Upload
trinhhanh
View
261
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
Definisi 1
Deret Tak Hingga adalah suatu ekspresi yang dapat
dinyatakan dalam bentuk:
𝑘=1
∞
𝑢𝑘 =𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 +⋯+ 𝑢𝑘 +⋯
Bilangan-bilangan 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, … disebut suku-suku dalam
deret tersebut.
Pandang kembali argumentasi Zeno dalam paradoks di awal,
1
2+1
4+1
8+⋯
Kemudian perhatikan jumlah parsial berikut
𝑠1 =1
2= 1 −
1
2
𝑠2 =1
2+1
4=3
4= 1 −
1
22
𝑠3 =1
2+1
4+1
8=7
8= 1 −
1
23
𝑠𝑛 =1
2+1
4+1
8+ ⋯+
1
2𝑛= 1 −
1
2𝑛
lim𝑛→∞𝑠𝑛 = lim
𝑛→∞1 −1
2𝑛= 1
Jumlah parsial di atas konvergen ke satu
Bilangan 𝑠𝑛 disebut jumlah parsial ke-𝒏 dari deret dan
barisan 𝑠𝑛 𝑛=1+∞ disebut barisan dari jumlah parsial.
Misalkan 𝑠𝑛 adalah jumlah 𝑛 suku pertama deret
tersebut, sehingga diperoleh𝑠1 = 𝑢1
𝑠2 = 𝑢1 + 𝑢2
𝑠3 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3𝑠𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 +⋯+ 𝑢𝑛 =
𝑘=1
𝑛
𝑢𝑘
Note
Dalam Bahasa sehari-hari, kata “barisan” dan
“deret” sering digunakan saling bertukar. Akan
tetapi hal ini tidak berlaku dalam matematika.
Secara matematis, barisan adalah suatu
keterurutan, sedangkan deret adalah suatu
jumlahan. Perbedaan ini sangat penting untuk
diingat.
Definisi 2
Misalkan 𝑠𝑛 𝑛=1+∞ adalah barisan dari jumlahan parsial deret
𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 +⋯+ 𝑢𝑘 +⋯ . Jika barisan 𝑠𝑛 𝑛=1+∞ konvergen
ke suatu limit 𝑆, maka deret tersebut dikatakan konvergen
dan 𝑆 disebut jumlahan dari deret itu, dengan
𝑆 =
𝑘=1
∞
𝑢𝑘
Jika barisan dari jumlahan parsial tersebut tidak konvergen,
maka barisan tersebut disebut divergen. Suatu deret yang
divergen tidak memiliki jumlah.
Tentukan apakah deret berikut
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +⋯
Konvergen atau divergen. Jika konvergen, dapatkan
jumlahnya.
Contoh 1
Jumlah parsial untuk deret ini adalah:
𝑠1 = 1
𝑠2 = 1 − 1 = 0
𝑠3 = 1 − 1 + 1 = 1
𝑠4 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0
Dengan demikian, deret divergen yang tidak
memiliki nilai jumlah
Deret Geometrik
Deret-deret yang telah diberikan di atas merupakan
contoh-contoh dari deret geometrik. Deret Geometrik
merupakan suatu deret yang memiliki bentuk:
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯++𝑎𝑟𝑘−1 +⋯ (𝑎 ≠ 0)
yang mana setiap suku diperoleh dari penggandaan
suku sebelumnya dengan suatu konstanta 𝑟 yang
disebut sebagai rasio dari deret tersebut.
Dapatkan deret geometrik jika
diberikan:
a)𝑎 = 1, 𝑟 = 3
b)𝑎 =2
5, 𝑟 =
1
5
c)𝑎 =1
3, 𝑟 = −
1
3
d)𝑎 = 1, 𝑟 = 1
e)𝑎 = 1, 𝑟 = −1
f)𝑎 = 1, 𝑟 = 𝑥
Contoh 2
Penyelesaian:
Teorema 1
Suatu deret goemetrik
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯++𝑎𝑟𝑘−1 +⋯ (𝑎 ≠ 0)
Konvergen jika 𝑟 < 1 dan divergen jika |𝑟| ≥ 1. Jika
deret tersebut konvergen, maka jumlah deretnya adalah
𝑎
1 − 𝑟= 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯++𝑎𝑟𝑘−1 +⋯
Bukti:
Misalkan bahwa 𝑟 = 1. Untuk 𝑟 = 1, deret tersebut menjadi
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 +⋯+ 𝑎 +⋯
Bukti:
Misalkan bahwa 𝑟 = 1. Untuk 𝑟 = 1, deret tersebut menjadi
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 +⋯+ 𝑎 +⋯
Sehingga jumlah parsial ke-𝑛, 𝑠𝑛 = 𝑛𝑎 dan lim𝑛→+∞𝑠𝑛 = ±∞
Untuk 𝑟 = −1, deret tersebut menjadi
𝑎 − 𝑎 + 𝑎 − 𝑎 +⋯
Sehingga barisan jumlahan parsial 𝑎, 0, 𝑎, 0, … adalah divergen.
Jika |𝑟| ≠ 1 , maka jumlah parsial ke-𝑛dari deret tersebut
adalah
𝑠𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯++𝑎𝑟𝑛−1 (1)
Jika kedua ruas digandakan dengan 𝑟, maka diperoleh
𝑟𝑠𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯++𝑎𝑟𝑛−1 + 𝑎𝑟𝑛 (2)
𝑠𝑛 − 𝑟𝑠𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟𝑛
1 − 𝑟 𝑠𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟𝑛
𝑠𝑛 =𝑎 − 𝑎𝑟𝑛
1 − 𝑟=𝑎
1 − 𝑟−𝑎𝑟𝑛
1 − 𝑟
Jika 𝑟 < 1maka
lim𝑛→+∞𝑟𝑛 = 0 ⟹
Jika 𝑟 > 1, maka 𝑟 dipenuhi oleh 𝑟 > 1 atau 𝑟 < −1
untuk 𝑟 > 1, lim𝑛→+∞𝑟𝑛 = +∞
untuk 𝑟 < −1, 𝑟𝑛 berosilasi antara nilai positif dan negatif,
sehingga 𝑠𝑛 divergen untuk kedua kasus ini
lim𝑛→+∞𝑠𝑛 =
𝑎
1 − 𝑟
Tentukan apakah deret berikut ini konvergen atau divergen. Jika
konvergen, dapatkan jumlahnya.
a) 𝑘=1∞ 1
2𝑛
b) 𝑘=1∞ 32𝑘51−𝑘
Contoh 3
Penyelesaian:
a) 𝑎 =1
2dan 𝑟 =
1
2𝑟 =1
2< 1
𝑎
1 − 𝑟= 1 2
1 − 1 2= 1 2
1 2= 1
b) 𝑘=1∞ 32𝑘51−𝑘
𝑘=1
∞
32𝑘51−𝑘 =
𝑘=1
∞9𝑘
5𝑘−1
=
𝑘=1
∞ 9(9𝑘−1
5𝑘−1=
𝑘=1
∞
99
5
𝑘−1
𝑟 =9
5Karena 𝑟 > 1, maka deret ini divergen.
Teorema 2
Jika deret 𝑛=1∞ 𝑎𝑛 konvergen, maka lim
𝑛→∞𝑎𝑛 = 0.
Hal ini ekivalen dengan, jika lim𝑛→∞𝑎𝑛 ≠ 0 atau jika lim
𝑛→∞𝑎𝑛 tidak ada,
maka deret tersebut adalah divergen.
Bukti:
Misalkan 𝑠𝑛 adalah jumlah parsial ke-𝑛 dan 𝑠 = lim𝑛→∞𝑠𝑛. Perhatikan
bahwa 𝑎𝑛 = 𝑠𝑛 − 𝑠𝑛−1. Karena lim𝑛→∞𝑠𝑛−1 = lim
𝑛→∞𝑠𝑛, maka diperoleh
lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞𝑠𝑛 − lim
𝑛→∞𝑠𝑛−1 = 𝑠 − 𝑠 = 0
Deret Harmonik
𝑘=1
∞1
𝑘= 1 +
1
2+1
3+1
4+1
5+⋯
𝑠1 = 1
𝑠2 = 1 +1
2
𝑠3 = 1 +1
2+1
3
𝑠4 = 1 +1
2+1
3+1
4
𝑠1 < 𝑠2 < 𝑠3 < 𝑠4 < ⋯ < 𝑠𝑛 < ⋯
membentuk suatu barisan yang monoton naik
Jumlahan parsial di atas memenuhi pertidaksamaan berikut:
𝑠2 = 1 +1
2>1
2+1
2=2
2
𝑠4 = 𝑠2 +1
3+1
4> 𝑠2 +
1
4+1
4= 𝑠2 +
1
2>3
2
𝑠8 = 𝑠4 +1
5+1
6+1
7+1
8> 𝑠4 +
1
8+1
8+1
8+1
8= 𝑠4 +
1
2>4
2
𝑠16 = 𝑠8 +1
9+1
10+1
11+1
12+1
13+1
14+1
16
> 𝑠8 +1
16+1
16+1
16+1
16+1
16+1
16+1
16+1
16
= 𝑠8 +1
2>5
2𝑠2𝑛 >
𝑛 + 1
2
Untuk setiap konstanta 𝑀, dapat ditemukan bilangan bulat positif 𝑛
sedemikian hingga𝑛+1
2> 𝑀. Tetapi, untuk 𝑛 berlaku
𝑠2𝑛 >𝑛 + 1
2> 𝑀
Sifat-Sifat Aljabar Deret Tak Hingga
a)Jika 𝑘=1+∞ 𝑢𝑘 dan 𝑘=1
+∞ 𝑦𝑘 deret konvergen, maka
𝑘=1+∞ 𝑢𝑘 + 𝑦𝑘 dan 𝑘=1
+∞ 𝑢𝑘 − 𝑦𝑘 adalah deret konvergen,
dan jumlah dari deret tersebut adalah
𝑘=1
+∞
𝑢𝑘 + 𝑦𝑘 =
𝑘=1
+∞
𝑢𝑘 +
𝑘=1
+∞
𝑦𝑘
𝑘=1
+∞
𝑢𝑘 − 𝑦𝑘 =
𝑘=1
+∞
𝑢𝑘 −
𝑘=1
+∞
𝑦𝑘
b) Jika 𝑐 adalah suatu konstanta tak nol, maka deret 𝑘=1+∞ 𝑢𝑘
dan 𝑘=1+∞ 𝑐𝑢𝑘 keduanya konvergenatau keduanya divergen.
Jika konvergen, maka jumlah dari deret ini adalah
c) Konvergensi atau divergensi tidak dipengaruhi oleh
penghapusan sejumlah suku berhingga dari deret tersebut.
Jelasnya, untuk sebarang bilangan positif 𝐾, deret
𝑘=1
+∞
𝑢𝑘 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 +⋯
𝑘=𝐾
+∞
𝑢𝑘 = 𝑢𝐾 + 𝑢𝐾+1 + 𝑢𝐾+2 +
𝑘=1
+∞
𝑐𝑢𝑘 = 𝑐
𝑘=1
+∞
𝑢𝑘
keduanya konvergen atau keduanya divergen. Apabila kedua
deret tersebut konvergen, maka jumlah dari masing-masing deret
tersebut tidak sama.
Tentukan apakah deret berikut
konvergen atau divergen.
a) 𝑘=1+∞ 8!
𝑘
b) 𝑘=5+∞ 1
𝑘
Contoh 4
Penyelesaian:
𝑘=1
+∞8!
𝑘= 8! +
8!
2+8!
3+⋯+
8!
𝑘+⋯
= 8! 1 +1
2+1
3+⋯+
1
𝑘+⋯ = 8!
𝑘=1
+∞1
𝑘
a)
berdasarkan sifat deret pada poin (b), dapat disimpulkan bahwa
deret
𝑘=1
+∞8!
𝑘
adalah divergen.
b)
𝑘=5
+∞1
𝑘=1
5+1
6+1
7+⋯ =
𝑘=5
+∞1
𝑘 merupakan deret yang divergen.
Latihan Soal
1. Dapatkan 5 jumlah parsial pertama dari jumlahan parsial ke-𝑛.
Kemudian tentukan apakah deret tersebut konvergen atau
divergen. Jika konvergen, dapatkan nilainya.
a) 𝑘=1∞ 3
72𝑘−1
b) 𝑘=1∞ 1
𝑘2+5𝑘+6
c) 𝑘=1∞ 1/5
21−𝑘
Latihan Soal
2. Tentukanlah apakah deret berikut ini konvergen atau
divergen. Jika konvergen, dapatkan nilainya.
a) 𝑘=1∞ 1
ln 3𝑘+1
b) 𝑘=1∞ 3𝑘+3
5𝑘−2
c) 𝑘=1∞ 1
𝑘+2−1
𝑘+3
d) 𝑘=1∞ 5−𝑘 + 6−𝑘