Upload
dian-septiana
View
214
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/7/2019 deret kompleks 150410
1/7
DERET KOMPLEKS
Teorema 6.1.4.
Diberikan n n nz x iy!
untuk setiap n N dan iyxz! .
zz nn
!gp
lim jika dan hanya jika xxnn
!gp
lim dan yy nn
!gp
lim
Bukti :
diberikan bilangan 0"I sebarang. Diketahui zz nn
!gp
lim , berarti terdapat
bilangan asli0n sehingga jika 0nn " berlaku
iyxiyxzz nnn !
I! yyixx nn
Dengan demikian untuk sebarang bilangan 0"I di atas terdapat bilangan
asli 0n sehingga jika 0nn " berlaku
Ie yyixxxx nnn dan I
e yyixxyy nnn
Jadi, terbukti bahwa
xxnn
!gp
lim dan yy nn
!gp
lim
Diberikan bilangan 0"I sebarang
.Diketahui xxnn !gp
lim dan yy nn !gp
lim ,
berarti terdapat bilangan asli1n
dan2n
sehingga jika1nn " berlaku
2
I
xxn dan jika 2nn " berlaku
2
I
yyn
Diambil _ a210 , nnmaksn ! , sehingga jika 0nn " berlaku
iyxiyxzz nnn !
III
!
e
!
22
yyxx
yyixx
nn
nn
Jadi, terbukti bahwa zz nn
!gp
lim
8/7/2019 deret kompleks 150410
2/7
Contoh teorema 6.1.4 :
_ a
!
n
ni
nn
nzbarisannankekonvergePeriksa n
2
25
32
233
2
Penyelesaian :
nnn iyxz !
dimanann
nxn
32
233
2
! dan
n
ny
n2
25 !
2
3
32
23limlim
3
2
!
!
gpgp nn
nx
nn
n
2
5
2
25limlim !
!
gpgp
n
ny
n
n
n
Akibatnya :
2
5
2
3
limlimlim
i
yixzn
nn
nn
n
!
!gpgpgp
Jadi barisan _ anz konvergen ke i532
1
Teorema 6.1.5
Diberikan barisan bilangan kompleks {zn}. Barisan {zn} konvergen jika dan hanya
jika untuk setiap bilangan 0"I sebarang terdapat bilangan asli 0n sehingga jika
0, nn " berlaku
I n zz
Bukti:
Diberikan bilangan 0"I sebarang
.Misa
lkan barisan {zn} konvergen ke z,
berarti terdapat bilangan asli 0n sehingga
Jika 0nn " berlaku2
Izz n dan jika 0nm " berlaku
2
I zz
Jadi terdapat bilangan asli 0n sehingga jika 0, nn " berlaku
8/7/2019 deret kompleks 150410
3/7
nn zzzzzz !
I
II!
e
22
nmzzzz
Diberikan bilangan 0"I sebarang. Diketahui untuk setiap bilangan 0"I
sebarang terdapat bilangan asli0n sehingga jika 0, nnm " berlaku I n zz .
Akan dibuktikan barisan {zn} konvergen. Namakan n n nz x iy! , diperoleh jika
0, nn "
berlaku
I! nnn yyixxzz
Karena itu, jika 0, nn " berlaku
I
e nmnm zzxx dan I
e nmnm zzyy
Jadi, barisan {xn} dan {yn} merupakan barisan Cauchy dari bilangan real. Karena
bilangan reallengkap, maka terdapat 00 , yx sehingga berlaku
0lim xxnn
!gp
dan0lim yy n
n!
gp
Dengan demikian jika0nn " berlaku
0000 iyxiyxiyxz nnn!
III
!!
!
2200
00
yyxx
yyixx
nn
nn
jadi terbukti bahwa000lim ziyxz n
n!!
gp
ada. Dengan kata lain bahwa barisan
{zn} konvergen.
Contoh teorema 6.1.5 :
Perhatikan barisan
n
i
2
3
8/7/2019 deret kompleks 150410
4/7
!
....,.8
3,
4
3,
2
3
2
3 iiiin
Dari suku sukunya dideferensikan sebagai
seterusnyadaniSiSi
S ....,2
1
2
1
2
13,2
1
2
13,2
3323221
!
!!
JelaslahnSmerupakan jumlah deret.
g
!
!
132
2
1
2
1
2
1
2
13
2
3
nnn
ii
Deret ini konvergen, karena bagian dalam kurung pada ruas kanan merupakan
deret ukur (geometric) yang suku pertamanya2
1!a dan perbandingannya
2
1!r .
Dengan menggunakan rumus )1( ra , yang memberikan jumlah deret ukur,
kita mendapatkan bahwa deret di atas konvergen ke 3i.
Teorema 6.1.6
Jika zz nn
!gp
lim dan wwnn
!gp
lim , maka
c. zwwznn
n!
gp
lim
d. 0,11
lim {!gp
zzz n
n
e. 0,lim {!gp
ww
z
w
z
n
n
n
Bukti :
c.Diberikan bilangan 0"I sebarang. Diketahui zz nn !gplim danwwn
n!
gp
lim , berarti terdapat bilangan asli 1n dan
2n sehingga jika
1nn " berlaku
12
w
zzn
Idan jika
2nn " berlaku
12
zww
n
I
Diambil _ a210 , nn aksn ! , sehingga jika 0nn " berlaku
8/7/2019 deret kompleks 150410
5/7
n n n n n n
n n n
n n n
n n n
z w zw z w wz wz zw
z w w w z z
z w w w z z
z w w w z z I
!
!
e
!
Batasi 1 zzn sehingga
zz
zz
zzzz
n
n
nn
e
u
u
1
1
Maka,
12 1 2 1
2 2
n n n n nz w zw z w w w z z
z wz w
I I
I II
e
e
!
Jadi, terbukti bahwa zwwz nnn
!gp
lim
d.Diberikan bilangan 0"I sebarang. Diketahui zz nn !gplim , berarti terdapatbilangan asli
0n
sehingga jika
0nn "
berlaku
2
2
3zzzn
I
Dengan demikian jika0
nn " berlaku
zZn
Znz
zZn .
11 ! =
zZn.
1Znz
= ZnzzZn
1
Batasi zZn 1/2z sehingga
1
2
1 3
2 2
n n
n
n
z z z z
z z z
z z z z
u
u
e !
8/7/2019 deret kompleks 150410
6/7
Maka
I
I
!
!
2
2 2
3
3
2
111
zz
nzz
nz
n
Jadi, terbukti bahwa 0,11
lim {!gp
zzz
nn
Contoh
_ a
_ a
in
ni
zJadi
iio
n
nio
n
ni
yi
xzAkibatnya
n
n
n
ydan
x
diperolehsehingga
n
n
ydan
xdengan
yi
xz
!
amakan
n
ni
zmaka
ni
nzDikatakan
Jawab
zTentukan
ni
nzDiketahui
nn
n
nnn
nn
nn
nn
nnn
nnn
n
nnnnn
n
n
nn
n
21
2lim
1lim,
22.
1
2lim.lim
1
2lim
1lim.
1lim
1lim
21
1
2lim
1
2lim
1lim00lim
1lim
:
1
210
1111
1
21,
2
1
:
1lim
2
1
!
!
!!
!
!
!
!
!!!
!!!
!
!
!
gpgp
gpgpgp
gpgpgp
gpgpgpgpgp
gp
e. 0,lim {!gp wwz
w
z
n
n
n
n
nn
n
n
nz
ww
z.
1limlim
gpgp
!
8/7/2019 deret kompleks 150410
7/7
Akan dibuktikan II """wWn
nn#
n11
000
Sama halnya dengan pembuktian bagian b. Jadi, terbukti bahwa
0,11
lim {!gp wwwnn.
Berdasarkan teorema 6.1.6.c, jika 0,11
lim {!gp
wwwn
ndan zz n
n!
gplim
Maka 0,1
.1
limlim {!!!gpgp
w
w
zz
w
zww
zn
nn
n
n
n
DAFTAR PUSTAKA
Paliouras, D., 1987. Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Jakarta :
Erlangga
Spiegel, Murray R,. 1994. Peubah Kompleks (terjemahan Koko Martono).
Jakarta: Gelora Aksara Pratama
Tim Dosen. 2010. Analisis Kompleks II. Medan : Universitas Negeri Medan