Retan-

gular 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256

(a) Os valores de mín estabelecidos nesta Tabela pressupõem o uso de aço CA-50, d/h = 0,8, c = 1,4 e s = 1,15. Caso esses

fatores sejam diferentes, mín deve ser recalculado.

mín = As,mín/Ac

Tabela A-7 – Comprimento de ancoragem (cm) para o aço CA-50 nervurado.

COMPRIMENTO DE ANCORAGEM (cm) PARA As,ef = As,calc CA-50 nervurado

(mm)

Concreto

C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50

Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com

6,3 48 33 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 15

33 23 28 19 24 17 21 15 19 13 17 12 16 11 15 10

8 61 42 50 35 43 30 38 27 34 24 31 22 29 20 27 19

42 30 35 24 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 13

10 76 53 62 44 54 38 48 33 43 30 39 28 36 25 34 24

53 37 44 31 38 26 33 23 30 21 28 19 25 18 24 17

12,5 95 66 78 55 67 47 60 42 54 38 49 34 45 32 42 30

66 46 55 38 47 33 42 29 38 26 34 24 32 22 30 21

16 121 85 100 70 86 60 76 53 69 48 63 44 58 41 54 38

85 59 70 49 60 42 53 37 48 34 44 31 41 29 38 27

20 151 106 125 87 108 75 95 67 86 60 79 55 73 51 68 47

106 74 87 61 75 53 67 47 60 42 55 39 51 36 47 33

22,5 170 119 141 98 121 85 107 75 97 68 89 62 82 57 76 53

119 83 98 69 85 59 75 53 68 47 62 43 57 40 53 37

25 189 132 156 109 135 94 119 83 108 75 98 69 91 64 85 59

132 93 109 76 94 66 83 58 75 53 69 48 64 45 59 42

32 242 169 200 140 172 121 152 107 138 96 126 88 116 81 108 76

169 119 140 98 121 84 107 75 96 67 88 62 81 57 76 53

40 329 230 271 190 234 164 207 145 187 131 171 120 158 111 147 103

230 161 190 133 164 115 145 102 131 92 120 84 111 77 103 72

Valores de acordo com a NBR 6118.

No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência

Sem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barra

As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada

O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo:

mm 100

10

3,0 b

mín,b

c = 1,4 ; s = 1,15


Tabela A-8 – Comprimento de ancoragem (cm) para o aço CA-60 entalhado.

COMPRIMENTO DE ANCORAGEM (cm) PARA As,ef = As,calc CA-60 entalhado

(mm)

Concreto

C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50

Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com

3,4 50 35 41 29 35 25 31 22 28 20 26 18 24 17 22 16

35 24 29 20 25 17 22 15 20 14 18 13 17 12 16 11

4,2 61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19

43 30 35 25 31 21 27 19 24 17 22 16 21 14 19 13

5 73 51 60 42 52 36 46 32 41 29 38 27 35 25 33 23

51 36 42 30 36 25 32 23 29 20 27 19 25 17 23 16

6 88 61 72 51 62 44 55 39 50 35 46 32 42 29 39 27

61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19

7 102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32

71 50 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 22

8 117 82 96 67 83 58 74 51 66 46 61 42 56 39 52 37

82 57 67 47 58 41 51 36 46 33 42 30 39 27 37 26

9,5 139 97 114 80 99 69 87 61 79 55 72 50 67 47 62 43

97 68 80 56 69 48 61 43 55 39 50 35 47 33 43 30

Valores de acordo com a NBR 6118.

No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência

Sem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barra

As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada

O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo:

mm 100

10

3,0 b

mín,b

c = 1,4 ; s = 1,15


Tabela A-9 – Valores mínimos para armaduras passivas aderentes em lajes (Tabela 19.1 da NBR 6118).

Armadura Elementos estruturais sem

armaduras ativas

Armaduras negativas s mín

Armaduras negativas de bordas sem continuidade s 0,67mín

Armaduras positivas de lajes armadas nas duas

direções s 0,67mín

Armadura positiva (principal) de lajes armadas em

uma direção s mín

Armadura positiva (secundária) de lajes armadas

em uma direção

s/s 20 % da armadura principal

s/s 0,9 cm2/m

s 0,5 mín

s = As/(bw h)

Os valores de mín constam da Tabela A-6.

Tabela A-10 – Diâmetro dos pinos de dobramento (D) (Tabela 9.1 da NBR 6118).

Bitola

(mm)

Tipo de aço

CA-25 CA-50 CA-60

< 20 4 5 6

20 5 8 -


Tabela A-11 – Área de armadura por metro de largura (cm2/m).

ÁREA DE ARMADURA POR METRO DE LARGURA (cm2/m)

Espaçamento

(cm)

Diâmetro Nominal (mm)

4,2 5 6,3 8 10 12,5

5 2,77 4,00 6,30 10,00 16,00 25,00

5,5 2,52 3,64 5,73 9,09 14,55 22,73

6 2,31 3,33 5,25 8,33 13,33 20,83

6,5 2,13 3,08 4,85 7,69 12,31 19,23

7 1,98 2,86 4,50 7,14 11,43 17,86

7,5 1,85 2,67 4,20 6,67 10,67 16,67

8 1,73 2,50 3,94 6,25 10,00 15,63

8,5 1,63 2,35 3,71 5,88 9,41 14,71

9 1,54 2,22 3,50 5,56 8,89 13,89

9,5 1,46 2,11 3,32 5,26 8,42 13,16

10 1,39 2,00 3,15 5,00 8,00 12,50

11 1,26 1,82 2,86 4,55 7,27 11,36

12 1,15 1,67 2,62 4,17 6,67 10,42

12,5 1,11 1,60 2,52 4,00 6,40 10,00

13 1,07 1,54 2,42 3,85 6,15 9,62

14 0,99 1,43 2,25 3,57 5,71 8,93

15 0,92 1,33 2,10 3,33 5,33 8,33

16 0,87 1,25 1,97 3,13 5,00 7,81

17 0,81 1,18 1,85 2,94 4,71 7,35

17,5 0,79 1,14 1,80 2,86 4,57 7,14

18 0,77 1,11 1,75 2,78 4,44 6,94

19 0,73 1,05 1,66 2,63 4,21 6,58

20 0,69 1,00 1,58 2,50 4,00 6,25

22 0,63 0,91 1,43 2,27 3,64 5,68

24 0,58 0,83 1,31 2,08 3,33 5,21

25 0,55 0,80 1,26 2,00 3,20 5,00

26 0,53 0,77 1,21 1,92 3,08 4,81

28 0,49 0,71 1,12 1,79 2,86 4,46

30 0,46 0,67 1,05 1,67 2,67 4,17

33 0,42 0,61 0,95 1,52 2,42 3,79 Elaborada por PINHEIRO (1994)

Diâmetros especificados pela NBR 7480.

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Departamento de Engenharia Civil - feb.unesp. · PDF file1.7.1 Sapata Rígida Sob Carga Uniforme ... Figura 1.4 – Sapata de fundação com a armadura principal. 1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA