Upload
i-gede-gegiranang-wiryadi
View
120
Download
9
Embed Size (px)
Citation preview
DERET 1
DERET BAGIAN II
KELOMPOK II
DERET 2
ANGGOTA KELOMPOK
I GD GEGIRANANG WIRYADI (0904105001)
PUTU LISSA AMBARAWANGI (0904105003)
NI PT LISTYA DEWI (0904105005)
ETTY DWARAWATI (0904105007)
DERET 3
DERET BAGIAN II
HARGA LIMIT DERET KONVERGEN DAN DIVERGEN KAIDAH UJI KEKONVERGENAN DERET MACLAURIN DERET BINOMIAL DERET TAYLOR
DERET 4
Harga Limit
Lim 2n2 + 4n – 3 jika n ~
5n2 + 6n + 1
2n2 + 4n – 3 = 2n2/n2 + 4n/n2 – 3/n2
5n2 + 6n + 1 5n2/n2 + 6n/n2 + 1/n2
Lim 2n2 + 4n – 3 = Lim 2n2/n2 + 4n/n2 – 3/n2
n ~ 5n2 + 6n + 1 n~ 5n2/n2 + 6n/n2 + 1/n2
= 2 + 0 – 0 = 2/5
5 + 0 + 0
NB; pembagian oleh n yang mempunyai pangkat tertinggi
DERET 5
DERET KONVERGEN DAN DIVERGEN DERET KONVERGEN Deret yang jumlah n
sukunya (Sn) ke sebuah harga tertentu (mendekati 0) jika n ~
DERET DIVERGEN Deret yang jumlah n sukunya (Sn) tidak menuju ke sebuah harga tertentu (tidak mendekati 0) jika n ~
DERET 6
Deret Konvergen
Deret : 1+1/3+1/9+1/27+1/81+…
a=1 b=1/3
Sn = 1[1-1/3n]
1-1/3
= 1-1/3n
2/3
= 3/2[1-1/3n]
1/3
n0 ; lim Sn = 3/2 Konvergen
DERET 7
Deret Divergen
Deret : 1+3+9+27+81+…a=1 b=3
Sn = 1 [1-3n] 1-3
= 1-3n
-2
= 3n -1
n~ ; lim Sn = ~ Divergen
DERET 8
UJI KEKONVERGENAN
Suatu deret dapat dikatakan konvergen bila telah diuji dengan beberapa jenis uji yang dapat memberikan kepastian tentang sifat konvergen. Ada beberapa jenis uji konvergensi bagi deret, diantaranya :
Uji Awal (Preliminary Test)
Uji Perbandingan (Comparison Test)
Uji Pembagian D’Alembert untuk deret bersuku positif
DERET 9
Uji Awal (Preliminary Test)
Uji ini dilakukan pertama kali sebagai uji apakah deret bisa bersifat konvergen atau bahkan divergen.
suatu deret dapat langsung dinyatakan bersifat divergen, atau deret masih memiliki kemungkinan bersifat konvergen.
lim n0 an = 0 , ada kemungkinan deret konvergen
lim n0 an ≠ 0 , deret pasti divergen
DERET 10
Tinjau Suatu Deret
DERET 11
Uji Perbandingan (the Comparison test)
Suatu Deret yang telah diketahui bersifat konvergen
Digunakan untuk membandingkan deret dimana,
DERET 12
Tijauan
DERET 13
Hasil
DERET 14
Dengan demikian
Dapat dinyatakan bersifat Konvergen
DERET 15
Uji Pembagian A’Delambert untuk deret bersuku positifDeret U1+U2+U3+U4+…+Un+… adalah deret positif
Carilah pernyataan untuk Un dan Un+1, yaitu suku ke-
n dan suku ke (n+1)
Bentuk pembagian Un+1
Un
Tentukan harga limit pembagiannya bila n ~
DERET 16
Lim Un+1 < 1, deretnya konvergen
n~ Un
Lim Un+1 > 1, deretnya divergen
n~ Un
Lim Un+1 = 1, deretnya mungkin konvergen atau
n~ Un divergen
DERET 17
Deret Secara Umum Kekonvergenan Mutlak Jika Un menyatakan suku ke-n, pada umumnya
mungkin positif atau negatif.
Tetapi |Un|harga numeris Un, sehingga jika U1+U2+U3+… adalah deret dengan suku-suku tercampur(sebagian positif dan sebagian negatif) maka deret |U1| + |U2| + |U3| +… adalah deret dengan suku-suku positif.
Jadi jika ΣUn = 1-3+5-7+9-…
maka Σ |Un| = 1+3+5+7+9+…
DERET 18
DERET MACLAURIN
Deret pangkat tersusun oleh bentukxn atau (x-a)n. Cara Pencarian:
Misalkan :f(x)=a+bx+cx2+dx3+ex4+fx5+…Masukkan x=0, maka f(0)=a+0+0+0+0+… a=f(0)Diferensialkan : f’(x)=b+c.2x+d.3x2+e.4x3+f.5x4+…Masukkan x=0, maka f’(0)=b+0+0+0+… b=f’(0)Diferensialkan : f’’(x)=c.2.1+d.3.2x+e.4.3x2+f.5.4x3+…Masukkan x=0, maka f’’(0)=2!c+0+0+… c=f’’(0)/2!Diferensialkan : f’’’(x)=d.3.2.1+e.4.3.2x+f.5.4.3x2+…Masukkan x=0, maka f’’’(0)=3!c+0+… c=f’’’(0)/3!
dst!!!!
DERET 19
DERET MACLAURIN
Deret Maclaurin adalah penaksiran deret tak hingga.
Dirumuskan:
!)0(
!2)0(
)0()0()(
)(2
n
xf
xf
xffxfn
n
DERET 20
Deret MaclaurinPenderetnan f(x) = ex dalam deret Maclaurin
Jawab :
f(x) = f’(x) = f’’(x) = f’’’(x) = … fn(x) = ex
f(0) = f’(0) = f’’(0) = f’’’(0) = … fn(0) = 1………………………………………………………………..
maka ex = 1 + x + x2 + x3 + … 2! 3!
DERET 21
Rangkuman
ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ……..-∞<x< ∞
Sin x = x – x3/3! + x5/5! - x7/7! +……-∞<x< ∞
Cos x = 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! +……-∞<x< ∞
ln x = x – x2/2 + x3/3 – x4/4 +…….-1<x< 1
tan x = x + x3/3 + 2x5/15 + 17x7/315 +…….|x| < π/2
cot x = 1/x – x/3 - x2/45 – ……. 0<|x|< π
sinh x = x + x3/3! + x5/4! + x7/7! +……. -∞<x< ∞
cosh x = 1 + x2/2! + x4/4! + x6/6! +……. -∞<x< ∞
DERET 22
DERET BINOMIAL
Jika f(x) = (1+x)n , n = bilangan bulat dan -1<x<1, maka:
f(0) = 1
f’(x) =n(1+x)n-1 f’(0) = n
f’’(x) =n(n-1)(1+x)n-2 f’’(0) = n(n-1)
f’’’(x) =n(n-1)(n-2)(1+x)n-3 f’’’(0) = n(n-1)(n-2)
fiv(x) =n(n-1)(n-2)(n-3)(1+x)n-4 fiv (0) = n(n-1)(n-2)(n-3)
…………………………………………………….
DERET 23
Diperoleh Deret Binomial
(1+x)n = 1 + nx + n(n-1) x2 + n(n-1)(n-2) x3 +…
2! 3!
…-1<x<1
(1-x)n = 1 - nx + n(n-1) x2 - n(n-1)(n-2) x3 +…
2! 3!
…-1<x<1
DERET 24
Contoh
1 /1-x = 1 + x + x2 + x3+ x4 +………-1<x<1
1/1+x = 1 - x + x2 - x3+ x4 -………-1<x<1
1 /(1+x)2
= 1 - 2x + 3x2 - 4x3+ 5x4 -………-1<x<1
1 /(1+x)3 = 1 - 3x + 4x2 - 5x3+ 6x4 -………-1<x<1
1/1-x = 1 + x + x2 + x3+ x4 +………-1<x<1
DERET 25
Harga Pendekatan
Gunakan teorema binomial untuk menghitung (1,01)5 dalam bentuk desimal!!
Jawab:(1,01)5 = (1+0,01) 5 koefisien: (1 5 10 10 5 1)
= 1+5(0,01)+10(0,01)2+10(0,01)3+5(0,01)4+(0,01)5= 1+0,05+0,001+0,00001+0,00000005+0,0000000001= 1,0510100501
DERET 26
DERET TAYLOR
Rumus Deret Taylor diturunkan dari Deret Maclaurin
!
)()(
!2
)()())(()()(
00
)(
20
0000
n
xxxf
xxxfxxxfxfxf
nn
0
00
)(
!
)()(
n
nn
n
xxxf
DERET 27
Contoh Deret Taylor
Bentuklah Deret Taylor untuk:
Cari nilai fungsi dan turunannya untuk fungsi pada x0=1
1),ln()( 0 xxxf
DERET 28
Penyelesaian
0)1ln()()ln()( 0 xfxxf
11
1)(
1)( 0 xfx
xf
11
1)(
1)(
202 xf
xxf
11
0)(
1)(
)1()!1(1
)1()!1()(
)1()!1()(
nn
nn
n
nn
nn
xf
x
nxf
21
2)(
2)(
303 xf
xxf
DERET 29
Gunakan rumus umum Deret Tayler
!
)1()1()!1(
!3
)1(!2
!2
)1()1(0)ln(
1
32
n
xn
xxxx
nn
n
x
xxxx
nn )1(
)1(
3
)1(
2
)1()1()ln(
1
32
!
)()(
!2
)()())(()()(
00
)(
20
0000
n
xxxf
xxxfxxxfxfxf
nn
DERET 30
SEKIAN
DERET BAGIAN II