Departamento de Física Aplicada IIIlaplace.us.es/campos/problemas/recopilaciones/0001-cc.pdf · Departamento de F´ısica Aplicada Campos Electromagneticos 1.3´ 1.12. El campo de

Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Superior de Ingenieros

Camino de los Descubrimientos s/n41092 Sevilla

Campos Electromagneticos. Boletın 1. Septiembre de 20001.1. La altura de los puntos de una isla viene dada por la ecuacion

h(x, y) = 120x2 + 40x3 − 30x4 − 60y2 + 30

donde x e y vienen expresados en kilometros y h en metros.

(a) ¿Cual es la curva que describe la costa de la isla?

(b) ¿Cual es el punto mas alto de la isla? ¿Cual es su altura?

(c) Supongase que en el punto x = 1.5 km, y = 0.5 km hay un manantial. ¿Cual es la curva quedescribe el rıo resultante?

1.2. Tomando un sistema de ejes y midiendo la presion atmosferica en cada punto de una cierta region,resulta que la distribucion de la misma viene dada por

p(x, y) = 1012 − 20y

x2 + y2 +14

donde p se mide en milibares y las distancias en millares de kilometros. Dibujense las isobaras y ladireccion del viento (en ausencia de rotacion de la Tierra).

1.3. Si φ = φ(u), con u = u(x, y, z), demuestrese que

∇φ =dφ

du∇u

Encuentrese ∇φ si a) φ = ln |r|, b) φ = rn, c) φ = 1/|r − r0|.1.4. Hallense las lıneas de campo de los campos vectoriales:

(a)

A = − y

(x2 + y2)3/2ux +

x

(x2 + y2)3/2uy

(b)

B = (x2 + y2)ux + 2xyuy + (x + y)uz

(c)

C = (x + y + z)ux + (y + z)uy + zuz

(d)

D = (z2 − y2)xux + (x2 − z2)yuy + (y2 − x2)zuz

Departamento de Fısica AplicadaCampos Electromagneticos 1.2

1.5. Demuestrese que el volumen limitado por una superficie cerrada ∂τ viene dado por

τ =13

∮∂τr · dS

con r el vector de posicion respecto a un origen arbitrario. Haciendo uso del resultado anterior,hallese el flujo del campo A = r a traves de la superficie del triangulo limitado por los vertices(1, 0, 0), (0, 1, 0, (0, 0, 1).

1.6. Hallese el flujo del campo vectorial A = x3ux +y3uy +z3uz a traves de la esfera x2 +y2 +z2 = R2

1.7. Demuestrese que si φ es un escalar ∮Γ

φdl =∫

SdS ∧∇φ

1.8. Demuestrese que si S es una superficie finita limitada por una curva cerrada Γ y F es una funcionvectorial con derivadas continuas, entonces se cumple∫

S(dS ∧∇) ∧ F =

∮Γ

dl ∧F

1.9. Hallense las lıneas de campo y las lıneas de torbellino (lıneas de campo del rotacional) de loscampos vectoriales

A = −(x2 + y2)uz

B = −2xzux − 2yzuy + (x2 + y2 − z2)uz

¿Que aspecto tienen estas lıneas?

1.10. Demuestrese que si φ es una funcion que depende de x, y y z a traves de una cierta funcion u,entonces

∇2φ =d2φ

du2(∇u)2 +

dφ

du∇2u

A partir de aquı, calculese el laplaciano de una funcion φ(r), que depende solo de la distancia alorigen. Pruebese que este puede tambien escribirse de las siguientes formas

∇2φ(r) =1r

d2(rφ)dr2

∇2φ(r) =1r2

d

dr

(r2 dφ

dr

)

1.11. Sea la circunferencia dada por la ecuacion

x2 − 2ax + y2 = 0 z = 0

Evaluense las siguientes integrales curvilıneas, donde r es el vector de posicion.

(a)∮

r · dl (b)∮

r dl

(c)∮

r dl (d)∮

r dl


1.12. El campo de velocidades de un solido puede escribirse como

v(r) = v0 + ω ∧ r

con v0 y ω constantes. Determınense las fuentes escalares y vectoriales de este campo.

1.13. Demuestrese que si r es el vector de posicion y B un campo vectorial arbitrario

(B · ∇)r = B (B ∧∇) · r = 0 (B ∧∇) ∧ r = −2B

Igualmente, para el caso particular en que B represente un vector constante, demuestrese que

∇(B · r) = B ∇ · (B ∧ r) = 0 ∇∧ (B ∧ r) = 2B

1.14. Verifıquese el teorema de Stokes para el campo vectorial

A = a2xux + axyuy + xyzuz

calculando:

(a) La circulacion de este campo vectorial a lo largo del perımetro del cuadrado ABCD de verticesA(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0) y D(0, a, 0).

(b) El flujo del rotacional a traves de la superficie del cuadrado anterior.(c) El flujo del rotacional a traves de las cinco caras restantes de un cubo de arista a que se

apoye en el cuadrado anterior. Para ello, descompongase la integral en una por cada cara,asignando la normal para cada una de forma que se verifique la regla del sacacorchos respectoal cuadrado de la base.

1.15. Demuestrese que integrando alrededor de una curva cerrada, Γ, del plano xy, se cumple que∣∣∣∣∮Γr ∧ dl

∣∣∣∣ = 2S

donde r es el vector de posicion y S el area encerrada por Γ.

A partir de aquı, deduzcase que para una curva arbitraria en el espacio12

∮r ∧ dl = S

donde S es un vector cuyas componentes son las areas de las proyecciones de la curva sobre losplanos coordenados.

1.16. Sea el campo vectorialB = 2xyux + (x2 − z2)uy − 2zyuz

(a) Calculense las fuentes escalares y vectoriales de este campo.(b) Hallese el valor del flujo de este campo a traves de las cinco caras de una caja cubica sin

tapa, de lado L, apoyada sobre el cuadrado de vertices (0, 0, 0), (L, 0, 0), (L,L, 0) y (0, L, 0).Tomese como normal a la base inferior el vector −uz y analogamente, por continuidad, losvectores normales a las otras cuatro caras.

(c) Calculese el valor de la integral ∫dS ∧ B

sobre las mismas cinco caras de la caja cubica del apartado anterior.



Campos Electromagneticos. Boletın 2. Octubre de 20002.1. Dados los campos

A = x(x2 + y2 + z2)ux + y(x2 + y2 + z2)uy + z(x2 + y2 + z2)uz

B = ex−2y+3z (ux − 2uy + 3uz)

compruebese que pueden derivarse de sendos potenciales escalares, esto es, F = −∇φ. De-termınense aquellos que verifican que φ(0) = 0:

(a) Integrando sucesivamente cada una de las componentes segun la expresion

φ = −∫ (x,0,0)

(0,0,0)Fx dx−

∫ (x,y,0)

(x,0,0)Fy dy −

∫ (x,y,z)

(x,y,0)Fz dz

(b) A partir de la expresion alternativa

φ = −r ·∫ 1

0F(tr) dt

(c) Resolviendo el sistema de ecuaciones diferenciales

∂φ

∂x= −Fx

∂φ

∂y= −Fy

∂φ

∂z= −Fz

2.2. Dado el campo vectorialA = − y

x2 + y2ux +

x

x2 + y2uy

(a) Determınese si deriva de un potencial escalar.

(b) Calculese la circulacion a lo largo de la circunferencia

x2 + y2 = a2 z = 0

(c) Hallese la circulacion sobre un cuadrado horizontal de lado 2a, con lados paralelos a los ejesx e y y situado a una altura z = a.

2.3. Sean φ y A un campo escalar y uno vectorial, respectivamente, que dependen de la posicion atraves de la combinacion r − r′, esto es

φ = φ(r − r′) A = A(r − r′)

Demuestrese que se cumplen las identidades siguientes

∇φ = −∇′φ ∇2φ = ∇′2φ

∇ ·A = −∇′ · A ∇∧ A = −∇′ ∧ A

donde el operador ∇′ representa la derivacion respecto a las componentes de r′.


2.4. Sean ψ y φ dos funciones escalares con segundas derivadas continuas. Demuestrese que el campo

F = ∇φ ∧∇ψ

es solenoidal. Hallense dos potenciales vectores del mismo. Determınese el potencial del cualderiva la diferencia.

Muestrese que las lıneas de campo de F vienen dadas por la interseccion de las superficies φ =cte. y ψ = cte.

2.5. Una formula integral para obtener un potencial vector A de un campo solenoidal B es la dada por:

A(r) = −r ∧∫ 1

0B(tr) t dt

Empleando esta formula, hallese un potencial vector de un campo B = B0 (con B0 uniforme). ¿Essolenoidal el resultado? Si lo es, hallese su correspondiente potencial vector. ¿Es este solenoidal?

Repıtase el problema para el campo

B = yzux + xzuy + xyuz

2.6. Dado el campo vectorial F = B ∧ r, con B uniforme y r el vector de posicion.

(a) Demuestrese que el flujo de este campo a traves de cualquier superficie cerrada es nulo.

(b) Hallese un potencial vector A1 que sea solenoidal.

(c) Calculese un segundo potencial vector, A2, de F que sea tambien solenoidal.

2.7. De un campo escalar, φ, y uno vectorial, A, se sabe que estan relacionados por las ecuaciones∮

∂τdS · A =

∫τdτ φ

∮∂τdSφ =

∫τdτ A

para cualquier volumen V . Asimismo se sabe que φ depende unicamente de la distancia al origeny que en r = 0 vale la unidad.

A partir de estos datos hallese φ y A, ası como el valor medio de φ en una volumen esferico deradio R.

(Nota: En algun momento puede ser aconsejable el cambio φ = ψ/r)

2.8. De un cierto campo vectorial, A, se sabe que sus fuentes vectoriales, J y escalares, ρ, estan relacio-nadas por la ecuacion

∇∧ J = ∇ρAsimismo se conoce que sobre el plano x = 0 el campo vale A1 en todos sus puntos, mientras queen x = 1 su valor es A2 sobre todo el plano.

(a) ¿Que ecuacion diferencial obedece el campo A?

(b) Determınese el valor del campo en la region 0 < x < 1.

(c) ¿Cuanto vale J? ¿Cuanto ρ? ¿En que caso es un campo conservativo y en cual solenoidal?


(d) Supongase, en particular, que A1 = ux y A2 = uy. Determınese, en este caso, la ecuacion delas lıneas de campo en la region de estudio.

2.9. Dado el campo vectorial

F = 2xzux + 2yzuy + a(x2 + y2 + z2)uz

(a) Hallese a para que este campo sea irrotacional. Calculese un potencial escalar de este campo.

(b) Hallese a para que el campo sea solenoidal. Determınese un potencial vector del campo.

(c) En el caso general, descompongase F en suma de un campo solenoidal y uno irrotacional.

2.10. Se define la funcion delta de Dirac en tres dimensiones como aquella distribucion que verifica

δ(r) = 0 (r = 0)∫δ(r) dτ = 1

con la ultima integral extendida a todo el espacio. Pruebese que:

(a)

δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z)

(b)∫

τf(r)δ(r − r0)dτ =

f(r0) si τ contiene al punto r0

0 si no lo contiene

(c)

∇ ·(

rr3

)= 4πδ(r)

(d)

∇2(

1|r− r0|

)= −4πδ(r − r0)

(e) Dado el campo vectorialA = − y

x2 + y2ux +

x

x2 + y2uy

se tiene que∇∧ A = 2πδ(x)δ(y)uz



Campos Electromagneticos. Boletın 3. Octubre de 20003.1. Expresense los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas:

A= r B=− y

x2 + y2ux +

x

x2 + y2uy

C=2ρzuρ − (ρ2 − z2)uz D= r tg θ uθ

3.2. Se define un sistema de coordenadas ortogonales mediante las ecuaciones

x =α

α2 + β2y = − β

α2 + β2z = γ

Hallense:

(a) Lıneas y superficies coordenadas.

(b) Factores de escala y vectores unitarios.

(c) Expresion del vector de posicion.

(d) Expresion del gradiente y el laplaciano.

3.3. Repıtase el problema anterior para el sistema de coordenadas dado por

x = α2 − β2 y = 2αβ z = γ

3.4. Calculese el valor de la integral ∮A · dl con A = ρuϕ

(a) A lo largo de una circunferencia de radio R en torno al eje z.

(b) A lo largo de un cuadrado de lado L centrado en el mismo eje.

(c) En los dos casos anteriores por aplicacion del teorema de Stokes.

3.5. Hallese el valor de la integral∮

AdS con A = cotg θur − uθ

y la superficie de integracion una esfera de radio R centrada en el origen.

3.6. Expresese la delta de Dirac δ(r − r′) en coordenadas curvilıneas ortogonales. En particular,obtengase su forma en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas para un punto genericoy para el caso de que la misma este centrada en el origen de coordenadas.

3.7. Calculese el gradiente y el laplaciano de la funcion

φ = 2z2 − x2 − y2

en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas. Compruebese que los resultados son indepen-dientes del sistema de coordenadas elegido.


3.8. Determınese la divergencia y el rotacional del campo vectorial

A = ρ2 cos ϕuρ + ρ2 sen ϕuϕ

empleando coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas.

3.9. Dados los campos vectoriales

A =z cos ϕ

ρ2uρ +

z sen ϕ

ρ2uϕ − cos ϕ

ρuz B =

sen ϕ

r cos2 θuθ +

cos ϕ

r cos θuϕ

(a) Compruebese que se trata de campos irrotacionales.

(b) Determınese un potencial escalar para cada uno.



Campos Electromagneticos. Boletın 4. Noviembre de 2000Nota: Los problemas o apartados marcados con asterisco (*) corresponden a ampliacion de lamateria.

4.1. En el modelo atomico de Bohr, el estado fundamental del atomo de hidrogeno consiste en unproton en el centro del atomo, y un electron describiendo orbitas circulares de radio a0 en torno alnucleo.

(a) Hallese la fuerza que el proton ejerce sobre el electron y la aceleracion de este.(b) Calculese la velocidad orbital del electron. Comparese esta velocidad con la de la luz.(c) Determınese el periodo orbital del electron y la velocidad angular.(d) Comparese la fuerza electrica con la fuerza gravitatoria proton-electron.

Datos: Carga del proton y del electron: ±e = ±1.60 × 10−19C; masa del proton: mp = 1.67 ×10−27 kg; masa del electron: me = 9.11 × 10−31 kg; radio de Bohr: a0 = 5.29 × 10−11 m; ke =1/(4πε0) = 8.98 × 109Nm2/C2; velocidad de la luz c = 3.00 × 108m/s; constante de gravitacionuniversal: G = 6.67 × 10−11 Nm2/kg2.

4.2. Un electroscopio mide la carga por la desviacion angular de dos esferas identicas conductoras,suspendidas por cuerdas aislantes de masas despreciables y longitud l. Cada esfera tiene una masam y esta sometida a la gravedad g. Las cargas pueden considerarse como puntuales e iguales entresı. Hallese la ecuacion que liga el semiangulo θ con el valor de la carga total Q depositada en lasesferas.

4.3. Se dispone de tres cargas, una de valor Q y las otras dos de valor q. Estas cargas se ensartan en unanillo circular de radio R sobre el cual pueden deslizar libremente. Determınese la ecuacion paralos angulos del triangulo que forman las tres cargas. ¿Cual es la solucion para los casos Q q,Q = q y Q q?

4.4. El tubo de rayos catodicos de un osciloscopio consiste en un haz de electrones que son emitidospor un catodo con velocidad horizontal v0 = v0ux. Estos electrones pasan entre dos placas entrelas cuales existe la tension que se pretende medir, de forma que el campo electrico entre ellas tieneel valor −V/duz . Estas placas tienen una longitud w. A una distancia L del fin de las placasse encuentra una pantalla, sobre la cual inciden los electrones. Calculese la altura del punto deimpacto en funcion de la tension aplicada y los restantes parametros del sistema.

¿Como se consigue que el haz de electrones barra la pantalla y no se mueva solo verticalmente?

Q

q

q

w

L

v0

V

Problema 4.3 Problema 4.4

Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 4.2

4.5. Descrıbase el movimiento de una carga puntual q, de masa m, situada en cada uno de los camposelectricos siguientes:

(a) Un campo uniforme E0

(b) Un campo oscilante de baja frecuencia E = E0 cos(ωt).

(c) (*) El campo de otra carga puntual, Q situada en el origen. Distınganse los casos segun elsigno de Q.

(d) El campo producido por una nube de carga esferica, de radio R y densidad ρ, suponiendoque la carga q permanece en todo momento en el interior de la nube.

4.6. Sean dos cargas puntuales q1 y q2, situadas la primera en el origen de coordenadas y la segundaen auz. Demuestrese que existe un punto en que el campo electrico se anula. Hallese la posicionde tal punto, teniendo en cuenta las diferentes posibilidades en cuanto a signos y magnitudes de lasdos cargas. ¿Existe algun caso en que no haya punto de campo nulo?

4.7. Se disponen siete cargas iguales en los vertices de un octogono regular situado en el plano xy, concentro el origen, quedando vacıo el octavo vertice, situado en r = aux. ¿Cuanto vale el campoelectrico en el centro del octogono? ¿Y en los demas puntos del eje z?

4.8. Hallese el campo creado por un segmento rectilıneo de longitud L dotado de una densidad decarga λ.

A partir del resultado anterior, calculese el campo electrico en cualquier punto del eje que pasa porel centro de un polıgono regular de N lados de apotema R y densidad de carga λ.

¿A que tiende el resultado cuando N → ∞?

4.9. Dos lıneas infinitas con densidad de carga λ y −λ se colocan paralelamente a una distancia 2a unade la otra. Hallese:

(a) El campo electrico en todos los puntos del espacio.

(b) Considerese el lımite en que a → 0, λ → ∞ con λa → b = cte. ¿A que tiende el campoelectrico en este lımite?

(c) (*) Hallese la ecuacion de las lıneas de campo en este lımite.

R

xy

z

a



4.10. Se consideran dos planos paralelos, separados una distancia a. Uno de ellos, situado en x = −a/2posee una distribucion de carga uniforme σ0, mientras que la del otro es −σ0. Hallese el campoelectrico en todos los puntos del espacio.

Asimismo, determınese el campo para el caso de tres planos paralelos entre sı y equiespaciados unadistancia a. El central posee una densidad de carga superficial 2σ0, mientras que los otros dos latienen de −σ0 cada uno.

4.11. Dos planos se encuentran cargados uniformemente con densidades de carga +σ0 y −σ0 y se cortanformando un angulo recto. Encuentrese el campo electrico y las lıneas de campo en todos los puntosdel espacio.

4.12. Hallese, por integracion directa, el campo creado en cualquier punto del espacio, por una superficieesferica de carga sobre la cual hay distribuida uniformemente una carga total Q.

4.13. Hallese el campo electrico en todos los puntos del eje de un anillo de radio R sobre el cual hay unadensidad de carga uniforme λ.

A partir de este resultado, calculese el campo creado por una corona circular de radios R1 y R2

(R1 < R2), sobre la cual hay una densidad de carga uniforme σ0, en los puntos de su eje.

¿A que se reduce si R1 → 0? ¿Y si R2 → ∞? Considerese en particular el comportamiento en lasproximidades de z = 0.

4.14. Se tienen dos cargas puntuales de valor q que solo pueden moverse a lo largo del eje z. En elplano xy y con centro el origen se encuentra un anillo de radio R sobre el cual hay distribuidauniformemente una carga −Q.

Suponiendo que las cargas estan situadas simetricamente respecto al anillo, hallese la posicion deequilibrio del sistema, ası como el valor mınimo de Q para que exista esta posicion.

4.15. Se tienen dos esferas del mismo radio, cargadas uniformemente, una de ellas con densidad decarga +ρ y la otra con densidad de carga −ρ. Dichas esferas se colocan de forma que sus centrosdistan una cantidad a, menor que el radio de las esferas, por lo cual intersecan como se ve en lafigura.

(a) Calculese el campo electrico en la zona de interseccion.

(b) Hallese la expresion del campo electrico en puntos exteriores a las dos esferas y alejados delas mismas.

(c) En el lımite ρ → ∞, a → 0, con ρa → b = cte calculese la densidad de carga superficial queaparece en la esfera resultante.

R1

R2

a

L

q

x

y

z

Problema 4.13 Problema 4.15 Problema 4.17


4.16. Un atomo de hidrogeno en el estado fundamental puede describirse por una carga puntual q ro-deada de una nube electronica con densidad de carga de la forma

ρ = −ke−2r/a0

(a) Si el atomo es neutro, ¿cuanto debe valer k?

(b) Hallese el campo electrico creado por el atomo.

Dato: ∫xne−xdx = −n!

(1 + x+

x2

2+ · · · + xn

n!

)e−x (n entero)

4.17. Una carga q se situa en el punto P = Luz. ¿Cual es el flujo del campo electrico de esta carga atraves del cuadrado formado por los vertices (0, 0, 0), (L, 0, 0), (L,L, 0) y (0, L, 0)?

4.18. Se tienen cuatro posibles campos electricos. En la region r < R, vienen dados por las expresiones

E1 = E0

(8 − 6

r

R

)cos θur + E0

(9r

R− 8

)sen θuθ E2 = −E0 cos θur + E0 sen θuθ

E3 = 2E0 cos θur − 2E0 sen θuθ E4 = E0

(6r

R− 4

)cos θur + E0

(4 − 3

r

R

)sen θuθ

mientras que en la region r > R todos vienen dados por la misma expresion

E = 2E0R

3

r3cos θur +

E0R3

r3sen θuθ

(a) Indıquese cuales pueden ser campos electrostaticos.

(b) Para los casos posibles, calculense las densidades de carga que producen los campos.



Campos Electromagneticos. Boletın 5. Noviembre de 20005.1. Hallese el potencial creado por dos cargas q1, −q2 situadas a una distancia a una de la otra. De-

muestrese que la superficie equipotencial V = 0 es una esfera.

5.2. Hallese, por integracion directa, el potencial electrico creado por una superficie esferica de radio Rsobre la cual hay depositada una densidad de carga uniforme σ0. Distınganse los casos r > R yr < R.

Calculese este mismo potencial a partir del campo electrico obtenido por aplicacion de la ley deGauss.

5.3. Se tienen dos discos plasticos de radio 1 cm y espesor despreciable, sobre los cuales se distribu-yen de manera uniforme cargas de +1µC y −1µC respectivamente. Estos discos se disponenparalelamente en z = ±a/2. Determınese

(a) El valor aproximado de la diferencia de potencial entre los centros cuando la distancia a =1 mm

(b) El valor aproximado del voltaje si a = 1 m. (Para ello deben tenerse en cuenta tanto elpotencial que un disco crea en su propio centro como el que un disco crea en el otro).

(c) Determınese exactamente la diferencia de potencial entre los centros para cualquier valor dea. Comparese el resultado con los dos anteriores. ¿Cuanto es, aproximadamente, el errorcometido en el primer apartado? ¿Y en el segundo?

5.4. Dos lıneas infinitas con densidades de carga +λ y −λ estan situadas verticalmente sobre los puntosx = ±a, y = 0.

Hallese el potencial electrico tomando el origen de coordenadas como referencia. Demuestreseque las superficies equipotenciales son cilindros rectos y hallese el centro y el radio en funcion delpotencial V .

5.5. Se tiene una delgada corteza esferica de radio R, sobre la cual hay depositada una carga Q, distri-buida uniformemente. En el centro del hueco esferico se encuentra una carga puntual, q. En unmomento dado, la corteza es comprimida, pasando a ser su radio R/2.

¿Cuanto varıa el potencial electrico al cual se encuentra la carga central? ¿Y su energıa potencial?¿Se realiza trabajo sobre esta carga? ¿Por que?

5.6. El potencial electrico en la region comprendida entre dos cortezas esfericas concentricas, puestas atierra, viene dado por la expresion

V (r) = A(r2 − 6ar + 8a2)

siendo a y A dos constantes. En el resto del espacio el potencial es nulo.

(a) ¿Cuanto valen los radios de las dos cortezas?

(b) ¿Cual es la densidad de carga en la region entre las dos superficies? Hallese la carga totalcontenida en esta region.


(c) Determınese la densidad de carga superficial y la carga total almacenada en cada cascaraesferica.

(d) ¿Que trabajo se requiere para llevar una carga q desde el infinito hasta el origen de coordena-das? ¿Y para llevarla desde el infinito hasta un valor de r justo entre las dos esferas?

5.7. Se tiene una esfera con una densidad de carga uniforme ρ0, de radio R y centro el origen, en laque se ha horadado una cavidad, tambien esferica, de radio R/2 y centro un punto situado a unadistancia R/2 del centro de la esfera de radio R.

Hallese el trabajo necesario para traer una carga desde el infinito hasta el origen de coordenadas(centro de la esfera de carga).

5.8. Hallese los momentos monopolar (carga) y dipolar de las siguientes distribuciones de cargas. Des-crıbase el campo y el potencial electrico a gran distancia de las mismas:

(a) Dos cargas de valor +q en los puntos ±auz

(b) Tres cargas positivas +q en los puntos aux, auy, auz y tres negativas −q en −aux, −auy,−auz.

(c) Una varilla vertical de longitud L, centrada en el origen, con densidad de carga uniforme λ.

(d) La misma varilla con una distribucion de carga λ = kz.

(e) Una superficie esferica sobre la cual hay una distribucion de carga σ = σ0 cos θ.

(f) La misma superficie con distribuciones σ = σ0 cos2 θ, σ = σ0 sen θ y σ = σ0 sen θ cos φ

(g) Una esfera con densidad de carga ρ = ρ0 cos θ.

5.9. Hallese la fuerza que una carga puntual, situada en el origen, ejerce sobre un dipolo de valor p.¿Verifica la tercera ley de Newton?

Calculese el momento de la fuerza, respecto al origen, que dicha carga ejerce sobre el dipolo.

5.10. Se tiene una superficie esferica hueca, de radio R, sobre la cual hay una distribucion de carga σs,no uniforme. No hay mas carga en el sistema.

(a) Pruebese que el potencial en el centro de la esfera es

V =1

4πε0

Q

R

siendo Q la carga total de la distribucion.

(b) Pruebese que el campo electrico en el centro de la esfera es

E = − 14πε0

pR3

siendo p el momento dipolar de la distribucion.

5.11. Hallense las ecuaciones de las lıneas del campo electrico creado por un dipolo p = puz. Las lıneasde campo, ¿son abiertas o cerradas? ¿Existe alguna contradiccion con la irrotacionalidad del campoelectrico?



Campos Electromagneticos. Boletın 6. Noviembre de 20006.1. Se tiene un cubo hueco de paredes conductoras, cinco de las cuales se encuentran puestas a tierra,

mientras la sexta esta a un potencial V . ¿Cuanto vale el potencial en el centro del cubo? ¿Por que?

¿Cuanto valdrıa si cada cara estuviera a un potencial distinto? ¿Y si en vez de un cubo se tratarade un tetraedro? ¿Como se extiende el resultado al caso de una esfera con una cierta distribucionde potencial sobre su superficie?

6.2. A partir de los coeficientes de capacidad e induccion se definen los coeficientes Cij como

Cij = −Cij (i = j) Cii =∑

j

Cij

Estos coeficientes se denominan capacidades y autocapacidades del sistema.

(a) Si se conocen los Cij , ¿como se obtienen los coeficientes de capacidad e induccion?(b) ¿Como se escribe la relacion entre las cargas y los potenciales de estos conductores empleando

estos coeficientes?(c) ¿Cual es el significado de los Cij? ¿Como se relacionan con el circuito equivalente?

6.3. En un sistema de tres conductores se conocen los coeficientes de capacidad Cij . Si dos de losconductores se unen mediante un hilo conductor ideal, ¿cuanto vale la matriz del nuevo sistema dedos conductores en funcion de los coeficientes de capacidad antiguos?

Como generalizacion, supongase que se tiene un conjunto de N conductores aislados, con cargasQi. En un momento dado se conectan dos de ellos por un hilo ideal, produciendose una redistri-bucion de cargas. Los conductores se vuelven a desconectar. Las nuevas cargas en cada conductorson proporcionales a las antiguas en la forma

Q′ = M · QHallese la relacion entre la matriz M y la de coeficientes de capacidad, C, que relaciona las cargascon los potenciales

6.4. Considerese el sistema de conductores de la figura. Esta formado por cuatro conductores, de loscuales el 1 y el 2 son simetricos con el 4 y el 3, respectivamente.

En este sistema, ¿que coeficientes de capacidad e induccion son nulos? ¿Cuales positivos? ¿Cualesnegativos? ¿Cuales iguales entre sı?

Supongase que mediante finos hilos conductores se conecta el conductor 1 con el 3, y el 2 con el4. ¿Como queda la nueva matriz de capacidades a partir de la matriz del sistema original?

1=1'

2

3

2' 1

2 3

4



6.5. Pruebese que, dado un sistema de conductores, siempre se verifica

Cii > 0 Cij ≤ 0 (i = j)

pij > 0 ∀ i, j pii ≥ pij ∀j

¿En que caso se cumple pii = pij con j = i?

6.6. Se tiene un sistema formado por tres conductores cubicos de arista b, tal como indica la figura.La distancia entre dos cubos consecutivos es a b, la misma que los separa de un conductorexterior que rodea completamente a los tres conductores. Este conductor exterior se encuentrapermanentemente a tierra.

(a) Hallese la carga y el potencial de cada conductor cuando los cubos laterales se encuentran auna tension V0, y el cubo central almacena una carga Q0.

(b) Supongase que, partiendo de la situacion anterior, se desconectan los cubos laterales, sindescargarlos, y se conecta el central a uno de los laterales, ¿cuanto valen entonces las cargasy los potenciales en cada conductor?

Despreciense los efectos de borde.

6.7. La figura representa una esfera metalica descargada de radio a en la cual se han horadado doscavidades esfericas de radios b y c. En el centro de la primera se encuentra otra esfera metalica, deradio c/2 concentrica con el hueco.

(a) Supongase que en el centro del hueco de radio b se coloca una carga puntual q y en la esferainterior se deposita una carga Q. Determınese el potencial electrico en todos los puntos delespacio.

(b) Repıtase el problema admitiendo que en la esfera interior, en lugar de una carga Q se fija elpotencial a V .

(c) Si en la situacion del problema anterior se conecta la esfera interior a la esfera exterior, ¿comocambian los resultados?

6.8. Se tiene el sistema de la figura, formado por tres placas conductoras planas y paralelas rectan-gulares. Despreciando los efectos de borde, esto es, suponiendo que el campo va siempre en ladireccion perpendicular a las placas, hallese la matriz de coeficientes de capacidad del sistema.

a a

b

a

b

c



6.9. Supongase el sistema de la figura, formado por una esfera metalica de radio R, inicialmente des-cargada; una corteza de radio 2R (concentrica con la anterior) sobre la cual hay depositada unacarga Q, distribuida uniformemente; y una corteza metalica, tambien concentrica, de radio 4R, queinicialmente se halla sin carga. De la esfera interior sale un cable que puede dejarse desconectado,conectarse a la cascara exterior o conectarse a tierra (potencial cero).

(a) Determınese el potencial al que se encuentra cada una de las esferas en el momento inicial.

(b) Admıtase que el interruptor se pasa a la posicion A, conectando los dos conductores. Hallesela nueva distribucion de cargas y potenciales.

(c) Si ahora el interruptor se pasa de la posicion A a la B, de forma abrupta, ¿cuanto valen losnuevas cargas y potenciales?

(d) Repıtanse los apartados (b) y (c), suponiendo que el interruptor se hubiera pasado en primerlugar a la posicion B y de ahı a la A.

El posible campo electrico creado por los hilos puede considerarse despreciable.

Sugerencia: Suponganse cargas Q1 y Q2 en los conductores interior y exterior y ajustense losvalores a las distintas situaciones descritas en el problema.

6.10. Se tiene el sistema de la figura, formada por una corteza esferica (conductor “1”) de radio interiorb y exterior c. En su interior hay dos conductores practicamente semiesfericos (“2” y “3”), de radioa y separados una pequena distancia w. Despreciando los efectos de borde,

(a) Hallense los coeficientes de capacidad e induccion del sistema.

(b) Determınense los potenciales a que se ponen estos conductores cuando almacenan cargas Q1,Q2 y Q3, respectivamente. ¿En que caso es nulo el potencial de la corteza exterior?

6.11. Considerese la disposicion de la figura, constituida por cuatro placas cuadradas formando angulosrectos. El lado de las placas es b y la distancia al centro es a. Despreciando efectos de borde (esto,es, admitiendo que las lıneas de campo son arcos de circunferencia), determınense la matriz decapacidades del sistema. ¿Es posible hallar los coeficientes de potencial?

l

d

b

a

wA

B

Q

a

b

c

w

1

2 3



6.12. Sea un sistema de tres esferas alineadas y equiespaciadas. En este sistema, ¿que coeficientes depotencial son iguales entre sı? ¿Cuales diferentes?

Admıtase que p11 = p22, y que inicialmente en la esfera central hay una carga Q, estando las otrasdos descargadas. Suponiendo que la esfera central se conecta alternativamente a la esfera 1 y a la3. ¿Como quedan las cargas despues de la primera conexion 1-2? ¿y despues de la conexion 2-3?¿como quedara despues de infinitas conexiones?

ba

1 2 3




Campos Electromagneticos. Boletın 7. Diciembre de 20007.1. El metodo de las imagenes para una carga frente a un plano conductor suele presentarse apelando

al teorema de unicidad. Sin embargo, puede demostrarse constructivamente. Para ello, sıgase elsiguiente esquema

(a) Enunciense las ecuaciones y condiciones de contorno para este problema. Supongase el planoconductor en z = 0 y la carga puntual en auz

(b) ¿Cuanto vale el campo en el semiespacio z < 0?

(c) Este campo es la suma del de la carga puntual mas el de la carga superficial aparecida en elplano. Segun esto, ¿cuanto vale el campo de esta carga superficial en z < 0?

(d) ¿Cuanto vale el campo debido a la carga superficial en z > 0? ¿A que equivale este campo?

(e) Hallese la densidad de carga superficial a partir de la discontinuidad en la componente normaldel campo electrico. ¿Cuanto vale la carga total inducida sobre el plano?

7.2. Se tiene una carga puntual de valor q situada a una distancia a de un plano conductor puesto atierra. Por detras del plano no hay nada.

(a) Calculese la fuerza que el plano ejerce sobre la carga puntual.

(b) Hallese la energıa necesaria para traer la carga desde el infinito hasta el punto que ocupa.

(c) ¿como cambian los resultados si al otro lado del plano hay una carga q1 situada a una distanciab del mismo? Supongase que las dos cargas no estan en la misma perpendicular al plano.

7.3. Supongase que tenemos una carga puntual q situada en la frente a la esquina formada por dossemiplanos conductores puestos a tierra. Hallese

(a) El potencial en todos los puntos del espacio.

(b) La fuerza sobre la carga q.

Supongase que los semiplanos, en lugar de cortarse ortogonalmente, forman un angulo α. ¿Paraque valores de α existe solucion sencilla por el metodo de las imagenes?

a

q

a

q

b

Problemas 7.1 y 7.2 Problema 7.3


7.4. Hallese el potencial en todos los puntos del espacio cuando frente a un plano conductor puesto atierra se halla un dipolo puntual de valor p.

7.5. Se tienen dos lıneas infinitas paralelas, situadas paralelamente al eje z y sobre los puntos x = ±a,y = 0. Ambas lıneas poseen una densidad de carga uniforme +λ

(a) Hallese la fuerza que se ejerce sobre un segmento de longitud L de una de las lıneas.

(b) Supongase que en x = 0 se coloca un plano infinito conductor puesto a tierra. ¿Cual esentonces el valor de la fuerza?

(c) ¿Como queda el apartado anterior si el plano se coloca sobre la recta x = y?

7.6. Se coloca una carga puntual de valor q a una distancia r0 del centro de una esfera metalica conduc-tora de radio R. La esfera esta conectada a un generador que fija su potencial en V . Determınesela distribucion de potenciales y campos en el sistema.

¿Como se comporta el sistema a grandes distancias del mismo?

Hallese la fuerza que la esfera ejerce sobre la carga puntual en funcion de la distancia entre esta yel centro de la esfera.

¿Cual es la energıa necesaria para traer la carga q desde el infinito hasta una distancia r0 del centrode la esfera?

Repıtase el problema para el caso en que la esfera, en lugar de estar a potencial constante, seencuentre aislada y almacene una carga Q. Considerese, en particular, el caso Q = 4πε0RV .

7.7. Determınese el potencial en todos los puntos del espacio para el caso de que tuvieramos una esferade radio R puesta a tierra, frente a la cual se colocaran las siguientes distribuciones de carga:

(a) Una esfera de radio 2R, concentrica con la esfera metalica y sobre la cual hubiera una densi-dad de carga σs uniforme.

(b) Un anillo de radio 2R concentrico con la esfera y dotado de una densidad de carga λ. En estecaso, calculese solo el potencial en los puntos del eje del anillo.

7.8. Si en lugar de una esfera, disponemos de un hueco metalico esferico, puesto a potencial V , en elinterior del cual se ubica una carga q a una distancia r0 del centro, ¿Como cambian los resultadosdel problema 7.6?

q

R

r0



7.9. Supongase una superficie esferica metalica, de radio R, aislada y descargada. En el exterior de laesfera se tiene una carga q2 a una distancia r2 del centro. En el hueco interior hay una carga q1

a una distancia r1 (r1 < R < r2) y sobre la recta que une el centro con q2. Hallese el potencialen todos los puntos del espacio. ¿Cuanto vale la fuerza sobre cada una de las cargas? ¿Y sobre lasuperficie esferica? ¡

7.10. Se dispone de una esfera metalica, de radio a, conectada a tierra. Rodeando a esta esfera, seencuentra una delgada corteza esferica, tambien metalica, de radio b. Esta corteza esta aislada ydescargada. En el exterior existe una carga puntual q, situada a una distancia c del centro de lasesferas.

Determınese el potencial electrico en todos los puntos del espacio y la fuerza que actua sobre lacarga puntual.

7.11. Una gota esferica, de lıquido conductor, de radio R, se encuentra en presencia de un campoelectrico que, lejos de la gota, es uniforme y de modulo E0. La gota esta descargada.

(a) Hallese el potencial electrico en todos los puntos del espacio, tomando como origen de poten-cial, la propia gota.

(b) Hallese la densidad de carga superficial en la gota y el momento dipolar de esta distribucion.

(c) Determınese la presion electrica sobre la superficie de la gota. ¿Donde es maxima?, ¿dondemınima? ¿Como tiende a deformarse la gota?

Calculese el valor numerico del momento dipolar y de la presion maxima si R = 0.1mm y E0 =10kV/m.

7.12. Una partıcula que reposa sobre un plano puede modelarse como una semiesfera de radio a situadasobre plano metalico infinito puesto a tierra. Si sobre esta partıcula se aplica un campo electricoque en el infinito es uniforme perpendicular al plano, ¿cuanto vale la carga que aparece en lasemiesfera? ¿que fuerza ejerce el campo electrico sobre la partıcula?. Si la densidad de masa de lapartıcula es ρm = 1g/cm3 y su radio 0.1mm, ¿que campo sera necesario para levantarla?

r1

r2

q1

q2

q

c

a

b

E0

a




Campos Electromagneticos. Boletın 8. Diciembre de 20008.1. Un modelo muy simplificado de atomo es aquel que considera al nucleo como una carga pun-

tual +q y a los electrones como una distribucion esferica uniforme de radio a en torno al mismo.Supongase que un atomo de este tipo se coloca en presencia de un campo externo uniforme E0.¿Cual es el momento dipolar inducido en el atomo por la separacion de los centros de carga?Supongase que la separacion entre centros de carga es pequena. ¿Cual es la separacion entre loscentros de carga? Comparese esta cantidad con el radio del propio atomo.

Supongase que tenemos un gas monoatomico (un gas noble) con una densidad de N atomos porunidad de volumen. ¿Cuales seran la susceptibilidad y la permitividad de este gas?

Estımense sus valores para el helio, que posee carga q ∼ 3×10−19 C, y radio a ∼ 10−10 m, con unadensidad de N ∼ 3 × 1025 m−3. El valor de la permitividad del vacıo es ε0 ∼ 10−9/36π F/m.

8.2. Se tiene una esfera dielectrica de radio R polarizada uniformemente con P = P0 =cte. Hallese,por integracion directa el potencial en todos los puntos del espacio. ¿Cuales son los valores de E,D y P dentro y fuera de la esfera?

Sugerencia: Explotese la similitud con el problema del campo debido a una esfera cargada uni-formemente en volumen.

8.3. Muchos materiales dielectricos presentan lo que se conoce como saturacion, lo que quiere decirque la polarizacion alcanza un maximo. En un material de este tipo el comportamiento se puedeaproximar mediante la grafica de la figura. La polarizacion crece linealmente con el campo electricohasta un valor maximo P0 = ε0χE0.

Supongamos que en el centro de una esfera de radio a de material ası se coloca una carga puntualq. ¿Cual es la distribucion de los campos E, D y P en todo el espacio? ¿Cuanto vale la densidadde carga de polarizacion? ¿Y la carga total de polarizacion? ¿Cual serıa el valor de la carga depolarizacion si el dielectrico no se saturase, esto es, si P = ε0χE siempre?

8.4. Supongase que el espacio entre dos placas metalicas planas y paralelas de seccion S y separadasuna distancia a se llena de un material cuya polarizacion presenta saturacion, como la del problemaanterior. Determınese la relacion Q–V para este dispositivo. ¿Es esto un condensador?

P0

EE0

P

P0

0E

Problema 8.2 Problemas 8.3 y 8.4


8.5. Entre dos placas metalicas conductoras planas y paralelas a una distancia d = a + b se colocan dosdielectricos de permitividades ε1 y ε2 y espesores a y b respectivamente, tal como muestra la figura.Hallese la capacidad de este condensador y construyase el circuito equivalente.

8.6. Repıtase el problema anterior suponiendo que la interfaz que separa los dielectricos es perpendicu-lar a las placas.

¿Se podrıa resolver un problema similar pero con cuatro dielectricos, tal como muestra la figura?¿Cual serıa el circuito equivalente?

8.7. Se tienen dos placas metalicas de superficie S situadas paralelamente y separadas una distancia d.Entre ellas se coloca un dielectrico con una permitividad variable que va como

ε(z) = ε1 + (ε2 − ε1)z

d

donde z es la coordenada perpendicular a las placas. Hallense los campos D, E y P en todos lospuntos entre las placas cuando entre estas hay establecido un voltaje V0. ¿Cual es la densidad decarga de polarizacion (tanto superficial como de volumen)?


8.8. Se construye un recipiente cilındrico, con bases perfectamente conductoras de seccion S, separadasuna distancia a, y paredes perfectamente dielectricas, de espesor despreciable. El interior se llenahasta la mitad con un lıquido dielectrico y permitividad ε. El resto se deja vacıo.

El recipiente se coloca en un principio con las bases dispuestas horizontalmente. En esta posicion,se carga hasta que la diferencia de potencial entre las placas es V0. Acto seguido se abre el circuitoy, sin descargar las placas, el recipiente es girado 90 alrededor de un eje horizontal. ¿Cual es lanueva diferencia de potencial entre las placas?

Despreciense los efectos de borde y la influencia de las paredes.

8.9. Se tienen dos superficies cilındricas conductoras concentricas entre las cuales se colocan dielectricostal como muestran las figuras. ¿Cuales son las capacidades y cuales los circuitos equivalentes?

Repıtase el problema para el caso de que la figura represente esferas concentricas.

a

V0

b

a

V0

a

V0

b



8.10. El campo electrico en el exterior de un dielectrico tiene por modulo 100 V/m y forma un anguloπ/6 con la normal a la superficie. El campo en el interior del medio forma un angulo π/3 con lanormal. Hallese:

(a) La permitividad relativa del medio.

(b) El modulo del campo en el interior del material.

(c) La densidad de carga de polarizacion en la frontera.

(d) El salto en la componente tangencial de D.

8.11. Supongase que se tiene una esfera de radio R un material dielectrico (de permitividad ε) alrededorde la cual hay vacıo. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo electrico uniformeE0. Hallese el potencial electrico y los campos electricos en el interior y el exterior de la esfera.

Sugerencia: El campo electrico dentro de la esfera es uniforme. Sabiendo esto, aplıquese elresultado del problema 8.2.

8.12. El metodo de las imagenes puede extenderse a algunos problemas de dielectricos. Considerese queel semiespacio z < 0 se encuentra lleno de un material de permitividad ε, mientras que en z > 0tenemos el vacıo. Supongase que a una altura z = a se encuentra una carga puntual q. Se trata dehallar el potencial en todos los puntos del espacio mediante el siguiente proceso:

(a) ¿Donde se encuentran las cargas de polarizacion en este sistema?

(b) El campo total sera la suma del de la carga puntual Eq y el de las cargas de polarizacion Ep.En las proximidades de z = 0, cada uno de estos campos, ¿es continuo o discontinuo? ¿Comose relacionan las componentes a cada lado de este plano?

(c) Escrıbase la condicion de salto para el vector desplazamiento y, a partir de lo anterior, hallesela densidad de carga de polarizacion.

(d) Recordando el resultado del problema de una carga puntual situada frente a un plano puestoa tierra, calculese el potencial debido a las cargas de polarizacion.

(e) Hallese el potencial total en todos los puntos del espacio.

ab

c

a

c

E=100 V/m




Campos Electromagneticos. Boletın 9. Febrero de 20019.1. Supongase que se situa una carga puntual q en la posicion aux y una carga q2 en auy. ¿Que valor

debe tener q2 para que, al traer una carga q3 desde el infinito al punto −aux no se realice trabajo?

Suponiendo que se da el caso anterior, ¿cual debe ser el valor de q3 para que al traer una cargaq4 = q desde el infinito al punto −auy tampoco se realice trabajo?

Supuesto que se ha construido la configuracion anterior, ¿que trabajo se debe realizar para inter-cambiar las posiciones de las cargas q3 y q4?

9.2. Calculese la energıa libre electrostatica de:

(a) Una carga Q distribuida uniformemente sobre la superficie de una esfera de radio R.

(b) Una carga Q distribuida uniformemente en el volumen de una esfera de radio R

¿Cual de las dos configuraciones posee una menor energıa almacenada? ¿Como se interpreta esteresultado si se usa la integral de la densidad de energıa ε0E

2/2?

9.3. Dado un sistema de conductores, se definen las capacidades y autocapacidades como

Cij = −Cij (i = j) Cii =∑

j

Cij

Demuestrese que, en funcion de estos coeficientes, la energıa de un sistema de conductores puedeescribirse como

W =12

∑

i

CiiV2i +

12

∑

i,ji<j

Cij(Vi − Vj)2

¿Como se interpreta este resultado en terminos del circuito equivalente?

9.4. Hallese la energıa electrostatica almacenada en el sistema de tres conductores ilustrado en la figura,cuando los potenciales de las semiesferas interiores son ±V respectivamente y el exterior esta atierra.

9.5. En una esfera metalica de radio R se han hecho dos cavidades, tambien esfericas, de radio R/2.Concentricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metalicas de radio R/4. No haymas conductores en el sistema. Supongase que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada,mientras que las interiores se encuentran a tension V0 y 0, respectivamente. Hallese la energıaalmacenada en el sistema.

w

a

b

c

V0



9.6. Las figuras representan dos configuraciones. En ambas tenemos dos placas metalicas planas cua-dradas, de lado L. Se hallan dispuestas horizontalmente y separadas una distancia a. El volu-men entre las placas esta repartido mitad y mitad entre dos dielectricos de permitividades ε1 y ε2.Supongase que sobre las placas metalicas hay cargas ±Q. ¿Cual es la energıa de cada configura-cion? ¿Cual es mayor?

Supongase que los dielectricos son lıquidos de igual densidad de masa que pueden fluir y distri-buirse por el volumen. ¿A cual de las dos configuraciones tendera el sistema?

9.7. Calculese la energıa electrostatica almacenada en un sistema formado por dos placas metalicasplanas y paralelas, de seccion S, separadas una distancia b, entre las cuales hay un dielectrico nohomogeneo que presenta una permitividad variable como

ε(z) =εa

a + z

cuando entre sus placas se establece una tension V0

9.8. Se tiene una delgada corteza esferica conductora de radio R, sobre la cual hay depositada unacarga Q. En el centro del hueco esferico se encuentra una carga puntual, q. En un momento dado,la corteza es comprimida, pasando a ser su radio R/2. ¿Cuanto varıa la energıa almacenada en elsistema? ¿Que trabajo se ha efectuado sobre la corteza exterior? ¿Y sobre la carga interior?

9.9. Se disponen dos placas metalicas cuadradas, de lado L, paralelamente a una distancia d una dela otra. Una de las placas se conecta a tierra, mientras que la segunda se coloca a una tension V .Entre las placas se intercala una tercera placa de las mismas dimensiones, mantenida a una tensionV1. La placa se coloca a una distancia x de la primera placa y hasta una altura y, tal como muestrala figura. Hallese la fuerza total que se ejerce sobre la placa. ¿En que condiciones la fuerza en ladireccion perpendicular a las placas es nula? ¿Y en la direccion paralela?

9.10. Un condensador formado por dos cilindros coaxiales de radios a y b y longitud L se coloca deforma que su borde inferior roza la superficie de un bano de lıquido dielectrico de permitividad ε ydensidad de masa ρm. Calculese la altura a la cual sube el lıquido entre las placas:

(a) Cuando el condensador esta conectado a un generador que mantiene un voltaje V0 entre lasplacas.

(b) Cuando esta desconectado pero almacena una carga Q.

+Q

-Q

2

1

+Q

-Q

2

1

y

x

V1

V

d



9.11. Se tiene una esfera conductora que puede estirarse, por lo que posee una energıa potencial elasticadada por U = γS, donde γ es una constante (tension superficial ) y S es la superficie de la esfera.

(a) Hallese el radio de la esfera cuando esta se encuentra cargada con una carga total Q.

(b) Deduzcase, a partir del resultado anterior, la relacion Q − V para esta esfera. ¿Se comportacomo un condensador?

(c) En el equilibrio, ¿cual es la energıa electrostatica de la esfera? ¿Y la energıa total almacenadaen la esfera?

(d) Hallese el trabajo realizado por un generador que coloque una carga Q en la esfera.

9.12. (*) Se tiene un tubo de longitud L y tapas metalicas en el interior del cual hay un piston movil,tambien metalico, que separa el tubo en dos cavidades llenas de gas de permitividad ε. Sobre elpiston hay depositada una carga Q, mientras que las bases estan conectadas a tierra

Inicialmente la presion del gas a los dos lados del piston es p0. Hallense las posiciones del equili-brio del piston suponiendo que este se mueve lentamente, por lo que la temperatura permanececonstante. ¿es la posicion central una posicion de equilibrio?. Despreciense los efectos de borde.

Q

Problema 9.12



Campos Electromagneticos. Boletın 10. Febrero de 2001

Problemas basicos

10.1. Se tiene un cable de cobre de 1mm2 de seccion, por el cual circula una corriente de 1 A. De-termınese la velocidad media de los electrones en esta corriente, ası como el numero de electronesque atraviesan una seccion del cable en la unidad de tiempo.

Datos: Densidad de masa del cobre ρm = 8.96 g/cm3. Peso atomico P = 63.546 g/mol. Numerode Avogadro NA = 6.023 × 1023 atomos/mol.

10.2. Un cable de alta tension esta formado por un nucleo de acero (σ = 1.11 × 106 S · m−1) de radioa = 0.5 cm, rodeado de un recubrimiento de aluminio (σ1 = 3.82 × 107 S · m−1) de radio exteriorb = 1.5 cm. Supongase que por el cable circula una corriente de 1000 A.

(a) Hallese la cantidad de corriente que va por cada metal.

(b) Calculese la diferencia de potencial entre dos postes separados 300 m.

10.3. Hallese la resistencia entre los extremos de un bloque de conductor ohmico en forma de arcosemicircular de seccion cuadrada, El radio medio es b y el lado de la seccion es a. ¿A que se reduceel resultado si b a?

10.4. Se tienen tres resistencias de 1 Ω, 2 Ω y 4 Ω. Calculense todos los posibles valores de resistenciasque se pueden conseguir con ellas (no es indispensable conectar las tres).

10.5. Supongase se sumergen dos conductores perfectos en un material de permitividad ε y conductivi-dad σ y se aplica entre ellos una diferencia de potencial constante V0 circula una corriente I0 deuno al otro. ¿Cual sera la corriente si el voltaje varıa como V0 cos ωt?

a

b

V0



10.6. Entre dos placas planas y paralelas, perfectamente conductoras, de seccion S, y separadas unadistancia a se encuentra un medio resistivo, de permitividad ε y conductividad σ. Entre las placashay establecida una tension V0.

(a) Hallese la corriente que circula entre las placas y la carga almacenada en cada una, ası comola energıa almacenada en el sistema.

(b) En t = 0 se desconecta el generador. Determınese la evolucion de la carga en las placas apartir de ese momento.

(c) Hallese la energıa disipada en el medio durante el proceso de descarga del condensador.

(d) Descrıbase el comportamiento del sistema mediante un circuito equivalente.

Problemas de nivel medio

10.7. La resistividad del aire en la atmosfera decrece exponencialmente con la altura como

σ−1 = r = r1e−α1z + r2e

−α2z + r3e−α3z

dondei ri (1012 Ω · m) αi(km−1)1 46.9 4.5272 22.2 0.3753 5.9 0.121

El campo electrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale E0 = −100 V/m. Estecampo es practicamente constante y va siempre en la direccion vertical.

A partir de estos datos hallese

(a) El valor del campo electrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera(z = 100 km).

(b) La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera.

(c) La distribucion de cargas en la atmosfera.

(d) La corriente total que llega a la superficie de la Tierra.

(e) La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria

(f) Estımese el tiempo que tardarıa la atmosfera en descargarse si no existiera un mecanismogenerador

10.8. Entre dos placas metalicas planas y paralelas, de seccion S y separadas una distancia a, se encuen-tra un medio ohmico no homogeneo, cuya resistividad (inversa de la conductividad) varıa con laposicion como

r = r1 +r2 − r1

az

siendo r1 y r2 constantes, y z la coordenada perpendicular a las placas (situadas en z = 0 y z = a).La permitividad del material es homogenea y vale ε.

Entre las placas hay establecida una tension constante V0. Para este sistema, determınese


(a) Los campos J, E y D entre las placas.(b) Las densidades de carga libre en el sistema.

(c) La resistencia del elemento.(d) La energıa almacenada y la potencia disipada en el sistema.


10.9. Considerese el sistema de la figura, formado por dos semiesferas metalicas de radio a y que distanuna cantidad w. Rodeando a los dos casquetes se encuentra una corteza esferica, tambien metalica,de radio interior b y exterior c. Supongase que el espacio entre los conductores esta relleno de unmaterial de permitividad ε y conductividad σ, mientras que el exterior de la corteza esta vacıo.

(a) Calculese la matriz de conductancias del sistema, ¿como se relaciona con los coeficientes decapacidad?

(b) Determınense las corrientes que circulan en el sistema y las cargas almacenadas en los conduc-tores cuando un casquete esta a potencial V , el otro esta a tierra, y la corteza no se encuentraconectada a ningun generador.

(c) Para la situacion anterior, calculense la energıa almacenada en el sistema y la potencia disipa-da en el mismo.

10.10. La caıda de un rayo puede modelarse como un pulso de corriente de intensidad I0 que, duranteun tiempo muy corto incide sobre el suelo.

(a) Admitiendo que la corriente se distribuye por el suelo en todas direcciones por igual comoJ = J(r)ur y no se produce acumulacion de carga en ningun punto, hallese la densidad decorriente en funcion de I0 y la distancia al punto de impacto.

(b) Si la conductividad del suelo es σ, hallese el campo electrico y el potencial electrico en el suelo.Supongase que en el infinito el potencial se anula.

(c) Un animal, como una vaca, puede modelarse como una resistencia R en paralelo con el suelocon los puntos de contacto a una distancia a y a + b del punto de impacto. A partir delresultado anterior, hallese la diferencia de potencial entre las patas de la vaca, la corriente quecircula por ella y la potencia disipada.

(d) Calculese el valor numerico para el caso en que I0 = 50kA, σ = 10−2 S/m, a = 10m, b = 2my R = 50Ω.

(e) Considerense las dos situaciones siguientes: Un hombre andando (con b = 1m, la distanciaentre los pies) y un hombre parado (b = 20 cm, la longitud del pie). ¿En cual de los dos casossera mayor la descarga electrica?

w

a

b

c

I0

J

a b

R



10.11. Una esfera metalica perfectamente conductora, de radio a, se encuentra rodeada de una cortezamaterial de ohmico, de permitividad ε0 y conductividad σ. La corteza tiene radio interior a yexterior b.

Inicialmente la esfera y la corteza estan descargadas. En t = 0 la esfera interior se conecta, a travesde un cable, con un generador que fija su potencial en V0.

(a) Determınese la evolucion en el tiempo de la carga almacenada sobre la esfera y en la su-perficie exterior. Admıtase que la densidad de carga es siempre uniforme en cada superficie(Sugerencia: Construyase un circuito equivalente).

(b) Calculese la energıa total disipada en el medio ohmico. ¿Cual es la energıa total proporcionadapor el generador? ¿en que caso esta es nula?

(c) Supongase que en lugar de una senal escalon, se aplica una tension alterna V0 cos(ωt) a laesfera interior. ¿Cual es la corriente I(t) que llega a esta esfera? ¿Cuanto vale la energıapromedio (sobre un periodo) almacenada en el sistema? ¿Y la energıa disipada? ¿Y la energıaaportada por el generador?

10.12. Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia a + b se coloca una capa de espesora de un medio de permitividad ε1 y conductividad σ2. El resto del espacio lo ocupa una capa deespesor b de un material de permitividad ε2 y conductividad σ2.

En el instante t = 0 se conecta una diferencia de potencial V0.

(a) ¿Cuanto valen E, D y J inmediatamente despues de conectar el potencial?

(b) ¿Cuanto valen un tiempo largo despues de que se haya establecido?

(c) ¿Cuanto valen en cualquier instante?

(d) Supongase que en lugar de un voltaje escalon se aplica un voltaje que varıa como V =V0 cos ωt. ¿Cuanto valen los campos? ¿Cual es el circuito equivalente?

V1

a

b

V0

a

b



Problemas de ampliacion

10.13. Entre dos placas de un condensador plano, de seccion S y separadas una distancia d, se estableceuna diferencia de potencial V . Sobre una de las placas se deposita una pequena partıcula de polvo.Esta se puede modelar suponiendo que es un pequeno disco de radio R y espesor despreciable, demasa m y perfectamente conductor.

(a) ¿Que le ocurre a la partıcula al entrar en contacto con la placa?

(b) ¿Cual es el efecto del campo electrico del condensador sobre la partıcula? (despreciese elcampo creado por la propia partıcula).

(c) Calculese el tiempo que tarda en llegar hasta la otra placa. ¿Que le ocurre entonces? ¿Comoes el movimiento subsiguiente de la partıcula?

(d) Hallese un valor aproximado para la corriente electrica que, debido a la partıcula, atraviesa elcondensador. ¿Verifica esta corriente la ley de Ohm?

10.14. Una valvula de vacıo se basa en el llamado efecto termoionico, segun el cual, cuando se tiene unelectrodo caliente, la energıa termica de los electrones es suficiente para que puedan abandonarel material. La valvula se construye enfrentando un electrodo caliente puesto a tierra frente a otrofrıo (del cual los electrones no pueden salir) puesto a una tension V0. Se desprecian los efectos deborde.

(a) Si V0 < 0, ¿habra corriente en el sistema?

(b) A partir de la ley de conservacion de la energıa mecanica, ¿cual es la velocidad, v, de unelectron en un punto en el que φ = φ(z)? Admıtase que los electrones son emitidos convelocidad nula.

(c) Escrıbase la ecuacion de Poisson para el potencial.

(d) En el estado estacionario, ¿a que se reduce la ley de conservacion de la carga? ¿Como serelaciona J con ρ y v? Sustituyase el resultado en la ecuacion de Poisson.

(e) Resuelvase esta ecuacion, suponiendo una solucion de la forma φ = azp.

(f) Hallese la corriente que atraviesa el elemento y la caracterıstica I − V .

(g) ¿Que utilidad practica tiene este elemento?



Campos Electromagneticos. Boletın 11. Marzo de 2001

Problemas basicos

11.1. Se disponen dos hilos rectilıneos infinitos y paralelos situados a una distancia d. Sobre los hiloshay depositada una carga por unidad de longitud λ y −λ, respectivamente. Simultaneamente porestos hilos circulan corrientes +I y −I. Hallese la fuerza total que uno de los hilos produce sobreun segmento de longitud L del otro. ¿Que relacion deben verificar λ e I para que esta fuerza seanula?

11.2. Una partıcula de masa m y carga q se mueve en el interior de un campo magnetico uniformeB = B0uz. Si la partıcula se halla inicialmente en el origen y moviendose con velocidad v = v0.¿Cual es la trayectoria posterior? ¿Cual es la posicion en un instante de tiempo t?

11.3. Una espira plana de forma irregular se coloca de forma que parte de ella se encuentra en un campomagnetico uniforme B (en la figura el campo ocupa la region sombreada y apunta perpendicular-mente al plano de la espira). Por la espira circula una corriente I. Pruebese que la fuerza magneticaneta sobre la espira es F = IBs, donde s es la cuerda subtendida.

Generalıcese este resultado para el caso de que la forma de la region ocupada por el campomagnetico sea tambien irregular. ¿En que direccion apunta la fuerza?

11.4. Se tiene una varilla de longitud l y seccion despreciable, por la cual circula una corriente I (estosolo tiene sentido si consideramos la varilla como parte de un sistema mayor). Hallese el campomagnetico creado por dicha varilla.

A partir de este resultado, para la espira de forma irregular de la figura, por la cual circula unacorriente I, hallese el campo magnetico en el punto P .

11.5. Una lınea de transmision de alta tension esta formada por dos cables separados 6 m y situados auna altura de 15 m. Por los cables circulan corrientes de ±2 kA. Hallese el campo magnetico anivel del suelo.

d

I

-Is

I

B

b

aP

I



11.6. Un solenoide de radio a, altura h y n espiras por unidad de longitud, puede aproximarse por unadistribucion de corriente superficial sobre un cilindro.

(a) Hallese el valor K equivalente a que por las espiras circule una corriente I.

(b) Empleando la ley de Ampere, calculese el campo producido por el solenoide, si h→ ∞.

(c) Mediante integracion directa, hallese el campo magnetico en los puntos del eje del cilindro sih es finito. Estudiese el lımite h a

11.7. Sobre un cilindro de radio a y longitud infinita fluye una corriente superficial de densidad uniformeK. Hallese el campo magnetico en todos los puntos del espacio.

11.8. Sobre la superficie de una esfera de radio R se traza una espira por la cual circula una corriente I.Demuestrese que el campo magnetico en el centro de la esfera es

B =µ0m2πR3

siendo m el momento magnetico de la espira. Demuestrese igualmente que el potencial vector enel mismo punto es nulo.

¿Como se extiende este resultado al caso de una densidad de corriente superficial, K sobre lamisma esfera? ¿Cuanto vale, segun esto, el campo en el centro de una cascara esferica cargadauniformemente que se encuentre en rotacion?


11.9. Se desea construir una balanza que en lugar de un resorte funcione por fuerzas magneticas. Paraello, se produce un campo magnetico uniforme B = B0uz en una region rectangular. En el interiorde este campo se coloca una espira, por la cual se hace circular una corriente continua, I.

(a) Supongase que se usa como espira un triangulo rectangulo de hipotenusa a, masa m0, re-sistencia electrica R y autoinduccion despreciable. En el vertice inferior se coloca una agujaindicadora. Aplicando el resultado del problema anterior, calculese a que distancia del bordeinferior estara la aguja cuando no hay colgado ningun peso.

(b) ¿Cual sera la posicion de la aguja cuando se cuelga una masa m de la balanza? ¿Cual es elpeso maximo que puede medir esta balanza?

(c) ¿Funcionarıa la balanza con una espira cuadrada? ¿Y con una espira triangular invertida?(Sugerencia: piensese en lo que ocurre si la balanza se aleja ligeramente de su posicion deequilibrio)

IR

B

I

mg

x

y

z

a



11.10. Se tienen dos cilindros infinitamente largos y paralelos. Por los cilindros circulan densidades decorriente uniformes +J y −J, respectivamente.

Los ejes de los cilindros distan una distancia a < 2R, por lo que intersecan, tal como muestra lafigura.

(a) Demuestrese que el campo magnetico en la zona de interseccion es constante. Hallese suvalor.

(b) Calculese el campo magnetico lejos de los dos cilindros.

(c) Considerese el lımite a → 0, J → ∞ con aJ → K =cte. Hallese la densidad de corrientesuperficial resultante.

11.11. Se tiene una espira plana que puede expresarse mediante las ecuaciones

ρ =p(1 + e)

1 + e cosϕz = 0

esto es, se trata de una conica: circunferencia (e = 0), elipse (e < 1) parabola (e = 1) o hiperbola(e > 1). Por esta espira circula una corriente I. Determınese el campo magnetico en el origen decoordenadas.

11.12. Se tiene un solenoide cilındrico de gran longitud formado por un hilo, arrollado formando unahelice, de radio R y paso de rosca (distancia entre dos espiras consecutivas) b. Por el cable circulauna corriente I.

Hallese el campo magnetico en todos los puntos del espacio, teniendo en cuenta la inclinacion delas espiras. (Sugerencia: Combınense los resultados de los problemas 11.6 y 11.7.)

11.13. Se dispone de una espira de radio R en el plano xy, con centro el origen por la cual circula unacorriente I. A una distancia d sobre ella se coloca una espira identica, por la cual circula la mismacorriente.

(a) ¿Cuanto vale el campo en el eje que pasa por los centros de las espiras?

(b) ¿Cuanto debe valer d si se desea que el campo en el eje sea practicamente constante? A estadisposicion se la conoce como bobina de Helmholtz.

+J J

a

R

p

I

bI

R



11.14. Una espira rectangular de lados a y b, recorrida por una corriente I1, es coplanaria con un conductorrectilıneo, por el que circula una corriente I2. La distancia del centro de la espira al hilo es d. Hallesela fuerza que aparece entre el hilo y la espira.

11.15. Hallese la expresion del momento dipolar magnetico correspondiente a una cierta distribucion decarga que gira en torno a un eje con velocidad angular ω.

Aplıquese a las siguientes distribuciones:

(a) Un anillo de radio R sobre el cual hay distribuida uniformemente una carga total Q.

(b) Un disco de radio R sobre el cual hay distribuida la misma carga Q.

(c) Una superficie esferica de radio R.

(d) Una esfera maciza de radio R.

En todos los casos la rotacion se produce en torno al eje de revolucion.

Supongase que en cada punto de estas distribuciones, la densidad de masa es proporcional ala de carga (porque corresponde a una distribucion de partıculas todas del mismo tipo), esto es,ρq = γρm. Cual es en este caso la relacion entre el momento dipolar magnetico y el momentoangular de la distribucion?

11.16. Por un cable vertical muy largo, se hace circular una corriente I0. Un pequeno iman (equivalentea un dipolo magnetico m), de peso Mg, se suspende de un hilo ideal, de longitud l, cuyo puntode sujecion se encuentra a una distancia a del cable. El iman esta sujeto por su punto central, deforma que puede orientarse libremente. ¿En que direccion apuntara el iman? Calculese la fuerzamagnetica sobre el iman, cuando se encuentra a una distancia x del cable. Hallese la ecuacion parael angulo que el hilo forma con la vertical.

d

I

R

I2

I1

d

a

b I

a

l

m




Campos Electromagneticos. Boletın 12. Marzo de 2001

Problemas basicos

12.1. El momento dipolar magnetico de un atomo de hierro es aproximadamente

m 2.22eh

2me

¿Cual es el valor maximo que puede tener la magnetizacion de un trozo de hierro?

Supongase que se tiene un iman cilındrico de gran longitud, magnetizado a lo largo de su eje.Sabiendo que el campo en el extremo de la barra es aproximadamente B µ0M/2, calculese elcampo que producira este iman. Estımese el valor de las corrientes de magnetizacion equivalentesa esta imanacion.

Datos: Carga del electron e = 1.6 × 10−19 C; masa del electron me = 9.1 × 10−31 kg; constantede Planck h = 1.054 × 10−34J·s; peso atomico del hierro pm = 55.8 dalton; densidad de masa delhierro ρm = 7.87g/cm3; permeabilidad del vacıo µ0 = 4π × 10−7T·m/A.

12.2. Sobre una mesa horizontal se colocan dos brujulas (equivalentes a dipolos magneticos) iguales,de forma que sus centros distan una cantidad a. Las dos brujulas pueden girar en el plano hori-zontal. Considerando que la interaccion brujula-brujula es mucho mayor que la accion del campomagnetico terrestre, ordenense las cuatro configuraciones de la figura de menor a mayor energıa.¿Como se orientaran las brujulas?

12.3. Supongase que se tienen un conjunto de cunas de hierro y se magnetizan las mismas de forma quela punta es el polo sur y la base el polo norte. Acto seguido se construye una esfera con estas cunas,de forma que todos los polos sur apunten al centro de la misma y los polos norte queden en la caraexterior de la esfera. ¿Se apreciara campo magnetico en el exterior de la misma? ¿Y en el interior?

12.4. El campo magnetico en el exterior de un material magnetico cuya superficie es plana tiene pormodulo 0.5T y forma un angulo de π/6 con la normal. El campo en el interior del medio formaun angulo de π/3 con la normal. Por la superficie no circulan corrientes libres.

Hallese La permeabilidad relativa del medio, el modulo del campo en el interior del material y lascorrientes y cargas de magnetizacion en la superficie.

(a) (b)

(c) (d)

NN

N

N

N

NN

N

N

N

N

N

S

S

S

S

B=0.5 T



12.5. Sea un toroide de radio central R y seccion cuadrada de lado a, con a R (ver figura). Este toroideesta hecho de un material ferromagnetico de permeabilidad µ (µ µ0) y sobre el se arrollan Nvueltas de un hilo conductor por el cual se hace circular una corriente I. Determınese el campomagnetico en los puntos del toroide.

Si se hace un pequeno corte transversal al toroide, de forma que queda un espacio de espesor δ.¿Cuanto vale aproximadamente el campo en la zona intermedia?


12.6. Se dispone de una esfera de radio R con una imanacion permanente M = M0uz.

(a) ¿Cual es la expresion integral para el potencial vector?

(b) Hallense las corrientes de magnetizacion equivalentes y las ecuaciones y condiciones de con-torno para B

(c) Expresese el problema de ecuaciones y condiciones de contorno para H.

(d) Calculense las cargas de magnetizacion.

(e) Descrıbase cualitativamente la forma de B, H y M

(f) Resuelvase el problema exactamente por alguna de las formas anteriores.

12.7. Se construye un iman cilındrico de radio R = 1 cm y longitud L, con una magnetizacion uniformey paralela a su eje M0 = 105A/m.

(a) Determınese aproximadamente los campos H y B cuando L = 1 mm, en el centro del iman yen un punto ligeramente por encima de su base superior.

• A partir de las corrientes de magnetizacion.• A partir de las cargas magneticas.

(b) Estımense H y B cuando L = 1m en los mismos puntos y con los mismos metodos

(c) Determınense exactamente H y B en todos los puntos del eje del iman, tanto dentro comofuera de el. Comparese con los resultados anteriores

I I

a

L

R

M0



12.8. Se tiene una esfera de radio R magnetizada permanentemente con una magnetizacion dada, enesfericas, por M = Ar sen θuϕ.

(a) Hallense las ecuaciones y condiciones de contorno para H. Obtengase este campo en todo elespacio.

(b) A partir del resultado anterior calculese el campo B ¿Como son las lıneas de campo magneti-co?

(c) Determınense las corrientes de magnetizacion. ¿Como son las lıneas de corriente?

12.9. El campo magnetico de la Tierra corresponde aproximadamente al creado por un dipolo magneticosituado en su centro. Sabiendo que el valor absoluto del campo magnetico en Sevilla (latitud 37.4)es de (5 ± 2) × 10−5 T y que el radio de la tierra es de 6370 ± 10 km, calculese:

(a) El momento magnetico de la Tierra.

(b) El angulo que, en Sevilla, formara con la horizontal una aguja suspendida libremente.

(c) El campo magnetico en el Polo Norte y en un punto del ecuador. ¿Que angulo formara conla horizontal en esos puntos?

Admıtase que el Polo Norte Magnetico coincide con el Polo Norte Geografico.

12.10. Se construye un transformador con tres bobinados como el mostrado en la figura. Las barras soncuadradas y de lado b. Las “ventanas” son tambien cuadradas y de lado a, mientras que el grosordel nucleo magnetico, b, es mucho menor que la longitud a. Se admite que el material del nucleoes ideal (µ → ∞).

Arrollados en tres lados del transformador hay sendos solenoides con N1, N2 y N3 espiras, respec-tivamente. Los bobinados son todos en el mismo sentido.

Determınese, aproximadamente, el campo magnetico en cada tramo del transformador cuando porlos solenoides circulan corrientes I1, I2 e I3.

12.11. Supongase que en el transformador del problema 12.10 se hace un corte en uno de los brazos.El espesor del entrehierro, δ, es pequeno comparado con las restantes dimensiones del sistema(δ b a). Calculese aproximadamente el campo magnetico en el entrehierro.

a

a

b

N1 N2 N3

a

a

b

N1 N2 N3




12.12. ¿Como cambian los resultados del problema 12.2 si ademas se considera el efecto del campomagnetico terrestre? Suponganse dos casos:

(a) Que el campo de la Tierra es paralelo a la lınea que une los centros de las brujulas.

(b) Que es perpendicular a esta direccion.

12.13. Sea un medio semiinfinito de permitividad µ, situado en x < 0. El resto del espacio esta vacıo.Paralelamente a su superficie y a una distancia a de la misma se coloca un hilo, por el cual circulauna corriente I. Introduciendo las corrientes imagen adecuadas (analogamente al caso electrico),hallese el campo magnetico en todo el espacio. ¿Cuanto valen las corrientes de magnetizacion?Considerense unicamente los lımites µ = 0 (superconductor) y µ → ∞ (material perfectamenteparamagnetico).

12.14. Una esfera superconductora (µ = 0) se encuentra en el seno de un campo magnetico que en elinfinito es uniforme B = B0uz. Hallese:

(a) El campo magnetico en todos los puntos del espacio. Para ello, supongase que, en el exterior,B puede escribirse en la forma

B = B0 +2C cos θ

r3ur +

C sen θ

r3uθ

y hallese el valor de C.

(b) Las corrientes superficiales inducidas en la esfera.

(c) El momento magnetico de la esfera. Se comporta como un material diamagnetico o para-magnetico?



Campos Electromagneticos. Boletın 13. Abril de 2001

Problemas basicos

13.1. Se tiene un solenoide largo de seccion S, por el cual circula una corriente variable en el tiempoK0(t). Dos voltımetros miden el voltaje entre dos puntos A y B, diametralmente opuestos, de uncircuito formado por dos resistencias R1 y R2, tal como se ve en la figura. Hallense las lecturas delos voltımetros. ¿Coincidiran estas? ¿Por que?

13.2. Supongase que se posee una casa en el campo, sobre la cual pasa una lınea de alta tension por lacual circula una corriente I0 cos(ωt), y se decide aprovechar esta molesta situacion.

Para ello, se dispone de una cierta cantidad de hilo de cobre de diametro D. Con este hilo seconstruye un rectangulo de lados a y b, que se dispone paralelamente al cable de alta tension. Pormotivos de seguridad, la distancia mınima al hilo es c. A este hilo se conecta una resistencia R, quepuede ser la de una bombilla.

Hallese la fuerza electromotriz inducida en el circuito por la intensidad que circula por el cable dealta tension, la energıa W consumida en la resistencia R en un periodo y la potencia promedioW/T . ¿Para que valor de R es maxima esta potencia?

Calculese el valor numerico de esta potencia si I0 = 4kA, ω = 100π s−1, a = 6m, b = 50,m,c = 1m. La conductividad del cobre es σ = 5.9 × 107S/m y el diametro del hilo es 1mm. ¿Podraencenderse una bombilla?

13.3. Se tienen dos anillos metalicos. Ambos anillos estan centrados en el origen de coordenadas. Unode ellos posee radio b y esta situado en el plano xy. El otro es de radio a esta inclinado, de formaque su normal forma un angulo θ con el eje z. El radio b es mucho mayor que a.

(a) Determınese el coeficiente de induccion mutua entre los dos anillos a partir del flujo del campodel anillo exterior a traves del anillo interior (tengase en cuenta que este es muy pequeno),cuando por el anillo exterior circula una corriente I1.

(b) Hallese el coeficiente de induccion mutua a partir del flujo del campo del anillo interior (quees practicamente un dipolo) a traves del anillo exterior cuando por el anillo interior circula unacorriente I2. ¿Son iguales los dos coeficientes?

V1 V2

R1 R2K0( )t

A

B

c

a

bR

I t0cos

n

uz

b

a



13.4. Supongase la misma configuracion geometrica del problema 13.3. Por el anillo exterior se hacecircular una corriente constante I0. El anillo interior se hace girar en torno al diametro comun, deforma que el angulo θ varıa con frecuencia constante ω. Despreciando los efectos de la autoinduc-cion, hallese la corriente que circula por el anillo interior.

Calculese la energıa disipada en este anillo durante un periodo de revolucion. ¿De donde procedeesta energıa?

13.5. Tres solenoides cilındricos muy largos se disponen concentricamente. Dichos solenoides poseen lamisma longitud L y el mismo numero de espiras, las cuales estan arrolladas en el mismo sentido.Los radios de las bobinas son, respectivamente, a, b y c (a < b < c).

(a) Determınese la matriz de inducciones mutuas del sistema.

(b) Supongase que se conectan el extremo superior de la bobina interior con el extremo superiorde la exterior. ¿Como queda entonces la matriz de inducciones mutuas del nuevo sistema dedos conductores?

13.6. Se tiene un cable coaxial formado por un nucleo conductor macizo de radio a y una cascarametalica concentrica de radio b (a < b). Por el cilindro interior circula una corriente total +Idistribuida homogeneamente por el volumen, mientras que por el exterior circula una corriente−I. Hallese el coeficiente de autoinduccion por unidad de longitud del cable coaxial, a partir de laenergıa acumulada por unidad de longitud.


13.7. Dos cables paralelos, de longitud l, seccion s y conductividad σ, que distan una cantidad a, estanunidos por uno de sus extremos por un hilo sin resistencia. En la region rectangular de lados l y aexiste un campo magnetico uniforme en el espacio y variable en el tiempo B0(t). Si el circuito secierra con un amperımetro de resistencia interna despreciable, ¿cual sera la corriente que indicaraeste si el amperımetro esta en la posicion (a)? ¿Y si esta en la (b)? ¿Y si esta en la (c)? ¿Y en la (d)?

Si colocamos simultaneamente tres amperımetros en las posiciones (b), (c) y (d), ¿que indicara cadauno?

ac bab

h

a

l

B

A

a

l/2

B

A

(a)

(b)

a

l/2

B

A

l/2

a

B

A

(c)

(d)



13.8. Una espira cuadrada de resistencia R se mueve con velocidad constante v = vux a lo largo delplano z = 0. La espira esta inmersa en un campo magnetico constante, pero no uniforme B =k(zux + xuz). ¿Habra una fuerza electromotriz a lo largo de la espira? ¿Como explica la misma unobservador situado en reposo? ¿Y uno montado en la espira?

¿Cual es la energıa disipada en la espira? ¿De donde sale esta energıa?

13.9. Una esfera conductora que se encuentra imanada axialmente gira con velocidad angular constante,ω0, en torno al eje de la imanacion. Un voltımetro se conecta, mediante contactos deslizantes, alecuador y al polo norte de la esfera. ¿Habra lectura en el voltımetro? ¿Cual es la causa de estaf.e.m.?

Calculese cuanto senalara el voltımetro para una magnetizacion de 105 A/m en una esfera de 2 cmde radio que gira con un periodo de 1 s.

13.10. Supongase que en una region del espacio existe un campo magnetico

B = k(zux + xuz)

En el plano xy y centrado en el origen se encuentra un anillo de un material de conductividad σ yseccion S. El anillo tiene radio a. Soldada a este anillo se encuentra una varilla del mismo material,de longitud 2a. La varilla esta situada en un diametro del aro.

El anillo gira con velocidad angular uniforme ω = ωuz, en torno a su centro. Calculense lascorrientes que circulan por el sistema.

¿Como quedarıan los resultados si en lugar de un diametro tuvieramos tres radios, unidos en elorigen y formando angulos de 120?

13.11. La figura representa un carril metalico superconductor por el cual puede deslizarse una varilla hori-zontal, tambien superconductora. Esta varilla esta inmersa en un campo uniforme B0 y cae por laaccion de la gravedad.

Inicialmente se encuentra en reposo y no circula intensidad por el circuito. En este momento sesuelta. Determınese la ecuacion de movimiento y la posicion de la varilla en funcion del tiempo siel circuito esta cerrado por:

(a) Una resistencia R (b) Un condensador C (c) Una autoinduccion L.

Estudiese en cada caso el balance energetico del sistema.

M0

V

0

a

B

x

yB

Z

g

v

x

y

z



13.12. Se tienen dos solenoides cilındricos concentricos de longitud h, muy grande. Los solenoides tienenradios a y 2a, respectivamente, y estan construidos con N espiras de un material superconductor,arrolladas en el mismo sentido.

Supongase que los extremos del cilindro interior estan cortocircuitados por un hilo tambien super-conductor y que, inicialmente, no circula corriente por este solenoide. Los extremos de la bobinaexterior estan inicialmente unidos a un generador de intensidad que produce una corriente I0. Ent = 0, esta bobina se desconecta del generador y se cierra el circuito a traves de una resistencia R.

(a) Calculense las corrientes que circulan por cada solenoide en cualquier instante posterior.

(b) Hallese la energıa almacenada inicialmente, la energıa final y la potencia disipada en la resis-tencia a lo largo del tiempo.

13.13. Determınense los coeficientes de induccion mutua y autoinduccion para el circuito magnetico delproblema 12.10.

Una vez hallados los Lij, supongase que el solenoide 1 se conecta a un circuito, mientras que lossolenoides 2 y 3 se conectan entre sı (extremo superior con superior e inferior con inferior). Laconexion entre los solenoides se hace a traves de un cable ideal sin resistencia, siendo tambiendespreciable la resistencia de los hilos de las propias bobinas. En estas condiciones, ¿cual es laautoinduccion que se ve desde el circuito conectado al solenoide 1?

13.14. Se tienen dos solenoides de seccion cuadrada de lado a. La longitud de ambos solenoides es L(L a) y el numero de vueltas es N1 y N2, respectivamente. Ambos solenoides se colocan deforma que intersecan, tal como muestra la figura.

Hallense los coeficientes de autoinduccion y de induccion mutua. Calculese la componente de lafuerza entre los solenoides en la direccion de la recta que pasa por sus centros cuando estos seencuentran a una distancia x.

a2a

h

I0

R

a

a

b

N1 N2 N3

ax




13.15. En la region alrededor del origen existe un campo magnetico de la forma

B(ρ, z) = C(ρuρ − 2z uz)

Supongase que en este campo se encuentra un anillo de masa m y radio a con una carga total quniformemente distribuida. Este anillo se encuentra inicialmente en reposo en el plano z = 0 concentro el origen. En t = 0 se le comunica una velocidad vertical inicial v0 = v0uz.

(a) Razonese que, como consecuencia de su movimiento, el anillo comienza a girar en su plano.¿Hacia donde? Calculese el par total ejercido sobre el anillo cuando se encuentra a una alturaz y se mueve con una velocidad v; hallese una ecuacion para la variacion de la velocidadangular.Nota:

τ =dLdt

=∫

r ∧ dF L = ma2ω

(b) Justifıquese que, debido a la rotacion, aparece una fuerza vertical sobre el anillo. Calculese suvalor cuando el anillo se encuentra a una altura z y gira con velocidad angular ω; hallese unaecuacion para la variacion de la velocidad vertical.

(c) Demuestrese que la cantidad12mv2 +

12ma2ω2

permanece constante en el tiempo. ¿Que representa esta cantidad? ¿Cual es el papel delcampo magnetico desde el punto de vista energetico?

(d) Resuelvase el sistema de ecuaciones para v y ω. Descrıbase el movimiento resultante.

13.16. Para construir un solenoide, se hace un devanado deN espiras de un material muy buen conductor(podemos suponerlo perfecto) de radio a y longitud h. Las espiras se arrollan sobre una cortezacilındrica de radio a y espesor δ (δ a). La corteza posee una cierta conductividad σ. El hilo dela bobina esta esmaltado para evitar el contacto electrico entre dos vueltas consecutivas o con elcilindro soporte.

Hallese la impedancia del elemento de circuito teniendo en cuenta la resistencia del cilindro soporte(pero despreciando su autoinduccion) y construyase un circuito equivalente.



Campos Electromagneticos. Boletın 14. Mayo de 2001

Problemas basicos

14.1. Se tiene un condensador formado por dos placas circulares planas y paralelas, de radio b y separa-das una distancia a (a b); entre ellas hay vacıo. Entre los centros de las placas se establece unatension V0 cos ωt.

(a) Hallese, en primera aproximacion, el campo electrico que se establece entre las placas.

(b) Determınese el campo magnetico inducido entre las mismas, segun la ley de Ampere-Maxwell,para una distancia r del eje que une los centros de los discos.

(c) Calculese, la primera correccion en el campo electrico obtenido en (a), de acuerdo con laley de Faraday. ¿Para que valor del radio empieza a ser importante esta correccion (esto es,comparable al campo estatico)?

(d) Indıquese como serıan las siguientes correcciones, tanto en E como en B.

14.2. Si existieran las cargas magneticas, ¿como cambiarıan las ecuaciones de Maxwell?, ¿serıa entoncesconsistente la ley de Faraday?

14.3. El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuen-tra lleno de un material ohmico, de permitividad ε, conductividad σ, y permeabilidad magneticaµ0. El radio de las placas es b, y la distancia entre ellas es a (a b). La placa superior estapermanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tension V (t).

(a) Despreciando los efectos de borde y la induccion electromagnetica, hallese el campo electricoentre las placas y la corriente total que fluye entre ellas.

(b) Calculese el campo magnetico entre las placas, teniendo en cuenta que en el eje B = 0.

(c) Hallese el vector de Poynting en el espacio entre las placas, ası como su flujo a traves de unasuperficie cilındrica de radio b y altura a, concentrica con el sistema.

(d) ¿A que equivale este flujo del vector de Poynting? ¿En que caso es nulo? ¿Que representa estecaso?

a

b

V t( )

Problema 14.3


14.4. En la region en torno al origen de coordenadas, existe un campo electromagnetico que deriva delos potenciales (en esfericas)

A = −kvrt2

2ur V =

k(2r3 + 3c2vt3)6

(k y v son constantes). Calculense los campos E y B en esta region. Repıtanse los calculos para lospotenciales

A = 0 V = −kr2

6(3vt − 2r)

y para el caso

A = −krt

2(vt − 2r)ur V = 0

¿Cuanto valen las fuentes de los campos electromagneticos en cada caso?

14.5. En una region del espacio vacıo existe un campo electromagnetico dado por

E = Axytux B =At2x

2uz

(a) Demuestrese que este campo es solucion de las ecuaciones de Maxwell.

(b) Calculense las fuentes del campo y compruebese que se cumple la ley de conservacion de lacarga.

(c) Hallese la densidad de energıa electromagnetica, el vector de Poynting y la potencia desarro-llada por el campo electromagnetico sobre las fuentes. Verifıquese que se satisface el teoremade Poynting en forma diferencial.


14.6. Demuestrese que las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre de fuentes son invariantes ante latransformacion

E′ = E cos α + cB sen α

B′ = −1cE sen α + B cos α

donde α es una cierta constante.

Pruebese asimismo que la densidad de energıa electromagnetica y el vector de Poynting no se venafectados por esta transformacion.

14.7. En un plasma, la densidad de corriente se relaciona con el campo electrico en la forma

∂J∂t

= ε0ω2pE

(a) Demuestrese que el teorema de Poynting en forma diferencial puede, para este medio, escri-birse como

∇ · P +∂w

∂t= 0

¿que representa la cantidad w?

(b) Determınese la ecuacion para las ondas electromagneticas en un plasma (admıtase que ladensidad de carga libre es nula). ¿Cual es la relacion que liga la frecuencia con el numero deonda?


14.8. Un determinado campo electromagnetico en el vacıo,en ausencia de fuentes, puede escribirse enla forma

E = E0 cos(ωt − kx)uy B = B0 cos(ωt − kx)uz

A partir de la circulacion del campo electrico a lo largo de un cuadrado de lado λ/2 = π/k situadoen el plano xy, y de la circulacion del campo magnetico en un cuadrado semejante del plano xz,hallense:

(a) La relacion entre ω y k.

(b) La relacion entre E0 y B0.

14.9. En una region del vacıo libre de cargas y de corrientes, el campo electrico vale

E = E0 cos(ωt) cos(kz)ux

A partir de este campo, hallese

(a) El campo magnetico

(b) La relacion entre ω y k.

(c) La densidad de energıa electrica

(d) La densidad de energıa magnetica.

(e) La densidad de energıa total.

(f) El promedio temporal de las cantidades anteriores, definiendo el promedio de una cantidadcomo

〈A〉 =1T

∫ T

0A(t)dt

(T =

2πω

)

(g) El vector de Poynting y su promedio.

¿A que corresponde este campo electrico?

14.10. Supongase que la permitividad de un medio puede escribirse como

ε = ε0

(1 +

χ

1 + ω2/ω20

)

Determınese la relacion de dispersion que liga ω y k para una onda plana que se propaga en estemedio. Supongase que µ = µ0 para todas las frecuencias y que la conductividad es nula.


14.11. Se tienen dos placas perfectamente conductoras, de longitud l y anchura w situadas paralelamente,una en z = 0 y la otra en z = d. Las placas se encuentran unidas en x = l por una fina capa deespesor δ de un material con una alta conductividad σ, tal como muestra la figura.

Se trata de hallar la impedancia y el circuito equivalente para este elemento cuando se encuentrasometido a una senal alterna de baja frecuencia. Para ello, supongase en primer lugar una senal decorriente continua. Despreciando efectos de borde (lo que implica suponer E = Euz, B = Buy)hallese el campo electrico y el campo magnetico en todos los puntos entre las placas. A partir deaquı, determınese la relacion entre la intensidad que entra por las placas y la tension a la entradadel elemento. ¿Puede este elemento ser considerado una resistencia?

Calculese la carga que se almacena en las placas y relacionesela con la misma tension, ¿correspondeel resultado al comportamiento de un condensador?


Hallese el flujo del campo magnetico en la zona entre las placas y relacionese el mismo con laintensidad. ¿Es el elemento una autoinduccion?

Supongase ahora que la frecuencia no es nula, pero sı pequena. A partir de la ley de Faradaycalculese la lectura en el voltımetro hasta primer orden en ω. A partir de la ley de Ampere–Maxwell(o de la ley de conservacion de la carga) hallese la lectura del amperımetro hasta el mismo orden.

Calculese la impedancia y disenese un circuito equivalente.

Discutanse los lımites σ → 0 y σ → ∞. ¿Existe algun otro valor senalado para σ?

14.12. Estudiese la atenuacion de las ondas electromagneticas en un material conductor. Para ello supongaseque tenemos un medio de conductividad σ muy alta, de forma que

J = σE µ0ε0∂E∂t

Admıtase dependencia sinusoidal para los campos, de forma que estos puedan escribirse como

E = Re(E0e

i(ωt−kz)ux

)

B = Re(B0e

i(ωt−kz)uy

)

(a) Escrıbanse las ecuaciones de Maxwell en forma fasorial en este medio.

(b) Determınese la relacion de dispersion que liga ω con k. Admıtase que ω es real. ¿Que significaque k tenga una parte imaginaria?

(c) ¿Cual es la relacion entre los modulos E0 y B0?

(d) ¿Cual es el desfase entre E y B? (este se calcula a partir del argumento del cociente B/E)

(e) ¿A que distancia de la pared la intensidad de campo se ha reducido en un factor 1/e? (este esel llamado espesor de la pelıcula).

(f) ¿Cual es la densidad de energıa electromagnetica, promediada sobre un periodo, en funcionde z? ¿Por que disminuye con la distancia?

x

z

y

V

A

l

d

Problema 14.11


14.13. En un hilo rectilıneo de longitud infinita se establece una corriente escalon I = I0Θ(t). De-termınense los campos electrico y magnetico producidos por esta corriente.

14.14. El campo electromagnetico debido a una antena corta tiene por potencial vector (en esfericas)

A = Re(

µ0I0l

4πrei(kr−ωt)uz

)

siendo I0 la amplitud de la intensidad oscilante y l la longitud de la antena.

(a) Hallese el campo magnetico y, a partir de este, el campo electrico, en todos los puntos delespacio.

(b) ¿A que se reducen los campos E y B cuando r es grande?

(c) Hallese el valor del vector de Poynting para r grande, su promedio sobre un periodo y su flujoa traves de una superficie esferica.

Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Superior de IngenierosIngeniería de Telecomunicación

Campos Electromagnéticos

Primer Parcial, Enero de 2001

Optica

O.1. Teorıa: (1.25 puntos) Se supone estigmatismo riguroso entre dos puntos conjugados A y A′,tras producirse una unica reflexion o refraccion en una superficie. Razonese, dependiendo de lanaturaleza de A y A′ (real/virtual), cuales son estas superficies.

O.2. Problema: (1.25 puntos) Un instrumento optico consta de dos lentes, L1 y L2, acopladas en losextremos de un tubo lleno de aire. Las lentes tienen las siguientes caracterısticas:

• L1 es planoconvexa, de ındice n = 1.5, espesor ∆′1 = 2 cm y |r| = 15 cm.

• L2 es biconvexa, delgada, con f ′ = 15 cm en aire.

(a) Calculese la focal imagen de L1 y la posicion de sus planos principales.

(b) Si la longitud x del tubo es variable, determınese que longitud ha de tener para lograr unsistema afocal en aire.

Teorıa

(1.5 puntos) ¿Que es la polarizacion de un material? ¿Cual es el potencial electrico debido a ella?Este potencial equivale al de una distribucion de cargas; determınese su expresion. ¿Como quedan lasecuaciones de la electrostatica cuando existe una polarizacion?

Aplicacion:

(1 punto) Se tiene una esfera de radio R, centrada en el origen, compuesta de un material con unapolarizacion dada por la expresion, en coordenadas cilındricas,

P = A (ρuρ − zuz)

Hallese la distribucion de cargas equivalente y el potencial electrico en el centro de la esfera.

x

L1

L2

Problema O.2



Primer Parcial, Enero de 2001

Problemas

P.1. (2.5 puntos) Se tiene una distribucion de carga uniforme ρ0, que ocupa un volumen cilındrico deradio R y longitud infinita. En este cilindro se ha horadado un hueco esferico, tambien de radio R.Se toma como eje z el del cilindro y origen de coordenadas el centro del hueco.

(a) Hallese el campo electrico en el interior del hueco.

(b) Calculese el potencial electrico en el hueco, tomando como origen de potencial el centro delhueco.

(c) Calculese el trabajo para mover una carga q desde el punto Ruz al punto Rux, a lo largo deun arco de circunferencia sobre la superficie del hueco.

P.2. (2.5 puntos) En una esfera metalica de radio R se han hecho dos cavidades, tambien esfericas, deradio R/2. Concentricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metalicas de radioR/4. No hay mas conductores en el sistema.

(a) Supongase que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada, mientras que las interioresse encuentran a tension V0 y 0, respectivamente. ¿Cual es la carga en cada conductor? ¿Y elpotencial?

(b) Sin modificar las conexiones anteriores, se acerca una carga puntual q, que se situa a unadistancia 2R del centro del sistema. ¿Cuales son los nuevos potenciales de los conductores?¿Y sus cargas?

R

q

V0

Problema P.1 Problema P.2



Segundo Parcial, Junio de 2001

Optica

O.1. (1.5 puntos) Un haz de rayos paralelos, procedentes de una fuente estrictamente monocromatica,de longitud de onda λ, incide sobre la pantalla A provista de dos rendijas muy pequenas S1 y S2,separadas una distancia a.

La pantalla de observacion B se encuentra en el plano focal de la lente L, de focal imagen f ′ (verfigura).

(a) Hallese la diferencia de camino optico y la diferencia de fase entre dos rayos luminosos que,provenientes de S1 y S2, respectivamente, interfieren en un punto M de la pantalla B.

(b) Calculese la interfranja i de este campo interferencial.

(c) Si en el trayecto de los rayos que provienen de S2, se coloca una lamina de ındice n y espesore (ver figura)

c.1. ¿Como se modifican los parametros indicados en el primer apartado?c.2. Calculese el desplazamiento que experimenta una franja al interponer la lamina.

O.2. (1 punto) Consideremos las siguientes configuraciones de iluminacion:

(a) Una pequena bombilla, que puede considerarse estrictamente puntual (intensidad isotropa)cuelga mediante un cable del techo de una habitacion. ¿Cual es la relacion entre el flujo total,emitido en todas direcciones y la intensidad de emision?

(b) Si cambiamos esta bombilla por una lampara lambertiana de area ds adherida al techo, ¿comovarıa la intensidad luminosa en funcion del angulo que la direccion de emision forma con lanormal a dicha superficie?

(c) Colocamos un sello, de superficie ds′ sobre una mesa a una distancia d del pie de la perpen-dicular trazada desde la lampara. Si la mesa dista una distancia h de la lampara, ¿cual es elflujo luminoso recibido por el sello en funcion de d y h.

L B

M

x.

A

S1

S2

f'

A

S1

S2

e

n

O.1 O.1 (c)




Teorıa

(2.5 puntos) Enunciese matematicamente la ley de Faraday (en forma diferencial e integral) y descrıbasesu contenido y consecuencias. ¿Cuales son las diferencias principales entre un campo electrostatico y uncampo electrico inducido? Sabiendo que existen estas diferencias, ¿como se sabe que el campo inducidoes un campo electrico y no, por ejemplo, uno magnetico?

Aplicacion:

En una region rectangular existe un campo magnetico constante y uniforme B = B0uz. Sumergida eneste campo se encuentra una espira rectangular, formada por cables perfectamente conductores. En unode los lados se encuentra un amperımetro ideal y en el opuesto un voltımetro, tambien ideal. Entre estosdos lados se encuentra una barra, que posee una resistencia R. Esta barra se mueve con velocidadv = vux. ¿Cuales son las lecturas del amperımetro y del voltımetro?

Supongase que se intercambian las posiciones de la barra y el voltımetro, siendo este el que se mueve,¿Cuales son entonces las lecturas?

x

y

z

B

v AVR

B

vAVR

( )a ( )b

Aplicacion




Problemas

P.1. (2.5 puntos) Una varilla de hierro (σ = 1.0 × 107 S/m) de radio a = 2mm y longitud h = 10 cmatraviesa dos arandelas de aluminio (σ = 3.8 × 107 S/m) de radio interior a y exterior b = 1cm,con espesor c = 1mm. Las arandelas se colocan a h/4 de los extremos. El conjunto es introducidodentro de un tubo de cobre (σ = 5.7 × 107 S/m), de radio b y espesor e = 1mm. La longitud deltubo es tambien h. El sistema queda como en la figura.

(a) Supongase que se mide la resistencia entre los extremos del tubo de cobre, ¿cual sera elresultado?

(b) ¿Cuanto vale la resistencia medida entre los extremos de la varilla de hierro?(c) ¿Como cambian los resultados si las arandelas se alejan entre sı, acercandose a los extremos?

Nota: Los valores numericos solo deben sustituirse en el resultado final, no en los calculos inter-medios.

Sugerencia: Calculese previamente la resistencia de una corona circular suponiendo potencialesdistintos en sus radios interior y exterior.

P.2. (2.5 puntos) Un cable coaxial esta formado por un nucleo metalico cilındrico, de radio a, rodeadode una capa de dielectrico, de permitividad ε1, con radio exterior b y una corteza exterior metalicade pequeno espesor. Rodeando a esta corteza hay otra capa de dielectrico de permitividad ε2, deradio exterior c. La permeabilidad de todos los materiales es igual a la del vacıo.

La corteza metalica exterior se encuentra permanentemente a tierra, mientras que el nucleo se hallaa una tension V .

(a) Hallese la energıa almacenada en un segmento de cable de longitud h. A partir de estaenergıa, calculese la capacidad por unidad de longitud del cable coaxial.

(b) Supongase que el cable se alinea con el eje z y que se aplica un campo magnetico uniformeen la direccion del eje x. Hallese la densidad de flujo de energıa electromagnetica en cadapunto del espacio y la cantidad de energıa que fluye a traves de una seccion transversal delcable coaxial.

a

e

c

h

h/4

b

b c

a

B

P.1 P.2



Examen Final, Junio de 2001• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios O.1,

O.2 y T.1

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejerciciosO.3, O.4 y T.2

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios O.1, O.4y T.2

No se corregiran respuestas a problemas diferentes de los indicados

Teorıa

T.1. [1P] (2.5 puntos) ¿Como se define el vector desplazamiento electrico? ¿Para que se define estecampo auxiliar? ¿En que unidades se mide? Escrıbanse las ecuaciones de la electrostatica incluyen-do este campo, ¿son completas estas ecuaciones? ¿Como se escriben estas ecuaciones en formaintegral?

Aplicacion

Se tiene una esfera metalica sumergida hasta la mitad en un medio dielectrico de permitividad ε,por encima del medio esta el vacıo. La esfera almacena una carga Q. Hallese el campo electrico yel vector desplazamiento en todos los puntos del espacio (supongase que los campos son radiales).¿Cuanto vale la carga de polarizacion en el dielectrico?

T.2. [2P-T] (2.5 puntos) Escrıbanse el teorema de Poynting para la energıa electromagnetica, tantoen forma diferencial como en forma integral. Interpretese cada uno de los terminos que aparece enla ecuacion.

Aplicacion

En un volumen cilındrico de radio R y altura h en torno al eje z existe un campo electromagneticodado por las expresiones (en coordenadas cilındricas)

E = −kρ2

3uϕ B = kρtuz

Verifıquese el teorema de Poynting para este recinto calculando cada termino por separado.



Examen Final, Junio de 2001

Optica

O.1. [1P-T] (1 punto) Escrıbase la ecuacion diferencial de un rayo en forma vectorial. A partir de estaecuacion,

(a) Demuestrese que en un medio homogeneo e isotropo (ındice de refraccion n = cte), lastrayectorias de la luz son lıneas rectas.

(b) Demuestrese que el gradiente del ındice de refraccion es una combinacion lineal de los vecto-res tangente, T, y normal, N, a la trayectoria.

(c) Si definimos el vector curvatura κ de un rayo como

κ =dTds

=N

donde el radio de curvatura, compruebese que a lo largo de la trayectoria se verifica que:

|κ| =1

= N · ∇(log n)

O.2. [1P] (1.5 puntos) Se considera un sistema dioptrico (lente gruesa) en aire con f ′ = 0.4m. Unespejo concavo de 0.1m de radio se situa a 0.9m a la derecha del plano principal imagen delsistema.

Hallese la imagen de un objeto situado a 0.5m a la izquierda del punto principal objeto.

O.3. [2P] (1 punto) Supongamos que un dispositivo interferometrico de Young se ilumina con unafuente luminosa puntual, no estrictamente monocromatica, cuya longitud de coherencia es l0. De-muestrese la relacion existente entre el factor de contraste V (o visibilidad) de las franjas y l0.

O.4. [2P-T] (1.5 puntos) Consideremos la interferencia de dos ondas luminosas, planas, monocromaticas,de la misma longitud de onda λ, coherentes y de la misma amplitud A. Una de las ondas se propa-ga a lo largo del eje Oz y la otra, a lo largo de una direccion que forma con Oz un angulo θ (veasela figura).

l

x

z

placa

Se registran los fenomenos de interferencia sobre una placa foto-grafica situada en el plano z = 0. Calculese:

(a). La distribucion de intensidades en la placa.

(b). El valor de la interfranja.

(c). Si la longitud de la placa a lo largo de la coordenada x esl, ¿Cuantas franjas brillantes han impresionado la placa? Si λ =632.8 nm, θ = 5 × 10−2rad y l = 15 cm, ¿son visibles las franjas a

simple vista?



Examen Final, Junio de 2001• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios P.1

y P.2

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejerciciosP.3 y P.4

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios P.2 y P.4

No se corregiran respuestas a problemas diferentes de los indicados

Problemas

P.1. [1P-T] (2.5 puntos) Se tiene un sistema de conductores formado por dos partes iguales. cadaparte esta constituida por una esfera de radio a, rodeada por una corteza metalica de radio 2a. Lasdos partes estan tan separadas que se puede despreciar su influencia mutua.

(a) Hallense los coeficientes de capacidad.

(b) Supongase que mediante largos cables de capacidad despreciable se conectan las esferas inte-riores entre sı y las exteriores entre sı. ¿Cual es la nueva matriz del sistema de dos conductores?

(c) ¿Y si en vez de la conexion anterior se une cada esfera interior de un lado con la exterior delotro?

P.2. [1P] (2.5 puntos) El campo electrico debido a una nube se puede modelar como un disco de radioa situado a una altura h con una carga Q distribuida uniformemente, situado frente a la tierra, quese puede suponer plana.

(a) Hallese el campo electrico en un punto de la superficie terrestre situado bajo el centro de lanube.

(b) Calculese la diferencia de potencial entre este punto y el centro de la nube.

(c) Si una nube tiene de radio a = 1km y se encuentra a una altura de 1.5 km, y el campo enla superficie terrestre es de 10 kV/m hacia arriba, ¿cual es la carga de la nube? (1/4πε0 =9 × 109N · m2/C2).



Examen Final, Junio de 2001

Problemas

P.3. [2P] (2.5 puntos) Se construye un transformador con un toroide formado por dos arcos semici-circulares de dos materiales diferentes (con permeabilidades µ1 y µ2). El radio del toroide es a y suseccion, S es pequena comparada con el radio.

Enrollados en este toroide se encuentran sendas bobinas ideales, de N1 y N2 espiras, respectiva-mente, situadas cada una alrededor de uno de los materiales. Las dos bobinas estan arrolladas en elmismo sentido, pero en lados opuestos del cırculo (vease la figura). Hallese la matriz de coeficientesde induccion mutua y autoinduccion de este sistema.

P.4. [2P-T] (2.5 puntos) Los primeros sistemas de distribucion de corriente para iluminacion eranen serie (esquema a), con todas las bombillas conectadas en serie y la fuente puesta al voltajenecesario. Los sistemas actuales son casi siempre en paralelo (esquema b).

Supongase que se desea calcular que sistema es el mas economico en terminos de la disipacion deenergıa en el cable. Una calle mide L = 1km y las farolas estan separadas una distancia a = 50m,funcionando cada una a V0 = 240V y con una potencia P0 = 500W.

La resistencia del hilo de cobre es mucho menor que la de las bombillas, de forma que a la hora dehallar las corrientes en cada rama no es necesario considerarla (a la hora de hallar las perdidas sı).

Supongase que el sistema trabaja con corriente continua.

(a) ¿Cual es la seccion mınima necesaria para el cable en cada montaje si la densidad de corrienteno puede superar los Jm = 106 A/m2 y debe tener la misma anchura en todos sus puntos(σ = 5.7 × 107 S/m para el cobre).

(b) Se usa el hilo calculado en (a). Hallese:(1). El peso total de cobre usado en el sistema en serie y en paralelo (la densidad del cobre es

aproximadamente ρm = 8000 kg/m3)(2). La potencia disipada en el cobre en cada caso.(3). ¿Que sistema es mas economico en terminos de la cantidad de cobre y en terminos de la

potencia disipada?(c) A la vista de lo anterior, ¿por que se usan montajes en paralelo en lugar de en serie?

Dato: Puede ser necesario saber que

n2 + (n− 1)2 + (n− 2)2 + · · · + 1 =n(n+ 1)(2n + 1)

6∼ n3

3(n grande)

N1 N2

(a)d

L

Rr

(b)d

L

R

r

Problema P.3 Problema P.4



Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2001

Optica

O.1. (1.25 puntos) Demuestrese la ortogonalidad entre los rayos luminosos y las superficies de onda enun medio heterogeneo, pero isotropo, a partir del teorema de Malus-Dupin

O.2. (1.25 puntos) Se considera el dispositivo interferencial denominado espejo de Lloyd. La fuentepuntual S, situada a una distancia h de un espejo plano de lado AB = l, emite en todas direccionesuna radiacion monocromatica, de longitud de onda λ. La distancia d = HA es tal que h d.

(a) Expresese la interfranja y el campo de interferencia, en funcion de las caracterısticas geometricasy opticas del sistema.

(b) Se forma la imagen de P , utilizando una lente delgada convergente, f ′ = 10 cm, situada a12 cm de P . La interfranja en el plano imagen vale 1.5m.Hallese h y el numero de franjas brillantes observadas, sabiendo que la franja en B es oscura,en razon del desfase suplementario igual a π, debido a la reflexion en el espejo.

Teorıa

(2.5 puntos) ¿Como quedan las ecuaciones de la magnetostatica si ademas de las corrientes libres, existeuna magnetizacion en el sistema? ¿Que dos descripciones alternativas son equivalentes a esta magneti-zacion? ¿Como quedan las ecuaciones en cada caso? ¿Como se define el campo H?Aplicacion Se tiene un cilindro de longitud L y radio R, magnetizado segun la ley

M = Ayux

estando situado el origen de coordenadas en el centro del cilindro y siendo el eje z coincidente con el deliman.

Hallense las fuentes escalares o vectoriales equivalentes a esta magnetizacion.

AH

B

S

S'

P

h

d

l

O.2



Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2001

Problemas

P.1. (2.5 puntos) La ruptura dielectrica se produce cuando el campo electrico entre dos conductoressupera un valor crıtico, saltando una chispa en el vacıo, o quemando el dielectrico que pueda haberen medio.

Una situacion en la que puede producirse la ruptura es la siguiente. Suponganse dos placasmetalicas planas de seccion S0 situadas paralelamente a una distancia a una de la otra. La placainferior se encuentra a tierra y la superior a un potencial V0.

(a) Sobre la placa inferior se encuentra depositada una chapa (que podemos suponer plana y deespesor despreciable) de seccion S. Hallese la carga que se deposita en la chapa.

(b) Supongase que esta chapa se separa de la placa inferior, quedandose aislada, y se acerca a lasuperior (manteniendose siempre paralela a ambas). Cuando se halla a una distancia x de laplaca inferior, ¿cual es su tension? ¿Cuanto vale el campo electrico entre la chapa y la placasuperior?

(c) Si el campo para que se produzca la chispa es E0, ¿cual es la posicion x en la cual se producela chispa?

(d) Cuando se produce la chispa, la tension de la chapa pasa a ser V0, ¿cuanto varıa en eseproceso la carga almacenada en la chapa? ¿Y la carga almacenada en la placa superior?


P.2. (2.5 puntos) Se tiene un circuito formado por un condensador de placas planas y paralelas deseccion S y distancia variable a(t). Las placas de este condensador estan conectadas a una fuentede tension continua E a traves de dos hilos ideales, sin resistencia. Estos hilos son de gran longitudl y estan separados una distancia 2b (b l). Entre los hilos se encuentra una espira cuadrada delado b, con resistencia R y autoinduccion despreciable. Esta espira esta a la misma distancia de losdos hilos.

Suponiendo que la distancia entre placas del condensador varıa con el tiempo segun una cierta leya(t), hallese la corriente por los hilos ideales y la corriente inducida en la espira menor.

Despreciese la influencia de la espira pequena sobre la grande.

ax

V0S

S0

CEb2b a t( )

P.1 P.2

Documents

Departamento de Física Aplicada IIIlaplace.us.es/campos/problemas/recopilaciones/0001-cc.pdf · Departamento de F´ısica Aplicada Campos Electromagneticos 1.3´ 1.12. El campo de